Programy podporující výuku matematikykdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/dana_machova/diplomka... · Web view3) grafy funkcí f a sestrojené v téže soustavě souřadnic Oxy jsou

Univerzita Karlova v PrazeMatematicko-fyzikální fakulta

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Dana Machová

PROGRAMY PODPORUJÍCÍ VÝUKU MATEMATIKY

Katedra didaktiky matematikyVedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Kašpar, CSc.

Studijní program: Matematika, Učitelství pro střední školy M-I

Na tomto místě bych chtěla poděkovat především svému vedoucímu diplomové práce RNDr. Janu Kašparovi, CSc. za podporu, trpělivost a ochotu, s jakou se mi během práce věnoval. Dále bych chtěla poděkovat všem učitelům matematiky, kteří se zúčastnili mé ankety, a speciálně těm, kteří se mnou komunikovali také elektronicky.V neposlední řadě patří velký dík za psychickou podporu a pomoc mé rodině a přátelům.

Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce.

V Praze dne 10.8.2006 Dana Machová

Obsah

1. Úvod....................................................................................................................................12. Programy podporující výuku matematiky – anketa............................................................2

2.1 Otázky.........................................................................................................................22.2 Vyhodnocení...............................................................................................................32.3 Závěr ankety................................................................................................................4

3. Software typu CAS.............................................................................................................53.1 Název..........................................................................................................................53.2 Popis............................................................................................................................5

4. CAS a výuka.......................................................................................................................75. CAS systémy na našich školách.........................................................................................8

5.1 Derive..........................................................................................................................85.2 Maple..........................................................................................................................95.3 Mathematica................................................................................................................95.4 TIIA...........................................................................................................................10

6. Stručný průvodce programem TIIA..................................................................................116.1 Charakteristika TIIA.................................................................................................116.2 Popis prostředí TIIA.................................................................................................126.3 Způsob práce s TIIA.................................................................................................136.4 Možnosti TIIA..........................................................................................................136.5 Vybrané kapitoly z TIIA...........................................................................................16

6.5.1 Matematický rámeček.......................................................................................166.5.2 Grafy.................................................................................................................236.5.3 Posuvník............................................................................................................33

7. TIIA a výuka.....................................................................................................................367.1 TIIA a studenti..........................................................................................................367.2 TIIA a učitelé............................................................................................................377.3 TIIA a jednotlivá témata středoškolské matematiky................................................39

7.3.1 Aritmetika.........................................................................................................397.3.2 Výroky..............................................................................................................397.3.3 Algebra..............................................................................................................397.3.4 Funkce...............................................................................................................397.3.5 Goniometrie......................................................................................................407.3.6 Komplexní čísla................................................................................................407.3.7 Geometrie..........................................................................................................407.3.8 Ostatní druhy rovnic a nerovnic........................................................................407.3.9 Základy lineární algebry...................................................................................417.3.10 Kombinatorika..................................................................................................417.3.11 Statistika............................................................................................................417.3.12 Diferenciální a integrální počet.........................................................................417.3.13 Shrnutí...............................................................................................................41

8. Chyby a nedostatky TIIA..................................................................................................428.1 Chyby........................................................................................................................428.2 Nestandardní chování................................................................................................428.3 Nedostatečná či chybějící funkcionalita...................................................................428.4 Jazykové problémy...................................................................................................44

9. Závěr.................................................................................................................................4510. Literatura a jiné zdroje..................................................................................................46

10.1 Literatura...................................................................................................................4610.2 Webové stránky........................................................................................................4610.3 Další zdroje...............................................................................................................47

Přílohy - obsah..........................................................................................................................48

Název práce: Programy podporující výuku matematikyAutor: Dana MachováKatedra (ústav): Katedra didaktiky matematikyVedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Kašpar, CSc.e-mail vedoucího: [email protected]:

Diplomová práce je zaměřena na využití CAS systému TI InterActive! pro podporu výuky matematiky na středních školách. Výsledky ankety „Programy podporující výuku matematiky“, které prezentuji v úvodu práce, naznačují, že CAS systémy nejsou v našich školách příliš rozšířeny. Zamýšlím se nad možnými příčinami této situace. Uvádím přehled matematických nástrojů tohoto typu, popisuji jejich obecné vlastnosti a navazuji porovnáním programů nejčastěji používaných v našem školství (Derive, Maple, Mathematica).Část věnovaná samotnému TI InterActive! je uvozena souhrnem vlastností a možností tohoto programu. Dále pokračuje stručným návodem pro práci s TI InterActive!. Popisuji výhody i nevýhody tohoto programu, jak v porovnání s ostatními CAS systémy, tak z pohledu výuky matematiky na našich středních školách. Uvádím způsoby, jak je možné TI InterActive! využívat, a tématické oblasti, pro něž je vhodný. Své závěry dokládám ukázkami vytvořenými v TI InterActive!, z nichž nejrozsáhlejší jsou materiály pro výuku funkcí a diferenciálního počtu.

Klíčová slova:TI InterActive!, matematika, výuka

Title: Software supporting mathematics educationAuthor: Dana MachováDepartment: Department of Mathematics EducationSupervisor: RNDr. Jan Kašpar, CSc.Supervisor's e-mail address: [email protected] Abstract:

This thesis focuses on the use of TI InterActive! CAS system in secondary school mathematics teaching. Results of the survey “Programs supporting mathematics education”, presented in the preface of the work indicate that CAS systems are far from widespread in our secondary schools. Possible reasons of this situation are considered. Overview of existing computer algebra systems is given with their common characteristics and a comparison of programs most often used in our schools (Derive, Maple, and Mathematica).The part dedicated to TI InterActive! itself starts with a list of its features and properties. Following are brief operating instructions for TI InterActive!. Advantages and disadvantages of this program are detailed here, both in comparison with other CAS systems and with regard to mathematics teaching at our secondary schools. Possible ways to use TI InterActive! are listed, along with fields it is most fit to. These conclusions are illustrated with samples created with TI InterActive!, most extensive of them being materials for teaching functions and differential calculus.

Keywords:TI InterActive!, mathematics, education

mailto:[email protected]

Úvod

1. Úvod

Tématem diplomové práce je aplikace konkrétního software typu CAS při výuce matematiky na středních školách. Hlavní náplní práce bylo seznámení se s tímto programem a vypracování vhodných materiálů k jeho použití.

Jako software byl vybrán TI InterActive! (dále jen TIIA) – program, který je ve světě běžně používaný, zatímco u nás je prakticky neznámý. Mým úkolem tedy bylo ověřit, jestli je program vhodný i pro výuku v našich podmínkách.

Zajímala jsem se, co jsou CAS, k čemu jsou určeny a zda, případně jak, se využívají pro výukové účely. Tyto poznatky jsem konfrontovala se svými zkušenostmi s TIIA

Protože TIIA postrádá českou lokalizaci, zařadila jsem do diplomové práce také stručného průvodce tímto programem, jehož některé partie jsou napsány přímo formou ukázek v TIIA. Pokusila jsem se popsat výhody i nedostatky tohoto programu, jak v porovnání s ostatními CAS programy, tak z pohledu výuky matematiky na našich středních školách. Uvádím způsoby, jak by se mohl TIIA využít, a tématické oblasti, pro něž je vhodný. K navrhovaným způsobům použití jsem vytvořila ukázkové materiály.

Paralelně s pracemi na výuce s TIIA jsem sestavila anketu „Programy podporující výuku matematiky“. Kromě vlastního TIIA jsem se v ní zaměřila na zapojení počítačů do výuky na našich (a slovenských) školách obecněji. Odpovědi učitelů přinášejí rámcový přehled o aktuální situaci v této oblasti a mohly by být podnětem pro další práci. Vyhodnocení této ankety je věnována následující kapitola.

1

Programy podporující výuku matematiky – anketa

2. Programy podporující výuku matematiky – anketa

Hlavním motivem k sestavení ankety byla snaha zjistit, jaké je mezi učiteli matematiky povědomí o programu TIIA a o programech CAS obecně. Doufala jsem, že se dozvím názory těch, kteří tento program používají, způsoby, jak jej používají, a případné srovnání s jinými druhy CAS software. Při té příležitosti jsem se rozhodla, že se na situaci podívám globálněji a zjistím, jak jsou na tom učitelé s využíváním počítačů k výuce a jaká je celková situace v této oblasti u nich ve škole.

Výsledkem bylo sestavení následující ankety. První skupina otázek (otázky 1 – 7) se týkala samotného vyučujícího a jeho vztahu k počítačům ve výuce. Chtěla jsem zjistit, jaký matematický software se na českých školách vyskytuje a jak je využíván. Druhá skupina (otázky 8 – 10) mapovala situaci ve škole, v níž dotyčný učí. Zbývající otázky (11 – 15) souvisely s programem TIIA a s firmou Texas Instruments, která je vlastníkem autorských práv.

2.1 Otázky1. Používáte v souvislosti s výukou matematiky počítač? 2. Je pro Vás používání počítače přínosné? V čem jsou podle Vás výhody a nevýhody? 3. K čemu konkrétně jej používáte?

(přípravy, písemky, kontrola výsledků, vytváření grafů, přímé použití v hodinách, ...) 4. Jak reagují na „používání techniky“ Vaši studenti?5. Jaké programy používáte?

(např. Maple, Derive, CAD, Cabri, TI InterActive!, MS Office – Word, Excel, TEX) 6. Co Vám u programů, které používáte, chybí? Co se Vám nelíbí, co byste řešili jinak? 7. Jak jste se o konkrétních programech dozvěděli?

(vysoká škola, internet, kolegové, kurzy, „znám odjakživa“) 8. Podporuje Vaše škola takovéto aktivity?

(např. organizuje vzdělávací kurzy, finančně podporuje zapojování počítačů do výuky, ...)

9. Jaké zázemí pro Vás vytváří?(technické vybavení kabinetu, potřebné programové vybavení)

10. Máte ve škole speciální učebnu pro výuku matematiky, jejíž vybavení umožňuje využití výpočetní techniky?(dataprojektor, interaktivní tabule, ...)

11. Umožňujete studentům pracovat s kalkulačkami?(při čem, s jakými)

12. Jaký druh kalkulačky vlastníte/používáte?(klasická, grafická, ...)

13. Znáte firmu Texas Instruments? Máte zkušenost s jejími produkty? (pokud ano, s jakými?)

14. Vadí Vám/Vašim kolegům/studentům používání programů, které nejsou v češtině/slovenštině?Myslíte si, že takovéto programy mají šanci uchytit se ve školách?

15. Slyšeli jste/pracovali jste s programem TI InterActive? (pokud ano, jaký na něj máte názor?)

2


Otázky jsem zveřejnila na internetu formou elektronického dotazníku, který je umístěn na adrese http://danuska.jedisoft.cz/diplomka.

Odpovědi respondentů, kteří souhlasili s jejich zveřejněním na internetu, jsou na adrese http://danuska.jedisoft.cz/diplomka/odpovedi.php.

Kompletní odpovědi jsou uvedeny v příloze F.

2.2 VyhodnoceníAnkety se zúčastnilo 42 učitelů (24 žen a 18 mužů) z různých typů škol České i Slovenské republiky ve věku od 25 do 64 let.

