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Problemas resueltos de derivadas - · PDF file1 Problemas resueltos de derivadas Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante

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  • 1

    Problemas resueltos de derivadas Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una funcin por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonomtricas

    Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicacin de mximos y mnimos Erving Quintero Gil Ing. Electromecnico Bucaramanga Colombia 2010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected] [email protected] [email protected]

    mailto:[email protected]:[email protected]

  • 2

    DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 123 f(x) = 5 f (x) = 0 DERIVADA DE LAS POTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x 0

    1-nn n x x dxd

    =

    Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 124 f(x) = x8

    ( ) 1-88 x8 x dxd

    =

    ( ) 7' x8 x f =

    Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 124 f(x) = x

    ( ) 1-1 x x dxd

    =

    ( ) 0' x x f =

    f (x) = 1 Derivada del producto de una funcin por una constante Si f es una funcin, c es una constante y g es la funcin definida por g (x) = c f(x) y si f existe, entonces g (x) = c f (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 125 f(x) = 5 x7

    ( ) ( )77 xdxd5 x5

    dxd

    =

  • 3

    ( ) ( ) 1-7' x7 5 x f = ( ) 6' x35 x f =

    DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la funcin definida por h(x) = f(x) + g(x) y si f (x) y g (x) existen, entonces h (x) = f (x) + g (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 126 f(x) = 7 x4 2 x3 + 8 x + 5

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 dxd x

    dxd8

    dxx d 2 - x

    dxd7 5 x 8 x2 - x7

    dxd 3434 ++=++

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 x 1 8 x 3 2 - x 4 7 xf 1-11-31-4' ++=

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x 8 x 6 - x 28 xf 023' ++= ( ) 8 x6 - x28 xf 23' +=

    Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4

    ( ) ( )dx3x d

    dx3x d y'

    44 -+=

    y= (3) (-4) x -4 -1 + (3) (4) x 4 -1 y= -12x -5 + 12x 3 ordenando

    5x

    12 - 312x y'=

    DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera funcin por la derivada de la segunda ms la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) tambin lo es,

    ( ) dxdu v

    dxdvu uv

    dd

    +=

    La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.

  • 4

    En notacin prima, (u v) = u v + v u

    Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pg. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    x x3 4x - x2 d x'h 2523 +

    =

    ( ) [ ] ( ) [ ]23252523' x4 x2dxd x x3 x x3

    dxd x4 - x2 x)(h +++=

    ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1-21-3251-21-523' x2 4 - x3 2 x x3 x2 x5 3 x4 - x2 x)(h +++=

    ++

    +

    = x8 - 2 x6 2 x 53x x2 4 x15 24x - 32x x)('h

    Resolviendo el polinomio

    36473467' x8 - x24 - x6 x18 x8 - x4 x60 - x30 x)(h +++=

    36473467' x8 - x24 - x6 x188x -4x x60 - x30 x)(h +++= Reduciendo trminos semejantes

    316x -410x 6 x84 - 7 x48 x)('h += Ejemplo # 1 seccin 3.4 calculo Larson Edic 5 Pg. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    45 x2 - x 3 d x' f2 x+

    =

    ( ) [ ] ( ) [ ]22' x2 3dxd x4 5 x4 5

    dxd x2 - x 3 x)(f +++= x

    ( )[ ] ( )[ ]1-22' x2*2 - 3 x4 5 4 x2 - x 3 x)(f ++=

    ( )[ ] ( ) [ ]12' x2*2 - 3 4x 5 4 2x -3x x)(f ++=

    [ ] ( )[ ] x4 - 3 x4 5 x8 - x 12 x)(f 2' ++= Resolviendo el polinomio

    [ ] ( ) x16 - x 20 - x 12 15 x8 - x 12 x)(f 22' ++= Reduciendo trminos semejantes

  • 5

    [ ] ( ) x16 - x 8 - 15 x8 - x 12 x)(f 22' += 16x -8x - 15 8x -12x x)(f 22' +=

    15 x24 - x 4 x)(f 2' += Ordenando

    15 x 4 x24 - x)(f 2' ++= Ejemplo # 2 seccin 3.4 calculo Larson Edic 5 Pg. 132 Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1) Primer termino = (1 + x - 1) Segundo termino = (x - 1)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    1 x 1 d x' f1 - +

    =x

    ( ) [ ] ( ) [ ]1 -1 -' x 1dxd 1 -x 1x

    dxd x 1 x)(f +++=

    ( ) [ ] ( ) [ ]1-1 -1 -' x 1 1 -x 1xdxd x 1 x)(f +++=

    [ ] ( )

    +

    += 2 - x1 - 1 -x 1 1 - x 1 x)('f

    ( ) ( ) [ ]2 -1 -' x- 1 -x x 1 x)(f ++= Resolviendo el polinomio

    ( ) [ ]2 -1 -1 -' x x1 - x 1 x)(f +++= Reduciendo trminos semejantes

    2-1 -1 -' x x- x 1 x)(f ++=

    2-' x 1 x)(f +=

    2

    2

    2'

    x

    1 x x

    1 1 x)(f +=+=

    Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 4 Hallar la derivada de f(x) = (x2 2x + 1) (x3 - 1) Primer termino = (x2 2x + 1) Segundo termino = (x3 - 1)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    1 1 x 2- x d x' f32 +

