FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT

Tugas Ini Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Kajian Matematika Sma 1

Dosen Pengampu : Titis Sunanti, M.Pd.

Disusun Oleh :

1. Agnes Puji Kurniati (14144100026)

2. Pungki Revianti (14144100029)

3. Dabi Tri Kurniawan (141441000149)

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

2

BAB I

FUNGSI KUADRAT

A. Pengertian Fungsi

Definisi fungsi dapat di tinjau dari 2 hal yaitu :

1. Fungsi sebagai pemetaan

Fungsi dalam himpunan A ( domain ) ke B ( kodomain) adalah

suatu aturan yang memetakan setiap anggota di A dengan tepat

satu anggota di B

2. Fungsi sebagai pasangan terurut dua bilangan real x dan y adalah

himpunan ( x,y ) dimana x paling banyak muncul satu kali dalam

setiap pemetaan.

Syarat keanggotaan himpunan fungsai f biasanya ditentukan oleh

pemetaan x ke y , dan pada umumnya dinyataka dengan satu aturan

y = f(x), di mana :

Domain : Df = {x│(x,y) ∈ 𝑓}

Range : Rf = {y│(x,y) ∈ 𝑓}

Fungsi : f = {(x,y)│(x,𝑦1) 𝑑𝑎𝑛 (𝑥, 𝑦1) ∈ 𝑓 → 𝑦1 = 𝑦2}

Fungsi dari himmpunan A ke B adalah suatu relasi sedemikian

sehingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat

satu anggota himpunan B.

B. Domain Dan Range Suatu Fungsi

Pada suatu fungsi f:A→B, A disebut domain D, B disebut kodomain, dan

B yang mempumyai pasangan di A disebut Range R ( daerah hasil )

Domain D : Df = A = {x│𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

Kodomain : B = {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡}, 𝑑𝑎𝑛

Range : Rf = {𝑞, 𝑟, 𝑠}

3

C. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang ditentukan oleh :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝑎

≠ 0

Keterangan : 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ

𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥2

𝑏 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥

𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛

D. Grafik Fungsi Kuadrat

Saat membuat grafik fungsi kuadrat di perlukan langkah-langkah sebagai

berikut:

1. Tentukan titik potong grafik fungsi terhadap sumbu x

2. Buatlah tabel untu memperoleh titik-titik ysng melalui fungsi

3. gabungkan grafik fungsi pada sistem koordinat

4. Tentukan nilai maksimun dan minimum

5. Tentukan titik puncak

E. Karakteristik Grafik Fungsi Kuaadrat

Bentuk ilustrasi lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik

sebaagai berikut :

1. jika a > 0, maka parabola membuka ke atas

a

b

c

d

p

q

r

s

t

A f B

4

2. jika a < 0, maka parabola membuka kebawah

3. jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung

sumbu x

4. jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x

5. jika D >0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik

F. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Sketsa grafik fungsi kuadrat memiliki fungsi berbentuk :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0

Hal-hal yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah sebagai berikut :

1. Titik potong parabola dengan sumbu y diperoleh jika x = 0.

𝑦 = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 𝑐

Titik potong dengan sumbu y = (0, c)

2. Titik potong dengan sumbu x diperoleh jika y = 0,

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

a. Jika 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat difaktorkan , nyatakan

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = ( 𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) dengan

𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 adalah akar-akar persmaan kuadrat

tersebut

b. Jika 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tidak dapat difaktorkan, gunakan

metode melengkapkan kuadrat atau rumus kuadrat

Diskriminan persamaan kkuadrat tersebut tersebut dapat

memberikan keterangan tentang titik potong –titik potong grafik

dengan sumbu x

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 ↔ 𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ↔ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥

𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 ↔ 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛

3. Koordinat titik balik, gunaan hubungan :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥2 − 2𝑎ℎ𝑥 + (𝑎ℎ2 + 𝑘)

5

Dengan membandingkan persamaan di sebelahh kiri dan kana

diperoleh :