Mezi nimi převažuje názor, že počítače jsou pro výuku matematiky přínosné, většina kantorů je ve větší či menší míře ke své práci využívá.

Nejčastěji se jedná o některý program z balíku MS Office – nejde o nijak překvapivé zjištění, programy jsou součástí standardního vybavení téměř ve všech školách i domácnostech. Word bývá využíván pro tvorbu textů a písemných prací (důvod je nasnadě – snadná modifikovatelnost, kopírování, ukládání), Excel pro vedení klasifikace, občas pro výuku statistiky nebo kreslení grafů.

Skutečné didaktické programy už bohužel příliš zmiňovány nebyly. Výjimkou je program Cabri geometry, který vyjmenovalo sedmnáct učitelů. Cabri je nyní masivně šířeno do škol, má značnou podporu co se týče předpřipravených výukových materiálů (ty jsou vytvářeny ve formě apletů a bývají volně přístupné na internetu), takže učitelům odpadá nutnost materiály vytvářet.

Klíčová skupina, tj. programy typu CAS, se v odpovědích nevyskytovala prakticky vůbec. Nejčastěji jmenovaným zástupcem byl Derive, který uvedlo šest učitelů, dražší a složitější Maple dokonce pouze tři. Dále se zde objevily Mathematica, MatheAss a TIIA pouze v jediném případě.

Pro zajímavost uvedu kompletní seznam programů, které se vyskytly v odpovědích.

- Kancelářské balíky MS Office (Word, Excel, PowerPoint, Access), Open Office, z textových editorů byly dále zmíněny TEX a ViM.

- Grafické editory Corel, Photoshop, Zoner Calisto

- Speciální matematický software

- geometrický CAD, Cabri Geometry

- CAS systémy Derive, TI InterActive!, Mathematica, Maple, MatheAss

- matematicko-fyzikální MatLab, Famulus, Origin

- Zvláštní skupinu tvoří vlastní programy a aplety (zmiňovány byly programovací jazyky visual basic, java), programy vlastních studentů a kolegů, programy z diplomových prací.

- Dále pak nejrůznější freewarové programy stažené z internetu, např. voFce, Žočkův editor testů, různé grafické programy a programy pro kreslení grafů.

- V odpovědích se objevilo několik programů pro druhý stupeň ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií – Matik 6-9, Algebraické výrazy, Pythagorova věta, Rovnice 1,2.

3

http://danuska.jedisoft.cz/diplomka/odpovedi.php

http://danuska.jedisoft.cz/diplomka


- A nakonec programy nesouvisející přímo s matematikou – internetové prohlížeče, Master Eye, což je programové vybavení umožňující efektivní práci s počítačovou učebnou, systém pro tvorbu testů Dotest, program pro školní administrativu Bakaláři.

Výtky, které učitelé k používaným programům měli, by se daly shrnout do následujících bodů: vysoká cena, nedostatek hotových materiálů, které by se rovnou daly použít ve výuce, nutnost improvizovat a přizpůsobovat programy, které nejsou primárně zamýšleny jako výukové, složité či pomalé ovládání a málo atraktivní vzhled.

Informace o programech získávají učitelé nejčastěji na kurzech a školeních, od kolegů, případně si je zjišťují sami na internetu. Mladší učitelé čerpají ze znalostí přinesených z vysokých škol.

Postoj škol k „počítačovým aktivitám“ byl ve většině případů hodnocen jako vstřícný. Vybavení na školách je podle slov dotazovaných „v rámci možností“. Kompletně počítačově vybavené matematické učebny sice nebývají zvykem, ale na školách je možný přístup do počítačových laboratoří, v třídách bývá umístěn počítač s dataprojektorem. Horší už je situace v kabinetech, kde bývají k dispozici počítače s přístupem na internet, avšak tyto počítače jsou často zastaralé, případně v nedostatečném počtu.

Běžnou pomůckou v hodinách jsou kalkulačky. Někteří vyučující sice povolují svým studentům i kalkulačky grafické, ale stále převažuje skupina, která trvá na „klasických“. Argumentem jsou rovné podmínky pro všechny studenty. Sami učitelé vlastní často oba typy, mnozí dávají v dnešní době přednost počítači před grafickou kalkulačkou. Klasické kalkulačky pocházejí nejčastěji od firmy Casio, grafickým vévodí firma Texas Instruments.

Tato firma je u nás známá hlavně díky grafickým kalkulačkám, skutečnost, že v poslední době „vzala pod svá křídla“ i zmiňované Cabri a Derive, už je známa méně. TIIA (původní produkt této firmy) je, jak jsem již psala výše, neznámý, prakticky se nepoužívá, a i ti, kteří jej znají, k němu mají výhrady. Cituji: „Chybí lokalizace, nedostupnost literatury (popis funkcí, kterými program disponuje).“

To, že je lokalizace u výukového software důležitá, dokládají odpovědi na poslední otázku. Část učitelů sice s anglickým software běžně pracuje, ale většina preferuje české programy a domnívá se, že nelokalizovaný software nemá šanci k uchycení na školách.

2.3 Závěr anketyAnketa bohužel nesplnila svůj primární účel a nepodala mnoho informací o používání TIIA v naší středoškolské matematice, protože (jak se zdá) program u nás není výrazně rozšířen.

4

Software typu CAS

3. Software typu CAS1

Dříve než přistoupím k popisu samotného TIIA, představím CAS systémy obecně. Vysvětlím, z čeho pochází název, popíši hlavní rysy a vlastnosti těchto programů, uvedu, k čemu jsou CAS systémy určeny, a jmenuji nejznámější zástupce této skupiny programů.

3.1 NázevCAS je zkratka z anglického Computer Algebra System, neboli Systém počítačové algebry.

V zahraničním odborném tisku jsou tyto systémy někdy označovány zkratkou SCS nebo SAC (Symbolic Computation Systems nebo Symbolic and Algebraic Computation), tj. česky „systémy symbolických výpočtů“ nebo „symbolické a algebraické výpočty“.

3.2 PopisSystémy počítačové algebry jsou založeny na tzv. symbolických výpočtech. Stručně můžeme symbolické a algebraické výpočty charakterizovat jako výpočty se symboly reprezentujícími matematické objekty. Tyto symboly mohou reprezentovat jednak čísla (celá, racionální, reálná a komplexní), booleovské hodnoty (pravda, nepravda, nevím) a znaky (písmena abecedy a další symboly), jednak mohou být používány pro matematické objekty (proměnné, matematické výrazy, rovnice a identity, posloupnosti, množiny, vektory, matice, polynomy a funkce jedné a více proměnných a jejich derivace a integrály, grafy funkcí jedné a dvou proměnných, systémy rovnic, nerovnic a algebraické struktury jako grupy, okruhy a algebry a jejich prvky, orientované grafy, apod.), datové struktury (tabulky a datové soubory) a vykonavatelné procedury (funkce, grafy, algoritmy, atd.).

Kromě toho přídavné jméno symbolický zdůrazňuje, že konečným cílem řešení matematického problému je vyjádření jeho řešení v explicitním analytickém tvaru nebo nalezení jeho symbolické aproximace (např. konečné funkční řady). Pojmem algebraický myslíme, že výpočty jsou prováděny přesně v souladu s pravidly algebry, namísto použití přibližné aritmetiky čísel zapsaných v pohyblivé řádové čárce, jak je tomu u klasických numerických výpočtů. Důvodem vzniku nepřesností při numerických výpočtech je, že mantisa má omezený počet cifer a musí tedy docházet k zaokrouhlování. Numerické výpočty mají přesto široké využití, používají se ke stanovování řešení soustav rovnic, numerických hodnot matematických funkcí, nalezení kořenů polynomů a vlastních čísel a vektorů matice apod..

Příklady symbolických a algebraických výpočtů jsou:- zjednodušování a úpravy matematických výrazů, včetně stanovení podmínek platnosti- dosazení číselných či symbolických hodnot do obecných výrazů- rozklady na parciální zlomky- převod goniometrických funkcí na exponenciální tvar- analytické řešení rovnic (lineárních a některých nelineárních)- částečná či úplná faktorizace polynomů- řešení systémů rovnic i nerovnic- výpočet některých limit- derivování podle jedné či více proměnných

1 Podkladem pro tuto kapitolu byly zdroje [4] – [7].

5

Software typu CAS

- integrování – výpočet určitých integrálů, nalezení primitivních funkcí- analytické řešení obyčejných i parciálních diferenciálních a integrálních rovnic,

diferenčních rovnic- rozvoj funkcí v řady, sestrojení Taylorova polynomu, Laurentovy řady- součty některých řad- maticové operace

Pro praktické využití bývají CAS systémy většinou „obohaceny“ také o numerické algoritmy, kupříkladu algoritmy pro:

- vyčíslení výrazů pro konkrétní hodnoty proměnných- výpočet určitých integrálů- výpočty s vysokou přesností (aritmetika s dlouhými čísly – například výpočet

s přesností na 10000 míst)- numerickou lineární algebru (výpočet vlastních čísel matice, řešení soustav lineárních

rovnic, …)- kreslení 2D, 3D grafů funkcí

Součástí mnoha těchto systémů bývá jednoduchý vyšší programovací jazyk umožňující uživatelům implementovat své vlastní algoritmy.

Algebraické systémy také zvládají tzv. „pretty print“ matematických výrazů (Obr. 1) neboli zobrazení v „normální“ školské notaci (někdy označované 2D forma). Využívají při tom systémy podobné TEXu.

V praxi bývá CAS software používán hlavně k usnadnění zdlouhavých rutinních výpočtů v nejrůznějších oblastech vědy a techniky, často v kombinaci s numerickými výpočty. Systémů – komerčních i freewarových – je v dnešní době celá řada. Jejich přehled je možno nalézt na internetu například na adrese http://www.SymbolicNet.org/systems.

Z nejznámějších jmenuji Axiom, Reduce, Macsyma, Maple, Mathematica.

Obr. 1: Ukázka prostředí CAS systému Maple 6

6

http://www.SymbolicNet.org/systems

CAS a výuka

4. CAS a výuka

Z předchozího je vidět, že CAS jsou silné výpočetní a vizualizační nástroje s širokým praktickým využitím. Jak je to s jejich uplatněním ve výuce?

„Existuje tisíce cest jak používat CAS (systémy počítačové algebry) pro vyučování, dobré i špatné. Špatné nebo, lépe, nevhodné přístupy často přicházejí od technických nadšenců z řad učitelů, kteří používají CAS už proto, že existují a že je možné je používat konkrétní cestou. Ale CAS by nikdy neměly řídit matematiku, kterou učíme, naše matematika (cíle vyučování) by měla řídit (a používat) CAS!“

Bernhard Kutzler, ACDCA (Rakouské centrum pro didaktiku počítačové algebry), přednáška na konferenci „Užití počítačů ve výuce matematiky“, Č. Budějovice, 6. – 8. 11. 2003

„Jestliže použití CAS není ospravedlněno pedagogicky, je pedagogicky ospravedlněno CAS nepoužívat.“

Helmut Heugl, ředitel rakouského projektu Derive a TI-89/92

Již z uvedených citátů je vidět, že otázka zapojení CAS systémů do výuky matematiky není zdaleka uzavřená.

