PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial Ral Antn Remrez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2009 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas i NDICE Problemas Tema 1. Introduccin a la transferencia de calor y a la conduccin ............................. 1 Problemas Tema 2. Conduccin unidimensional en rgimen estacionario..................................... 7 Problemas Tema 3. Conduccin bidimensional en rgimen estacionario..................................... 15 Problemas Tema 4. Conduccin en rgimen transitorio ............................................................... 21 Problemas Tema 5. Introduccin a la conveccin......................................................................... 29 Problemas Tema 6. Conveccin forzada en flujo externo ............................................................ 33 Problemas Tema 7. Conveccin forzada en flujo interno............................................................. 37 Problemas Tema 8. Conveccin libre o natural ............................................................................ 41 Problemas Tema 9. Introduccin a la radiacin............................................................................ 45 Problemas Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ....................................................... 51 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 1PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIN 1.(2.7delIncropera;LeydeFourier)Enelsistemamostradoenlafiguraseproduceuna conduccindergimenestacionariounidimensionalsingeneracindecalor.La conductividad trmica es 25 W/mK y el espesor L es 0,5 m. Determinelascantidadesdesconocidasparacadacasodelatablasiguienteydibujela distribucin de temperatura indicando la direccin del flujo de calor. CasoT1T2dT/dx (K/m) xq (W/m2) 1400 K300 K 2100 C-250 380 C200 4-5 C4.000 530 C-3.000 Solucin: 1) 200 K/m, -5.000 W/m2; 2) 498 K, 6.250 W/m2; 3) -20 C, -5.000 W/m2; 4) -85 C, -160 K/m; 5) -30 C, 120 K/m. 2.(1.13 del Incropera; Conveccin) Un chip cuadrado isotrmico de lado 5 mm est montado enunsustratodemaneraquesussuperficieslateraleseinferiorestnbienaisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 C. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 C. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m2K), cul es la potencia mxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es unlquidodielctrico(h=3.000W/m2K),culeslapotenciamximaadmisibledel chip? Solucin: 0,35 W y 5,25 W. 3.(Radiacin y balance de energa) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (AgenciaEspacialEuropea)noshatransmitidolasiguientecuestin:Unasondade exploracinespacialcuyasplacasdeenergafotovoltaicatienenunasuperficieApyuna temperatura de fusin Tp = 2.000 K es enviada en direccin al Sol. Calcular el radio de la rbitasolarmnima(Ro)alaquesepodracercarlasondaalSol.Datos:constantede x T2T1 L Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2Stefan-Boltzmann = 5,6710-8 W/m2K4; temperatura de la superficie solar Ts = 6.000 K; radiodelSolRs=7108m;suponerquetantoelSolcomolasplacassecomportancomo cuerpos negros ( = = 1). Solucin: Ro = Rs (Ts/Tp)2. 4.(Conveccin y radiacin) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m2 expuesta a unambienteyaunosalrededoresde27C.Latemperaturadesupielesde33Cyse puedeconsiderarunemisorderadiacinperfecto.Sielcoeficientedetransferenciade calor por conveccin es de 9 W/m2K, hllese: a)Las prdidas de calor por conveccin y por radiacin. b)El gasto energtico en kcal/da. Solucin: a) qconv = convQ& = 81 W, qrad = radQ& = 56,8 W; b) 2.846 kcal/da. 5.(2.6delIncropera;LeydeFourier)Paradeterminarelefectodeladependenciadela temperatura de la conductividad trmica sobre la distribucin de temperatura en un slido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = ko + aT donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribucin de temperatura de rgimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0. 6.(2.11delIncropera;LeydeFourier)Enelcuerpobidimensionalquesemuestraenla figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es T/y = 30 K/m. Cunto valen T/y y T/x en la superficie B? Solucin: T/y = 0; T/x = 60 K/m. 7.(1.27delIncropera;Balancedeenerga)Unaplacadealuminiode4mmdeespesorse montaenposicinhorizontalconsusuperficieinferiorbienaislada.Seaplicaasu superficiesuperiorunrecubrimientoqueabsorbeel80%decualquierradiacinsolar incidenteytieneunaemisividadde0,25.Ladensidadyelcalorespecficodelaluminio son 2.700 kg/m3 y 900 J/kgK, respectivamente. a)Considerelascondicionesparalasquelaplacaestaunatemperaturade25Cyla superficie superior se expone sbitamente al aire ambiente a T = 20 C y a radiacin solarqueproporcionaunflujoincidentede900W/m2.Elcoeficientede transferencia Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 3decalorporconveccinentrelasuperficieyelaireesh=20W/m2K.Culesla velocidadinicialdecambiodelatemperaturadelaplaca?Supongaquenohay alrededores. b)Cul ser la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de rgimen estacionario? c)RepresentemedianteExcelunagrficadelatemperaturadergimenestacionario como funcin de la emisividad para 0,05 1, para tres valores de la absortividad de laplacade0,5,0,8y1conelrestodecondicionesconstantes.Silafinalidades maximizarlatemperaturadelaplaca,culeslacombinacinmsdeseablede emisividad y absortividad de la placa? Solucin: a) 0,052 K/s; b) Ts = 321 K. 8.(1.31 del Incropera; Balance de energa) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a travs de un horno calentadoelctricamenteaunavelocidaddevs=10mm/s.Elespesoryanchodelahoja son ts = 8 mm y ws = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son Ho = 2 m, Wo = 2,4 m y Lo = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados delhornoseexponenalaireambientalyaalrededoresa300K,ylatemperaturadela superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de conveccin respectivos son Ts = 350 K,s=0,8yh=10W/m2K.Lasuperficieinferiordelhornotambinesta350Ky reposaenunaplacadecementode0,5mdeespesorcuyabaseesta300K.Estimarla potenciaelctricaqueserequieresuministraralhorno.Datos:kcemento(a300K)=1,4 W/mK. Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 304: = 7.900 kg/m3. T (K) cp (J/kgK)600557 800582 Solucin: 841 kW. 9.(2.12delIncropera;LeydeFourier)AlgunasseccionesdeloleoductodeAlaskaestn tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/mK) de 1 m delongitudyseccintransversalde0,005m2.Encondicionesnormalesdeoperacinse sabe que la variacin de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresin de la forma Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 4T = 100 150x + 10x2 dondeTyxtienenunidadesdeCymetros,respectivamente.Lasvariacionesde temperaturasoninsignificantessobrelaseccintransversaldelacolumna.Evalela temperatura y la rapidez de conduccin de calor en la unin columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solucin: 18,75 W y 16,25 W. 10.(2.17delIncropera;LeydeFourier)Unaparatoparamedirlaconductividadtrmica empleauncalentadorelctricointercaladoentredosmuestrasidnticasde30mmde dimetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme To = 77 C mediante la circulacin de un fluido. Se pone grasa conductora entre todaslassuperficiesparaasegurarunbuencontactotrmico.Seempotrantermopares diferencialesenlasmuestrasconunespaciadode15mm.Lascaraslateralesdelas muestras se aslan para que la transferencia de calor sea unidimensional. a)Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 Aa100VylostermoparesdiferencialesindicanT1=T2=25,0C.Culesla conductividadtrmicadelmaterialdelamuestradeaceroinoxidableyculla temperaturapromediodelasmuestras?Comparelosresultadosconlosvaloresdela Tabla A.1 del Incropera. b)Calcular la conductividad trmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro ArmcopuestaenlugardelamuestrainferiordelaceroAISI316.Enestecasoel calentadortoma0,601Aa100VylostermoparesdiferencialesindicanT1=T2= 15,0 C. c)Culeslaventajadeconstruirelaparatoconelcalentadorintercaladoentredos muestrasenlugardeconstruirloconunasolacombinacinmuestra-calentador? Cundoresultasignificativoelescapedecalorporlasuperficielateraldelas muestras? Bajo que condiciones esperara que T1 T2? Datos: Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) k (W/mK)30013,4 40015,2 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 5Propiedades termofsicas del Armco: T (K) k (W/mK)30072,7 40065,7 Solucin: a) k = 15 W/mK yT= 400 K; b) k = 70 W/mK yT= 380 K. 11.