PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEñALES FILTRO PASA ALTAS SIMULADO EN MATLAB

7/23/2019 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES FILTRO PASA ALTAS SIMULADO EN MATLAB

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJACALIFORNIAECITEC Valle de las Palmas

INGENIERIA EN ELECTRONICA

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

PROYECTO FINALFILTRO PASA ALTAS DE CUARTO ORDEN

Paul Medina Castro

Marcos Marcos Fernando


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Universidad Autonoma de Baja California

.

2

FILTRO PASA ALTASMarcos Marcos Fernando

e-mail: [email protected]: Se diseo un Filtro Digital Pasa Altas

de Cuarto Orden, para ello se obtuvo su funcin detransferencia con detalle de coeficientes, posteriormente

diseado, la funcin obtenida se grafico en respuesta ala frecuencia, para despus implementar la ecuacinobtenida de la misma, con el objetivo de comprobar lafuncionalidad del filtro diseado se comparo la respuestade salida de la ecuacin en diferencia con la funcin detransferencia, para comprobar que efectivamente el filtrorealiza la funcin deseada, en este caso atenuar laseales con frecuencia menor a la de corte, y dejar

pasar las seales con frecuencia mayor con frecuenciasuperior a la de corte.

1 INTRODUCCINLos sistemas digitales actan sobre la seales de

entrada a un sistema, modificando sus propiedades enalguna medida, ya sea eliminando o amplificando

componentes frecuenciales presentes en la seal deentrada. Por lo tanto se puede decir que el sistemadigital acta como un filtro. En el presente reporte sedeterminara la funcin de transferencia de un sistemadigital que verifique algunas especificaciones sobre larespuesta en frecuencia. Existen los filtros de respuestaimpulsional finita (FIR) e infinita (IIR).

2 TEORIAEl filtro es un sistema diseado para obtener una

caracterstica de transferencia deseada. Esto es, operasobre una seal (o seales) de entrada en una formapredeterminada.

La palabra filtro se refiere a la eliminacin de

porciones no deseadas del espectro de frecuencia. Enprincipio se aplicaba a sistemas que eliminabancomponentes de frecuencia no deseada de una seal enel tiempo. La palabra se utiliza en forma ms generalpara incluir sistemas que simplemente ponderan losdistintos componentes de frecuencia de una funcin enuna forma predeterminada. Existen cuatro tipos defiltros, estos son pasa bajas, pasa alta, pasa banda yrechaza banda.

Los filtros ideales pasa bajas permiten el paso defrecuencia hasta un lmite dado y atenan lasfrecuencias por arriba de ese lmite.

Figura 1.Salida de un sistema digital en funcin de lafrecuencia para un filtro pasa baja

Los filtros ideales pasa altas son lo contrario de lasfiltro pasa bajos, porque este pasa las frecuencias por

encima del lmite y atena las que se encuentran pordebajo.

Figura 2.Salida de un sistema digital en funcin de lafrecuencia para un filtro pasa altas

Los filtros ideales pasa banda solo permiten elpaso de frecuencias en una banda particular y atenanlas frecuencias restantes.

Figura 3. Salida de un sistema digital en funcin de lafrecuencia para un filtro pasa banda (La frecuencias que

se encuentran fuera de la banda AB son atenuadas)

Los filtros ideales rechaza banda dejan pasar lafrecuencias que se encuentran fuera de la banda

particular y rechazan las frecuencias dentro de esta.

Figura 4.Salida de un sistema digital en funcin de lafrecuencia para un filtro rechaza banda (AB es la banda

de atenuacin de la seal)

Especificaciones para el diseo de un filtro

- Banda de paso: 0 p- Banda atenuada: p - Banda de transicin: p s- Rizado en banda pasante: 1 1 H()

1 + 1- Rizado en banda pasante: H() 2Estos parmetros pueden ser expresados en

decibeles de acuerdo conH()(dB) = 20log10H()


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.