Algebraické systémy mají řadu příznivců, ale stejně tak i zarytých odpůrců. Ve světě existují projekty zabývající se používáním těchto programů ve školách (například celosvětový vzdělávací program T3 – viz [18]), softwarové firmy vyvíjejí verze speciálně pro školní využití – na druhé straně je české školství, kde jsou tyto programy prakticky neznámé.

Dovolím si krátkou úvahu o tom, v čem může být problém.

CAS byly vytvořeny k tomu, aby za nás dělaly „špinavou práci“, aby počítaly a dávaly výsledky. Používat je ve výuce tímto způsobem je ale problematické. Nepochybuji o tom, že by se to líbilo studentům, ale pro rozvoj jejich matematického vzdělání by to nemuselo být právě přínosné.

Pokusím se vysvětlit proč. Aby žáci byli schopni správně používat kalkulačky, musí se nejdříve sami naučit základní matematické operace. Tím také získají kritický pohled nezbytný pro správnou interpretaci získaných výsledků. Teprve poté jim kalkulačka k něčemu je. Podobný princip by měl být, podle mého názoru, zachován i při práci s výpočetním matematickým software. Problémem je, že fáze netriviálních aplikací těch dovedností, které implementují CAS programy, většinou nastává až během studia na vysoké škole. Neuvážené zapojení CAS do hodin by mohlo vyústit v to, že žáci přestanou rozumět podstatě probíraného učiva a budou „pouze“ umět zjistit výsledky.

Nerada bych se pouštěla do úvah, zda je opravdu nutné, aby středoškoláci uměli řešit rovnice, derivovat či integrovat. Zda by jim nestačilo – či dokonce pro ně nebylo prospěšnější – umět použít program, který to udělá za ně. Vezmu za fakt, že výstupem našeho vzdělávacího systému by měli být studenti, kteří tyto matematické dovednosti ovládají sami, a pokusím se najít cestu, jak jim k tomu pomoci s využitím možností, které nám CAS systémy nabízejí.

Jsem přesvědčená o tom, že rozumné zapojení software typu CAS může být přínosné. Hlavní otázkou pro mě tedy nebude, zda CAS používat, ale jak.

7

5. CAS systémy na našich školách

Aby CAS software uspěl v praxi, musí být napsán primárně s ohledem na rychlost, efektivnost a správnost. Vzhled a komfort jsou až na druhém místě. V důsledku toho mnohým programům úplně chybí grafické rozhraní (komunikují jen přes příkazovou řádku), jsou neintuitivní a vyžadují nemalou uživatelskou zběhlost. Tyto programy nejsou vhodné pro použití ve školách.

Naštěstí se některé softwarové firmy orientují i na školskou sféru. Mimo jiné jsou si vědomy toho, že je výhodné získávat budoucí uživatele pro své produkty už během školní docházky. Výsledkem jsou programy, které se do výuky zapojit dají, často jako speciální verze běžných profesionálních produktů. Na školy bývá pamatováno i ohledně ceny (která bývá u tohoto druhu software obecně značně vysoká), a to formou multilicencí, studentských, výukových či vzdělávacích licencí apod.

Podstatným faktorem pro školní použitelnost je také dostupnost lokalizované verze programu, příruček, návodů a v neposlední řadě dostatek hotových materiálů.

Jaká je v této oblasti situace u nás? K nejrozšířenějším programům typu CAS patří Derive, či již zmiňovaný Maple a Mathematica (všechny systémy jsou komerční). Jednotlivé programy podrobněji popíšu a ukážu, v čem jsou jejich výhody a nevýhody.

5.1 Derive1

(http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_derive6.html)

Derive byl vyvinut jako nástupce programu muMath firmou Soft Warehouse v Honolulu, v současné době je vlastníkem jeho autorských práv firma Texas Instruments. Poprvé byl vydán v roce 1988.

Aktuální verze je Derive 6.1.

Pro srovnání uvádím ceny z oficiálních stránek výrobce – licence pro vzdělávací použití je v prodeji za $99, licence pro profesionální použití stojí $199.

Jako typický zástupce CAS programů zvládá řešení rovnic a nerovnic a jejich soustav, práci s vektory, maticemi a determinanty, diferenciální a integrální počet. Umožňuje vykreslování 2D a 3D grafů, primitivní vkládání matematického textu. V důsledku integrace do rodiny TI byl rozšířen o modul pro připojení k TI grafickým kalkulátorům, má nástroje pro import i export dat. Výpočetní software, používaný v TI kalkulátorech, pochází právě z Derive.

Tento nástroj je určený zejména pro výuku, jeho možnosti jsou ale dostatečné i pro praktické využití v technických oborech. Není sice tak robustní jako například Maple, ale to je pro středoškolské potřeby spíše výhoda. Zvyšuje to celkovou přehlednost programu. K jeho popularitě rovněž přispívá to, že je méně paměťově náročný, takže je vhodný i pro starší a pomalejší počítače. Nespornou výhodou je také kompletní česká lokalizace tohoto programu a uživatelských příruček.

Díky dobrému poměru cena/výkon je tento software na našich školách celkem běžně dostupný.

1 Podkladem pro tento text byly zdroje [8], [9], [10].

8

http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_derive6.html

5.2 Maple1

(http://www.maplesoft.com/products/maple/)

Maple je systém počítačové algebry vyvinutý během uplynulých dvaceti pěti let (vývoj začal roku 1981) společně na několika západních univerzitách, přičemž největší podíl práce vykonala skupina vědců sdružená pod názvem „Symbolic Computation Group“ na univerzitě ve Waterloo v Kanadě a dále pak na federální technické univerzitě ETH Zürich ve Švýcarsku, kam část této skupiny přešla v roce 1990. V současné době je Maple komercializován a jeho další vývoj řídí kanadská firma Maplesoft Inc., sídlící ve Waterloo ve státě Ontario.

Maple je vydáván v několika edicích lišících se výbavou a samozřejmě i cenou – nejdražší edice pro komerční využití se prodává za $2495, nejlevnější studentská od $125.

Současná verze systému Maple 10 umožňuje provádět symbolické a numerické výpočty a sestrojovat grafy, doplňovat je vlastními texty a vytvářet tak tzv. hypertextové zápisníky (anglicky worksheet).

V Maplu se používá vlastní programovací jazyk podobný Pascalu s mnoha předdefinovanými funkcemi a procedurami. Funkce systému Maple pokrývají mnoho odvětví matematiky od standardního řešení rovnic, lineární algebry a základů diferenciálního a integrálního počtu, až k řešení diferenciálních a diferenčních rovnic, diferenciální geometrii a logice.

Maple umí vykreslovat 2D, 3D grafy, ale také v něm lze tvořit pokročilejší grafiku jako animace, pole vektorů, parametrické křivky nebo dynamické systémy.

Maple je komplexní nástroj, pro potřeby střední školy až zbytečně; jeho používání není úplně snadné.

5.3 Mathematica2

(http://www.wolfram.com/)

Mathematica byla původně navržena jediným člověkem – Stephenem Wolframem. Ten začal spolu s týmem matematiků a programátorů v roce 1986 pracovat na jejím vývoji, první verze byla vydána roku 1988. Nyní je software majetkem firmy Wolfram Research, v Česku je jejím distributorem firma ELKAN, spol. s r.o.

Je to profesionální nástroj s širokou škálou funkcí.

Současná verze Mathematica 5.2 stojí v profesionální edici £1625.23.

Tvůrci programu Mathematica se zaměřili i na střední a vysoké školy. K dispozici jsou například Mathematica Teacher's Edition a Mathematica for The Classroom. Tyto produkty jsou postaveny nad stejným výpočetním jádrem jako Mathematica, jsou však navrženy speciálně pro potřeby výuky. Verze pro učitele umožňuje tvorbu matematických testů a různých prezentací. Cena za jednu licenci je u obou verzí cca 10000 Kč. Nabídka obsahuje i cenově velmi výhodné multilicence.

5.4 TIIA3

(http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_ti_interactive.html)

1 Podkladem pro tento text byly zdroje [11], [12].2 Podkladem pro tento text byly zdroje [13], [14].3 Podkladem pro tento text byl zdroj [17].

9

http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_ti_interactive.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research

http://www.wolfram.com/

http://www.maplesoft.com/products/maple/

Jako čtvrtý uvedu program TIIA pocházející z dílny firmy Texas Instruments (narozdíl od programu Derive je to původní produkt této firmy) .

Tento program je koncipován jako čistě výukový software, vychází z grafických kalkulátorů této firmy a rozšiřuje jejich možnosti. Stejně jako předchozí programy obsahuje základní algebraický systém a numerický modul, kromě toho má například integrovaný textový a tabulkový procesor, nástroje pro komunikaci s kalkulátory, či publikační nástroje.

Jeho výhodou je celková jednoduchost a výrazně nižší cena. V České republice stojí single verze programu 1.215,- Kč, multilicence pro třídu stojí 9.710,- Kč, školní multilicence stojí 14.560,- Kč.

Teoreticky by měl být vhodným kandidátem na uplatnění ve školách. Je tomu skutečně tak? Má šanci konkurovat ostatním programům nebo je v některých ohledech dokonce překonat? Jeho podrobný popis včetně odpovědí na tyto otázky je obsahem dalších kapitol.

10

Stručný průvodce programem TIIA

6. Stručný průvodce programem TIIA

V této kapitole vás provedu základními komponentami TIIA, vysvětlím principy práce s tímto software, upozorním na podstatné vlastnosti a ukáži na konkrétních případech některé postupy.

Do textu jsou vloženy ukázky vytvořené v TIIA, jejichž elektronická verze je součástí CD přiloženého k diplomové práci. (Jsou umístěny v adresáři TIIA\ukazky k navodu.) Tyto ukázky doporučuji prohlížet „elektronicky“, tj. přímo v programu TIIA.

Podrobnější informace k jednotlivým tématům můžete najít v manuálu nebo nápovědě, jež je součástí programu. Mým cílem nebylo tyto zdroje nahradit.

6.1 Charakteristika TIIA1

TIIA je primárně zamýšlen jako výukový software a má několik vlastností, díky nimž by mohl být pro tyto účely vhodný. Jeho tvůrci se snažili zkombinovat vlastnosti, pro něž je jinak nutné použít několik softwarových balíčků. Integruje textový editor (na způsob MS Wordu), grafový software (jako v grafických kalkulátorech), systém počítačové algebry (jako např. Maple, Derive), tabulkový procesor (MS Excel) a internetový prohlížeč (IE). Jednotlivé komponenty by měly být co nejjednodušší a současně dostatečně robustní, aby zvládaly vše z podstatných vlastností, které nabízejí specializované programy.

Při používání TIIA by tedy v ideálním případě odpadla nutnost pracovat s ostatními programy. TIIA je navíc navržen tak, aby byl s programy běžně používanými v prostředí Windows (speciálně MS Office) kompatibilní. Podporuje export a import dokumentů z MS Wordu, vytváření webových stránek (export do html). Soubory z TIIA tabulkového procesoru mohou být otevřeny v MS Excelu apod. V neposlední řadě TIIA splňuje standardy těchto programů i co se vzhledu a ovládání týče.

