PROGRAMACION DE AULA (Matemáticas 11 EP) · Web view• Observar el esquema de la unidad y escuchar la explicación del profesor/a. 1. De los naturales a los reales • Recordar

Programación de aula de Matemáticas 4 ESO

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MATEMÁTICAS 4 ESO

PROGRAMACIÓN DE AULA

Introducción

La programación de la materia de Matemáticas considera las competencias básicas asociadas a

la materia, los objetivos, contenidos y criterios de evaluación de cada curso y los concreta y

organiza en unidades didácticas.

Cada una de estas unidades didácticas desarrolla las secuencias de aprendizaje según los

siguientes criterios:

– Aumenta de manera progresiva el nivel de exigencia, generando situaciones de enseñanza-

aprendizaje que plantean un reto al alumno, exigiéndole cada vez un mayor grado de

conocimientos y estrategias.

– Inicia los nuevos aprendizajes asegurando la base de los anteriores.

– Mantiene un enfoque globalizador e interdisciplinar entre los contenidos comunes a varias

materias, de forma que, al abordarlos, se obtenga una visión completa.

– Desarrolla los contenidos atendiendo a su didáctica específica, vinculándolos con el entorno

del alumnado y tratando de que descubran su funcionalidad para que resulten cada vez más

significativos.

– Introduce y propicia el tratamiento formativo de los contenidos transversales.

– Fomenta modos de razonamiento adecuados al momento evolutivo de estos alumnos/as e

introduce el método y el pensamiento científico.

– Apoya el desarrollo de actividades que promuevan la reflexión crítica sobre qué aprende y

cómo lo aprende.

– Invita al trabajo en equipo y al aprender en equipo.

– Favorece la expresión clara y precisa del pensamiento, a través del lenguaje oral y escrito.

– Propone suficientes actividades de refuerzo y ampliación, para adaptarse a la mayoría de los

alumnos.



– Da a la evaluación un carácter formativo para alumno y profesor, e incorpora el carácter

orientador propio de esta etapa.

Las competencias básicas en la materia de Matemáticas

Edebé entiende las competencias básicas como aquellos aprendizajes que se consideran

imprescindibles y que el alumno debe haber desarrollado al finalizar esta etapa para el logro de

su realización personal, el ejercicio de la ciudadanía activa, su incorporación satisfactoria a la

vida adulta y el desarrollo de un aprendizaje permanente a lo largo de la vida.

Los ámbitos de competencias básicas identificados son los siguientes:

– Competencia en comunicación lingüística

– Competencia matemática

– Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico

– Tratamiento de la información y competencia digital

– Competencia social y ciudadana

– Competencia cultural y artística

– Autonomía e iniciativa personal

– Competencia para aprender a aprender

Por su misma naturaleza las competencias básicas tienen un carácter transversal; por tanto,

cada una de las competencias básicas se alcanzará a partir del trabajo en las diferentes materias

de cada etapa.

En las páginas finales del libro del alumno se presenta un listado de las competencias básicas

que se desarrollan a lo largo de todo el curso y una serie de actividades para su evaluación.

Unidades del libro del alumno

Unidad 1: Números reales

Unidad 2: Potenciación y radicación



Unidad 3: Polinomios y fracciones algebraicas

Unidad 4: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

Unidad 5: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones

Unidad 6: Semejanza en el plano y en el espacio

Unidad 7: Trigonometría

Unidad 8: Geometría analítica en el plano

Unidad 9: Funciones de primer y segundo grado

Unidad 10: Estudio de otras funciones

Unidad 11: Estudios estadísticos

Unidad 12: Técnicas para contar

Unidad 13: Probabilidad



MATEMÁTICAS 4 ESO

UNIDAD 1: Números reales

Tiempo aproximado: 3 semanas.

Interdisciplinariedad: Física y Química; Biología y Geología; Lengua Castellana y

Literatura; Ciencias Sociales, Geografía e Historia.

Objetivos didácticos

• Reconocer, representar, ordenar y operar con números reales.

• Expresar en forma de intervalo un segmento de la recta real, y viceversa.

• Utilizar aproximaciones decimales adecuadas a la precisión requerida, reconocer las

cifras significativas de un número real y controlar la propagación del error en la

resolución de problemas numéricos.

Competencias básicas

• Interpretar y utilizar los números reales en diferentes contextos, eligiendo la notación y

la aproximación adecuadas en cada caso.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) para realizar

operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.

• Desarrollar estrategias de cálculo mental y de estimación de cálculos con números reales.

• Calcular el error cometido en operaciones con aproximaciones de números reales.

Contenidos

Conceptos

• Conjuntos numéricos N, Z y Q.

• Número irracional.

• Conjunto de los números reales R.

• Recta real.



• Orden en el conjunto de los números reales.

• Intervalos de números reales. Operaciones con números reales.

• Aproximación decimal de un número real.

• Órdenes de aproximación.

• Cifras significativas.

• Aproximación por redondeo y por truncamiento.

• Error absoluto y error relativo.

• Cota de error absoluto.

• Instrumentos de medida de precisión.

• Propagación del error.

• Notación científica.

Procedimientos

• Identificación de números irracionales.

• Representación geométrica exacta y representación aproximada de números irracionales

sobre la recta.

• Clasificación, comparación y ordenación de los números reales.

• Representación e interpretación de intervalos de números reales.

• Aproximación de un número real por redondeo o truncamiento hasta un determinado

orden de aproximación.

• Determinación de las cifras significativas de un número o de una medida.

• Cálculo y valoración de los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar

aproximaciones decimales de números reales.

• Cálculo de cotas del error absoluto cometido al tomar aproximaciones decimales de

números reales.

• Uso de instrumentos adecuados para realizar medidas con precisión.

• Obtención gráfica de la suma de dos números irracionales.

• Cálculo del error cometido en operaciones con aproximaciones de números reales.

• Expresión de un número en notación científica e interpretación de números expresados en

notación científica.



• Realización de operaciones con números expresados en notación científica.

• Utilización de la calculadora en cálculos exactos y aproximados con números reales, y

para realizar operaciones con números expresados en notación científica.

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones con números

naturales.

Valores

• Valoración de la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar o resolver

diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Sensibilidad por la presentación clara y ordenada de los ejercicios realizados.

• Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrumentos de medida y en la realización

de mediciones.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar estimaciones

numéricas.

• Perseverancia en la realización de cálculos numéricos y en la revisión de los cálculos

efectuados.

• Valoración crítica de la utilidad de la calculadora para la realización de cálculos numéricos.

Actividades de aprendizaje

• Relacionar la imagen de presentación de la unidad y el texto que la acompaña con el

contenido de dicha unidad.

• Reflexionar sobre las preguntas planteadas en la presentación, revisar los contenidos

previos y leer los objetivos que se pretende conseguir.

• Observar el esquema de la unidad y escuchar la explicación del profesor/a.

1. De los naturales a los reales

• Recordar la necesidad por la cual surgieron los números naturales y leer el símbolo que

representa el conjunto de los números naturales.

• Reflexionar sobre el hecho de que algunas situaciones de la vida cotidiana no pueden



expresarse mediante números naturales, considerar la necesidad de ampliar dicho

conjunto con un nuevo conjunto y leer el símbolo que lo representa.

• Reflexionar sobre el hecho de que algunas situaciones de la vida cotidiana no pueden

expresarse mediante números enteros, considerar la necesidad de ampliar dicho conjunto

con un nuevo conjunto y leer el símbolo que lo representa.

• Reconocer que el conjunto de los números racionales coincide con el conjunto de los

números decimales limitados o ilimitados y periódicos.

• Observar mediante un ejemplo que todo número racional puede expresarse como un

número decimal limitado o un número decimal ilimitado y periódico.

• Observar mediante un ejemplo que todo número decimal limitado y decimal ilimitado y

periódico tiene una fracción generatriz asociada.

• Recordar los siguientes conceptos: fracciones equivalentes, fracción irreducible,

representante de un número racional y representante canónico de un número racional.

• Recordar que el conjunto de los números racionales coincide con el de los números

decimales limitados o ilimitados y periódicos, y observar un número decimal ilimitado no

periódico para reconocer la existencia de otro tipo de número y leer el nombre que recibe

este nuevo tipo de número.

• Leer la definición de número irracional y el símbolo que representa al conjunto de

números irracionales.

• Identificar diferentes ejemplos de números irracionales destacados.

• Observar mediante un ejemplo la representación geométrica exacta de un número

irracional sobre la recta.

• Comprobar en una figura la representación geométrica exacta de números irracionales

que son raíces cuadradas de números naturales.

• Observar mediante un ejemplo la representación aproximada de un número irracional

sobre la recta numérica.

• Leer el nombre que recibe el conjunto formado por los números racionales y los

irracionales, y el símbolo que lo representa.

• Observar la clasificación de los distintos tipos de números.

• Considerar que los números reales llenan por completo la recta y leer el calificativo que

se aplica a la recta.



• Reconocer que los números reales pueden ordenarse siguiendo el mismo orden que el

establecido en el conjunto de números racionales.

• Observar la representación sobre la recta de dos números reales para compararlos y leer

una regla que permite comparar dos números reales.

• Señalar dos puntos de la recta y marcar el segmento comprendido entre ellos para definir

el concepto de intervalo.

• Reconocer los diferentes tipos de intervalos e identificarlos tanto por su representación

gráfica como por su escritura.

2. Las aproximaciones en los números reales

• Reconocer que los números reales permiten expresar con exactitud la medida de cualquier

segmento.

• Leer un ejemplo en el que no puede obtenerse la medida exacta de un segmento

utilizando una regla.

• Examinar distintas aproximaciones decimales de un número real para clasificar dichas

aproximaciones según si son menores o mayores que el valor exacto del número real.

• Reconocer que en la práctica se utilizan aproximaciones decimales de los números reales si

el número tiene muchas cifras decimales o si procede de una medida.

• Observar distintas aproximaciones por defecto y por exceso del número .

• Observar dos números reales aproximados para reflexionar que al tener un número distinto

de cifras significativas no representan la misma cantidad.

• Leer la forma en que suele indicarse que los ceros en que termina un número entero no son

cifras significativas.

• Llegar a comprender la definición de orden de aproximación a partir de una tabla en la que

aparece el número de cifras significativas y el orden de la última cifra significativa de una

serie de aproximaciones.

• Fijarse, dadas dos aproximaciones del mismo orden de un número decimal, en cuál es la

más próxima al valor real para definir la aproximación por redondeo.

• A partir de una serie de números decimales con aproximaciones por redondeo y en la que

aparece el orden de aproximación y la primera cifra suprimida, llegar a establecer la norma

que permite redondear un número hasta un cierto orden de aproximación.



• Leer en qué consiste una aproximación por truncamiento y observar en una tabla el orden

de aproximación, la aproximación por truncamiento y la aproximación por redondeo de

distintos números reales.

• Fijarse en que al aproximar un número real por redondeo pueden obtenerse aproximaciones

por defecto o por exceso mientras que al aproximar un número real por truncamiento

siempre se obtienen aproximaciones por defecto.

• Reconocer que cuando se utilizan aproximaciones de números reales se comete un error.

• Fijarse en la definición de valor absoluto de un número real.

• Observar en una tabla la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado de distintas

aproximaciones y el valor absoluto de esta diferencia para llegar a la definición de error

absoluto de una aproximación.

• Reflexionar mediante una situación de la vida cotidiana acerca de de que, aunque en

algunos casos se comete el mismo error absoluto, éste no tiene la misma importancia y

relacionar el error absoluto con el valor exacto de la medida para definir el concepto de

error relativo.

• Leer la definición de error relativo, observar que expresa el error cometido por unidad de

medida y fijarse en que puede expresarse en porcentaje.

• Considerar mediante un ejemplo que no siempre se puede calcular el error cometido al

tomar una aproximación de un número pero sí un valor mayor o igual que dicho error, y

definir cota del error absoluto.

• Reflexionar acerca de que al efectuar una medida no se puede calcular el error cometido al

tomar una aproximación pero sí el error máximo cometido y observar la forma de indicar

dicha medida.

• Observar en un cuadro algunos instrumentos de medida de precisión y su función.

3. Operaciones

• Seguir los pasos para efectuar gráficamente la suma de dos números irracionales y verificar

que no es posible obtener el valor numérico exacto de dicha suma.

• Reconocer que para sumar dos números irracionales deben tomarse aproximaciones de

estos números y que el resultado también será una aproximación decimal de un número

irracional.



• Observar el error que se comete al sumar las aproximaciones decimales de dos números

irracionales, observar las cifras decimales correctas del resultado y reconocer que para

obtener una mejor aproximación del resultado se deben tomar más cifras decimales en los

sumandos.

• Observar el error que se comete al multiplicar las aproximaciones decimales de dos

números irracionales, observar las cifras decimales correctas del resultado y reconocer que

para obtener una mejor aproximación del resultado se deben tomar más cifras decimales en

los factores.

• Fijarse mediante un ejemplo en el error absoluto que se comete al resolver una operación

combinada en la que se opera con un resultado aproximado.

• Observar las expresiones de números expresados en notación científica que aparecen en la

pantalla de la calculadora, traducir estas expresiones y leer el nombre que reciben.

• Leer la definición de número expresado en notación científica.

• Leer sobre el número de cifras significativas de un número expresado en notación científica

y fijarse en el número de cifras significativas de dos números expresados en notación

científica.

• Observar en un ejemplo resuelto cómo se expresan distintos números en notación científica

y cómo se escriben con un número determinado de cifras significativas.

• Reconocer las teclas de la calculadora que permiten operar con números expresados en

notación científica y observar la utilización de la calculadora para introducir dichos

números y para operar con ellos.

Actividades resueltas

• Observar la resolución de un problema numérico siguiendo una serie de pasos:

comprensión del enunciado, planificación de la resolución, ejecución del plan de

resolución y revisión del resultado y del proceso seguido.

• Examinar la resolución del problema para aplicar la misma estrategia en la resolución de

las actividades propuestas

Repasa

• Identificar y repasar los contenidos principales de la unidad.



• Analizar la relación de los contenidos de la unidad mediante el esquema que se presenta.

Practica

• Resolver las actividades propuestas para practicar, aplicar y ampliar los conocimientos

adquiridos.

Evaluación

• Solucionar las actividades de la evaluación para comprobar lo que se ha aprendido.

Crónica matemática

• Interpretar varios cuadros de texto sobre: la temperatura media del universo después del big

bang, el concepto de infinito y la irracionalidad del número p.

• Comprender un texto acerca de la cantidad limitada de cifras que pueden manipular las

calculadoras y los ordenadores, y resolver unas actividades sugeridas en el texto que ponen

de manifiesto este hecho.

Evaluación

Criterios de evaluación

• Identificar números racionales e irracionales.

• Representar números irracionales, tanto de forma geométrica como de forma aproximada.

• Comparar y ordenar números reales.

• Expresar en forma de intervalo un segmento de la recta real y representar intervalos sobre

la recta real.

• Efectuar aproximaciones decimales de números reales por redondeo y por truncamiento

hasta un determinado orden de aproximación.

• Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar aproximaciones decimales de

números reales.

• Determinar el error cometido en operaciones con aproximaciones de números reales.

• Utilizar la notación científica para expresar números de valor absoluto muy grande o muy



pequeño.

• Operar con números expresados en notación científica con ayuda de la calculadora.

• Utilizar las TIC para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.

Actividades de evaluación

• Evaluación (LA).

• Evaluación. Ficha 4 (CR).

– Clasificar distintos números en racionales e irracionales.

– Construir segmentos de longitud irracional.

– Representar gráficamente números racionales e irracionales y ordenarlos.

– Representar gráficamente distintos intervalos de números reales.

– Localizar el error cometido al realizar el redondeo de diversos números decimales.

– Efectuar aproximaciones para dos números racionales y un número irracional.

– Escribir el intervalo donde se sitúa la longitud de una circunferencia al realizar el

redondeo de p hasta las milésimas.

– Expresar la notación científica correcta de un número grande y un número pequeño.

– Efectuar operaciones mediante la calculadora con números expresados en forma de

notación científica.

– Indicar en que casos es necesario realizar una aproximación del número real y

justificarlo.

• Clasificar los distintos tipos de números reales e identificarlos en situaciones cotidianas.

• Efectuar una serie de operaciones con distintos números reales por cálculo mental,

escrito o mediante el uso de calculadora. En caso de discrepancia en los resultados,

determinar dónde se ha producido el error cometido.

• Medir con instrumentos de distinto tipo y reflexionar sobre el error cometido y su

relevancia para el problema o situación en que se inserta.



UNIDAD 2: Potenciación y radicación


Interdisciplinariedad: Biología y Geología; Física y Química; Tecnología.


