Problemas de aplicación de derivadas (Razón de cambio y Máximos y Mínimos)

632 Eduardo Espinoza Ramos

Determinar la constante a de modo que la función (2 a(x) =x +- tenga un. x

mínimo en x = 3. Rpta. a = 16

(2) Determinar las constantes a y b de manera que la función f(x) = x3 + ax' + bx + e tenga

un mínimo relativo en x = 4 Y un punto de inflexión en x = 1. Rpta. a = -3 Y b = -24

Determinar la constante a de modo que la función f(x) =x2 +~ tenga un punto dex

inflexión en x = 1. Rpta. a =-1

® Sea (x) =x4 +ax3 +bx2 +2x-2

a) ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que en x = 1 exista punto de inflexión?

Rpta. 3a + b = -6

b) ¿Existen a y b de modo que en x = 1 exista punto de inflexión con tangente

horizontal en este punto? Rpta. a = -3, b = O

@ Si f(x) =9 x la I X ·-llb, donde a y b son números racionales positivos, demuestre que f

tiene un valor máximo relativo igual a la expresión: aa bb b(a + b)a+

IV. PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS y MINIMOS

o Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 pulgadas.

Rpta. A =9$u 2

o Se debe construir una lata cilíndrica (con tapa) de manera que se gaste el menor materialposible. Cuál debe ser la relación entre la altura y el radio de la base para que esto ocurra?

Rpta. h = 2r

o Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(3, 4) Yforma con el primer cuadrante untriángulo de área mínima. Rpta. 4x + 3y - 24 = O

•

. . \

Aplicaciones de la Derivada 633

o Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x los otros dos están respectivamentesobre las rectas y = x, 4y + 5x = 20. Hallar el valor de Y para que el área del rectángulo

10sea máximo. Rpta. -

9

o Una hoja de papel tiene Acm2 de material impreso, con márgenes superior e inferior de

4cm. y márgenes laterales de 2cm. Determinar cuales deben ser las dimensiones de la

hoja para que se use la menor cantidad de papel. Rpta. 8 + .fiA Base y 8 +.fiA altura.2

@ Si los lados de un rectángulo son a y b, demostrar que el rectángulo más grande 'que

puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices del rectángulo dada es

bun cuadrado de lado a + .fi'

G) Determinar la superficie lateral del cilindro recto que puede ser inscrito en un cono

abncircular recto dado. Rpta. A = --

2

® Un alambre de longitud L es cortado en dos partes, con una parte se forma un cuadrado ycon la otra una circunferencia. De que modo debe ser cortado para que la suma de las

TrLáreas sea máxima'? Rpta. x =-- lado del cuadrado.

Tr+4

(2) Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de

30 mts. Hallar el jardín de mayor superficie. Rpta. 56.25mts 2

@ Se tiene una hoja rectangular de papel. de lados 8 y 15, se desea hacer con ella una caja

sin tapa. cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante.Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, afin de que el volumen sea

el mayor posible.5

Rpta. -3

4Un punto móvil P describe la curva y = - , x > O. Determinar la distancia mínima

x

de P al origen. Rpta. 2.fi


@ Se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. Cuál debe

ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible. Rpta.20.J3--cm.

3

@ Si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice del paralelogramo está sobre los

lados del triángulo dado. Probar que el área del mayor paralelogramo que se puede

inscribir del modo descrito. es igual a la mitad del área del triángulo (se conoce la base y

la altura del triángulo).

Se quiere construir un jardín en forma de sector circular con un perímetro de 30 mts.

Hallar el jardín de mayor superficie. Rpta. A = 56.25mts2

Hallar un punto sobre la parábola y = 4 - x2 • tal que la recta tangente en el segundo

cuadrante, determine un triángulo de área mínima (con los ejes coordenados).

Rpta. 32.J39

Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área y con los lados paralelos a los ejescoordenados que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas

3y=12-x2,6y==x2-l2. Rpta. Base 4, altura 4.

Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de lados

8. 10, 12. tal que un lado del rectángulo está contenido en el lado del triángulo de lado

12 R L dimensi 5.fi 6. pta. as lffienSlones son -- y .4

@ Debe construirse una lámina triangular isósceles y de 60cm. de perímetro de manera tal

que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido devolumen máximo. Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular?

dimensi 45 1Rpta. Las imensiones son - y 52

Hallar la base y la altura de un triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la elipse1 1x: + y: = 1 . y cuya base sea paralela al eje X. Rpta. Altura Jb, base 2.J3 a.

a- b:

••


@ Dados los puntos A( 1,4) y B(3,0) en la elipse 2x 2 + Y 2 = 18, Hallar un tercer vértice C

tal que el área del triángulo ABC sea máxima. Rpta. (-...[6,-./6)

® Un cuadrado de altura 1.4 mts. Cuelga de la pared de modo que su borde inferior estál.R mts. por encima del radio de la vista de un observador. A qué distancia de la pared

debe colocarse el observador para que su posición sea la más ventajosa para contemplar elcuadro? (Angulo visual: el mayor posible). Rpta. 2.4 mts.

@ Hallar el área del mayor rectángulo que tiene su base inferior en el eje X y con los

vértices en la curva y=12-x2 Rpta. A=32u2

@ Si un punto de una elipse inscrito en un semi circulo está sobre el diámetro y tiene otros

dos puntos sobre la semicircunferencia en posición simétrica. Demostrar que su área será

.. . 1 2" r2

d d 1 adi d . 1un maximo igua a --¡;:- on e r es e r 10 el CITCU o.3'\13 .

@ Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones una para formar un cuadrado y la

otra para formar un triángulo equilátero. Cómo debería cortarse el alambre

a) Para que la suma de las dos áreas sea máxima.

'b) Para que la suma de las dos áreas sea mínima .

Rpta. a).J3L 3L

Lado del cuadrado = if3 y Lado del triángulo = A t;9+ 3 9+~3

b) Todo el cuadrado (área total máx.) = L2

16

@ Dado un sector circular de radio r; si el perímetro P mide 100 pies. ¿Qué valor del radio rproducirá un área máxima? Rpta. r = 25

@ Hallar la base superior de un trapecio isósceles de base 12m. y lados 5m. si su área es

máxima. Rpta. 6+.J86


€V Hallar los puntos sobre la curva 5x2-6xy+5y2 =4 que están:

a) más cercanas al origen. b) más alejadas del origen.

Rpta. a) b) (1,1) y(-I, 1)

@ Un fabricante de cajas va ha producir cajas cerradas de volumen específico. cuya base es

un rectángulo con longitud igual al triple del ancho. Encontrar las dimensiones máseconómicas. Rpta. La profundidad será la mitad de la longitud de la base.

@ La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado de su

profundidad. Encontrar las dimensiones de la viga más resistente que pueda ser cortada de

un tronco. en forma de un cilindro recto circular de radio a.

Rpta. ancho ~ a, profundidad 2~ a

@ Un cono recto circular va a ser circunscrito en una esfera de radio conocido. Encontrar la

razón de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo. Rpta. 2.fi

@ Demostrar que el triángulo isósceles de área máxima que puede inscribirse en unacircunferencia es una triángulo equilátero.

® Un cono es cortado por un plano paralelo a su base. A qué distancia debe ser echo elcorte. para que el cono recto de base en la sección determinada y de vértice en el centro

del cono dado. tenga volumen máximo?1

Rpta. - de la altura del cono.3

@ Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener

una área de 1O,800m2• Si el vecino paga la mitad de la cerca mediana. ¿Cuáles deben ser

las dimensiones de la huerta para que el costo al cercarla sea para el dueño de la huertasea mínimo?

? ?x- y-En la elipse -? + ~ = 1 se inscribe un triángulo isósceles cuyo vértice es el punto

a- b '

(O. b), Hallar la ecuación de la base correspondiente al triángulo de área máxima.

Rpta. 2y+ b = O


@ Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio R. Demostrar que el

triángulo de perímetro mínimo tiene por altura 3R.

@ Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular.Si para cercarlo posee un alambre de 200m. de longitud. Calcular el radio que debe tener

el sector para que el campo sea la más grande posible. Rpta. r = 50 m.

@ Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demostrar que entre todos los

cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de área mínimo tiene lados de longitud

L.fi'

@ Entre todos los cilindros circulares sector de área lateral dado "a". Demostrar quela menor esfera circunscrita tiene el radio R igual al radio r del cilindro multiplicado por

.fi.

@ Tres ciudades están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. Las ciudades B y C

que distan entre sí 16 millas están situadas en la base, en tanto que A es el tercer vértice ya una distancia de ] O millas de la base. ¿A que distancia de A sobre la altura del triángulo,

se debe ubicar una instalación de bombeo de manera que se emplee la menor longitud de

cañerías para abastecer de agua a las tres ciudades? Rpta. (10-!.J3) millas de A3

® Un recipiente abierto está formado por un cilindro terminado por su parte ínferior en una

semiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho

recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste la menor cantidad de material?

Rpta, La altura de la parte cilíndrica de ser igual a cero, es decir el recipiente debetener forma semi-esférica.

@ Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y2 = 2px

cortado por el área x = 2a. Rpta. Los vértices deben estar en (2a , ± 2 raP)3 ~3

@ Hallar el área mínima del triángulo isósceles circunscrito a la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2b2

cuyo lado desigual es paralelo al eje x. Rpta. ab 3.J3

638 Eduardo Esplnoza Ramos

@ Si los lados de un rectángulo son a y b. Demostrar que el rectángulo más grande

que puede construirse de manera que sus lados pasan por los vértices del

rectángulo dado es un cuadrado de G.f¡b de lado.

@ Dado el volumen de un cilindro circular recto, hallar su altura y radio si la suma de las

áreas de una de sus bases y de su superficie lateral es mínima. Rpta. b(altura)=r(radio)

@ De una lámina circular de radio "a" se quiere recortar

otra como la figura para hacer un cono circular recto.

Si el cono debe tener Volumen máximo: Determinar el

ángulo 8. Rpta.2'¡¡;¡

e = .J3 radianes

Un hombre puede remar a 2mk1 hora y caminar 4km/hora. Si está a 3 km. De la playa y

quiere llegar al punto Q que está a 4km. de P. Dónde tiene que desembarcar para que el

tiempo sea mínimo? Rpta . .J3km. de P.

@ Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en elrectángulo cuyas dimensiones son 10 y 15 cm, (los catetos). Dos lados del rectánguloestán sobre los catetos del triángulo. Rpta. Las dimensiones son: 2.5 cm y 5 cm.

Un jardín rectangular de 400 m 2 está rodeado por un camino de 2m. de ancho. ¿Que

dimensiones debe tener el jardín para que el área total del jardín y el área del camino seamínima.? Rpta. 20 x 20 (m).

x2 y2Se traza la tangente en un punto de la elipse -- +- = 1 de forma que el segmento de

25 16

ella interceptado por los ejes coordenados sea mínimo. Demostrar que la longitud dedicho segmento es 9 unidades.

@ Una persona está en un bote a 3 millas del punto más cercano a la playa y desea alcanzar

en el menor tiempo posible una caseta de la playa, situada a una distancia de 5 millas enla perpendicular a la recta que una la posición del bote yel punto de la playa, suponiendo

que puede caminar a razón de 5 millas por hora y remar a la velocidad de 4 millas por

hora. Determinar el lugar donde debe descender a tierra. Rpta. A una milla de la caseta.


Sea y una función de x y si x¡, x 2 son dos valores de x; donde y¡, Y2 son los

correspondientes valores de y, entonces el cociente de las diferencias Y2 - Y¡ leX2 -Xl

llamaremos razón de cambio de y con respecto a x en el intervalotx..xj}. La razón de

cambio promedio indica que y cambia en una cantidad Y2 - Y¡ cuando x cambia de x¡ a

Si la razón de cambio no es constante a casi constante no es de tanto interés salvo comomedio de comparación , pero si la razón de cambio promedio es la misma para todos los

valores del intervalo (x¡; x 2) , diremos que y está cambiando con respecto a x en una

razón constante.

El valor del cociente Y2 - Y¡ se llama razón de cambio de y con respecto a x. PorX2 -Xl

ejemplo. suponiendo que se está bombeando aceite. a razón constante en un tanque que

contiene 10 litros a las 10.2' a.m. y 50 litros a las IO.l2'a.m. se observa que el contenido

está aumentando a 40 litros en 10', o sea 4 litros por minuto, por 10 tanto en los 5' serán

añadidos 5x4 = 20 litros más, en los siguientes 1()' 40 más y así sucesivamente.