(2.21 del Incropera; Ecuacin de calor) En una varilla cilndrica de 50 mm de dimetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generacin interna de calor a 7110 5 = q& W/m3, y encondicionesdergimenestacionarioladistribucindetemperaturaesT(r)=a+br2, donde T est en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 C y b = -4,167105 C/m2. Laspropiedadesdelavarilladecombustiblesonk=30W/mK,=1.100kg/m3ycp= 800 J/kgK. a)Cul es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (lnea central) y en r = 25 mm (superficie)? b)Sielniveldepotenciadelreactoraumentasbitamentea 8210 = q& W/m3,culesla velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25? Solucin: a)W/m 10 8 , 9 ) 25 ( y0 ) 0 (4 = = = = r q r qr r; b) 56,8 K/s. 12.(2.24delIncropera;LeydeFourier, ecuacin de calor y balance de energa) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza paraabsorberenergasolar.Lascapassuperioreinferiorestnbienmezcladasysirven paramantenerlassuperficiessuperioreinferiordelacapacentralatemperaturas uniformesT1yT2,dondeT2>T1.Considerecondicionesparalasquelaabsorcindela radiacinsolarenlacapacentralproporcionaunageneracinnouniformedecalordela forma axAe x q= ) ( & , y la distribucin de temperatura en la capa central es: C Bx ekaAx Tax+ + =2) (LascantidadesA(W/m3),a(1/m),B(K/m)yC(K)sonconstanteconocidas,ykesla conductividad trmica que tambin es constante. a)Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de rea de la capa inferior a la capa central y de sta a la capa superior. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 6b)Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c)Obtengaunaexpresinparalarapidezalaquesegeneraenergatrmicaenlacapa central, por unidad de rea superficial. Solucin: a)BkaAx q Bk eaAL x qxaLx = = = = ) 0 ( ; ) ( ; b) Rgimen estacionario; c) ( )aLgeneaAE = 1&. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 7PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1.(3.2delIncropera)Laventanaposteriordeunautomvilsedesempaamedianteelpaso de aire caliente sobre su superficie interna. a)Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de4mmdeespesor,siendolatemperaturadelairecalienteT,int=40Cysu coeficiente de conveccin hint = 30 W/m2K y la temperatura del aire exterior T,ext = -10 C y su coeficiente de conveccin hext = 65 W/m2K. b)Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: kvidrio (a 300 K) = 1,4 W/mK. Solucin: a) Tint = 7,7 C y Text = 4,9 C; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T,ext. 2.(3.3delIncropera)Enlaventanaposteriordelautomvildelproblemaanteriorseinstala comosistemaparadesempaarsusuperficieinteriorunelementodecalentamiento consistenteenunapelculatransparentedelgadaconresistenciaselctricas.Alcalentarse elctricamenteestedispositivoseestableceunflujodecaloruniformeenlasuperficie interna. a)Calcular la potencia elctrica por unidad de rea de ventana necesaria para mantener la temperaturadelasuperficieinternaa15Ccuandolatemperaturadelaireinteriores T,int = 25 C y su coeficiente de conveccin hint = 10 W/m2K. El aire exterior est en las mismas condiciones que en el problema anterior. b)Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c)Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre la potencia elctrica. Solucin:a) elecP =1,27kW/m2;b)Text=11,1C;c) elecP aumentaalaumentarhexty disminuye al aumentar T,ext. 3.(3.15delIncropera)Unacasatieneunaparedcompuestademadera,aislantedefibray tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un da fro de invierno los coeficientes de transferencia de calor por conveccin son hext = 60 W/m2K y hint = 30 W/m2K. El rea total de la superficie es de 350 m2. Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/mK. Propiedades termofsicas de la fibra de vidrio: T (K) (kg/m3) k (W/mK)300160,046 300280,038 300400,035 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 8Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/mK. a)Determineunaexpresinsimblicaparalaresistenciatrmicatotaldelapared incluyendo los efectos de conveccin. b)Determine la prdida de calor total de la pared. c)Sielvientosoplarademaneraviolentaelevandohexta300W/m2K,culserael porcentaje de aumento relativo de la prdida de calor? d)Qu resistencia trmica influye en mayor medida sobre la prdida de calor a travs de la pared? Solucin: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor. Resistencia de contacto 4.(3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m2 de calor elctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un lquido dielctrico en su superficie superior con hext=1.000W/m2KyT,ext=20C.Enlasuperficieinferiorseuneaunatarjetade circuitosdeespesorLb=5mmyconductividadkb=1W/mK.Laresistenciatrmicade contacto entre el chip y la tarjeta es c tR, = 10-4 m2K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2K y T,int = 20 C. a)Dibujeelcircuitotrmicoequivalentesealandolasresistenciastrmicas,las temperaturas y los flujos de calor. b)Culeslatemperaturadelchipparalascondicionesdedisipacinde cq =30.000 W/m2? c)Quinfluenciatendraenlatemperaturadelchipelaumentarenunordende magnitudlaconductividaddelatarjetadecircuitosyendisminuirenunordende magnitud la resistencia trmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solucin: b) Tc = 49 C; c) Prcticamente ninguna. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 9Pared cilndrica 5.(3.37delIncropera)Uncalentadorelctricodelgadoseinsertaentreunavarillacircular larga y un tubo concntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene unaconductividadtrmicakA=0,15W/mKyeltuboBkB=1,5W/mK.Lasuperficie externaestencontactoconunfluidoatemperaturaT=-15Cyuncoeficientede conveccin de 50 W/m2K. a)Determine la potencia elctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 C. b)Cul es la temperatura en el centro de la varilla A? Solucin: a) 251 W/m; b) 23,4 C. 6.(3.44delIncropera)Unacorrienteelctricade700Afluyeatravsdeuncabledeacero inoxidablequetieneundimetrode5mmyunaresistenciaelctricade610-4/m.El cable est en un medio que tiene una temperatura de 30 C y el coeficiente total asociado con la conveccin y la radiacin entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2K. a)Si el cable est expuesto, cul es la temperatura de la superficie? b)Siseaplicaunrecubrimientomuydelgadodeaislanteelctricoalcable,conuna resistencia de contacto de 0,02 m2K/W, cules son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c)Si se usa un aislante de conductividad trmica 0,5 W/mK, cul ser el espesor de este aislante que dar el valor ms bajo de la temperatura del cable? Cul es el valor de esa temperatura? Solucin: a) Ts,cable = 778,7 C; b) Ts,cable = 1.153 C y Ts,aislante = 778,7 C; c) e = 17,5 mm y Ts,cable = 318,2 C. 7.(3.45delIncropera)Untubodeacerodepareddelgadade0,20mdedimetroy emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presin de 20 bar (Tsat = 485 K)enuncuartoparaelquelatemperaturadelaireydelasparedeses25Cyel coeficiente de transferencia de calor por conveccin en la superficie externa del tubo es 20 W/m2K. a)Cul es la prdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b)Calculelaprdidadecalorporunidaddelongituddeltubosiseaadeunacapa aislantede50mmdexidodemagnesioquetambintieneunaemisividadde0,8. Calcular tambin la temperatura superficial exterior del aislante. c)El coste asociado con la generacin del vapor saturado es de 4 /109 J y el del aislante ysuinstalacinde100/m.Silalneadevaporopera7.500horasalao,cunto tiempo se necesita para amortizar la instalacin del aislante? Datos: Propiedades termofsicas del xido de magnesio: T (K) k (W/mK)3100,051 3650,055 4200,061 Solucin: a) 3.702 W/m; b)q 162 W/m y Ts,ail,ext 30 C; c) 3 meses. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 10Pared esfrica 8.(3.56 del Incropera) Una sonda esfrica crioquirrgica se incrusta en tejido enfermo con el propsito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un dimetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 C cuando se incrusta en tejido que est a 37 C. Se forma una capa esfrica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 C en su superficie de contactoconeltejidonormal.Silaconductividadtrmicadeltejidocongeladoes1,5 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m2K, cul es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolucin: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresin de la resistencia trmica para una esfera. En un elemento diferencial de esfera la aplicacin de la conservacin de la energa implica queqr=qr+dr,esdecirquelatransferenciadecaloresindependientedelradio,para condicionesunidimensionalesdergimenestacionarioysingeneracininternadecalor. LaecuacindeFourierparaunaesferahuecacuyassuperficiesestnencontactocon fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de rgimen estacionario sin generacin de calor adopta la forma: drdTr kdrdTkA qr) 4 (2 = =donde A = 4r2 es el rea normal a la direccin de la transferencia de calor. Al integrar la ecuacin anterior: =2121) (42ssTTrrrdT T krdr q Suponiendokconstanteyalresolverparalascondicionesdecontornodetemperaturas conocidas en las superficies se obtiene: ) / 1 ( ) / 1 () ( 42 12 1r rT T kqs sr = La resistencia trmica para conduccin adopta, por la tanto, la forma: ||.|

