2.2.a- Se realiza el experimento siguiente: se arma el sistema de la figura donde el bloque A de 2 kg est y permanece en reposo sobre la mesa horizontal. Se va echando arena en el balde B, de modo que en cierto instante se rompe el equilibrio, y el sistema se acelera. Sabiendo que en B se ha totalizado una masa de 1,2 kg y que tarda 0,8 segundos en llegar al piso, hallar los coeficientes de rozamiento entre el bloque A y la mesa, despreciando la masa de la cuerda y los rozamientos en la polea. Este ejercicio -y el siguiente- es fundamental para comprender la fuerza de rozamiento. Ambos contienen una dificultad que te va a aparecer decenas de veces; se trata de comprender una situacin lmite: cuando la fuerza de rozamiento esttica alcanza su valor mximo. Ya vers. Yo te aviso cuando llega ese momento crucial.

Como en todos los ejercicios de dinmica, hay que empezar por por confeccionar losDCL. Como hay dos cuerpos, marchen dos DCLs.

Espero que estemos de acuerdo. Sobre el bloque A fuerzas: su peso, PA, el apoyo sobre la mesa, N, la fuerza de rozamiento que impide que deslice, Roz, y la fuerza con la que tira la soga, T. Sobre el balde operan apenas dos fuerzas: su propio peso, PB, y la fuerza que le hace la soga, T. Fijate cmo eleg -apropiadamente- los sistemas de referencia para cada cuerpo (con esta eleccin el ejercicio es ms sencillo; con cualquier otra, el ejercicio igualmente debe salir). Como la soga es ideal (sin masa), la fuerza que realiza en ambos extremos (sobre el bloque y sobre el balde) son iguales, por ese le puse el mismo nombre, T. En todos los ejercicios de dinmica pasa lo mismo: despus de realizar los DCL, tens que escribir las ecuaciones de Newton:

Empecemos con el bloque. Fx = mA ax Fy = mA ay Fx = mB ax T Roz = mA ax N PA = 0 PB T = mB ax

Y seguimos con el balde. Te habrs fijado dos cosas: primero la aceleracin vertical del bloque vale 0. No necesito explicrtelo. Segundo que, siendo la soga ideal (inextensible) la aceleracin en el sentido del movimiento para ambos cuerpos debe valer lo mismo y por eso le puse el mismo nombre, ax. Y ahora viene el momento crucial. Prest atencin. En la primera parte del ejercicio (la parte esttica) esa aceleracin tambin vale 0. Vos podrs protestar y decir que ya le pusiste suficiente arena al balde como para que el sistema se mueva... pero esper: no coloques el ltimo granito de arena... el sistema todava est en reposo, y el rozamiento es esttico. Y es el mximo, que valeRozeMx = e . N.

Acordate del grfico que te present en el apunte terico de rozamiento. Ac la fuerza de traccin es la fuerza de la soga, T, que va aumentando a medida que echs arena al balde. Al mismo tiempo va aumetando la fuerza de rozamiento esttica hasta que alcanza un valor mximo. Antes o despus de echar ese granito maldito de arena ests en el mismo punto lmite (L). Granito ms, granito menos, juntaste 1,2 kg de arena.

Nuestras ecuaciones se modifican un poco y quedan as: T RozeMx = 0 N PA = 0 PB T = 0 RozeMx = e . N Si conts bien, tenemos 4 ecuaciones con 4 incgnitas de las cuales una de ellas es e. Es demasiado fcil, as que slo te doy el resultado. e = mB / mA e = 1,2 kg /2 kg

e = 0,6

Bueno, ahora s coloc el ltimo granito de arena y que el equilibrio se rompa. A partir de ahora el rozamiento ser dinmico y la aceleracin ser distinta de 0. El enunciado ofrece datos cinemticos suficientes como para hallar esa aceleracin. Te lo hago sin prembulos: 0,8 m = . ax . (0,8 s) ax = 2,5 m/s Entonces s, con este hallazgo volvemos a la dinmica. Ahora las ecuaciones son stas: T Rozd = mA . ax N PA = 0 PB T = mB . ax Rozd = d . N Operamos y despejamos d... d = (mB g (mA + mB) . ax ) / mA g

d = 0,2

2.2.b- Se deja slo el bloque A en reposo sobre la mesa, y se la inclina lentamente. Hallar el mximo valor del ngulo que podr formar con la horizontal, sin que A comience a moverse. Si habiendo fijado ese ngulo se rompe el equilibrio, hallar con qu aceleracin descender el bloque. Este ejercicio viene enganchado con una parte anterior. No dejes de hacerla. Pero la cuestin es que ahora tenemos dos datos que el enunciado no brinda, pero los obtuvimos en la parte anterior: e = 0,6 y d = 0,2. Pero tiene en comn con la parte anterior que se pasa igualmente por la misma situacin lmite (L).

En esta parte no hay balde, pero hay una fuerza de traccin que va creciendo y al mismo tiempo crece la fuerza de rozamiento. Hagamos los DCL (obligacin para todo ejercicio de dinmica) y te va a quedar ms claro.

Espero que estemos de acuerdo. Sobre el bloque A operan tres fuerzas: su peso, PA, el apoyo sobre la mesa, N, la fuerza de rozamiento que impide que deslice, Roz. Fijate cmo eleg -apropiadamente- un sistema de referencia (con esta eleccin el ejercicio es ms sencillo; con cualquier otra, el ejercicio igualmente debe salir). Hice un segundo DCL con la fuerza PA descompuesta en las direcciones del sistema de referencia. (Te recomiendo hacr siempre dos DCLs para estos casos: el primero con las fuerzas reales, las interacciones; el segundo con las descomposiciones de fuerzas que fueran necesarias). En todos los ejercicios de dinmica pasa lo mismo: despus de realizar los DCL, tens que escribir las ecuaciones de Newton:

Empecemos con el bloque. Fx = mA ax Fy = mA ay PAx Roz = mA ax N PAy = 0

No es necesario que te explique por qu no hay aceleracin en el eje y. Tampoco te tengo que explicar, a esta altura del partido, que: PAx = PA . sen PAy = PA . cos Donde es el ngulo de inclinacin de la mesa. (Si te confunde esta parte te recomiendo recurrir a este ejercicio del esquiador). Y ahora viene el momento crucial. Prest atencin. En la primera parte del ejercicio (la parte esttica) esa aceleracin tambin vale 0. Ac la fuerza de traccin es la componente x del peso. A medida que va aumentando el ngulo de inclinacin la componente x del peso aumenta y por lo tanto tambin aumenta la fuerza de rozamiento esttica.