TIIA klade důraz také na kompatibilitu s ostatními TI zařízeními. Umožňuje získávat a zpracovávat data z těchto zařízení (CBL 2, CBR, grafické kalkulátory). Uživateli nabízí jednoduchý programovací jazyk k implementaci jeho vlastních algoritmů; jeho syntaxe, stejně jako syntaxe příkazů pro matematické operace, opět pochází z grafických kalkulátorů.

Jen přehledově: program zvládá operace s polynomy, řešení rovnic a nerovnic, řešení soustav lineárních rovnic; zobrazování uspořádaných dvojic, interaktivní změny výpočtů a grafů pomocí posuvníků; práci s tabulkou funkčních hodnot. Z oblasti kalkulu například Taylorův polynom, určování limit, derivací, integraci, řešení diferenciálních rovnic. Do oblasti kombinatoriky a statistiky spadají výpočty kombinací, permutací a faktoriálů, vytváření histogramů a koláčových grafů, grafy hustoty pravděpodobnosti, regrese a testování hypotéz. TIIA podporuje práci se seznamy, maticemi a komplexní aritmetiku. Matematická paleta umožňuje vkládání specializovaných matematických symbolů v 2D formě, podobně jako MS Editor rovnic.

1 Technické údaje použité v textu pocházejí ze zdrojů [17], [19].

11


6.2 Popis prostředí TIIAV horní části obrazovky (Obr. 2) je menu obsahující nabídky rozdělené do sedmi kategorií.

Ikony příkazů, u nichž se počítá s častějším používáním, jsou navíc umístěny v paletě pro rychlé spuštění, která se nachází pod menu. To, jakou nabídku daná ikona symbolizuje, je možné zjistit podržením kurzoru nad příslušnou ikonou – po chvíli se objeví popisek. Paletu si můžete přizpůsobit pomocí nabídky [View] – [Toolbars].

Největší část obrazovky zabírá editační plocha pro tvorbu dokumentu.

Obr. 2: Ukázka prostředí TIIA

12


6.3 Způsob práce s TIIAZákladním stavebním kamenem dokumentu TIIA je text, do něhož se vkládají matematické objekty. Objektem se rozumí matematické rámečky, grafy, matice, tabulky funkčních hodnot, seznamy, listy tabulkového editoru, statistické nástroje a posuvníky.

Text se zapisuje jako v běžném textovém editoru, k dispozici jsou základní nástroje pro jeho formátování (druh + velikost + barva písma, zarovnání, odsazení textu).

6.4 Možnosti TIIAV kategorii [File] najdete tradiční nástroje pro vytváření, otevírání a ukládání dokumentů ( [New…], [Open…], [Save], [Save as] ). TIIA používá k ukládání dokumentů vlastní formát (soubory mají příponu tii).

Pokud chcete, můžete své dokumenty vyexportovat do některého ze čtyř nabízených formátů: html pro webové stránky [Html Web Page], rtf [Rich Text Format], [Word compatible] (ve skutečnosti též rtf) a prostý text [Plain text]. Počítejte s tím, že export nepodporuje všechny vlastnosti původního dokumentu – může dojít ke změně formátování; matematické objekty jsou nahrazeny obrázky, což má za následek například ztrátu dynamičnosti.

Následují nabídky pro tisk dokumentu, jeho odeslání poštou, seznam naposled otevřených dokumentů a tlačítko pro ukončení programu [Exit].

Budete-li během psaní dokumentu potřebovat zrušit poslední provedenou akci, najít nebo nahradit slovo v textu nebo například zkopírovat část textu, hledejte v nabídce Úpravy [Edit].

Ani tato nabídka se nijak výrazně neliší od jiných programů. Obsahuje položky pro zrušení předchozí akce, zopakování zrušené akce [Undo], [Redo]. Standardní čtveřici pro manipulaci s textem Vyjmout [Cut], Kopírovat [Copy], Vložit [Paste] a Vymazat [Clear] doplňuje Vybrat vše [Select All]. Nechybí ani Najít [Find] a Nahradit [Replace].

Může se stát, že vám chování programu nebude úplně vyhovovat. Možná je to způsobeno jen nevhodným nastavením.

Základní nastavení matematického režimu najdete pod heslem [Mode Settings] (Obr. 3).

Volí se zde například formát, v němž jsou zobrazena čísla, úhlová míra (stupně nebo radiány), standardní typ grafu či aritmetika (reálná nebo komplexní).

Specializovaná nastavení jednotlivých objektů se provádí v nabídce [Preferences].

Vzhled prostředí můžete ovlivnit nastavením ve [View]. Pomocí [Normal], [Page] se přepíná mezi zobrazením dokumentu přes celou obrazovku a jako stránky s viditelnými okraji. Položka [Toolbars] ovlivňuje, které z nástrojových lišt budou viditelné. Pomocí [Nonprinting characters] se zobrazí/schovají netisknutelné znaky. Přes [Header and Footer] se vstupuje do záhlaví a zápatí dokumentu.

13


Obr. 3: Mode Settings

Na začátku jsem zmínila, že dokument TI může obsahovat řadu matematických objektů, ale zatím jsem neuvedla, jak je do dokumentu vložit. Jednou možností je použití palety pro rychlé spuštění, do níž tvůrci programu umístili většinu objektů, které jsou k dispozici. Druhou možností je vložit objekt přes nabídku [Insert], která obsahuje všechny dostupné objekty.

Jsou to matematický rámeček [Math Box] a graf [Graph] – jsou popsány v samostatných kapitolách – tabulka funkčních hodnot [Table], seznam [List], matice [Matrix], tabulkový editor [Spreadsheet] a statistické nástroje [Stat Calculation Tool …], [Stat Test & Interval Tool …]. Dále je možné vložit posuvník [Slider kontrol] pro zadávání měnitelných parametrů, odkaz [Hyperlink …], zalomení stránky [Page break …] a ukončení matematického oddílu [Math section break] pro ukončení platnosti proměnných. Poslední skupinu tvoří příkazy k snímání obrazovky [Screen Capture], vložení obrázku [Picture ...] a standardních objektů jiných aplikací [Object … ] (Obr. 4).

Obr. 4: Insert Object

14


Objekt, který je umístěn v dokumentu, můžete vybrat pomocí myši – kliknutím jej označíte, dvojkliknutím otevřete v pracovním režimu.

Vlastnosti (vzhled, umístění,…) vložených objektů se dají nastavit přes [Edit] – [Object]. Tutéž nabídku vyvoláte kliknutím pravým tlačítkem myši na daný objekt.

[Open/Activate] také otevře vybraný objekt v pracovním režimu.[Mode] viz [Mode Settings][Inline With Text], [Floating With Text Around], [Floating With Text Top & Bottom] nabízí tři možná umístění objektu. Standardně je nastaveno, že je objekt vložen na řádek jako prvek textu. Objekt ale může být i obtékán, a to buď ze všech stran nebo shora a zdola.

Totéž, co bylo právě popsáno, plus několik přesnějších údajů lze zadat přes nabídku [Format …].

V menu [Format] se definuje formátování neboli vzhled dokumentu – vlastnosti písma [Font ...], odstavce [Paragraph ...], tabelátory [Tabs …] a okraje [Margins …]. Jak je patrné z nabídky, formátovací možnosti tohoto programu jsou ve srovnání se skutečnými textovými editory chudší, pro většinu potřeb ale postačují.

Další možnosti TIIA jsou patrné z nabídky nástrojů [Tools].

Program nabízí kontrolu pravopisu [Spelling …], avšak pro nás tato funkce nemá význam, protože je určena pro angličtinu. Pro anglicky mluvící uživatele by mohla být příjemná přítomnost uživatelského slovníku, kam lze přidávat výrazy, které v originálním slovníku nebyly.

TIIA dále umožňuje připojení k externím zařízením prostřednictvím [TI Device Explorer], [Quick Data Tool] a spuštění vlastního webového prohlížeče [Web Browser]. Tyto nástroje jsou určeny ke spolupráci s internetem, jinými počítači a grafickými kalkulátory a vyžadují, aby byl nainstalován program TI Connect, který je součástí instalačního CD.

Samozřejmostí je přítomnost nápovědy. Je zde k dispozici zabudovaná nápověda [TI InterActive! Help] i nápověda na internetu [TI InterActive! on the Web …], jejíž zavolání otevře TIIA internetový prohlížeč s příslušnými stránkami. Tato nápověda je rozdělena do sedmi tematických kategorií (například diskusní skupiny, on-line podpora, domovská stránka programu TIIA, …). Bohužel ne všechny odkazy jsou funkční, často je odpovědí pouze informace o tom, že požadovanou stránku nebylo možno nalézt.

Přes nabídku [Registration] můžete produkt zaregistrovat, [About TI InterActive!] obsahuje standardní informace o programu, užitečná může být přesná verze programu.

Tím jsem ve stručnosti popsala celý TIIA. Komponenty, které jsem použila při tvorbě ukázkových výukových materiálů a považuji je za perspektivní z hlediska uplatnění ve výuce, popíši podrobněji. Jedná se o matematický rámeček, grafy a posuvník.

Součástí popisu jsou ukázky vytvořené v TIIA – k otevření jejich elektronické verze použijte připravené odkazy.

15


6.5 Vybrané kapitoly z TIIA

6.5.1 Matematický rámečekMatematický rámeček [Math Box] je všestranný nástroj sloužící ke „vkládání matematických úkonů“ do dokumentu. Jeho prostřednictvím lze zapisovat složitější matematické vzorce, definovat proměnné a funkce a provádět výpočty.

Kliknutí na ikonu otevře okno TI Math Palette a do dokumentu se vloží rámeček, do nějž se bude vkládat zapisovaný výsledek. Pokud kliknete na jiné místo v dokumentu, rámeček se deaktivuje. Přitom se vyhodnotí výrazy v rámečku, provedou se potřebné výpočty, a není-li nastaveno jinak, zobrazí se výsledek. Pokud byl rámeček prázdný, zmizí. Editovací režim se opětovně vyvolá dvojklikem na rámeček nebo pravým tlačítkem myši a volbou [Open/Activate], případně z menu [Edit] – [Object] – [Open/Activate].

Matematický rámeček jako „Editor rovnic“Jedna z vlastností matematického rámečku je, že se pomocí něj dají do textu zapsat složitější matematické vzorce a znaky, na které nestačí klávesnice (podobně jako Editor rovnic v MS Word nebo Math v Open Office).

[TI Math Palette] (Obr. 5) obsahuje většinu běžně používaných matematické symbolů a vzorců. Ty jsou rozděleny do skupin, kliknutí na konkrétní skupinu rozbalí její obsah. Alternativní způsob vkládání symbolů je přes nabídku [Tools].

Obr. 5: Symboly z TI Math Palette

Po výběru se v rámečku naznačí struktura vloženého vzorce, mezi jednotlivými částmi se dá snadno přecházet pomocí šipek.

