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[ ] June 23, 2011
PROBLEMARIO
PROF. RICARDO ROSAS
GPO.408
NOMBRE:
CASANOVA DE LOS SANTOS ARTURO ALONSO. im2008140121
2011
PROBLEMARIO- FISICA ONDULATORIA
[ ] June 23, 2011
Capitulo 15Ejemplo 1.- Un resorte horizontal se estira 7.6 cm a partir de su posición de equilibrio cuando se le aplica una fuerza de 3.34 N. se fija en su extremo un cuerpo que pesa 6.68 N y se jala 10.2 cm. Entonces se suelta y ejecuta un MAS. a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando se va a soltar? c) Calcule T, γ, ω , A ,V max, amax d) Calcule V, a, K, U
cuando el cuerpo se encuentra en x=A2
e) Calcule Etotal f) Encuentre x(t)
a) F=−kx k=−Fx
=−3.340.076
=43.94Nm
b) F=−kx=−(43.94 ) (0.102 )=−4.394N
c)T=2π √ mk =2 π √ Wgk =2π √ .68
43.94=0.78 s≈
π4s
γ= 1T
= 4πs−1=4
πHz ω=√ km=8.03
rads
Aes lo que se estirainicialmente∴ A=0.102m
V max=ωA= (8.03 ) (0.102 )=0.8196ms
amax=ω2 A=( 8.032 ) ( 0.102 )=6.5770
m
s2
d) x= A2
=0.05m V=±ω √A2−x2=±8.03√0.1022−0.052=±0.69m
s2
F=−kx=ma a=−kxm
=− (43.94 )(0.05)
0.68=−3.23
ms
K=12mV 2=1
2(0.68 ) (0.692)=0.161J
U¿ 12k x2=1
2(43.94 ) ( 0.052 )=0.054J
e) E=K+U=0.161+0.054=0.2159J
f) x=A cos (ωt+φ) A=0.10m,ω=8.03rads
x=0.10cos (8.03 t+φ) parat=0 , x=0.1m;φ=0
∴ x=0.10 cos(8.03t )
Ejemplo 2.- Una varilla delgada de 0.10 kg de masa y 0.10 m de longitud se suspende por medio de un hilo que pasa por su centro y es perpendicular a su longitud. Se tuerce el hilo y la varilla
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comienza a oscilar. Se encunetra que su perido es de 20 s. Cuando un cuerpo plano con forma de triangulo equilatro se suspende de una manera semejante (con el mismo hilo) por su centro de masa, se encuentra que su periodo es de 6 s. Encontrar la inercia rotacional del triangulo respecto a este eje.
I var=M l2
12=
(0.10 ) (0.102)12
=8.3x 10−5 kg .m2
Tenemos que;
T=2π √ Ik →T var
T ∆
=( I varI∆ )12
I∆=I var (T ∆
T var
)2
=(8.3 x 10−5 )( 62)2
=7.5x 10−4 kg .m2
Ejemplo 3.- Determinar la longitud de un pendulo simple cuyo perido es igual al de un pendulo fisico particular.
T=2π √ lg=2π √ IMgd
∴l= FgMgd
= IMd
Problema 15.13.- Un cuerpo oscila con un movimiento armonico simple según la ecuacion
x=6.0 cos (3 πt+ π3), en donde x esta enmetros , t en segundos y los numeros dentro del
parentesis en radianes. ¿Cuál es a)el desplazamiento, b) la velocidad, c) la aceleración y d) la fase en el instante t=2 s? Encontrar también: e) La frecuencia γ y f) el periodo del movimiento.
a) x (2 )=6.0 cos (6π+ π3)=6 cos( π3 )=6( 1
2 )=3m
b) V=−6 sin(3 πt+ π3 )3π
V (2 )=−18 π sin(6 π+ π3 )=−18 π sin ( π
3)=−18π √3
2=−48.97
ms
c) a=−18 π cos(3 πt+ π3 )3π
a (2 )=−54 π2cos (3 π (2 )+ π3 )=−(54 )( 1
2π2)=−266.46
m
s2
d) Fase :3 π (2 )+ π3=19
3π
e) γ= ω2π
=3 π2 π
=32s−1
f) T=2πω
=2π3π
=23s
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Problema 15.17.- La fuerza de interaccion entre dos atomos de ciertas moleculas diatomicas
puede representarse por F=−ar2
+ br 3 , donde a y b son constantes positivas y r es la distancia de
separacion entre los atomos. Haga una grafica de F contra r, luego a) Demuestre que la separacion
en el equilibrio es ba
, b) Demuestre que para pequeñas osilaciones respecto a esta separacion de
equilibrio, la constante de fuerza es a4
b3 , c) Halle el periodo de este movimiento.
