programacao_dinamica

Programao Dinmica

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1)

fib(3)

fib(1) fib(0)

fib(2)

fib(4)

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1)

fib(3)

fib(5)

Programao DinmicaUma metodologia de resoluo de problemas

Pedro Ribeiro

Center for Research in Advanced Computing Systems (CRACS & INESC-Porto LA)

Departamento de Cincia de ComputadoresFaculdade de Cincias da Universidade do Porto

Contedo

Motivao e conceitos base Exemplos iniciais e clculos repetidos

Programao Dinmica Definio

Caractersticas de um problema de PD

Passos para chegar a uma soluo

Pedro Ribeiro

Exemplos de aplicao PD clssica, de contagem, com jogos e mais complexa

2Programao Dinmica

Nmeros de Fibonacci

Sequncia de nmeros muito famosa definida por Leonardo Fibonacci

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

F(0) = 0F(1) = 1

Pedro Ribeiro

F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)

3Programao Dinmica

Nmeros de Fibonacci

Como implementar?

Implementao directa a partir da Implementao directa a partir da definio:fib(n):

Se n=0 ou n=1 entoretornar n

Seno

Pedro Ribeiro

Pontos negativos desta implementao?

4Programao Dinmica

Senoretornar fib(n-1) + fib(n-2)

Nmeros de Fibonacci

Clculos de fib(5)

fib(5)

fib(2) fib(1)

fib(3)

fib(1) fib(0)

fib(2)

fib(4)

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1)

fib(3)

Pedro Ribeiro5Programao Dinmica

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)

Nmeros de Fibonacci

Clculos de fib(5)

fib(5)

fib(2) fib(1)

fib(3)

fib(1) fib(0)

fib(2)

fib(4)

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1)

fib(3)

Pedro Ribeiro

Por exemplo, fib(2) chamado 3 vezes!6Programao Dinmica

fib(1) fib(0)

fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)

Nmeros de Fibonacci

Como melhorar? Por exemplo, comeando do zero e mantendo sempreem memria os dois ltimos nmeros da sequncia

fib(n):Se n=0 ou n=1 ento

retornar nSeno

f1 = 1f2 = 0Para i: 2 at n fazer


Para i: 2 at n fazerf = f1 + f2f2 = f1f1 = f

retornar f

Nmeros de Fibonacci

Conceitos a reter: Diviso de um problema em subproblemas do

mesmo tipomesmo tipo

Calcular o mesmo subproblema apenas uma vez

Ser que estas ideias podem tambm

Pedro Ribeiro

Ser que estas ideias podem tambm ser usadas noutros problemas mais complicados?

8Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Problema clssico das Olimpadas Internacionais de Informtica de 1994

Calcular a rota, que comea no topo da pirmide e acaba na base, com maior soma . Em cada passo podemos

Problema


maior soma . Em cada passo podemos ir diagonalmente para baixo e para a esquerda ou para baixo e para a direita.

Pirmide de Nmeros

Duas possveis rotas

Pedro Ribeiro

Limites: todos os nmeros da pirmide so inteiros entre 0 e 99 e o nmero de linhas do tringulo no mximo 100.

10Programao Dinmica

Soma = 21 Soma = 30

Pirmide de Nmeros

Como resolver o problema?

Ideia: Fora Bruta!

avaliar todos os caminhos possveis e ver qual o melhor.

Pedro Ribeiro

Mas quanto tempo demora isto?

Quantos caminhos existem?

11Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Anlise da complexidade Em cada linha podemos tomar duas decises diferentes: esquerda ou direita

Seja n a altura da pirmide. Uma rota constituda por n1 decises diferentes.

Existem 2n-1 caminhos diferentes. Ento, um programa que calculasse todas rotas teria complexidade temporal O(2n): crescimento exponencial!

Note-se que 2996,34x1029, que um nmero

Pedro Ribeiro

Note-se que 2 6,34x10 , que um nmero demasiado grande!

12Programao Dinmica

633825300114114700748351602688

Pirmide de Nmeros

Quando estamos no topo da pirmide, temos duas decises possveis (esquerda ou direita):

Em cada um dos casos, temos de ter em conta

Pedro Ribeiro

Em cada um dos casos, temos de ter em conta todas as rotas das respectivas subpirmides assinaladas a amarelo.

13Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Mas o que nos interessa saber sobre estas subpirmides?

Apenas interessa o valor da sua melhor rota interna (que um instncia mais pequena do mesmo problema)!

Pedro Ribeiro

interna (que um instncia mais pequena do mesmo problema)!

Para o exemplo, a soluo 7 mais o mximo entre o valor da melhor rota de cada uma das subpirmides

14Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Ento este problema pode ser resolvido recursivamente. Seja P[i][j] o j-simo nmero da i-sima linha

Seja Max(i,j) o melhor que conseguimos a partir da posio i,j

1 2 3 4 5

1 7

2 3 8


2 3 8

3 8 1 0

4 2 7 4 4

5 4 5 2 6 5

Pirmide de Nmeros

Ento:Max(i,j):

Se i = n entoMax(i,j) = P[i][j]

1 2 3 4 5

1 7

2 3 8

Max(i,j) = P[i][j] Seno

Max(i,j) = P[i][j] + mximo(Max(i+1,j), Max(i+1,j+1))


2 3 8

3 8 1 0

4 2 7 4 4

5 4 5 2 6 5

Para resolver o problemabasta chamar Max(1,1)

Pirmide de Nmeros

Continuamos com crescimento exponencial!

Max(2,1) Max(2,2)

Max(1,1)

Estamos a avaliar o mesmo subproblema vrias vezes!

...

Max(4,1)

...

Max(4,2)

Max(3,1)

...

Max(4,2)

...

Max(4,3)

Max(3,2)

...

Max(4,2)

...

Max(4,3)

Max(3,2)

...

Max(4,3)

...

Max(4,4)

Max(3,3)

Pedro Ribeiro

vezes!

17Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Temos de reaproveitar o que j calculamos S calcular uma vez o mesmo subproblema!

Ideia: criar uma tabela com o valor obtido para cada subproblema! Matriz M[i][j]

Pedro Ribeiro

Ser que existe uma ordem para preencher a tabela de modo a que quando precisamos de um valor j o temos?

18Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Comear a partir do fim!


Pirmide de Nmeros



4 5 2 6 5

Pirmide de Nmeros


7 12 10 10


4 5 2 6 5

7 12 10 10

Pirmide de Nmeros


30

7 12 10 10

20 13 10

23 21


4 5 2 6 5

7 12 10 10

Pirmide de Nmeros

Tendo em conta a maneira como preenchemos a tabela, at podemos aproveitar P[][]!

Calcular ():Para i: n-1 at 1 fazer

Com isto soluo fica em P[1][1]!

Para i: n-1 at 1 fazerPara j: 1 at i fazer

P[i][j] = P[i][j] + mximo(P[i+1][j], P[i+1][j+1])

Pedro Ribeiro

Agora, o tempo necessrio para resolver o problema j s cresce polinomialmente ( O(n2) ) e j temos uma soluo admissvel para o problema (992=9801)

23Programao Dinmica

Pirmide de Nmeros

Se fosse necessrio saber constituio da melhor soluo? Basta usar a tabela j calculada!

20 13 10

23 21

30


4 5 2 6 5

7 12 10 10

20 13

Pirmide de Nmeros

Para resolver o problema da pirmide de nmeros usamosnmeros usamos

Programao Dinmica(PD)


(PD)

Programao Dinmica (PD)

Definio (adaptado de NIST-DADSP*):

uma tcnica algortmica, normalmente usada em problemas de optimizao, que baseada em guardar os resultados de subproblemas, em em guardar os resultados de subproblemas, em vez de os recalcular.

Tcnica algortmica: mtodo geral para resolver problemas que tm algumas caractersticas em comum

Problema de optimizao: quando se pretende encontrar a melhor soluo entre todas as solues admissveis, mediante

Pedro Ribeiro

melhor soluo entre todas as solues admissveis, mediante um determinado critrio (funo objectivo).

26Programao Dinmica

* NIST National Institute of Standarts and TechnologyDADSP Dictionary of Algorithms, Data Structures, and Problems

Clssica troca de espao por tempo

PD - Caractersticas

Quais so ento as caractersticas que um problema deve apresentar para um problema deve apresentar para poder ser resolvido com PD?