Chceme-li, aby rámeček sloužil pouze k zobrazení zadaného vzorce, je potřeba ručně zakázat vyhodnocování výrazu v rámečku – [Output] : None (no eval). Vstup můžeme nechat automaticky zformátovat – [Input] : Auto Format – nebo zobrazit jako prostý text – [Input] :

16


Plain Text – což je vhodné kupříkladu v situaci, kdy zapisujeme zadání, které mají zjednodušovat až studenti.

Pro lepší estetický dojem je ještě vhodné zasáhnout do detailnějšího nastavení rámečku – [Math Box] – [More] – a text v rámečku například zarovnat s ostatním textem a nastavit mu stejnou barvu písma.[More] : Justify text with baseline[More] : Colors – Foreground...Plánujete-li používat matematické rámečky tímto způsobem, doporučuji uložit si toto nastavení přes [Edit] – [Preferences] – [Math Box].

Ukázka č.1 – elektronická verze ukázky 1 - matematicky ramecek - vyrazy.tii

V této ukázce předvedu práci s matematickým rámečkem jako nástrojem pro zápis složitějších matematických výrazů.

Chci-li zapsat vzorec, na který nestačí znaky z klávesnice, je nutné použít matematický rámeček ([Insert] – [Math Box] nebo první ikona z třetí řady na paletě nástrojů).Znaky, které nejsou na klávesnici, vkládám pomocí matematické palety [TI Math Palette]. Následující vzorec jsem zapsala pomocí symbolů z první a druhé „modré skupiny“.

x

x + y

2yx

° + y

x + y

2x y

°

x + xy2xy

° +

y + xy2xy

°

Pokud mi jde o přesný zápis výrazu, musím nastavit režim vstupu na Plain Text, abych zabránila automatickému formátování a s tím souvisejícímu zjednodušování výrazu.Zatímco u předchozího výrazu by byly změny opravdu jen kosmetické, u následujícího je již rozdíl patrný.

Výraz zadaný v režimu [Input]: Plain Text

1/3

1/2

12

13

: 1/2

1/3

12

23

Tentýž výraz v režimu [Input]: Auto Format 1 3 :

1 2

23

3

2

121

32

Zadaný výraz můžeme nechat „vyhodnotit“. Zjistíme tak hodnotu výrazu a ověříme si, zda jsme jej zadali správně (kontrola odhalí syntaktické chyby, jako jsou chybějící závorky apod.).Často se tím ovšem dostaneme do problémů, protože znaky, které se používají v běžném

17


matematickém zápisu, zde mohou mít jiný význam a bude je potřeba zapsat jinak. Pro příklad nemusíme chodit daleko. Stačí nechat vyhodnotit předchozí výraz.Změním režim výstupu z None (no eval) na Same Line a pro přehlednost zvolím, aby se mezi vstup a výstup vložil znak „ “ ([More] – Insert symbol between Input and Output). TIIA se pokusí výraz vyhodnotit a na tentýž řádek vypíše výsledek. V našem případě program hlásí syntaktickou chybu. Ta je způsobena přítomností neznámého znaku „:“.

1/3

1/2

12

13

: 1/2

1/3

12

23

EVAL ERROR: Syntax

Nahradíme-li jej korektním symbolem pro dělení „/“, je vše v pořádku.1/3

1/2

12

13

/ 1/2

1/3

12

23

33

Bohužel se dá s trochou nadsázky říci, že výrazy je možné zapisovat buď elegantně, nebo správně, ale nikoli oboje současně.

Poznámka 1: Pozor na symboly, u nichž je nakresleno červené kolečko – ty nejsou matematicky platné, nemohou byt vyhodnoceny a slouží čistě jako text.

Poznámka 2: Matematický rámeček nabízí celkem tři režimy vstupu [Input] a pět režimů výstupu [Output].Vstup: Plain Text zapíše vzorec infixově jako prostý text; Hide Input vstup schová; Auto Format jej zobrazí v „normální“ školské notaci.Výstup: None (no eval) – nedochází k vyhodnocení výrazu; Hide – výsledek se spočítá, ale nezobrazí; Same Line – výsledek se zobrazí na stejném řádku jako vzorec; Next Line – výsledek je na dalším řádku (toto nastavení je standardní); Plain Text – výsledek se umístí na další řádek ve formě prostého textu.Kromě toho lze tyto a některé další vlastnosti nastavit v nabídce [More].

V předchozí ukázce jsem několikrát použila tentýž výraz. Abych se vyhnula opakovanému psaní, využila jsem toho, že rámečky i části výrazů v nich lze kopírovat a vkládat.Chci-li zkopírovat část výrazu, označím ji, uložím do schránky, poté umístím kurzor na pozici, kam chci vkládat, a vložím obsah schránky. Analogicky postupuji v případě celého rámečku, jen s tím rozdílem, že nejprve kliknu mimo něj (tím ukončím editační režim), poté kliknu na něj, zkopíruji jej, následně výběr zruším (opět kliknutím mimo) a vložím jej, kam potřebuji.

Napíšu jednoduchý vzorec, v němž se budou vyskytovat kulaté i hranaté závorky, tak, jak je to zvykem ve škole. Tento vzorec zkopíruji, případně celý dokument zavřu a znovu otevřu.

5

2

3x + 3y

Jak je vidět, vzorec je „přezávorkovaný“. TI InterActive! doplňuje kolem některých částí výrazu kulaté závorky a nebere při tom v úvahu, že už tam závorky jsou – hranaté. Pokud bych od začátku netrvala na tom, že požaduji závorky hranaté a využila bych kulatých, které mi nabídl sám program, podobnému efektu bych se vyhnula.Tento rámeček se již chová korektně.

Vzor: 5

2

3x + 3y

Kopie: 5

2

3x + 3y

18


Ještě bych chtěla upozornit na to, že při práci s matematickými rámečky ne vždy funguje operace „Zpět“ [Redo]. Je dobré na to myslet a před „kritickými“ akcemi dokument uložit.

Dále uvedu pro ilustraci několik konstrukcí, které se dají pomocí matematického rámečku zapsat.

f :y = 9x - x®logx® - 3

f :y = x - 1® x - 12

x+22 -x+32 -

x+42 x+15 -

x+25

P = xN; dN: d x d = 1 or d = x

1 00 1

* 1 2 34 5 6

n +lim n®+ 4

n

b

ax ¶x

¶¶x

x®+5x

Na závěr ještě zmíním možnost pracovat přímo se zdrojem vzorce v rámečku, podobně jako je tomu v editoru vzorců, který je součástí Open Office Writeru.

Políčko [TI Math Palette] – [More] : Input text obsahuje zdrojový kód vzorce, avšak v nepříliš čitelné podobě.

Například zdrojový text výrazun +

lim n®+ 4n

vypadá takto:

limit (( (n2+ 4)/(n) ),(n),(+ inf ))

Tento postup jsem využila k opravě složitějších výrazů, které se nechovaly korektně, například pro kontrolu uzávorkování.

Matematický rámeček jako inteligentní kalkulačkaMatematický rámeček zpřístupňuje výpočetní aparát TIIA. V podstatě by se dal přirovnat k velmi chytrému kalkulátoru, který je navíc kromě číselných (numerických) výpočtů schopný provádět i symbolické výpočty a operace.

19


Výsledky výpočtů (návratové hodnoty funkcí) se mohou buď jen zobrazit, nebo uložit do proměnných a ty pak použít v dalších krocích. Pro práci s proměnnými platí principy běžné z programovacích jazyků. Proměnné je možné definovat [Define], přiřadit jim hodnoty [Assign], [Store] a smazat je [Delete]. Tyto příkazy jsou uvedeny v [Math] – [Variables].

Rozsah platnosti proměnných (prostor, kde jsou definované) se dá ukončit vložením [Math Section Break].

Ukázka č.2 – elektronická verze ukázky 2 - matematicky ramecek - promenne.tii

V této ukázce předvedu základy práce s proměnnými.

Pozn. V této i následujících ukázkách budu běžně využívat formátovací možnosti matematického rámečku – hlavně různé druhy zobrazení výstupu (Hide, Same Line). Základní volby najdete pod nabídkou [Output], pro pokročilejší nastavení použijte nabídku [More] – odtud využívám například vložení symbolu mezi vstup a výstup [Insert symbol between input and output] nebo změnu mezery mezi vstupem a výstupem [Output: Margins].

Použiji příkaz pro nalezení řešení (kvadratické) rovnice solve – výsledek se pouze zobrazí. Kořeny jsou spočítány obecně, protože proměnné a, b, c nebyly definovány.

solvea2x + bx + c = 0, x x =

2b - 4ac - b2a

or x = - 2b - 4ac + b

2aPoté přiřadím proměnným a, b, c číselné hodnoty (a,b pomocí assign, c ekvivalentně pomocí store) a výpočet zopakuji. Výsledkem jsou konkrétní hodnoty kořenů (ovšem ve formě logického výrazu).a := 1 b := 3 -4 c solvea

2x + bx + c = 0, x x = 1 or x = -4

Chci-li jednotlivé kořeny dále používat, musím je získat ve formě seznamu. Mám dvě možnosti, jak to udělat. První z nich je použitím jiného příkazu zeros – najít je jako nulové body výrazu.I takto se pouze zobrazí.

zerosa2x + bx + c, x -4, 1

Výsledný seznam proto uložím do proměnné koreny. Není potřeba ji definovat, vytvoří se automaticky.

koreny := zerosa2x + bx + c, x -4, 1

Jinou možností je jejich převedení na seznam pomocí funkce expToList.

koreny := expToListsolvea2x + bx + c = 0, x , x

-4, 1

K jednotlivým prvkům seznamu přistupuji pomocí indexu v hranatých závorkách [].

koreny 1

-4 koreny 2

1

Nyní ukončím tento matematický oddíl [Insert] – [Math section break]. Tím zruším platnost veškerých proměnných a následující výpočet už bude opět čistě symbolický.

zerosa2x + bx + c, x

- 2b - 4ac + b

2a,

2b - 4ac - b2a

20


Jak je patrné již z předchozí ukázky, přes matematický rámeček se dají volat vestavěné matematické funkce, resp. příkazy. Seznam dostupných příkazů se nachází v katalogu [TIIA Command Catalog] (Obr. 6). Kromě názvu je vždy uvedena syntaxe příkazu (parametry, s nimiž se musí volat). Tlačítko [Details] vyvolá příslušnou stránku nápovědy. Zvolený příkaz se vloží do rámečku. Tyto příkazy jsou dostupné také z menu [Math].

Obr. 6: Vestavěné funkce – TI Math Palette, Command Catalog, Help

Ukázka č.3 – elektronická verze ukázky 3 - matematicky ramecek - funkce.tii

V této ukázce předvedu použití matematického rámečku k operacím a výpočtům s využitím proměnných a vestavěných funkcí.

Vše demonstruji na vyšetření lokálních extrémů funkce f x := 3x - x + 5 .Spočítám první derivaci (prostřednictvím funkce pro určení derivace, kterou vložím z [TI Math Palette]) a na dalším řádku ji nechám vypsat (do matematického rámečku zadám jméno proměnné, do níž jsem uložila výsledek derivace).derivacex := ¶

¶x f x

derivacex 3 2x - 1

Určím stacionární body (pomocí funkce k určení nulových bodů výrazu z [TI Math Palette] – [Math] – [Algebra]).