Llegar un momento en que la fuerza de rozamiento alcance su valor mximo. Bien, no inclines tanto la mesa, detenete una milsima de grado antes. Alcanz esa situacin lmite en el que el sistema todava est quieto.

Nuestras ecuaciones se modifican un poco y quedan as: PAx RozeMx = 0 N PAy = 0 RozeMx = e . N No te olvides que en esta parte del ejercicio podemos considerar datos a los coeficientes de rozamiento. De modo que tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas. Despejemos .

tg = e

tg = 0,6 = 31

Me importaba mucho pasar por ese estado del lgebra que te recuadr en verde y del que te voy a hablar en la parte final del ejercicio. Bueno, ahora inclin un poquitito ms la mesa, esa milsima de ngulo que faltaba. El equilibrio se rompe, el bloque comienza a acelerar y el rozamiento pasa a ser dinmico. Las ecuaciones se transforman de esta manera: PAx Rozd = mA ax N PAy = 0 Rozd = d . N Nuevamente 3 ecuaciones con 3 incgnitas y una de ellas es la aceleracin que pide el enunciado: ax = g (sen d cos ) ax = 10 m/s (0,514 0,2 . 0,857)

ax = 3,43 m/s

2.3- Un ladrillo de 2 kg lanzado a 4 m/s por un tabln horizontal se detiene en una distancia de 3,2 m por accin del rozamiento. Hallar la intensidad de la fuerza de rozamiento entre el tabln y el ladrillo, y el coeficiente respectivo. Es extrao... hay demasiados datos que parecen de cinemtica, pero estamos en dinmica... Ya s: la cinemtica nos va a ayudar a encontrar el valor de la aceleracin, que es fundamental para la dinmica. Por ah pasa la cosa.

Hagamos el DCL, dentro de un esquema. Un combo.

Se trata, obviamente de un movimiento variado, reemplazando las constantes iniciales en el modelo, lograremos armar las dos que describen el movimiento del ladrillo. x = 4 m/s . t + a . t v = 4 m/s + a . t y a ellas, como siempre, les pedimos que hablen del punto 1: 3,2 m = 4 m/s . t1 + a . t1 0 m/s = 4 m/s + a . t1 y, como era previsible qued un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. De la segunda despejo t1 y lo meto en la primera... 3,2 m = [(4 m/s) + (4 m/s) ] / a a = [ (4 m/s) ] / 3,2 m a = 2,5 m/s Ahora s, con este hallazgo vamos a la dinmica. Fx = m ax Fy = m ay Roz = m a NP=0 Roz = d . N

y el rozamiento

Ahora es un 3 contra 3... pero hper fcil, me da vergenza hacrtelo. De la primera:

Roz = 5 N

De la tercera (mezclada con la segunda): d = Roz / m . g d = 0,25

2.5 - Se quiere empujar un bal aplicndole una de las dos fuerzas que se indican en la figura. Cul de las dos eligira para que la tarea sea ms fcil? Si aplicamos la fuerza que apunta hacia arriba y tiene un mdulo igual al peso del bal cul es el mnimo valor que debe tener el coeficiente de rozamiento esttico entre el bal y el piso para evitar el deslizamiento? Ya s que sabs... todo el mundo lo sabe. Mir esto, qu curioso: tal vez pienses que todos lo saben porque alguna vez quisieron mover una mesa o algo y rpidamente aprendieron que es ms fcil moverla si tiran para adelante y arriba que si tiran para adelante y abajo. Bueno... parece que eso no se aprende, sino que es parte del mdulo de operaciones dinmica Newtonianas, con que viene equipado nuestro cerebro de fbrica. No es joda. La cuestin es que no slo hay que saberlo... el ejercicio consiste en justificarlo. La respuesta no es difcil, y con slo mirar los DCL de ambas situaciones te vas a dar cuenta del motivo. Como ves, ya descompuse lasfuerzas F1 y F2 en sus componentesx-y (horizontal y vertical). Est claro que en ambas situaciones no habr desplazamientos verticales, por lo tanto la aceleracin vertical debe ser nula. Entonces la sumatoria de fuerzas verticales tambin debe ser nula (2da. Ley). Y adems, la fuerza peso, P, es la misma en ambos casos. La componente vertical de F1 y F2tambin valen lo mismo, solo que una apunta hacia arriba y la otra hacia abajo. Luego... la nica que puede variar su mdulo es la fuerza dque hace el piso (la normal). Y tanto la fuerza de rozamiento esttica mxima (que se opone a que tu movimiento arranque), como la fuerza de rozamiento dinmica (que se opone a que sigas avanzando) son proporcionales a la fuerza normal... entonces... Elegira F1

Tambin tenemos una lgica intuitiva: el rozamiento depende del "agarre" entre las superficies que deslizan; luego, si tirs hacia abajo el "agarre" crece, en cambio, si tirs hacia arriba los cuerpos tienden a "soltarse", o sea, disminuye el "agarre". Bueno, si ests de acuerdo con lo que discutimos hasta ac, vamos a la

segunda parte, directo a las ecuaciones de Newton para los dos ejes. La situacin planteada es: comenzar a mover el bal (se trata de la situacin lmite, aceleracin nula, rozamiento esttico mximo). En el eje x En el eje y Rozamiento F1x Roz = 0 N + F1y P = 0 Roz = e . N [1] [2] [3]

