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Progetto Lauree Scientifiche Sommario - · PDF file4 La Sagrada Familia Per “abbassare” la costante magica di 1 (da 34 a 33) quanti elementi dobbiamo ridurre (di un’unità)?

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UUNIVERSITASNIVERSITASSSTUDIORUMTUDIORUMUUTINENSISTINENSIS

Giorgio T. BagniGiorgio T. BagniDipartimento di Matematica e InformaticaUniversit di [email protected]

Progetto Lauree ScientificheProgetto Lauree ScientificheTreviso, dicembre 2008Treviso, dicembre 2008

Beautiful Beautiful MindsMindsGiochi e modelli matematici da Pacioli a NashGiochi e modelli matematici da Pacioli a Nash

SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash

Introduzionetra il XV e il XVI secoloI quadrati magiciuna storia antichissimaMoltiplicazionicon risultati sorprendentiUn giocodi divinazione binariaLa Teoria dei GiochiVon Neumann e Nash

LucaPacioli

Il francescano LucaPacioli (1445-1514) una figura primariadella matematica delXVXVI secolo.Pacioli si ricorda perlintroduzione dellapartita doppia e per molti giochimatematici che oggiispirano le nostre gare!

Unopera manoscritta di PacioliDe Viribus Quantitatis

Alla storia dei giochimatematici si collegaDe Viribus Quantitatis,scritta presumibilmentetra il 1496 e il 1508.Una copia manoscritta,proveniente dalla bibliotecabolognese di G.G. Amadei,morto nel 1768, si trovapresso la BibliotecaUniversitaria di Bologna,codice 250.

SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash

Introduzionetra il XV e il XVI secoloI quadrati magiciuna storia antichissimaMoltiplicazionicon risultati sorprendentiUn giocodi divinazione binariaLa Teoria dei GiochiVon Neumann e Nash

I quadrati magici partendo dalla Cina, VI sec. a.C.

Lo Shu4 e 2 sono le spalle8 e 6 sono i piediun 3 sulla sinistraun 7 sulla destraporta un 9 sulla testa calzato con un 1mentre un 5 sta nel mezzo

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I quadrati magici partendo dalla Cina, VI sec. a.C.Il pi antico quadrato magico il cinese Lo Shu, lunico quadrato magico classico di ordine 3 (aparte i simmetrici etc.)Linteresse per questi giochi si diffuse in Occidente con Malinconiadi A. Drer (1514).B. Frenicle de Bessy(16051675) trov 880 quadrati magici di ordine 4. un quadrato magico

Quadrati magicinel XIV secolo

Lintroduzione dei quadratimagici in Europa stataattribuita a M. Moschopulosintorno al 1415-1420, ma cisono manoscritti precedenti(i quadrati di quello bolognesedel 1339 sono in Pacioli).Alcuni dei quadrati (da 33 a99) di Pacioli si ritrovanonel De occulta philosophialibri tres di Cornelio Agrippa(Anversa, 1531).

Il misterioso quadratodi Mercurio

Di questo quadrato magico, di ordine 8, Pacioli fornisce soltanto le prime due righe (e la costante magica, 260):

Esso dunque incompleto e, come negli altri casi, non illustrato dal disegno (e non riportato da Cornelio Agrippa), ma tra i quadrati magici costruiti nel mondo arabo tra il XI e il XII secolo e conosciuti poi in Europa compare il seguente:

Il misterioso quadratodi Mercurio

Esso coincide per le prime due righe con la traccia di Pacioli, eccezion fatta per il primo e per lultimo elemento della prima riga (errori di scrittura?).

8+1 = 9 come inC. Agrippa; nel testo

pacioliano : 4+5

Ma occupiamoci ora di unesperienza riferibile aiquadrati magici molto pi vicina noi: Goethe e il Faust

Devi comprendere!Di Un fai Dieci,getta via il Due,uguaglia il Tre,e sarai ricco.Crepi il Quattro!Di Cinque e Sei,dice la strega,fai Sette e Otto. tutto fatto.Se Nove Uno,Dieci nessuno.Questa latabellina della strega!

Du mut verstehn!Aus Eins mach Zehn,Und Zwei la gehn,Und Drei mach gleich,So bist du reich.Verlier die Vier!Aus Fnf und Sechs,So sagt die Hex,Mach Sieben und Acht,So ists vollbracht:Und Neun ist Eins,Und Zehn ist keins.Das ist das Hexen-Einmaleins!