\| ==2 12 1,1 141 ) (r r k qT TRrs scond t Y la de conveccin: h rRconv t 2 ,41=Unavezvistoestosepuederepresentarelcircuitotrmicoequivalentealenunciadodel problema: |.|

\|+e r r k1 141 h e r2) ( 41+ q q T T s1Ts2Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 11La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: |.|

\|+=+=e r r kT Te r hT Tqs s s1 141) ( 411 222 Al resolver se obtiene la siguiente ecuacin en e2:021 2 2= +rT TT Thkre ess s Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generacin interna de calor 9.(3.73delIncropera)ElairedentrodeunacmaraaT,int=50Csecalienta convectivamenteconhint=20W/m2Kmedianteunaparedde200mmdeespesorque tiene una conductividad trmica de 4 W/mK y una generacin de calor uniforme de 1.000 W/m3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cmara, a T,ext = 25 C con hext = 5 W/m2K, se coloca un calentador de listn muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, oq . a)Dibuje la distribucin de temperaturas en la pared (T-x) para la condicin de que no se pierdenadadelcalorgeneradodentrodelaparedhaciaelexteriordelacmara(es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared). b)Culessonlastemperaturasenlassuperficiesexternaeinternadelaparedparaesa condicin? c)Determineelvalorde oq quedebesuministrarelcalentadordelistndemodoque todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cmara. d)Si la generacin de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador delistnpermanececonstante,culseralatemperaturadelaparedexterioren rgimen permanente? Solucin: b) T(0) = 65 C y T(L) = 60 C; c) 200 W/m2; d) 55 C. 10.(3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un ncleo cilndricoslidoderadior1yconductividadtrmicakf.Elncleodecombustibleesten buen contacto con un material de encamisado de radio externo r2 y conductividad trmica kc.Considerecondicionesdergimenestacionarioparalasqueocurreunageneracinde caloruniformedentrodelcombustibleaunaraznvolumtricaq& = gene& ylasuperficie Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 12externadelencamisadoseexponeaunfluidorefrigerantequesecaracterizaporuna temperatura T y un coeficiente de conveccin h. a)Obtengaexpresionesparalasdistribucionesdetemperaturaenelcombustibleyenel encamisado, Tf(r) y Tc(r). b)Considere un ncleo de combustible de xido de uranio para el que Kf = 2 W/mK y r1 = 6 mm y un encamisado para el que Kc = 25 W/mK y r2 = 9 mm. Siq&= gene&= 2108 W/m3, h = 2.000 W/m2K y T = 300 K, cul es la temperatura mxima en el elemento de combustible? c)Evale cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. Es posible mantener latemperaturadelalneacentraldelcombustiblepordebajode1.000Kajustandoel flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h? Solucin: b) Tf(r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta Tf y Tc disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas 11.(3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de dimetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a Ts1 = 100 C. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene Ts2 = 0 C. El aire que fluye entre las superficies tambinestaunatemperaturaT=0Cytieneuncoeficientedeconveccinh=100 W/m2K. a)Cul es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b)Cul es la transferencia total de calor de una seccin de 1 m x 1 m de la superficie a 100 C, si se instala una disposicin de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: kcobre (a 300 K) = 401 W/mK. Solucin: a) qf = 1,51 W; b) qt = 103,8 kW. 12.(3.114delIncropera)Amenudoseformanpasajesdealetasentreplacasparalelaspara reforzarlatransferenciadecalorporconveccinenncleoscompactosde intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidadcon50aletasde12mmdelongitud.Lapilacompletaestfabricadade aluminio(k=240W/mK)de1mmdeespesor.Lastemperaturasmximaspermisibles asociadasalasplacasopuestassonTo=400KyTL=350K.Elairequefluyeentrelas placas tiene una h = 150 W/m2K y una T = 300 K. Cules son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas? Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 13 Solucin: qfo = 114,95 W; qfL = -88,08 W; qto = 5.972,5 W; qtL = -4.291,5 W. 13.(3.131delIncroperamodificado,examenseptiembre2005)Sequieredisiparelcalor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad trmica de 5 W/mK y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de seccin rectangular de aluminio (kal = 240 W/mK). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto devalorK/W m 102 4,= c tR .Lasaletastienenunalongitudde25mm,unespesorde2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilaraunflujodecaloruniformesobrelapareddevalor 2 5W/m 10 = iq .Elaire exterior est a 320 K y proporciona un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K. q"iPared deltransformadorSoporte delas aletasR"t,ct = 2 mm = 2 mmT = 320 K6 mm 25 mm 4 mmh = 100 W/m2KTintTalTbktra = 5 W/mKkal = 240 W/mK Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 14a)Dibujeelcircuitotrmicoequivalenteentreelinteriordeltransformadoryelaire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensin perpendicular al dibujo es muy larga. b)Calculelosvaloresdelasresistenciastrmicasqueaparecenenelcircuitotrmico anterior. c)Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, Tint. d)Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), Tal. e)Calcule la temperatura de la base de las aletas, Tb. Solucin: c) Tint = 532,3 K; d) Tal = 402,3 K; e) Tb = 400,6 K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 15PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1.(4.16delIncropera)Conlasrelacionesderesistenciatrmicadesarrolladaseneltema3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometras: a)Pared plana, capa cilndrica y coraza esfrica. b)Esfera hueca de superficie isotrmica de dimetro D en el interior de un medio infinito. Solucin: a) A/L, 2L/ln(r2/r1), 4r1r2/(r2-r1); b) 2D. 2.(4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisin de energa se entierra a una profundidad (distanciadelatierraalalneacentraldelcable)de2m.Elcableestenfundadoenun tubodepareddelgadade0,1mdedimetroyparahaceralcablesuperconductor (esencialmente cero disipacin de energa), el espacio entre el cable y el tubo est lleno de nitrgeno lquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (ki = 0,005 W/mK) de 0,05mdeespesorylasuperficiedelatierra(kg=1,2W/mK)esta300K,culesla cargadeenfriamientoporunidaddelongituddetubo[W/m]quedebesuministrarun refrigerador criognico para mantener el nitrgeno a 77 K? Solucin: 9,89 W/m. 3.(4.25delIncropera)Poruntubodecobredepareddelgadade30mmdedimetrofluye aguacalientea85C.Eltuboestforradodeunacapacilndricaexcntricaquese mantiene a 35 C y mide 120 mm de dimetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa est lleno deunmaterialaislantequetieneunaconductividadtrmicade0,05W/mK.Calculela prdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la prdida de calor para una disposicin concntrica. Solucin: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos trmicos 4.(4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor LA = 60 mm que est en contacto con unas placas de cubierta de espesor LB = 5 mm. Los canales tienen un dimetro D = 15 mm con un espaciado de lnea central de Lo = 60 mm. Las conductividades trmicas de los materiales son kA = 20 W/mK y kB = 75 W/mK, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es 4,10 2= c tR m2K/W. El fluidocalienteestaTi=150Cyelcoeficientedeconveccines1.000W/m2K.Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que est a 25 C y tiene un coeficiente de conveccin de 200 W/m2K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 16 a)Determinelatransferenciadecalordeunsolotuboporunidaddelongituddela plancha en direccin normal a la pgina, iq . b)Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, Ts. c)Comente los efectos sobre iqy Ts de un cambio en el espaciado de los canales. Cmo afectara a iqy Ts aislar la superficie inferior? Solucin:a) iq =1.578,6W/m;b)Ts=90,8C;c)SiLoaumenta, iq aumentayTs disminuye. Si la superficie inferior est aislada, iqdisminuye y Ts permanece constante. 5.(4.31delIncropera)EnelTema3sesupusoquecuandoseuneunaaletaaunmaterial base,latemperaturadelabasenocambia.Loqueenverdadocurreesque,sila temperaturadelmaterialdelabaseexcedelatemperaturadelfluido,alcolocarunaaleta disminuye la temperatura de la unin, Tj, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta largacirculardealuminiodedimetroD=5mmseunealmaterialdelabasecuya temperatura lejos de la unin se mantiene a Tb = 100 C. Las condiciones de conveccin en la superficie de la aleta son T = 25 C y h = 50 W/m2K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 17a)Calcule la temperatura de la unin y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/mK) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/mK). b)Repita los clculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unin de la aleta y el material de la base hay una resistencia trmica 5 "10 3=tcR m2K/W c)Cmo influye el coeficiente de conveccin en la transferencia de calor? Solucin: a) (i) Tj = 98 C, qf = fQ& = 4,8 W; (ii) Tj = 78,4 C, qf = fQ& = 3,24 W; b) Tj = 92 C, qf = fQ& = 4,08 W; c) Si h aumenta qf aumenta. 6.(4.32 del Incropera) Se construye un igl en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8myparedesdenievecompactadade0,5mdeespesor.Enelinteriordeliglel coeficientedetransferenciadecalorporconveccines6W/m2K;enelexterior,en condicionesnormalesdeviento,es15W/m2K.Laconductividadtrmicadelanieve compactada es 0,15 W/mK. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el igl es de -20 C y tiene la misma conductividad trmica que la nieve compactada. a)Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320Wdentrodeligl,calculelatemperaturadelaireinteriorcuandoladelaire exterior es -40 C. Considere las prdidas de calor a travs del suelo. b)Cmo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de conveccin exterior se triplique debido al viento? Y cmo afecta el doblar el espesor de las paredes? Solucin: a) Ti = 1,2 C; b) Ti = 0,8 C; Ti = 20,8 C. 7.(4.34delIncropera)Undispositivoelectrnicoenformadediscode20mmdedimetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleacin de aluminio (2024-T6) cuyatemperaturasemantienea27C.Enlainterfazentreeldispositivoyelbloquehay una resistencia de contacto 5 "10 5=tcR m2K/W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 18 a)Calculelatemperaturaquealcanzareldispositivosuponiendoquetodalapotencia que genera debe transferirse por conduccin al bloque. b)Paraaumentarlapotenciadeldispositivoseinstalaunsistemadealetasenlaparte superiordeldispositivo.Lasaletasrectasdeseccincircular(aletasdeaguja)estn hechas de cobre (k = 400 W/mK) y estn expuestas a un flujo de aire a 27 C para el que el coeficiente de conveccin es 1.000 W/m2K. Para la temperatura del dispositivo que se calcul en el apartado a), cul es la potencia de operacin permisible? Datos: Propiedades termofsicas de la aleacin de aluminio 2024-T6: T (K) k (W/mK)200163 300177 400186 Solucin: a) Td = 57 C; b) Pelct. = 138,65 W. Mtodo de las diferencias finitas 8.(4.41delIncropera)Lassuperficiessuperioreinferiordeunabarradeconduccinse enfran convectivamente por accin de aire a T, pero con hsup hinf. Los lados se enfran manteniendocontactoconsumiderosdecalora To,atravsdeunaresistenciatrmicade contacto c tR, . La barra tiene conductividad trmica k y el ancho es el doble del espesor L. Considerecondicionesdeestadoestacionarioparalasquesegeneracalordemanera uniformeaunatasavolumtricaq&debido al paso de una corriente elctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 19 9.(4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales deunavarillarectangularsoncomosemuestraenlafigura.Lavarillaexperimentauna rapidezdegeneracindecalorvolumtricauniformede5107W/m3ytieneuna conductividadtrmicade20W/mK.Dosdesusladossemantienenaunatemperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos estn aislados. a)Determinelastemperaturasenlosnodos1,2y3resolviendoelsistemade3 ecuaciones con 3 incgnitas que forman las ecuaciones nodales. b)Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de lastemperaturasnodales.Compareesteresultadoconlatransferenciadecalor calculadaapartirdelconocimientodelageneracinvolumtricadecalorylas dimensiones de la varilla. Solucin:a)T1=362,4K;T2=390,2K;T3=369K;b)q=7.502,5W/m;q=7.500 W/m. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 2010.(4.52delIncropera)Unabarralargadeseccintransversalrectangulartiene60mmde ancho, 90 mm de largo, y una conductividad trmica de 1 W/mK. Uno de sus anchos est sometido a un proceso de conveccin con aire a 100 C y un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K. El resto de los lados se mantiene a 50 C. a)Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la pgina) desde el aire a la barra. b)UtilizandoMatlabpararesolverelsistemadeecuaciones(mtododeinversinde matrices), repita los clculos con un espaciado de malla de 15 mm. Solucin:a)Empezandodesdeelladosometidoaconveccinlastemperaturasnodales son: 81,7 C, 58,5 C y 52,1 C; q = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del anchosometidoaconveccin:50C,80,33C,85,16C,80,33Cy50C;q=156,27 W/m. 11.(Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5 edicin) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50W/mK)de1cmdedimetroy20cmdelongitud.Lavarillaseuneenunextremoa una superficie calentada a 120 C y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral est en contacto con un fluido a 20 C para el que el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 10 W/m2K. a)Determineladistribucindetemperaturasenlavarillaresolviendolasecuaciones nodales mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel y con un x = 5 cm. El nmero de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo deun1%.Esdecir,ladiferenciarelativadelatemperaturaenelextremoendos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %. % 1 100 (%)1=iextremoiextremoiextremorTT TEb)Determineunaaproximacinalaprdidadecalordelavarillaapartirdela distribucin discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. c)Comparelasolucinanteriorconelcalorperdidoporlaaletacalculadodemanera exacta. Solucin: a) Comenzando desde la base la distribucin de temperaturas es: 120 C, 84,8 C, 63,6 C, 52,8 C, 49,9 C; b) qfaprox. = 3,24 W; c) qf = 3,32 W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 21PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO Mtodo de la resistencia interna despreciable 1.(5.8delIncropera)Unabalaesfricadeplomode6mmdedimetrosemueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de conveccin promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m2K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, cul es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofsicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/mK; = 11.340 kg/m3; cp = 129 J/kgK. Solucin: T = 351 K. 2.(5.10delIncropera)Unaunidaddealmacenamientodeenergatrmicaconsisteenun canalrectangularlargo,queestbienaisladoenlasuperficieexternayencierracapas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo. Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que est a una temperatura inicial de 25 C. Considere condiciones en las que la unidad dealmacenamientosecargaconelpasodeungascalienteatravsdelasrejillas, suponiendoquelatemperaturadelgasyelcoeficientedeconveccintienenvalores constantesdeT=600Cyh=100W/m2Kalolargodelcanal.Cuntotiempose tardarenalcanzarel75%delalmacenamientomximoposibledeenerga?Culesla temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofsicas del aluminio: = 2.702 kg/m3. T (K) k (W/mK) cp (J/kgK)300237903 400240949 6002311.033 Solucin: t = 933,5 s 15,55 min y T = 456 C. 3.(5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60W/mK;=7.850kg/m3;cp=430J/kgK)ytieneunespesordeL=10mm.Para protegerladelosefectoscorrosivosdelosgasesdecombustindelhorno,unasuperficie Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 22delaparedsecubreconunapelculadelgadadecermicaque,paraunreasuperficial unitaria,tieneunaresistenciatrmicade tfR =0,01m2K/W.Lasuperficieopuestaest bien aislada de los alrededores. Al poner en funcionamiento el horno, la pared est a una temperatura inicial de Ti = 300 K y los gases de combustin entran en el horno a T= 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficientedeconveccinde25W/m2Kenlapelculacermica.Suponiendoquela pelculatieneunaresistenciatrmicainternainsignificante,cuntotiempotardarla superficieinteriordelaceroenalcanzarunatemperaturadeTsi=1.200K?Culesla temperatura Tso de la superficie expuesta de la pelcula cermica en ese momento? Resolucin: Se dibuja el circuito trmico equivalente del sistema: hA1 ARtf Comoentrelaparedyelfluidoexisteunapelculaqueaportaunaresistenciatrmicade contacto, para poder calcular el nmero de Biot y estudiar si se puede aplicar el mtodo de laresistenciainternadespreciablehayquetrabajarconelcoeficienteglobalde transferencia de calor, U: K W/m 2001 , 0 25 / 1111 12=+= += = tf tR hURUAEl nmero de Biot correspondiente ser: 0033 , 06001 , 0 20= = =kULBic Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable: |.|