Subestrutura ptima

Subproblemas coincidentes

Pedro Ribeiro

Subproblemas coincidentes

27Programao Dinmica

Subestrutura ptima (optimal substructure):

Quando a soluo ptima de um problema contm nela prpria solues ptimas para

PD - Caractersticas

contm nela prpria solues ptimas para subproblemas do mesmo tipo.

Quando um problema apresenta esta

Exemplo: No problema das pirmides de nmeros, a soluo ptima contm nela prpria os melhores percursos de subpirmides, ou seja, solues ptimas de subproblemas.

Pedro Ribeiro

Quando um problema apresenta esta caracterstica diz-se que ele respeita o princpio de optimalidade

(optimality principle).

28Programao Dinmica

PD - Caractersticas

Subestrutura ptima (optimal substructure):

preciso ter cuidado porque isto nem sempre acontece!acontece!

Exemplo: se, no problema das pirmides, o objectivo fosse encontrar a rota que maximizasse o resto da diviso inteira entre 10 e o valor dessa rota.


1

5 55 4 5

15 5

5 4 5

A soluo ptima (155) no contm a soluo ptima para a subpirmide assinalada a amarelo (54)

PD - Caractersticas

Subproblemas coincidentes:

Quando um espao de subproblemas pequeno, isto , no so muitos os subproblemas a resolver pois muitos deles so exactamente iguais uns aos outros.deles so exactamente iguais uns aos outros.

Tambm esta caracterstica nem sempre acontece, quer porque mesmo com subproblemas coincidentes so muitos subproblemas

Exemplo: no problema das pirmides, para um determinada instncia do problema, existem apenas n+(n-1)+...+1

PD - Metodologia

Se um problema apresenta estas duas caractersticas, temos uma boa pista de que a PD se pode aplicar. No pista de que a PD se pode aplicar. No entanto, nem sempre isso acontece.

Que passos devemos ento tomar se

Pedro Ribeiro

Que passos devemos ento tomar se quisermos resolver um problema usando PD?

31Programao Dinmica

PD - Metodologia

(nota: estes passos representam apenas

um guia de resoluo)

1) Caracterizar a soluo ptima do problema1) Caracterizar a soluo ptima do problema

2) Definir recursivamente a soluo ptima, em funo de solues ptimas de subproblemas

3) Calcular as solues de todos os subproblemas: de trs para a frente ou

Pedro Ribeiro

subproblemas: de trs para a frente ou com memoization

4) Reconstruir a soluo ptima, baseada nos clculos efectuados (opcional)

32Programao Dinmica

PD - Metodologia

1) Caracterizar a soluo ptima de um problema Compreender bem o problema

Verificar se um algoritmo que verifique todas as solues fora bruta no suficiente

Tentar generalizar o problema ( preciso prtica para perceber como generalizar da maneira correcta)

Procurar dividir o problema em subproblemas do mesmo tipo

Pedro Ribeiro

mesmo tipo

Verificar se o problema obedece ao princpio de optimalidae

Verificar se existem subproblemas coincidentes

33Programao Dinmica

PD - Metodologia

2) Definir recursivamente a soluo ptima, em funo de solues ptimas de subproblemas.

Definir recursivamente o valor da soluo ptima, com rigor e exactido, a partir de subproblemas mais pequenos do mesmo tipo

Imaginar sempre que os valores das solues ptimas j esto disponveis quando precisamos

Pedro Ribeiro

ptimas j esto disponveis quando precisamos deles

No necessrio codificar. Basta definir matematicamente a recurso.

34Programao Dinmica

PD - Metodologia

3) Calcular as solues de todos os subproblemas: de trs para a frente

Descobrir a ordem em que os subproblemas so precisos, a partir dos subproblemas mais pequenos at chegar ao problema global (bottom-up) e codificar, usando uma tabela.

Normalmente, esta ordem inversa ordem normal da funo recursiva que resolve o problema

Pedro Ribeiro

funo recursiva que resolve o problema

.

35Programao Dinmica

Incio Fim

Ordem de optimizao usando programao dinmica

Ordem normal de resoluo

PD - Metodologia

3) Calcular as solues de todos os subproblemas: memoization

Existe uma tcnica, chamada memoization, que permite resolver o problema pela ordem normal (top-down)

Usar a funo recursiva obtida directamente a partir definio da soluo e ir mantendo uma tabela com

Pedro Ribeiro

definio da soluo e ir mantendo uma tabela com os resultados dos subproblemas.