a) F=0=−ar2
+ br3 ∴0=−a+ b
r→a=b
r→r=b
a
b) Paraoscilaciones pequeñ as F=−kx→F=−ar+br 3
=−kx
•a( ba−x)+b( ba−x )
3=−k (−x )→−b+ax+b
( ba−x)
3=kx ; x→0
k= a¿¿
c) T=2π √ mk =2 π √mb3
a4
Problema 15.17 .- Un resorte sin masa de constante 7 N/m se corta en dos mitades.a) ¿Cuál es el valor de la constante elastica de cada una de las mitades? b) las dos partes suspendidas por separado soportan un cuerpo de masa M. Si el sistema vibra con una frecuencia de 3.0 Hz ¿Cuál es el valor de la masa M?
F=4 kx a) Del problema15.18 tenemos k1=k2=2k=2∗7=14N /m
b) γ= 12π √ k
M→M= 1
2πkγ 2→M= 1
4 π2
4kγ 2 = k
π2 γ2 =7π 29
=78.8 gr
Problema 15.18.- Un resorte uniforme, cuya longitud sin estirarse es l , tiene una constante elastica k. Dicho resorte se corta en 2 piezas cuyas longitudes sin estirar son l1 y l2, con l1=nl2 y n
es un numero entero. ¿Cuáles son las constantes elasticas k 1 y k2 correspondientes en terminos de n y k? comprobar el resultado cuando n=1 y n=ɷ
k 1d=kx
x−−−l=l1+l2d=l1 x
l1+l2=l1 x
l1+l1n
=l1 x
l1(1+1n)= x
1+ 1n
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d−−−l1→k1=kxx
1+1n
=(1+ 1n)k
x−−−l=l1+l2D=l2 x
l1+l2=
l2 x
l2+l2n= x
1+n
D−−−l2→k2D=kx→k2=kxx
1+n
=k (1+n)
sin=1k1=k2=2k sin=∞k1=k , k2→∞
Problema 15.21.- Dos resortes estan unidos y conectados a una masa m como se muestra en la figura. Las superficies no tienen friccion. Si los resortes tienen constantes elasticas k 1y k2,
demostrar que la frecuencia de oscilacion de m es γ= 12π √ k 1k2
(k1+k2)m
(El analogo electrico de este sistema es la coneccion en paralelo de dos capacitores)
Por3 ra Ley de Newton F=F1=F2 ∴kx=k1 x1=k2 x2 x=x1+x2
k=k1 x1
x=k1
x1
x1+x2
=k11
1+x2
x1
=k11
1+k1
k2
=k11
k2+k1
k2
=k 1k2
k1+k2
∴ γ= 12 π √ k1 k2
(k1+k 2)m
Problema 15.25.- a)Cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud A (i .e . x=A2
) ¿Qué
fracción de la energía total es cineteca y que fracción es potencial en el MAS?, b) ¿Para qué desplazamiento es la energía mitad cineteca y mitad potencial?
a) ET=12k A2 E=U+K
U=12k x2=1
2k ( A2 )
2
=18A2→U= 1
4E
K=38k A2→K=3
4E
b)ET2
=U=14k A2=1
2k ( A
√2)
2
→x= A√2
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Problema 15.27.- Un resorte vertical en un campo gravitacional constante. Considerese a un resorte sin masa, de constante k, en un campo gravitacional uniforme, en uno de cuyos extremos estas unida una masa m. a) Demostrar que si x=0 indica la posicion relajada del resorte, la posicion de equilibrio estatico quede determinada por x=mg /k. b) Demostrar que la ecuacion de
movimiento del sistema es md2 xd t2
+kx=mg, y que la solucion del desplazamiento como funcion
del tiempo es x=Acos (wt+φ )+mg /k , en donde w=√ km , como antes.
a) Para el equilibrio tenemos kx−mg=0→x=mg /k
b) Aplicando la 2da Ley de Newton
kx−mg=−ma→kx+m x=mg→m x+kx=mg
x=mgk
−mkx con x=−A w2 cos (wt+φ)
x=mgk
+mw2
kAcos (wt +φ ) ;w2= k
m
x=mgk
+Acos (wt+φ)
Problema 15.28.- Un bloque de 4 kg está suspendido de un resorte con una constante de fuerza
de 5Ncm
. Una bala de 50 gr se dispara hacia el bloque desde abajo con una velocidad de 150ms
y
llega al reposo dentro del bloque. a) Halle la amplitud del movimiento armónico simple resultante. b) ¿Qué fracción de la energía cineteca original de la bala aparece como energía mecánica del oscilador?
a) Consevacion delmomentomv=(M+m )V→V= mv(M+m)
ET=12
(M+m )V 2=12k A2→E
T
=12
(M+m ) (mv )2
(M+m )2=1
2k A2
(mv)2
M+m=k A2→A=√ (mv)2
k (M+m)
b)ETECB
=
12(M+m)V 2
12mV 2
=
m2 v2
M+mmv2 = m
M+m=0.05
4.05= 1
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Problema 15.37.- Una barra larga y uniforme de longitud l y masa m puede girar libremente en un plano horizontal alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. un resorte de constante k se conecta horizontalmente entre el extremo de la barra y una pared fija. ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones pequeñas que resultan cuando se empuja la varilla ligeramente hacia un lado y se le suelta despues?