3

Y anlogamente, se pueden expresar los rizadostambin en dB

- Rizado en banda pasante en dB:()= 20log10(1 + 1)/(1 1)- Rizado en banda atenuada en dB:()= 20log102)

Figura 5.Esquema de especificaciones de diseo de unfiltro digital

Procedimiento de diseo de filtros digitales

En el diseo de un filtro digital se siguen lossiguientes pasos:

Determinar las especificaciones del filtro. Decidir qu tipo de filtro se ha de utilizar. Elegir el mtodo de diseo y determinar los

coeficientes del mismo. Proponer una estructura o realizacin para el

filtro. Analizar la estructura elegida, y los efectos

debidos a la cuantizacin de los coeficientes ylas operaciones.

Implementar el filtro resultante.

Los filtros ideales pueden tener cuatro tipos derespuestas: pasa baja, pasa alta y elimina banda. Estosfiltros se caracterizan por tener transiciones abruptas enla respuesta en frecuencia que se traducen enrespuestas impulsionales infinitas y no causales; aspues no pueden obtenerse en la prctica. El objetivoser disear filtros que se aproximen a esta respuestaideal. En lugar de tener transiciones abruptas y bandasde transicin nulas obtendremos respuestas enfrecuencia como se muestran en la figura 5.

Los filtros digitales son clasificados de acuerdoDe acuerdo a la duracin de la respuesta al

impulso

a) IIR (Infinite Impulse Response)

() > 0 = 0, 1 , , b) FIR (Finite Impulse Response)

() > 0 1 2

= 0 De acuerdo al tipo de realizacin

a) Realizacin recursivaLa salida actual depende de la entrada actualy/o entradas anteriores y de valores previos de

la salida.b) No recursivo (Convolucin directa)

La salida actual depende solo de la entradaactual y las entradas anteriores.

c) Fast Fourier Transform (FFT)Se hace obteniendo la transformada de Fourierde la seal de entrada eliminando del espectrolas componentes no deseadas y realizandoluego la transformada inversa.

Generalmente

- Los filtros IIR se implementan de manerarecursiva.

- Los filtros FIR se implementan de manera norecursiva o mediante la FFJ.

METODO DE TRANSFORMACION BILINEAL

Se utilizan generalmente para disear filtros IIR,cuando:

a) Se desea que la respuesta en frecuencia seasimilar a la de un filtro analgico o dereferencia.

b) Se desea que l diseo sea relativamentesimple.

Procedimiento:

Se toma la funcin de transferencia prototipo deLaplace (p) y se hace la transformacin

= 1 11 + 1 (1)

Existen dos maneras de obtener C.

1. Cuando se requiere correspondencia exacta a unafrecuencia en particular en el filtro digital y el filtrode referencia (prototipo) para filtro pasa bajas ypasa altas comnmente

=

2

(2)

Donde: : Frecuencia de corte en el sistema dereferencia : Frecuencia de corte normalizada en elsistema discreto

= (3)En este caso la funcin de Transferenciaprototipo no debe estar escalada (debe estar


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.

4

normalizada a 1 rad/seg), ya que el clculo deC hace el escalamiento de manera automtica.

2. Cuando se requiere una buena correspondencia abajas frecuencias entre el filtro digital y el filtro dereferencia (prototipo).

= 4

(4)

Para un filtro pasa altas

= 1 1 + 11 1 (5)

1 = 2 (6)Para un filtro pasa bajas

= 1 1 11 + 1 (7)1 = (2 ) (8)

Filtros pasa banda y rechaza bandaEs necesario realizar- El escalamiento en frecuencia del filtro pasa

bajas de referencia.- La conversin de pasa bajas a pasa altas.- La transformacin digital mediante la

transformada bilineal.Puede realizarse en un paso mediante la siguientetransformacin

=

=

1

1 +

2

1 2 (9)

Para un filtro pasa banda

= (23 1) (10)

= 2 2 3 + 1

23 1 (11)

Donde:3: Frecuencia de corte normalizada alta

1: Frecuencia de corte normalizada baja

El orden del filtro pasa banda siempre es deldoble del orden del de referencia.

Para un filtro rechaza banda

= 1 11 1 + 2 (12)

= tan 23 + 1 (13)

= 2 2 3 + 1

23 1 (14)

3 DESARROLLO

Disear un Filtro Digital Pasa Altas de CuartoOrden, derivado de un filtro Butterworth con unafrecuencia de corte de 2 kHz. La tasa de muestreo delsistema digital es de 6 kHz.

