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Prof.ssa A. Sia
EQUAZIONI E DISEQUAZIONIEQUAZIONI E DISEQUAZIONI
CON I VALORI ASSOLUTICON I VALORI ASSOLUTI
Prof.ssa A. Sia
Data una qualsiasi espressione algebrica A(x) il suo valore assoluto che si indica con |A(x)| dipende dal segno di A(x):segno di A(x):
A(x) se A(x)>=0|A(x)|=
- A(x) se A(x) <0
Infatti se consideriamo A(x)= x otteniamo che: x se x>=0|x| =
-x se x<0
Prof.ssa A. Sia
cosa succede se dobbiamo risolvere delle equazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto?
Per risolvere queste equazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli!!
Prof.ssa A. Sia
Esempio equazione con valore assoluto:studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|=4-2xQuando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1
-x+1 x-1e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli:Quando x>=1 l’equazione diventax - 1 = 4 - 2xquando x<1 l’equazione diventa- x + 1 = 4 - 2x
Prof.ssa A. Sia
Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|=4-2xvuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a.
e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi
xx
x
241
1
xx
x
241
1
Prof.ssa A. Sia
E se i valori assoluti nell’equazione sono due oppure più di due?Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!
Prof.ssa A. Sia
032 xxEsempio:Esempio:
Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; x>0x>0
Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3
Costruiamo il grafico per determinare gli Costruiamo il grafico per determinare gli intervalliintervalli
-3 0-3 0 |x||x|
|x+3||x+3|
0)3(2
3
xx
x
0)3(2
03
xx
x
0)3(2
0
xx
x
Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la soluzione è: S= S1 U S2 U S3soluzione è: S= S1 U S2 U S3
Prof.ssa A. Sia
Prof.ssa A. Sia
cosa succede se dobbiamo risolvere delle disequazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto?
Per risolvere queste disequazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli
Prof.ssa A. Sia
Esempio disequazione con valore assoluto:studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|>4-2xQuando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1
-x+1 x-1e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli:Quando x>=1 l’equazione diventax - 1 > 4 - 2xquando x<1 l’equazione diventa- x + 1 > 4 - 2x
Prof.ssa A. Sia
Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|>4-2xvuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a.
e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi
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Prof.ssa A. Sia
e se i valori assoluti nella disequazione e se i valori assoluti nella disequazione sono due oppure più di due?sono due oppure più di due?Niente paura.. il ragionamento da Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!soluzione finale!
Prof.ssa A. Sia
032 xxEsempio:Esempio:
Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; x>0x>0
Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3
Costruiamo il grafico per determinare gli Costruiamo il grafico per determinare gli intervalliintervalli
-3 0-3 0 |x||x|
|x+3||x+3|
0)3(2
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0)3(2
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0)3(2
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Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la soluzione è: S= S1 U S2 U S3soluzione è: S= S1 U S2 U S3