𝑏 = −2𝑎ℎ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ℎ = −𝑏

2𝑎

𝑐 = 𝑎ℎ2 + 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑐 − 𝑎ℎ2

Atau

𝑘 = −𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎= −

𝐷

4𝑎

Jadi sumbu simetriny, 𝑥 = −𝑏

2𝑎

Titik balik = ( − 𝑏

2𝑎 ; −

𝐷

4𝑎 )

Sumbu simetri fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 akan sejajar atau

berhimpit dengan sumbu y

Dari penjelasan sketsa grafik fungsi kuadrat diatasa dapat ditarik

inti dari penjelasan sebagai berikut :

a. Hubungan bentuk persamaan kurva dan koordinat titik balik

Bentuk persamaan kurva Koordinat titik balik

𝑦 = 𝑎𝑥2

𝑦 − 𝑘 = 𝑎𝑥2

𝑦 + 𝑘 = 𝑎𝑥2

𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ )2

𝑦 = 𝑎(𝑥 + ℎ )2

𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2

𝑦 + 𝑘 = 𝑎(𝑥 + ℎ)2

𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 + ℎ)2

𝑦 + 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2

(0,0)

(0,k)

(0, -k)

(h,0)

(-h,0)

(h,k)

(-h,-k)

(-h,k)

(h,-k)

6

b. Hubungan tanda 𝑎, bentuk kurva dan jnis titik balik

Tanda 𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Bentuk kurva

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Jenis titik balik

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎 > 0 ( 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓)

𝑎 > 0 ( 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 )

∪

∩

Minimum

Maksimum

c. Titik potong kurva 𝑦 = 𝑎𝑥2 + bx +c dengan sumbu

k

o

o

r

d

i

n

a

G. Hubungan Persamaan Kuadrat Dan Fungsi Kuadrat

1. Persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar yang dinyatakan

dalam bentuk 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan real

dan 𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0

2. Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang di nyatakan dalaam

bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan real

dan 𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0

Kurva 𝑦 = 𝑎𝑥2 + bx + c Sumbu koordinat

Untuk y = 0 Memotong sumbu x, jika D

≥ 0

Deskriminn D < 0, difinit

positif atau negatif

Untuk x = 0 Memotong sumbu y di (0, c)

7

BAB II

PERSAMAAN KUADRAT

A. Pengertian

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana

𝑎, 𝑏 dan 𝑐 adalah bilanga real dan 𝑎 ≠ 0.

Misalnya :

1. 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0, maka 𝑎 = 2, 𝑏 = 5 dan 𝑐 = −3

2. −4𝑥2+25=0, maka 𝑎 = −4, 𝑏 = 0 dan 𝑐 = −25

3. 3𝑥2 + 11𝑥 = 0,maka 𝑎 = 3, 𝑏 = 11 dan 𝑐 = 0

Ketiga contoh diatas menunjukan bahwa persamaan kuadrat adalah

persamaan yang berbentuk 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ,dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah

bilangan real dan 𝑎 ≠ 0 walaupun 𝑏 atau 𝑐 boleh nol.

Nilai 𝑥 memenuhi persamaan kuadrat dimana akar-akar persamaan kuadrat

dinamakan akar-akar persamaan kuadrat atau penyelesaian persamaan

kuadrat . untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ada empat cara yaitu:

1. Dengan pemfaktoran

2. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna

3. Dengan rumus ABC

4. Dengan grafik fungsi kuadrat

B. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Aturan

tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep. Aturan tersebut antara lain

cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC.

Ketiga aturan ni mempunyai kelemahan dan kelebihan terkait degan

efisiendi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah

persamaan kuadrat. Agar lebih terarah mari kita coba memecahkan

masalah yang diberikan.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan Pemfaktoran

Dalam aturan memfaktorkan berdasarkan konsep persamaan

kuadrat untuk menentukan akar-akarnya. Bentuk umun persamaan

8

kuadrat 2 0ax bx c , dengan 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 adalah bilangan real dan

0a . Dapat kita tentukan dengan pemfaktoran.

