Problemy redukcji drgań konstrukcji budowlanych z wiskotycznymi i

Embed Size (px)

Text of Problemy redukcji drgań konstrukcji budowlanych z wiskotycznymi i

  • Biuletyn WAt Vol. lXi, nr 4, 2012

    Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga

    Roman Lewandowski

    Politechnika Poznaska, wydzia Budownictwa i inynierii rodowiska, instytut konstrukcji Budowlanych, 60-965 Pozna, ul. Piotrowo 5,

    roman.lewandowski@put.poznan.pl

    Streszczenie. Praca ma charakter przegldowy i dotyczy przegldu problematyki zwizanej z modelo-waniem i analiz lepkosprystych tumikw drga oraz problemw analizy dynamicznej konstrukcji z zainstalowanymi wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga. w pracy dokonano przegldu literatury oraz krtko opisano przykadowe rozwizania poruszanych problemw. do najwaniejszych problemw dynamiki konstrukcji z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga zaliczono problemy modelowania tumikw, identyfikacji parametrw modeli tumikw, opisu konstrukcji z tumikami, wyznaczania charakterystyk dynamicznych konstrukcji z tumikami drga oraz opty-malizacji pooenia tumikw na konstrukcji.Sowa kluczowe: dynamika konstrukcji, wiskotyczne i lepkospryste tumiki drga, modele tumikw, identyfikacja parametrw, charakterystyki dynamiczne, optymalizacja pooenia tumikw

    1. Wprowadzenie

    Postp techniczny sprawia, e nowoczesne konstrukcje s lejsze, bardziej ekonomicznie zaprojektowane i wykonane z materiaw o lepszych waciwociach. Rwnoczenie konstrukcje te staj si bardziej podatne na dziaanie obcie dy-namicznych. w wielu przypadkach konieczne jest zmniejszanie amplitud drga konstrukcji. dotyczy to szczeglnie budynkw wysokich naraonych na dziaanie huraganowych wiatrw i/lub zbudowanych na terenach sejsmicznych. w tym celu wyposaa si konstrukcje w ukady redukcji drga. w oglnoci rozrnia si aktyw-ne, paktywne, pasywne i hybrydowe ukady redukcji drga. obszerne omwienie najistotniejszych cech omawianych ukadw mona znale w pracach [1-5].

  • 170 R. Lewandowski

    Pasywne ukady redukcji drga definiuje si jako ukady, urzdzenia lub tumiki, ktrych dziaanie nie wymaga zasilania z zewntrznego rda energii, a rozpraszanie energii w ukadzie redukcji drga jest wywoywane ruchem kon-strukcji. Pasywne ukady redukcji drga umoliwiaj bezpieczne przenoszenie obcie dynamicznych i poprawiaj komfort uytkowania budynku. najbardziej popularnymi typami pasywnych tumikw drga s strojone tumiki masowe, tumiki wiskotyczne, tumiki lepkospryste, tumiki cieczowe, tumiki metalowe oraz tumiki tarciowe. obszerny przegld i omwienie pasywnych ukadw redukcji drga mona znale w pracy [6].

    Praca dotyczy tumikw wiskotycznych i lepkosprystych. Tumiki lepkospr-yste dzieli si na dwie grupy w zalenoci od uytego medium lepkosprystego. Rozrnia si tumiki cieczowe, w ktrych ciecz (np. olej silikonowy) ma waciwoci lepkospryste, i tumiki z warstw z materiau lepkosprystego wykonanego np. z kopolimerw. schemat tumika cieczowego pokazano na rysunku 1.1.

    niniejsza praca ma charakter przegldowy i dotyczy przegldu problematy-ki zwizanej z modelowaniem i analiz lepkosprystych tumikw drga oraz problemw analizy dynamicznej konstrukcji z zainstalowanymi wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga. w pracy zamieszczono przegld literatury oraz krtko opisano przykadowe rozwizania poruszanych problemw. do naj-waniejszych problemw dynamiki konstrukcji z wiskotycznymi i lepkosprystymi tumikami drga zalicza si problemy modelowania tumikw, identyfikacji para-metrw modeli tumikw, opisu konstrukcji z tumikami, wyznaczania charakte-rystyk dynamicznych konstrukcji z tumikami drga oraz optymalizacji pooenia tumikw na konstrukcji.