• Expresar un radical en forma de potencia de base un número real y exponente un número

racional.

• Operar con potencias de base real y exponente racional, y también con radicales.

• Operar con logaritmos decimales y conocer sus propiedades.


• Operar con potencias, radicales y logaritmos.

• Presentar de manera clara y ordenada los ejercicios.

• Confiar en las propias capacidades para efectuar operaciones matemáticas.

• Usar la calculadora de forma racional para operar con potencias, radicales y logaritmos.

Contenidos

Conceptos

• Potencias de base real y exponente natural.

• Propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente natural.

• Potencias de base real y exponente entero.

• Propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente entero.

• Raíz cuadrada de un número real.

• Raíz enésima de un número real.

• Expresiones radicales semejantes.

• Potencias de base real y exponente racional.

• Propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente racional.



• Racionalización.

• Logaritmo en base 10 o decimal.

• Propiedades de los logaritmos.

• Logaritmos en bases distintas de 10.

Procedimientos

• Cálculo de potencias de base real y exponente natural o entero negativo.

• Aplicación de las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente

natural o entero negativo.

• Determinación del signo de una raíz en función de la paridad del índice y del signo del

radicando.

• Reconocimiento de radicales semejantes.

• Cálculo de radicales y de operaciones con radicales.

• Extracción e introducción de factores en un radical.

• Cálculo de potencias de base real y exponente racional.

• Aplicación de las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente

racional.

• Transformación de raíces en potencias.

• Racionalización de denominadores.

• Cálculo de logaritmos decimales.

• Transformación de una igualdad en forma de potencia a otra en forma logarítmica y

viceversa.

• Aplicación de las propiedades de los logaritmos.

• Cambio de base de un logaritmo.

• Utilización racional de la calculadora para realizar operaciones complicadas y para

comprobar resultados.

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones numéricas.

Valores





efectuados.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar operaciones

numéricas.

• Valoración critica del uso de la calculadora en la realización de cálculos numéricos.

.




• Reflexionar acerca de las preguntas planteadas en la presentación, revisar los contenidos



1. Potencias de base real y exponente entero

• Reconocer la utilización de las potencias en distintos ámbitos y la necesidad de conocer sus

propiedades.

• Observar la expresión en forma de potencia de dos productos de factores iguales tomando

como factor un número racional y tomando como factor un número real, para definir

potencia de base un número real y exponente un número natural.

• Reconocer que no puede aplicarse la definición de potencia si el exponente es 1 y recordar

el valor de una potencia de base entera y exponente 1.

• Deducir el valor de una potencia de base real y exponente 1 y leer su definición

• Observar en una tabla, mediante ejemplos concretos, las propiedades de las operaciones con

potencias de base real y exponente natural y la forma de efectuarlas.

• Observar la utilización de la calculadora para hallar el cuadrado de un número y para

calcular cualquier potencia de un número.

• Deducir, a partir del cumplimiento de las propiedades de las potencias y mediante un

ejemplo concreto, el valor de una potencia de base real y exponente 0, y leer su definición.

• Deducir, a partir del cumplimiento de las propiedades de las potencias y mediante un

ejemplo concreto, el valor de una potencia de base real y exponente un número entero

negativo, y leer su definición.

• Reconocer que cualquier potencia de base real y exponente entero negativo puede escribirse



como una potencia de base real y exponente entero positivo.

• Seguir los pasos en un ejemplo resuelto de los procesos de transformación de una

multiplicación y de una división de potencias de una misma base, de la potencia de un

producto y de la potencia de una potencia, y reconocer que se pueden resolver aplicando las

propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente entero.

2. Radicales

• Recordar que el número obtenido a partir de elevar otro número al cuadrado tiene por raíz

cuadrada el número que se eleva al cuadrado y razonar que también tiene por raíz cuadrada

el opuesto de dicho número.

• Leer la condición que deben cumplir las raíces cuadradas de un número real y la forma de

expresarlas.

• Fijarse en las raíces cuadradas de números reales que son racionales y en las que son

irracionales.

• Comprobar, en dos ejemplos concretos, el cálculo de raíces cúbicas para definir la raíz

enésima de un número real.

• Leer la expresión de la raíz enésima de un número real y el nombre que reciben cada uno

de los números que intervienen en dicha expresión.

• Analizar la información de una tabla que muestra la raíz cúbica y la raíz de índice 4 de

pares de números reales opuestos y la relación del signo de la raíz con la paridad del índice

y con el signo del radicando.

• Observar el resultado de la suma de tres expresiones radicales semejantes para identificar el

coeficiente de una expresión radical.

• Observar distintas expresiones radicales cuyas diferencias se limitan a los coeficientes para

definir expresiones radicales semejantes.

• Leer la definición de radicales semejantes.

• Reconocer que podemos multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz de

cualquier radical pero que para sumar o restar radicales, éstos deben ser semejantes.

• Comprobar, en una tabla, los procedimientos para sumar o restar radicales semejantes, para

multiplicar y dividir radicales del mismo índice y para hallar la potencia y la raíz de un

radical, y observar la aplicación de dichos procedimientos en ejemplos concretos.



• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de operaciones combinadas en las que

intervienen raíces cuadradas.

• Reconocer que si en el producto de una suma por una diferencia intervienen raíces

cuadradas el resultado no tiene radicales; observar este hecho en un ejemplo concreto e

identificar la expresión conjugada.

• Considerar la conveniencia de extraer factores de un radical y reconocer que sólo es posible

si el exponente del factor es mayor o igual que el índice del radical.

• Seguir los pasos, en unos ejemplos concretos, de cómo proceder para extraer factores de un

radical y reconocer que si el exponente es múltiplo de la raíz, el resultado no contiene

ninguna raíz.

• Seguir los pasos, en un ejemplo resuelto, del cálculo de raíces cuadradas a partir de la

descomposición factorial del radicando y de la extracción de factores del radical.

• Leer en un texto el procedimiento para extraer factores de un radical.

• Reconocer que se pueden introducir factores en un radical; observar en unos ejemplos

concretos cómo proceder para introducir factores en un radical, y leer el procedimiento para

introducir un factor en un radical.

• Considerar que el exponente de una potencia puede ser un número racional y leer la

definición de potencia de base real y exponente racional mediante radicales.

• Observar en un ejemplo resuelto distintas operaciones de potencias de exponente racional

aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero.

• Considerar que las potencias cuyo exponente es un número racional negativo se pueden

transformar en potencias cuyo exponente es un número racional positivo y observar en un

ejemplo esta transformación.

• Leer las propiedades de las potencias de base real y exponente racional.

• Fijarse en que la manera de definir las potencias de exponente racional permite que se

cumplan las propiedades de las potencias.

• Observar las teclas de la calculadora que permiten hallar las raíces cuadradas, cúbicas y de

cualquier índice de un número, y su utilización en ejemplos concretos.

• Comparar, mediante un ejemplo, dos procedimientos para efectuar operaciones con

radicales: directamente o transformándolos en potencias de exponente racional.

• Comprender la necesidad de racionalizar el denominador de una expresión y observar la



racionalización de distintas expresiones en un ejemplo resuelto.

• Fijarse en que podemos racionalizar numeradores o denominadores y en cómo racionalizar

el denominador de una expresión.

3. Logaritmos

• Analizar una situación de la vida cotidiana en la que intervienen los logaritmos, leer la

definición de logaritmo en base 10 y observar su expresión.

• Observar en ejemplos concretos el cálculo de logaritmos de números que son potencias de

10 y analizar mediante una tabla la relación entre los logaritmos de números que son

potencias de 10 y los exponentes de dichas potencias.

• Leer el nombre que reciben los logaritmos de base 10; fijarse mediante un ejemplo

concreto que es posible calcular logaritmos en bases distintas de 10 y leer la definición de

logaritmo en cualquier base positiva distinta de 1.

• Observar cómo se calcula el logaritmo decimal de un número mediante la calculadora.

• Reconocer que el logaritmo de un número real negativo no existe.

• Leer, en una tabla, las propiedades de los logaritmos y seguir la demostración de cada una

de dichas propiedades.

• Reconocer que las propiedades de los logaritmos permiten escribir el logaritmo de una

expresión como sumas y restas de logaritmos, y observar esta transformación en un

ejemplo resuelto.

• Leer unas pinceladas históricas acerca de la aparición de los logaritmos y de las tablas

logarítmicas.

• Fijarse en que las propiedades de los logaritmos pueden generalizarse para bases distintas

de 10.

• Leer la propiedad que permite cambiar la base de los logaritmos y observar su aplicación

en un ejemplo.



comprensión del enunciado; planificación de la resolución; ejecución del plan de

resolución, y revisión del resultado y del proceso seguido.




las actividades propuestas.

Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar dos cuadros de texto sobre las escalas de medida de los terremotos y la datación

de rocas con radioisótopos.

• Leer un texto acerca de los primeros métodos para calcular raíces cuadradas utilizados por

los babilonios y en la India; calcular una raíz cuadrada utilizando estos dos métodos, y

comprobar con la calculadora los resultados obtenidos.

Evaluación


• Calcular potencias de base real y de exponente un número natural o entero.

• Operar con potencias de base real y exponente entero aplicando las propiedades de estas

operaciones.

• Expresar raíces enésimas y calcularlas cuando ello sea posible.

• Determinar el signo y el número de raíces de un radical.

• Efectuar operaciones con radicales.



• Extraer e introducir factores de un radical.

• Expresar raíces enésimas en forma de potencia de exponente racional.

• Operar con potencias de base real y exponente racional

• Racionalizar expresiones fraccionarias con radicales en el denominador.

• Utilizar la calculadora para hallar potencias y raíces.

• Calcular logaritmos decimales.

• Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones.

• Valorar con actitud crítica el uso de la calculadora en la realización de cálculos numéricos.




– Efectuar una serie de operaciones con potencias de base real y exponente racional.

– Expresar diferentes radicales en forma de potencia de base real y exponente racional.

– Expresar potencias de exponente racional en forma de radical e identificar los radicales

semejantes.

– Realizar operaciones con radicales cuadráticos aplicando las propiedades de las potencias

de exponente racional cuando sea conveniente.

– Extraer factores de diversos radicales.

– Identificar los errores cometidos en la racionalización de diferentes fracciones y expresar

los resultados correctamente.

– Hallar el logaritmo de diversos números positivos.

– Expresar unos determinados logaritmos en forma de suma y resta de logaritmos

aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, logaritmo de un

cociente, logaritmo de una potencia y logaritmo de una raíz).

• Efectuar mentalmente y con rapidez las operaciones en las que sea posible aplicar las

propiedades de potencias y radicales.

• Calcular mentalmente el logaritmo de un determinado número expresándolo como

potencia cuya base es la base del logaritmo.

• Utilizar correctamente la calculadora en la realización de cálculos numéricos y la revisión



de los resultados, especialmente en la obtención de logaritmos aplicando en los casos

necesarios el cambio de base.



UNIDAD 3: Polinomios y fracciones algebraicas


Interdisciplinariedad: Física y Química; Tecnología; Lengua Castellana y Literatura;

Educación Plástica y Visual.


• Reconocer qué es un polinomio y efectuar diversas operaciones con polinomios.

• Hallar los múltiplos y los divisores de un polinomio dado. Calcular el máximo común

divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.

• Reconocer qué es una fracción algebraica y efectuar operaciones con fracciones

algebraicas.


• Utilizar el lenguaje algebraico con precisión para expresar e interpretar información.

• Efectuar operaciones con polinomios y fracciones algebraicas.

• Presentar de manera clara y ordenada la resolución de los problemas.

• Confiar en las propias capacidades para resolver problemas.

Contenidos

Conceptos

• Polinomio.

• Grado de un polinomio.

• Valor numérico de un polinomio.

• Regla de Ruffini.

• Múltiplos y divisores de un polinomio.

• Teorema del resto.

• Raíces de un polinomio.



• Polinomio irreducible.

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.

• Fracciones algebraicas.

• Fracciones algebraicas equivalentes.

Procedimientos

• Cálculo del valor numérico de un polinomio.

• Expresión de polinomios en forma ordenada y reducida.

• Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y división).

• Aplicación de la regla de Ruffini.

• Obtención de múltiplos y divisores de un polinomio.

• Obtención de las raíces de un polinomio aplicando el teorema del resto.

• Descomposición factorial de un polinomio.

• Obtención del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más polinomios

a partir de su descomposición factorial.

• Simplificación de fracciones algebraicas.

• Reducción de fracciones algebraicas a mínimo común denominador.

• Operaciones con fracciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división).

Valores

• Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver




efectuados.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar operaciones

algebraicas.









1. Operaciones con polinomios

• Observar la forma de expresar la suma de las áreas de tres figuras y recordar el nombre que

recibe la expresión algebraica obtenida.

• Leer la definición de polinomio en una indeterminada.

• Determinar, en un ejemplo concreto, el grado de un polinomio y leer la definición de grado

de un polinomio.

• Analizar, mediante un ejemplo, el cálculo del valor numérico de un polinomio y leer la

definición de valor numérico de un polinomio.

• Observar, mediante un ejemplo, las características de un polinomio y su valor numérico

para un valor establecido de la indeterminada.

• Recordar la conveniencia de escribir los polinomios de forma reducida y con sus monomios

ordenados de mayor a menor grado.

• Seguir cada uno de los pasos de los procedimientos para efectuar sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones de polinomios, y observar en ejemplos resueltos la aplicación

de dichos procedimientos.

• Observar en un ejemplo concreto la relación que existe entre el grado del cociente y los

grados del dividendo y del divisor de una división de polinomios.

• Leer la relación existente entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de una

división de polinomios.

• Observar una división de polinomios cuyo divisor es de la forma x – a y leer el nombre de

una regla que permite resolver esta división.

• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para dividir polinomios mediante la regla

de Ruffini y observar su aplicación en un ejemplo resuelto.

2. Divisibilidad de polinomios

• Considerar una multiplicación entre números naturales para recordar los conceptos de



múltiplo, divisor y divisibilidad.

• Fijarse en las distintas relaciones de divisibilidad que pueden establecerse a partir de una

multiplicación de dos números naturales.

• Observar el producto de dos polinomios y establecer que el polinomio obtenido es múltiplo

del primer polinomio y leer la definición de múltiplo de un polinomio.

• Reconocer que la división entre el producto de dos polinomios y el primero de ellos es

exacta; establecer que este último es divisor del anterior o que el anterior es divisible por el

primero de ellos, y leer la definición de divisor de un polinomio.

• Observar, mediante un ejemplo concreto, que el valor numérico de un polinomio para x = a

es igual al resto de la división de dicho polinomio entre x – a, comprender que este

resultado puede generalizarse y leer el nombre que recibe su generalización.

• Leer el enunciado del teorema del resto

• Observar, mediante un ejemplo, que si el resto de dividir un polinomio por x – a es 0, el

valor numérico del polinomio para x = a es 0.

• Recordar el concepto de 0 o raíz de un polinomio, y leer en qué caso se puede afirmar que a

sea una raíz de un polinomio.

• Fijarse en qué consiste descomponer de manera factorial un polinomio y la conveniencia de

factorizar un polinomio hasta conseguir factores de primer grado.

• Observar, mediante un ejemplo, el método de sacar factor común para factorizar un

polinomio.

• Recordar las identidades notables y observar mediante un ejemplo concreto la aplicación de

una identidad notable para factorizar un polinomio.

• Comprobar, mediante un ejemplo concreto, el método de factorizar un polinomio hallando

los divisores de la forma x – a.

• Observar un polinomio que no puede descomponerse en factores y leer el nombre que

recibe.

• Leer la definición de polinomio irreducible y reconocer que, al descomponer de manera

factorial un polinomio como producto de polinomios de primer grado, éste queda

expresado como producto de polinomios irreducibles.

• Determinar la definición de máximo común divisor y la de mínimo común múltiplo de dos

o más polinomios.



• Observar, en un ejemplo resuelto, la forma de proceder para hallar el máximo común

divisor y el mínimo común múltiplo de dos polinomios, y leer las reglas prácticas para

hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos polinomios a partir

de su descomposición factorial.

3. Fracciones algebraicas

• Considerar una fracción como la expresión de una división entre dos números para

establecer una fracción algebraica como una división entre dos polinomios; fijarse en

distintos ejemplos de fracciones algebraicas, y leer el nombre que reciben los polinomios

que representan los dividendos y los que representan los divisores.

• Leer la definición de fracción algebraica y observar la forma de representarla.

• Leer la definición de fracciones algebraicas equivalentes y fijarse en la forma de expresar

esta equivalencia.

• Observar, en un ejemplo concreto, la comprobación de la equivalencia de dos fracciones

algebraicas.