Este ejemplo expresaremos de un modo más formal: V = volumen de aceite en el

tanque (función del tiempo) que se mide a partir de las 10 a.m. los valores de t son t¡ = 2

Y 12 = 12 Y los correspondientes valores de V son V¡ = 10 Y V2 = 50 entonces por

definición de razón de cambio promedio de V con respecto al tiempo en el intervalo

v, -v 50-10(2. 12) es: _-_1. =-- = 4 litros por minuto.

12 =t, 12-2

Puesto que la razón de cambio es constante.

. . \


TEOREMA.- Si Yes una función lineal de x, la razón de cambio de y con respecto a x

es constante y viceversa.

Demostración

Como y es una función lineal de x entonces y = rnx + b siendo m y b constante, sean

x¡ ,x2 dos valores cualquiera de x; y sea y¡ 'Y2 los correspondientes valores de y,

entonces

Lo cual demuestra que la razón de cambio de y con respecto a x es constante

recíprocamente, si m es la razón de cambio de y con respecto a x donde x¡ ,y¡ son

valores fijos correspondientes a x, y; y sean x, y; otro par de valores entonces por

definición se tiene:

y- y¡ (--=m ~ y-y¡ =mx-Xl)X-Xl

que es W1aecuación de primer grado y por lo tanto yes una función lineal.

Para el caso del ejemplo anterior t = 2, v = 10y

V-IO=4(t-2) ~ V=4t+2

2

o x


DEFINICIÓN.- Si yes función de x, la razón de cambio promedio de y con respecto a

. Óyx en el intervalo (Xl .x¡ + ÓX), es el valor de- para x = Xl

ÓX

DEFINICIÓN.- Si y es función de x, la razón de cambio instantáneo de y con respecto

a x, cuando X = Xl es el límite (si existe) de la razón de cambio

promedio en el intervalo (xl ,Xl + Ax) cuando óx se aproxima a cero.

Expresado en otra forma se tiene: Si y = [(x), la función de cambio instantáneo de y con

dyrespecto a x, para x = a. es el valor de - para x = a. es decir:

dx

. Óv dvRazón instantánea = lim -' =-'-

.1x~O óx dx

Ejemplo.- A medio día un barco que navega hacia el norte está a 60 km. Al sur de otrobarco que navega hacia el este. Si el primer barco navega a razón de 15

krn/hora y el segundo barco a razón de 10kmlh. Encontrar la velocidad conque estaría cambiando la distancia entre ellos.

a) a las 14 horas b) a las 15 horas.Solución

814-----i'-+-------;O

Sean A Y B las posiciones iniciales de los barcos y

e y o las posiciones de t horas, entonces BD = 10t

y eB = 60 - 15t, sea z la distancia entre ellosz

z = ~3600 -1 ROO/+ 325/2 151

Para encontrar la razón a la cual está

cambiando z se halla la derivada: A

. . \


dy 325t -900= ---r=======

dt .J3600-1800t+325t2

d: -250alas 14 horas t=2, -=--=-6.9

dt AAquiere decir que los barcos se están aproximando uno a otro a razón de 6.9Km/h. cuando

t= 3. d= =.J5 = 2.5 quiere decir que los barcos se estarán separando a razón de 2.5Km/h.dt

DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo

largo de una recta, la velocidad del objeto en el instante t está dado por:

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!IIIIIIIIIIIII:DEFINICIÓN.- Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto que se mueve a lo

largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t está dado

por:

Frecuentemente se conoce la razón de cambio de una variable con respecto al tiempo, y sedesea encontrar la razón de cambio con respecto al tiempo de W1a segunda variable que

está relacionada con la primera. dichos problemas se resuelven fácilmente, derivando

implícitamente, con respecto al tiempo, la ecuación que liga las variables, y sustituyen de

los valores dados de las mismas.