Por trigonometra, y por datos del enunciado (F1 = P) , ten en cuenta que: F1x = m . g . cos F1y = m . g . sen Metemos todo en la licuadora algebraica (la [1] y la [2] en la [3]): m . g . cos = e . ( m . g m . g . sen ) cos = e . ( 1 sen ) e = cos / ( 1 sen )

2.6- Se debe construir una cinta transportadora para elevar cajas de cartn. La inclinacin de la cinta es 30 y las cajas pesan 30 kgf. Se dispone de tres materiales para hacer la cinta:

tela plstica : e = 0,4 ; d = 0,3 lona: e = 0,6 ; d = 0,4 goma: e = 0,8 ; d =0,5

Elija el material que resultara ms adecuado, teniendo en cuenta que la goma es ms cara que la lona y sta que la tela plstica. Justifique. Calcule la fuerza de rozamiento que acta sobre la caja mientras est subiendo e indique claramente su sentido. Se podr usar la cinta para transportar cajas del mismo material pero de distinto peso? (Para todas las consideraciones necesarias suponga que las cajas se depositan en la cinta ya en movimiento y que no deben soportar frenadas ni aceleraciones).

Me imagino que alguna vez viste una cinta transportadora. Es como una escalera mecnica, pero no para personas sino para cajas. Las cajas van inclinadas, de modo que si no hubiese rozamiento las cajas no slo no podran subir sino que deslizaran y caeran a la vereda y despus and a reclamar que en el cartn deca claramente "frgil". La cinta transportadora, creo, es el ms hermoso ejemplo de que la fuerza de rozamiento no necesariamente se opone al movimiento y muchas ms veces que lo que pensamos va a favor del movimiento, que se produce GRACIAS y no A PESAR del rozamiento. Tenelo presente, y vamos ya mismo al DCL. Ac lo tens. Actan sobre la caja, cada vez que depositamos una sobre la cinta slo tres fuerzas. No hace falta siquiera que te las mencione. Est claro que si la cinta fuese de un material poco rugoso, y con el lustre que mi abuela le aplicaba al piso del comedor no servira de nada. Pero tampoco necesitamos comprar un material sper rugoso porque es ms caro y dura menos. Ac hay un compromiso, entonces lo que vamos a hacer es buscar un lmite, un mnimo necesario para que la fuerza de rozamiento se banque las cajas de 30 kg que se le escapen. Le vamos a permitir a ese material que use su rozamiento mximo del que sea capaz, cosa que logra cuando: RozeM = e . N [1]

Las tres fuerzas no son codireccionales, de modo que descompuse una de ellas, el peso, Px = P sen 30 Py = P cos 30 Ests de acuerdo, no?

Bueno, si ests de acuerdo, vamos a las ecuaciones de Newton para los dos ejes. Y no te olvides que si la velocidad es constante (todas las cintas transportadoras importadas y nacionales trabajan a velocidad constante) la aceleracin es nula. En el eje x En el eje y Roz Px = 0 N Py = 0 [2] [3]

Ya est, si contas cuntas incgnitas hay vas a llegar a 3. De modo que esto tiene solucin algebraica. Lo hacs solo? Ok, ya entend. Reemplazamos la ecuacin [2] y la [3] en la [1], queda as: P sen 30 = e . P cos 30 sen 30 = e . cos 30 e = tg 30 = 0,577

habra que comprar lona, e Lona > 0,577 Ahora prest mucha atencin a sto: Para calcular la fuerza de rozamiento no siempre se encuentra aplicando RozeM = e . N . El 63,35% de los estudiantes cometen ese error (garrafal si lo hacen durante un examen). La fuerza de rozamiento esttico es una fuerza variable. Sus valores puede ir desde cero hasta un valor tope, mximo, en cada situacin. En el 99% de los casos no estamos en el mximo. Ac la condicin es que la caja no deslice, o sea, que su aceleracin valga cero. Eso ya lo est diciendo la ecuacin [2] Roz = m . g . sen 30 Roz = 150 N

2.7- Un tractor puede subir o bajar un bloque como indica la figura. Cul es la fuerza mxima y mnima que puede hacer el tractor sin que la caja deslice sobre el plano?

= 30 e = 0,5 d = 0,4

Este ejercicio es muy interesante por varias razones, ya vas a ver. Pero una de ellas es que contiene una trampa cazabobos. Una trampa tan pero tan remanida, repetida, conocida y cocinada, que solamente cae el 57,4 % de los estudiantes que lo tratan de resolver. Vamos a los DCL y lo comentamos.

Te tengo que avisar un par de cosas de estos dosDCLs. Primero que tienen ya un grado de elaboracin. Por ejemplo, sobre la caja actua su fuerza peso y no la dibuj (en realidad dibuj su huella), pero dibuj sus componentes segn elSR que eleg. Lo segundo es que son dos DCLs diferentes, porque describen situaciones diferentes. En el caso de arriba el tractor hace una fuerza Tminque sera insuficiente para sostener quieta la caja. Sin embargo la caja no desliza. Debemos suponer que el rozamiento acude en su auxilio. Si esa fuerza Tmin fuese realmente la mnima, entonces coincide con que la de rozamiento es la mxima, RozeM. En el segundo caso el tractor realiza una fuerza superior a la necesaria para sostener la caja, y an as la caja no sube. Qu estar pasando? No cabe duda que el motivo es que est trabada por el rozamiento. Si la fuerza de tractor es la mxima antes de ponerla en movimiento efectivamente,Tmx , ser porque se le opone la fuerza de rozamiento mxima, nuevamenteRoz pero ahora en sentido opuesto.