• Considerar la conveniencia de simplificar una fracción algebraica antes de operar con ella y

observar en un ejemplo resuelto la simplificación de una fracción algebraica.

• Recordar en qué consiste reducir fracciones a mínimo común denominador.

• Reconocer que para sumar y restar fracciones algebraicas es necesario que tengan

denominador común y observar en un ejemplo resuelto el procedimiento utilizado para

reducir dos fracciones a mínimo común denominador.

• Recordar cómo proceder para sumar y restar fracciones numéricas.

• Seguir los pasos necesarios para sumar fracciones algebraicas y observar la aplicación del

procedimiento en un ejemplo resuelto.

• Seguir el procedimiento para restar fracciones algebraicas y observar la aplicación del


• Recordar cómo proceder para multiplicar o dividir fracciones numéricas.

• Seguir los pasos para multiplicar fracciones algebraicas y observar la aplicación del


• Seguir el procedimiento para dividir fracciones algebraicas y observar la aplicación del






comprensión del enunciado, planificación de la resolución, ejecución del plan de resolución

y revisión del resultado y del proceso seguido.



Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar un cuadro de texto sobre el ajuste de curvas mediante polinomios.

• Leer un texto sobre la regla de los signos.

• Determinar el número de raíces de una serie de polinomios aplicando la regla de los signos.

• Calcular todas las raíces dichos polinomios y comprobar los resultados obtenidos

anteriormente.

Evaluación


• Calcular el valor numérico de un polinomio



• Efectuar correctamente la suma, la resta, la multiplicación y la división de polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini en la división de polinomios.

• Aplicar el teorema del resto para hallar las raíces de un polinomio.

• Factorizar un polinomio.

• Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.

• Simplificar fracciones algebraicas.

• Reducir fracciones algebraicas a mínimo común denominador.

• Efectuar correctamente la suma, la resta, la multiplicación y la división de fracciones

algebraicas.

• Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para representar y comunicar diferentes

situaciones de la vida cotidiana.




– Efectuar las operaciones suma, resta y multiplicación de polinomios.

– Determinar el cociente y el resto obtenidos de la división de varios polinomios.

– Utilizar la regla de Ruffini para un divisor x – a en la división de diversos polinomios.

– Factorizar distintos polinomios e indicar sus raíces.

– Obtener un polinomio múltiplo de dos polinomios y hallar una raíz de este polinomio

múltiplo a partir de los polinomios iniciales.

– Calcular el M.C.D. y el m.c.m. de dos polinomios.

– Simplificar una fracción algebraica mediante factorización del numerador y del

denominador.

– Calcular la suma, la resta, la multiplicación y la división de fracciones algebraicas.

• Ordenar y reducir un polinomio.

• Efectuar las operaciones suma, resta, multiplicación y división de los polinomios de

manera clara y ordenada. Comprobar los resultados obtenidos con herramientas

informáticas como la calculadora Wiris, revisar la operación realizada y en caso de error

determinar dónde se ha producido.



• Obtener mentalmente el resto de la división de un polinomio P(x) entre x – a mediante

aplicación del teorema del resto.

• Efectuar las operaciones suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas de

forma clara y ordenada y utilizar la calculadora Wiris para revisar los resultados.



UNIDAD 4: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones


Interdisciplinariedad: Física y Química; Biología y Geología; Lengua Castellana y

Literatura.


• Consolidar los procedimientos de resolución de ecuaciones de primer grado con una

incógnita; de primer grado con dos incógnitas; de segundo grado con una incógnita, y de

los sistemas de primer grado con dos incógnitas.

• Ampliar el estudio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con las ecuaciones bicuadradas,

las irracionales y los sistemas no lineales.


• Utilizar las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones para resolver situaciones de la vida

cotidiana.

• Presentar de manera clara y razonada el proceso de resolución de un problema.

• Mostrar una actitud crítica frente a las soluciones encontradas.

• Utilizar racionalmente la calculadora y las nuevas tecnologías a la hora de resolver un

problema.

Contenidos

Conceptos

• Ecuación.

• Solución de una ecuación.

• Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.



• Ecuaciones bicuadradas.

• Ecuaciones irracionales.

• Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Solución de un sistema de ecuaciones.

• Clases de sistemas de ecuaciones según sus soluciones. Sistema compatible determinado.

Sistema compatible indeterminado. Sistema incompatible.

• Sistemas no lineales.

• Pasos del método general de resolución de problemas.

Procedimientos

• Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita por los métodos general, de

tanteo y de las iteraciones.

• Representación gráfica de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos

incógnitas.

• Clasificación de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita según el valor de los

coeficientes.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita y completas aplicando la

fórmula general.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita e incompletas utilizando

diferentes procedimientos.

• Resolución de ecuaciones bicuadradas y de ecuaciones irracionales.

• Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Resolución algebraica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

por los métodos de sustitución, de igualación y de reducción.

• Resolución de sistemas no lineales.

• Traducción al lenguaje algebraico de diferentes situaciones en las que intervienen

ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

• Comprobación de las soluciones de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y problemas.

Valores





• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas mediante el planteamiento y

la resolución de ecuaciones matemáticas.

• Actitud crítica frente a las soluciones obtenidas.

• Constancia en la búsqueda de soluciones a problemas algebraicos y flexibilidad para tantear

distintas posibilidades.

• Flexibilidad ante las diversas estrategias matemáticas de resolución de un problema.

• Perseverancia y actitud positiva en la resolución de problemas.

• Sensibilidad y gusto por la presentación clara y ordenada del proceso seguido y de los

resultados obtenidos en la resolución de problemas.







1. Ecuaciones de primer grado

• Leer la definición de ecuación y el nombre que reciben las expresiones algebraicas que la

forman.

• Reflexionar sobre una situación de la vida cotidiana en la que puede plantearse una

ecuación e identificar las incógnitas y los miembros de dicha ecuación.

• Leer la definición de soluciones de la ecuación.

• Observar, en un ejemplo concreto, la obtención de una ecuación en la que sólo aparece una

incógnita con exponente 1 y leer la definición de ecuación de primer grado con una

incógnita.

• Fijarse en la expresión general de las ecuaciones de primer grado con una incógnita y leer

el nombre que recibe el valor de la incógnita que verifica la ecuación.

• Comprobar en una tabla la asignación de distintos valores a la incógnita de una ecuación y

la comprobación del cumplimiento de la igualdad.



• Recordar las propiedades de las ecuaciones que permiten efectuar transformaciones y pasar

de una ecuación a otra equivalente.

• Leer el procedimiento para resolver una ecuación y observar en un ejemplo resuelto el

método general de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

• Fijarse en algunas expresiones particulares que suelen tratarse como ecuaciones de primer

grado con una incógnita y en sus soluciones.

• Seguir cada uno de los pasos de los procedimientos de resolución de ecuaciones por el

método de tanteo y por el método de las iteraciones.

• Observar una ecuación en la que aparecen dos incógnitas, leer la definición de ecuación de

primer grado con dos incógnitas y fijarse en la expresión general de dichas ecuaciones.

• Fijarse en que una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y

que éstas pueden representarse gráficamente.

• Seguir los pasos para representar gráficamente las soluciones de una ecuación de primer

grado con dos incógnitas.

2. Ecuaciones de segundo grado

• Reflexionar sobre una situación de la vida cotidiana que no puede resolverse mediante una

ecuación de primer grado, plantear una ecuación y observar que en la ecuación equivalente

obtenida sólo aparece una incógnita cuyo máximo exponente es 2 y leer el nombre que

recibe dicha ecuación.

• Leer la definición de ecuación de segundo grado con una incógnita.

• Observar un valor que, al sustituirlo en la incógnita, verifica la ecuación, y leer el nombre

que recibe dicho valor y la definición de solución o raíz de una ecuación.

• Fijarse en la expresión de una ecuación de segundo grado con una incógnita.

• Observar, en una tabla, la clasificación de las ecuaciones de segundo grado con una

incógnita según el valor de los coeficientes.

• Analizar y distinguir, en ejemplos resueltos, los diferentes procedimientos para resolver

ecuaciones incompletas de segundo grado con una incógnita.

• Fijarse en la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita y en el discriminante, y reconocer que su valor numérico permite determinar el

número de soluciones de la ecuación sin resolverla.



• Observar, en un ejemplo resuelto, el procedimiento para resolver una ecuación completa de

segundo grado con una incógnita mediante la fórmula general.

• Leer el nombre que reciben las ecuaciones de grado cuatro sin términos de grado impar y

reconocer su expresión.

• Leer el procedimiento para resolver las ecuaciones bicuadradas y observar en un ejemplo

resuelto la aplicación de dicho procedimiento.

• Reconocer que el número máximo de soluciones de una ecuación bicuadrada es cuatro pero

que no todas las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro soluciones.

• Leer el nombre que reciben las ecuaciones que tienen la incógnita bajo el signo radical y

seguir los pasos, en un ejemplo concreto, de la resolución de una ecuación irracional.

• Observar en un ejemplo de ecuación irracional que la ecuación que se obtiene al elevarla al

cuadrado no es equivalente a la dada.

3. Sistemas de ecuaciones

• Identificar dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente con un sistema de

ecuaciones y leer la definición de sistema de ecuaciones.

• Observar que, para dos valores concretos, se verifican simultáneamente todas las

ecuaciones del sistema para definir la solución de un sistema de ecuaciones.

• Fijarse en que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones

y recordar cuál es el método para comprobar la solución obtenida.

• Fijarse mediante un ejemplo resuelto en cada uno de los pasos de resolución de un sistema

de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Observar cómo están determinadas las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de

primer grado con dos incógnitas.

• Leer la clasificación de los sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

según sus soluciones.

• Reconocer la necesidad de resolver sistemas por métodos algebraicos debido a la

imprecisión del método gráfico.

• Observar mediante ejemplos resueltos cada uno de los pasos que deben seguirse para

resolver un sistema por los métodos de sustitución, de igualación y de reducción.

• Leer el nombre que recibe un sistema de ecuaciones en el que una de sus ecuaciones no es



de primer grado y observar en un ejemplo la resolución de un sistema no lineal.

4. Resolución de problemas

• Aprender, mediante el estudio de un problema resuelto, los pasos que deben seguirse en la

resolución de problemas por medio de: la lectura atenta del enunciado, la elección de la

incógnita, el planteamiento de la ecuación, la resolución de la ecuación, la respuesta y la

comprobación.

• Observar la resolución de un problema a partir del planteamiento de un sistema no lineal.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar varios cuadros de texto sobre: el álgebra y los algebristas, el teorema de Fermat

y la ecuación de Drake.



• Leer una noticia acerca de las posibles civilizaciones de nuestra galaxia.

• Resolver una actividad referente a la propiedad distributiva, al cuadrado de una suma y al

teorema de Pitágoras.

Evaluación


• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita por los métodos general, de tanteo

y de las iteraciones.

• Representar gráficamente las soluciones de una ecuación de primer grado con dos

incógnitas

• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, completas e incompletas.

• Resolver ecuaciones bicuadradas y ecuaciones irracionales.

• Resolver gráficamente sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y

clasificarlos según sus soluciones.

• Resolver por los métodos algebraicos de sustitución, igualación y reducción distintos

sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Resolver sistemas no lineales.

• Expresar, en lenguaje algebraico, diferentes situaciones en las que intervienen ecuaciones y

sistemas de ecuaciones.

• Comprobar las soluciones de ecuaciones, de sistemas de ecuaciones y de problemas.




– Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita que incluyen paréntesis,

denominadores y paréntesis y denominadores.

– Utilizar el método de las iteraciones para hallar la solución de una ecuación de primer

grado con una incógnita.



– Representar gráficamente las soluciones de una ecuación de primer grado con dos

incógnitas.

– Resolver un problema sobre una situación cotidiana utilizando ecuaciones de primer

grado.

– Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

– Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado con una

incógnita.

– Resolver una ecuación bicuadrada y otra irracional.

– Resolver un problema sobre una situación cotidiana utilizando ecuaciones de segundo

grado.

– Hallar las soluciones de tres sistemas de ecuaciones aplicando en cada uno de ellos uno

de los métodos algebraicos conocidos: igualación, sustitución y reducción.

– Resolver un problema sobre una situación cotidiana mediante la aplicación de un sistema

de ecuaciones no lineal.

• Traducir al lenguaje algebraico enunciados verbales de problemas mediante la

interpretación de las relaciones matemáticas implicadas.

• Identificar los distintos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones estudiados.

• Plantear y resolver problemas en los que se deban tantear diferentes posibilidades y actuar

con constancia en la búsqueda de la solución.

• Razonar acerca de la validez de las soluciones obtenidas en la resolución de ecuaciones y

sistemas de ecuaciones.



UNIDAD 5: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones


Interdisciplinariedad: Biología y Geología; Tecnología; Lengua Castellana y Literatura.


• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las que intervienen relaciones de

desigualdad.

• Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones, e interpretar geométricamente la

solución.

• Valorar la utilidad el lenguaje algebraico para expresar diferentes situaciones de la vida

cotidiana.


• Utilizar el lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones de la vida

cotidiana.

• Utilizar los símbolos propios de las desigualdades, así como sus principales características.

• Resolver problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y de

sistemas de inecuaciones.

• Valorar la constancia en la búsqueda de soluciones y la flexibilidad para tantear distintas

posibilidades.

Contenidos

Conceptos

• Relaciones de desigualdad.

• Propiedades de las desigualdades.

• Inecuaciones.

• Soluciones de una inecuación.



• Conjunto solución.

• Inecuaciones equivalentes.

• Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Procedimientos

• Aplicación de las propiedades de las desigualdades.

• Obtención de inecuaciones equivalentes a una dada.

• Resolución algebraica y geométrica de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Representación gráfica del conjunto solución.

• Resolución de inecuaciones sencillas de primer grado con una incógnita mediante el cálculo

mental.

• Resolución geométrica de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación

gráfica del conjunto solución.

• Resolución de inecuaciones sencillas de primer grado con dos incógnitas mediante el

cálculo mental.

• Resolución algebraica y geométrica de sistemas de inecuaciones de primer grado con una

incógnita. Representación gráfica del conjunto solución.

• Pasos del método general de resolución de problemas.

• Resolución de problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y de

sistemas de inecuaciones.

• Traducción al lenguaje algebraico de diferentes situaciones en las que intervienen

inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Análisis de las soluciones de inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas.

Valores



• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas mediante el planteamiento y

la resolución de inecuaciones.



• Constancia en la búsqueda de soluciones a problemas algebraicos y flexibilidad para tantear

distintas posibilidades.

• Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas algebraicos distintas de las

propias.

• Flexibilidad ante las diversas estrategias matemáticas de resolución de un problema.

• Perseverancia y actitud positiva en la resolución de problemas.

• Actitud crítica frente a las soluciones obtenidas.

• Sensibilidad y gusto por la presentación clara y ordenada del proceso seguido y los

resultados obtenidos en la resolución de problemas.







1. Desigualdades

• Observar, en casos concretos, la utilización de los signos < y >, con la finalidad de indicar

que una cantidad es menor o mayor que otra para definir las relaciones algebraicas menor

que y mayor que entre dos números.

• Observar diversos números para comprobar si son menores o iguales que otro, para definir

las relaciones algebraicas menor o igual que y mayor o igual que.

• Fijarse en el significado de cada uno de los signos de desigualdad.

• Leer cuáles son los números que constituyen el primer miembro de una desigualdad y

cuáles son los que constituyen el segundo miembro.

• Calcular la diferencia entre el primer y el segundo miembro de una serie de

desigualdades, comprobar que en las desigualdades con el signo < la diferencia es un

número negativo, mientras que en las desigualdades que utilizan el signo > la diferencia

es un número positivo para establecer un criterio para determinar, dados dos números,



cuál es el mayor.

• Recordar que al sumar o restar el mismo número a los dos miembros de una igualdad, ésta

se mantiene y que también se mantiene al multiplicar o dividir los dos miembros por un

mismo número diferente de cero.

• Sumar un número positivo y un número negativo a los dos miembros de una desigualdad y

determinar la desigualdad resultante para comprobar que al sumar un mismo número a los

dos miembros de una desigualdad se obtiene una desigualdad del mismo sentido y observar

la visualización gráfica de dicha propiedad.

• Fijarse en la definición de desigualdades del mismo sentido.

• Multiplicar por un número positivo y por un número negativo los dos miembros de una

desigualdad y determinar el signo de la desigualdad resultante para comprobar que la

multiplicación por un número positivo conserva el sentido de la desigualdad inicial,

mientras que la multiplicación por un número negativo no lo conserva.

• Observar en un ejemplo resuelto la aplicación de las propiedades de las desigualdades.

2. Inecuaciones

• Observar diversas desigualdades entre expresiones algebraicas para definir inecuación.