Figura 6.Esquema del un sistema digital, conprocesamiento digital y filtro pasa altas

Filtro pasa-bajas Butterworth con frecuencia decorte de r= 1 rad/seg de segundo orden

Procedimiento

La funcin de transferencia de Laplace de nuestrofiltro pasa altas de cuarto orden es el siguiente

= 10 + 1 + 22 + 33 + 44 (15)O bien

= 11 + 1 + 22 + 33 + 4 (16)

La funcin de transferencia de Laplace prototipo esel siguiente

= 11 + 1 + 22 + 33 + 4 (17)

De acuerdo a los coeficiente que se presentan enla ecuacin 15 o bien la ecuacin 16 y 17 es valor deestos los determinamos con la una tabla, la cualpresenta los coeficientes de butterworth (VerAPENDICE), para ello primeramente tenemos que sabercul es el orden de nuestro filtro, en este caso es un filtropasa altas de cuarto orden, por lo tanto el valor denuestros coeficientes de Butterworth son:

0 = 11 = 2.61312492 = 3.41421363 = 2.61312594 = 1Lo siguiente es determinar nuestra frecuencia de

corte

= 2Ahora tenemos que conocer nuestra frecuencia de

muestreo


5/18


.

5

= 6 Teniendo la frecuencia de muestreo es posible

obtener nuestra frecuencia de doblez

= 6 2

= 3 Podemos obtener ahora nuestra frecuencianormalizada, ya que contamos con nuestra frecuencia

de corte y de dobles, para ello aplicamos la siguienteecuacin y operacin

= = 2

3 Lo siguiente es calcular el valor de C, para ello

aplicamos la ecuacin (6)

1 = 2 Donde = 1 / (Frecuencia de corte en el

sistema de referencia)

Por lo tanto sustituyendo el valor de la frecuenciade corte en el sistema de referencia y la frecuencianormalizada se obtiene el valor de la contante C

= 2 [2/3]1 /

Ahora se toma la funcin de transferencia prototipode Laplace (p) y se transforma al dominio z

= 1 + 11 1

Continuamos sustituyendo el valor de p en laecuacin (17) y obtenemos la ecuacin (18)

= 11 + 1 1 + 11 1 + 2( 1 + 11 1)2 + 3( 1 + 11 1)3 + ( 1 + 11 1)4 (18)

A la ecuacin (18) se multiplica por114114

= 11 + 1 1 + 11 1 + 2( 1 + 11 1)2 + 3( 1 + 11 1)3 + ( 1 + 11 1)4

1 141 14 = (1 1)4

(1

1)4 +

1

1

1

3

1 +

1

+

2

2

1

1

2

1 +

1

2 +

3

3

1

1

1 +

1

3 +

4

1 +

1

4

Ahora desarrollamos todas las multiplicaciones tanto en el numerador, como en el denominador y factorizamostodos aquellos trminos que tengan ya sea , , , /. Para efectuar estas operaciones aplicamos elsiguiente mtodo que simplifica todo el procedimiento

( ) 1 4 6 4 1 + 0 2 B1c + 0 2 0 + 2 0 2 + 4 6 4 c4

Realizado lo anterior obtenemos la siguiente ecuacin

= 1 4 + + 1 + + + + + 4 + 2 + 4 + 6 2 + 6 + 4 + 2 2 + 4 + (1 B1c + + c4)Ahora si queremos que la ecuacin que multiplica a sea un valor unitario, toda la ecuacin la multiplicamos tanto

denominador, como numerador por el coeficiente siguiente

0 = 11 + + + +

Por lo tanto ahora tenemos la siguiente ecuacin

= 0(1 4 + + )1 + 04 + 2 + 4 + 06 2 + 6 + 04 + 2 2 + 4 + 0(1 B1c + + c4)


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.

