Profª Jusciane da Costa e Silva

Rotação dos Corpos Rígidos

Rotação do Corpos

A rotação acontece em todas as escalas.

Introdução

Não podem ser representado como o movimento de um ponto. São corposque giram em torno de um eixo.

Desejamos analisar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo.

Conceitos:Corpo rígido: É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável

que pode girar com todas suas partes travadas conjuntamente sem sofrer qualquer mudança.

Eixo Fixo: Significa que a rotação ocorre em torno de um eixo que não se move.

Introdução

IntroduçãoRotação Pura (movimento angular): Todos os pontos do corpo se

movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de rotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em um mesmo intervalo de tempo.

Translação Pura (movimento linear): Todos os pontos se movem ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.

Linha de Referência – ponto que liga a origem ao ponto desejado.

Variáveis de Rotação

Grandezas equivalentes angulares das grandezas lineares posição, deslocamento, velocidade e aceleração.

Posição angularConsideremos uma linha que liga a origem a um ponto P (OP), essa linha chamaremos de Linha de Referência.

A coordenada de um corpo rigído girando em torno de um eixo fixo pode ser negativa ou positiva.

Positiva – Sentido contrário ao relógio.Negativa – Sentido do relógio.

Variáveis de Rotação

A posição angular desta linha é o ângulo da linha em relação a um sentido fixo, que tomamos como a posição angular igual a zero.

S é o comprimento do arco do círculo que se estende do eixo x até a linha de referência, e r é o raio do círculo. O ângulo é definido em Radianos e não em graus ou revoluções.

Variáveis de Rotação

Deslocamento angularSe um corpo gira em torno de um eixo de rotação, variando sua posição angular, dizemos que o corpo sofre um deslocamento angular.

Positivo – Contrário ao relógio.Negativo – Sentido do relógio.

Variáveis de Rotação

Velocidade angularSe um corpo está numa posição 1 no tempo t1 e numa posição 2

num tempo t2, então sua velocidade angular média será

A velocidade angular instantânea

Unidade: rad/s

Variáveis de Rotação

Aceleração angularSe a velocidade angular do corpo em uma rotação varia então ele produz uma aceleração angular

A velocidade angular instantânea

Unidade: rad/s2

Exemplo 01

Consideremos um volante do motor de carro que está sendo testado. A posição angular dessa roda é dada por

O diâmetro do volante é igual a 0,36 m. (a) Ache o ângulo , em radianos e em graus, nos instantes t1 = 2 s

e t2 = 5 s.

(b) Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do volante neste intervalo de tempo.

(c) Calcule a velocidade angular média, em rad/s entre t1 = 2 s e t2 = 5 s.

(d) Ache a velocidade angular instantânea no instante t = 3s.(e) Calcule a aceleração angular média no mesmo intervalo do item

(c).

33)/(0,2 tsrad

Rotação com aceleração angular constante

Vimos no MRU que quando a = const. os cálculos ficam muito mais fáceis.

Seja 0 a velocidade angular de um corpo rígido no tempo t = 0 e a velocidade num tempo t, a aceleração é

αt é a variação total da velocidade entre o t = 0 e t. Quando α é constante, varia com uma taxa uniforme

Valor médio entre 0 e t é a média entre o valor inicial e final

depois de algumas manipulações matemáticas encontramos

Equação básica do movimento.

Relação entre grandezas lineares e angulares

Como podemos encontrar a velocidade e a aceleração de um dado ponto em um corpo girando? Por exemplo, para encontra K precisamos saber v.

Se um corpo rígido gira formando um ângulo um ponto no corpo a uma posição r em relação ao eixo de rotação descreve um arco de círculo de comprimento s, logo

derivando

Uma vez que num corpo rígido todos os pontos tem a mesma velocidade , pontos em r maiores tem velocidades maiores.

rs

rv

rdt

d

dt

ds

O período de uma revolução T para o movimento de cada ponto e para o próprio corpo rígido é

AceleraçãoPara representar a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência temos o termo centrípeto e tangencial.

Relação entre grandezas lineares e angulares

r

Tv

rT

2ou

2

;222

r

r

r

var

dt

dr

dt

dva centT

Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimento, logo ele possui K.

Consideremos um corpo constituído por um grande número de partículas com massas m1, m2, ...,mn situados a uma distância r1, r2,...rn do eixo de rotação.

Como v = r

chamando I = miri2 de momento de inércia, que está relacionado

de como a massa está distribuída no espaço.

Energia Cinética de Rotação

logo

onde

Portanto quando maior for o momento de inércia maior será a energia cinética do corpo girando.

Unidades I = kg m2.

Energia Cinética de Rotação

Um engenheiro está projetando uma parte de

uma certa máquina que consiste em três

conectores pesados ligados por suportes leves.

Os conectores podem ser considerados como

partículas pesadas conectadas por hastes

desprezíveis.

(a)Qual o momento de inércia desse corpo em relação ao eixo perpendicular ao plano desenhado e passando no ponto A.

(b) Qual o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com a haste BC?

(c) Se o corpo gira em torno do eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com velocidade de 4 rad/s, qual é sua energia cinética?

Exemplo 02

Portanto um corpo rígido pode ter mais de um momento de inércia.

Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos calcular o momento de inércia

No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número de partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que integrar

Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L. Qual o momento de inércia?

Cálculo do Momento de Inércia

1. haste é uniforme: CM é o seu centro.

Cálculo do Momento de Inércia

Suponha que queremos encontrar o momento de inércia I de um corpo de massa M em torno de um eixo dado.

reformulando

temos o teorema dos eixos paralelos

Teorema dos Eixos Paralelos