T=2π √ Imgd
I cm=M l2
12I pivote=
M l2
12+ml
2
4
w=√ kI pivote
=√ kM l2
12+m l
2
4
=√ kM l2
3
=√ 3 kml2
T=2πw
= 2π
√ 3km l2
=2π √ ml23k=2πl√ m3k
Problema 15.42.- Se forma un pendulo pivoteando una varilla larga y delgada, de longitud l y de masa m, alrededor de un punto sobre dicha varilla, que esta a una distancia lc mas alla de su centro. a) econtrar el periodo de pequeña amplitud de este pendulo en terminos de l, d, m y g. b)
Demostrar que el periodo tiene tiene un valor minimo cuando d=l
√12=0.289 l
a) I cm=m l2
12I=I cm+md
2
T=2π √ Imgd
=2 π √ m l2
12mgd+ md
2
mgd=2π √ l2
12 gd+ dg
b)l2
12d2 g=1g→d2= l2
12→d= l
√12
Problema 15.45.- Los electrones en un osciloscopio se desvian por la accion de campos elctricos mutuamente perpendiculares de tal manera que en un instante cualquiera t el desplazamiento esta dado por x=A cosωt , y=A cos(ωt+φy ). a) Describir la trayectoria de los electrones y
determinar su ecuacion cuando φ y=0, b) φ y=30 y c) φ y=90
a) x=A cosωt , y=A cos(ωt+φy )
φ y=0→x2= y2→x=± y→Ecuaciondeunarecta
b) φ y=30=π6,sin
π6=1
2,cos
π6=√3
2
y=A cos(ωt+ π6 )=A (cosωt cosπ6−sinωt sin
π6)=A ¿
y2=A2( 34
cos2ωt+ 14
sin2ωt−√32
cosωt sinωt )
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y2=( 14
(cos2ωt+sin2ωt )+ 12
cos2ωt−√32
cosωt sinωt)
y2=A2[ 14+ 1
2cos2ωt+ √3
2xA
( 2 yA
−√3 cosωt)]=A2[ 14+ 1
2x2
A2 + √32xA
( 2 yA
−√3xA
)]
y2=A2( 14+1
2x2
A2 +√3 xyA2 − 3 x2
2 A2 )=A2( 14− 3 x2
2 A2 +√3 xyA2 )
y2+x2−√3xy= A2
4→Ecuacion de laelipse
c) φ y=90 Ax=Ay→Movimiento circular
Problema 15.45.- Un péndulo físico consta de un disco solido uniforme de masa M=563 g y un radio R=14.4 cm. Soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d=10.2 cm del centro del disco. El disco se desplaza un pequeño ángulo y luego se suelta. Halle el periodo del movimiento armónico simple resultante.
τ=mgdsenθ τ ≈mgdθAplicandola 2daley de Newton
τ=Iα=I d2θd t 2 ≈mgdθ=kθ I pivote=M ( R
2
2+d2)
w=√ kI pivote
=√ Mgd
M ( R2
2+d2)
=√ gd
(R2
2+d2)
=√48.15=6.93 rad /s
T=2πw
=0.906 s
Problema 15.51.- a) Demostrar que cuando m2→∞ en μ=m1m2
m1+m2
μ→m1. b) Demostrar que el
efecto que tiene el que la masa de la pared no sea infinita (m2<∞ ) en las oscilaciones de la masa
m1, en el extremo del resorte unido a la pared, es el de reducir el periodo o aumentar la frecuencia
de la oscilacion respecto al valor obtenido en a), c) Demostrar que cuando m1=m2 el efecto es equivalente a cortar el resorte por la mitad y a que cada masa oscile independientemente en torno al centro de masas en el punto medio.
a)1μ= 1m1
+ 1m2
; sim2→∞∴ 1μ= 1m1
m1→μ
b) T=2π √ m1
k,T μ=2π √ μk μ<m1m2→T >T μ
γ= 1T
∴ γμ>γ
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c) sim1=m2 μ=m1
2
2m1
=12m1
T=2π √ m1
k∴ k=2k
Problema 15.54.- El cuerpo del sistema mostrado en la figura tiene una masa de 1.5 kg y la constante del resorte es k=8.0N /m. Supongase que se desplaza hacia abajo al cuerpo 12 cm y
despues se suelta. Si la fuerza de friccion esta determinada por −bdxdt
, en donde b=0.23 kg/s,
determine el numero de oscilaciones del cuerpo en el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial.