Quando queremos aceder a um valor pela primeira vez temos de calcul-lo e a partir da basta ver qual .

36Programao Dinmica

PD - Metodologia

4) Reconstruir a soluo ptima, baseada nos clculos efectuados

Pode ou no ser requisito do problema

Duas alternativas: Directamente a partir da tabela dos sub-problemas

Nova tabela que guarda as decises em cada etapa

Pedro Ribeiro

Nova tabela que guarda as decises em cada etapa

No necessitando de saber qual a melhor soluo, podemos por vezes poupar espao

37Programao Dinmica

Exemplo Subsequncia crescente

Dada uma sequncia de nmeros inteiros:

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 27, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2

Descobrir qual a maior subsequncia crescente (no necessariamente contgua)

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2 Tamanho 2

Pedro Ribeiro

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2 Tamanho 2

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2 Tamanho 3

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2 Tamanho 4

38Programao Dinmica


1. Caracterizar soluo ptima Seja N o tamanho da sequncia, e num[i] o i-simo nmero

Fora bruta, quantas opes? (binomial theorem: 2n-1)

Generalizar e resolver com subproblemas iguais: seja best(i) o valor da melhor subsequncia a partir da

i-sima posio

Caso fcil: a melhor subsequncia a comear da ltima posio tem tamanho 1!

Caso geral

Pedro Ribeiro

Caso geral: para um dado i, podemos seguir para todos os nmeros entre i+1 e N, desde que sejam maiores

39Programao Dinmica

7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2


1) Caracterizar soluo ptima Caso geral: para um dado i, podemos seguir para

todos os nmeros entre i+1 e N, desde que sejam maioresmaiores Para esses nmeros, basta-nos saber o melhor a partir

da! (princpio da optimalidade)

O melhor a partir de uma posio necessrio para calcular todas as posies de ndice inferior! (subproblemas coincidentes)


7, 6, 10, 3, 4, 1, 8, 9, 5, 2


2) Definir soluo recursiva em funo de solues ptimas de subproblemas

N tamanho da sequncia

num[i] nmero na posio i

best(i) melhor subsequncia a partir da posio i

best(N) = 1


best(N) = 1

best(i) = 1 + mximo{best(j): inum[i]}para 1i


3) Calcular soluo ptima: trs para a frente Seja best[] tabela para guardar valores de best()

Calcular ():Calcular ():best[N] = 1Para i: n-1 at 1 fazer

best[i] = 1Para j: i+1 at N fazer

Se num[j]>num[i] e 1+best[j]>best[i] entobest[i] = 1+best[j]


i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

num[i] 7 6 10 3 4 1 8 9 5 2

best[i] 3 3 1 4 3 3 2 1 1 1


4) Reconstruir soluo Exemplo de tabela auxiliar com decies

Seja next[i] a prxima posio para obter o melhor a partir da posio i (X se a ltima da sequncia)

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

num[i] 7 6 10 3 4 1 8 9 5 2


num[i] 7 6 10 3 4 1 8 9 5 2

best[i] 3 3 1 4 3 3 2 1 1 1

next[i] 7 7 X 5 7 7 8 X X X

Exemplo Obras na estrada

Cidade com quadriculado de ruas (MIUP2004) Algumas estradas tm obras

S se pode andar para norte e para este

N mximo: 30


N mximo: 30

De quantas maneiras diferentes se pode ir de (x1,y1) para (x2,y2) ?


1) Caracterizar o problema Fora bruta? (com N=30, existem ~1,2x1017 caminhos)

X

Ir de (x1,y1) para (x2,y2): pode ignorar-setudo o que est fora desse rectngulo

Nmero de maneiras a partir de uma posio igual ao nmero de maneiras desde a posio a norte mais o nmero de maneiras desde a posio a este!

Subproblema igual com soluo no dependente do problema maior (equivalente a princpio da optimalidade)

X

Pedro Ribeiro

maior (equivalente a princpio da optimalidade)

Existem muitos subproblemas coincidentes!