\| =tT TT Tisiexpq TTsi Tso Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 23s 75 , 687 . 120430 01 , 0 850 . 7= = = =spc tUAVcC Rmin 65 s 886 . 3300 . 1 300300 . 1 200 . 1ln 75 , 687 . 1 ln == =T TT TtisiApartirdelcircuitotrmicoequivalente,latemperaturadelasuperficiedelapelcula vendr dada por: K 220 . 1/ 1// ) ( ) ( = + += = tftf siso tf si so soR hR T hTT R T T T T hEfectos espaciales: anlisis de semejanza 4.(5.28delIncropera)Considerelaparedunidimensionalquesemuestraeneldibujoque inicialmente se encuentra a temperatura uniforme Ti y se somete de pronto a la condicin de frontera de conveccin con un fluido a T. Paraunaparedenparticular,caso1,latemperaturaenx=L1despusdet1=100ses T1(L1,t1)=315C.Otrapared,caso2,tienediferentescondicionesdeespesorytrmicas como se muestra en la siguiente tabla. CasoL (m) (m2/s) k (W/mK) Ti (C) T (C) h (W/m2K) 10,101510-6 50300400200 20,402510-6 1003020100 Cunto tiempo tardar la segunda pared en alcanzar 28,5 C en la posicin x = L2? Solucin: t = 960 s = 16 min. Conduccin unidimensional: pared plana 5.(5.32delIncropera)Considerelaunidaddealmacenamientodeenergadelproblema2, pero con un material de mampostera de k = 0,70 W/mK; = 1.900 kg/m3; cp = 800 J/kgK empleadoenlugardelaluminio.Cuntotiemposetardarenalcanzarel75%del almacenamientomximoposibledeenerga?Culessonlastemperaturasmximay mnima de la mampostera en ese momento? Solucin: t = 1.174 s 19,6 min; Tmn (x = 0) = 412 C; Tmx (x = W/2) = 538 C. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 24Conduccin unidimensional: cilindro 6.(5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de dimetro fabricada de zafiro (xido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfra de sbito con un fluidoa300Kquetieneuncoeficientedetransferenciadecalorde1.600W/m2K. Despus de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta prdidas de calor. Cul ser la temperatura de la varilla despus de un largo tiempo? Datos:Propiedadestermofsicasdelxidodealuminio(zafiro)aT=600K:k=18,9 W/mK; = 3.970 kg/m3; cp = 1.110 J/kgK. Solucin: Tinf = 510 K. Conduccin unidimensional: esfera 7.(5.48delIncropera)Eneltratamientotrmicoparaendurecerbolasdeacerode rodamientos(k=50W/mK;=7.800kg/m3;cp=500J/kgK)sedeseaaumentarla temperaturadelasuperficieporuntiempocortosincalentardemanerasignificativael interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersin sbita de la bola en un bao de sal derretida con T = 1.300 K y h = 5.000 W/m2K. Suponga que cualquierposicindentrodelabolacuyatemperaturaexceda1.000Kseendurecer. Estimeeltiempoquesenecesitaparaendurecerelmilmetroexternodeunabolade20 mm de dimetro si su temperatura inicial es de 300 K. Solucin: t = 3,4 s. Slido semiinfinito 8.(5.61 del Incropera) Una gra para levantar losas adheridasal suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 C mediante un calentador elctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizar losuficientesisecalientaporencimade50Cdurantealmenos2minutos,perosu temperatura no debe superar 120 C para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 C y propiedades termofsicas equivalentes de k = 0,15 W/mK; cp = 1,5106 J/m3K. a)Cunto tiempo se tardar en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? La temperatura del adhesivo exceder 120 C? b)Sielbloquedehierrotieneunreasuperficialcuadradade254mmdelado,cunta energa se eliminar de l durante el tiempo que se tarda en despegar la losa? Solucin: a) t = 168,7 s; la temperatura es menor que 120 C; b) Q = 56.063,6 J. Conduccin multidimensional 9.(5.75delIncropera)Unapuntacilndricadecobrede100mmdelongitudy50mmde dimetro est inicialmente a una temperatura uniforme de 20 C. Las caras de los extremos sesometendeprontoaunaintensarapidezdecalentamientoquelaselevaauna temperatura de 500 C. Al mismo tiempo, la superficie cilndrica se somete a calentamiento porunflujodegasconunatemperaturade500Cyuncoeficientedetransferenciade calor de 100 W/m2K. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos despus de la aplicacin sbita del calor. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 25 Resolucin: Enelproblemaencuestinlalongitudyeldimetrodelcilindrosoncomparablesporlo que se tiene una transmisin de calor bidimensional. La expresin de la ecuacin de calor para este caso ser: tTxTrTrr r =+|.|

\|1 122 Sepuededemostrarquelasolucinhaestaecuacinsepuedeobtenerporelmtodode separacin de variables, llegando a la siguiente expresin: infinitoCilindroplanaPared) , () , ( ) , , ( = T TT t r TT TT t x TT TT t r x Ti i i Esdecir,lasolucinbidimensionalseexpresacomoproductodelassoluciones unidimensionalescorrespondientesaunaparedplanayauncilindroinfinito.Paralas soluciones unidimensionales se emplearn el mtodo de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0,1), la solucin exacta o la aproximada con el primer trmino (si Fo > 0,2) segn corresponda. EnlaTabla4.2delCuadernodeFrmulas,TablasyFigurassepresentaunresumende solucionesparadistintossistemasmultidimensionalescomoproductosdelassoluciones unidimensionales. Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuacin vista antes se tiene que: infinitoCilindroplanaPared) 8 , 0 () 8 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 ( = T TT TT TT TT TT Ti i i A continuacin se resuelve cada sistema unidimensional por separado. Se calcula el nmero de Biot para la conduccin a travs de una pared plana: = =khLBicpp Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 26Como para este caso la temperatura superficial est fijada esto es equivalente a tener una h infinita.ComoelnmerodeBiotesmayorque0,1nosepuedeemplearelmtododela resistencia interna despreciable. Empleamos la solucin aproximada con el primer trmino. ApartirdelaTabla4.1delCuadernodeFrmulas,TablasyFigurasseobtienenlos coeficientes de la aproximacin de un trmino: 1 = 1,5707 y C1 = 1,2733. Sebuscanlaspropiedadesdelcobreparaunatemperaturamediade: K 533 C 2602500 20= =+= T = 8.933 kg/m3; k = 384 W/mK; cp = 410 J/kgK. SecalculaelnmerodeFourier:304 , 005 , 0 410 933 . 88 3842 2 2= = = =c p cL cktLtFo.ComoFo > 0,2 la aproximacin con el primer trmino es correcta. 601 , 0 ) 304 , 0 5707 , 1 exp( 2733 , 1 ) exp() 8 , 0 (2 21 1planaPared= = = Fo CT TT TiAcontinuacinseresuelvelaconduccinatravsdeuncilindroinfinito.Secalculael nmero de Biot: 3.10 51 , 6384025 , 0 100= = =khrBiocil Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable: |.|

\| = tT TT Tiexp) 8 , 0 (infinitoCilindro s 8 , 4572 100410 025 , 0 933 . 8= = = =spc thAVcC R9827 , 08 , 4578exp) 8 , 0 (infinitoCilindro= |.|

\| = T TT Ti 5906 , 0 9827 , 0 601 , 0) 8 , 0 () 8 , 0 (500 20500 ) 8 , 0 , 0 ( ) 8 , 0 , 0 (infinitoCilindroplanaPared= = = = T TT TT TT T TT TT Ti i iT (0,0,8) = 216,5 C Lo correcto sera volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema. Mtodo de las diferencias finitas 10.(5.82delIncropera)Uncilindrodematerialplstico(=610-7m2/s)estinicialmentea una temperatura uniforme de 20 C y est bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en un extremo. En el tiempo t = 0 se le aplica calor en el extremo izquierdo de manera que T0 aumenta linealmente con el tiempo a una razn de 1 C/s. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 27 a)Con el mtodo explcito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1, 2, 3 y 4. b)ConFo=construyaunatablaquetengacomoencabezadosp,tylastemperaturas nodales de T0 a T4. Determine la temperatura de la superficie, T0, cuando T4 = 35 C. c)Resuelvaelproblemamedianteelmtodoimplcitoyelmtododelainversinde matrices Solucin: b) t = 30 s; T0 (t = 210 s) = 230 C. Resolucin del apartado c): Delasecuacionesnodalesexplcitassepuedendeducirlasecuacionesnodalesimplcitas fcilmente: Nodo1: ( )p p p p p p p p pT FoT FoT T Fo T TFoT T T1101211 111111210) 2 1 (12 = + + = ++ + + + + + + Nodo 2: p p p pT FoT T Fo FoT2131211) 2 1 ( = + + + + + Nodo 3: p p p pT FoT T Fo FoT3141312) 2 1 ( = + + + + + Nodo 4: p p pT T Fo FoT41413) 2 1 ( 2 = + + + Expresadas en forma matricial: ((((((