Me vas a preguntar para qu nos dan el d, y yo te voy a contestar que efectivamente no sirve para nada excepto para cazar bobos. Pero para hacer honor a la verdad y al autor del problema te voy a agregar que me parece un agregado correcto, ilustre, didctico. De hecho cuando el universo enfrenta a los cientficos con preguntas, intrigas o problemas, no le muestra solamente los datos que va a necesitar para resolverlo. El universo muestra el universo y tiende trampas cazabobos y tambin cazagenios, ojal caigas en una. Bueno basta de chchara, vamos a resolver el ejercicio. Despues de todo DCL viene un set de ecuaciones de Newton, ac estn. Ojo que sin que deslice significa a = 0. caso 1, eje x caso 2, eje x casos 1 y 2, eje y Tmin + RozeM Px = 0 Tmx RozeM Px = 0 N Py = 0

Y adems tenemos que Px = m . g . sen 30 Py = m . g . cos 30 RozeM = e . N Necesits algo ms? No, mets todo esoen la licuadora algebraica y salen los valores que ests buscando. No llores, yo te lo hago. Pero intentalo sin ayuda antes. Tmin = e m . g . cos 30 + m . g . sen 30

Tmin = 0,065 m . g

Tmx = e m . g . cos 30 + m . g . sen 30 Tmx = 0,935 m . g

2.8- Se aprieta un borrador contra un pizarrn como indica la figura. Cul es la fuerza mnima que hay que aplicarle para que no se caiga siendo el e = 0,4?

Pero qu pregunta! Cmo que por dnde se empieza... por un DCL!!! Bueno, espero que te convenza... porque este es el correcto. F es la fuerza que hace el que aprieta el borrador contra el pizarrn y N es la fuerza que hace el pizarrn sobre el borrador, que la llam as porque es perpendicular (normal) a la superficie del pizarrn. Vamos a las ecuaciones de Newton.

(eje x) (eje y)

F x = m ax Fy = m ay

NF=0 Roz P = 0

Tal vez lo que sigue no sea muy fcil de entender. La cuestin es que cuando la fuerza que hace el que aprieta, F, es la menor posible sin que el borrador deslice, la fuerza de rozamiento resultante es la esttica mxima, de modo que... RozeM = e . N esto ocurre solamente en el caso lmite que nos plantea el enunciado del problema. En cualquier otra circunstancia la fuerza de rozamiento que sostiene el borrador no es la fuerza de rozamiento mxima. Bueno aclarado esto, combinamos las tres ecuaciones... e . N = P e . F = m g F = m g / e

2.9- Un camin lleva apoyado en su caja un paquete de 10 kg. Los coeficientes de rozamiento entre el piso del camin y el bulto son: e = 0,5; d = 0,4. Cul es el mximo de aceleracin que puede imprimirse al camin para que el bulto no deslice? El DCL correcto es ste:

Vamos a Newton F x = m ax Fy = m ay y el rozamiento RozeM = m a NP=0 RozeM = e . N

combinando las tres ecuaciones y recordando que P = m.g a = e . g e . m . g = m . a

a = 5 m/s

2.10- Determinar cul debe ser la resultante de las fuerzas aplicadas sobre un objeto de 1000 kg que marcha a 72 km/h, para que describa una circunferencia de 200 m de radio. Si el objeto es un automvil en una ruta horizontal, calcular el mnimo coeficiente de rozamiento (cul?) entre sus neumticos y el piso, para que pueda mantenerse en la curva.

Eje y Eje r

Fy = m ay Fr = m ac

NP=0 Roz = m ac

Si se pretende el mnimo coeficiente de rozamiento (ettico) ste deber garantizar la fuerza para esta aceleracin centrpeta, y ser el coeficiente de rozamiento esttico. Agreguemos una tercera ecuacin. RozeM = e . N Y no nos olvidemos que la aceleracin centrpeta es ac = v2 / R Ahora metemos todo en la licuadora... e = RozeM / N e = m . ac / P e = m . ac / m . g e= ac / g

e = v / R . g

e= 0,2

La resultante no es otra que el rozamiento. Roz = 2000 N

2.12- Un bloque, cuya masa es 15 kg, est y permanece en reposo apoyado en un plano inclinado 37, con rozamiento. Al atarle un carrito de 5 kg, para el que puede despreciarse el rozamiento, como se muestra en la figura, ambos descienden con una aceleracin de 2 m/s. A partir del diagrama y las ecuaciones correspondientes, hallar:

a- La intensidad de la fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano, antes de atar el carrito. b- La fuerza que soporta la cuerda en el descenso. c- Los coeficientes de rozamiento entre el bloque y el plano, si es posible.

bloque, eje x bloque, eje y carrito, eje x carrito, eje y

T + PBx Rozd = mB . a NB PBy = 0 PCx T = mC . a NC PCy = 0

[1] [2] [3] [4]

Y adems agregamos una ecuacin que describe la naturaleza del rozamiento

Rozd = d . NB

[5]

Si tens ganas de contar, vas a ver que hay ms ecuaciones que incgnitas. O sea... el ejercicio ya est cocinado. El resto es lgebra, para obtener los resultados numricos. Si te parece hacemos as: Sumemos la [1] y la [3] T + PBx Rozd + PCx T = mB . a + mC . a Rozd = PBx + PCx mB . a mC . a Si quers pods hacer las cuentas ahora... pero dejame hacer un pasito ms, dale? Rozd = (g sen 37 a) (mB + mC) Rozd = 80 N De la ecuacin [3] sale en forma directa el valor de la tensin. T = PC x mC . a T = 20 N El coeficiente de rozamiento surge de la ecuacin [5], teniendo en cuenta la respuestaa) y la ecuacin [2] d = Rozd / NB d = Rozd / mB . g . cos 37 d = 0,67 Ahora viene la parte ms interesante del ejercicio. Fijate que la pregunta c) peda porlos coeficientes de rozamiento. Como el cuerpo deslizaba pudimos hallar el dinmico, ah est. Pero el esttico? Es sutil, pero importante. Como el cuerpo comienza a deslizar cuando se le engancha el carrito, hay que suponer que sin el enganche, el bloque se hallaba quieto en equilibrio. De modo que lo que lo sostena era una fuerza de rozamiento esttica. Su valor debe ser igual a la componente x de su peso. Roze = mB . g . sen 37 Roze = 90 N respuesta a)

Ojo, no necesariamente es la fuerza de rozamiento esttica mxima, de modo que no se puede conocer el valor de e. Pero, si ese fuera el caso, entonces el valor del coeficiente debera ser, por lo menos, e > 0,75

2.14- En un sistema como el que muestra la figura, la caja C de 5 kg y el balde B de 2 kg estn y permanecen en reposo. Se puede despreciar el rozamiento entre la cuerda y la polea, y sus respectivas masas.