• Leer la definición de incógnitas, de primer miembro y de segundo miembro de una

inecuación, y observar en un ejemplo los miembros y las incógnitas de una inecuación.

• Sustituir diversos valores en una inecuación y comprobar en cada caso si se cumple la

desigualdad para definir las soluciones de una inecuación.

• Advertir la igualdad de las soluciones de dos inecuaciones para definir inecuaciones

equivalentes.

• Recordar y aplicar las propiedades de las desigualdades para obtener las reglas que

permiten pasar de una inecuación a otra equivalente.

• Fijarse en que, a partir de las reglas que permiten pasar de una inecuación a otra

equivalente, se deduce que al transponer términos o al despejar la incógnita en una

inecuación se obtiene otra inecuación equivalente.

• Observar los símbolos de implicación y de doble implicación, y fijarse en su significado.

• Observar la incógnita y el exponente de una inecuación para advertir que se trata de una

inecuación de primer grado con una incógnita; leer el nombre que recibe el conjunto



formado por todas sus soluciones y el símbolo que lo representa.

• Seguir el procedimiento para resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y

observar en un ejemplo resuelto la aplicación de dicho procedimiento.

• Fijarse en que las semirrectas representan intervalos de la recta real y observar ejemplos de

cada uno de los diferentes tipos de semirrectas.

• Leer, en un cuadro resumen, cuál es el conjunto solución de las inecuaciones de primer

grado con una incógnita más sencilla, expresado mediante intervalos y mediante la

representación gráfica y leer el nombre y el símbolo que representa el conjunto solución de

las inecuaciones que no se verifican para ningún número real.

• Observar en un ejemplo la resolución de una inecuación cuyo conjunto solución está

formado por todos los números reales y la de otra inecuación cuyo conjunto solución es el

conjunto vacío.

• Fijarse, mediante ejemplos, en cómo obtener el conjunto solución de una inecuación

sencilla de primer grado con una incógnita mediante el cálculo mental.

• Observar una inecuación en la que aparecen dos incógnitas y fijarse en que existen pares de

valores que son la solución de esta inecuación.

• Seguir los pasos para representar gráficamente las soluciones de una inecuación de primer

grado con dos incógnitas.

• Fijarse, mediante un ejemplo, en cómo obtener la solución de una inecuación sencilla de

primer grado con dos incógnitas mediante el cálculo mental.

• Comprobar, mediante ejemplos resueltos, la resolución gráfica de dos inecuaciones de

primer grado con dos incógnitas.

• Observar el exponente de una inecuación para advertir que se trata de una inecuación de

segundo grado con una incógnita; leer el nombre que recibe el conjunto formado por todas

sus soluciones y el símbolo que lo representa.

• Seguir, mediante ejemplos resueltos, la resolución de distintas inecuaciones de segundo

grado con una incógnita.

• Fijarse en el símbolo de unión y su significado cuando se halla entre dos intervalos.

• Fijarse en que algunas inecuaciones de segundo grado con una incógnita pueden resolverse

sin efectuar ningún cálculo.



3. Sistemas de inecuaciones

• Identificar dos inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente con un sistema de

inecuaciones y leer la definición de sistema de inecuaciones de primer grado con una

incógnita.

• Observar, en un caso concreto, la resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado

con una incógnita.

• Recordar cómo se representa de manera simultánea que un valor es mayor que un número y

menor que otro.

• Leer en qué consiste resolver un sistema de inecuaciones y seguir los pasos de resolución

de un ejemplo concreto de sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Leer que, en caso de que no existan valores que verifiquen a la vez todas las inecuaciones,

el sistema no tiene solución.


• Aprender, mediante el estudio de un problema resuelto, los pasos que deben seguirse en la

resolución de problemas mediante: lectura atenta del enunciado, elección de la incógnita,

planteamiento de la inecuación, resolución de la inecuación, respuesta y comprobación.







Repasa



Practica




adquiridos.

Evaluación



• Interpretar dos cuadros de texto acerca de la evaluación del riesgo de incendios y un

problema de transporte de mercancías.

• Reflexionar sobre las propiedades de la relación de orden «ser menor o igual que», y

resolver la actividad sugerida en el texto.

Evaluación


• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las cuales intervienen relaciones

de desigualdad.

• Utilizar el lenguaje y los símbolos propios de las desigualdades, para interpretar y

transmitir información.

• Aplicar correctamente las propiedades de las desigualdades.

• Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar geométricamente la

solución.

• Representar gráficamente las soluciones de las inecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar

geométricamente su solución.

• Aplicar la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones para resolver

problemas.






– Indicar qué operaciones deben efectuarse para transformar unas desigualdades numéricas

en otras equivalentes.

– Expresar en forma de desigualdad algebraica situaciones cotidianas.

– Reconocer las soluciones de una inecuación entre varias propuestas.

– Determinar si dos inecuaciones son equivalentes.

– Obtener inecuaciones equivalentes a una dada.

– Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y representar gráficamente el

conjunto solución.

– Resolver sistemas de dos inecuaciones lineales con una incógnita y representar

gráficamente el conjunto solución.

– Escribir una inecuación o sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita a

partir de los intervalos representados como conjunto solución.

– Resolver problemas en los que hay que plantear condiciones de desigualdad y solucionar la

inecuación resultante o bien el sistema de inecuaciones resultante.

• Traducir al lenguaje algebraico enunciados verbales de problemas mediante la

interpretación de las relaciones matemáticas implicadas.

• Interpretar geométricamente las soluciones de una inecuación o sistema de inecuaciones.

• Presentar las representaciones gráficas correspondientes a soluciones de inecuaciones y

sistemas de inecuaciones con claridad y pulcritud.

• Razonar acerca de la validez de las soluciones obtenidas en problemas que se resuelven

mediante inecuaciones y sistemas de inecuaciones.



UNIDAD 6: Semejanza en el plano y en el espacio


Interdisciplinariedad: Tecnología; Educación Plástica y visual; Ciencias Sociales,

Geografía e Historia.


• Calcular la razón de semejanza entre figuras semejantes e identificarlas.

• Aplicar la homotecia y la semejanza para realizar construcciones de figuras y cuerpos

semejantes.

• Conocer los criterios de semejanza de triángulos y los teoremas relativos a la semejanza

de triángulos, así como aplicar éstos al cálculo de distancias en triángulos.

• Interpretar planos dibujados a escala y representar gráficamente figuras a escala.

• Valorar la importancia de la representación geométrica de objetos en el plano


• Reconocer figuras semejantes y calcular la razón de semejanza.

• Valorar la utilidad de la semejanza para construir figuras.

• Interpretar representaciones a escala y calcular longitudes, áreas y volúmenes a partir de

ellas.

• Utilizar los instrumentos necesarios para representar cuerpos y figuras geométricas.

Contenidos

Conceptos

• Figuras y cuerpos semejantes: razón de semejanza.

• Propiedades de las figuras semejantes.

• Transformaciones isomorfa: homotecia y semejanza.

• Propiedades de la homotecia y la semejanza.



• Perímetros y áreas de figuras semejantes.

• Volumen de figuras semejantes.

• Mapas y planos. Escalas.

Procedimientos

• Identificación de figuras semejantes.

• Construcción de figuras semejantes.

• Cálculo de la razón de semejanza.

• Obtención de las relaciones numéricas entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras

semejantes.

• Interpretación de representaciones a escala y obtención de la escala de una representación.

• Representación gráfica de figuras a escala.

• Cálculo de la razón de semejanza entre figuras y cuerpos geométricos.

Valores

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la semejanza para la construcción de figuras.

• Utilización cuidadosa y precisa de los instrumentos de dibujo adecuados para la

construcción de figuras geométricas.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los instrumentos de dibujo para construir

figuras de manera precisa.

• Gusto por la realización y la presentación esmerada y ordenada de trabajos que incluyan

representaciones a escala.









1. Figuras y cuerpos semejantes

• Observar varias parejas de cuerpos y figuras de distintos tamaños para comprender el

concepto de semejanza.

• Reconocer que la distancia entre dos puntos cualesquiera de una figura y la distancia entre

sus dos puntos homólogos de otra son proporcionales. Leer el nombre que recibe esta

proporcionalidad.

• Leer la definición de razón de semejanza.

• Observar mediante un ejemplo el cálculo de la razón de semejanza de dos figuras.

• Recordar el método de Tales o de radiación para construir figuras semejantes.

• Observar en una tabla las propiedades de diversas figuras y cuerpos semejantes.

• Recordar las condiciones de semejanza de triángulos.

2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes

• Observar que la palabra semejanza se aplica a dos conceptos distintos: una relación

métrica entre dos figuras y una transformación isomorfa. Recalcar la importancia de

diferenciar dichos conceptos.

• Observar, mediante un ejemplo, la transformación de un polígono en otro aplicando el

método de homotecia.

• Reconocer las relaciones de proporcionalidad que se establecen entre las distancias de un

polígono y el centro de homotecia y las distancias homólogas del otro y dicho punto.

• Leer la definición de homotecia.

• Considerar que también se puede aplicar la homotecia para construir cuerpos o figuras

semejantes en el espacio.

• Observar en una tabla los cuatro casos distintos que pueden producirse en función del valor

de la razón k.

• Reconocer las condiciones que cumple una homotecia a partir de un caso representado

gráficamente.

• Leer la definición de identidad.

• Leer la definición de simetría central.

• Observar a partir de tres ejemplos gráficos los datos necesarios para determinar una

homotecia.



• Observar mediante un ejemplo la transformación de un triángulo en otro aplicando el

método de semejanza. Destacar que este proceso implica una homotecia de centro O y

razón k, seguida de una simetría axial de eje e.

• Leer la definición de semejanza.

• Reconocer las condiciones que cumple una semejanza.

• Recordar el concepto de transformación isométrica o movimiento.

• Observar una tabla en la que se recogen los resultados de aplicar a una figura la

composición sucesiva de dos transformaciones.

• Fijarse en que se obtiene la misma figura al invertir el orden de los dos movimientos.

3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes

• Observar dos polígonos semejantes para determinar las relaciones de proporcionalidad que

se establecen entre algunas de sus longitudes homólogas.

• Leer la definición de la razón entre dos longitudes homólogas de dos cuerpos o figuras

semejantes.

• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calculan algunas longitudes características de un

cuerpo semejante a otro.

• Reconocer el perímetro de una figura como una de sus longitudes características y

establecer la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes.

• Observar, mediante la correspondiente demostración analítica, la razón entre las áreas de

dos polígonos semejantes.

• Leer la definición de la razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes.

• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calcula el área de un cuerpo semejante a otro.

• Observar, mediante la correspondiente demostración analítica, la razón entre los volúmenes

de dos cuerpos semejantes.

• Leer la definición de la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes.

• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calcula el volumen de un cuerpo semejante a

otro.

• Analizar la aplicación del concepto de semejanza para representar sobre el papel objetos

demasiado grandes o demasiado pequeños: mapas, planos, etc.

• Reconocer que las representaciones de los planos o los mapas son proporcionales al objeto



o territorio que representan.

• Leer la definición de escala de un mapa o un plano.

• Interpretar la expresión de una escala en forma de cociente así como su representación

gráfica.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar diversos cuadros de texto acerca de: la descripción objetiva de las formas, las

representaciones bidimensionales de obras arquitectónicas y el travelling en el cine.

• Leer una noticia sobre el uso del contra-zoom en el cine.

• Calcular las medidas de un dibujo obtenido a partir de una ampliación y una posterior

reducción de un dibujo anterior.

Evaluación




• Identificar figuras semejantes en el plano y en el espacio.

• Relacionar la razón de semejanza entre dos figuras semejantes con la razón entre sus

perímetros, sus áreas y sus volúmenes.

• Aplicar movimientos a figuras en el plano y construir figuras geométricas homotéticas y

semejantes.

• Reconocer el concepto de escala aplicado a mapas y planos y calcular longitudes y áreas a

partir de estas representaciones.

• Efectuar representaciones a escala de figuras geométricas.

• Utilizar, con cuidado y precisión, los instrumentos de dibujo adecuados para la

construcción de figuras geométricas.

• Mostrar una actitud de interés por la realización sistemática y ordenada y la presentación

cuidadosa de construcciones geométricas.




– Determinar qué homotecia se ha aplicado a dos polígonos semejantes.

– Identificar triángulos semejantes.

– Calcular el área de dos polígonos semejantes.

– Obtener el volumen de dos cuerpos semejantes.

– Determinar el área y el volumen de dos cilindros semejantes a otro y encontrar la razón

de semejanza entre ellos.

– Calcular las medidas de dos pirámides semejantes.

– Resolver un problema aplicando el concepto de escala en una maqueta.

• Identificar y representar figuras semejantes.

• Reconocer y analizar representaciones a escala que aparecen en la vida cotidiana.



UNIDAD 7: Trigonometría


Interdisciplinariedad: Física y Química; Tecnología; Lengua Castellana y Literatura.


• Conocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo y resolver triángulos rectángulos.

• Conocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

• Establecer las relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo o de

ángulos diferentes.

• Resolver problemas en los que sea necesario realizar cálculos con razones trigonométricas.


• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar y transmitir información.

• Aplicar los conceptos elementales de la trigonometría a la resolución de problemas de la

vida cotidiana.

• Apreciar las importantes aplicaciones de la trigonometría en la determinación de alturas y

distancias.

• Valorar el uso de recursos tecnológicos como la calculadora y el ordenador en el trabajo

con razones trigonométricas.

Contenidos

Conceptos

• Ángulo. Ángulo recto.

• Unidades de medida de ángulos. Radián y grado sexagesimal.

• Ángulos orientados. Ángulos positivos y negativos.

• Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente.

• Razones trigonométricas inversas: cosecante, secante y cotangente.



• Razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60°.

• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

• Razones trigonométricas de los ángulos de 0 y 90°.

• Circunferencia goniométrica.

• Valor y signo de las razones trigonométricas según el cuadrante al que pertenezca el

ángulo.

• Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.

• Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo del segundo, tercer o cuarto

cuadrante y las de un ángulo del primer cuadrante.

Procedimientos

• Conversión de unidades angulares de radián a grado y viceversa.

• Representación de ángulos orientados.

• Reducción de un ángulo al primer giro.

• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Deducción de las razones trigonométricas de los ángulos 30, 45 y 60°.

• Resolución de triángulos rectángulos.

• Determinación de alturas y distancias mediante la aplicación de la trigonometría.

• Uso racional de la calculadora para la conversión de unidades angulares y para hallar

razones trigonométricas de ángulos o ángulos a partir de sus razones trigonométricas.

• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera a partir de su

representación gráfica en un sistema de coordenadas.

• Representación sobre la circunferencia goniométrica de los segmentos correspondientes al

seno, el coseno y la tangente de un ángulo.

• Determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo según el cuadrante al

que pertenezca.

• Reducción al primer cuadrante. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo

cualquiera si se conocen las de los ángulos del primer cuadrante.

• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

• Resolución de diferentes tipos de problemas mediante la aplicación de la trigonometría.



Valores



• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de la

trigonometría para representar, comunicar o resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Interés por el aprendizaje de los procedimientos de utilización de la calculadora y por el

uso racional de ésta.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar operaciones con

razones trigonométricas.

• Sensibilidad por la presentación clara y ordenada de los ejercicios y los problemas

resueltos.







1. Medida de ángulos

• Recordar la clasificación de los ángulos según su amplitud o medida.

• Observar que dos rectas perpendiculares en el plano forman cuatro ángulos iguales y cada

uno de ellos es un ángulo recto.

• Recalcar que a partir del ángulo recto se definen las unidades de medida de ángulos.

• Leer la definición de grado sexagesimal.

• Leer la definición de radián.

• Fijarse en la equivalencia entre grados y radianes.

• Observar en un ejemplo resuelto la transformación de grados sexagesimales a radianes y

viceversa.

• Considerar los ángulos como giros y clasificarlos según el sentido de giro.



• Recordar que los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro regiones, leer el nombre

que reciben y cómo se enumeran.

• Seguir el procedimiento para representar un ángulo orientado en un sistema de coordenadas

cartesianas.

• Leer cómo se clasifican los ángulos orientados.

• Reflexionar acerca de la posibilidad de definir ángulos mayores de 360º; observar en un

caso concreto la coincidencia entre la representación de un ángulo mayor de 360º y la de un

ángulo menor de 360º, y leer que este último ángulo es el resultado de reducir al primer

giro el ángulo mayor de 360º.

• Seguir el procedimiento que permite reducir un ángulo al primer giro y observar en un

ejemplo resuelto la aplicación de dicho procedimiento.

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

• Observar un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y leer el nombre que reciben los

cocientes entre las longitudes de cada dos de sus lados.

• Leer el nombre, la definición y la fórmula de las razones trigonométricas de un ángulo

agudo.