ii~~:,,:'¡::::','lllí'II!I:líml'::¡:¡':::',¡,::'¡j:¡'::lllilil'II':¡:"':"::,'::,::::"::iiB,"ij":,i,::::''j':::¡::1I111111:::::::}:::':'::':::::::'::::]lRQBºJPM3)$:::D~JMIB.JID.l]EI,:::BJ.!i.m.gJ,gl.:~"~H::::::::::::::::r:::::::::::::::::::::m:?::::c::::::::::::

Q) Asignar símbolos a todas las cantidades, tanto a las conocidas como a las incógnitas.Hacer un dibujo cuando resulta factible.

o Establecer la ecuación que liga las variables tanto conocidas como las que se van acalcular.


o Derivar implícitamente por la regla de la cadena ambos miembros de la ecuaciónrespecto al tiempo t.

Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y de sus

razones de cambio, despejando entonces la razón de cambio pedida.

o Un globo está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 5m 2 / mino

¿A qué rapidez aumenta el diámetro cuando éste tiene 12m?

Solución

Datos del problema: v = Volumen del globo esférico = 4n r3

D = 2r = 12 =:> r = 6

como V = 4n r3

=:> dV = 4n r2 dr3 di di

ahora reemplazando sus valores se tiene: 2 dr dr .5=4n(6) -=:> -=O.Ollm/mm.di di

:. dD = 2(O.Oll)m/ mino = O.022m / minodi

o Un hombre de 1.8m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.5rn1seg. Si hay una

lámpara sobre el suelo a 15m. del edificio. ¡.Con qué rapidez se acorta la sombra del

hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9m. del mismo?

Solución

644 Eduardo Esplnoza Ramos

dy- ='1cuando x = 9m.dt

dxDatos del problema: - = l.5m / segdt

z = 15 mts. y h = 1.8 mts.

Ahora por semejanza de triángulos.

x h ~ xy = =11 = 15(1.8)m2 entonces xy =: 27m2• derivando implícitamente= y

x d.v + y dx = O reemplazando tenemos x dy + 27 dx = O ~ 9 dy + 27 (1.5) = Odx dt dt x dt dt 9

dyla sombra se acorta con una rapidez de - = 0.5 m / seg.dI

o Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150m. sabiendo que la cometa se aleja delmuchacho a una velocidad de 20mlseg. Hallar, la velocidad a la que suelta el hilo cuandola cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del muchacho.

Solucióne

dx dz-=20m/seg. y -='1dt dt

z 150 = h

Datos del problema: H = 150m. Z = 250m.

En el l\ABC, por pitágoras A~------B14---- X---

Se tiene: z =~x 2 + 22500 derivando implícitamente con respecto a 1.


d=dI

dxx-dI :::::> reemplazando valores se tiene

~X2 +22500

d=dI

para z = 250 :::::> x = -J62500 - 22500 = 200

d: = 200 (20) = 4000 = 4000 = 16dt -J40000 + 22500 -J62500 250

dz:.- = 16m/seg.

dI

CY Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante de 3m3 / seg .El radio

del cono es de 5m. y su altura de 4m. encontrar:

a) La velocidad con que asciende la superficie libre de agua.

b) La razón de cambio (O variaciones) respecto al tiempo de la velocidad de subida

cuando la profundidad del agua es de 2m. (considere el vértice del cono haciaabajo).

Solución

dVDatos del problema: - =3m 3 / seg,

dI

'V t = (está aumentando).; H = 4 r = 5

,. 5 511 251r 3- = - :::::> ,. = - entonces V =-- hh 4 4 ~

a)1r,.2 h

El volumen del cono: V =--3

por semejanza del triángulo .1ABC == .1ADE

Aderivando implícitamente con respecto a t.

\ .


dh 12- = -- ni / seg. cuando h = 2.dt 257r

b)d dh d2h

Ahora calcularemos - (-) = -,- . cuando h = 2mdt dt dt '

dV 75 J dh 3 __25 ••.1/2 dI!como 3 = -- = - 7rI¡ - - =:> "dt 48 dt 16 dt

dh 48-=--:;-dt 257r 11-

96 12(257r)(8) .( 257r)

o Una lampara está a 15 pies sobre una recta horizontal. Si un hombre de 6 pies de altura

camina alejándose de la luz a razón de 5 pies/seg. ¿Con qué rapidez se alarga su sombra?