Determinar la intensidad y sentido de la fuerza de rozamiento entre la caja y el plano, en este caso. Se va echando arena dentro del balde hasta totalizar con el mismo un peso de 40 Newton. En esas condiciones el sistema comienza a moverse, y adquiere una aceleracin de 0,4 m/s. Calcular los coeficientes de rozamiento entre la caja y el plano.

bloque C, eje x bloque C, eje y balde, eje x roz. est. mx.

T PCx RozeM = 0 N PCy = 0 PBL T = 0 RozeM = e . NC

[4] [5] [6] [7]

Esta vez s, van a tener que laburar las cuatro ecuaciones. Sumo la [4] con la [6], RozeM = PBL PCx meto esto en la [7] e . N = PB PCx y reemplazo por la [5] (hay otro milln de caminos posibles) e = ( PBL PCx ) / PCy e = ( PBL PC sen 37) / PC . cos 37 e = 0,25

bloque C, eje x bloque C, eje y balde, eje x roz. est. mx.

T PCx Rozd = mC . a N PCy = 0 PBL T = mBL . a Rozd = d . N

[8] [9] [10] [11]

Siguiendo el mismo camino algebraico de arriba llegs a la respuesta. Hacelo solo.

d = 0,16

2.15- Para las dos situaciones planteadas en la figura, donde la intensidad de F es la misma en ambos casos, determinar cul de los sistemas adquiere mayor aceleracin (o es la misma?) si inicialmente se mueven en el sentido indicado. Justificar sin hacer los clculos.

Datos: m1 = 10 kg; m2 = 6 kg; d = 0,25 |F| = 40 N; = 37

echas todas las aclaraciones, vamos a resolver la primera parte del ejercicio. Este es el set de ecuaciones de Newton. bloque 1, eje x bloque 1, eje y bola 2, eje x TA + RozA Fx = m1 . aA NA Fy P1 = 0 P2 TA = m2 . aA

Adems, sabemos que la fuerza de rozamiento dinmica, en este caso vale: rozamiento din. RozA = d . NA respuesta no numrica

aA = (P2 + d P1 + d Fy Fx )/ (m1 + m2)

aA = 4,83 m/s

as nuevas ecuaciones de Newton son: bloque 1, eje x bloque 1, eje y bola 2, eje x TB + RozB Fx = m1 . aB NB + Fy P1= 0 P2 TB = m2 . aB

Adems, sabemos que la fuerza de rozamiento dinmica, en este caso vale: rozamiento din. RozB = d . NB

Nuevamente, juntando las cuatro ecuaciones, pods despejar la aceleracin del sistema.

aB = (P2 + d P1 d Fy Fx )/ (m1 + m2)

respuesta no numrica

aB = 1,81 m/s

2.16- Una chica de 50 kg desciende esquiando por una pendiente que forma un ngulo de 37 con la horizontal. El rozamiento con el aire es despreciable y el coeficiente de roce dinmico entre los esques y la nieve es de 0,25. Entonces el desplazamiento realizado en tres segundos, a partir del reposo, es: a) 36 m ; b) 9 m : c) 12 m ; d) 18 m ; e) 24 m

Vamos a las ecuaciones. Empezamos por la direccin paralela al plano. Fx = m ax = m a Ahora hay dos fuerzas en esa direccin Px Roz = m a Ahora vamos con la direccin normal al plano Fy = m ay = 0 N - Py = 0 Ac se acaba Newton, pero nos queda una ecuacin ms por plantear, ya que conocemos la naturaleza de la fuerza de rozamiento y sabemos que Roz = d . N Ya con esto alcanza (si quers contar ecuaciones e incgnitas... no es mala idea). Vamos al lgebra. P sen Roz = m a P sen d . N = m a P sen d . P cos = m a m g sen d . m g cos = m a la masa de la chica no importa (en ete caso) pero convengamos que no est nada mal, 50 kgf es un buen peso. g sen d . g cos = a a = g (sen d cos )

pudiste seguirme? Bueno, calculemos a y con eso vamos a la cinemtica (MRUV) y sacamos el desplazamiento para 3 segundos. x = a t a = 4 m/s x = 18 m

2.17- En el sistema de la figura, el bloque B de 200 kg y el carrito C, tambin de 200 kg, se mueven inicialmente en el sentido indicado, vinculados entre s por un cable que pasa por una polea, estos ltimos de masa despreciable. Puede despreciarse el rozamiento en la polea y entre el carrito y el plano en que se apoya, pero entre el bloque B y el plano el coeficiente de rozamiento dinmico es d= 0,25. a- Determinar el mdulo y el sentido de la aceleracin que experimentan en ese instante, y la intensidad de la fuerza que soporta el cable. b- Con el sistema en movimiento, se corta el cable. Determinar la nueva aceleracin que experimenta cada cuerpo, y describir en forma cualitativa su movimiento.