6

Para ver la ecuacin de una manera ms simplificada obtenemos los siguientes coeficientes

1 = 4 + 2 + 402 = 6 2 + 603 = 4 + 2 2 + 40

4 =

1

B1c +

+ c4

0

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La funcin de transferencia en el dominio z de nuestro filtro se puede ver finalmente como

= ( + + ) + + + + () RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL FILTRO CON UNA FRECUENCIA DE CORTE DE 2 kHz

%FILTRO PASA ALTAS DE CUARTO ORDENC = tan((pi/2)*(2/3));%Coeficientes de ButterworthB1 = 2.6131259;B2 = 3.4142136;

B3 = 2.6131259;%Coeficientes para simplificar funcin de transferenciaN = 1 / (1 + B1*C + B2*C^2 + B3*C^3 + C^4);D1 = (-4 - 2*B1*C + 2*B3*C^3 + 4*C^4) * N;D2 = (6 - 2*B2*C^2 + 6*C^4) * N;D3 = (-4 + 2*B1*C - 2*B3*C^3 + 4*C^4) * N;D4 = (1 - B1*C + B2*C^2 - B3*C^3 + C^4) * N;%Evaluando Funcin de Transferenciav_n= [0 : pi/1000 : pi];num = N * (1 - 4*exp(-j*v_n) + 6*exp(-j*2*v_n) - 4*exp(-j*3*v_n) + exp(-j*4*v_n));den = 1 + D1*exp(-j*v_n) + D2*exp(-j*2*v_n) + D3*exp(-j*3*v_n) + D4*exp(-j*4*v_n);H_w = num./den;%Graficando Funcin de transferenciaplot(v_n/pi,abs(H_w));hold on;

%Ubicando Ganancia con respecto a la Frecuencia corte normalizadaplot((2/3),0.7,'*');grid;

Grafica 1.Respuesta en Frecuencia de un filtro pasa altas de cuarto orden. Ganancia (eje Y) y Frecuencia (eje X)

Nota: El asterisco en la Grafica muestra la ganancia en la Frecuencia de corte normalizada, que es la coordenada (0.666666,0.7)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


7/18


.

7

IMPLEMENTACION DE LA ECUACION EN DIFERENCIAS

La funcin de transferencia del Filtro Pasa Altas de Cuarto Orden es

=

()

(

)

=0(1 41 + 62 43 + 4)

1 +

1

1 +

2

2 +

3

3 +

4

4

Lo que haremos es obtener la ecuacin en diferencias a partir de la funcin de transferencia, para ello realizamos elsiguiente procedimiento

1 + 1 1 + 22 + 33 + 44 = 0 (1 41 + 62 43 + 4) + 1 1 + 22 + 33 + 44 = 0 40 1 + 60 2 40 3 + 0 4

Aplicando Transformada inversa z obtenemos la ecuacin en diferencias

() + 1 ( 1) + 2( 2) + 3( 3)+ 4( 4) = 0() 40( 1 ) + 60( 2) 40( 3) + 0( 4)Ahora despejamos y(n) y obtenemos la ecuacin en Diferencias

(

) =

(

) +

(

)

(

) +

(

)

(

) +

(

)


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.

8

COMPARACION DE LA IMPLEMENTACION DE LA ECUACION EN DIFERENCIAS CON LAPREDICHA POR LAS RESPUESTA EN FRECUENCIA, TOMANDO EN CUENTA DIFERENTESFRECUENCIAS DE ENTRADA, CON UNA FRECUENCIA DE CORTE DE 2 kHz.

Mostrar salida a la entrada senoidal de 2 khz.

= 2Donde T=1/6000, por lo tanto la frecuencia de muestreo es de 6 kHz .

Para una frecuencia de corte de 2 kHz, la seal de entrada tiene una frecuencia de 2 kHz