• Observar diversos triángulos rectángulos semejantes con un ángulo agudo común y razonar

que el seno de dicho ángulo es independiente del triángulo rectángulo escogido.

• Advertir que las razones trigonométricas de un ángulo son adimensionales.

• Leer el nombre que recibe cada una de las razones trigonométricas inversas y su fórmula.

• Seguir el procedimiento que permite calcular el seno de un ángulo mediante la calculadora

y el procedimiento que permite hallar el valor de un ángulo si se conoce una de sus razones

trigonométricas.

• Obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30 y de 60º considerando un

triángulo equilátero de lado la unidad y las de un ángulo de 45º considerando un cuadrado

de lado la unidad.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo

agudo de un triángulo rectángulo.

• Leer, en una tabla, los diferentes casos que pueden presentarse en la resolución de

triángulos rectángulos y observar su resolución.



• Fijarse en el nombre que recibe el ángulo que forma la visual con el plano horizontal que

pasa por el ojo del observador según si el punto observado está por encima o por debajo de

dicho plano.

• Observar, en ejemplos resueltos, la determinación de alturas y de distancias.

3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

• Observar la representación de un ángulo y considerar las coordenadas de un punto de su

lado extremo para definir las razones trigonométricas de dicho ángulo.

• Reconocer que las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera no

dependen del punto del lado extremo del ángulo escogido.

• Fijarse en que las definiciones dadas para las razones trigonométricas de un ángulo

cualquiera coinciden con las dadas para un ángulo agudo.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo del valor de las razones trigonométricas de un

ángulo si se conocen las coordenadas de un punto de su lado extremo.

• Reconocer que, para calcular las razones trigonométricas de un ángulo, se puede considerar

un punto de su lado extremo situado sobre una circunferencia de radio 1 centrada en el

origen de coordenadas; leer el nombre que recibe dicha circunferencia, y observar que el

seno y el coseno del ángulo coinciden con la ordenada y la abscisa de ese punto.

• Observar en una figura los segmentos representativos del valor del seno y del coseno de un

ángulo.

• Seguir el procedimiento para hallar un segmento representativo del valor de la tangente de

un ángulo.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la forma de proceder para dibujar en una circunferencia

goniométrica todos los ángulos cuya tangente tiene un valor determinado.

• Razonar sobre los valores entre los que están comprendidos el seno y el coseno de un

ángulo y acerca del signo del seno, del coseno y de la tangente.

• Deducir la relación que puede establecerse entre el seno y el coseno de un mismo ángulo y

el nombre que recibe la fórmula obtenida, y deducir también la que puede establecerse

entre el seno, el coseno y la tangente de un mismo ángulo.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo si

se conoce una de ellas y a partir de las relaciones entre las razones trigonométricas de un



mismo ángulo.

• Comprobar en una tabla que las razones trigonométricas de un ángulo coinciden, excepto

en el signo, con las de algún ángulo del primer cuadrante.

• Observar, en ejemplos resueltos, el cálculo de las razones trigonométricas de distintos

ángulos a partir de la reducción al primer cuadrante.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar un cuadro de texto sobre el nacimiento y primer desarrollo de la trigonometría y

otro sobre el sextante.

• Resolver tres problemas prácticos sobre la sombra del Sol, la altura de un faro y la anchura

de un río aplicando la trigonometría.

Evaluación




• Transformar unidades angulares de radianes a grados y viceversa.

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Resolver triángulos rectángulos a partir de dos datos dados en diferentes casos.

• Determinar un ángulo si se conoce una de sus razones trigonométricas.

• Determinar alturas y distancias en situaciones cotidianas aplicando la trigonometría

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera si se conocen las coordenadas

de un punto de su lado extremo.

• Obtener gráficamente las razones trigonométricas de cualquier ángulo sobre la

circunferencia goniométrica.

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera si se conoce una de ellas.

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera reduciéndolo previamente al

primer cuadrante.

• Aplicar la trigonometría a la resolución de diferentes tipos de problemas de la vida

cotidiana.

• Usar la calculadora de forma autónoma y racional.




– Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

– Resolver los triángulos rectángulos si se conoce el valor de los dos catetos o el valor de

un cateto y un ángulo agudo.

– Determinar la altura de un edificio por aplicación del concepto tangente.

– Representar en la circunferencia goniométrica los segmentos correspondientes al seno, el

coseno y la tangente de unos determinados ángulos.

– Hallar los ángulos entre 0 y 360° que presentan el mismo valor para unas determinadas

razones trigonométricas.



– Reducir el ángulo al primer cuadrante para calcular sus razones trigonométricas.

• Presentar con pulcritud y claridad los datos necesarios en la resolución de triángulos

rectángulos.

• Razonar cómo hallar una determinada altura o distancia a partir de los conceptos

trigonométricos estudiados e interpretarlo geométricamente.

• Asociar el valor de las razones trigonométricas a la ordenada y abscisa de un determinado

punto.

• Reducir mentalmente los ángulos al primer cuadrante y determinar el valor de sus razones.



UNIDAD 8: Geometría analítica en el plano


Interdisciplinariedad: Física y Química; Biología y Geología; Tecnología; Educación

Plástica y Visual.


• Realizar operaciones, gráfica y analíticamente, utilizando vectores.

• Obtener las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado.

• Utilizar los vectores para obtener la ecuación de una recta en un plano.


• Utilizar el lenguaje geométrico para describir situaciones de la geometría plana.

• Utilizar los vectores para resolver problemas geométricos en el plano.

• Obtener las distintas ecuaciones de una recta del plano y resolver problemas de incidencia,

paralelismo y perpendicularidad.

• Valorar la exactitud y claridad en la representación de puntos, vectores y rectas en el

plano.

Contenidos

Conceptos

• Vector fijo.

• Módulo, dirección y sentido de un vector.

• Vectores equipolentes.

• Vector libre.

• Operaciones gráficas y analíticas con vectores libres.

• Combinación lineal de vectores.

• Dependencia de vectores.



• Bases de V2.

• Componentes de un vector en el plano.

• Sistema de referencia.

• Coordenadas de un punto.

• Ecuación de la recta.

• Pendiente y ordenada en el origen de una recta.

• Vector director de una recta.

• Condiciones para que dos rectas sean secantes, perpendiculares, paralelas o

coincidentes.

Procedimientos

• Utilización del vocabulario propio de los vectores para recibir y transmitir información.

• Identificación de vectores equipolentes.

• Obtención del módulo de un vector.

• Realización de operaciones, de manera gráfica y analítica, con vectores libres.

• Representación gráfica de una combinación lineal de vectores libres y expresión de un

vector libre como combinación lineal de otros vectores libres.

• Cálculo de las componentes de un vector respecto a una determinada base y

representación gráfica de vectores si se conocen sus componentes.

• Obtención de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado.

• Cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.

• Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Cálculo de la distancia entre dos puntos.

• Obtención de la ecuación de una recta.

• Obtención de la pendiente y la ordenada en el origen de una recta.

• Determinación de la posición relativa de dos rectas.

• Obtención de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen.

Valores

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de los vectores

para representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.



• Hábito favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier cálculo o problema.

• Sensibilidad y gusto por la representación de puntos, vectores y rectas en el plano.







1. Vectores en el plano

• Reconocer, a partir de distintos ejemplos de magnitudes, que para determinar algunas de

ellas es necesario disponer, además de un número y una unidad de medida, una dirección y

un sentido; leer el nombre que reciben dichas magnitudes y precisar la forma de

representarlas.

• Advertir que un segmento tiene una dirección pero no tiene sentido y definir en un

segmento un origen y un extremo para obtener un vector fijo.

• Leer la definición de vector fijo y la de sus características.

• Observar que los distintos vectores fijos representados en una figura tienen el mismo

módulo, la misma dirección y el mismo sentido para definir la relación de equipolencia en

el conjunto de vectores fijos.

• Leer la definición de vectores equipolentes.

• Reconocer que la relación de equipolencia permite clasificar los vectores fijos en conjuntos

de vectores para establecer el concepto de vector libre y leer su definición.

• Considerar cada uno de los vectores fijos que componen un vector libre como un

representante del vector libre y observar la forma de representar un vector libre.

• Leer las definiciones de módulo, dirección y sentido de un vector libre.

• Seguir los pasos del procedimiento que permite efectuar gráficamente la suma de dos

vectores libres y observar la aplicación de dicho procedimiento en un ejemplo concreto.

• Fijarse en la forma de calcular la suma de dos vectores libres mediante la regla del



paralelogramo.

• Observar que todo vector libre tiene un vector opuesto y fijarse en el módulo, la dirección y

el sentido de dicho vector.

• Considerar que la existencia del vector opuesto permite restar vectores libres y observar, en

un ejemplo concreto, la resta de dos vectores libres.

• Leer acerca de cada una de las características del vector libre que resulta al multiplicar un

número real por un vector libre, y observar distintas multiplicaciones de números reales por

vectores libres.

• Observar, en un ejemplo concreto, una combinación de operaciones con vectores libres y

leer el nombre que recibe este tipo de expresión.

• Fijarse en que el resultado de una combinación lineal de vectores libres es un vector libre.

• Observar, en un ejemplo concreto, la manera de proceder para expresar un vector libre

como combinación lineal de otros dos vectores libres.

• Recordar que cualquier vector libre del plano puede escribirse como combinación lineal de

otros dos vectores libres no nulos de diferente dirección para establecer el concepto de base

de V2 y leer su definición.

• Fijarse en las componentes de un vector en una determinada base y en la expresión de un

vector libre según sus componentes y observar, en un ejemplo concreto, las componentes

de un vector libre y su expresión según sus componentes.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la determinación de las componentes de un vector según

una determinada base.

• Fijarse en la coincidencia de las componentes de un vector respecto a una determinada base

con las coordenadas de su extremo en la cuadrícula definida por los vectores de dicha base.

• Reconocer la conveniencia de considerar bases formadas por vectores perpendiculares y

unitarios.

• Observar, en ejemplos concretos, cómo proceder para sumar dos vectores expresados por

sus componentes y para multiplicar un vector por un número real.

• Observar, en un ejemplo resuelto, distintas operaciones con vectores expresados según sus

componentes.

• Observar, en un ejemplo resuelto, cómo expresar un vector como combinación lineal de

otros dos si se conocen las componentes respecto de una cierta base.



2. Sistema de referencia

• Leer el nombre que recibe el conjunto formado por un punto fijo del plano y por una base

de V2, reconocer que permite determinar la posición de cualquier punto del plano y

observar cómo se denota.

• Reflexionar acerca del vector de posición de un punto y de las coordenadas de dicho punto

en el sistema de referencia considerado.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las coordenadas de un punto en un sistema

de referencia determinado.

• Fijarse en la coincidencia de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia cuya

base está constituida por dos vectores perpendiculares unitarios con las coordenadas

cartesianas del punto.

• Seguir los pasos que demuestran cómo hallar las componentes de un vector determinado

por dos puntos.

• Fijarse en la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular el módulo de un vector.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las componentes de un vector determinado

por dos puntos.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de la distancia entre dos puntos del plano.

3. Rectas en el plano

• Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta si se conocen las

coordenadas de dos de sus puntos.

• Recordar la expresión de la ecuación general de una recta.

• Recordar las ecuaciones de algunas rectas características dada su situación respecto a los

ejes de coordenadas cartesianas.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el proceso analítico y gráfico que demuestra que el valor

de la pendiente de una recta coincide con el de la tangente que la forma con el semieje

positivo de abscisas.

• Leer la definición de pendiente de una recta.

• Leer la definición de vector director de una recta.

• Observar, a partir de las gráficas correspondientes, que una recta queda definida por un



punto y una dirección.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta dadas las

coordenadas de uno de sus puntos y su vector director.

• Observar en una tabla las posiciones relativas de dos rectas del plano.

• Reconocer que la posición relativa de dos rectas del plano puede determinarse a partir de la

resolución del sistema que forman sus respectivas ecuaciones.

• Observar, en dos ejemplos resueltos, la determinación de la posición relativa de dos rectas.

• Fijarse en las gráficas y las correspondientes ecuaciones de diversas rectas así como en sus

posiciones relativas.

• Observar una tabla que relaciona las posiciones relativas de dos rectas con los valores de

sus pendientes y sus ordenadas en el origen.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta dadas las

coordenadas de uno de sus puntos y la ecuación de una recta paralela a ella.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación





• Interpretar diversos cuadros de texto acerca de: el pavimento como primer sistema de

coordenadas; la utilización de la geometría en el arte, la arquitectura y la navegación y las

aplicaciones de los vectores en cristalografía, física e ingeniería.

• Representar un itinerario en un sistema de coordenadas empleando vectores.

Evaluación


• Identificar vectores en el plano a partir de su representación gráfica o a partir de sus

componentes.

• Efectuar operaciones con vectores libres a partir de su representación gráfica o a partir de

sus componentes.

• Calcular las componentes de un vector en una base determinada y representar un vector a

partir de sus componentes.

• Expresar un vector libre como combinación lineal de otros vectores.

• Conocer y utilizar los conceptos de sistema de referencia y de coordenadas de un punto del

plano.

• Hallar las componentes del vector determinado por dos puntos.

• Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento.

• Calcular la distancia entre dos puntos determinados

• Obtener la ecuación de una circunferencia de un radio determinado centrada en el origen

• Calcular la ecuación de una recta.

• Determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta.

• Resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad de rectas.






– Realizar de manera gráfica sumas y restas con vectores.

– Efectuar analíticamente operaciones con vectores.

– Determinar las componentes de dos vectores a partir de las coordenadas de dos puntos, y

expresar la relación entre dichos vectores.

– Calcular las coordenadas de diversos puntos a partir de una gráfica.

– Hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos.

– Determinar la ecuación de una recta a partir de un punto y de su posición relativa

respecto a otra recta.

– Indicar la posición relativa de dos rectas a partir de sus ecuaciones.

• Identificar las características de un vector (módulo, dirección y sentido) a partir de su

representación gráfica.

• Relacionar las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado con el

vector posición de dicho punto.

• Identificar las características de una recta (pendiente, ordenada en el origen) a partir de

su ecuación.



UNIDAD 9: Funciones de primer y segundo grado


Interdisciplinariedad: Tecnología; Educación Plástica y Visual; Ciencias Sociales,

Geografía e Historia; Ciencias de la Naturaleza.


• Comprender el concepto de función y sus características.

• Distinguir y representar gráficamente funciones de primer y segundo grado.

• Determinar los elementos de la parábola.

• Utilizar las tecnologías de la información en la representación gráfica de funciones.


• Determinar e interpretar las características básicas que permiten evaluar el comportamiento

de una función.

• Obtener información práctica en un contexto de resolución de problemas relacionados con

fenómenos naturales o de la vida cotidiana.

• Valorar la utilidad de las representaciones gráficas en la transmisión de la información.

• Utilizar las tecnologías de la información en la representación, la simulación y el análisis de

gráficas.

Contenidos

Conceptos

• Función.

• Imagen y antiimagen.

• Dominio y recorrido.

• Expresión algebraica y gráfica de una función.

• Función constante.



• Función lineal.

• Función afín.

• Función cuadrática. Tipos de funciones cuadráticas.

• Elementos de la parábola.

Procedimientos

• Interpretación y determinación de las características generales de una función dada por su

gráfica: puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos,

continuidad y discontinuidad, simetrías y periodicidad.

• Cálculo de imágenes y de antiimágenes analítica y gráficamente.

• Determinación del dominio y del recorrido de una función.

• Clasificación de las funciones según su expresión algebraica.

• Utilización del vocabulario propio de las funciones para recibir y transmitir información.

• Determinación del tipo de gráfica de una función según su expresión algebraica.

• Uso racional del ordenador y la calculadora.

• Cálculo de la pendiente de la recta y de la ordenada en el origen de una función de primer

grado.

• Utilización de la representación gráfica de funciones para la comprensión de distintas

situaciones.

• Construcción de tablas de valores, obtención de la fórmula y representación gráfica de una

función de primer grado dada mediante una descripción verbal.

• Representación gráfica de funciones y obtención de la fórmula de una función de primer

grado dada mediante una tabla de valores.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de primer grado.

• Uso de las TIC en la representación, la simulación y el análisis gráfico.

• Representación gráfica de una parábola según sus elementos característicos.

• Determinación analítica del vértice, del eje y de los puntos de corte de una parábola con los

ejes de coordenadas.

• Identificación del vértice de la parábola con un máximo o con un mínimo de la función

cuadrática.

• Obtención de una función cuadrática a partir del vértice y de un punto de la parábola, y a



partir de tres puntos de la parábola.

• Construcción de tablas de valores, obtención de la fórmula y representación gráfica de una

función de segundo grado dada mediante una descripción verbal.