21


st_body := zerosderivacex , x

- 33

, 33

Spočítám druhou derivaci, abych zjistila její znaménka ve stacionárních bodechdruhaderivacex := ¶

¶x derivacex

druhaderivacex 6x

druhaderivacest_body 1-23 druhaderivacest_body 2

23

V bodě - 33

je lokální maximum, v bodě 33

lokální minimum, jiné lokální extrémy funkce

nemá (její derivace je definována na celém R).Pro ilustraci připojím graf funkce f:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Práci s funkcemi a proměnnými využijete také, pokud se rozhodnete v TIIA programovat.

TIIA obsahuje vlastní jednoduchý programovací jazyk umožňující pokročilejším uživatelům psaní vlastních funkcí. Seznam klíčových slov najdete v nabídce [Tools] – [Program logic].

Ukázka č.4 – elektronická verze ukázky 4 - matematicky ramecek - programovani.tii

V této ukázce předvedu použití zabudované programové logiky k definici uživatelských funkcí.

Nadefinuji jednoduchou funkci, která spočítá vzdálenost dvou bodů zadaných postupně pomocí svých x-ových a y-ových souřadnic.

Define jmenoFunkce = Func :: definice :: EndFunc

define vzdalenostx1, y1, x2, y2 = Func :: 2x1 - x2 + 2 y1 - y2 :: EndFunc

Možné použití naší funkce:

22


- číselné výpočty s konkrétními hodnotami

vzdalenost1, 1, 4, 2 10

vzdalenost1, 1, 3, 1 2 vzdalenost1, 1, 1, 1 0 - obecné výpočty s proměnnými, za které postupně dosazujeme hodnoty

vzdalenostx, y, 3, 2 2x - 6x + 2y - 4y + 13 x := 5

vzdalenostx, y, 3, 2 2y - 4y + 8

y := 1

vzdalenostx, y, 3, 2 5

6.5.2 GrafyTI InterActive nabízí pět typů grafů:

........dvě varianty grafu (explicitní) funkce jedné proměnné [Y=], [X-Y Function]

................graf funkce v polárních souřadnicích [Polar]

................graf parametrických křivek [Parametric]

................graf pro vynesení statistických dat [Statistical Plot]

Pokud vkládáme graf pomocí menu, nejprve musíme zvolit jeden z pěti zmíněných typů. Na nástrojové liště je jeden typ grafu zvolen, volbu lze změnit pomocí černé šipky vedle ikony grafu, která rozbalí nabídku grafů.

Po potvrzení výběru se objeví okna [Functions] a [Graph] (Obr. 7) sloužící k zadání funkcí a současně se v dokumentu vytvoří šedý obrys, do nějž budou výsledné grafy umístěny. Do jednoho obrázku je možné vložit více grafů.

Jak je patrné z obrázku, v okně [Functions] se do rámečků zadávají funkční předpisy jednotlivých funkcí a nastavuje se zde barva a styl čar grafu. U každého předpisu se dá zaškrtnutím zvolit, jestli se má v grafu zobrazit nebo ne.

K zápisu funkcí se používá infixová notace, přičemž některé symboly není nutné psát. Např. symbol pro násobení, některé závorky – výsledek je tak bližší běžnému matematickému zápisu než počítačovému. Pro pohodlnější zápis se dá využít paleta symbolů [Symbol Palette] (Obr. 8), která kromě zjednodušeného vkládání mocnin a odmocnin nabízí kompletní seznam zabudovaných příkazů (funkcí).

V definici funkcí je možné použít funkce z předchozích grafových předpisů, proměnné a funkce definované v matematických rámečcích a pomocí posuvníků. K možnostem, které z toho plynou, se ještě vrátím v kapitole, kde se věnuji posuvníku.

23


Obr. 7: Okna Graph, Functions

Obr. 8: Zadání funkčního předpisu pomocí Symbol Palette a Command Catalogu

24


Ukázka č.5 – elektronická verze ukázky 5 - typy grafu.tii

V této ukázce představím základní typy grafů, které program nabízí.

1. Graf Y=V menu nebo nástrojové liště vyberu první typ. Do okna [Functions] zadám funkce y1x = expx a y2

x = x + 1 . První funkci ponechám beze změny, u druhé nastavím styl čáry na čárkovaný. Abych lépe prozkoumala chování funkcí v okolí počátku soustavy souřadnic, pomocí tlačítka [Zoom] přiblížím graf. Poté připravený graf vložím do dokumentu (první ikona na paletě).

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

2. Graf X-YTento typ je prakticky totožný s předchozím, pouze umožňuje použít jakékoli platné jméno funkce, nejen y1

x , y2

x jako tomu bylo u předchozího typu.

(přítomnost obou typů je čistě technická, kvůli kompatibilitě s grafickými kalkulátory, kde je většinou použit první typ)Zadám funkce f x = 2x - 1 a gx = 3x + 1 .Kromě úprav použitých u předchozího grafu navíc odstraním mřížku [Grid] a zobrazím šipky u jednotlivých os [Axes]. Dokument navíc doplním o tabulku funkčních hodnot obou funkcí. Změním počáteční hodnotu ze standardní 0 na -5 a velikost tabulky upravím myší tak, aby byly vidět všechny tři sloupce a požadovaný počet řádků.

25


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5x f(x)

(x-1)^2g(x)

x^3 + 1-5.-4.-3.-2.-1.0.1.2.3.4.5.6.7.8.

36 -12425 -6316 -269 -74 01 10 21 94 289 65

16 12625 21736 34449 513

3. „Parametrický graf“ (graf křivek zadaných parametrickými rovnicemi)Jako ukázku parametrického grafu jsem nechala zobrazit tyto křivky:k1: x1

t = sint , y1t = cost , tR

k2: x2t = sint

cost

, y2

t = sint

, tR

k1 představuje kružnici se středem [0; 0] a poloměrem 1.

-1 1

-1

1

4. Graf v polárních souřadnicíchOpět zadám dvě funkcer1(ˆ ) = ˆr2(ˆ ) = 4*sin(ˆ )

Oba grafy jsou vykresleny pro ˆ <0; 2> . Aby se rozměry a rozvržení obrázku přizpůsobily zobrazeným grafům, použila jsem volbu [Zoom Fit], můžete vyzkoušet volbu [Zoom Trigonometry], která jako jednotky na ose x použije radiány.

26


-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

5. Graf pro statistická data (seznam uspořádaných dvojic)Do statistického grafu vynesu několik údajů. Údaje se musí zadávat formou seznamu x-ových a y-ových souřadnic, seznamy musí být stejně dlouhé. Zadám tedy{2, 4, 6, 8, -3, -3}{4, 4, 3, 6, -2, 1}a pro zajímavost doplním do obrázku graf funkce y(x) = x.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

DodatekUž jsem naznačila, že grafy lze různě kombinovat. Do „běžných“ (tj. Y=, X-Y) grafů v kartézské soustavě souřadnic lze vynést body pomocí statistického grafu, do grafu parametrických rovnic a statistického grafu je možné vložit navíc „běžný“ graf.

Jak už jsem zmiňovala, v okně [Graph] se zobrazují funkce zadané v [Functions]. Tím ale jeho možnosti nekončí. Má v sobě nástroje pro:

- trasování a animace grafů- výpočty (minimum, maximum, nulové body, průsečíky grafů, hodnoty derivace, určitý

integrál)- kreslení obrazců- sestrojení tečny grafu- vytvoření tabulky funkčních hodnot

27


Ukázka č.6 – elektronická verze ukázky 6 - prace s grafy.tii

V této ukázce předvedu další možnosti nabízené při práci s grafy – nástroje okna [Graph].

Začnu příkladem jednoduché funkce y = x2 + 2x -3. Pomocí třetí ikony zleva dole na liště s nástroji vložím její graf – vyberu první nabízený typ Y=. Funkční předpis zapíšu přímo do okna [Functions]. V okně [Graph] se mi zobrazí příslušná parabola.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Nyní budu postupně procházet nástroje okna [Graph].[Save To Document] uloží výsledek do dokumentu, neboli zaktualizuje graf v dokumentu a zavře okno [Graph] a ostatní související okna. Pokud je v dokumentu místo grafu jen šedý rámeček, použijte právě tuto ikonu. Okno [Graf] se znova vyvolá dvojkliknutím na graf v dokumentu.[Animate Graph] vykreslí grafy zadaných funkcí. Postupuje při tom zleva doprava a kreslí všechny funkce současně.[Symbol Palette] vám poskytne symboly pro zápis složitějších funkčních předpisů.

Úkol: Zkuste do téhož obrázku přidat další graf. Zvolte složitější funkci, např. x -5 , a zapište ji pomocí palety symbolů. Spusťte animaci grafu.

28


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Možnosti zobrazení grafu (rozměry a jednotky)

Okno s grafem je standardně nastaveno tak, ze rozsah na obou osách je od -10 do 10, krok je roven 1. Toto nastavení samozřejmě nemusí vždy vyhovovat a pro takové případy je zde následujících sedm ikon.

[Zoom In] udělá detail grafu, [Zoom Out] naopak oddálí graf, [Zoom Box] zobrazí zvolený výřez.[Zoom Standard] zobrazí standardní jednotky, [Zoom Trigonometry] radiány.[Zoom Statistics] nastaví výřez tak, aby v něm byla vidět právě všechna statistická data.[Zoom Fit] nastaví měřítko tak, aby byly zobrazeny všechny funkční hodnoty příslušející aktuálně zobrazenému úseku osy x.Měřítko se dá navíc ručně nastavit pomocí políčka u každé z „poloos“. Takto vypadá předchozí graf po aplikaci [Zoom In] a [Zoom Fit].

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

29


Pomocí další ikony [Label] doplníme do grafu popisky funkcí. Bohužel zde není k dispozici paleta symbolů, popis může být pouze textový, což obzvlášť u druhé funkce vede k neelegantnímu a nenázornému zápisu funkčního předpisu. U popisku je k dispozici základní formátování (font, barva písma, ...).

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10x^2 + 2x - 3

sqrt((abs(x)-5))

Numerické výpočty

Prvních sedm ikon v druhé řadě slouží k numerickým (číselným) výpočtům významných charakteristik zadaných funkcí. Záměrně zdůrazňuji, že se jedna o numerické, nikoli symbolické výpočty, neboť to s sebou přináší určitá omezení. U veškerých výpočtů je potřeba vymezit interval, pro nějž se mají provést. Výsledky tedy nejsou „globální“ a je potřeba je správně interpretovat.Pozn. interval pro výpočty se nemusí shodovat se zobrazeným intervalem!

Příkaz [Calculate Zero] spočítá a zobrazí nulové body funkce (pokud v zadaném intervalu existují). Je-li jich víc, najde se ten, který je nejblíže „odhadu“ – bodu zadanému do [Guess]. Pro nalezení dalších bodů je potřeba změnit hodnotu [Guess].Příkazy [Calculate Minumum], [Calculate Maximum] naleznou minimum a maximum funkce na zadaném intervalu.[Calculate Intersection] najde průsečíky grafů.Pomocí [Calculate Numerical Derivative] spočítáme hodnotu derivace funkce v zadaném bodě.[Calculate Numerical Integral] spočítá určitý integrál funkce pro zadané meze.[Calculate Intersection Region] spočítá obsah plochy mezi dvěma grafy. Jedna z funkcí tvoří horní hranici, druhá dolní – pořadí lze samozřejmě určit. Plocha se automaticky vybarví, vybarvení se dá odstranit překreslením grafu.