Descompuse las fuerzas peso: PBx = PB sen PBy = PB cos PCx = PC sen PCy = PC cos Si te cuesta comprender estas relaciones te pido que le pegues una ojeada a esto. Ahora las ecuaciones de Newton. Las aceleraciones son idnticas, porque la soga es inextensible. Cuerpo B, eje x Cuerpo B, eje y Cuerpo C, eje x Cuerpo C, eje y mC a NC PCy = 0 PBX RozB T = mB a NB PBy = 0 T PCX = [1] [2] [3] [4]

Adems de Newton podemos agregar lo que sabemos del rozamiento: Cuerpo B RozB = d NB [5]

PBX d PBy PCX = a (mB + mC) a = 2 m/s T = 1.200 N

2.18 - Los bloques A, de 200 kg, y B, de 300 kg, del esquema de la figura se mueven inicialmente en el sentido indicado, vinculados entre s por un cable flexible e inextensible que pasa por una polea. Puede despreciarse la masa y el rozamiento de estos ltimos, pero no entre los bloques y los planos inclinados, donde los coeficientes respectivos son dA = 0,3 y dB = 0,1. a- Determinar el mdulo y el sentido de la aceleracin que experimentan en ese instante, y la intensidad de la fuerza que soporta el cable. b- Con el sistema movindose, se corta el cable. Determinar la nueva aceleracin que experimenta cada cuerpo, y describir en forma cualitativa su movimiento.

Ahora las ecuaciones de Newton Cuerpo A, eje x Cuerpo A, eje y Cuerpo B, eje x Cuerpo B, eje y T RozA PAX = mA a NA PAy = 0 PBX T RozB = mB a NB PBy = 0 [1] [2] [3] [4]

Adems de Newton podemos agregar lo que sabemos de los rozamientos Cuerpo A Cuerpo B RozA = dA NA RozB = dB NB [5] [6]

PAX + PBX dA PAy dB PBy = a (mA + mB) a = 0,24 m/s T = 1.632 N

2.19- Nicols tira de su carrito con la caja de sus juguetes encima, aplicndole una fuerza de 30 N como se muestra en la figura.

El carrito tiene 10 kg, la caja 2 kg. Despreciando el rozamiento del carrito contra el piso, hallar: a- La aceleracin del conjunto. b- El mnimo valor del coeficiente de rozamiento (cul?) entre la caja y el carrito, para que no se despegue del mismo.

Juguete Juguete Carrito Carrito

Fx = mJ ax Fy = mJ ay Fx = mC ax Fy = mC ay

Roz = mJ . a NCJ PJ = 0 FX Roz = mC . a Fy + NPC NJC PC = 0

FX = (mC + mJ ) . a F cos 37 = (mC + mJ ) . a a = F cos 37 / (mC + mJ ) Roz = e Min . NCJ a = 2 m/s e Min = 0,2

2.21- De una pila de tablones, que pesan 100 Newton cada uno, se quiere retirar el quinto (contando desde arriba). Calcular la intensidad mnima que deber tener la fuerza horizontal capaz de ponerlo en movimiento, y qu fuerza habr que aplicar al conjunto de los cuatro restantes, para que no lo acompaen. Qu fuerza deber aplicarse, para extraerlo a velocidad constante, despus que arranc? Datos: e= 0,6 ; d= 0,4.

Conj. arr.

Fx = 0

Rar Far = 0

5to. tabln

Fy = 0 Fx = 0 Fy = 0

F5to/ar Par = 0 F5to Rar Rab = 0 Fab/5to Far/5to P5to = 0

Rozamientos

Rar = e . Far/5to Rab = e . Fab/5t o

Far = 240 N

y

F5to = 540 N

La segunda etapa, la dinmica, es casi idntica a esta primera porque tampoco hay aceleraciones y las ecuaciones son exactamente las mismas salvo que el coeficiente de rozamiento ser el de tipo dinmico.

2.22- Un plato cuya masa es m, viaja sobre la bandeja del mozo del bar. Hallar el coeficiente de rozamiento necesario entre el plato y la bandeja para que no se deslice, cuando la bandeja se acelera a 2 m/s en la direccin indicada, mantenindose horizontal.

donde ax = a cos 30 ay = a sen 30

Fx = m ax Fy = m ay

Roz = m a cos 30 N P = m a sen 30

no olvidemos lo que sabemos de las fuerzas de rozamiento, que en este caso es esttico, ya que no queremos que el plato deslice de la bandeja, y adems queremos que sea el esttico mximo, as voy a poder mover la bandeja con ms aceleracin. Roz = e . N

Y lo que sabemos del peso P=m.g metemos todo esto en las ecuaciones de Newton que quedan as

e . N = m a cos 30 N - m g = m a sen 30 despejo e de la primera y reemplazo N con lo que obtengo de la segunda e = m a cos 30 / m g m a sen 30 veo que no importa la masa del plato ni si hay ravioles o churrascos. e = a cos 30 / g a sen 30 e= 0.192

2.23- Un hombre quiere mover una caja de 10 kg que est apoyada sobre el piso de un vagn en reposo. Para eso necesita hacer una fuerza de 5 kgf. El vagn est ahora acelerado y el hombre tiene ahora que hacer una fuerza de 3 kgf para mover la caja. Qu aceleracin lleva el vagn?

F RozeM = m a a = 2 m/s

RozeM = 50 N

a = (F RozeM) / m

2.24- Los carritos A (de 4 kg) y B (de 3 kg) de la figura, permanecen en reposo sobre un riel horizontal, por el cual pueden moverse con rozamiento despreciable.

Ambos estn vinculados por un resorte de masa despreciable cuya constante elstica es 300 N/m, y su longitud en esas condiciones es 0,3 m. En un instante dado, se aplica una fuerza F horizontal de 50 N sobre el carrito A. a- Hallar la aceleracin inicial de cada carrito. b- Hallar la aceleracin de cada carrito, cuando la longitud del resorte es 0,2 m.