• Representación gráfica de funciones y obtención de la fórmula de una función de segundo

grado dada mediante una tabla de valores.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de segundo grado.

Valores

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje gráfico para recibir y

transmitir información.

• Hábito de realizar una cuidadosa presentación de gráficas de funciones.

• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador y la calculadora.

• Predisposición a formular de manera analítica los fenómenos cotidianos.

• Valorar la importancia del uso de gráficas en la prensa en general y en revistas científicas

en particular.







1. Concepto de función

• Leer la definición de función.

• Observar a partir de un ejemplo concreto las diversas formas de expresar una función.

• Leer la definición de imagen e antiimagen de un valor de una función.

• Determinar el intervalo de valores que puede tomar la variable independiente, leer el

nombre que recibe dicho intervalo, observar la forma de simbolizarlo y leer su definición.

• Determinar el intervalo de valores que puede tomar la variable dependiente, leer el nombre



que recibe dicho intervalo, observar la forma de simbolizarlo y leer su definición.

• Escribir una fórmula que exprese una función, leer el nombre que recibe y leer su

definición.

• Observar en un ejemplo concreto la forma de simbolizar una función a partir del dominio,

del recorrido y de la expresión algebraica.

• Seguir los pasos del procedimiento para representar gráficamente una función y leer la

definición de gráfica de una función.

• Observar la descripción de las características de una función.

• Fijarse en la descripción de una función definida a trozos.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la determinación y la descripción exhaustiva de las

características de una función.

• Observar en dos ejemplos resueltos el análisis de algunas características de una función.

2. Función constante

• Considerar una función expresada mediante una tabla de valores, observar su gráfica y

fijarse en que a cualquier valor de la variable independiente le corresponde un mismo valor

de la variable dependiente para reconocer que se trata de una función constante.

• Reparar en que las funciones constantes son funciones polinómicas de grado cero; observar

su expresión algebraica y su representación gráfica, y leer la definición de función

constante.

3. Función de primer grado

• Considerar que las funciones de primer grado son funciones polinómicas de primer grado y

observar su expresión algebraica.

• Leer la clasificación de las funciones de primer grado y cómo es su representación gráfica.

• Observar una función expresada mediante una tabla de valores; reparar en que su gráfica es

una semirrecta cuyo punto inicial es el origen de coordenadas; fijarse en la pendiente;

considerar su expresión algebraica, y leer el nombre que recibe dicha función.

• Reconocer que la función lineal expresa la relación entre dos variables directamente

proporcionales y leer su definición.

• Observar una función expresada mediante una tabla de valores, reparar en que su gráfica es



una semirrecta, fijarse en el punto inicial y en la pendiente, considerar su expresión

algebraica y leer el nombre que recibe dicha función.

• Observar una función expresada mediante una tabla de valores; reparar en que su gráfica es

una semirrecta cuyo punto inicial es un punto del eje de ordenadas; fijarse en la pendiente;

considerar su expresión algebraica, y leer el nombre que recibe dicha función.

• Leer la definición de función afín.

4. Función de segundo grado

• Considerar que las funciones de segundo grado son funciones polinómicas de segundo

grado, observar su expresión algebraica y leer cómo es su representación gráfica y el

nombre por el que son conocidas.

• Leer dos situaciones de la vida cotidiana en las que se expresan funciones mediante una

tablas de valores, considerar las expresiones algebraicas de dichas funciones, leer el nombre

que reciben y el dominio y observar sus gráficas.

• Observar una parábola que presenta un máximo y que es simétrica respecto a una recta y

leer el nombre que recibe el punto en el que se alcanza el máximo y el que recibe la recta.

• Leer la definición de función cuadrática y las características de su gráfica.

• Observar en una tabla la forma de proceder para obtener analíticamente el vértice de la

parábola, el eje y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

• Observar en una figura las distintas transformaciones que presenta una parábola.

• Fijarse en que puede representarse gráficamente una parábola obteniendo sólo los datos

para dibujar una de sus ramas.

• Seguir, en distintos ejemplos resueltos, el procedimiento para obtener la gráfica de una

parábola a partir de sus elementos característicos.

• Observar en una tabla las diferentes expresiones algebraicas de una función cuadrática

según el valor de los coeficientes y reconocer mediante ejemplos concretos que las

parábolas que se obtienen al representarlas son diferentes.

• Observar en una tabla las gráficas de los diferentes tipos de función cuadrática según su

expresión algebraica.









Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar diversos cuadros de texto sobre: el método del sastre para construir parábolas y

sobre las máximas pendientes permitidas en las carreteras y en los túneles.

• Resolver unas cuestiones referentes a la trayectoria parabólica que describe una pelota.

Evaluación


• Distinguir entre funciones de primer y de segundo grado, y determinar sus características.

• Clasificar y determinar el tipo de gráfica de una función de primer o de segundo grado a

partir de su expresión algebraica.

• Construir tablas de valores y obtener la fórmula de dependencias funcionales (de funciones

de primer grado) dadas mediante descripciones verbales.



• Interpretar y determinar las características generales de una función dada por su gráfica.

• Determinar la pendiente de una recta y la ordenada en el origen de una función.

• Reconocer una parábola y determinar sus elementos.

• Identificar el vértice de la parábola con un máximo o con un mínimo de la función

cuadrática.

• Representar gráficamente funciones de primer y de segundo grado, y asociar su

representación a rectas y a parábolas.

• Utilizar la representación gráfica de funciones para resolver problemas.

• Actuar con confianza y perseverancia en la investigación de soluciones.

• Adquirir el hábito de presentar de manera clara y ordenada el proceso de resolución de un

problema.

• Utilizar las tecnologías de la información en la representación, la simulación y el análisis de

gráficas.




– Construir una tabla de valores y representar gráficamente una función de primer grado.

– Determinar la pendiente de la recta y la ordenada en el origen de una función de primer

grado. Clasificar la función en constante, lineal o afín.

– Obtener la expresión algebraica de una función afín a partir de una tabla de valores y

representarla.

– Reconocer las funciones de segundo grado y su representación gráfica.

– Calcular el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte de una función cuadrática y

representarla gráficamente.

– Observar dos funciones cuadráticas distintas y determinar ciertas características que

presentan las funciones en su expresión algebraica a partir de la gráfica.

– Determinar las diferencias de dos gráficas a partir de las diferencias en su expresión

algebraica.

• Averiguar si existe algún tipo de relación entre pares de magnitudes como la edad de una



persona y su estatura; la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrer un

trayecto; el importe en euros de un producto y el tiempo de utilización; la distancia de un

terreno y el área implicada.

• Determinar las características de las funciones a partir de su representación gráfica.

• Determinar la pendiente de rectas expresadas mediante su ecuación y a partir del

concepto de tangente.

• Asignar de manera correcta la escala de los ejes X e Y, el dominio y el recorrido de la

función para llevar a cabo su representación gráfica.

• Presentar la representación gráfica de las funciones de primer y segundo grado de

manera ordenada, clara y precisa a partir de una tabla de valores correspondiente.

• Decidir acerca de la validez de los resultados obtenidos en la resolución gráfica de un

problema y la necesidad del uso de la calculadora para facilitar los cálculos.



UNIDAD 10: Estudio de otras funciones


Interdisciplinariedad: Ciencias de la Naturaleza; Ciencias Sociales, Geografía e Historia;

Música; Lengua Castellana y Literatura.


• Interpretar y presentar la información a partir de funciones de proporcionalidad inversa,

exponenciales y logarítmicas.

• Representar gráficamente e interpretar las funciones de proporcionalidad inversa,

exponenciales y logarítmicas.

• Utilizar de forma crítica la calculadora y el ordenador en los cálculos y en la representación

de funciones.


• Reconocer la aplicación de las funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y

logarítmicas en el estudio de diferentes situaciones.

• Obtener información práctica en un contexto de resolución de problemas relacionados con

fenómenos naturales o de la vida cotidiana.

• Utilizar racionalmente la calculadora científica en los procesos de cálculo exponencial y

logarítmico.

• Usar las tecnologías de la información en la representación, la simulación y el análisis

gráfico.

Contenidos

Conceptos

• Magnitudes inversamente proporcionales. Constante de proporcionalidad inversa.

• Función de proporcionalidad inversa.



• Gráfica de una función de proporcionalidad inversa. Hipérbola.

• Función exponencial.

• Gráfica de la función exponencial.

• Función logarítmica.

• Gráfica de la función logarítmica.

• Función inversa de una función.

• Función inversa de la función exponencial.

• Función inversa de la función logarítmica.

Procedimientos

• Obtención de la tabla de valores y de la expresión analítica de una función de

proporcionalidad inversa a partir de un enunciado verbal.

• Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de proporcionalidad inversa.

• Construcción de tablas de valores y representación gráfica de las funciones exponenciales.

• Identificación de las características de las funciones exponenciales.

• Comparación de las gráficas de las funciones exponenciales según si la base es mayor o

menor que 1.

• Utilización de la representación gráfica de funciones para la comprensión de distintas

situaciones.

• Construcción de tablas de valores y representación gráfica de las funciones logarítmicas.

• Identificación de las características de las funciones logarítmicas.

• Comparación de las gráficas de las funciones logarítmicas según si la base es mayor o

menor que 1.

• Obtención de la función inversa de una función de primer grado, de una función cuadrática,

de una función exponencial y de una función logarítmica.

• Identificación de la función logarítmica como la inversa de la función exponencial a partir

de sus gráficas.

Valores

• Adquirir el hábito de realizar una cuidadosa presentación de gráficas de funciones.



• Valorar el uso de las funciones para describir procesos de la naturaleza y de la vida

cotidiana.

• Uso racional del ordenador y la calculadora.

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presentadas en forma de tablas y gráficas.

• Utilización racional de la calculadora y las TIC para efectuar cálculos logarítmicos.

• Colaboración con los compañeros y compañeras en la aplicación de las funciones a otras

áreas.







1. Función de proporcionalidad inversa

• Reconocer en un ejemplo concreto una situación de dependencia entre dos magnitudes

inversamente proporcionales.

• Observar la tabla de valores, la representación gráfica y la expresión algebraica de dicha

función.

• Leer el nombre que recibe dicha función así como su gráfica.

• Leer la definición de función de proporcionalidad inversa.

• Analizar, a partir de la expresión algebraica y la correspondiente tabla de valores de dos

ejemplos concretos, la gráfica de la función de proporcionalidad inversa.

• Leer la definición de hipérbola.

• Observar, en dos gráficas, la situación de las ramas de la hipérbola en los cuadrantes

dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad inversa.

2. Función exponencial

• Conocer la existencia de funciones en las que la variable independiente va asociada al



exponente de una potencia y leer el nombre que reciben dichas funciones.

• Exponer que las funciones exponenciales se plantean en diversas situaciones de la vida real

y leer acerca de una situación en la que la relación de dependencia entre las dos variables

viene dada por una función exponencial.

• Leer la definición de función exponencial.

• Recordar las teclas de la calculadora que permiten calcular una potencia y cambiar el signo

de un número.

• Leer que si la base de una función exponencial es mayor o menor que 1 existen dos tipos de

gráficas.

• Construir la gráfica de una función exponencial cuya base es mayor que 1 y observar sus

características.

• Construir la gráfica de una función exponencial cuya base es menor que 1 y observar sus

características.

• Fijarse en que la función y = ax es un caso particular de la función y = kax y en el valor que

representa la constante k.

• Fijarse en que las gráficas de las dos funciones exponenciales del texto son simétricas

respecto del eje de ordenadas.

3. Función logarítmica

• Conocer la existencia de funciones en las que la variable independiente va asociada a un

logaritmo y leer el nombre que reciben dichas funciones.

• Exponer que las funciones logarítmicas se plantean en diversas situaciones de la vida real y

leer acerca de una situación en la que la relación de dependencia entre las dos variables

viene dada por una función logarítmica.

• Leer la definición de función logarítmica.

• Fijarse en los logaritmos más utilizados, en el nombre que reciben dichos logaritmos y en

la forma de escribirlos.

• Recordar las teclas de la calculadora que permiten calcular el logaritmo decimal y el

logaritmo neperiano de un número positivo.

• Leer que si la base de una función logarítmica es mayor o menor que 1 existen dos tipos de

gráficas.



• Construir la gráfica de una función logarítmica cuya base es mayor que 1 y observar sus

características.

• Construir la gráfica de una función logarítmica cuya base es menor que 1 y observar sus

características.

• Fijarse en que la calculadora científica sólo permite hallar los logaritmos decimales o

neperianos, y leer la manera de obtenerlos mediante la fórmula del cambio de base.

• Fijarse en que las gráficas de las dos funciones logarítmicas del texto son simétricas

respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

4. Función inversa de una función

• Considerar una tabla de valores correspondiente a una función de primer grado; leer que la

tabla de valores que se obtiene al intercambiar entre sí los valores de las dos variables

corresponde a la función inversa de la función inicial, y observar cómo se denota la función

inversa.

• Observar las gráficas de una función y de su función inversa, y percatarse de que son

simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

• Seguir los pasos del procedimiento que permite obtener la expresión algebraica de la

función inversa de una función de primer grado.

• Reconocer que la función inversa de la función de proporcionalidad inversa es la misma

función.

• Considerar una tabla de valores correspondiente a una función cuadrática; advertir que la

tabla de valores que se obtiene al intercambiar entre sí los valores de las dos variables no

corresponde a ninguna función, y leer la condición necesaria para que una función tenga

inversa.

• Leer la definición de función inyectiva.

• Fijarse en que la función obtenida al restringir el dominio de una función cuadrática tiene

inversa; observar la manera de proceder para obtener la expresión algebraica de la función

inversa, y advertir en una figura que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del

primer y tercer cuadrante. Leer la correspondiente definición.

• Considerar una función exponencial concreta y construir la tabla de valores y la gráfica

correspondientes.



• Obtener la tabla de valores correspondiente al intercambio de los valores de las variables y

observar que dicha tabla corresponde a la función inversa de la anterior. Construir la

gráfica de dicha función inversa.

• Representar en una sola gráfica ambas funciones y constatar gráfica y analíticamente que la

función inversa de la función exponencial es la función logarítmica.

• Leer la definición de la relación entre las funciones exponencial y logarítmica.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar diversos cuadros de texto sobre: la carga y la descarga de un condensador y los

decibelios.

• Leer una nota histórica acerca de Euler.

• Resolver una actividad relativa a las funciones exponenciales.



Evaluación


• Identificar magnitudes inversamente proporcionales y relacionarlas con la gráfica de una

función de proporcionalidad inversa.

• Distinguir y representar gráficamente las funciones de proporcionalidad inversa, las

exponenciales y las logarítmicas.

• Deducir las características de las funciones de proporcionalidad inversa, de las

exponenciales y de las logarítmicas.

• Calcular la función inversa de funciones de primer grado, de funciones cuadráticas, de

funciones exponenciales y de funciones logarítmicas.

• Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.

• Reconocer la aplicación de las funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y

logarítmicas en el estudio de diferentes situaciones.

• Usar de forma adecuada la calculadora y el ordenador en la realización de cálculos y

representación de funciones.




– Representar gráficamente una función y determinar su constante de proporcionalidad.

– Contestar a preguntas acerca de las características de las funciones exponenciales y

logarítmicas.

– Obtener el dominio y el recorrido de funciones exponenciales y logarítmicas.

– Asociar cada expresión algebraica a la gráfica correspondiente.

– Resolver un problema relacionado con una situación cotidiana mediante la aplicación

de una ecuación logarítmica.

– Resolver dos problemas de la vida cotidiana relativos a funciones de probabilidad

inversa.



• Efectuar la representación gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa,

exponenciales y logarítmicas de manera ordenada, clara y precisa.

• Utilizar correctamente la calculadora para la obtención de potencias y de logaritmos,

aplicando en los casos necesarios el cambio de base, y como herramienta de revisión de

los resultados aritméticos.



UNIDAD 11: Estudios estadísticos



Lengua Castellana y Literatura.


• Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos sin agrupación y con agrupación de

datos, tanto unidimensionales como bidimensionales.

• Calcular e interpretar los parámetros estadísticos más usuales.

• Valorar la utilidad del uso de la calculadora y el ordenador en los estudios estadísticos.


• Analizar de manera crítica la información que aportan las tablas y los gráficos estadísticos

en los medios de comunicación.

• Utilizar la calculadora y el ordenador para efectuar cálculos estadísticos.

• Valorar el trabajo en equipo como una forma eficaz de realizar determinadas actividades.

Contenidos

Conceptos

• Población, individuo, muestra, variable estadística, dato.

• Tipos de variables estadísticas.

• Tablas estadísticas para datos no agrupados y agrupados.