Problema 17.47.- Considere las oscilaciones forzadas de un sistema amortiguado de bloque
resorte. Demuestre que en resonancia a) La amplitud del oscilador es xm=Fm
bw y que b) la rapidez
maxima del bloque oscilante es vmax=Fm
b.
a) x=FmGsen (w' ' t−φ )G=√m2(w' '2−w2)2+b2w ' ' 2φ=cos−1 bw
G
En resonanciaw ' '=wG=√b2w2=bw→ xm=Fm
G=Fm
bw
b) v=dxdt
=Fm
Gw ' ' cos (w' ' t−φ )vmax=
Fm
Gw ' '
En resonancia vmax=Fm
bww=
Fm
b
Capitulo 19Problema 19.2.- Demostrar que y ( x , t )= ym∗sen (kx−wt )
Puede escribirse en estas otras formas:
a)y ( x , t )= ym∗sen ( x−vt )
Usando v=wk
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Obtenemos (x−wtk )=( x−vt )
b)
y ( x , t )= ym∗sen ((2π )( kλ−vt ))
Usandowk=
2πλ
2πT
=Tλ=
1υ
Se comprueba la igualdad.
c)
y ( x , t )= ym∗sen (w ( xv−t))Usando (kx−wt )=w( kxw −t)=w ( x
v−t )
d)y ( x , t )= ym∗sen¿
Usando (kx−wt )=( 2πλx−2 π∗t
T )=2π∗( xλ− tT )
Problema 19.3.- La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda larga está dada por:
y ( x , t )=0.6∗sen (0.02πx+4 πt )
donde x y y están expresadas en centímetros y t es segundos. Calcular
a) La amplitud.
ym = 6 cm.
b) La longitud de onda.
λ=2πk
= 2π0.020π
=100 cm.
c) La frecuencia.
ν= w2π
=4 π2π
=2Hz
d) La rapidez.
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v= lT
=100cm.5 seg
=200cm /seg
e) Sentido de propagación de onda.
A la izquierda
f) La rapidez transversal máxima de una partícula de la cuerda.
vmáx=w∗A=4 π∗6 cm=24 π cm /s
Problema 19.5.- Una onda con frecuencia de 500 Hz tiene una rapidez de 350 m/s.
a) ¿A qué distancia se encuentran las dos posiciones de dos puntos desfasados 60°?
x=60 ° (350
ms)
360 ° (500Hz )=0.116m
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos en cierto punto que se presentan con una separación de 10−3 segundos?
w=360 °∗f
∅=w∗t = (360° * 500Hz*10−3 ¿ = 180°
Problema 19.6.- Escribir la ecuación de onda que se propaga en sentido negativo por el eje x, con amplitud de 0.010 m, frecuencia de 550Hz y v=330 m/s.
K= vw
2π∗f=w
K= 3301100
=0.095492
y ( x , t )= ym∗sen (kx−wt )y ( x , t )=0.10∗sen (0.0954929(x )−1100 pi(t))
Problema 19.9.- La densidad de una cuerda vibrante es de 1.3∗10−4Kg /m. Una onda transversal, se propaga por dicha cuerda y está descrita por la ecuación.
y ( x , t )=0.021∗sen ( x−30t )
Donde (x) y (y) se miden [x]=m/s y [t] en segundos.
¿Cuál es la tensión de la cuerda?
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v=√ Fμ F=v2∗μ
F=(1.3∗10−4 Kg /m.)2∗30m /s
F=0.117N
Problema 19.14.- Una onda se mueve uniformen te en todas direcciones a partir de una fuente puntual.
a) Justificar la siguiente expresión para el desplazamiento y del medio a distanciar de la fuente.
y (k , v )= Ar∗sen (kr−vt )
En un sistema esférico, la ecuación de onda tridimensional está dada por:
1r∂∂r (r2 ∂ y
∂ r )= 1v2
∂2 y∂ t 2
∂ y∂ r
=( Ar )kcos (kr−wt )−( Ar2 )sin (kr−wt )
∂∂r (r2 ∂ y
∂r )=Ak cos (kr−wt )−Ak2 rsin (kr−wt )−Akcos ( kr−wt )
1r∂∂r (r2 ∂ y
∂ r )=−( Ak2
r )sin (kr−wt )
∂2 y∂ t2
=−Arw2 sin (kr−wt )
Al sustituir la igualdad:
1v2 =
k 2
w2
Se comprueba la igualdad en ambos lados de la ecuación.
b) ¿Cuáles son las dimensiones de la constante A?
