Probleme CURS MCCP 04

Exemple de probleme rezolvate pentru capitolul Condensatoare Partea II

1

Determinarea capacităţii electrice a unui condensator pe baza dimensiunilor sale Problema 1. Se consideră un condensator compus din 2 armături, separate de un material dielectric realizat din mică, pentru care permitivitatea electrică relativă este εεεεr = 5. Se consideră că armăturile condenstorului se suprapun pe o suprafaţă de S=20[mm2], şi sunt separate la o distanţă d = 4[mm]. Să se calculeze valoarea capacităţii electrice a condensatorului respectiv. Rezolvare: Iniţial, se calculează capacitatea electrică a condensatorului cu vid cu relaţia:

d

SεC ⋅= 00

Deoarece dimensiunile suprafeţei S şi a distanţei d sunt exprimate în milimetri, iar valoarea capacităţii C este exprimată în Farazi/metru, pentru realizarea corectă a calculelor numerice este necesară transformarea valorilor parametrilor geometrici S, respectiv d, din milimetri în metri:

[ ] [ ] [ ] [ ] ][102010102020][20 26332 mmmmmmmmmS −−− ⋅=⋅⋅=⋅==

[ ] [ ]mmmd 31044 −⋅==

⇒ [ ] [ ]mm

F

m

m

m

F

mm

mm

m

FC 312

3

2612

212

0 1051085,8][104

][10201085,8

4

][201085,8 −−

−

−−− ⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

⇒ [ ] ( )[ ] ( )[ ]FFFC 153123120 1025,4410585,81051085,8 −−−−− ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= ⇒ [ ]FC 15

0 1025,44 −⋅=

Capacitatea electrică a condensatorului cu mică se calculează pe baza valorii capacităţii electrice a condensatorului cu vid, cu relaţia:

0CεC r ⋅=

⇒ [ ] [ ] [ ] [ ]FFFFCC r121531515

0 1022,0101022,01025,2211025,445 −−−− ⋅=⋅⋅≅⋅=⋅⋅=⋅= ε

⇒ [ ]FC 121022,0 −⋅= sau [ ]pFC 22,0=


2

Problema 2:

Problema 3:


3

Problema 4. Să se determine valorile parametrilor capacitate nominală CN, respectiv tensiune nominală UN, ai condensatorului indicat în figura de mai jos. Ce se întâmplă dacă tensiunea care se aplică pe terminalele condensatorului depăşeşte valoarea indicată de tensiunea nominală UN?

Rezolvare: Valorile celor doi parametrii sunt indicate direct pe capsula condensatorului electrolitic, aşa cum este precizat în figura de mai jos:

CN = 1000[µF] UN = 10 [V]

Dacă tensiunea pe terminalele condensatorului depăşeşte valoarea tensiunii nominale (10[V]), atunci condensatorul este suprasolicitat şi se distruge (prin explozie). Problema 5. Să se determine valorile parametrilor CN - capacitate nominală, respectiv δδδδ - toleranţă, pe baza codului numeric al valorilor pentru setul de condensatoare indicat în figura de mai jos.

Rezolvare: Pentru determinarea valorilor parametrilor indicaţi, se ţine cont de faptul că primele două cifre ale indicaţiei reprezintă valoarea numerică a capacităţii electrice, a 3a indicaţie specifică ordinul de multiplictate a valorii reprezentate de primele 2 cifre, iar litera reprezintă valoarea toleranţei. Pentru interpretarea indicaţiilor, se utilizează tabelul următor:

În cazul în care înaintea indicaţiilor nu apare punctul, valoarea capacităţii nominale se calculează prin înmulţirea numărului compus din primele 2 cifre cu ordinul de multiplicitate. Rezultatul obţinut indică valoarea capacităţii nominale exprimată în picofarazi. Dacă înaintea indicaţiilor apare punctul, valoarea capacităţii nominale este exprimată în microfarazi, iar primele 2 cifre reprezintă primele 2 zecimale ale numărului. Pe baza acestor considerente, valorile parametrilor condensatoarelor sunt indicate în figura de mai jos:


4

Problema 6. Calculul domeniului de valori a capacităţii electrice a unui condensator Să se determine domeniul de valori a capacităţii electrice a unui condensator care are capacitatea nominală CN=22 [nF], şi toleranţă δδδδ=20%. Rezolvare: Domeniul de valori a capacităţii electrice a unui condensator se determină cu relaţia:

⋅+⋅−∈ NNNNREAL CCCCC100

,100

δδ

[ ][ ]nFCREAL 222,022,222,022 ⋅+⋅−∈

[ ][ ]nFCREAL 4,26,6,17∈

Gruparea serie a condensatoarelor Problema 7. Să se deducă expresia capacităţii CS a condensatorului echivalent grupării de condensatorare Ci i=1,N conectate în serie, ca în figura de mai jos:

Rezolvare În cazul în care un set de condensatoare sunt grupate în serie, curentul electric care trece prin acestea este acelaşi şi, conform cu figura de mai sus egal cu iAB. Deoarece între curentul electric şi sarcina electrică există relaţia generală,

dt

dQi =

dacă se consideră că Q1 este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate C1...., iar QN este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate CN, atunci, relaţia de mai sus se poate

particulariza astfel: dt

dQiAB

1= .... dt

dQi NAB = . Pe de altă parte, prin condensatorul


5

echivalent de capacitate CS trece acelaşi curent electric iAB, deci dt

dQi SAB = , unde QS este sarcina

electrică stocată pe condensatorul de capacitate CS. Din aceste relaţii rezultă faptul că

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ SN === ....1 din care, dacă fiecare derivată se integrează pe acelaşi interval de timp,

rezultă următoarea relaţie generală:

NS QQQ === ...1 Pentru fiecare condensator, cantitatea de sarcină electrică Q stocată pe armăturile sale depinde de capacitatea electrică C a condensatorului şi de tensiunea v aplicată pe terminalele sale după relaţia:

vCQ ⋅= Rezultă că sarcina electrică stocată pe fiecare condensator din grupul serie este: 111 CvCQ ⋅= ....

CNNN vCQ ⋅= , iar pentru condensatorul echivalent este ABSS vCQ ⋅= . Deoarece, după cum se

observă din figura CNCAB vvv ++= ...1 , pe baza relaţiilor de mai sus şi a faptului că sarcina

electrică stocată pe fiecare condensator este egală, rezultă relaţia generală a capacităţii electrice a condensatorului echivalent al grupării serie în funcţie de capacităţile electrice ale condensatoarelor grupării:

NS CCC

1...

11

1++=

Problema 8. Gruparea în serie a condensatoarelor Se consideră circuitul din figura de mai jos în care E=50[V], C1=200[µF], C2=50[µF]. Să se determine: a. Valoarea capacităţii condensatorului echivalent al celor două condensatoare din circuit. b. Valoarea sarcinii electrice stocate pe condensatorul echivalent şi pe fiecare condensator al circuitului. c. Valoarea tensiunii pe fiecare condensator al circuitului.

Rezolvare: a. Condensatoarele sunt grupate în serie. Relaţia generală de calcul a capacităţii echivalente CS pentru N condensatoare grupate în serie este:

NS CCC

1...

11

1++=


6

Pe baza relaţiei generale de mai sus, pentru circuitul considerat, relaţia de calcul a capacităţii serie a celor 2 condensatoare este:

21

111

CCCS+=

⇒

21

21CC

CCCS +

⋅=

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]F

F

F

FF

FFCS µ

µµ

µµµµ

40250

10000

50200

50200 2==

+⋅=

[ ]FCS µ40=

După determinarea condensatorului echivalent CS, cele 2 condensatoare grupate în serie se pot înlocui cu acesta, iar structura circuitului se simplifică ca în figura de mai jos:

b. În cazul în care un grup de condensatoare sunt grupate în serie, sarcina electrică stocată pe condensatorul grupării serie CS este egală cu sarcina electrică stocată pe fiecare condensator al grupării:

NS QQQ === ...1 unde:

QS este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate CS; Q1 este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate C1; ... QN este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate CN.

Relaţia generală după care se calculează cantitatea de sarcină electrică stocată pe armăturile unui condensator este următoarea:

VCQ ⋅= care, particularizată pentru condensatorul CS, devine:

ECQ SS ⋅=

⇒

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]CCVFVFVFQ

C

S416166 10201020105101045010405040 −+−−− ⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

321µ

⇒

[ ]CQS3102 −⋅=

Deoarece, pentru grupăarea serie, pe toate condensatorele se stochează aceeaşi cantitate de sarcină

electrică ⇒ [ ]CQ 31 102 −⋅= şi [ ]CQ 3

2 102 −⋅=


7

c. Tensiunile pe cele 2 condensatoare se calculează din relaţia de calcul a sarcinii electrice stocate pe condensator:

1

11 C

QV = ⇒⇒⇒⇒

[ ][ ]

[ ][ ]

( ) [ ]VF

C

F

C

F

CV 1010

10102

102

200

102 62362

33

1 =

=⋅⋅

⋅=⋅= +−−−

−−

µ [ ]VV 101 =

2

22 C

QV = ⇒⇒⇒⇒

[ ][ ]