45Programao Dinmica

X

X

X

X

X

X

X

X


2) Definir soluo recursiva

L nmero de linhas

C nmero de colunas

count(i,j) nmero de maneiras a partir de posio (i,j)

obra(i,j,D) valor V/F indicando se existe obra a impedir deslocao de (i,j) na direco D (NORTE ou ESTE)

count(L,C) = 1

count(i,j) = valor_norte(i,j) + valor_este(i,j)para (i,j)(L,C)onde:


onde:valor_norte(i,j): 0 se (j=L ou obra(i,j,NORTE))

count(i+1,j) caso contrrio

valor_este(i,j): 0 se (j=L ou obra(i,j,ESTE))count(i,j+1) caso contrrio


3) Calcular soluo ptima: trs para a frente

Calcular ():Inicializar count[][] com zeroscount[L][C] = 1count[L][C] = 1Para i: L at 1 fazer

Para j: C at 1 fazerSe i

Exemplo Jogo de Pedras

Existem N pedras numa mesa Dois jogadores

Em cada jogada retira-se 1, 3 ou 8 pedras(generalizvel para qualquer nmero de peas)

Quem retirar as ltimas pedras ganha o jogo!

Pergunta: dado o nmero de pedras, o jogador que

comea a jogar pode garantidamente ganhar?

Exemplo:15 pedras na mesa:jogador A retira 8


15 pedras na mesa:jogador A retira 87 pedras na mesa: jogador B retira 34 pedra na mesa: jogador A retira 13 pedras na mesa: jogador B retira 30 pedras na mesa: ganhou jogador B!


1) Caracterizar soluo ptima Soluo bruta: avaliar todos jogos possveis! O(3^N)

Como generalizar? Seja win(i) um valor V/F representando se com i pedras conseguimos ganhar(posio ganhadora)

Claramente win(1), win(3) e win(8) so verdadeiras

E para os outros casos? Se a nossa jogada for dar a uma posio ganhadora,

Pedro Ribeiro

Se a nossa jogada for dar a uma posio ganhadora, ento o adversrio pode forar a nossa derrota

Ento, a nossa posio ganhadora se conseguirmos chegar a uma posio que no o seja!

Caso todas as jogadas forem dar a posies ganhadoras, a nossa posio perdedora

49Programao Dinmica


2) Definir soluo recursiva em funo de solues ptimas de subproblemas

N nmero de pedras

win[i] valor V/F indicando se estar com i pedras estar numa posio ganhadora

win(0) = falso


win(i) = verdadeiro se ~win[i-1] ou ~win[i-3] ou ~win[i-8]falso caso contrrio

para 1iN


3) Calcular soluo ptima: trs para a frente

Calcular ():Para i: 0 at N fazer

Se (i1 e no(win[i-1])) ouSe (i1 e no(win[i-1])) ou(i3 e no(win[i-3])) ou(i8 e no(win[i-8])) ento

win[i] = trueSeno

win[i] = false


i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

win[i] F V F V F V F V V V V F V

Exemplo Distncia de Edio

Vamos a um ltimo exemplo um pouco mais complexo

Problema: consideremos duas palavras pal1 e pal2. O nosso objectivo transformar pal1 em pal2 usando apenas trs tipos de transformaes:

1 2

apenas trs tipos de transformaes:1) Apagar uma letra2) Introduzir uma nova letra3) Substituir uma letra por outra

Qual o mnimo nmero de transformaes que temos de fazer para transformar uma palavra na outra? Chamemos a esta medida distncia de edio (de).

Pedro Ribeiro

Chamemos a esta medida distncia de edio (de).

Exemplo: para transformar gotas em afoga precisamos de quatro transformaes:

(1) (3) (3) (2)

gotas gota_ fota foga afoga

52Programao Dinmica


1) Caracterizar soluo ptima

Seja de(a,b) a distncia de edio entre as palavras a e b. Seja uma palavra vazia

Existem alguns casos simples? Claramente de(, ) zero.

de(,b), para qualquer palavra b? o tamanho da palavra b (porque temos de fazer inseres)

de(a, ) para qualquer palavra a? o tamanho da

Pedro Ribeiro

de(a, ) para qualquer palavra a? o tamanho da palavra a pois temos de apagar todas as letras de a.

E nos outros casos? Temos de tentar dividir o problema por etapas, onde decidimos de acordo com subproblemas

53Programao Dinmica


Nenhuma das palavras vazia

Como podemos igualar o final das duas palavras?