¿ [longitud ]2
Problema 19.14.- Una cuerda uniforme de masa m y longitud L, cuelga de un techo..
a) Demostrar que el tiempo que transcurre para que la onda transversal en la cuerda es una función de la distancia y, medida desde el extremo inferior y que su valor es v=
√ g∗ y
v=√ Fm=√ μgyμ =√ gy
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b) Demostrar que el tiempo que transcurre para que la onda transversal recorra la
cuerda completa es t=2∗√ Lg∂ y∂ t
=√gy= 1√g∫0
L
y−1
2 =2√ Lgc) ¿Afecta la masa de la cuerda los resultados de a) y b)?
Según lo observado en las demostraciones anteriores, no afecta.
Problema 19.15.- De una fuente de 1 W se emiten ondas esféricas en un medio isótropo no absorbente ¿Cuál es la intensidad de la onda a 1m de la fuente?
I= PA
= 1W
4 π (r2)=0.07957
W
m2
Problema 19.16.- a) Demostrar que la Intensidad I. Es el producto de la energía por unidad de volumen μ y la rapidez de propagación v de una perturbación ondulatoria.
I= PA
=UtA
= UtAdd
=μV
b) Las ondas de radio que viajan a una rapidez de 3∗108m /s (9.8∗108 pies/s)
I= PA
=1.7 x10−8 W
m2
μ= IV
=0.57 x 10−16 J
m3
Problema 19.17.- Una fuente lineal emite una onda cilíndrica de expansión. Suponiendo que el medio no absorba energía, determinar la dependencia con la distancia a la fuente de:
a) La amplitud.b) La intensidad de onda.
Problema 19.20.- Determinar la amplitud del movimiento resultante cuando se combinan dos movimientos sinusoidales que tienen la misma frecuencia y viajan en el mismo sentido. Si sus
amplitudes son de 3 cm y 4 cm, además difieren en fase por π2
radianes.
y= ym ( Asinθ+Bcosθ ) ,θ=kx−wt
y= y1+ y2=Asinθ+Bcosθ=Ccos (θ−α)
c=√A2+B2=5cm
Problema 19.21.- Una fuente S y un detector D de alta frecuencia están separados por una distancia d sobre el suelo. La onda directa desde S está en fase en D con la onda de S que se ha
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reflejado en una capa horizontal Cuando su altura es H(fig). Los rayos incidentes y reflejados forman el mismo ángulo con la capa reflectora. Cuando la capa se eleva a una distancia h no se detecta ninguna señal en D. Despreciar la absorción de la atmósfera y determinar la relación entre d , h ,H y la longitud de onda de tales ondas.
nλ=√d2+4H 2−d
( n+12 ) λ=√d2+4 (H+h)2−d
λ2=√d2+4 (H+h)2−√d2+4 H 2
Problema 19.27.- Una cuerda vibra según la ecuación.
y=0.5∗sen( π3 x )∗cos (40π∗t)
Donde (x) y (y) están en [cm] y t [s].
a) ¿Cuál es la amplitud y velocidad de las ondas componentes cuya superposición da origen a esta vibración?
ym= 0.52
v=wk
=40 π3π
=120m /s
b) La distancia entre nodos.
λ=2π3π
=3cm
c) ¿Cuál es la velocidad de una partícula de la onda que está en posición X= 1.5 cm cuando
t= 98s?
y ´=−0.5(40π )∗sen( π3 (1.5 ))∗sen (40 π ( 98))
y ´=0
Problema 19.32.- En un laboratorio de ondas estacionarias se fija una cuerda de 0.9 m a la rama de una de una diapasón que funciona con electricidad y que vibra perpendicularmente a la longitud de la cuerda con una frecuencia de 60 Hz. La masa de la cuerda es de 0.44 kg ¿Qué tensión debe tener la cuerda?
v=√ Fμ λ=2Ln
=2 (0.9 )
4=0.45m
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M=mlv=γλ=(60 ) (0.45 )=27m /s
F=v2 μ= v2ml→F=35.64N
Problema 19.33.- Las vibraciones de un diapasón de 600 Hz producen ondas estacionarias en una cuerda fija en sus dos extremos. La rapidez de la onda que pasa por la cuerda es de 400 m/s. La onda estacionaria tiene 4 ciclos y su amplitud es de 2.00 mm. a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? b) escribir la ecuación del desplazamiento de la cuerda como una función de la posición y del tiempo.