=((((((

(((((

+ + + + +++++pppp pppppTTTT FoTTTTTFo FoFo Fo FoFo Fo FoFo Fo43211014131211) 2 1 ( 2 0 0) 2 1 ( 00 ) 2 1 (0 0 ) 2 1 ( | || | | | | | | | | | C A T C T A 1 = =Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1. Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. Con Fo = 0,5 t = 30 s. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 28ptT0 T1T2T3T4 002020202020 13050 26080 390110 11.(5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la direccin normal a la pgina, lascualestienenlasdistribucionesdetemperaturasinicialesquesemuestranenlatabla inferior. En el tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura acta como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto c tR, = 210-5 m2K/W. a)Obtenga la ecuacin en diferencias finitas explcita en trminos de Fo y c tcR kxBi, = , para T4,2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. b)SiFo=0,01,determineT4,2unintervalodetiempodespusdequesehacecontacto. Cul es el t? Se satisface el criterio de estabilidad? Datos:PropiedadestermofsicasdelaceroAISI1010a1.000K:k=31,3W/mK;= 7.832 kg/m3; cp = 1.168 J/kgK. Solucin:a)Criteriodeestabilidad:Fo1/(4+2Bic);b)t=1,17s;T4,2(t=1,17s)= 806,3 K; s se satisface el criterio de estabilidad. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 29PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIN A LA CONVECCIN Coeficientes de transferencia de calor 1.(6.2delIncropera)Paralaconveccinlaminarlibredeunasuperficieverticalcaliente,el coeficiente de conveccin local se expresa como hx = Cx-1/4, donde hx es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C, que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x. Obtenga una expresin para la razn xh / hx, donde xhes el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posicin x. Dibuje la variacin de hx y xhcon x. Solucin: xh / hx = 4/3. 2.(6.5delIncropera)AireaunatemperaturadeflujolibreT=20Cestenunflujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura Ts = 90 C. Sin embargo, los obstculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde elinicio,ylavariacinespacialdelastemperaturasmedidasenlacapalmiteestn correlacionadas por una expresin de la forma T (x, y) [C] = 20 + 70 exp(-600xy), donde x e y estn en metros. Determine y elabore una grfica de la forma en que vara el coeficiente deconveccinlocalhconx.Evaleelcoeficientedeconveccinpromedioh parala placa. Solucin: hx = 600kx [W/m2K] = 15,44x[W/m2K];h= 38,6 W/m2K. Perfiles de la capa lmite 3.(6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T = 25 C fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es Ts1 = 40 C. La pared es de 0,35 m deespesorylatemperaturadelaotrasuperficieesTs2=100C.Paracondicionesde estadoestacionario,culeselcoeficientedeconveccinasociadoconelflujodeagua? Cul es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que est en contacto con la pared? Dibuje la distribucin de temperaturas en la pared y en el agua contigua. Datos: Propiedades termofsicas del acero AISI 1010: = 7.832 kg/m3. T (K)cp (J/kgK)k (W/mK)300 43463,9 400 48758,7 Solucin: h = 700 W/m2K; yTpared= -171,4 K/m; 0 =yaguayT= -17.222,22 K/m. Transicin de la capa lmite 4.(6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m encondicionesparalasqueocurrelatransicinenxc=0,5mconbaseenelnmerode Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 30ReynoldscrticoRex,c=5105.Enlasregioneslaminaryturbulentaloscoeficientesde conveccin local son, respectivamente: 5 , 0) (= x C x hlam lamy 2 , 0) (= x C x hturb turb donde Clam = 8,845 W/m3/2K, Cturb = 49,75 W/m1,8K y x tiene unidades de m. a)Mediantelaevaluacindelaspropiedadestermofsicasdelairea350Kdeterminela velocidad del flujo de aire. b)Desarrolleunaexpresinparaelcoeficientedeconveccinpromedio) (x hlam,como funcin de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la regin laminar, 0 x xc. c)Desarrolleunaexpresinparaelcoeficientedeconveccinpromediodetodalaplaca ) (x h ,comofuncindeladistanciadesdeeliniciodelaplaca,x,paralaregin turbulenta, xc x L. d)Dibuje una grfica de) (x hlam,) (x hlam,) (x hturb y) (x hpara 0 x L. Solucin:a)V=u=20,92m/s;b) 5 , 02 ) (= x C x hlam lam;c) | |8 , 0 8 , 0 5 , 025 , 1 25 , 1 21) (c turb turb c lamx C x C x Cxx h + = . Ecuaciones de conservacin y soluciones: flujo de Couette 5.(6.18delIncropera5edicineningls)Considereuncojinetehidrulicoligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes = 800 kg/m3, = 10-5 m2/s y k = 0,13 W/mK.Eldimetrodelejeesde75mm,elespaciohastasuapoyoesde0,25mmy trabaja a 3.600 rpm. a)Determineladistribucindetemperaturasenlapelculadeaceitesuponiendoqueno haytransferenciadecalorhaciaelinteriordelejeyquelasuperficiedelapoyodel cojinete se mantiene a 75 C. b)Cul es la transferencia de calor del cojinete? Solucin: a) ((