    Rys. 1.1. schemat lepkosprystego tumika cieczowego

  • 171Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...

    2. Modele lepkosprystych tumikw drga

    waciwoci mechaniczne materiaw i tumikw lepkosprystych zale od temperatury T, czstoci wymuszenia oraz, w pewnych okolicznociach, od od-ksztace. waciwoci te opisuje si za pomoc moduw sprystoci (the storage modulus) '( , )E T i moduw tumienia (the loss modulus) "( , )E T . Zalenoci te ilustruj przykadowe wykresy pokazane na rysunku 2.1 [7].

    Rys. 2.1. Zaleno moduu sprystoci i moduu tumienia od czstoci wymuszenia

    wpyw temperatury uwzgldnia si w sposb przybliony, stosujc zasad superpozycji temperaturowo-czstotliwociowej, ktra ustanawia zaleno mi-dzy efektami zmiany temperatury i zmiany czstoci wymuszenia na waciwoci materiaw lepkosprystych [8]. Zasada ta stwierdza, e waciwoci lepkospr-yste okrelone w rnych temperaturach mona odnosi do siebie przez zmian (przesunicie) aktualnej wartoci czstoci wymuszenia. omawian zasad mona symbolicznie zapisa w postaci [8]:

    '( , ) '( , ) '( ( ) , ),"( , ) "( , ) "( ( ) , ),

    r r T r

    r r T r

    E T E T E T TE T E T E T T

    = == =

    (2.1)

    gdzie Tr jest temperatur porwnawcz podan w stopniach kelvina, ( )r T T = zredukowan czstoci wymuszenia; funkcja przesunicia aT(T) jest czsto opi-sywana rwnaniem williamsa-Landela-Ferryego o postaci:

    1

    2

    ( )( ) exp ,rTr

    C T TTC T T

    = + (2.2)

    a symbole C1, C2 oznaczaj stae charakteryzujce materia lepkosprysty.Badania tumika wypenionego ciecz sylikonow opisane w pracach [9-11]

    wskazuj, e temperatura ma istotny wpyw na moliwoci rozpraszania ener-gii przez omawiany tumik. opisane w pracy [12] wyniki analiz numerycznych

  • 172 R. Lewandowski

    i eksperymentalnych potwierdzaj znaczcy wpyw czstoci i amplitud siy wy-muszajcej na temperatur materiau lepkosprystego, a w konsekwencji na waciwoci tego materiau.

    Zachowanie tumikw wiskotycznych opisuje si rwnaniem o postaci:

    ( ) ( ( )) ( ),ntu t c sign x t x t= (2.3)

    gdzie symbol u(t) oznacza si panujc w tumiku, ( )x t jest wzgldn prdkoci toka tumika wzgldem obudowy, a ct wspczynnikiem tumienia. wartoci wsp-czynnika n zmieniaj si w przedziale 0,3 n 1. Czsto n = 1.

    do opisu dynamicznego zachowania tumikw lepkosprystych stosuje si modele reologiczne rnego rodzaju. najczciej s to proste modele kelvina lub maxwella [13-17]; ostatnio rwnie uoglnione modele kelvina lub maxwella [18-22] oraz modele opisywane za pomoc pochodnych uamkowych [23-27]. Te ostatnie bd w dalszym cigu nazywane modelami uamkowymi. Proste mo-dele kelvina i maxwella nie opisuj poprawnie zalenoci waciwoci tumikw od czstoci wymuszenia. w pracy [28] opisano pewien model lepkosprystego tumika drga, ktry mona rozumie jako rwnolegle poczone proste modele kelvina i maxwella.