= 22000 16000

Grafica 2.Seal de entrada con amplitud mxima de 0.866%FILTRO PASA ALTAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 2kHz%COEFICIENTES DE BUTTERWORTHclear;C = tan((pi/2)*(2/3));B1 = 2.6131259;B2 = 3.4142136;B3 = 2.6131259;%COEFICIENTES PARA SIMPLIFICAR LA ECUACION EN DIFERENCIASA0 = 1 / (1 + B1*C + B2*C^2 + B3*C^3 + C^4);A1 = (-4 - 2*B1*C + 2*B3*C^3 + 4*C^4) * A0;A2 = (6 - 2*B2*C^2 + 6*C^4) * A0;A3 = (-4 + 2*B1*C - 2*B3*C^3 + 4*C^4) * A0;A4 = (1 - B1*C + B2*C^2 - B3*C^3 + C^4) * A0;%Seal de entrada con frecuencia igual a la de cortef = 2000;n = 0 : 1 : 60;x_n = sin((2*pi*f*n)/6000);%EVALUANDO FUNCION EN DIFERENCIASy_n(1) = A0*x_n(1);y_n(2) = - A1*y_n(1)+ A0*x_n(2) - 4*A0*x_n(1);

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


9/18


.

9

y_n(3) = - A1*y_n(2) - A2*y_n(1) + A0*x_n(3) - 4*A0*x_n(2) + 6*A0*x_n(1);y_n(4) = - A1*y_n(3) - A2*y_n(3) - A3*y_n(1) + A0*x_n(4) - 4*A0*x_n(3) + 6*A0*x_n(2) -4*A0*x_n(1);fori=5:length(n)

y_n(i) = - A1*y_n(i-1) - A2*y_n(i-2) - A3*y_n(i-3) - A4*y_n(i-4) + A0*x_n(i) -4*A0*x_n(i-1) + 6*A0*x_n(i-2) - 4*A0*x_n(i-3) + A0*x_n(i-4);endstem(n,y_n)

Grafica 3.Salida del sistema con una seal de entrada con frecuencia igual a la de corte

La Grafica 4 contiene la respuesta en frecuencia de nuestro filtro

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


10/18


.

10

Grafica 4

Si analizamos la Grafica 4, en el eje y esta la ganancia del filtro, en el eje x estn las diferentes frecuencias entre elrango de 0 a 3000, siendo 0 la frecuencia 0 y 1 la frecuencia de 3000. Por lo tanto si analizamos la grafica, en ciertasfrecuencias es fcil ubicar su ganancia y por lo tanto estas son las que se van a tomar en cuenta para realizar laspruebas de nuestro filtro, en la siguiente tabla se muestran las frecuencias seleccionadas con sus gananciasaproximadas de acuerdo a la grafica 4.

Tabla 1. Datos Ter icos obtenidos Directamente de Grafica 4

Eje x Frecuencia (Hz) Ganancia (Eje y)0 a 0.3 0 a 900 Aproximadamente cero

0.4 1200 0.050.5 1500 0.11

0.55 1650 0.20.6 1800 0.39

0.66666 2000 0.70.7 2100 0.840.8 2400 0.990.9 2700 1

0.96 2900 1

*Nota: La fila de color amarillo corresponde a la ganancia del filtro cuando se le inyecta una seal con frecuencia igual ala de corte, que en este caso es 2000 Hz.

Ahora proseguimos a graficar cada una para comprobar los datos tericos de la tabla obtenidos con la grafica 4.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


11/18


.

11

Respuesta del filtro a la seal de entrada

La seal de entrada a 100 Hz, con una amplitudmxima de 1

Grafica 5.Salida del filtro a la seal de entrada de 100 Hz

Grafica 6.

La seal de entrada de 450 Hz, con una amplitudmxima de 0.9877

Grafica 7.

Salida del Filtro en respuesta a la seal de 450 Hz

Grafica 8.

La seal de entrada a 900 Hz, con una amplitudmxima de 1.

Grafica 9.Salida del filtro en respuesta a la seal de entrada de900 Hz

Grafica 10.

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


12/18


.

12

La seal de entrada de 1200 Hz, con una amplitudmxima de 0.9511

Grafica 11.Salida del Filtro en respuesta a la seal de entrada de1200 Hz

Grafica 12.

La seal de entrada de 1500 Hz, con una amplitudmxima de 1.

Grafica 13.

Salida del Filtro en respuesta a la seal de entrada de1500 Hz

Grafica 14.



Grafica 16.

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


13/18


.

13



Grafica 18.

La seal de entrada de 2000 Hz, con una amplitudmxima de 0.866.

Grafica 19.


Grafica 20.



Grafica 22.