Výsledky je možné vepsat do grafu zaškrtnutím [Show label]. Takto vytvořené popisky lze klasickým způsobem editovat a přesunovat.

30


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10Význaèné body

y = x^2 + 2x - 3y = x/3 + 5

nulovy bod: (1., 0.)nulovy bod: (-3., 0.)

minimum: (-1., -4.)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10Hodnoty derivace

x^2 + 2x - 3

dy/dx (-1) = 0.

dy/dx (1) = 4.

dy/dx (-4) = -6.

-6.28319 -3.14159 3.14159 6.28319

-2

-1

1

2Integrál

integral = 0.y = sin x

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10Obsah plochy mezi grafy

x^2 + 2x - 3

x + 5obsah plochy: 31.5951

Další tvary a objekty

Prostřednictvím posledních šesti ikon lze do grafu zakreslit nejrůznější objekty. Pokud je k jejich určení potřeba zadat nějaké body, lze to provést dvěma způsoby: buď číselně pomocí x-ové a y-ové souřadnice nebo přesunutím (přetažením) nabízeného bodu přímo v obrázku.[Line], [Line Segment] nakreslí přímku/úsečku. Standardně se zadává dvěma body. Další možnosti jsou svislá, vodorovná přímka, přímka zadaná bodem a směrnicí.[Tangent] sestrojí tečnu grafu v bodě dotyku.[Circle] vykreslí kružnici určenou středem a poloměrem.[Rectangle] slouží k nakreslení pravoúhelníku, zadaného levým horním a pravým dolním vrcholem.Pomocí tužky [Pencil] se dá do obrázku libovolně psát, psaní myší je ale nepříliš komfortní a nepřesné.

31


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x^2 + 2x - 3

Úkol: Předcházející obrázek demonstruje výše popsané nástroje. Zkuste útvary pozměnit, zadat jinou barvu či styl čar, jiné rozměry (přes souřadnice i přetažením bodu v obrázku).Konkrétní objekt vyberete kliknutím, do jeho editačního módu se dostanete dvojkliknutím.

Tlačítka

Zbývá nám vyzkoušet barevná tlačítka přímo nad grafem. [Functions] otevře známé okno s funkčními předpisy zobrazených funkcí – vyzkoušejte.[Trace] slouží k „trasování“ grafu neboli k jeho postupnému procházení.[Format] otevře okno s detailním nastavením vzhledu a chování grafu. Za zmínku stojí nastavení os grafu [Axes] (např. šipek), popisu grafu, zobrazení či skrytí mřížky [Grid]. (Tutéž nabídku vyvolá dvojklik na okno s grafem.)[Table] vytvoří tabulku funkčních hodnot zadaných funkcí. Hodnoty závislé proměnné se buď mohou vygenerovat automaticky (určí se počáteční hodnota a krok) nebo se zadávají explicitně. Vytvořená tabulka se dá vložit do dokumentu. V dokumentu je možné změnit její rozměry a tím určit, co se má zobrazit.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

y1 = x^2 + 2x - 3

y2 = x + 5

32


První tabulka je vytvořena automaticky (start 0, step 1). Funkci y1(x) jsem schovala už v návrhovém zobrazení tabulky úplným zúžením jejího sloupce. Hodnoty „x“ v druhé tabulce jsou zadány ručně [Table Setup ...] : [Independent Mode] : Ask. Obě tabulky jsou ještě po uložení do dokumentu zkráceny na vyhovující počet řádků.

Tím jsme probrali veškerou nabídku ikon v okně [Graph], menu nepřináší prakticky nic nového, za zmínku stojí snad jen možnost uložit graf jako obrázek [File] – [Save Image ...].

6.5.3 Posuvník

Velmi užitečnou komponentou TIIA je posuvník [Slider control] umožňující snadnou změnu hodnoty proměnné. Tímto způsobem se dají vytvářet dynamické výpočty a grafy.

Ukázka č.7 – elektronická verze ukázky 7 - posuvnik.tii

V této ukázce představím komponentu zvanou posuvník a její využití.

Pomocí posuvníku [Slider control] je možné snadno měnit hodnotu proměnné, která je s ním svázána. Vzorce, výpočty a grafy, v nichž tato proměnná figuruje, se při tom automaticky aktualizují.

Příklad 1: Lineární funkce – rovnice přímky v směrnicovém tvaruFunkční předpis zapíšu v obecném tvaru s koeficienty k, q, jejichž hodnoty budu určovat posuvníky. Při vkládání posuvníku musím zadat jména proměnných (k, q), minimální a maximální hodnotu, počáteční hodnotu a krok, tj.o kolik se proměnná mění (zvlášť pro stisknutí postranních šipek a pro kliknutí na posuvník mezi šipky a „jezdce“). Ve formátu se ještě dá ovlivnit, jestli posuvník bude svislý nebo vodorovný, a jeho rozměry.Aktuální hodnota posuvníku se bohužel zobrazuje pouze při aktivaci, takže je vhodné doplnit jej matematickým rámečkem s příslušnou proměnnou. Použila jsem režim výstupu [Same Line], mezi vstup a výstup jsem vložila znak = a zmenšila jsem odsazení výstupu.Dále jsem přidala rámeček s konkrétním funkčním předpisem pro aktuální hodnoty k, q a nechala nakreslit graf funkce. Použila jsem typ grafu X-Y a jako funkční předpis zadala přímo f(x), který už jsem měla definovaný.Výsledkem je dynamický graf, který velice názorně předvádí význam obou koeficientů.f x := kx + q

k 2

q 3

f x 2x + 3

33


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Příklad 2: Kvadratická funkce – graf a významné bodyV další ukázce předvedu, že se posuvníky nemusí použít jen v souvislosti s grafy (i když tam je jejich smysl asi největší). Podíváme se na kvadratickou funkci a ukážeme souvislost mezi hodnotami koeficientů a, b, c, grafem, diskriminantem a nulovými body funkce.Funkční předpis zadám opět obecně, koeficienty a, b, c určím pomocí posuvníků.yx := a 2x + bx + c

a -.3

b 1.2 c 4.5

yx -.3 2x + 1.2x + 4.5Vyjádřím diskriminant a kořeny příslušné kvadratické rovnice.D := 2b - 4ac 6.84

x1 := -b + D2a

-2.3589 x2 := -b - D2a

6.3589

A vypočítám souřadnice vrcholu paraboly.

m := -b2a

2. n := -2b

4a + c 5.7

Nakonec vše znázorním graficky. Ke standardnímu X-Y grafu funkce přidám pomocí statistického grafu [Stat Plots] vrchol a oba nulové body.Teď už jen měním hodnoty parametrů a sleduji, jak se funkce chová.

34


-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Nejsou zde vyjmenované všechny možnosti TIIA, zaměřila jsem se pouze na vlastnosti a schopnosti, které jsou podle mě pro výuku na středních školách nejzajímavější.

35

TIIA a výuka

7. TIIA a výuka1

Obecně je řada možností, jak zapojit software do výuky, resp. vzdělávání obecně. Záleží na mnoha okolnostech, přičemž podstatná je vhodnost programu ke konkrétnímu tématu a zvolenému způsobu práce.

V této a následující kapitole shrnu závěry, k nimž jsem došla při práci s TIIA, a popíšu, jak a k čemu je TIIA použitelný. Nejprve se podívám na způsoby práce s TIIA, poté na témata, pro něž je vhodný.

7.1 TIIA a studentiNejprve se zaměřím na to, jak by s programem mohli pracovat studenti.

Začnu tím, že zmíním „ryze počítačovou“ výuku matematiky. Tento způsob jsem už dříve zavrhla jako, podle mého názoru, nevhodný. Ve výčtu by ale chybět neměl, z hlediska samotného programu se jeví jako přirozený a má své zastánce. Na toto téma bylo vytvořeny materiály například v rámci vzdělávacího programu T32 (Teachers Teaching with Technology). Skupina šesti učitelů matematiky z Norska, Nizozemí, Belgie, Velké Británie, Itálie a Rakouska vypracovala podklady pro výuku matematiky čistě prostřednictvím tohoto software. Tvůrci předpokládají, že studenti budou mít k dispozici učebnice vytvořené v TIIA, s nimiž budou pracovat, přičemž své sešity budou psát také elektronicky v TIIA. V rámci výuky jim budou předkládány nejrůznější úlohy, při jejichž řešení (samozřejmě s využitím TIIA) budou objevovat zákonitosti a souvislosti a získávat tak matematické vědomosti a dovednosti. Jedná se jak o úlohy čistě matematické, tak o aplikační úlohy převážně s fyzikální tématikou.

Na těchto materiálech je ovšem patrná odlišná koncepce školství (obsah učiva, integrace předmětů aj.) a v našich podmínkách podle mého názoru nejsou aplikovatelné. Kromě odlišné filozofie by toto použití v praxi patrně narazilo i na problémy materiálního rázu. Vyžaduje například, aby se hodiny matematiky odehrávaly v kompletně vybavené počítačové učebně.

K „umírněnějším“ formám použití ze strany studentů patří zapojení do přípravy na vyučování – k samostudiu, pro vypracovávání úloh a protokolů o řešení, ke kontrole správnosti spočítaných příkladů a nakreslených grafů.

Stejně tak má význam použít jej ke kontrole výsledků při práci ve škole; učitel má řešení buď připravená nebo je schopný je na místě jednoduše vyrobit.

Používat TIIA jako kalkulačku (ať doma či ve škole) doporučuji jedině v případě náročných výpočtů v partiích vyšší matematiky, kde se tím dá výpočet zkrátit. Díky tomu propočítají studenti více příkladů. Mám na mysli například aplikační úlohy v diferenciálním a integrálním počtu, kde je „výsledek“ derivace či integrálu pouze mezikrok; derivování během vyšetřování průběhu funkce; řešení obecných rovnic vyššího stupně apod.

1 Při tvorbě výukových materiálů jsem vycházela ze zdrojů [1] – [3].2 Podrobnější informace můžete najít v [17].

36

TIIA a výuka

Ukázkové materiály (viz příloha A)

Název, pod nímž jsou materiály uvedeny v přílohách.

Soubory či adresáře, v nichž jsou elektronické verze materiálů uloženy na CD.

Odkazy na soubory jsou zvýrazněny.A. Úkoly řešitelné pomocí TIIA A - ukoly resitelne pomoci TIIAA.1 Zadání 1 - zadani.tiiA.2 Úkol č.1 2 - ukol 1.tiiA.3 Úkol č.2 3 - ukol 2.tii

7.2 TIIA a učiteléVětší význam má podle mého názoru využití ze strany učitele.

V programu TIIA může učitel připravovat písemné práce, vytvářet prezentace, které poté bude využívat v hodině, psát přehledy probírané látky. Dají se v něm vytvářet rozsáhlejší elektronické učebnice, vybavené dynamickými (interaktivními) prvky.