λ= vγ=400
600=2
3m
λ=2ln→l= λn
2=
4 ( 23 )
2=4
3mk=2π
λ=3 π
w=2 πγ=2 π (600 )=1200 πradseg
y= ymsin ( kx )cos (wt )→y=.002sin (3 πx )cos (1200 πt)
Problema 19.34.- Un alambre de aluminio, cuya longitud l1=60 cm y cuya sección transversal es de
1 x10−2 cm2 esta unido a un alambre de acero de la misma sección transversal. El alambre complejo soporta un cuerpo m cuya masa es de 10 kg, en una disposición como la mostrada en la figura de tal manera que la distancia l2 desde la unión hasta la polea de soporte es de 86.6 cm, en el alambre se generan ondas transversales utilizando un generador externo de frecuencia variable. a) determinar la menor frecuencia de excitación para la cual se observe una onda estacionaria tal que el punto de unión entre los alambres sea un nodo. b) ¿Cuál es el número total de nodos que se observan a esta frecuencia excluyendo los dos extremos del alambre? la densidad del aluminio es 2.66 g/cm3 y la del acero es 7.80 g/cm3.
a) Aluminio→l1=n1 λ
2→n1=
2l1λ
=2l1 γ
v1
Acero→l2=n2 λ
2→n2=
2l2λ
=2l2 γ
v2
n2
n1
=l2l1 √ μ2
μ1
= . 866.60 √ 7800
2600=2.5≈
52∴n2=5 yn1=2
γ=n1 v1
2 l1=n1 √ F
μA2 l1
=323.7Hz
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Para n1=2 λ=2l1n1
=0.6→x= λ2=0.3
Para n1=2 λ=2l2n2
=0.3464→x= λ2=0.1732
Problema 19.37.- Considere una onda estacionaria, que es la suma de dos ondas que siguen n direcciones opuestas, pero que son idénticas en los demás aspectos. Demuestre que la energía cinética máxima de cada ciclo de la onda es 2pi2* μ ym2∗υv .
y=2 ym sin (kx ) cos (wt )∂ y∂ t
=−2 y mwsin (kt ) sin (wt )
δKmá x=12δmVmá x2
δKmá x=12δm 4 ym2w2 sin2(kx )
μ= δmδx
=ml
Integrando sobre un ciclo Kx=0, Kx=π
Kmá x=2 ym2w2 sin2 kxμdx
Kmá x=2 ym2w2 μ∫0
π
sin2 kxdx
2 ym2w2μ12πk= ym2 vπμ= ym2 2πνμπ=2π2μ ym2 vν
Capitulo 20Problema 20.1.- El tono más bajo que puede detectar el oído humano como sonido es de unos 20Hz y el más alto de 20000Hz ¿Cuál es la longitud de onda de cada uno de ellos en el aire?
v=331m/s f = VL
L = Vf
f1=20Hz -> L1 = 16.555m
f2=20000Hz -> L2 = .01655m
Problema 20.3.- Una onda sonora tiene una frecuencia de 440Hz a) ¿Cuál es la longitud de onda de este sonido en el aire? B) en el agua.
Va = 331.1m/S Vw = 1450m/sL = V / fLa = 0 .7522m
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Lw = 3.008m
Problema 20.7.- La rapidez del sonido en un cierto metal es v. Un extremo de una tubería larga de dicho material, cuya longitud es L se golea fuertemente. Una persona que escucha en el otro extremo oye 2 sonidos, uno de la onda que ha viajado por la tubería y otro de la onda que ha viajado por el aire. a) Si v es la rapidez del sonido en el aire, ¿Qué intervalo de tiempo t transcurre entre ambos sonidos? B) supóngase que t=1seg y que el metal es hierro Determinar la longitud L.
v = 331.1m/s V = 5130m/s
v=L/t1 V=L/t2 ∆ t = 1seg
∆ t = t2-t1 = | L/v - L/V | L = 355.23m
Problema 20.9.- Una piedra se deja caer en un pozo y el sonido que hace en el agua al llegar se oye 3seg después ¿Cuál es la profundidad del pozo?
V = x / tt = 3seg v=331.1m/s
x = v * t = 993.3 m
Problema 20.10.- La presión en una onda de sonido viajera está dada por la ecuación P=1.5 sin*pi*(x-330t). Encontrar: a) la amplitud de la presión b) la frecuencia c) la longitud de onda d) la rapidez de onda.
