PROBLEMAS COM EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Quando vamos resolver um problema, devemos:

Ler com atenção o problema e levantar dados.

Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações,

usando letras e símbolos.

Resolver a equação estabelecida.

Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.

Resolva os problemas:

1. A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tem 60 anos.

2. O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?

3. O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número, mas 55. Qual é esse número?

4. O dobro de um número diminuído de quatro é igual a esse número aumentado de um. Qual é esse número?

5. Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a cinco vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?

6. Um número mais a sua metade é igual a 15. Qual é esse número?

7. A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?

8. O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?

9. O dobro de um número, menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número?

10. A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35. Qual é esse número?

11. Subtraindo cinco da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número?

12. A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa?

13. Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

14. A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é três quintos da idade de Mário. Qual a idade de Mário?

15. A diferença entre um número e os seus dois quintos é igual a 36. Qual é esse número?

16. A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números?

17. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta com a alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário?

18. Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na primeira prestação ele pagou a metade do valor da camisa, na segunda prestação, a terça parte e na última, R$ 2,00. Quanto ele pagou pela camisa?

19. A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número?

20. A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números?

21. Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeças e 58 pés. Determine o número de coelhos e galinhas.

22. Eu tenho 30 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor total das cédulas é de R$ 250,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas cédulas de R$ 10,00 eu tenho?

23. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

24. Marta comprou, para seus filhos, 9 calças com preços diferentes e gastou R$ 585,00. A calça mais cara custa o dobro da mais barata. Sabendo que ela comprou 4 calças das mais caras, qual o preço da calça mais cara e da mais barata?

25. O preço de três canetas e de duas lapiseiras é R$ 20,00. A lapiseira custa R$ 2,50 a mais que a caneta. Qual o preço de cada caneta e de cada lapiseira?

26. Carlos comprou um carro e pagou uma entrada e mais duas prestações. Carlos deu de entrada um quinto do preço total. Na primeira prestação, ele deu um terço do preço total e mais R$ 4.000,00 e na segunda pagou R$ 10.140,00. Qual o preço total do carro?

27. Uma loja comprou camisetas azuis, pretas e brancas. Ao todo, ela comprou 360 camisetas. O número de camisetas pretas é o dobro das azuis e o número de brancas é o triplo das pretas. Quantas camisas de cada cor foram compradas?

28. A soma de três números é igual a 18. O segundo número é igual à terça parte do primeiro e o terceiro é a diferença entre o primeiro e o segundo. Quais são os três números?

29. A metade de um número natural somada ao triplo do antecessor desse número resulta em 67. Qual é esse número?

30. Numa caixa, o número de moedas de 1 real é o triplo do número de moedas de 25 centavos. Se tirarmos 2 moedas de 25 centavos e 26 moedas de 1 real, o número de moedas de 1 real e de 25 centavos ficará igual. Qual a quantidade de moedas de 1 real e de 25 centavos?

Equações do 2º grau no CAp UFRJ: Resolvendo problemas

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25/11/2009

Autor e Coautor(es)

Autor Rita Maria Cardoso Meirelles

RIO DE JANEIRO - RJ COL DE APLIC DA UNIV FED DO RIO DE JANEIRO

Coautor(es)

Fernando Celso Villar Marinho, Priscila Marques Dias Corrêa

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de EnsinoComponente Curricular

Tema

Ensino Fundamental Final Matemática ÁlgebraEducação de Jovens e Adultos - 2º ciclo

MatemáticaProporcionalidade e Equivalência

Ensino Fundamental Final Matemática Equações

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

Desenvolver a capacidade de ler, interpretar, escolher estratégias e analisar a solução de uma situação-problema.Resolver problemas utilizando equações do 2º grau.

Duração das atividades

4 aulas de 50 minutos cada.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Resolução de equações do 1º e do 2º graus

Estratégias e recursos da aula

O enfoque dessa aula é desenvolver no aluno a capacidade de ler, interpretar, escolher estratégias e analisar a solução de uma situação-problema.

Ao abordar cada situação-problema, sempre dê atenção e faça comentários para qualquer solução diferente dada pelos alunos. O importante é que foi feita a leitura, a interpretração, a análise e a escolha de uma estratégia correta para resolução do problema em questão.