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I quadrati magicioggi

La matematica da Frenicle ha realizzato molti risultati a proposito dei quadrati magici. Importante lordine n del quadrato da costruire: esso puessere dispari (comeper il quadrato Lo Shu,n = 3) o pari (come perquello di Drer: n = 4).Presenteremo una regolaper costruire un quadratomagico classico di ordinen dispari (vedremo adesempio il caso: n = 5).

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I quadrati magicioggi

Ricordiamo che un quadrato magico di ordine n si dice classico se coinvolge i numeri da 1 a n2.Per trovare la costante magica di un q. m. cl. diord. n si sommano i numeri da 1 a n2(piccolo Gauss) e si divide per n:

1 2 n21 n2n2 n21 2 1

n2+1 n2+1 n2+1 n2+1 (2 volte)

Quindi c. m. del q. m. cl. ord. n = n2(n2+1)/2n= n(n2+1)/2

I quadrati magicioggi

Iniziamo a porre1 nella casellaal centro dellaprima riga.Poi collochiamogli altri numeri,in ordine,secondo unadiagonaleascendente,rispettandoalcune regole.

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I quadrati magicioggi

Regole per lediagonali:si va alla colonnasuccessiva in casodi fine colonna;si va alla rigaprecedente in casodi fine riga;si va alla casellainferiore in caso dicasella occupata.

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E infine verifichiamo!

Troviamola costantemagica:sommadeinumerida 1a 25:2526:2= 325325:5= 65

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La SagradaFamilia

C un particolare interessante nella splendida facciata della Passionedi Josep Maria Subirachs... un quadrato magico non classico di ordine 4 avente la costante magica 33 (mentre quella del quadrato di Drer era 34).

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414141 La SagradaFamilia

Il passaggio dal quadrato magico classico di ordine4 a uno come quello della Sagrada Familia pu non essere del tutto banale.Iniziamo col quadrato magico di Drer (c.m. 34):simmetrizziamolo rispetto allasse orizzontale,quindi simmetrizziamolo rispetto allasse verticale.

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La SagradaFamilia

Per abbassare la costante magica di 1 (da 34 a 33) quanti elementi dobbiamo ridurre (di ununit)?Quattro: uno (e uno solo) per ogni riga,in modo tale che ne risulti uno (e uno solo) per ogni colonna e uno (e uno solo) per ogni diagonale.Di questi quattro elementi uno (uno solo) deve esserein un angolo(anche partendoda un elementodi lato si vienea considerarneuno dangolo).

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Per ogni elemento dangolo ci sono due possibilit,quelle illustrate nelle figure: Ang+Int e Ang+Lat

La SagradaFamilia

Dobbiamo individuare gli elementi da ridurre di 1.Si pu iniziare dal primo elemento in alto a sinistra:con la soluzione Ang+Int,oppure con la soluzione Ang+Lat.Non stata per questa la soluzione dei costruttori della SagradaFamilia: se sioperasse conquesti elementisi otterrebbe 0in angolo 163213

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Per ogni elemento dangolo ci sono due possibilit,quelle illustrate nelle figure: Ang+Int e Ang+Lat

La SagradaFamilia

Si pu allora iniziare dal primo elemento in alto a destra (con le soluzioni Ang+Int o Ang+Lat), dal primo in basso a sinistra (con entrambe le soluzioni) o dal primo in basso a destra. Provate voi!Questultima, con la soluzione Ang+Int, la scelta operata per il quadrato magico della Sagrada Familia.Si noti che lacostante magica(33) vieneindividuata inmoltissimi modidiversi!

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SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash

Introduzionetra il XV e il XVI secoloI quadrati magiciuna storia antichissimaMoltiplicazionicon risultati sorprendentiUn giocodi divinazione binariaLa Teoria dei GiochiVon Neumann e Nash

Torniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti

Il XXXII effecto introdotto dalla dicitura De doinumeri che, multiplicato luno in laltro, sempre far la summa del producto le figure che voli. Non appare chiaro, sulla base del titolo, lintendimento dellAutore: si tratta di trovare dei fattori che portino a prodotti, in forma posizionale decimale, espressi da numeri costituiti da una stessa cifra ripetuta.Pacioli considera il caso di sei cifre e si propone di ottenere: 111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666, 777777, 888888, 999999Egli si basa inizialmente sul prodotto:777 143 = 111111

Torniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti

Moltiplicando un fattore (Pacioli opera sul secondo, 143) per 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (e dunque scegl

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