PORIBLEMAS RESUELTOS DE DOS ECUAICIONES CON DOS INCOGNITAS

Problemas resueltos de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas

1

Juan compr un ordenador y un televisor por 2000 y los vendi por 2260 .

Cunto le cost cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador gan el 10% y en la venta del televisor gan el 15%?

xprecio del ordenador.

yprecio del televisor.

precio de venta del ordenador.

precio de venta del televisor.

800 precio del ordenador.

1200 precio del televisor.

2

Cul es el rea de un rectngulo sabiendo que su permetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

xbase del rectngulo.

yaltura del rectngulo.

2x + 2ypermetro.

6 cmbase del rectngulo.

2 cmaltura del rectngulo.3

Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. Cuntos cerdos y pavos hay?

xnmero de pavos.

ynmero de cerdos.

32nmero de pavos.

26nmero de cerdos.

4

Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes t", y Pedro contesta: "si t me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". Cunto dinero tena cada uno?

xdinero de Antonio.

ydinero de Pedro.

24dinero de Antonio.

12dinero de Pedro.

5

En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el nmero total de personas que usan gafas es 11. Cuntos hombres y mujeres hay en la empresa?

xnmero de hombres.

ynmero de mujeres.

hombres con gafas.

mujeres con gafas.

35nmero de hombres.

25nmero de mujeres.

6

La cifra de las decenas de un nmero de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho nmero le restamos 27 se obtiene el nmero que resulta

al invertir el orden de sus cifras. Cul es ese nmero?xcifra de las unidades

ycifra de las decenas

10x + ynmero

10y + xnmero invertido

y = 2x

(10y + x) 27 = 10x + y

10 2x + x 27 = 10x + 2x

20x + x 12x = 27x = 3 y = 6

Nmero637

Por la compra de dos electrodomsticos hemos pagado 3500 . Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiramos pagado 3170 . Cul es el precio de cada artculo?

xprecio del 1.

yprecio del 2.

descuento en el 1.

descuento en el 2.

2500 precio del 1.

1000 precio del 2.

8

Encuentra un nmero de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un nmero que es igual al primero menos 27.

xcifra de las unidades

ycifra de las decenas

10x + ynmero

10y + xnmero invertido

Nmero41

Ejemplo 1El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artculo.SOLUCIN:Seax= el costo de un libro en pesos, yy= el costo de un lapicero en pesos. Segn el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solucin de este sistema es dex=4, yy=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fcilmente. As, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.Ejemplo 2Hallar dos nmeros tales que la suma de sus recprocos sea 5, y que la diferencia de sus recprocos sea 1.SOLUCIN:Seax= el nmero menor yy= el nmero mayor. La suma y la diferencia de sus recprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incgnitas 1/xy 1/y. As, sumando las dos ecuaciones tenemos:de dondeyRestando la segunda ecuacin de la primera, obtenemos:de dondeyPor tanto, los dos nmeros son 1/3 y .Ejemplo 3Si a los dos trminos de una fraccin se aade 3, el valor de la fraccin es 1/2 , y si a los dos trminos se resta 1, el valor de la fraccin es 1/3. Hallar la fraccin.SOLUCIN:Seaxel numerador yyel denominador. Entoncesx/y= la fraccin.Aadiendo3 acada trmino, la fraccin se convierte en, y segn las condiciones del problema el valor de esta fraccin es 1/2 ; luego:Restando1 acada trmino, la fraccin se convierte en, y segn las condiciones del problema el valor de esta fraccin es 1/3 ; luego:Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

Quitando los denominadores:Trasponiendo y reduciendo:Restando:Ejemplo 3Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. Cuntos billetes son de $5 y cuntos de $2?SOLUCIN:Seax=el nmero de billetes de $2 yy=el nmero de billetes de $5. Segn las condiciones:x+y=33.Conxbilletes de $2 se tienen $2xy conybilletes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x+ 5y= 120.Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:Resolviendo se encuentra x=15, yy=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.Ejercicios resueltos de sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. Mtodo de Gauss

1

1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga elcoeficiente en x ms bajo.

2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

E'2= E2 3E1

3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.

E'3= E3 5E1

4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.

E''3= E'3 2E'2

5Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6Encontrar las soluciones.

z = 1 y + 4 1 = 2y = 6x + 6 1 = 1x = 42

3

4

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 por 24 l de leche, 6 kg de jamn serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artculo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 l de aceite ms 4 l de leche.

lechex

jamny

aceitez

leche1 jamn16 aceite3 6

Los lados de un tringulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vrtice se dibujan tres de conferencias, tangente entre s dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.