• Gráficos estadísticos: diagrama de barras, diagrama de barras horizontales, pictograma,

diagrama de sectores, histograma, polígonos de frecuencias, cartograma, pirámide de

población, gráfico evolutivo y gráfico comparativo.

• Parámetros de centralización: moda, mediana y media aritmética.

• Parámetros de dispersión: recorrido, desviación media, varianza y desviación típica.



• Variable estadística bidimensional y distribución bidimensional.

• Tablas estadísticas de doble entrada para datos no agrupados y agrupados.

• Gráficos estadísticos: diagrama de barras tridimensionales, histograma tridimensional,

diagrama de dispersión o nube de puntos.

• Relación entre variables estadísticas: dependencia funcional, dependencia estática o

correlación, independencia.

• Grado, sentido y tipo de correlación.

• Covarianza y coeficiente de Pearson.

• Recta de regresión lineal.

Procedimientos

• Elaboración e interpretación de tablas de distribución de frecuencias para datos no

agrupados y agrupados.

• Construcción e interpretación de diagramas de barras, diagramas de barras horizontales,

pictogramas, diagramas de sectores, histogramas, polígonos de frecuencias, cartogramas,

pirámides de población, gráficos evolutivos y gráficos comparativos.

• Elección y construcción del tipo de gráfico más adecuado en cada estudio estadístico.

• Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de una distribución de datos.

• Cálculo del recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación típica, y el

coeficiente de variación de una distribución de datos.

• Interpretación de los valores de los parámetros de centralización y de los valores de los

parámetros de dispersión.

• Elección y construcción del tipo de gráfico más adecuado en cada estudio estadístico.

• Determinación del tipo de dependencia entre dos variables estadísticas.

• Cálculo de la varianza y del coeficiente de Pearson de una variable bidimensional.

• Predicción sobre rectas de regresión.

Valores

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la estadística para conocer y resolver

diversas situaciones relativas al entorno.

• Uso racional de la calculadora y el ordenador en el cálculo estadístico.



• Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y la

presentación de datos y resultados.

• Valoración de las TIC en la obtención, procesamiento y transmisión de la información.

• Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como una forma eficaz para realizar

determinadas actividades.

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presentadas en forma de tablas y gráficas.







1. Estadística unidimensional

• Leer y comprender la definición del concepto de estadística.

• Recordar los conceptos de población y de individuo.

• Recordar el concepto de variable estadística y leer la clasificación de las variables

estadísticas según el valor que puedan tomar sus datos.

• Recordar el concepto de muestra, leer acerca de una forma de obtener muestras

representativas y el nombre que recibe, y reflexionar acerca del tamaño de la muestra.

• Reflexionar sobre el hecho de que las tablas y los gráficos facilitan la ordenación y el

análisis de los datos que se recogen en un estudio estadístico.

• Considerar que al construir una tabla estadística se debe tener en cuenta la clase de variable

estadística.

• Fijarse en una serie de datos correspondientes a una variable cuyos datos no están

agrupados y observar cómo proceder para calcular cada una de las columnas de la tabla de

distribución de frecuencias: frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta

acumulada y frecuencia relativa acumulada.

• Reflexionar acerca de la necesidad de agrupar en intervalos los datos correspondientes a



una variable cuantitativa continua.

• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para efectuar la agrupación en intervalos de

una serie de datos; fijarse en los conceptos de recorrido, intervalo de clase y marca de clase,

y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo concreto.

• Observar la tabla de frecuencias correspondiente a una variable cuyos datos están

agrupados.

• Reflexionar sobre el hecho de que los gráficos estadísticos facilitan la interpretación de las

tablas estadísticas.

• Leer una descripción y observar los gráficos estadísticos más empleados para variables

cualitativas y cuantitativas discretas: diagrama de barras, diagrama de barras horizontales,

pictograma y diagrama de sectores.

• Leer una descripción y observar los gráficos estadísticos más empleados para variables

cuantitativas continuas: histograma, polígonos de frecuencias, cartograma y pirámide de

población.

• Leer una descripción y observar un cartograma, una pirámide de población, un gráfico

evolutivo y un gráfico comparativo.

• Reflexionar sobre el hecho de que es necesario analizar los datos recogidos en un estudio

estadístico y leer el nombre que reciben los valores que permiten describir la información

contenida en las tablas y en los gráficos.

• Leer la definición de moda y su representación; considerar como moda la marca de clase

del intervalo con mayor frecuencia absoluta si los datos están agrupados en intervalos, y

leer el nombre que recibe dicho intervalo.

• Fijarse en el significado del símbolo de sumatorio.

• Leer la definición de media aritmética y su representación; considerar como valores las

marcas de clase si los datos están agrupados en intervalos, y leer la fórmula para calcular la

media aritmética.

• Leer la definición de mediana y su representación; la manera de calcularla si el número de

datos es impar, la de calcularla si los datos están agrupados en intervalos y, en este caso,

leer la fórmula para calcularla si el número de datos es impar y la manera de hallarla si el

número de datos es par.

• Observar en un ejemplo resuelto el cálculo de los parámetros de centralización de una



distribución de datos.

• Comprobar la existencia de unos valores que informan sobre la dispersión de los datos y

leer el nombre que reciben dichos valores.

• Leer la definición de recorrido y su representación, y la manera de hallarlo si los datos

están agrupados en intervalos.

• Leer la definición de desviación media y su representación; considerar como valores las

marcas de clase si los datos están agrupados en intervalos, y leer la fórmula para calcular la

desviación media.

• Leer la definición de varianza y su representación; considerar los valores de la variable y

las frecuencias que deben tomarse si los datos están agrupados en intervalos, y leer las dos

fórmulas equivalentes para calcularla.

• Leer la definición de desviación típica, la forma de representarla y la fórmula para

calcularla.

• Observar en un ejemplo resuelto el cálculo de los parámetros de dispersión de una

distribución de datos.

2. Estadística bidimensional

• Reflexionar sobre la necesidad de estudiar conjuntamente dos características de una misma

población.

• Fijarse en una serie de datos correspondientes a la observación conjunta de dos

características de una misma población y en la forma de anotarlos.

• Leer la definición de variable estadística bidimensional y la forma de representarla.

• Leer el nombre que recibe el conjunto de todos los datos procedentes de una variable

estadística bidimensional.

• Fijarse en que en los estudios de estadística bidimensional se pueden utilizar los mismos

conceptos que en estadística unidimensional.

• Reconocer en un ejemplo resuelto la variable estadística bidimensional considerada.

• Reflexionar sobre el hecho de que las tablas y los gráficos facilitan la ordenación y el

análisis de los datos que se recogen en un estudio estadístico.

• Leer sobre la existencia de tablas en las cuales los datos se agrupan en filas y en columnas.

• Fijarse en una serie de datos correspondientes a variables con datos no agrupados y



observar cómo proceder para calcular cada una de las columnas y las filas de una tabla de

doble entrada.

• Fijarse en los valores que contienen la última fila y la última columna de la tabla de doble

entrada.

• Observar que la suma de las frecuencias absolutas de una columna es la frecuencia absoluta

del valor de X correspondiente a esa columna y la suma de las frecuencias absolutas de una

fila es la frecuencia absoluta del valor de Y correspondiente a esa fila.

• Reflexionar sobre la necesidad de agrupar en intervalos los datos correspondientes a

variables cuantitativas continuas.

• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para efectuar la agrupación en intervalos de

una serie de datos y fijarse en los conceptos de intervalo de clase y marca de clase.

• Observar la tabla de doble entrada correspondiente a la serie de datos y fijarse en el número

de columnas y de filas que tiene y en la manera de obtener los números de cada una de las

celdas.

• Reflexionar sobre el hecho de que los gráficos estadísticos facilitan la interpretación de las

tablas estadísticas de doble entrada.

• Observar la manera de elaborar los gráficos más empleados en estadística bidimensional:

diagrama de barras tridimensionales para representar variables cualitativas y cuantitativas

discretas, histograma tridimensional para representar variables cuantitativas continuas y

diagrama de dispersión o nube de puntos para representar variables cualitativas,

cuantitativas discretas o cuantitativas continuas.

• Reflexionar sobre el hecho de que es necesario analizar los datos recogidos en un estudio

estadístico y averiguar si las dos variables estadísticas unidimensionales que forman la

variable estadística bidimensional presentan algún tipo de relación.

• Analizar, en una situación de la vida cotidiana, una dependencia entre dos de las variables

estadísticas consideradas y leer el nombre y la definición de dicha dependencia.

• Reflexionar, mediante un ejemplo, acerca de la relación que cabe esperar entre dos

variables estadísticas y leer el nombre y la definición de dicha relación.

• Observar, mediante un ejemplo, que no existe ninguna relación entre dos variables

estadísticas consideradas y leer el nombre y la definición que reciben dichas variables.

• Leer un texto referente a la correlación espuria.



• Observar la nube de puntos de una dependencia funcional; la de una dependencia

estadística o correlación, y la de independencia entre dos variables.

• Observar, mediante diagramas de dispersión, la clasificación según el grado, el sentido y el

tipo de distintas situaciones de dependencia estadística o correlación.

• Recordar algunos de los parámetros que se definen para una variable estadística y sus

fórmulas.

• Leer sobre la existencia de valores que miden la correlación entre dos variables estadísticas.

• Leer la definición de covarianza y las fórmulas equivalentes para calcularla.

• Observar el significado del símbolo de doble sumatorio.

• Leer la definición de coeficiente de Pearson y la fórmula para calcularlo.

• Conocer los valores entre los que está comprendido el coeficiente de Pearson y observar en

unos diagramas de dispersión la relación que existe entre el coeficiente de Pearson y la

correlación.

• Observar, mediante un ejemplo resuelto, la manera de proceder para calcular el coeficiente

de Pearson de una distribución bidimensional.

• Reflexionar sobre la necesidad de encontrar alguna manera de predecir los valores de una

de las variables de una distribución bidimensional si se conocen los de la otra y considerar

que esto es posible si hay una curva en torno a la cual se agrupan los datos.

• Leer el nombre que recibe el análisis que pretende determinar la curva que mejor aproxima

un diagrama de dispersión y el que pretende determinar la recta que se aproxima a una

nube de puntos.

• Observar que es fácil hallar una recta que se aproxime a una nube de puntos y reconocer

que es un método subjetivo.

• Leer el nombre de un criterio que permite determinar la recta que mejor se ajusta a la

distribución y fijarse en dos formas de expresar la ecuación de dicha recta y en el nombre

que recibe.

• Leer cuál es la base del criterio de los mínimos cuadrados.

• Reconocer que la recta de regresión de Y sobre X permite predecir para un valor de x, el

valor de y pero que, en general, el resultado obtenido no será el valor real.

• Ser conscientes de que, para hacer predicciones de un valor de X a partir de un valor de y

se deberá considerar la recta de regresión de X sobre Y y fijarse en dos formas de expresar



la ecuación de dicha recta.

• Relacionar el grado de proximidad de las dos rectas de regresión con la correlación lineal

entre las dos variables estadísticas.

• Reflexionar acerca de las limitaciones que presentan las predicciones realizadas a partir de

una recta de regresión.

• Fijarse en el punto por el que pasan las dos rectas de regresión, en la pendiente de ambas

rectas y en la relación entre las dos pendientes.

• Observar, mediante un ejemplo resuelto, la manera de calcular las rectas de regresión y

valorar las predicciones efectuadas.







Repasa



Practica


adquiridos.

Evaluación



• Interpretar unos cuadros de texto acerca de las letras del teclado de un ordenador y de las

aplicaciones profesionales de las matemáticas.



• Resolver una actividad relativa a los contenidos de la unidad.

• Conectarse a una página de Internet y observar las cifras de accidentalidad en las

carreteras españolas.

Evaluación


• Identificar los siguientes conceptos en un estudio estadístico: población, individuo,

muestra, variable estadística y dato.

• Distinguir los diferentes tipos de variables estadísticas.

• Elaborar e interpretar tablas de distribución de frecuencias, tanto con los datos sin

agrupar como agrupados.

• Construir los diferentes tipos de gráficos estadísticos.

• Leer e interpretar información estadística expresada mediante tablas de distribución de

frecuencias o mediante gráficos.

• Conocer, calcular e interpretar los parámetros de centralización y de dispersión de una

distribución estadística.

• Mostrar hábitos de precisión, orden y claridad en el tratamiento de la información por

medios estadísticos.

• Utilizar correctamente la calculadora y el ordenador en los estudios estadísticos.




– Completar una tabla de distribución de frecuencias para una variable estadística discreta y

representar el diagrama de barras de la variable.

– Completar una tabla de distribución de frecuencias para una variable estadística continua y

representar el polígono de frecuencias de esta variable.

– Completar una tabla de doble entrada para una variable cuantitativa continua y determinar



el histograma tridimensional correspondiente.

– Calcular el coeficiente de correlación de unos determinados datos, representar el diagrama

de dispersión y hallar la recta de regresión de Y sobre X.

– Relacionar cada gráfica con su correspondiente coeficiente de correlación.

• Presentar de manera clara y ordenada los datos recogidos en un estudio estadístico a

partir de las tablas y los gráficos estadísticos correspondientes.

• Utilizar la calculadora para realizar y comprobar los cálculos de parámetros estadísticos.

• Interpretar estudios y gráficos estadísticos presentes en los medios de comunicación

sobre situaciones cotidianas y de la vida social, política y económica.

• Analizar los datos obtenidos a partir de los parámetros de centralización y dispersión

para variables estadísticas unidimensionales y a partir de la medida de correlación para

variables bidimensionales.

• Predecir los valores que se obtendrán a partir de una recta de regresión y argumentar si

estos valores serán fiables.



UNIDAD 12: Técnicas para contar



Música; Lengua Castellana y Literatura.


• Utilizar distintas técnicas de conteo como los diagramas en árbol, las tablas de

contingencia, el principio multiplicativo o la combinatoria.

• Diferenciar de manera razonada los distintos tipos de configuraciones.

• Apreciar la utilidad de la combinatoria en la resolución de problemas de contar.


• Reconocer situaciones cotidianas susceptibles de ser tratadas mediante las teorías

combinatorias.

• Presentar de manera clara y razonada el proceso de recuento de configuraciones y la

resolución de ejercicios.

• Conocer las posibilidades de la calculadora y del ordenador.

Contenidos

Conceptos

• Diagramas en árbol.

• Principio multiplicativo.

• Tabla de contingencia.

• Combinatoria.

• Variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y

combinaciones ordinarias.

• Números factoriales y números combinatorios.



• Triángulo de Tartaglia.

• Binomio de Newton.

Procedimientos

• Utilización del vocabulario propio de la combinatoria para recibir y transmitir información.

• Representación de diagramas en árbol.

• Representación gráfica mediante tablas o esquemas distintos de los diagramas en árbol.

• Utilización del principio multiplicativo en los diagramas que cumplan las condiciones

necesarias.

• Identificación de los distintos tipos de configuraciones mediante el empleo de diagramas en

árbol.

• Aplicación de las fórmulas de variaciones ordinarias, variaciones con repetición,

permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.

• Deducción de las fórmulas de las configuraciones estudiadas.

• Cálculo de números factoriales y de números combinatorios.

• Aplicación de las propiedades de los números combinatorios.

• Resolución sistemática de problemas de contar.

Valores

• Valoración de la precisión, la simplicidad y utilidad del lenguaje de la combinatoria para

representar comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de las técnicas para contar para conocer y

resolver diversas situaciones relativas al entorno.

• Hábito de utilizar el lenguaje empleado en combinatoria.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar cálculos con

variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y


• Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las

propias.

• Uso racional de la calculadora para efectuar cálculos en los problemas de combinatoria.









1. Recuento gráfico de configuraciones

• Reflexionar sobre cada uno de los resultados posibles que se pueden obtener en un caso

concreto de la vida cotidiana y leer el nombre que reciben.

• Leer la definición de configuración.

• Representar gráficamente, mediante el empleo de un diagrama en árbol, un caso concreto

de recuento de configuraciones.

• Distinguir, a partir del ejemplo analizado, entre diagrama regular y no regular.

• Fijarse en las preguntas que plantea un problema de contar.

• Observar, a partir del ejemplo analizado, que el número de configuraciones resulta de

multiplicar opciones y leer en qué consiste efectuar un recuento aplicando el principio

multiplicativo.

• Analizar la posibilidad de aplicar el principio multiplicativo según si el diagrama en árbol

es regular o no.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la resolución de un problema mediante el empleo de un

diagrama en árbol y fijarse en que no se puede aplicar el principio multiplicativo.

• Leer la definición de tabla de contingencia.

• Observar un ejemplo concreto de aplicación de una tabla de contingencia.