    Poniej pokrtce omawia si opis matematyczny tumika, ktrego zachowanie opi-suje si za pomoc uoglnionego modelu kelvina, przedstawionego na rysunku 2.2.

    klasyczne rwnanie ruchu tego modelu uywane w reologii ma nastpujc posta:

    01 1

    ( ) ( )( ) ( ) ,r rm m

    r rr rr r

    d u t d x tu t D G x t Gdt dt= =

    + = + (2.4)

    gdzie ( ) ( ) ( )k jx t q t q t= (porwnaj rys. 2.2), a symbole Dr i Gr oznaczaj dodatnie wspczynniki, ktre mona wyrazi za pomoc staych modelu (patrz rys. 2.2). Posta ta nie jest dogodna w zastosowaniu do zagadnie dynamiki konstrukcji.

    inne sformuowanie rwna ruchu korzysta z koncepcji tzw. zmiennych wewntrznych, ktrymi w omawianym przypadku s przemieszczenia punktw wzowych, gdzie cz si elementy modelu kelvina (patrz rys. 2.2). Rwnania ruchu rozpatrywanego modelu mona teraz zapisa w postaci:

    0 1

    1 1

    ( ) ( ),

    ( ) ( ) ( ), 1,2,..., 1,( ) ( ) ( ),

    d j

    r dr dr r dr dr

    m k dm m k dm

    u t k q qu t k q q c q q r mu t k q q c q q

    + +

    =

    = + = = +

    (2.5)

    gdzie symbole qj i qk oznaczaj przemieszczenia skrajnych punktw wzowych modelu, qdr jest zmienn wewntrzn, kr i cr s parametrami (wspczynnikiem sztywnoci i wspczynnikiem tumienia) r-tego elementu modelu (r = 1, 2,, m 1).

  • 173Problemy redukcji drga konstrukcji budowlanych...

    moduy sprystoci '( )K i tumienia "( )K wyznacza si, rozpatrujc ustalone, harmonicznie zmienne drgania modelu. wtedy

    1 1 0

    1

    ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,

    ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,

    i t i td j k dm m m

    i t i tk j dr dr r r

    q t q t x t X e q t q t x t X e

    q t q t x t X e q t q t x t X e

    +

    = = = =

    = = = = (2.6)

    a po postawieniu (2.6) do (2.5) otrzymuje si zalenoci:

    ( ) ( '( ) "( )) ( ), ( ) ( '( ) "( )) ( ),X L iL U U K iK X = = + (2.7)gdzie

    2 2 2 21 10

    1 1'( ) , "( ) ,(1 ) (1 )

    m mr

    r rr r r r

    L Lk k k

    = == + =

    + + (2.8)

    2 2 2 2

    '( ) "( )'( ) , "( ) .' ( ) " ( ) ' ( ) " ( )

    L LK KL L L L

    = =

    + + (2.9)

    Uoglniony model kelvina spenia wymagania drugiego prawa termodynamiki, o ile stae modelu bd liczbami dodatnimi.

    energi rozpraszan w trakcie drga harmonicznie zmiennych modelu mona wyznaczy ze wzoru:

    0 0 21

    10 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,T T m

    d r dr drr

    E u t dx t u t x t dt c q q +=

    = = =

    (2.10)

    gdzie symbol 0drq oznacza amplitud drga zmiennej wewntrznej o numerze r, a ponadto 0 01 .dm kq q+ =

    Rozpatrywany model tumika mona take traktowa jako superelement sko-czony. Rwnanie superelementu, zapisane w lokalnym ukadzie wsprzdnych, ma posta:

    ( ) ( ) ( ),e e e e et t t= +R K q C q

    (2.11)

    Rys. 2.2. schemat uoglnionego modelu kelvina

  • 174 R. Lewandowski

    gdzie ie eK C to atwe do wyznaczenia macierze sztywnoci i tumienia, a ponadto

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    ,1 ,

    ( ) ( ( ), ), ( ) ( ( ), ( ), ( ), ( )),( ) ( ( ), ( )), ( ) ( ( ), ( ), ( ), ( )),( ) ( ( ),......, ( )).

    e z z

    e z d z

    d d d m

    t col t t col R t R t R t R tt col t t t col q t q t q t q tt col q t q t

    = == ==

    R R 0 Rq q q qq

    ostatnio do opisu zachowania tumikw lepkosprystych uywa si modeli reologicznych opisywanych za pomoc pochodnych niecakowitego rzdu nazywa-nych take pochodnymi uamkowymi [29