    =x

    ( ) [ ] ( ) [ ]1 x 2 - xdxd 1 x 1 x

    dxd 1 x 2 - x x)(f 2332' +++=

  • 6

    ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1 x2 - x2 1 x x3 1 x 2 - x x)(f 1-11-231-32' +++= ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] x2 - x 2 1 x x3 1 x 2 - x x)(f 0131-32' ++= ( )[ ] ( )[ ]2 - x 2 1 x 3x 1 x 2 - x x)(f 322' ++=

    Resolviendo el polinomio

    ( ) [ ]2 x2 - x 2 - x2 x3 x6 - x3 x)(f 34234' +++= Reduciendo trminos semejantes

    2 2x -2x - 2x 3x 6x - 3x x)(f 34 234' +++=

    Reduciendo trminos semejantes

    2 x 2 - x3 x8 - x5 x)(f 234' ++=

    Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 5 Hallar la derivada de f(x) = (x3 3 x) (2 x2 + 3 x + 5) Primer termino = (x3 3 x) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    5 3 2 3x- x d x' f23 ++

    =xx

    ( ) [ ] ( ) [ ] x3 - xdxd 5 x 3 x2 5 x 3 x2

    dxd x 3 - x x)(f 3223' +++++=

    ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1-11-321-11-23' x3 - x3 5 x 3 x2 x3 x2 x 3 - x x)(f ++++=

    ( )[ ] ( )[ ]3 - x3 5 x 3 x2 3 x 4 x 3 - x x)(f 223' ++++=

    Resolviendo el polinomio

    [ ] ( )15 - x 9 - x6 - x15 x9 x6 x9 - x3 x12 - x4 x)(f 2234324' ++++= Reduciendo trminos semejantes

    15 -9x - 6x x15x96x 9x - 3x 12x - 4x x)(f 2234324' ++++= Reduciendo trminos semejantes

    15 - x 18 - x3 x12 x10 x)(f 234' += Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 6 Hallar la derivada de f(x) = (x 1) (x2 3 x + 2) Primer termino = (x 1) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)

  • 7

    ( ) ( ) ( )[ ] dx

    2 3 2 1-x d x' f2 ++

    =xx

    ( ) [ ] ( ) [ ]1 - x dxd 2 x 3 x 2 x 3 x

    dxd 1 -x x)(f 22' +++=

    ( ) ( )[ ] ( )[ ]1 - x 2 x 3 x x3 x2 1 -x x)(f 21-11-2' ++=

    ( )[ ] ( ) [ ]1 2 x 3 x 3 x 2 1 -x x)(f 2' ++=

    Resolviendo el polinomio

    [ ] ( )2 3x x 3 3x -2x 2x x)(f 22' +++= Reduciendo trminos semejantes

    [ ] ( )2 x 3 x 3 x 5 2x x)(f 22' +++= Reduciendo trminos semejantes

    2 3x - x 3 5x - 2x x)(f 22' +++=

    5 x 8 - x3 x)(f 2' += Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pg. 136. Problema 7

    Hallar la derivada de ( )

    =

    25

    x1 x3 x f(x)

    Primer termino = (x5 3 x)

    Segundo termino =

    2x

    1

    ( )( )

    dx

    1 x3 - x d x' f

    25

    =x

    ( ) [ ]3x - xdxd

    x1

    x1

    dxd x 3 - x x)(f 5

    225'

    +

    =

    ( ) [ ] [ ] x3 - xdxd

    x1 x

    dxd x 3 - x x)(f 5

    22 -5'

    +=

    ( )

    +

    = 3x - 5 x

    dxd

    2x

    1 1-2 -x 2 - 3x - 5x x)('f

    ( )( )[ ] ( )[ ]1-11-52

    1-2 -5' x3 - x5 x1 x 2 - x 3 - x x)(f

    +=

    ( )[ ] [ ]3 - x5 x1 2x - x 3 - x x)(f 42

    3 -5'

    +=

    Resolviendo el polinomio

  • 8

    ( ) [ ]3 - x5 x1

    x2- x 3 - x x)(f 4

    235'

    +

    =

    x

    3 - x5 x

    x6 x2 - x)(f2

    4

    3

    5'

    +

    +=

    x

    3x - 5x 6x 2x - x)(f3

    55'

    ++=

    Reduciendo trminos semejantes

    x

    x 3 x3 x)(f3

    5'

    +=

    x x3

    x x3 x)(f

    33

    5' +=

    x

    3 x3 x)(f2

    2' +=

    Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 14 Hallar la derivada de ( )3 x x f(x) 3 +=

    36 32 x 3 x* x f(x) +=

    3 x 3 6 5x f(x) +=

    31

    65

    x3 x f(x) += Se convierte en una suma

    +

    = x3

    dxd x

    dxd x)(f 3

    165

    '

    32 -

    61 -' x3 *

    31 x

    65 x)(f +=

    Resolviendo el polinomio

    32 -

    61 -

    ' x x65 x)(f +=

    32

    61

    '

    x

    1

    x6

    5 x)(f +=

  • 9

    Seccin 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 16 Hallar la derivada de h(x) = (x2 1)2 h(x) = (x2 1) (x2 1) Primer termino = (x2 1) Segundo termino = (x2 1)

    ( ) ( )( )[ ] dx

    1 1 - x d x'h 22

    =x

    ( ) [ ] ( ) [ ]1 - xdxd 1 x 1 x

    dxd 1 - x x)(h 2222' +=

    [ ] [ ]2x 1 2x 2x 1 - 2x x)('h

    +

    =

    Reduciendo trminos semejantes

    ( ) [ ] x2 1 - x 2 x)(h 2' = Resolviendo el polinomio

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