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


14/18


.

14

La seal de entrada de 2400 Hz, con una amplitudmxima de 0.9511.


Grafica 24.


Grafica 25.


Grafica 26.



Grafica 28.

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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Con la implementacin de la ecuacin en diferencias del sistema, habiendo obtenido la respuesta del filtro a lasdiferentes frecuencias de la seal de entrada de realiza la siguiente tabla, se muestran los datos de manera aproximada.

Tabla 2. Datos Prctico s ob tenido s de la im plem entacin d e la ecuacin en diferenc ia, aplican do una s ealsenoidal a la entrada de nuestro f i l t ro.

Eje (X) Frecuencia de laseal de entrada

Amplitud mximade la Seal de

entrada

Ganancia (eje Y)al pasar por el

filtro

Amplitud mximade la seal de

salida0.033 100 1 Aprox. cero Aprox. cero0.15 450 0.9877 Aprox. cero Aprox. cero0.3 900 1 0.01 0.010.4 1200 0.9511 0.4205 0.040.5 1500 1 0.12 0.120.55 1650 1 0.2 0.20.6 1800 1 0.39 0.39

0.66666 2000 0.866 0.707 0.610.7 2100 1 0.86 0.860.8 2400 0.9511 1.05 10.9 2700 1 1 1

0.9666 2900 1 1 1

* Nota: La fila de color amarillo corresponde la ganancia de nuestro filtro cuando se le inyecta una seal de entrada con unafrecuencia igual a la de corte.


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Ahora presentaremos la grafica de la magnitud y fase de la respuesta en frecuencia de nuestro Filtro.

%FILTRO PASA ALTAS CON FRECUENCIA DE CORTE DE 2kHzw=0:pi/1000:pi;NUM = A0*(1-4*exp(-j*w)+6*exp(-j*2*w)-4*exp(-j*3*w)+exp(-j*4*w));DEN = 1 + A1*exp(-j*w)+A2*exp(-j*2*w)+A3*exp(-j*3*w)+A4*exp(-j*4*w);H_w = NUM./DEN;

subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(H_w));grid;subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(H_w));grid

Grafica 29.Magnitud de la funcin de transferencia con respuesta en frecuencias

Grafica 30.Fase de la funcin de transferencia con respuesta a la frecuencia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


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4 ANALISIS DE RESULTADOS4.1 Discusin de la precisin y exactitud de

las mediciones.

Si se comparan los datos de la tabla 1 y la tabla 2,podremos observar que ciertos datos no son similares,

pero estos no basta para concluir que se realizaronmalas mediciones o que la ecuacin en diferencias estaerrnea.

4.2 Anlisis de los posibles errores demedicin.

Si la ecuacin en diferencia realizada estuvieramal, las ganancias obtenidas en las otras frecuenciastendra que estar mal tambin, pero no fue el caso, solola ganancia en la frecuencia de corte vario ms que elresto de las frecuencias de la seal de entrada(Comparando la ganancia terica y prctica de lafrecuencia de corte de la tabla 1 y 2 respectivamente).

4.3 Descripcin de cualquier resultadoanormal.

Cuando se inyecto la seal de entrada al filtro, alvariar la frecuencia de forma ascendente partiendo decero Hz se obtuvieron buenos resultados hasta antes dellegar a la frecuencia de corte, para ser ms especficos,entre el rango de 0 a 1800 Hz la seal tenia la gananciacorrecta de acuerdo a la respuesta en frecuencia denuestro filtro, pero al evaluar la funcin en diferencia en

la frecuencia de corte, no se obtuvieron valores precisos,en la frecuencia de corte se obtuvo una gananciaaparente de 0.6, cuando tericamente tendra que se0.7.

4.4 Interpretacin de los resultados

El resto de los resultados obtenidos fueronrazonablemente buenos, la aparente variacin deganancia hace pensar que los datos obtenidosprcticamente estn mal, pero se puede demostrar queel procedimiento realizado para obtener funcin detransferencia, la ecuacin en diferencias y laimplementacin de la ecuacin en diferencia est bien.