Seja la a ltima letra de a e a o resto da palavra (do mesmo modo definimos l e b).modo definimos lb e b).

Se la = lb ento s nos falta descobrir a distncia de edio entre a e b (que uma instncia mais pequena do mesmo problema!).

Caso contrrio podemos fazer trs operaes:

Substituir la por lb. Gastamos uma operao e precisamos de saber a distncia de edio entre a e b.

Pedro Ribeiro

distncia de edio entre a e b.

Apagar la. Gastamos uma operao e precisamos de saber a distncia de edio entre a e b.

Inserir lb no final de a. Gastamos uma operao e precisamos de saber a distncia de edio entre a e b.

54Programao Dinmica


2) Definir soluo recursiva|a| e |b| comprimentos das palavras a e b

a[i] e b[i] letra na posio i a palavra a e b

de(i,j) distncia de edio entre as palavras formadas pelas primeiras i letras de a e as primeiras j letras de b

de(i,0) = i, para 0 i |a|de(0,j) = j, para 0 j |b|

de(i,j) = min(de(i-1,j-1) + {0 se a[i]=b[i], 1 se a[i]b[i]},


de(i,j) = min(de(i-1,j-1) + {0 se a[i]=b[i], 1 se a[i]b[i]},de(i-1,j)+1,de(i,j-1)+1),

para 1 i |a| e 1 j |b|


Calcular solues de trs para a frente

Calcular ():Para i: 0 at |a| fazer de[i][0] = iPara i: 0 at |a| fazer de[i][0] = iPara j: 0 at |b| fazer de[0][j] = j

Para i: 1 at |a| fazerPara j: 1 at |b| fazer

Se a[i]=b[j] ento valor = 0Seno valor = 1de[i][j] = min( de[i-1][j-1]+value,


de[i][j] = min( de[i-1][j-1]+value,de[i-1][j],de[i-1][j] )


Vejamos a tabela a distncia de edio entre gotas eafoga:

de(i,0) = i, para 0 i |a|de(0,j) = j, para 0 j |b|

de(i,j) = min(de(i-1,j-1) +{0 se a[i]=b[i], 1 se a[i]b[i]},

j 0 1 2 3 4 5

i A F O G A

0 0 1 2 3 4 5

1 G 1 1 2 3 3 4

2 O 2 2 2 2 3 4

Pedro Ribeiro57

Programao Dinmica

{0 se a[i]=b[i], 1 se a[i]b[i]},de(i-1,j)+1,de(i,j-1)+1),

para 1i|a| e 0j |b|

O 2 2 2 2 3 4

3 T 3 3 3 3 3 4

4 A 4 3 4 4 4 3

5 S 5 4 4 5 5 4

j 0 1 2 3 4 5

i A F O G A

Se fosse preciso reconstruir a soluo?


0 0 1 2 3 4 5

1 G 1 1 2 3 3 4

2 O 2 2 2 2 3 4

3 T 3 3 3 3 3 4

Inserir letra

Apagar letra

Substituir letra

Pedro Ribeiro

T 3 3 3 3 3 4

4 A 4 3 4 4 4 3

5 S 5 4 4 5 5 4Manter letra

58Programao Dinmica

gotas gota_ gogafoga afogagfoga afoga

Concluso

Nem sempre a PD representa a melhor soluo para um problema, mas no entanto apresenta normalmente ganhos muito significativos sobre algoritmos exponenciais de fora-bruta;

A PD uma tcnica activamente usada na vida real, tanto no meio empresarial, como no meio acadmico;

A ideia base da PD muito simples, mas, como foi visto neste ltimo problema, nem sempre fcil chegar sua soluo. Quanto a mim, a parte mais difcil generalizar o problema da maneira correcta, de modo a podermos escrever

Pedro Ribeiro

soluo. Quanto a mim, a parte mais difcil generalizar o problema da maneira correcta, de modo a podermos escrever a soluo em funo de solues ptimas de subproblemas;

S existe uma maneira de dominar a PD: treinar, treinar, treinar!

59Programao Dinmica

Fim

http://www.dcc.fc.up.pt/~pribeiro/

[email protected]@dcc.fc.up.pt


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