Solución

Datos del problema: h = 15 pies

dx 5' /- = pIes seg.dt

eO

r 6--=- =:>v+x 15

2x deri d .v = - envan o se tiene:. 3

15por semejanza de triángulos: ilADE ~ ilABC

dy=~dx =:>dt 3 dt

dv 2 10.-- =-(5) =-ples/seg.dt 3 3

@ En una pila cónica se está dejando caer arena a razón de 10 pies ' /min. Si la altura de la

pila es siempre el doble del radio de la base. ¿En que razón aumenta la altura cuando lapila tiene Xpies de altura'!


Solución

Datos del problema: dV = 1Opies ' Imin.dt

dV tt - dh- = - h - - reemplazando cuando h = 8dt 4 dt

h = Zr, Volumen de la pila cónica V = rr r2

h3

implícitamente con respecto a t.

1 O 64rr dh dh 5 . I .= -- -- => - =- pies mlI1.

4 dt dt 8rr

<V Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica y2 = x3 de tal

manera que hace que su abscisa aumente 5 unidades por segundo cuando x = 4. ¿Con qué

rapidez cambia la ordenada?

Solución

dx dyDatos del problema: - = 5u1seg. y - = ?

dt dt

y

x, 3d' d licomo y- = X' envan o imp ícitamente con

respecto al tiempo to

,dy 2 dx _ _ dx2)0 - = 3x -" ahora para x - 4, Y- 8 Y - = 5

dt dt dt

dv , dy .al reemplazar en la ecuación se tiene: 2(8) = -' = 3(4)- (5) => - = 15 pies/seg.

dt dt

@ Un punto se mueve la parábola y2 = 12x, de manera que la abscisa aumenta

uniformemente 2 crn/seg. En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma

razón'?

648

Solución

Eduardo Espinoza Ramos

Se tiene: dx = 2cmlsegdt

dx dyHallar p(x. y) tal que - = -dt dt

como / = 12xderivando implicitamente con Orespecto a 1.

dy dx dx dy2y-=12- como -=-dt dt dt dt

dx dx=> 2-=12- =>2y= 12 =>y=6dedondex=3

dt dt

y

:. P(3, 6)

® Se tiene un reloj de arena de 3 cm. de radio y ócm. de altura. Se pasa la arena a un solo

lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2cm3 / seg . Suponga que la

arena en la parte inferior forma un tronco de cono. Cuál es la velocidad de aumento de h

para una altura dada?

Solución

Haciendo un gráfico de los datos del problema:Sea r el radio del cono como indica la figura

dV 3también se tiene - = 2cm .seg. Ahoradt

dV dV dhmediante la regla de la cadena: - - - -dt - dh . dt •

para calcular dh es necesario hallar una funcióndt

que relacione V y h. Y esto se obtiene por lafórmula de la diferencia de los dos volúmenes deconos.


r 6-11 6-11ahora por semejanza de triángulos se tiene: - = -- =;. r = --

362

r ¡r 6-11 1 tt 3~ =1!<¡r--(--) (6-h)=IR¡r--(6-h)3 2 12

dV tt 1 n ?-=0+-(6-11)- =-(6-11)-dll 4 4

dV dV dhcomo: -=--.-

dt dh dt2 - ¡r (6 } 2 dh=;. -- - 1) -

4 dt

dh 8= ---.,-., cm/seg.

dt ¡r(6-h)-

@ Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta. Si "s" cm. es la

distancia de la bola desde su posición inicial a los t seg. entonces s = 1OOt 2 + 100t , si la

bola da en una banda que se encuentra a 39 cm. de su posición inicial. ¿A qué velocidad

pega en la banda?

Solución

Como s = 10011 1-1001 por datos del problema s = 39

=;. 10012 +1001 =39 =;. tI =0.3, 12 =-1.3

el valor 11 = -1.3 por ser negativo no es para nuestro problema.

