Prof.Luiz Da Silva Netto

Graduado em Matemática Faculdade de Filosofia Ciências e

Letras de Santo André - SP Tese

Antes que possamos chegar aos cálculos para dimensionamento das distâncias dos

trastes nos instrumentos musicais de corda, vejamos algumas considerações

matemáticas que são indispensáveis sejam feitas para o entendimento de como

proceder esse dimensionamento. O nível de conhecimento de matemática exigido

para este propósito é que se consiga operar com logaritmos e exponenciais. Se você

tem alguma dificuldade para entender a matemática que está por trás deste estudo,

não se assuste, aqui há também Tabelas Práticas para consulta.

A faixa de áudio detetada pelo ser humano está em torno de 10 oitavas, desde 20

até 20.000 Hz. As escalas musicais já utilizadas pela humanidade têm variado ao

longo do tempo. De muitos modos estas escalas podem ser organizadas, cada uma

delas com suas características próprias, e por consequência os intervalos entre as

várias notas sucessivas em uma dada escala variam.

A mais recente música ocidental usa uma escala de 12 intervalos, chamada de

escala cromática. Abordaremos aqui a escala temperada, onde todos os intervalos

são rigorosamente iguais.

Como busquei pela internet este assunto e só encontrei sites de lutiers com

desenhos prontos, acabados e alguns deles com um programa pronto para cálculo

dos trastes e nenhuma abordagem teórica, resolvi eu mesmo estudar o assunto

conceitualmente e deduzir as fórmulas necessárias para este cálculo.

Intrigava me saber porque olhando para um instrumento de corda, como o violão,

o bandolim, o cavaquinho, a distribuição dos trastes ao longo do braço dos

respectivos instrumentos me fazia lembrar tanto uma régua de cálculo logarítmica

que eu usava no meu tempo de colégio técnico. E valeu o esforço porque

evidenciou-se mais ainda para mim a importância do ente matemático

LOGARÍTMO no estudo do som e da música.

Ao fim da pesquisa e estudo verifiquei que o que encontrei como resultados dos

cálculos batiam com as medidas aferidas em vários instrumentos tais como violão,

baixo e bandolim. Devo dizer que não sou fabricante de instrumentos e tão pouco

tenho habilidades para tal.

A minha proposta aqui é compartilhar o resultado deste estudo e possibilitar

àqueles que têm o mesmo interesse o acesso a esta informação, já que a informação

não tem valor quando está simplesmente guardada, mas sim quando posta a

circular e, portanto compartilhada.

Distribuição logarítmica das 10 oitavas da faixa de Áudio

Repare que o meio da faixa não é em 10240 hz e sim em 640 hz .As primeiras cinco

oitavas comprendem as frequências:(20-40hz)-(40-80hz)-(80-160hz)-(160-320hz)-

(320-640hz). As cinco oitavas seguintes com as frequências:(640-1280hz)-(1280-

2560hz)-(2560-5120hz)-(5120-10240hz)-(10240-20480hz).

A faixa média de audição humana é de 20 a 20 khz.

Como se determina o número de oitavas entre 20 e 20000 Hz

Intervalo entre 20 Hz a 20480 Hz

Escala Logarítmica Para Medida de Intervalo de Frequências

Como crescem as frequências ao longo da corda de um instrumento

Como variam as distâncias entre os trastes ao longo do braço do instrumento de acordo com a variação das frequências das notas musicais

Repare que o produto de qualquer número pelo seu inverso resulta igual a 1.

Assim, assumindo o comprimento da corda vibrante como a unidade, com x maior igual a zero, inteiro, porque estamos tratando da escala temperada, com trastes, nos braços dos instrumentos, temos:

Esta é a equação que traduz em uma corda vibrante, as relações entre a frequência emitida e o comprimento da corda.

As frequências crescem exponencialmente enquanto o comprimento das cordas que

produzem estas frequências crescem inversamente, ou seja quanto mais alta for a

frequência menor é o comprimento da corda que a produz estas freqüências e

menor é o comprimento de onda produzido. Comparem os dois gráficos

Assim, temos:

e se

Como o comprimento das cordas crescem inversamente com a frequência, ao

invertermos a base da exponencial veremos como crescem os comprimentos das

cordas:

Assim, escrevemos a expressão que permite calcular as distâncias dos trastes que

produzirão as freqüências que queremos gerar:

Assim, aplicando esta fórmula vejamos como ficam distribuídas as distâncias dos

trastes em um baixo cuja distância entre os suportes das cordas seja de 864 mm e

que queremos calcular até o traste de ordem 20.

BAIXO

portanto, Se tn = 1, temos

t1 = 864( 1/1,0594631)^1 =815,5001

portanto fazendo-se a diferença entre o comprimento total da escala e esta

distância encontrada vamos ter a distância do PRIMEIRO TRASTE =( 864 -

815,5001) =48,4999 mm ou 4,84999 cm.

Se tn = 2, temos t2= 864(1/1,0594631^2)=769,7365, portanto repetindo-se o

procedimento fazemos a diferença entre o comprimento total da escala e esta

distância encontrada e vamos ter a distância do SEGUNDO TRASTE = (864-

769,7365)=94,265 mm ou 9,4265 cm.

Repetindo-se o procedimento vamos encontrar os valores tn, os quais devem ser

subtraídos de 864(comprimento da escala considerada) para se ter as distâncias de

cada traste.