||.|

\| = LyyyuKT y T2) (220; b) q(y = 0) = -1.508 W/m. 6.(6.21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa mvil) se mueve con una velocidad de U = 5 m/s y est perfectamente aislada.Laplacasuperior(placaestacionaria)estconstruidaconunmaterialde conductividadtrmicakpe=1,5W/mKyespesorLpe=3mm.Lasuperficieexternase mantieneaTpe=40C.LasplacasestnseparadasporunadistanciaLo=5mm,quese llena con un aceite de motor de viscosidad o = 0,799 Ns/m2 y conductividad trmica ko = 0,145 W/mK. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 31 a)Determine la distribucin de temperaturas en la pelcula de aceite, To(y). b)Determine la temperaturas en los extremos de la pelcula de aceite en contacto con las dos placas, To(y = 0) y To(y = Lo). c)Dibujeladistribucindetemperaturasenlapelculadeaceiteyenlaplaca estacionaria. Solucin: a) T(y) = -2,755106y2 + 390 [K]; b) To(y = 0) = 390 K y To(y = Lo) = 321 K. 7.(6.22delIncropera)Unejeconundimetrode100mmgiraa9.000rpmenuncojinete hidrulicode700mmdelongitud.Laspropiedadesdelaceitelubricanteson=0,03 Ns/m2yk=0,15W/mK,mientrasqueelmaterialdelcojinetetieneunaconductividad trmica de kc = 45 W/mK. a)Determine la disipacin viscosa [W/m3] en el lubricante. b)Determinelatransferenciadecalor[W]dellubricantesuponiendoquenosepierde calor a travs del eje. c)Silacubiertadelcojineteseenfraconagua,demodoquelasuperficieexternadel cojinete se mantiene a 30 C, determine las temperaturas del cojinete y del eje, Tc y Te. Solucin: a) = 6,66107W/m3; b) q = 14.646 W; c) Tc = 81,3 C y Te = 303,3 C. Similitud y parmetros adimensionales 8.(6.27delIncropera,examenseptiembre2002)Unobjetodeformairregulartieneuna longitud caracterstica L1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts,1 = 400 K. Cuando se coloca en aire atmosfrico a una temperatura T = 300 K y se mueve con una velocidad V1 = 100 m/s, el flujo promedio de calor desde la superficie al aire es 20.000 W/m2. Si un segundo objeto de la misma forma, pero con una longitud caracterstica, L2 = 5 m, se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosfrico a T = Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 32300 K, cul ser el valor del coeficiente promedio de conveccin si la velocidad del aire es V2 = 20 m/s? 9.(6.31y6.34delIncropera)Considerelascondicionesparalasqueunfluidoconuna velocidad de flujo libre V = 1 m/s fluye sobre una superficie con una longitud caracterstica L=1m,loqueproporcionauncoeficientepromediodetransferenciadecalorpor conveccinh= 100 W/m2K. a)Calcule los parmetros adimensionalesL Nu , ReL y Pr para los siguientes fluidos: aire, aceite de motor, mercurio y agua. Suponga que los fluidos estn a una temperatura de 300 K. b)Dibuje la variacin relativa entre el espesor de la capa lmite hidrodinmica y la capa lmitetrmicaparaelflujolaminarsobreunaplacaplanaparaloscuatrofluidos anteriores. Suponga un coeficiente del nmero de Prandtl n = 0,35. Datos: Propiedades termofsicas del mercurio: T (K) (kg/m3)cp (kJ/kgK) 102 (Ns/m2)106 (m2/s) k103 (W/mK)107 (m2/s) Pr 30013.5290,13930,15230,1125 8.54045,300,0248 Solucin: a) aire: NuL = 3.802; ReL = 62.932; Pr = 0,706; aceite de motor: NuL = 690; ReL = 1.818; Pr = 6.403; mercurio: NuL = 11,7; ReL = 8.888.889; Pr = 0,0248; agua: NuL = 163; ReL=1.166.092;Pr=5,83;b)885 , 0 =airet;5 , 21 =aceitet;27 , 0 =mercuriot; 85 , 1 =aguat. 10.(6.35delIncropera)SeutilizaaireforzadoaT=27CyV=10m/sparaenfriar elementos electrnicos sobre una tarjeta de circuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por 4 mm, que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta. Los experimentos revelanqueelflujosobrestaesperturbadoporloselementosyquelatransferenciade calor por conveccin est correlacionada mediante una expresin de la forma: 3 / 1 85 , 004 , 0 Pr Re Nux x =Estime la temperatura superficial del chip si ste disipa 30 mW. Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie. Solucin: T = 317 K = 44 C. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 33PROBLEMAS TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Placa plana en flujo paralelo 1.(7.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 C fluye aceite de motor a 100 C y a una velocidad de 0,1 m/s. Determine: a)Los espesores de las capas lmite de velocidad y trmica al final de la placa. b)El flujo local de calor al final de la placa. c)La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa. Solucin: a) L = 146,7 mm; t,L = 14,3 mm; b) Lq = 1.304 W/m2; c) totalq= 5.216 W/m. 2.(7.11delIncropera)Unaplacaplanade1mdeanchosemantieneaunatemperatura superficial uniforme Ts = 150 C mediante el uso de mdulos rectangulares generadores de calor, controlados de manera independiente, de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm. Cadamduloestaisladodesusalrededores,ascomodesuparteposterior.Aire atmosfricoa25Cfluyesobrelaplacaaunavelocidadde30m/s.Laspropiedades termofsicas del mdulo son k = 5,2 W/mK, cp = 320 J/kgK y = 2.300 kg/m3. a)Encuentre la generacin de potencia que se requiere,q&[W/m3], en el mdulo situado a 700 mm del inicio. b)Encuentre la temperatura mxima en ese mdulo generador de calor. Solucin: a)q&= 873.448 W/m3; b) Tmx = 158,4 C. 3.(7.32delIncropera)Unconjuntodecomponenteselectrnicosdisipadoresdecalorse monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1,2 x 1,2 m, mientras que el lado superior se enfra con un flujo de aire para el que u = 15 m/s y T = 300 K. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. Adems la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 34 a)Silatemperaturadelaluminionodebeexcederde350K,culesladisipacinde calor mxima permisible? b)Determineladisipacindecalormximapermisiblesisobrelaplacadealuminiose colocaunsistemadealetaslongitudinalescuyalongitud,espesoryespaciado(entre planos centrales de las aletas) son 25 mm, 5 mm y 10 mm, respectivamente. Datos: Propiedades termofsicas del aluminio: T (K) (kg/m3)cp (J/kgK)k (W/mK)3002.702903237 Solucin: a) q = 2,14 kW; b) q = 12,71 kW. Flujo alrededor de un cilindro 4.(7.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de dimetro exterior se coloca en un flujo deairea25Cypresinde1atm.Elairesemueveenflujocruzadosobreeltuboa15 m/s,mientrasquelasuperficieexternadeltubosemantienea100C.Culesla transferencia de calor del tubo por unidad de longitud? Solucin:q= 527 W/m. 5.(7.49 del Incropera) Aire a 27 C y a velocidad de 5 m/spasa sobre la pequea regin As (20x20mm)enunasuperficiegrandequesemantieneaTs=127C.Paraestas condiciones se eliminan 0,5 W de la superficie As. Con el fin de aumentar la velocidad de eliminacindecalor,sesujetaunaaletadealfilerdeaceroinoxidableAISI304de dimetro 5 mm a As, que se supone permanece a Ts = 127C. Datos: Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 304: T (K) (kg/m3)cp (J/kgK)k (W/mK)3007.90047714,9 4007.90051516,6 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 35 a)Determine la velocidad mxima posible de eliminacin de calor a travs de la aleta. b)Qu longitud de aleta proporciona esa velocidad mxima de eliminacin de calor? c)Determine la efectividad de la aleta, f. d)CuleselporcentajedeaumentoenlatransferenciadecalordeAsdebidoala instalacin de la aleta? Solucin: a) qfmx = 2,3 W; b) L = 37,4 mm; c) f = 93,7; d) 455 %. 6.(7.62 del Incropera) En un proceso de fabricacin, una varilla larga recubierta de plstico ( = 2.200 kg/m3, cp = 800 J/kgK, k = 1 W/mK) de dimetro D = 10 mm est inicialmente a una temperatura uniforme de 25 C y sbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a u = 50 m/s y T = 350 C. Cunto tiempo le costar a la superficie de la varilla alcanzar 175 C, temperatura por arriba de la cual se curar el recubrimiento especial? Solucin: t = 8,27 s (Calculado con Tf = ((25+175)/2 +350) /2 y correlacin de Hilpert 240 = hW/m2K); Fo = 0,1879. Flujo a travs de bancos de tubos 7.(7.76delIncropera)Considereunbancodetubosescalonadoparaelqueeldimetro exterior del tubo es 16,4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son SL = ST = 20,5 mm. Hay siete lneas de tubos en la direccin del flujo de aire y ocho tubos por lnea (NL = 7yNT=8).Latemperaturasuperficialdelostubosesde70Cylatemperaturay velocidad del flujo de aire son 15 C y 6 m/s, respectivamente. Determine el coeficiente de conveccinylatransferenciadecalorparaelbancodetubos.Comienceevaluandolas propiedades del aire a T = 15 C. Solucin:h= 235 W/m2K; q = 28,5 kW/m. 8.(7.80delIncropera)Loscomponenteselctricosmontadosencadaunadedosplacas isotrmicas se enfran al hacer pasar aire atmosfrico entre ellas, y se usa un dispositivo en lneadealetasdealfilerdealuminioparaaumentarlatransferenciadecaloralaire.Las aletas son de dimetro D = 2 mm, longitud L = 100 mm y conductividad trmica k = 240 W/mK.LosespaciadoslongitudinalesytransversalessonSL=ST=4mmconun dispositivo cuadrado de 625 aletas (NL = NT = 25) montadas en placas cuadradas de ancho W = 100 mm. El aire entra a una velocidad de 10 m/s y a una temperatura de 300 K. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 36 a)Evaluandolaspropiedadesdelairea300K,estimeelcoeficientepromediode conveccin para el dispositivo de aletas. b)Suponiendo el coeficiente de conveccin anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placassemantienena350K.Sugerencia:Latemperaturadesalidadelaireest gobernadaporunarelacinexponencialdelaforma[(TplacaTsal)/(TplacaTent)]= exp[-( h Ato)/( m& cp)],dondem& =VLNTSTeselflujodemasadelairequepasaa travs de las aletas, At es el rea superficial total de transferencia de calor (placas ms aletas) y o es la eficiencia superficial global del conjunto placas ms aletas. Solucin: a)h= 435 W/m2K; b) Tsal = 321 K; qtotal = 2.467,3 W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 37PROBLEMAS TEMA 7. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO Consideraciones trmicas y balance de energa 1.(8.12 del Incropera) Considere una varilla cilndrica de combustible nuclear de longitud L ydimetroDqueestencerradaenuntuboconcntrico.Porlareginanularentrela varillayeltubofluyeaguapresurizadaaunflujomsicom& ylasuperficieexteriordel tuboestbienaislada.Haygeneracindecalordentrodelavarilladecombustibleyse sabequelarapidezdegeneracinvolumtricavarasenoidalmenteconladistanciaalo largodelavarilla:) / ( ) ( L x sen q x qo & & = ,siendo oq& [W/m3]unaconstante.Sepuede suponer que existe un coeficiente de conveccin uniforme entre la superficie de la varilla y el agua. a)Obtenga expresiones para el flujo de calor local) (x q y para la transferencia total de calor q de la varilla de combustible al agua. b)Obtengaunaexpresinparalavariacindelatemperaturamediadelaguaalolargo del tubo, Tm(x). c)Obtenga una expresin para la variacin de la temperatura superficial de la varilla a lo largodeltubo,Ts(x).Desarrolleunaexpresinparalaposicinxparalaquese maximiza. Solucin:a) 2;4) (2o oq L DqLxsenq Dx q& &= |.|