Carro A Carro B

F = mA . a A F = mB . a B aB = 0 m/s F = mA . a A F = mB . a B

F = mA . a A 0 = mB . a B

No consign las fuerzas verticales (vos entenders). Hac los despejes. aA = 12,5 m/s Carro A Carro B

F Fe = mA . aA F e = mB . a B

Donde la fuerza elstica vale Fe = k x = 300 N/m . 0,1 m = 30 N aA = 5 m/s aB = 10 m/s

o te voy a agregar una pregunta (que es la que represent abajo de todo en el esquema. Cunto debe valer la compresin del resorte para que ambos carritos tengan la misma aceleracin? Entonces... Carro A Carro B F = mA . aAB F = mB . aAB F Fe = mA . aAB Fe = mB . aAB

De ah surge que aAB debe valer 7,14 m/s y la fuerza que hace el elstico 21,43 N. Luego, la compresin debe valer... x = Fe / k = 21,43 N / 300 N/m = 0,07m

2.25- Un resorte de masa despreciable, cuya longitud es 40 cm cuando est descargado, tiene un extremo unido al techo a 2,4 m del piso, y en el otro est colgado un objeto que pesa 12 kgf.

a-

Hallar la constante elstica del resorte, si al quedar en equilibrio su longitud es 60 cm. b- Se eleva al cuerpo 5 cm desde la posicin de equilibrio, y se lo suelta. Hallar con qu aceleracin parte. c- Determinar cunto habra que desplazar el cuerpo hacia abajo, respecto de su posicin de equilibrio, para que al soltarlo partiera con una aceleracin de mdulo igual a |g|. d- Trazar los grficos de la aceleracin del cuerpo y de la fuerza que experimenta el techo, en funcin de la distancia al piso del extremo libre.

Fea P = 0

Fea = P

or otro lado, la Ley de Hooke nos dice que: Fea = k . xa de donde k = Fea / xa = 120 N / 0,2 m k = 600 N/m

Feb = k . xb = 600 N/m . 0,15 m Feb = 90 N La seguanda Ley de Newton nos dice que al soltarlo, saldr con una aceleracin ab... Feb P = m . ab ab = Feb P / m = 90 N 120 N / 12 kg ab = 2,5 m/s

Fec P = m . ac Fec P = m . g Fec m . g = m . g Fec = 2 . m . g Fec = 240 N Hooke nos da el valor del estiramiento Fec = k . xc xc= Fec / k = 240 N / 600 N/m = 0,4 m x'c = 0,2 m

2.26- Para proteger a una balanza contra vibraciones, se la coloca sobre una placa de mrmol rectangular, de 80 kg. sta descansa sobre cuatro resortes, que a su vez se apoyan sobre una mesa horizontal. Si cada resorte tiene una longitud de 5 cm cuando est descargado, y una constante elstica de 10.000 N/m, hallar a qu distancia de la mesa queda la placa, en su posicin de equilibrio sin la balanza.

4 Fe = P k x = P / 4 d = l0 x

Fe = P / 4 x = P / 4 k d = l0 P / 4 k

Fe = k x

d = 0,03 m = 3 cm

2.28- Se utiliza un resorte, cuya longitud sin carga es de 30 cm y cuya constante elstica es 500 N/m, para mantener en equilibrio a una caja de 30 kg sobre el plano inclinado del esquema. a- Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular qu longitud tendr el resorte. b- Si los coeficientes de rozamiento fueran e= 0,4; d= 0,15, hallar la mxima longitud que podr darse al resorte sin romper el equilibrio. c- Con los mismos coeficientes anteriores, hallar la mnima longitud del resorte que conserve el equilibrio.

omo Fx = 0 y Fy = 0, ya que el cuerpo esta en equilibrio no cabe otra que P sen = k xi N = P cos xi = P sen / k Li = L0 + xi Li = 0,66 m (esta no aporta nada interesante por ahora)

FeM = P sen + ReM N = P cos

k xM = P sen + e . N

(ahora s aporta, pues la reemplazo arriba)

k xM = P sen + e . P . cos xM = (P sen + e . P . cos ) / k LM = L0 + xM LM = 0,85 m

Fem + ReM = P sen N = P cos

k xm + e . N = P sen

(igual que antes)

k xm + e . P cos = P sen xm = (P sen e . P . cos ) / k Lm = L0 + xm Lm = 0,47 m

2.29- En el esquema de la figura, el cuerpo de 5 kg se mueve apoyado en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, sujeto al extremo de un resorte de constante elstica 1000 N/m, cuya longitud sin carga es 20 cm. a- Cul es la longitud del resorte, cuando el cuerpo gira dando dos vueltas por segundo? Considerar que la trayectoria es una circunferencia y despreciar la masa del resorte. b- Expresar la segunda ley de Newton para el caso general de una masa unida a un resorte de constante elstica k y cuya longitud relajado es l0, cuando gira como se indica en la figura y con una velocidad angular . Despejar la longitud l en funcin de y encontrar el rango de valores posibles de para que gire con movimiento circular uniforme.

NP=0 R = l = l0 + l ac = . R l = 0,95 m

Fe = m ac

Fe = k l

m ac = k l

l = R l0 = l l0 m l = k ( l l0)

l = k l0 / ( k m )

2.31- Un resorte de longitud L tiene n espiras y una constante elstica k. a- Si se corta este resorte en la mitad; cul sera la constante elstica de cada parte? b- Cul sera la constante elstica de cada espira?

2.32- En un laboratorio se tiene suspendida en equilibrio una esfera de 10 kg y 12 cm de dimetro, por medio de un dispositivo a resorte muy sensible. Se lleva debajo de la misma otra esfera de plomo, de 2000 kg y 70 cm de dimetro, de modo tal que el equilibrio se establece con ambas esferas a 1 cm de distancia. Hallar la intensidad de la fuerza gravitatoria entre ambas. Si la constante elstica de la suspensin fuera 50 N/m, qu desplazamiento sufrira la esfera de 10 kg? NOTA: Adoptar constante de Gravitacin Universal: G = 6,67.10-11 Nm/kg

Fy = 0

FE FGT = 0

FGT = mA . g

FE = k x

FGB = G . mA . mB / d d = 0,42 m Por lo tanto Fy = 0

RA + RB + 1 cm = 42 cm o sea 0,42 m. Y d2 = 0,176 m2

FGB = 6,67 x 10-11 . 10 . 2.000 N/ 0,176 FE' FGT FGB = 0 x = mA . g / k FE' = k x'

FGB = 7,56 x 10-6 N

k x = mA . g

x = 2 m

k x' mA . g FGB = 0 x' = 2,00000015 m-7

x' = mA . g + FGB / k e = x' xm = 0,15 m

e = 0,00000015 m = 1,5 x 10

2.33- Hallar cunto pesa un meteorito de 2 kg en el campo gravitatorio de la superficie del planeta Marte. Hallar cunto pesa Marte, en el campo gravitatorio del meteorito, en la misma posicin anterior. Masa de Marte = 6,6.10.23 kg; Radio de Marte = 3.380 km.