Además se conoce V = dv = 2001 + 100dt

V(t) = 200t + 100 =;. V(0.3) = 60 + 100 = 160

@ Si una pelota es empujada hacia abajo en un cierto plano inclinado de manera que tenga

una velocidad inicial de 24 pies/seg. Entonces s = 241 + 1011, donde s pies es la distancia

de la pelota desde el punto inicial a los t seg. yel sentido positivo es hacia abajo del plano

inclinado.


a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los t, seg.?

b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a los 48 pies/seg.?

Solución

Como Vo := 24 pies/seg. velocidad inicial, además:

s(t):=24t+lOt2:::::> V(t):=s'(t):=24+20t por lo tanto la velocidad instantánea de la

pelota a los tI seg. será: (20t 1 + 24 )pies/seg. según el problema se tiene:

620t + 24 = 4R :::::> t:= - seg. := 1.2seg.5

por lo tanto la velocidad tarda ~ seg. en llegar a los 48 pies/scg.5

Rpta: a) (20t1 + 24)pies/seg. b)6- seg. := 1.2seg.5

@ En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies. Yestá aumentando a razón de I pie/mino Y el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo

a razón de dos pies/m in. Hallar la razón de cambio respecto al tiempo del ángulo agudoopuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies.

Solución

8

y

Datos del problema: para x = 10, Y = 12

dx dvl . l mi , 2' / "-:= pie mtn. y -"-:=- pies mtn,

dt dt

v ytge:=-'--:::::> e :=arc.tg(-)x x

x

dederivando implícitamente:

dt

( . dy dx) / 1x--v- xdt . dt-==-----=-- :=

1+(Y)2X

dy dxx--¡;-

dt . dt


reemplazando se tiene:dedI

-32 8--=--244 61

de 8. / .:. -=--ples mm.dI 61

10(-2)-12(1)100+ 144

@ Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y está a Sp sobre el suelo, t seg. después de

ser encendido. Donde s = 5601 - 1612 Yla dirección positiva hacia arriba. Encontrar:

a) La velocidad del cohete 2seg. después de haber sido encendido.

b) Cuánto tardará en alcanzar m altura máxima.

Solución

La ecuación del movimiento es: S(t) = 5601-161 2

La velocidad del cohete, t.seg, después de haber sido

encendido será: /1 (t 1) = S' (t 1)

como S(t)=5601-l6/2 entonces: S'(t) =560-.321

:.v(1) = 560 - 32/1

"""1'11/"'111'1'111\1"11I"'11",111,1,11111\"IUI"II,I,I'III,III' \1"'''11 .. '''''' •... ,", ••,,,

a) V(2) = 560 _. 64 = 496 seg.

b) Como V(tl) = O, es para que alcance su altura máxima crece.

0=560-32t :::::;.t= 17.5seg.

s

1~11:::::":.:¡:¡¡BHIBD.II.::::lllgi_.I;:::¡1o Un depósito de agua. en forma de un cono invertido. es vaciado a razón de 6m3

/ mino La

altura del cono es de 24m. yel radio de su base es de 12m. Calcule la rapidez con la que

el nivel de agua desciende cuando el agua tiene 10m. de profundidad.

Rpta. dh = 0.76m / mili.dI


Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido

a razón de 3rt m3/ mino Si el depósito tiene un radio de 2.5m. en su parte superior y una

profundidad de 10m. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m?

Rpta. dh = O.75m / mili.dI

o Un automóvil que se desplaza a razón de 30 pies/seg. se aproxima a un crucero. cuandoel auto está a 120 pies de la intersección, un camión que viaja a razón de 40 pies/seg.cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un

ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2 seg. después de que el camión pasa

) ds . /dicho crucero'. Rpta. - = 14 pies seg,dI

o Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60°. Una locomotora dista

160m. del cruce y se aleja de él a la velocidad de 100km/hora, un automóvil dista del

cruce 160m. y se acerca a él a la velocidad de 50km/hora, ¿A que razón se altera la

distancia entre los dos? Rpta. Aumenta 25 km/hora ó 25.f3km / h.

o El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm. por hora y la altura disminuye

a razón de 4cm por hora. Calcule como varía el área total del cono cuando el radio mide

7cm. y la altura 24 cm. Rpta. Aumenta 96n cm ' / h

@ Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 millas por hora pasa sobre cierta ciudad

a mediodía; un segundo aeroplano que va a dirección oeste a 600 millas por hora está

verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde, si los aeroplanos estánvolando a la misma altura, ¿con qué rapidez se estarán separando a la 1.15 p.m.?