\|= ;b) ((

|.|

\| + =Lxc mq L DT x Tpoent m mcos 14) (2,&&; c) ||.|

\| = + =DLhc mLxhx qx T x Tpmx m s&arctan ;) () ( ) (. 2.(8.15delIncropera)Aireatmosfricoentraenlaseccincalientedeuntubocircularcon unflujode0,005kg/syunatemperaturade20C.EltuboesdedimetroD=50mmy existencondicionescompletamentedesarrolladasconh=25W/m2Ksobretodala longitud L = 3 m. a)Para el caso de un flujo de calor superficial uniforme, sq = 1.000 W/m2, determine la transferencia total de calor, q, y la temperatura media del aire que sale del tubo, Tm,sal. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 38Culsonlosvaloresdelastemperaturassuperficialesdeltuboenlaentradayenla salida, Ts,ent y Ts,sal? Dibuje la variacin con x de Tm y Ts. b)Si el flujo de calor superficial vara linealmente con x,) (x qs = 500x [W/m2], cules son los valores de q, Tm,sal, Ts,ent y Ts,sal? Dibuje la variacin con x de Tm y Ts. c)Paracadatipodeprocesodecalentamientoanterior,quflujosdecalorserequieren para alcanzar en la salida una temperatura del aire de Tm,sal = 125 C? Solucin: a) q = 471,24 W; Tm,sal = 113,6 C; Ts,sal = 153,6 C; Ts,ent = 60 C; b) q = 353,4 W;Tm,sal=90,2C;Ts,sal=150,2C;Ts,ent=20C;c) sq =1.122W/m2;) (x qs =748x [W/m2]. Correlaciones de transferencia en tubos circulares 3.(8.19delIncropera)Aceitedemotoraraznde0,02kg/sfluyeporuntubode3mmde dimetroyde30mdelongitud.Elaceitetieneunatemperaturadeentradade60C, mientras que la temperatura de la pared del tubo se mantiene a 100 C por condensacin de vapor sobre su superficie externa. a)Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor para el flujo interno del aceite. b)Determine la temperatura de salida del aceite. c)Calcule la transferencia total de calor al aceite. Solucin: a)h= 201 W/m2K; b) Tm,sal = 89,6 C; c) q = 1.249 W. 4.(8.24delIncropera)Enlasetapasfinalesdeproduccinseesterilizaunfrmaco calentndolode25a75Camedidaquesemuevea0,2m/sporuntuborectodeacero inoxidabledepareddelgadade12,7mmdedimetro.Unflujodecaloruniformese mantienemedianteuncalentadorderesistenciaelctricaenrolladoalrededordela superficie externa del tubo. Si el tubo es de 10 m de longitud, cul es el flujo de calor que se requiere? Si entra fluido al tubo con un perfil de velocidad completamente desarrollado yunperfiluniformedetemperatura,culeslatemperaturasuperficialenlasalidadel tuboyaunadistanciade0,5mdesdelaentrada?Laspropiedadesdelfluidosepueden aproximar a: = 1.000 kg/m3; cp = 4.000 J/kgK; = 210-3 kg/sm; k = 0,48 W/mK; Pr = 10. Solucin: sq =12.700 W/m2; Ts,sal = 152 C; Ts (x = 0,5) = 65,7 C. 5.(8.39delIncropera)Elncleodeunreactornucleardealtatemperaturaenfriadoporgas tienetubosdefluidorefrigerantede20mmdedimetroy1.500mmdelongitud.Entra helio a 600 K y sale a 1.000 K cuando el flujo es de 810-3 kg/s por tubo. a)Determinelatemperaturasuperficialuniformedelapareddeltuboparaestas condiciones. b)Si el gas refrigerante es aire en vez de helio, determine el flujo msico y la temperatura de salida del aire si la rapidez de eliminacin de calor y la temperatura superficial del tubo permanecen iguales. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 39Datos: Propiedades termofsicas del helio: T (K) (kg/m3) cp (J/kgK)107 (Ns/m2)106 (m2/s)k103 (W/mK)106 (m2/s) Pr 8000,059245193382-304-0,654 Solucin: a) Ts = 1.142,8 K; b) Tm,sal 919 K; airem& 0,0474 kg/s. 6.(8.50 del Incropera) Considere un tubo de pared delgada de 10 mm de dimetro y 2 m de longitud. Entra agua al tubo desde un recipiente grande am&= 0,2 kg/s y Tm,ent = 47 C. a)Si la superficie del tubo se mantiene a una temperatura uniforme de 27 C, cul es la temperatura de salida del agua, Tm,sal? b)Cul es la temperatura de salida del agua si se calienta mediante el paso de aire a T = 100 C y V = 10 m/s en flujo cruzado sobre el tubo? Las propiedades del aire se pueden evaluar a una temperatura de pelcula supuesta de 350 K. Solucin: a) Tm,sal 35-36 C; b) Tm,sal 47 C. 7.(8.53delIncropera)Unatuberadeacero(k=60W/mK)queconduceaguacalientese enfraexternamentemedianteaireenflujocruzadoaunavelocidadde20m/syuna temperatura de 25 C. Los dimetros interno y externo de la tubera son Dint = 20 mm y Dext = 25 mm, respectivamente. En cierta posicin a lo largo de la tubera, la temperatura media delaguaes80C.Supongaqueelflujodentrodeltuboestcompletamentedesarrollado con un nmero de Reynolds de 20.000. Encuentre la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de tubera. Solucin:q= 490 W/m. Correlaciones en conductos no circulares 8.(8.72 del Incropera) Aire a 310-4 kg/s y 27 C entra en un conducto de seccin rectangular de1mdelongitudyconunaseccinde4por16mm.Seimponeunflujodecalor uniforme de 600 W/m2 sobre la superficie del conducto. Cules son las temperaturas del aire y la de la superficie del conducto en la salida? Solucin: Tm,sal = 106,2 C; Ts,sal 128,5 C. 9.(8.80 del Incropera) Una placa fra es un dispositivo de enfriamiento activo que se une a un sistema generador de calor con el fin de disipar el calor mientras se mantiene el sistema a unatemperaturaaceptable.Normalmentesefabricadeunmaterialdealtaconductividad trmica,kpf,dentrodelquesehacencanalesporlosquepasaelfluidorefrigerante. Considerelaplacafradelasdimensionesdelafiguraenlaquelasparedeslateralesse pueden suponer aisladas y las paredes superior e inferior se mantienen en contacto con el dispositivogeneradordecaloraunatemperaturaconstanteTs.Lavelocidadyla temperatura media del refrigerante son um y Tm,ent, respectivamente. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 40 a)Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado a travs de cada canal plantee todaslasecuacionesnecesariasparacalcularlatemperaturadesalidadelrefrigerante, Tm,sal, y la transferencia total de calor a la placa fra, q. b)Resuelvaelsistemaconlossiguientesdatos:W=100mm,H=10mm,10canales cuadrados de w = h = 6 mm, = 4 mm. Ts = 360 K y kpf = 400 W/mK. El refrigerante es agua a um = 2 m/s y Tm,ent = 300 K. Propiedades promedio del agua: = 984 kg/m3, cp = 4.184 J/kgK, = 48910-6 Ns/m2, k = 0,65 W/mK, Pr = 3,15.Solucin: Tm,sal = 305,3 K; q = 15.818 W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 41PROBLEMAS TEMA 8. CONVECCIN LIBRE Placas verticales 1.(9.12 del Incropera) La puerta de un horno de 0,5 m de altura y 0,7 m de ancho alcanza una temperatura superficial promedio de 32 C durante el funcionamiento del horno. Estime la prdida de calor al cuarto con aire ambiente a 22 C. Si la puerta tiene una emisividad de =1ylosalrededorestambinestna22C,comentelaprdidadecalorporconveccin libre con relacin a la de radiacin. Solucin: qconv = 9,9 W; qrad = 21,4 W; qconv / qrad = 46 %. 2.(9.17 del Incropera) El vidrio delgado de una ventana cuadrada de 1 m de lado separa aire quietodeunahabitacinaTint=20CdelaireambientalexterioraText=-20C.Las paredes de la habitacin y el medio externo estn a la misma temperatura (Talr, int = 20 C, T alr, ext = -20 C). Si el vidrio tiene una emisividad de = 1, cul es su temperatura T? Cul es la prdida de calor a travs del vidrio? Solucin: T 1 C; q = 174 W. 3.(9.20delIncropera)Uncontenedordeparedesdelgadasconaguacalientea50Cse colocaenunbaodeaguafraenreposoa10C.Latransferenciadecalorenlas superficiesinternayexternadelcontenedorsepuedenaproximarporlaconveccinlibre en una placa vertical. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 42Determineelcoeficienteglobalpromediodetransferenciadecalor,U ,entreelagua caliente del contenedor y el agua fra del bao. Solucin: U 350 W/m2K. Placas inclinadas 4.(9.42delIncropera)Unaplacacuadradade1mdeladoinclinadaunngulode45se expone a un flujo neto de calor por radiacin de 300 W/m2 en su superficie inferior. Si la superficie superior de la placa est bien aislada, estime la temperatura que alcanza la placa cuando el aire ambiente est en reposo y a 0 C. Solucin: T = 61 C. Placas horizontales 5.(9.34delIncropera)Unaparrillacircularde0,25mdedimetroyemisividadde0,9se mantieneaunatemperaturasuperficialconstantede130C.Qupotenciaelctricase requierecuandoelaireambienteylosalrededoresestna24C?Supongaquelaparte inferior de la parrilla est aislada. Solucin: q = 91 W. 6.(9.29 del Incropera) Se tiene un transformador de potencia elctrica de forma cilndrica de dimetro 300 mm y altura 500 mm. Se desea mantener su temperatura superficial a 47 C mediante refrigeracin por conveccin libre y radiacin. La superficie tiene una emisividad de = 0,80. a)Determinecuantapotenciasepuedeeliminardesussuperficieslateralyhorizontal superior(lainferiorsesuponeaislada)cuandolatemperaturaambienteylos alrededores estn a 27 C. b)Se aaden 30 aletas verticales de 5 mm de espesor y 75 mm de longitud a lo largo de toda la superficie lateral. Cul es ahora la rapidez de eliminacin de calor si las aletas tienen la misma emisividad de 0,80 y una conductividad trmica de 240 W/mK? Solucin: a) q = 104,5 W; b) q = 531 W. Cilindros horizontales 7.(9.60 del Incropera) En un tubo de pared delgada de 20 mm de dimetro circula un fluido calienteaunatemperaturamediade45C.Eltubosemontahorizontalmenteenaireen reposo a 15 C. Se enrolla una cinta delgada de calentamiento elctrico sobre la superficie externadeltuboparaevitarprdidasdecalordelfluidocalientealaireambientey mantener su temperatura constante. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 43 a)Ignorando las prdidas de calor por radiacin, calcule el flujo de calor eq que se debe suministrar mediante la cinta elctrica. b)Calculeelflujodecalorteniendoencuentalaradiacin.Laemisividaddelacintaes 0,95 y los alrededores tambin estn a 15 C. c)Calcule el flujo de calor si se aade una capa de aislante (k = 0,050 W/mK) de espesor 20 mm y emisividad 0,60. Cul ser la temperatura superficial del aislante? Solucin: a) eq = 208 W/m2; b) eq = 388 W/m2; c) eq = 113,65 W/m2; Taisl = 20 C. 8.(9.51 del Incropera) Vapor saturado a 4 bar de presin con una velocidad media de 3 m/s fluyeatravsdeunatuberahorizontaldeaceroinoxidableAISI302cuyosdimetros interioryexteriorson55y65mm,respectivamente.Sesabequeelcoeficientede transferencia de calor por conveccin para el flujo de vapor es 11.000 W/m2K. a)Si la tubera se cubre con una capa de 25 mm de espesor de aislante (k = 0,051 W/mK) yseexponeaaireatmosfricoa25C,determinelatransferenciadecalorpor conveccin libre al cuarto por unidad de longitud de tubera. Cul es la temperatura de la superficie exterior del aislante? b)Laradiacinnetaalosalrededorestambincontribuyealaprdidadecalordela tubera.Sielaislantetieneunaemisividad=0,80ylosalrededoresestna25C, culserahoralaprdidadecalordelatuberaporunidaddelongitud?Calculela temperatura de la superficie exterior del aislante en estas condiciones. Datos: Acero inoxidable AISI 302: k (a 300 K) = 15,1 W/mK. Solucin: a)q 50 W/m; Taisl 52 C. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 45PROBLEMAS TEMA 9. INTRODUCCIN A LA RADIACIN Intensidad, potencia emisiva e irradiacin 1.(12.11 del Incropera) Con el fin de iniciar la operacin de un proceso se emplea un sensor demovimientoinfrarrojo(detectorderadiacin)paradeterminarlaaproximacindeuna pieza caliente sobre un sistema transportador. La seal de salida del sensor es proporcional a la rapidez a la que la radiacin incide sobre el sensor. ParaLd=1m,enquposicinx1lasealS1delsensoresel75%delaseal correspondiente a la posicin directamente debajo del sensor, So (x = 0)? Solucin: x1 = 0,39 m. Radiacin de cuerpo negro 2.