Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidos Definição de corpo rígido (CR):

um sistema de partículas especial, cuja estrutura é rígida, isto é, cuja forma não muda, para o qual duas partes sempre

estão igualmente distantes

Neste capítulo vamos analisar apenas o movimento de rotação do CR em torno de um eixo fixo.

9.1 – Velocidade angular e aceleração angular

x

z

y

Vamos considerar a rotação de um CR em torno do eixo z

Qual variável descreve o movimento de rotação?

P

θ

1. Escolhe-se um ponto de referência arbitrário (P) no CR

2. A projeção da posição de P no plano xy faz um ângulo θ com o eixo x 3. A coordenada angular θ (medida em radianos) descreve completamente a orientação do CR

Lembrando do ângulo em radianos (rad): r

s θrs

=θ

Velocidade angular média: se o CR gira de θ1 a θ2 entre os instantes t1 e t2, então

tttz ∆∆

=−−

=θθθω

12

12m

(o índice z indica rotação em torno do eixo z)

Velocidade angular instantânea:

dtd

ttzθθω =

∆∆

=→∆ 0

limNote a analogia com a cinemática em 1D: zxv

xωθ

↔↔

Note que todos os pontos do CR têm a mesma velocidade angular, mas podem ter diferentes velocidades escalares. Exemplo: rotação da Terra

A e B têm a mesma velocidade angular, mas têm velocidades escalares diferentes

Velocidade angular como vetor: direção ao longo do eixo de rotação e sentido dado pela regra da mão direita

dtd

zθω =

Note que esta convenção é consistente com o sinal da derivada:

x

z

yθ

Mas e a coordenada angular θ, é também um vetor?

Não podemos associar um vetor ao deslocamento angular, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece neste caso.

xyyx ˆˆˆˆ 1221 θθθθ ∆+∆≠∆+∆

(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais)

ABBA

+=+Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes!

Aceleração angular média: se a velocidade angular varia de ω1z a ω2z entre os instantes t1 e t2, então

tttzzz

z ∆∆

=−−

=ωωωα

12

12m

Aceleração angular instantânea: dt

dt

zztz

ωωα =∆∆

=→∆ 0

lim

Continuando a analogia com a cinemática em 1D:

zx

zx

avx

αωθ

↔↔↔

Aceleração angular também é um vetor: dt

dωα

=

Aceleração e velocidade angulares no mesmo sentido: rotação acelerada

Aceleração e velocidade angulares em sentidos

opostos: rotação retardada

9.2 – Rotação com aceleração angular constante Usando a analogia com a cinemática em 1D, obtemos:

Movimento retilíneo com aceleração constante

Rotação em torno de um eixo fixo com aceleração angular constante

( )

( )tvvxx

xxavv

tatvxx

tavva

xx

xxx

xx

xxx

x

00

020

2

200

0

21

221

constante

+=−

−+=

++=

+==

( )

( )t

tt

t

zz

zzz

zz

zzz

z

00

020

2

200

0

21

221

constante

ωωθθ

θθαωω

αωθθ

αωωα

+=−

−+=

++=

+==

Exemplo: Y&F 9.3

9.3 – Relação entre cinemática linear e cinemática angular

Lembrando que: r

s θrsrs θθ =⇒=

Derivando: rdtd

dtds θ

= rdtd

dtds θ

=⇒ rv ω=⇒

Onde:

escalar)angular e(velocidad

escalar) e(velocidad

ωθ=

=

dtd

vdtds

Derivando mais uma vez: rv ω= rdtd

dtdv ω

=⇒ ratg α=⇒

Onde:

escalar)angular e velocidadda variacaode (taxa

)aceleracao da l tangenciae(component

αω=

=

dtd

adtdv

tg

(Note que: ) zz αααα =≠ mas ,

Finalmente, lembramos que:

rrvarad

22

ω== (aceleração centrípeta)

9.4 – Energia no movimento de rotação Considere um CR em rotação com velocidade angular ω

A energia cinética do CR será a soma das energias cinéticas de todas as partículas que compõem o CR:

∑=i

iivmK 2

21

Sabemos que (todas as partículas têm a mesma vel. ang.) ii rv ω=

Assim: 22

21 ω

= ∑

iiirmK 2

21 ωI=

Onde definimos o momento de inércia do CR em relação ao eixo de rotação: ∑=

iiirmI 2 Unidades S.I.:

kg.m2

Notem uma nova analogia entre o movimento linear de translação de uma partícula e a rotação de um CR em torno de um eixo fixo:

2

21 ωIK =

2

21 mvK = (translação)

(rotação)

Momento de inércia: • Define a inércia para o movimento de rotação (inércia rotacional) • Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela está distribuída (dois objetos de mesma massa podem ter momentos de inércia diferentes) • Não é uma propriedade intrínseca do CR, mas depende da escolha do eixo de rotação

Exemplo: sistema com 2 massas m de dimensões desprezíveis (partículas) unidas por uma haste fina de comprimento l e massa desprezível

m m l

Eixo 1

222

222

1mllmlmI =

+

=Eixo 1:

( ) ( ) 2222 0 mllmmI =+=Eixo 2:

Eixo 2

Eixo 3

( ) ( ) 000 223 =+= mmIEixo 3:

Momentos de inércia de distribuições contínuas de massa:

∫∫∑ =→= dVrdmrrmIi

ii ρ222

Exemplo: Y&F 9.9

Energia potencial gravitacional para um corpo com massa distribuída:

M

y

g

imiy

∑=i

ii gymU ∑=i

ii ymg cmgMY=

c.m. cmY

Como se toda a massa estivesse concentrada na posição do c.m.

9.5 – Teorema dos eixos paralelos

M

c.m.

imiy

ix

P

Vamos relacionar os momentos de inércia Icm (em relação a um eixo que passa pelo c.m.) e IP (em relação a um eixo que passa por um ponto P qualquer, paralelo ao eixo que passa pelo c.m.)

y

x ( )∑∑ +==i

iiii

iicm yxmrmI 222

b

a

( ) ( )[ ]∑ −+−=i

iiiP byaxmI 22

( )∑ +−++−=i

iiiiiP bbyyaaxxmI 2222 22

( ) ( )∑∑∑∑ ++−−+=i

ii

iii

iii

iiiP mbaymbxmayxmI 2222 22

( )2222 baMbMYaMXII cmcmcmP ++−−=

M

c.m.

imiy

ix

P

y

x

b

a

( )2222 baMbMYaMXII cmcmcmP ++−−=

0 0 d

2MdII cmP +=

Teorema dos eixos paralelos

Vamos verificar que funciona para uma haste fina:

2

121 MLIcm =

2222

31

4122MLMLMLLMII cmeextremidad =+=

+=

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