Problema 1. Determine três números inteiros positivos e consecutivos tais que o quadrado do menor seja igual a diferença dos outros dois.

Comentários: Acreditamos que nesse tipo de problema, os alunos têm dificuldade em interpretar corretamente, visto que é muito comum a montagem da equação errada: x2 = (x + 1) – (x + 2). O quadrado de um número não pode ser negativo, portanto, neste caso, devemos fazer (x + 2) – (x + 1) e não o contrário.Devemos, então, enfatizar, que a leitura atenta do enunciado é fundamental para uma correta interpretação!

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema e usando a linguagem algébrica:x, representa o menor númerox + 1, representa o consecutivo de xx + 2, representa o consecutivo de x + 1

Obs: Poderíamos também representá-los por x, x – 1 e x – 2. Nesse caso, x representa o maior dos três números.

Como estratégia de resolução, procedemos a montagem da equação de acordo com o enunciado do problema:x2 = (x + 2) – (x + 1)Desenvolvendo, temos:x2 = x + 2 – x – 1x2 = 1Lembrando que:

Temos:

Logo, x = 1 ou x = –1

Analisando a condição do problema, “três números inteiros positivos e consecutivos”, a única solução que satisfaz é x = 1.

Resposta: Os números são 1, 2 e 3.

Problema 2. Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho?

Comentários:

Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido — Há quantos anos... — é importante comentar na turma, que o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo! O mesmo vale para situações que se remetem a tempo futuro: “Daqui a quanto tempo...”. O sinal de mais (+) significa avançar no tempo.

Uma proposta de solução:

De acordo com o enunciado, podemos fazer uma representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos.idade do pai há x anos: 45 – xidade do filho há x anos: 15 – x

Equalizando as informações: 45 – x = (15 – x)2

Desenvolvendo a equação, obtemos:45 – x = 225 – 30x + x2Utilizando o princípio de equivalência, temos:x2 – 29x + 180 = 0Resolvendo a equação utilizando as relações entre coeficientes e raízes:S = 29P = 180Devemos pensar em dois números positivos (soma e produto positivos).Os números são: 9 e 20.

Analisando os resultados encontrados, o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.

Resposta: Há 9 anos.

Problema 3. Um terreno retangular mede 26 m de comprimento e 16 m de largura. Aos fundos do terreno e em uma de suas laterais — como mostra a fig ura a seguir — serão a crescentadas duas faixas de mesma largura. Com essa e xpansão do terreno, a nova área medirá 816 m2. Qual será a largura dessas faixas?

Comentários:

Inúmeras vezes nos deparamos com o questionamento do aluno: “Professor, pra que serve isso?” Essa pergunta, nesse contexto, pode ser respondida com a abordagem de problemas que relacionam a álgebra com a geometria. Os alunos, além de rever conceitos geométricos, podem perceber a relação dos símbolos matemáticos com situações do cotidiano.

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema: Com a colocação das faixas, o novo terreno, também retangular, tem dimensões (x + 26) e (x + 16).Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões e que a nova área é de 816 m2, podemos, então, escrever:(x + 26)(x + 16) = 816Desenvolvendo a equação, obtemos:x2 + 42x +416 = 816Utilizando o princípio de equivalência, temos:x2 + 42x + 416 – 816 = 0x2 + 42x – 400 = 0Usando o completamento do trinômio e o princípio de equivalência: x2 + 42x + 441– 400 = 441Fatorando o trinômio quadrado perfeito e, novamente, utilizando o princípio de equivalência, temos:(x + 21)2 = 441 + 400

Logo, x = 8 ou x = –40

Analisando os resultados encontrados, o valor –40 não pode ser usado no problema, pois não existem medidas negativas para representar a grandeza “largura”.

Resposta: A faixa terá 8 m de largura.

Problema 4. Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro e área medem, respectivamente, 50 cm e 150 cm2?

Comentários:

É usual que muitos professores abordem esse tipo de problema quando ministram aulas sobre sistemas de equações do 2º grau. Achamos importante que, ao fazer a interpretação do problema, os alunos percebam que com o uso de apenas uma variável é possível solucioná-lo!