Pm = 1.5 Pa w = 330rad/s k = rad/m V = w/K = 330m/s
f = w/(2*pi) = 52.52Hz L = (2*pi)/k = 6.283m
Problema 20.13.- Una fuente sonora esférica está colocada en P1 cerca de una pared reflectora AB y en el punto P2 se sitúa un micrófono como se muestra en la figura. La frecuencia de la fuente de sonido P1 es variable. Encontrar 2 frecuencias diferentes para las cuales la intensidad del sonido observado P2 sea un máximo. La rapidez del sonido en el aire es v=110ft/s. Supóngase que las trayectorias de las ondas son paralelas.
√(10+80)2+(50)2 - √802+502 = 8.62 ft
L= V/f f=n*V/L=n*(127.61) Hz
n=1 r = 127.61m
n=2 r = 255.225m
Problema 20.19.- La sección de violines de las orquestas sinfónicas están divididas en dos partes colocadas uno a cada lado del director. Consideremos dos violinistas separados por 8m y colocados simétricamente respecto al director a 5m de l. si la potencia emitida por cada violín es de 1x10^-4W ¿Cuáles son a) la intensidad de cada músico por separado según
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lo escucha el director b) la intensidad combinada de ambos cuando tocan simultáneamente (la misma señal según la escucha el director.
I = P / A P = 1x10^-4W A = 4 * pI ^ 2
I = 3.183x10^-7 W/m^2
Problema 20.22.- Si la cuerda de un violín está definida a una cierta nota, ¿Cuánto aumenta la tensión de la cuerda para emitir una nota del doble de frecuencia original?
f1 = n∗V2∗L
= 12∗L
∗√ F 1µ
2f1 = n∗V2∗L
= 12∗L
∗√ F 2µ
F1^(1 / 2) = (1 / 2) * F2^(1 / 2) F2 = 4 * F1
Problema 20.23.- Un tubo abierto de órgano, tiene una frecuencia fundamental de 300Hz. El primero sobre tono de un tubo cerrado de órgano tiene la misma frecuencia que el primer sobre tono del tubo abierto. ¿Cuál es la longitud de cada tubo?
f = 300Hz v=331.1m/s n*300Hz = f1 n=2 f1=600Hz f2=f1
f1 = (n*V1)/(2*L1) f2 = (n*V2)/(4*L2)600Hz = (2*V1)/(2*L1) = (331m/s)/(L1)
600Hz = (2*V2)/(2*L2) = (331m/s)/(2*L2)
L1 = (331m/s)/600Hz L2 = (331m/s)/600Hz
L1 = 0.5516m L2 = 0.2758m
Problema 20.25.- Cierta cuerda de un violín tiene 50 cm de largo entre sus puntos fijos y una masa de 20g Cuando se la pulsa sin fijarla con los dedos, la cuerda suena en la nota “A” (440Hz) ¿Dónde debe colocarse para que suene como una “C” (528Hz)?
f1 = V
2∗L1 f2 =
V2∗L2
2 * f1 * L1 = 2 * f2 * L2
L2 = 41.66cm
Problema 20.28.- Un pequeño altavoz S, manejado por un oscilador y un amplificador cuya frecuencia va de 1000-2000Hz. E es una pieza de un tubo cilíndrica de metal laminado de 18 in de largo. Si la rapidez del sonido en el aire es de 343m/s a temperatura ambiente. ¿A qué frecuencia ocurrirá la resonancia cuando la frecuencia emitida por el altavoz se hace variar?
f = V
2∗L = (343m/s)/(2*18in) = 375.109Hz (frecuencia del armónico)
n=3 f = 1125.32Hz n=4 f = 1500Hz n=5 f = 1875.54Hz
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Problema 20.29.- Un pozo de paredes verticales y con el fondo lleno de agua tiene una resonancia a 7Hz y no lo hace a frecuencias inferiores. El aire en el pozo tiene una densidad de 1.1kg/m3, la presión es de 9.5 x 10^4 Pa y la relación de calor es de 7/5 ¿Cuál es la profundidad del pozo?
V=√T∗Pρo
= 347.48m/s
f=V
4∗L L=V
4∗f = 12.42m
Problema 20.31.- Un tubo de 1cm de longitud está cerrado en uno de sus extremos, un alambre de 0.3m en un extremo de 0.01kg. Se le mantiene fijo y se pone en vibración por resonancia. a) Encontrar la frecuencia. b) Encontrar la tensión
f = n∗V4∗L
= 14∗l
∗√ Fµ f = 82.825Hz
n = 1 L = 0.01m µ=(0.01kg)/ (0.3m)=.033Kg/m
F = µ * (4 * L * f)^2 F = 82.31N
Problema 20.32.- Una cuerda de violín de 31.6cm cuya ρo es de .65g/m se coloca cerca de un altavoz que es alimentado por un oscilador variable de audio frecuencia. Se encuentra que cuando la f se hace variar de 500-1500Hz, la cuerda se pone en oscilación solamente a las frecuencias de 880Hz y 1320Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
n = 2 f=880Hz
n=3 f=1320Hz
V = (f*2*L)/n = 278.08m/s
F=µ∗¿ V^2 = 50263.5 gm/s^2
Problema 20.35.- Un Proyectil se dispara con una rapidez de 2200ft/s Determinar el ángulo formado por las ondas de choque con la dirección del movimiento del proyectil.