5 APENDICETabla 2. Coeficientes de Butterworth

Orden B0 B1 B2 B3 B4 B51 1 12 1 1.4142136 13 1 2 2 14 1 2.6131249 3.4142136 2.6131259 15 1 3.236068 5.236068 5.236068 5.236068 1

6 CONCLUSIONEl filtro realizado efectivamente solo deja pasar las

seales con frecuencias superiores a la frecuencia decorte, por lo tanto se concluye que efectivamente cumplela funcin de un filtro pasa-altas, los resultadosobtenidos fueron satisfactorios hasta cierto punto, en latabla 1 se pueden ver las diferentes frecuencias de laseal de entrada y la atenuacin o ganancia que tendral pasar por el filtro, estos datos se obtuvieron soloobservando la respuesta en frecuencia del filtro (VerGrafica 4) y en las graficas 5 a 28 se puede observar elcomportamiento de las seal de entrada conforme lafrecuencia aumenta de 0 a la frecuencia de 3000 Hz y sepuede ver que conforme aumenta la frecuencia la sealen la salida se obtiene una mayor ganancia y vaobteniendo forma, y para no tener duda de ello podemoscomprobar los resultados obtenidos en la graficas con latabla 2 realizada, se puede comprobar los datos y sepuede ver que generalmente todas las gananciasconcuerdan, pero tenemos que denotar algo muyimportante, que cuando ingresamos una seal deentrada con frecuencia igual a la frecuencia de corte denuestro filtro, la ganancia de nuestro filtro tiene que serde 0.707 idealmente, pero la seal se atena de talmanera que la seal de salida alcanza un valor de 0.6de su valor mximo que es 1, por lo tanto se podrapensar que la ganancia del filtro en la frecuencia decorte es de 0.6, pero pensar esto est mal, el filtro

diseado, efectivamente tiene una ganancia de 0.707 enla frecuencia de corte, pero lo que sucede es losiguiente, si analizamos los datos de la tabla 2, aqu sepresentan todos los datos obtenidos de la simulacin denuestro filtro, entonces podemos observar que semuestra que la amplitud de nuestra seal de entradavara de acuerdo a la frecuencia que tenga, y tambinpodremos observar que la amplitud mxima de estamisma seal no es siempre 1 (En este caso se pensaraque la amplitud mxima de la seal de entrada siempreseria 1, debido a que esta es el coeficiente que multiplicaa la funcin senoidal, la cual fue utilizada como seal deentrada), esto se pude ver en las frecuencias de la sealde entrada igual a 450, 1200, 2000 y 2400 Hz, laamplitud varia, y ms en la frecuencia de corte (2000 Hz)

y por esta misma razn se puede cometer el error depensar que el filtro no est funcionando correctamente(que no est atenuando 0.707 su amplitud mxima, si noque 0.6), para ver esto, solo basta ver las Graficas 5 a28, en estas graficas se muestran tanto la seal deentrada y la seal de salida, de tal manera quepodremos comprobar que lo expuesto es correcto, opara facilitar el anlisis de los resultados ver la tabla 2.


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7 ANEXOSCOMPARACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN FILTRO PASA ALTAS DE 2DO ORDEN CON

UNO DE 4TO ORDEN

Grafica 31.La grafica de color rojo es la Respuesta en frecuencia de un filtro pasa altas de 2do Orden y la azul esla respuesta en frecuencia de un Filtro pasa altas de Cuarto Orden. Las graficas se cruzan debido a que ambos tienen la

misma frecuencia de corte.

Se puede observar que entre mayor sea el orden de un filtro, este ser capaz de atenuar o dejar pasar aun mas lasseales con determinada frecuencia

8 BIBLIOGRAFIA

Apuntes realizados en Clase de ProcesamientoDigital de Seales.

Soria Olivas Emilio. Martnez Sober Marcelino.Francs Villora Jos Vicente. Camps i Valls Gustavo.PROBLEMAS DE TRATAMIENTO DIGITAL DESEALES. Grupo de Procesado Digital de Seales.Valencia 2012.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frecuencia (Hz) (0 - Frecuencia de doblez)

Ganancia|H(w)|

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEñALES FILTRO PASA ALTAS SIMULADO EN MATLAB