Uma proposta de solução:

Se o perímetro é igual a 50, então o semiperímetro (soma das medidas das dimensões do retângulo) é igual a 25. Representação algébrica das dimensões do retângulo:

largura: x comprimento: 25 – x.

Visualizando o retângulo (opcional).

Utilizando o outro dado do problema (área igual a 150), e lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, podemos afirmar que:x(25 – x) = 150Resolvendo, vem que:25x – x2 = 150 (distributividade)– x2 + 25x – 150 = 0 (princípio de equivalência)x2 – 25x + 150 = 0 (princípio de equivalência: multiplicação por –1)Utilizando a fórmula de resolução de equações de 2º grau:

Concluindo que: x = 15 ou x = 10Analisando as raízes obtidas, podemos concluir que as dimensões do retângulo são 10 e 15 cm.

Resposta: O retângulo tem 10 cm de comprimento e 15 cm de largura.

Problema 5. A figura abaixo é composta por um quadrado com um triângulo em seu interior. A área cinza corresponde a 112 unidades de área. Nessas condições, determine o valor de x.

Comentários:

Além da relação entre a álgebra e a geometria enfocada no problema, este requer a visualização e o entendimento de que a á rea cinza pode ser obtida, mais facilmente, por uma diferença de áreas. Situações como essas devem s er abordadas, de modo a contribuir no desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno!

Uma proposta de solução:

Analisando a figura, vemos que a área cinza corresponde a área do quadrado menos a área do triângulo.

Lembre-os que:Área do quadrado (lado l): l2

Área do triângulo (base b, altura h):

Com os dados das medidas indicadas na figura, o aluno deve representar as áreas algebricamente.área do quadrado: (x + 4)2

área do triângulo:

A estratégia utilizada aqui é a da resolução da equação:

2x2 + 16x + 32 – x2 = 224 (princípio de equivalência)x2 + 16x – 192 = 0 (princípio de equivalência e soma algébrica)

Resolvendo por soma e produto das raízes:S = –16P = –192Devemos pensar em dois números de sinais contrários (produto negativo), sendo o de maior valor absoluto, negativo (soma negativa).Os números são: 8 e –24Analisando as raízes da equação, verificamos que a raiz válida é 8.

Resposta: O valor de x é 8.

Problema 6. Um grupo de amigos comprou um camarote no valor de R$1 440,00 para assistir um show. Devido a um contratempo, três dos amigos não puderam ir e o restante resolveu ratear o “prejuízo”, pagando, cada um, R$ 40,00 a mais. Quantas pessoas foram assistir o show?

Comentários:

Esse tipo de problema, que também pode ser resolvido por meio de um sistema de equações do 2º grau, requer uma análise mais detalhada e, provavelmente, os alunos terão dificuldade para interpretá-lo. Por este motivo, sugerimos que sejam dados exemplos numéricos a cada etapa da resolução, conforme exemplificado adiante, para facilitar o entendimento.

Além disto, sabemos que, em geral, os alunos não costumam reler o que está sendo perguntado e a tendência natural é dar como resposta o valor encontrado na resolução da equação. Alerte-os para verificar se a resposta dada corresponde ao que foi perguntado!

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema:

Se o valor do camarote é R$ 1 440,00 e havia n amigos, cada um deles pagou o correspondente a 1 440/n.

Clareando as ideias:

Por exemplo, se fossem 10 amigos, cada um pagaria R$ 144,00 (1 440/10).

Com a desistência de três deles, cada um dos n – 3 amigos, pagaram o correspondente a 1 440/n + 40 (R$ 40,00 a mais, conforme enunciado do problema).

Clareando as ideias:

Novamente, se fossem 10 amigos, 7 (10 – 3) pagariam R$ 144,00 + R$ 40,00.

Como o total pago é igual ao número de pessoas multiplicado pelo preço pago por pessoa, concluímos então que:

Logo, n = 12 ou n = –9No contexto apresentado, a raiz –9 não é válida.

Se eram 12 pessoas inicialmente e três não foram, então nove pessoas assistiram o show.

Resposta: Nove pessoas.

Para obter uma lista de exercícios complementares, clique em

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercProblemasGrau2.pdf

Recursos Complementares

Link a lista de exercícios.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercProblemasGrau2.pdf