VALORES - tn para 20 trastes

BANDOLIM

Assim, aplicando a formula

ao comprimento de escala Ce=335 mm

para o bandolim obtemos a tabela logo abaixo, para o número de trastes = 20.

Valores de tn para um bandolim de comprimento de escala Ce = 335 mm. com 20

trastes

VENDO ISTO TUDO DE OUTRA MANEIRA...

Observe que a distância até o Traste 12 é exatamente a metade do

comprimento da escala.

Verifique a aplicação da tabela acima tomando um instrumento cujo comprimento

de escala você conhece e confira se os cálculos conferem

com o que encontrou de medidas.

A Matemática na Música... A linguagem da Física na Musica... A Harmonia dos Sons.... A relação harmônica entre os Números... A Matemática está na Natureza por toda a parte. Galileu afirmou que a Matemática é a linguagem da Física. Observe a figura: O Raio foge logaritmicamente do centro, fazendo uma varredura angular de modo linear

Eu batizei este triangulo retângulo de "Triângulo Retângulo Temperado"

que é o gerador da representação espiralar da escala temperada.

Existe um outro procedimento utilizado para dimensionar a distâncias entre os trastes nos instrumentos musicais de cordas: Antes vamos mostrar que existe uma relação constante que é o resultado dos quocientes acima indicados, obtidos ao longo dos braços dos instrumentos. É chamada a regra dos dezoito, que na verdade não é dezoito e sim 17,817152. Você encontra em muitos sites da internet como proceder,utilizando este método, mas não indicam de onde vem essa relação. Assim, vamos primeiro mostrar de onde vem, e depois vamos mostrar como se aplica. Verificação:

Verificamos então que existe uma relação constante que é igual a 17,817154 e nos perguntamos como poderemos utilizar essa relação para usá-la na construção de uma escala de um instrumento musical de cordas na escala temperada.

Exemplo prático: Tomemos o exemplo do baixo mencionado no início desta página. Dimensionemos o braço do instrumento seguindo este método: O comprimento total entre os suportes das cordas é igual a 864 mm. Então:

Nesta representação utilizando coordenadas polares você pode começar por qualquer nota da escala musical. Ao iniciar por qualquer nota e percorrendo os intervalos, quando chegar no décimo segundo intervalo a frequência da nota musical será o dobro daquela pela qual foi iniciada. A relação entre as frequências de duas notas musicais consecutivas é igual a 1.0594631... , que é igual a raiz décima segunda do número dois, ou dois elevado a 1/12.

Veja que a espiral começa pelo valor 1 e termina com o valor 2. Assim, os raios vetores que representam as notas musicais tem seu comprimentos representados na sequência por 1(A),1,0594631(B) - 1,1224621(C) - 1,1892071(D) -1,2599211(E) -1,3348399(F)

- 1,4142135(G)1,4983071(H) -1,5874011(I) - 1,6817929(J) -1,7817975(K)- 1,8877487(l) - 2,00000(M) - (Repare que o valor de G = raiz quadrada de 2) (ou 2 elevado a 1/12 elevado a sexta)

Quando você consegue ver a beleza da matemática, você consegue ter toda a paciência para continuar descobrindo mais e mais belezas e o que antes era uma tarefa enfadonha, torna-se uma tarefa de prazer, o estudo da matemática. Cabe aos professores a grande tarefa de ensinar o aluno a aprender como estudar, que tipo de condução seu pensamento deve ter para descobrir essas belezas. Aprender matemática só para resolver exercícios e passar nos exames é uma atitude muito pobre. Criatividade, paciência, exercícios de imaginação, são bons elementos para êxito no estudo desta matéria.

A curiosidade humana não tem limites. Alguns humanos que não perderam a capacidade de se extasiar com a beleza que existe na natureza e se perguntam: É a natureza inteligente por si só? Como cria padrões que podem ser descritos matematicamente? O que é este "algo" tão reconditamente escondido a dirigi-la? Porque cobra o preço do esforço e amor dedicado para revelar segredos? Será que nos está a dizer que só o trabalho merece ser recompensado? Será que as belezas que

percebemos são produto de meros acidentes? Estas questões instigam a inteligência do sábio

Matemático Bernardus Vallumbrosius,que não perdeu a capacidade de extasiar-se... e por isso continua sábio....pois entende que o maior laboratório que alguém pode dispor é a própria imaginação, capacidade de relacionar conhecimentos... formular hipóteses.... testar teorias....descobrir incoerências.... descobrir coerências... construir castelos de idéias.... vê-los cair quando alguns de seus pilares mestres não foram construídos em bases sólidas...

Imagine uma aranha costurando todos esses pontos... Será que ela é especialista em Espirais ?

Finalizando, vale aqui a reflexão: Quando os nossos dedos percorrem as posições

ao longo das cordas dos instrumentos é espantoso pensar que nosso cérebro

guarda as posições logarítmicas ao longo de seus braços, nas quais nossos dedos

devem estar para produzir os sons que queremos produzir, mesmo sendo

instrumentos que não tenham fisicamente os trastes para balizar as posições como

é o caso do violino, do violoncelo e outros.

Quando estamos diante de um virtuose de qualquer um desses instrumentos que

executam partituras complexas, sem erros, com grande agilidade, vemos como é

fabuloso o poder de memorização que um ser humano pode desenvolver com

talento e treinamento adequado.

Copyright© 2002 - PROF LUIZ NETTO (1938-2010). In Memoriam.