θ = sen-1(v/vs) = sen-1(1085.95ft/s/2200ft/s)
θ = 29.5°
Problema 20.37.- La Rapidez de la luz en el agua es de unos tres cuartos de la rapidez del vacío. Un haz de electrones de alta velocidad provenientes de un betatrón emite radiación cerenkov en el agua, siendo el frente de onda un cono de ángulo 120°. Determinar la rapidez de los electrones en el agua.
2*θ = 120° V = (3 / 4)Vluz
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Sen θ = V / Vs
Vs = 0.2598x10^9m/s
Problema 20.39.- Un silbato de una frecuencia de 540Hz gira en un circulo de 2 pies de radio, con una velocidad angular de 1.5 rad/s ¿Cuáles son la menor y la mayor frecuencias oídas por una persona que está en reposo y a gran distancia?
Vf=3ft/s
f1’ = f ( v / (v+vf)) f2 ’ = f ( v / (v-vf))
f1 ’=540Hz (331m/s /(331m/s+3m/s)) f2 ’=540Hz (331m/s /(331m/s-3m/s))
f1’ = 541.49Hz f2’ = 538.51Hz
Problema 20.40.- ¿Se podrá acercar a un alto de semáforo lo suficiente rápido como para que pareciese un siga. ¿De ser así lo multarían por exceso de velocidad? Recuerde:
Lr = 620nm Vr = 4.8387x10^14Hz
Lv = 540nm Vv = 5.555x10^14Hz
c = 3x108 m/s Vo = c(Vv / Vr – 1) = 44.1x10^6m/s
Problema 20.41.- Un murciélago está dentro de una cueva orientándose muy efectivamente con sus pulsos ultrasónicos (emisiones cortas que duran milisegundos o menos y se repiten varias veces en un segundo) Tiene una frecuencia de 39000Hz Durante el primer descenso se mueve a 1/40 de la rapidez del sonido en el aire ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado?
f = 39000Hz V = 343m/s Vs = 8.575m/sf’ = f * (V / (V +Vs)) = 40,000Hz
f’’ = f’ * (V / (V +Vs)) = 41,000Hz
Problema 20.45.- Las medidas de rastreo con radar son relativamente exactas, comparadas con las situaciones en reposo. A) considérese a una unidad de radar en reposo y demuestre que la diferencia de frecuencias entre la frecuencia reflejada por un automóvil que se mueve con una rapidez V y la frecuencia d transmisión está determinada aproximadamente por df/v = 2V/c B) ahora considérese a una unidad de radar que está en el vehículo de rastreo que se mueve con una rapidez V y demuestre que dv/V=2(v-V)/c C) considérese el caso en el que el rastreador(policía) se mueve con la misma rapidez que el automóvil ¿Cuál sería el corrimiento Doppler observado en este caso?
C -> velocidad de la luz
a) df’ = f – f’’f’ = f * ((C – Vc) / C) f’’ = f’ * (C / (C – Vc))df’ / f = (1 – ((C – Vc) / (C + Vc)) =2 * f / C
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b) f’ = f * ((C + V) / (C - V))f’’ = f’ * ((C + V) / (C - V))df’ / f = (1 – ((C - Vc) / (C + Vc))* ((C – Vc) / (C + Vc)) df’ / f = 2*C*(C – V)/((C – V)*(C – V))df’ / f = 2*C*(C – V)/C^2
NO EXISTE EFECTO DOPPLER
Problema 20.47.- Un niño esta asomado a la ventanilla de un tren que se mueve con una velocidad de 10m/s hacia el este. El tío de la niña esta junto a los rieles y observa al tren que se mueve alejándose. El silbato de la locomotora viva a 500Hz. El aire está tranquilo. A) ¿Qué frecuencia escucha el tío? B) ¿Qué frecuencia escucha la niña? Si empezara a soplar un viento del oeste a 10m/s C) ¿Qué frecuencia escucharía ahora el tío? D) ¿Qué frecuencia escucharía ahora la niña?
V = 331.1m/s f = 500Hz vs=10m/s
a) f’ = f * (V / (V +Vs)) = 485.35Hzb) f’ = 500Hzc) f’ = f * (V / (V +Vs+10m/s)) = 471.53Hzd) f’ = 500Hz