[ ][ ]

( ) [ ]VF

C

F

C

F

CV 2613

6

33

2 104,0104,010105

102

50

102 ⋅=

⋅=⋅⋅

⋅=⋅= +−−−

−−

µ [ ]VV 402 =

Gruparea paralel a condensatoarelor Problema 9. Să se deducă expresia capacităţii CP a condensatorului echivalent grupării de condensatorare Ci i=1,N conectate în paralel, ca în figura de mai jos:

Rezolvare În cazul în care un set de condensatoare sunt grupate în paralel, tensiunea care cede pe terminalele acestora este acelaşi şi, conform cu figura de mai sus egală cu vAB. Pentru fiecare condensator, cantitatea de sarcină electrică Q stocată pe armăturile sale depinde de capacitatea electrică C a condensatorului şi de tensiunea v aplicată pe terminalele sale după relaţia:

vCQ ⋅= Rezultă că sarcina electrică stocată pe fiecare condensator din grupul serie este: ABvCQ ⋅= 11 ....

ABNN vCQ ⋅= , iar pentru condensatorul echivalent este ABPP vCQ ⋅= .

După cum se observă din figura de mai sus, aplicând teorema lui Kirhoff 1 în nodul de circuit A, rezultă

NAB iii ++= ...1 ,

Între curentul electric şi sarcina electrică există relaţia generală,

dt

dQi =

care, particularizată pentru condensatoarele din figură, devine: dt

dQi 11 = , ... ,

dt

dQi NN = ,

dt

dQi PAB = ⇒

dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ NP ++= ...1 . Deoarece, în mod uzual valoarea capacităţii

electrice a condensatoarelor este constantă în timp ⇒ dt

dvC

dt

dvC

dt

dvC AB

NABAB

P ⋅++⋅=⋅ ...1


8

⇒ relaţia generală a capacităţii electrice a condensatorului echivalent al grupării paralel în funcţie de capacităţile electrice ale condensatoarelor grupării:

NP CCC ++= ...1

Problema 10. Gruparea în paralel a condensatoarelor Se consideră circuitul din figura de mai jos în care E=40[V], C1=30[µF], C2=10[µF]. Să se determine: a. Valoarea capacităţii condensatorului echivalent al celor două condensatoare din circuit. b. Valoarea sarcinii electrice stocate pe fiecare condensatorul echivalent şi pe fiecare condensator al circuitului.

Rezolvare: a. Condensatoarele sunt grupate în paralel. Relaţia generală de calcul a capacităţii echivalente CP pentru N condensatoare grupate în paralel este:

NP CCC ++= ...1

Pe baza relaţiei generale de mai sus, pentru circuitul considerat, relaţia de calcul a capacităţii serie a celor 2 condensatoare este:

21 CCCP +=

⇒ [ ] [ ] [ ]FFFCP µµµ 401030 =+=

[ ]FCP µ40=

După determinarea condensatorului echivalent CP, cele 2 condensatoare grupate în parale se pot înlocui cu acesta, iar structura circuitului se simplifică ca în figura de mai jos:

b. În cazul în care un grup de condensatoare sunt grupate în paralel,

NP CCC ++= ...1


9

Deoarece pentru fiecare condensator v

QC = , iar în cazul grupării paralel, tensiunea care cade pe

terminalele fiecărui condensator este egală, atunci sarcina electrică stocată pe condensatorul grupării paralel CP este egală cu:

NP QQQ ++= ...1

unde: QP este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate CP; Q1 este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate C1; ... QN este sarcina electrică stocată pe condensatorul de capacitate CN.

Relaţia generală după care se calculează cantitatea de sarcină electrică stocată pe armăturile unui condensator este următoarea:

VCQ ⋅= care, particularizată pentru condensatorul CP (pe care, aşa cum se observă din circuitul echivalent, tensiunea este E) devine:

ECQ PP ⋅=

⇒

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]CCVFVFVFQ

C

P416166 10161016104101044010404040 −+−−− ⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

321µ

[ ]CQP3106,1 −⋅=

Pentru calculul valorilor sarcinilor electrice stocate pe cele 2 condensatoare se ţine cont de faptul că tensiunea electrică pe acestea este egală cu tensiune sursei de tensiune E:

EVV CC == 21

ECQ ⋅= 11 ⇒ [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]CVFVFVFQ

C

416161 10121012104101034030 −+−− ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=

321µ

[ ]CQ 31 102,1 −⋅=

ECQ ⋅= 22 ⇒ [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]CVFVFVFQ

C

416162 10410410410104010 −+−− ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

321µ

[ ]CQ 32 104,0 −⋅=

Documents

Probleme CURS MCCP 04