Rpta. 872 millas por hora.

CD Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónico a razón de 2.5 pies por segundo,

mientras su jefe está sentado a la sombra de un árbol vecino observando. Si el terreno esllano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. ¿Cuántos segundos tiene que trepar eltendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a razón de un pie por

segundo? Rpta. 6.2847 segundos,

¡¡


® Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un edificio, con una

velocidad inicial de Vo pies/seg. Viaja aproximadamente según la ecuación

S = Vo' + 1612 pies en t segundos. Si toca el suelo a los 2.5seg. con una velocidad de 110

pies/seg. ¿Cuál es su altura del edificio? Rpta. 175 pies.

® Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se

separa de la pared de la casa a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué velocidad estábajando el extremo superior cuando la base de la escalera está a

a) 7 pies de la pared'? b) 15 pies de la pared? e) 24 pies de la pared?

Rpta. a) 7 . /-- pies seg.12

b) 3 . /-- pies seg.2

e) 48 . /--pies seg.7

@ En una planta de arena y grama. la arena está cayendo de una cinta transformadora

formando una pila cónica a razón de 10pies' / min . El diámetro de la base del cono es

aproximadamente tres veces la altura. ¿A qué razón está cambiando la altura de la pila

cuando tiene 15 pies de altura? Rpta. _8_ pies/mino405n

@ La arista de un cubo se expande a razón de 3cm/seg. ¿A qué velocidad cambia el volumencuando cada arista tiene:

a) Icm. b) 10cm.

Rpta. a) 9cm3 / seg, b) 900cm3 / seg,

@ Al caer una gota esférica de lluvia. alcanza una capa de aire más seco en los niveles más

bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. Si esta evaporación se produce a una

velocidad proporcional al área de la superficie (s = 4n r2) de la gota. probar que el radio

se contrae a la velocidad constante.

@ Un avión vuela a 3 1.680 pies de altura. pasando la trayectoria de vuelo exactamente sobre

una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula que la distancia s al avión cambiaa razón de 4 millas/min. Cuando tal distancia es de 10 millas. calcular la velocidad del

avión en millas por hora. Rpta. 300 millas/hora.


Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora. y otro B. situado

32 millas al sur de A. lo hace al este con una velocidad de 12 millas por hora. Hallar lavelocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haber

iniciado el movimiento. Rpta. Se aproxima a razón de 5.6 millas/hora

@ En que punto de la parábola y2 = 18x • la ordenada crece dos veces más deprisa que la

abscisa?

Un peso W está unido a una cuerda de 50 metros delongitud que pasa por una polea P situada a una altura

de 20 metros con respecto al suelo. El otro extremo de

la Cuerda. se encuentra unido a un vehículo en el puntoA, situado a una altura de 2 metros como indica la

figura. sabiendo. que el vehículo se mueve a unavelocidad de 9 metros por segundo. calcular la

velocidad a la que se eleva el cuerpo cuando se halle a

p

30 + x

x y A__~ 2 .

una altura de 6 metros. Rpta. dx 9 t;-=--v3m1seg.dt 2

@ Un tren que sale a las 11 horas de la mañana se dirige hacia el este a lila velocidad de 45

kilómetros por hora, mientras que otro, que sale al medio día desde la misma estación, se

dirige hacia el sur a una velocidad de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad a que se..fi

separan ambos trenes a las tres de la tarde. Rpta. ISO- Kmlhora2

@ Un hombre en un muelle tira de una soga atada al nivel del agua a una bola a razón 50

pies/mino Si las manos del hombre están a 16 pies sobre el nivel del agua. ¿Con qué

rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es de 20 pies?

R S o . d 250 o / opta. e aproxima a razon e -3- pies rrun.

@ Se bombea aire a un globo, de modo que su volumen se incrementa en 200cm3 / seg,Despreciando la comprensión del aire. ¿A qué ritmo crece el radio cuando el diámetro

2llega a 30cm? Rpta. - cm / seg .

91C

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Problemas de aplicación de derivadas (Razón de cambio y Máximos y Mínimos)