Peso es el nombre que le damos vulgarmente a la fuerza gravitatoria, cuando est aplicada en las cercanas de la superficie terrestre. Por extensin se puede hablar de peso en las cercanas de la superficie de cualquier planeta o cualquier cuerpo celeste (por ejemplo Marte... aunque Marte no es celeste sino naranja). Ahora, como cualquier fuerza gravitatoria, podemos calcularla con la Ley de Gravitacin Universal... que para algo es universal: Pm = FG = G . MM . m / RM FG = 6,67 . 10-11 Nm/kg . 6,6 . 1023 kg . 2 kg / 3,38 . 1012m

Pm = 7,7 N

G . MM . m / RM = G . m . MM / RM

PM = 7,7 N

DISCUSION: En nuestra Tierra, el meteorito pesara20 N, de modo que en el planeta rojo los objetos pesan el 38% -ms o menos- de lo que pesan ac. Pero la masa -ac y all- es la misma.La aceleracin con la que caen los cuerpos en la superficie marciana se puede calcular as: gM = G MM / RM = 3,8 m/s

2.34- Hallar a qu distancia entre la Luna y la Tierra debera colocarse un objeto, para que las fuerzas de atraccin gravitatoria sobre el mismo se compensaran mutuamente. Depende de la masa del objeto? Qu le ocurrira all al objeto? Las masas son mT = 6 . 1024 kg y mL = 7,38 . 10 kg respectivamente, y la distancia TierraLuna es 384.000 km. No puedo negar que este es uno de los problemas que ms me gusta... ya que me trae hermosos recuerdos de mi ltimo viaje. Empecemos con un esquemita y ah mismo aparece el DCL, como en todos los de dinmica:

FGT = G . MT . m / doT G . MT . m / doT = G . ML . m / doL MT / doT = ML / doL doL= DTL doT (MT /ML) . doL = doT

FGL = G . ML . m / doL

(MT /ML) doL = doT doT = 345.664 km

(MT /ML) (DTL doT) = doT

2.35- Sabiendo que la masa de la Luna es 7,38.1022kg y el radio lunar es 1700 km, determinar la aceleracin de la gravedad en la superficie de nuestro satlite. La escalerilla del mdulo lunar fue diseada para resistir una carga mxima de 40 kgf.

Podr utilizarla confiadamente un astronauta que pes 120 kgf (con su equipo) aqu en la Tierra? FGL = m gL (la conocida relacin peso-gravedad) (la ley de gravitacin) gL = G . ML / RL gL = 1,703 m/s

FGL = G . ML . m / RL m gL = G . ML . m / RL

Si el astonauta pesaba en la Tierra 120 kgf, en la Luna, pesar... PL = m gL , y PT = m gT , entonces PL = PT . gL / gT PL = 20,8 kgf

2.36- Suponiendo que el campo gravitatorio a nivel del mar tiene una intensidad de 9,8 m/s, cul ser su intensidad en el Aconcagua, a 6.000 m de altura. Expresarla en porcentaje. Radio terrestre = 6.360 km. P=m.g g = G M / RT P = G . m . M / RT g' = G . M / D g'/g = RT/ D (g'/g) % = 99,8 % m . g = G . m . M / RT

g'/g = G M RT/ G M D

g'/g = (6.360 km)/ (6.366 km)

2.37- Hallar a qu altura sobre la superficie terrestre la aceleracin de la gravedad se reduce a la mitad de la que existe a nivel del mar. A qu altura se hace cero? Radio terrestre: 6.360 km. m . g = G . m. M / RT D = 2 RT h = 2.600 km m . g = G . m . M / D g = 2 . G . M / D

D = 1,41 RT

h = D RT = 0,41 RT

2.38- La distancia media Tierra-Sol es de 150.000.000 km. Cul es la masa aproximada del Sol, si la Tierra recorre su rbita, que puede suponerse una circunferencia, en 365 das aproximadamente? FG = mT . ac ac = 4 . R / T 4/ T = G . MS / R3 MS = 2 . 1030 kg FG = G . mT . MS / R mT . 4 . R / T = G . mT . MS / R MS = 42 . R3/ T2 . G

2.39- Los primeros satlites de comunicaciones tenan rbitas aproximada-mente circulares a 400 km de la superficie terrestre. Cul era su perodo? Datos: radio de la Tierra = 6360 km gravedad en su superficie: |gO| = 9,8 m/s. G = 6,67.10-11 Nm/kg FG = G . M . m / RO F G = m aC FG = m 4 . RO / T

m 4 . RO / T = G . M . m / RO T = RO3 4/ G M T = (RT + h) 4/ G M3

Como RO = RT + h T = 5.520 s

2.40- Se quiere poner en rbita un satlite de comunicaciones que parezca fijo sobre un punto del Ecuador terrestre. A qu altura constante sobre la superficie de nuestro planeta deber situarse? Radio y masa de la Tierra: RT = 6.360 km, MT = 6 . 1024 kg

si pegan una vuelta completa (perodo, T) en el mismo tiempo, o sea en un da exacto, para ser ms precisos en 24 horas, o mejor an en 86.400 segundos G . ms . MT / RO = ms 4 . RO / T RO3 = T . G MT / 4 Como h = RO RT RO = (T . G MT / 4) h = 36.000 km1/3

RO = 42 x 106 m