Jika 𝑎 = 1

𝑎 = 1 ⟹ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

⟹ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

0 … … … … … … … … … … … … … … … (1)

Perhatikan bentuk (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0

⟹ (𝑥2 + 𝑛𝑥) + (𝑚𝑥 + 𝑚 × 𝑛) = 0

⟹ 𝑥2 + (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚 × 𝑛 =

0 … … … … … … … … … . . (2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 +

(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚 × 𝑛 = 0

Menggunakan sifat persamaan maka diperoleh 𝑚 + 𝑛 = 𝑏 dan

𝑚 × 𝑛 = 𝑐

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑛)(𝑥 + 𝑚) = 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 = 1

𝑚 + 𝑛 = 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑚 × 𝑛 = 𝑐

Nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

(𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 0 adalah 𝑥 = −𝑚 atau 𝑥 = −𝑛.

Perhatikan persamaan kuadrat yang kita peroleh dari beberapa

permasalahan diatas yang memiliki koefisien 𝑥2, 𝑎 = 1 . kita telah

menerapkan cara pemfaktoran.

Jika 𝑎 < 1 atau 𝑎 > 1

Berdasarkan bentuk persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Dengan 𝑎, 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 bilangan real dan 𝑎 ≠ 0. maka

𝑎 ≠ 0 ⟹1

2≠ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =1

2(𝑎2𝑥2abx𝑎𝑐) = 0 … … … … … … … … … … … . (1)

Perhatiakn bentuk ((𝑎𝑥 + 𝑚)(𝑎𝑥 + 𝑛)) = 0

⟹1

2((𝑎𝑥 + 𝑛)𝑎𝑥 + 𝑚(𝑎𝑥 + 𝑛)) = 0

⇒1

2((𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑛𝑥) + (𝑎𝑚𝑥 + 𝑚 × 𝑛)) = 0

⟹1

2(𝑎2𝑥2 + 𝑎(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚 × 𝑛) = 0 … … … … … … … … (2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh

(𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑐) = (𝑎2𝑥2 + 𝑎(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚 × 𝑛) = 0

Menggunakan sifat persamaan maka diperoleh 𝑚 + 𝑛 = 𝑏 dan𝑚 ×

𝑛 = 𝑎𝑐

9

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =1

𝑎(𝑎𝑥 + 𝑚)(𝑎𝑥 + 𝑛) = 0 ,untuk 𝑎 ≠

1, 𝑚 + 𝑛 = 𝑏 dan 𝑚 × 𝑛 = 𝑎𝑐

Nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

(𝑎𝑥 + 𝑚)(𝑎𝑥 + 𝑛) = 0 adalah

𝑥1 = −𝑚

𝑎 atau 𝑥2 = −

𝑛

𝑎

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menlengkapkan

Kuadrat Sempurna

Bentuk 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 adalah bentuk kuadrat sempurna, karena

𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2,sedangkan bentuk 𝑥2 + 2𝑎𝑥 ,bukan

kuadrat sempurna karena 𝑥2 + 2𝑎𝑥 ≠ (𝑥 + 𝑎)2.

3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menlengkapkan Rumus

ABC

Setiap persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk umum

yaitu:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 bilangan real dan ≠ 0.

Rumus persamaan kuadrat dapat diturunkan dari persamaan

kuadrat dengan metode melengkapkan kuadrat.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +𝑏

𝑎+ (

𝑏

2𝑞)2 = (

𝑏

2𝑎)2 −

𝑐

𝑎

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2 =

𝑏2

4𝑎2 −𝑐

𝑎

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2 =

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎=

±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

C. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Grafik

Menyesaikan persamaan ax2+bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x

bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax2+bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah

10

dilukis, maka koordinat x titik-titik potong kurva dengan sumbu X adalah

penyelesaian (akar-akar) dari persamaan ax2+bx+c = 0.

Manfaat lain dari metode penyelesaian persamaan kuadrat dengan grafik

yaitu dengan menggunakan grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c untuk

menyelesaikan persamaan ax2 + bx + p = 0.

D. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, berhubungan erat dengan

koefisien-koefisien a,b, dan c.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah 𝑥1 dan 𝑥2, maka:

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

dan

𝑥2 =−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Sehingga jumlah akar-akar:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Dan hasil kali akar-akar:

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

E. Diskrimasi Dan Penggunaannya

Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, (𝑎 ≠ 0)

dapat diperoleh dengan rumus berikut.

𝑥1,2 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Kedua akar itu adalah:

11

𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Atau

𝑥2 =−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh b2 – 4ac yang disebut

diskriminan (D). Jika a, b, dan c adalah bilangan real, maka diskriminan 𝐷 =

𝑏2 − 4𝑎𝑐 menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

1. Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, kedua akarnya samadan real.

2. Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, kedua akarnya imajiner.

3. Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, kedua akarnya real yang berbeda.

Apabila, a, b dan c rasional, maka:

(a) Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional,

(b) Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 bukan bilangan kuadrat, maka kedua akarnya irasional.

F. Menyusun Persamaan Kuadrat

Kita dapat membangun atau menyusun suatu persamaan kuadrat

jikadiketahui akar-akar persamaannya.

Kita juga telah mengetahui 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 dan 𝑥1𝑥2 =

𝑐

𝑎. Jumlah dan

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sangat bermanfaat di dalam

menyusun suatu persamaan kuadrat.

ax2 +bx + c = 0, 𝑎 ≠ 0

𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎) = 0 ⟺ 𝑎(𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2) = 0

Berarti,

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0 ⟺ 𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

Sedangkan,

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

⟺ (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

Dari uraian diatas kita dapat memperoleh hubungan berikut.

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 ⟺ 𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

12

Jadi, persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian faktor-faktornya dan

dapat juga disusun dari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Contoh Soal :

1. Diketahui g(x) = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 3, dengan a = 1, b = - 4, dan c = 3. Jika

domain g ialah {x│-1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ 𝐵}, tunjukam dengan diagram panah

bahwa fungsi kuadrat g adalah suatu fungsi!

Jawab :

g(x) = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 3

Domain x -1 0 1 2 3 4 5

Range g(x) = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 3 8 3 0 -1 0 3 8

Karena setiap unsur domain dipasangkan dengan tepat satu unsur pada

daerah hasil , maka g(x) = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 3 adalah suatu fungsi.

Range Domain

5

4

3

2

1

0

-1

8

3

0

-1

f

13

2. Tentukan persamaan 2𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0 dengan melengkapkan kuadrat !

Jawab :

2𝑥2 + 8𝑥 = −1

2(𝑥2 + 4𝑥) = −1

𝑥2 + 4𝑥 = −1

2 (setiap ruas dibagi 2)

𝑥2 + 4𝑥 + (2)2 = (2)2 −1

2 (setiap ruas ditambah 2)

(𝑥 + 2)2 =7

2

𝑥 + 2 = ±√7

2

𝑥 + 2 = ±√14

Jadi, 𝑥1 = −2 +1

2√14 atau 𝑥2 = −2 −

1

2√14

3. Tentukan akar persamaan 5𝑥2 + 3𝑥 − 7 = 0

Jawab :

Diketahui:

5𝑥2 + 3𝑥 − 7 = 0

𝑎 = 5 𝑏 = 3 𝑐 = −7

Rumus : 𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Subsitusi 𝑎 = 5 𝑏 = 3 𝑐 = −7 ke rumus persamaan kuadrat.

𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−3±√(3)2−4(5)(−7)

2(5)

𝑥1,2 =−3±√9+140

10

𝑥1,2 =−3±√149

10 atau 𝑥2 =

−3−√149

10

𝑥1 =−3+12,21

10 atau 𝑥2 =

−3±12,21

10

𝑥1 =9,21

10 atau 𝑥2 =

−15,21

10

𝑥1 = 0,92 atau 𝑥2 = −1,52

4. Selesaikan persamaan x2 + 3x – 10 = 0 dengan menggunakan grafik y = x2

+ 3x – 10.