2. Combinatoria

• Reflexionar acerca de que algunas veces no resulta práctica la utilización del diagrama en

árbol o la aplicación del principio multiplicativo y percatarse de la existencia de otras

técnicas más prácticas.

• Leer la definición de combinatoria.




de recuento de configuraciones; analizar la importancia del orden de colocación de los

elementos y que no aparecen elementos repetidos, y leer el nombre que reciben dichas

configuraciones.

• Leer la definición de variaciones ordinarias y deducir la fórmula que permite calcular el

número de variaciones ordinarias.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo del número de variaciones ordinarias a partir

de la fórmula.

• Fijarse en que en, las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k e k, k debe ser

menor o igual que n.


de recuento de configuraciones; analizar la importancia del orden de colocación de los

elementos y que existe repetición de elementos, y leer la definición de variaciones con

repetición.

• Deducir la fórmula que permite calcular el número de variaciones con repetición y observar

la aplicación de dicha fórmula en el ejemplo anterior.

• Analizar un ejemplo de recuento de configuraciones en el que importa el orden de

colocación de los elementos; no aparecen elementos repetidos e intervienen todos los

elementos en cada configuración, y leer el nombre que reciben dichas configuraciones.

• Leer la definición de permutaciones ordinarias; deducir la fórmula que permite el número

de permutaciones ordinarias, y observar la aplicación de dicha fórmula en un ejemplo.

• Fijarse en que las permutaciones son un caso especial de variaciones.

• Observar la tecla de la calculadora que permite obtener directamente el valor de un número

factorial.

• Fijarse en el valor de los números 1! y 0!.

• Observar en unos ejemplos resueltos la aplicación del cálculo del número de permutaciones

ordinarias.

• Fijarse en que también puede darse el caso de permutaciones con repetición y en la fórmula

correspondiente a dicha situación.

• Representar en una tabla un caso concreto de recuento de configuraciones; analizar que no

importa el orden de colocación de los elementos y que no aparecen elementos repetidos, y



leer la definición de combinaciones ordinarias.

• Deducir la fórmula que permite calcular el número de combinaciones ordinarias.

• Fijarse en la existencia de combinaciones con repetición y en su fórmula.

• Observar la aplicación del cálculo del número de combinaciones ordinarias en unos

ejemplos resueltos.

• Observar en una tabla la definición y las propiedades de los números combinatorios, su

cálculo utilizando el triángulo de Tartaglia y su utilización en el desarrollo del binomio de

Newton.


• Leer el texto en el que se enumeran las tres preguntas claves que permiten clasificar los

diferentes tipos de configuraciones estudiados: variaciones ordinarias, variaciones con

repetición, permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.

• Analizar un esquema que permite clasificar las distintas configuraciones de manera

ordenada y sistemática atendiendo a las respuestas dadas a las preguntas clave.

• Apreciar en los ejemplos resueltos la manera de abordar los problemas de contar mediante

el planteamiento de las tres preguntas clave.







Repasa



Practica




adquiridos.

Evaluación



• Leer un texto sobre los retratos robot.

• Leer una nota histórica relacionada con el estudio de la combinatoria.

• Leer unas notas históricas relacionadas con el triángulo de Tartaglia.

• Divertirse razonando: averiguar cuál de los bolsillos presenta un mayor número de formas

de sacar cuatro monedas mediante diagramas en árbol.

Evaluación


• Identificar problemas de contar en la vida cotidiana y las posibles configuraciones

existentes.

• Realizar el recuento gráfico de configuraciones mediante el diagrama en árbol y la tabla de

contingencia.

• Aplicar el principio multiplicativo para sucesos consecutivos, es decir, elecciones seguidas.

• Diferenciar las características que definen los distintos tipos de configuraciones mediante el

empleo de diagramas en árbol.

• Distinguir entre variación ordinaria y variación con repetición.

• Conocer el concepto de número factorial.

• Conocer y aplicar correctamente las fórmulas de las distintas configuraciones estudiadas:

variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y


• Conocer el concepto de número combinatorio.

• Conocer y comprender las propiedades de los números combinatorios.

• Utilizar el desarrollo del binomio de Newton mediante la aplicación de números



combinatorios.

• Analizar el tipo de configuración mediante el empleo de las preguntas claves.

• Adquirir un método de análisis ordenado y sistemático en la resolución de problemas de

contar.

• Presentar de manera clara y ordenada el proceso de resolución de problemas de contar.




– Escribir las configuraciones posibles a partir de la elaboración de un diagrama en árbol.

– Aplicar el principio multiplicativo en problemas de contar que cumplan las condiciones

necesarias.

– Escribir las fórmulas de las distintas configuraciones estudiadas.

– Aplicar las fórmulas correctas para la obtención del número total de configuraciones.

– Clasificar y calcular los números factoriales y los combinatorios.

– Utilizar los números combinatorios y el binomio de Newton para obtener una potencia

de un binomio.

– Formular las preguntas clave para deducir el tipo de configuración y efectuar su cálculo.

– Resolver un problema de contar que no se limita a la aplicación directa de la fórmula de

un tipo de configuración.

• Emplear con rigor y precisión el lenguaje matemático propio de las técnicas para contar.

• Efectuar una serie de operaciones combinadas mediante el cálculo de configuraciones sin

utilizar la calculadora y utilizándola. En caso de discrepancia en los resultados, determinar

dónde se ha producido el error.



UNIDAD 13: Probabilidad



Lengua Castellana y Literatura.


• Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento

aleatorio.

• Asignar probabilidades utilizando la ley de Laplace, los diagramas en árbol y la

combinatoria.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana aplicando conceptos de probabilidad.


• Reconocer e interpretar el lenguaje relacionado con la probabilidad que se presenta en la

vida cotidiana.

• Presentar, de manera clara y razonada, el proceso de recuento de resultados en una

experiencia y la resolución de problemas.

• Analizar de manera crítica las aplicaciones de la probabilidad en la sociedad.

Contenidos

Conceptos

• Experimentos deterministas y experimentos aleatorios.

• Espacio muestral y suceso elemental.

• Suceso, suceso seguro, suceso imposible, suceso contrario, sucesos compatibles y sucesos

incompatibles.

• Unión, intersección y diferencia de sucesos.

• Suceso complementario o contrario a uno dado.

• Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso.



• Probabilidad de un suceso

• Regla de Laplace.

• Propiedades de la probabilidad.

• Experimentos compuestos.

• Sucesos dependientes y sucesos independientes.

• Probabilidad en sucesos independientes.

• Probabilidad condicionada.

Procedimientos

• Determinación de los sucesos elementales y del espacio muestral de un experimento

aleatorio.

• Aplicación de los conceptos de suceso contrario, sucesos compatibles y sucesos

incompatibles para la resolución de problemas.

• Operaciones con sucesos.

• Elaboración de tablas de frecuencias absolutas y frecuencias relativas de sucesos.

• Aplicación de la regla de Laplace al cálculo de la probabilidad en una situación de

equiprobabilidad.

• Aplicación de las propiedades de la probabilidad para la resolución de problemas.

• Reconocimiento de sucesos independientes y de sucesos dependientes.

• Elaboración de diagramas en árbol en el caso de experimentos aleatorios compuestos y

cálculo de las probabilidades de cada suceso.

• Aplicación de la probabilidad condicionada.

Valores

• Valorar la utilización adecuada y precisa del lenguaje probabilístico en la descripción de

situaciones relacionadas con el azar.

• Constancia en la búsqueda de soluciones de las situaciones matemáticas planteadas

relacionadas con el azar.

• Disposición favorable para utilizar la probabilidad en la resolución de algunos problemas

de la vida cotidiana.

• Sentido crítico frente a informaciones de carácter probabilístico y frente a resultados



obtenidos en el cálculo de probabilidades.







1. Concepto de probabilidad

• Comparar diversas experiencias de la vida cotidiana que tienen resultados determinados o

no determinados para reconocer la diferencia entre experimentos deterministas y

experimentos aleatorios.

• Leer la definición de experimentos deterministas y la de experimentos aleatorios.

• Fijarse en la necesidad de especificar qué se entiende por resultado de un experimento.

• Considerar un experimento aleatorio y determinar sus posibles resultados para introducir

los conceptos de espacio muestral y de suceso elemental.

• Leer las definiciones de espacio muestral y suceso elemental, y observar la manera de

representarlas.

• Observar, en un ejemplo de experimento aleatorio, el espacio muestral y los sucesos

elementales.

• Observar la determinación del espacio muestral de dos experimentos aleatorios en dos

ejemplos resueltos.

• Considerar un experimento aleatorio y caracterizar distintos aspectos por sus resultados

para introducir el concepto de suceso.

• Leer la definición de suceso.

• Reconocer que un suceso es un subconjunto del espacio muestral del experimento aleatorio;

leer el nombre de los sucesos elementales que lo forman, y leer el significado de la

expresión ocurrir un suceso.

• Fijarse en qué sucesos se identifican con los sucesos formados por un único resultado así



como en que al obtener un resultado se verifiquen simultáneamente varios sucesos.

• Reflexionar acerca de las circunstancias en que ocurrirán dos sucesos de un experimento

aleatorio para introducir los conceptos de suceso seguro y de suceso imposible, y observar

su representación.

• Observar dos sucesos de un experimento aleatorio para introducir el concepto de suceso

contrario, y observar su representación.

• Considerar dos sucesos de un experimento aleatorio y observar ciertas características de

ambos para introducir los conceptos de suceso compatible y de suceso incompatible.

• Observar en una tabla las operaciones que pueden efectuarse con los sucesos de un

experimento aleatorio: unión, intersección, diferencia y suceso complementario.

• Observar en un ejemplo resuelto la realización de diversas operaciones con sucesos

aleatorios.

• Observar en una tabla los resultados obtenidos al realizar 400 veces un experimento

aleatorio para introducir el concepto de frecuencia absoluta de un suceso y leer su

definición.

• Reflexionar que para comparar el comportamiento de un suceso cuando varía el número de

experiencias realizadas no es suficiente conocer su frecuencia absoluta.

• Observar los cocientes obtenidos al dividir las frecuencias absolutas de dos sucesos entre el

número total de experiencias realizadas para introducir el concepto de frecuencia relativa

de un suceso y leer su definición y la fórmula para calcularla.

• Fijarse en que la frecuencia relativa puede expresarse en forma de fracción, en tanto por

uno o en porcentaje.

• Reflexionar sobre el significado de la palabra probable como calificativo que expresa la

posibilidad de que ocurra un suceso y considerar la necesidad de medir el grado de certeza

de que ocurra dicho suceso para llegar al concepto de probabilidad.

• Observar cómo se representa la probabilidad y leer que la probabilidad es una regla que

asigna a cada suceso un número comprendido entre 0 y 1.

• Leer el significado de que la probabilidad de un suceso sea 0 y el de que sea 1.

• Fijarse en el valor de la probabilidad del suceso imposible y en el del suceso seguro.

• Observar, en un ejemplo, el comportamiento de las frecuencias relativas de dos sucesos de

un experimento aleatorio para llegar a asignar a cada suceso el valor al que se aproximan



las frecuencias relativas al aumentar el número de realizaciones del experimento y leer el

nombre que recibe este valor.

• Leer la definición de probabilidad de un suceso.

• Fijarse en un texto referente a la ley de los grandes números y en una nota histórica acerca

de la probabilidad.

2. Cálculos probabilísticos

• Observar la probabilidad que se puede suponer a los diferentes sucesos elementales de un

experimento aleatorio para llegar al concepto de situación de equiprobabilidad y leer la

definición de situación de equiprobabilidad.

• Leer la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.

• Fijarse, en una situación de equiprobabilidad, en la probabilidad de cada uno de los sucesos

elementales de un experimento aleatorio.

• Leer un texto referente a un modelo de probabilidad.

• Observar, en un ejemplo resuelto, la aplicación de la regla de Laplace en una situación de

equiprobabilidad.

• Reflexionar acerca de que algunos problemas en los que no se da una situación de

equiprobabilidad se pueden reformular de modo que se transformen a dicha situación.

• Observar en un ejemplo resuelto la reformulación de un problema para que se dé una

situación de equiprobabilidad.

• Fijarse en qué consiste una tabla de contingencia.

• Leer en una tabla las propiedades de la probabilidad y observar en dos ejemplos resueltos

cómo obtener la probabilidad de un suceso aplicando dichas propiedades.

3. Probabilidad en experimentos compuestos

• Leer que el diagrama en árbol permite hallar la probabilidad de cada suceso elemental de

un experimento aleatorio compuesto.

• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de la probabilidad de un suceso elemental de

un experimento aleatorio compuesto con la ayuda de un diagrama en árbol.

• Fijarse en la unión y la intersección de dos sucesos.

• Observar dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio en los que el hecho de



que se verifique uno de ellos no influye en el hecho de que se verifique el otro y viceversa;

calcular y fijarse en algunas igualdades entre distintas probabilidades, y leer el nombre que

reciben dichos sucesos.

• Observar dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio en los que el hecho de

que se verifique uno de ellos influye en el hecho de que se verifique el otro y viceversa;

calcular y fijarse en una desigualdad entre dos probabilidades, y leer el nombre que reciben

dichos sucesos.

• Leer la definición de sucesos independientes y la de sucesos dependientes.

• Observar en dos ejemplos resueltos el cálculo de la probabilidad en sucesos independientes.

• Fijarse en la fórmula para sucesos independientes que se deriva del principio de

probabilidad compuesta.

• Leer la fórmula de la probabilidad de un suceso condicionada a otro suceso y la del

principio de la probabilidad compuesta.

• Advertir que la conmutatividad de la intersección de dos sucesos permite escribir de otra

manera la fórmula de la probabilidad compuesta.

• Observar, en un ejemplo, el cálculo de la probabilidad de un suceso sin ninguna

información previa y compararla con la que se tiene si se dispone de información previa;

leer el nombre que recibe dicha probabilidad, y comprobar su fórmula.

• Observar en tres ejemplos resueltos la aplicación de la probabilidad condicionada.







Repasa





Practica


adquiridos.

Evaluación



• Leer unos cuadros de texto sobre: las leyes de Mendel, sobre el número de personas zurdas

y acerca del número π y del cálculo de una probabilidad en cuyo resultado aparece dicho

número.

• Buscar en Internet información sobre un gen que determina la propensión de una persona a

ser zurda.

• Comprobar la teoría de los Seis grados de separación.

Evaluación


• Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas de la vida cotidiana.

• Describir el espacio muestral, reconocer los sucesos elementales y determinar los resultados

de un suceso de un experimento aleatorio.

• Realizar operaciones con sucesos.

• Calcular la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de un suceso.

• Identificar sucesos imposibles, muy improbables, improbables, tan probables como

improbables, probables, muy probables y seguros.

• Comprobar de manera experimental que, al aumentar el número de realizaciones de un

experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se estabiliza.

• Conocer la definición experimental de la probabilidad y reconocer situaciones de

equiprobabilidad.

• Aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso.



• Elaborar diagramas en árbol para establecer el espacio muestral de un experimento

aleatorio en el que las realizaciones se repiten varias veces.

• Reconocer la independencia o la dependencia de dos sucesos asociados a un mismo

experimento aleatorio.

• Calcular la probabilidad en un experimento compuesto a partir del diagrama en árbol.

• Valorar la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana.

• Adquirir una actitud de interés por calcular el grado de certeza de que ocurra una situación.

• Mostrar interés por conocer las prestaciones de un programa informático para estudiar la

probabilidad.




– Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.

– Describir el espacio muestral, los sucesos elementales y determinados sucesos de un

experimento aleatorio.

– Calcular las probabilidades de que se produzcan determinados sucesos para

experimentos aleatorios simples.

– Calcular las probabilidades de que se produzcan determinados sucesos para

experimentos aleatorios compuestos aplicando diagramas en árbol.

– Hallar el porcentaje o la probabilidad de que se produzca un determinado suceso en un

experimento compuesto a partir del diagrama en árbol y los conceptos de probabilidad

condicionada.

– Determinar si dos sucesos aleatorios son independientes.

– Calcular la probabilidad de que se produzca un suceso aleatorio para que sea

independiente de otro conociendo la probabilidad de que se verifiquen los dos sucesos a

la vez.

• Definir sucesos seguros e imposibles, sucesos contrarios y sucesos compatibles e

incompatibles en un determinado experimento aleatorio de la vida cotidiana.

• Elaborar con orden, método y pulcritud tablas de frecuencias absolutas y relativas.



• Elaborar con orden, método y pulcritud diagramas en árbol que permitan describir un

experimento compuesto y relacionar las probabilidades condicionadas a un determinado

suceso.


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PROGRAMACION DE AULA (Matemáticas 11 EP) · Web view• Observar el esquema de la unidad y escuchar la explicación del profesor/a. 1. De los naturales a los reales • Recordar