(12.17delIncropera)SuponiendoquelasuperficiedelaTierraesnegra,estimesu temperaturasielSoltieneunatemperaturaequivalentedecuerponegrode5.800K.Los dimetros del Sol y de la Tierra son 1,39109 y 1,29107 m, respectivamente, y la distancia entre ellos es 1,51011 m. Solucin: TT = 279 K = 6 C. 3.(12.24delIncropera)Unelementodecalentamientoradianteelctricoenformadeanillo se comporta como un cuerpo negro y se mantiene a una temperatura de Th = 3.000 K y se usaenunprocesodeproduccinparacalentarunapequeapiezaquetieneunrea superficialAp=0,007m2.Lasuperficiedelelementodecalentamientosepuedesuponer negra. Para 1 = 30, 2 = 60, L = 3 m y W = 30 mm, cul es la rapidez a la que la energa radiante emitida por el calentador incide sobre la pieza? Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 46 Solucin: q = 278,4 W. Emisividad, absortividad, reflectividad y transmisividad 4.(12.25delIncropera)Laemisividadhemisfricaespectraldeltungstenosepuede aproximarmedianteladistribucinquesedescribemsadelante.Considereunfilamento cilndricodetungstenodedimetroD=0,8mmylongitudL=20mm.Elfilamentose encierraenunbulboalvacoysecalientamedianteunacorrienteelctricaauna temperatura de estado estable de 2.900 K. a)Cul es la emisividad hemisfrica total cuando la temperatura del filamento es 2.900 K? b)Suponga que los alrededores estn a 300 K. Cul es la rapidez inicial de enfriamiento del filamento cuando se desconecta la corriente? Suponga que el tungsteno se comporta como una superficie difusa. Propiedades termofsicas del tungsteno: = 19.300 kg/m3; cp (T = 2.000 K) = 167 J/kgK; cp (T = 2.500 K) = 176 J/kgK. Solucin: a) = 0,352; b) dT / dt = -1.996 K/s. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 475.(12.39delIncropera)UnpequeoobjetodifusoyopacoaTs=400Ksesuspendeenun hornograndecuyasparedesinterioresestnaTf=2.000K.Lasparedessondifusasy grisesytienenunaemisividadde0,20.Laemisividadhemisfricaespectralparala superficie del objeto se da a continuacin. a)Determine la emisividad y la absortividad total de la superficie del objeto. b)Evale el flujo radiante reflejado y el flujo neto radiativo hacia la superficie. c)Cul es la potencia emisiva espectral a = 2 m? d)Cul es la longitud de onda 1/2 para la que la mitad de la radiacin total emitida por la superficie est en la regin espectral > 1/2? Solucin: a) s = 0,5; s = 0,6; b) refq = 362.880 W/m2; neto radq, = 543.594 W/m2; c) E ( = 2 m) = 0,1265 W/m2m; d) 1/2 = 10,26 m. 6.(12.55delIncropera)Considereunasuperficiedifusaopacacuyareflectividadespectral vara con la longitud de onda como se muestra. La superficie est a 750 K, y la irradiacin sobre un lado vara con la longitud de onda como se muestra. El otro lado de la superficie est aislado. Cules son la absortividad total y la emisividad de la superficie? Cul es el flujo neto de calor radiativo hacia la superficie? Solucin: = 0,72; = 0,756; neto radq, = -11.757 W/m2. Aplicaciones 7.(12.74delIncropera)Unprocedimientoparamedirlaconductividadtrmicadeslidosa temperaturaselevadasimplicalacolocacindeunamuestraenlaparteinferiordeun horno. La muestra tiene espesor L y se coloca en un contenedor cuadrado de lado W cuyos ladosestnbienaislados.LasparedesdelacavidadsemantienenaTw,mientrasquela superficie inferior de la muestra se mantiene a una temperatura mucho ms baja Tc al hacer circular un refrigerante a travs del contenedor de la muestra. La superficie superior de la Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 48muestraesdifusaygrisconunaemisividads.SutemperaturaTssemidedemanera ptica. a)Ignorandolosefectosdelaconveccin,obtengaunaexpresindelacualsepueda evaluar la conductividad trmica de la muestra en trminos de las cantidades medidas y conocidas(Tw,Ts,Tc,syL).Lasmedicionesserealizanbajocondicionesdeestado estacionario. Si Tw = 1.400 K, Ts = 1.000 K, Tc = 300 K, s = 0,85 y L = 0,015 m, cul es la conductividad trmica de la muestra? b)SiW=0,1myelrefrigeranteesaguaconunflujomsicode cm& =0,1kg/s,es razonable suponer una temperatura uniforme Tc de la superficie inferior? Solucin: a) k = 2,93 W/mK; b) Tagua = 3,3 K S es razonable suponer Tc uniforme. 8.(12.78 del Incropera) Un termgrafo es un dispositivo que responde a la potencia radiativa que incide sobre su detector en la regin espectral 9-12 m. El termgrafo proporciona una imagen,porejemplodelladodeunhorno,delaquesepuededeterminarlatemperatura superficial. a)Para una superficie negra a 60 C determine la potencia emisiva para la regin espectral 9-12 m. b)Calcule la potencia radiante (en W) recibida por el termgrafo en el mismo rango (9-12 m)cuandove,enunadireccinnormal,unapequeareadeunaparednegra,200 Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 49mm2,aTs=60C.Elnguloslidosubtendidoporlaaberturadeltermgrafo cuando se ve desde el rea objetivo es 0,001 sr. c)Determine la potencia radiante (en W) que recibe el termgrafo para la misma rea de pared y ngulo slido anterior cuando la pared es un material gris, opaco y difuso a Ts = 60 C, con emisividad 0,70 y los alrededores son negros a Talr = 23 C. Solucin: a) Eb (9-12) = 144,77 W/m2; b) qrad = 9,21610-6 W; c) qrad = 8,0810-6 W. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 51PROBLEMAS TEMA 10. INTERCAMBIO DE RADIACIN ENTRE SUPERFICIES Factores de forma 1.(13.1 del Incropera) Determine F12 y F21 para las siguientes configuraciones con el uso de las relaciones bsicas de los factores de forma. No use tablas ni grficas. Solucin: a) F12 = 1 y F21 = 4/3; b) F12 = 0,5 y F21 = 0,25; c) F12 = 1 y F21 = 2/; d) F12 = 0,5 y F21 = 1/ 2 ; e) F12 = 0,5 y F21 = 0; f) F12 = 1 y F21 = 1/8; g) F12 = 0,5 y F21 = 2/. 2.(13.4delIncropera)UnacapametlicahemisfricadelgadadedimetroD=0,8mse suspendedentrodeunrecintocbicode1,5metrosdelado.Determinelosfactoresde forma F11, F22 y F33. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 52 Solucin: F11 = 0,5; F22 = 0; F33 = 0,888. 3.(13.7delIncropera)DetermineelfactordeformaF12delosrectngulosperpendiculares que se muestran en la figura. Solucin: F12 = 0,075. Intercambio de radiacin de cuerpo negro 4.(13.15delIncropera)Uncalentadortubularconunasuperficieinteriornegrade temperatura uniforme Ts = 1.000 K irradia un disco coaxial. Determine la potencia radiante del calentador que incide sobre el disco, qs1, y la irradiacin sobre el disco, G1. Solucin: qs1 = 15,6 W; G1 =7.938 W/m2. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 535.(13.32delIncropera)Elaguaquefluyeatravsdeunnmerograndedetuboslargos circularesdepareddelgadasecalientapormediodeplacasparalelasporencimaypor debajo del dispositivo de tubos. El espacio entre las placas est al vaco y las superficies de lasplacasytubossepuedenaproximarcomocuerposnegros.Ignorandolasvariaciones axiales,determinelatemperaturasuperficialdelostubos,Ts,sielaguafluyeatravsde cada tubo con un caudal msicom&= 0,2 kg/s y a una temperatura media Tm = 300 K. Solucin: Ts 308 K. Intercambio de radiacin entre superficies grises difusas 6.(13.39delIncropera)Consideredosplacasparalelasmuylargasconsuperficiesgrises difusas.Determinelairradiacinylaradiosidadparalaplacasuperior.Culesel intercambio neto de radiacin entre las placas por unidad de rea? Solucin: G1 = 14.175 W/m2; J1 = 56.700 W/m2; 12q = 42.525 W/m2. 7.(13.51delIncropera)Considereelrecintodetressuperficiesquesemuestraenlafigura. La placa inferior (A1) es un disco negro de 200 mm de dimetro y se le suministra calor a raznde10.000W.Laplacasuperior(A2),undiscocoaxialaA1,esunasuperficiegris difusacon2=0,8yT2=473K.Loslados,grisesydifusos,entrelasplacasestn perfectamenteaislados.Supongaquelatransferenciadecalorporconveccines insignificante.Determinelatemperaturadeoperacindelaplacainferior,T1,yla temperatura de los lados aislados, T3. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 54 Solucin: T1 = 1.823 K; T3 = 1.581 K. 8.(13.57 del Incropera) El extremo de un tanque propulsor cilndrico de lquido criognico en elespaciosevaaprotegerdelaradiacinexternasolarmediantelacolocacindeun escudo metlico delgado en la parte frontal del tanque. Suponga que el factor de forma Fts entreeltanqueyelescudoeslaunidad.Todaslassuperficiessondifusasygrisesylos alrededoresestna0K.Encuentrelatemperaturadelescudo,Ts,yelflujodecaloral extremo del tanque. Solucin: Ts = 338 K; stq = 25,4 W/m2. 9.(13.67 del Incropera) Un elemento cilndrico largo de calentamiento de dimetro D1 = 10 mm, temperatura T1 = 1.500 K y emisividad 1 = 1 se usa en un horno. El rea de la parte inferior(A2)esunasuperficiegrisdifusacon2=0,6ysemantieneaT2=500K.Las paredes lateral y superior estn construidas con ladrillo refractario aislante que es difuso y griscon3=0,9.Lalongituddelhornoendireccinnormalalapginaesmuylargaen comparacin con el ancho w y el alto h. Ignorando la conveccin y tratando las paredes del hornocomoisotrmicas,determinelapotenciaporunidaddelongitudquesedebe proporcionaralelementocalentadorparamantenercondicionesdeestadoestacionario. Calcule la temperatura de la pared del horno. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 55 Solucin: 1q= 8.542 W/m; T3 = 733 K. Transferencia de calor multimodal 10.(13.87delIncropera)Unaplacacuadrada,gris,difusayopacade200mmdeladoycon una emisividad de 0,8 se coloca en la abertura de un horno y se sabe que est a 400 K en cierto instante. La parte inferior del horno, que tiene las mismas dimensiones que la placa, esnegrayoperaa1.000K.Lasparedeslateralesdelhornoestnbienaisladas.Laparte superiordelaplacaseexponealaireambienteconuncoeficientedeconveccinde25 W/m2K.Elaireylosalrededoresestna300K.Supongaquelaconveccinenla superficie inferior de la placa es insignificante. a)Evale la transferencia neta de calor radiativa para la superficie inferior de la placa. b)Si la placa tiene una masa de 2 kg y una calor especfico de 900 J/kgK, cul ser el cambio en la temperatura de la placa con el tiempo, dT / dt? Solucin: a) q2, rad = 1.153 W (entrante); b) dT / dt = 0,57 K/s. 11.(13.93 del Incropera) La absortividad espectral de una superficie difusa grande es = 0,9 para < 1 m y = 0,3 para > 1 m. La parte inferior de la superficie est bien aislada, mientras que la superior se puede exponer a dos condiciones diferentes. Transferencia de Calor / Curso 2009-10 Problemas 56 a)En el caso (a) la superficie se expone al Sol, que proporciona una irradiacin de Gs = 1.200 W/m2, y a un flujo de aire para el que T = 300 K. Si la temperatura superficial es Ts = 320 K, cul es el coeficiente de conveccin asociado al flujo de aire? b)En el caso (b) la superficie est protegida del Sol por una placa grande y se mantiene unflujodeaireentrelaplacaylasuperficie.Laplacaesdifusaygrisconuna emisividad p = 0,8. Si T = 300 K y el coeficiente de conveccin es el mismo que el delcaso(a),culeslatemperaturadelaplaca,Tp,necesariaparamantenerla superficie a Ts = 320 K? Hay que tener en cuenta que sobre la placa incide la radiacin del Sol. Solucin: a)h= 35 W/m2K; b) Tp = 484 K.