Jawab :

Lukislah grafik y = x2 + 3x – 10 dengan langkah-langkah sebagai berikut:

14

Karena domain tidak diketahui, mula-mula tentukan koordinat titik

balik kurva untuk menentukan domain yang sesuai:

y = x2 + 3x – 10.

y + 10 = x2 + 3x

y + 10 = (𝑥 +3

2)2 −

9

4

𝑦 +49

4= (𝑥 +

3

2)2

Koordinat titik balik (−3

2, −

49

4)

Tentukan domain dimana 𝑥 = −3

2 sebagai patokan y = x2 + 3x – 10

Domain

(x)

-6 -5 -4 -3 -2 −1

1

2

-1 0 1 2 3

y 8 0 -6 -10 -12 −

49

4

-12 -10 -6 0 8

Dari pasangan titik pada label di atas lukislah grafik y = x2 + 3x – 10

Dari keterangan gambar, grafik y = x2 + 3x – 10 memotong sumbu X

di titik A(-5, 0) dan B (2,0)

15

jadi,

(i) akar-akar x2 + 3x – 10 = 0 ialah 𝑥1 = −5 dan 𝑥2 = 2.

(ii) Himpunan penyelesaian x2 + 3x – 10 = 0 adalah (-5, 2)

5. Selesaikan persamaan x2 + 3x – 15 = 0 dengan menggunakan grafik 𝑦 =

𝑥2 + 3𝑥 – 10.

Jawab :

x2 + 3x – 15 = 0

x2 + 3x – 10 – 5 = 0

atau

5 = x2 + 3x – 10 ………..(1)

Sedangkan,

6. Jika persamaan (𝑚 + 2)𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 = 0 mempunyai akar sama,

tentukan nilai m yang memenuhi.

Jawab:

(𝑚 + 2)𝑥2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 = 0; 𝑎 = (𝑚 + 2); 𝑏 = 2(𝑚 −

2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑚.

Syarat dua akar sama:

𝐷 = 0

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

{2(𝑚 − 2)}2 − 4(𝑚 + 2)(𝑚) = 0

4𝑚2 − 16𝑚 + 16 − 4𝑚2 − 8𝑚 = 0

−24𝑚+= 0

24𝑚 = 16

Jadi, 𝑚 =16

24=

3

2

2)

Dari (1) dan (2) diperoleh y = 5, artinya penyelesaian persamaan x2 + 3x –

15 = 0 ialah titik titik pada kurva dengan koordinat y = 5, yaitu P(2,66;5)

dan Q(-5,66;5)

Jadi, penyelesaian persamaan x2 + 3x – 15 = 0 ialah x = -5,66 dan x = 2,66.

16

7. Susunlah suatu persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

jika akar-akarnya diketahui:

a. 3 dan 8

b. -8 dan 5

c. −3

2 𝑑𝑎𝑛

1

2

Jawab :

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah 𝑥1 dan 𝑥2, maka:

a. 𝑥1 = 3 dan 𝑥2 = 8

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 ⟺ (𝑥 − 3)(𝑥 − 8) = 0

Jadi persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - 11x + 24 = 0

b. 𝑥1 = −8 dan 𝑥2 = 5

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 ⟺ (𝑥 − (−8))(𝑥 − 5) = 0

(𝑥 + 8)(𝑥 − 5) = 0

Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah x2 + 3x – 40 = 0

c. Cara I:

𝑥1 = −3

2 dan 𝑥2 =

1

2

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

(𝑥 +3

2) (𝑥 −

1

2) = 0

𝑥2 + 𝑥 −3

4= 0 | 4 |

Persamaannya 4x2 + 4x – 3 = 0

Cara II:

Akar-akarnya 𝑥 = −3

2 atau 𝑥 =

1

2

⇔ 2𝑥 = −3 atau 2𝑥 = 1

⟺ 2𝑥 + 3 = 0 atau 2𝑥 − 1 = 0

(2𝑥 + 3)(2𝑥 − 1) = 0

Persamaannya, 4x2 + 4x – 3 = 0

17

DAFTAR PUSTAKA

Kemendikbud.2014.Buku Guru Matematuka untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas

X.Jakarta;Kemendikbud

Noormandiri.2007.Buku Matematika untuk SMA kelas X.Jakarta;Erlangga