Výhoda elektronických materiálů je nesporná. Dají se snadno měnit a opravovat, kdykoliv se dá vytisknout libovolný počet kopií. Z takto uložených příkladů se jednoduše generují písemné práce a testy, včetně různých variant, obměn zadání, změn pořadí příkladů,… Můžeme vytvářet listy s příklady pro studenty k opakování a domácímu procvičování.

Tímto způsobem se dá TIIA použít prakticky pro libovolné téma učebního plánu. U většiny probírané látky (výjimkou je např. planimetrie a stereometrie, naopak velmi vhodný je diferenciální a integrální počet a obecně témata související s funkcemi a jejich grafy) je navíc velmi snadné doplnit text o výsledky, případně grafy a umožnit tak studentům kontrolu správnosti jejich výpočtů.

Speciálně zde lze využít toho, že TIIA umí zjednodušovat výrazy, řešit rovnice a nerovnice, kreslit grafy funkcí, počítat základní kombinatorické veličiny, určovat limity, derivovat a integrovat.

Ukázkové materiály (viz příloha B)



Odkazy na soubory jsou zvýrazněny.B. Úkoly vytvořené v TIIA B - ukoly vytvorene v TIIAB.1 Písemné práce 1 – pisemne praceB.1.a Funkce – písemka č.1 a - funkce – pisemka1.tiiB.1.b Funkce – písemka č.2 b - funkce – pisemka2.tiiB.2 Příklady s řešením 2 – priklady s resenimB.2.a Lineární rovnice a nerovnice – zadání, výsledky

a - linearni rovnice a nerovnice - zadani, vysledky.tii

B.2.b Průběh funkce – zadání příkladů b - prubeh funkce - zadani prikladu.tiiB.2.c Průběh funkce – materiály k řešení c - prubeh funkce - materialy k reseni.tii

37

TIIA a výuka

Výše zmiňované vlastnosti plus podpora základního formátování textu (odstavce, odsazení, barva písma…) dělají z TIIA vhodný nástroj také pro tvorbu matematických textů (tím se liší od programu Derive i od některých jiných CAS systémů). Takovéto učebnice a studijní materiály mohou navíc obsahovat dynamické ukázky (výpočty, grafy) pomáhající lépe pochopit význam parametrů ve vzorcích a funkčních předpisech, objasnit význam definic. Dá se pomocí nich provádět diskuze, mohou nahradit opakované kreslení grafů pro různé hodnoty parametru apod.

Ukázkové materiály (viz přílohy C, D)



Odkazy na soubory jsou zvýrazněny.C. Statické učební texty C - staticke ucebni textyC.1 Lineární funkce 1 - linearni funkce.tiiC.2 Asymptoty grafu funkce 2 - asymptoty grafu funkce.tiiD. Dynamické učební texty D - dynamicke ucebni textyD.1 Průběh funkce 1 - prubeh funkce.tii

Podobně je možné připravit kratší prezentace zaměřené na objasnění konkrétního problému a těmito prezentacemi doplnit a oživit výklad. Mám na mysli problémy typu přednesení a vysvětlení definice, předvedení řešeného příkladu včetně diskuze, postupné odvození nějakého poznatku, aj. S vhodně připravenými materiály učitel ušetří čas, který může v hodině použít jinak. Kromě toho je možné předvést věci, které by jinak byly obtížně realizovatelné, kupříkladu ukázat vliv parametrů na průběh funkce. Těžiště úspěchu je v tvořivé práci s materiály a jejich vhodné kombinaci s ostatními formami výuky. Důležitá je schopnost učitele reagovat na aktuální situaci ve třídě a přizpůsobit jí způsob výkladu.

Toto použití TIIA se mi jeví jako nejvhodnější, neboť při něm odpadají problémy se zdlouhavějším zápisem matematických textů, „rušivým“ přepočítáváním většího množství vzorců a překreslováním grafů, ale mohou zde plně vyniknout dynamické možnosti TIIA, matematická sazba a snadná tvorba grafů.

Ukázkové materiály (viz příloha E)



Odkazy na soubory jsou zvýrazněny.E. Prezentace do hodin matematiky E – prezentaceE.1 Elementární funkce 1 - elementarni funkceE.1.a Lineární funkce a - linearni funkce.tiiE.1.b Kvadratická funkce b - kvadraticka funkce.tiiE.1.c Nepřímá úměrnost c - neprima umernost.tiiE.1.d Lineární lomená funkce d - linearni lomena funkce.tiiE.1.e Mocninné funkce e - mocninne funkce.tiiE.1.f Inverzní funkce f - inverzni funkce.tii

38

TIIA a výuka

E.1.g Exponenciální funkce a logaritmus g - exponencialni funkce a logaritmus.tiiE.1.h Goniometrické funkce h - goniometricke funkce.tiiE.2 Diferenciální počet 2 - diferencialni pocetE.2.a Limita funkce a - limita funkce.tiiE.2.b Jednostranná limita funkce b - jednostranna limita funkce.tiiE.2.c Nevlastní limita funkce c - nevlastni limita funkce.tiiE.2.d Limita funkce v nevlastním bodě d - limita funkce v nevlastnim bode.tiiE.2.e Geometricky význam derivace e - geometricky vyznam derivace.tii

7.3 TIIA a jednotlivá témata středoškolské matematikyJiž v předchozím textu jsem zhruba nastínila oblasti, pro které je TIIA vhodný. V této kapitole projdu témata spadající do učebního plánu středoškolské matematiky systematičtěji. Zamyslím se nad možností zapojení TIIA do jejich výuky a uvedu přesněji, pro co a v jakém rozsahu by se, podle mého soudu, dal TIIA použít. Pokud to má smysl, uvedu vhodnou komponentu či oblast příkazů související s tématem. Pořadí témat přibližně odpovídá učebním plánům čtyřletého gymnázia.

7.3.1 AritmetikaDělitelnost, absolutní hodnota, mocniny a odmocniny.

TIIA[Math Box] – [Math] – [Number][Math Box] – [Math] – [Test] – [IsPrime]

7.3.2 VýrokyZápis složených výroků a testování jejich pravdivosti.

TIIA[Math Box] – [Math] – [Test]

7.3.3 AlgebraAlgebraické výrazy: základní operace s mnohočleny, rozklad mnohočlenů, vyjádření neznámé ze vzorce, algebraické rovnice a nerovnice: lineární, kvadratické, s absolutní hodnotou; s parametry. Podpora algebry v TIIA je silná, ale její uplatnění mi přijde větší v praxi a vyšší matematice (řešení obecných rovnic vyšších řádů apod.) než ve výuce základů algebry.

TIIA[Math Box] – [Math] – [Algebra]

7.3.4 FunkceZapojení do oblasti výuky funkcí a jejich vlastností není potřeba příliš obhajovat – program nabízí všechny potřebné elementární funkce (lineární a kvadratická funkce, funkce s absolutní hodnotou, lineární lomená funkce, mocninné funkce, exponenciální a logaritmická funkce, goniometrické funkce), umí s nimi pracovat – hledat nulové body, kreslit grafy (zobrazit

39

TIIA a výuka

několik grafů v jednom obrázku). Kromě toho je zde zajímavá možnost funkce definované po částech (piecewise function). U definice funkce pomocí relace je výhodné použít „statistický graf“ pro zobrazení uspořádaných dvojic.

TIIA[Graph][Math Box] – [Math]

7.3.5 GoniometrieU goniometrie platí prakticky totéž co u funkcí – TIIA nabízí matematický aparát pro výpočty plus grafy pro studium jednotlivých goniometrických funkcí a jejich vlastností.

TIIA[Graph][Math Box] – [Math] – [Trigonometry]

7.3.6 Komplexní číslaTIIA umožňuje pracovat v komplexní aritmetice (algebraický tvar komplexního čísla, umocňování komplexních čísel, řešení rovnic v komplexním oboru). Gaussova rovina zde sice k dispozici není, ale lze ji nasimulovat pomocí kartézské soustavy souřadnic ve statistickém grafu.

TIIA[Graph][Math Box] – [Math] – [Complex]

7.3.7 GeometrieTIIA je výpočetní, nikoli geometrický software. Částečně jej lze využít v analytické geometrii v rovině, ale i zde je velkou překážkou to, že TIIA umí pracovat pouze s explicitně vyjádřenými funkcemi a neumí zakreslit řešení nerovnic. Dají se v něm zobrazit body a vektory a znázornit například základy vektorové algebry, parametrické rovnice přímky či rovnice paraboly.

TIIA[Graph][Math Box] – [Math] – [Algebra]

Pro ostatní geometrická témata jsou vhodnější jiné programy:Planimetrie, konstrukční úlohy (Cabri Geometry)Stereometrie (CAD)Analytická geometrie (Cabri Geometry, Derive)

7.3.8 Ostatní druhy rovnic a nerovnicPlatí již řečené, program umí řešit kromě algebraických rovnic i iracionální, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice a rovnice s parametrem. Dá se použít ke znázornění grafického řešení.

40

TIIA a výuka

TIIA[Math Box] – [Math] + vestavěné funkce[Graph]

7.3.9 Základy lineární algebryOperace s maticemi a výpočty determinantu jsou prakticky použitelné, ale ne příliš názorné.

TIIA[Matrix][Math Box] – [Math] – [Matrix]

7.3.10 KombinatorikaDají se použít výpočty kombinací, permutací (tj. permutací a variací) a faktoriálů.

TIIA[Math Box] – [Math] – [Probability]

7.3.11 StatistikaTIIA má v sobě mohutný aparát pro statistické výpočty (testování hypotéz, vytváření histogramů, koláčových grafů, lineární regrese aj.), pro rozsah učiva statistiky na našich školách je však zbytečný. Mohl by být alternativou k MS Excelu, který se na některých školách používá.

TIIA[Stat Calculation Tool][Stat Tests and Interval Tool][Math Box] – [Statistics]

7.3.12 Diferenciální a integrální početVýpočet limit, derivací, primitivních funkcí i určitých integrálů. Průběh funkce, aplikační úlohy. Samozřejmostí jsou grafy funkcí.

TIIA[Graph][Math Box] – [Math Box] – [Math] – [Calculus]

7.3.13 ShrnutíVýpočetní aparát programu TIIA je rozsáhlý, avšak názorný mi přijde teprve v kombinaci s grafy a posuvníky – velmi vhodné mi proto přijde zapojení do výuky funkcí a diferenciálního počtu. Tato témata jsou ostatně obsahem výukových materiálů, které jsem vypracovala (viz přílohy C, D a E).

41

Chyby a nedostatky TIIA

8. Chyby a nedostatky TIIA

V průběhu práce s tímto programem jsem se setkávala i s vlastnostmi, které nebyly vyřešeny právě ideálně. Uživatel potřebuje při jeho používání notnou dávku trpělivosti a objevitelského ducha, protože řada věcí nefunguje nebo funguje jinak, než by bylo přirozené. Technické problémy dokazují, že software je ještě v raném stadiu svého vývoje (pracovala jsem s TIIA, verze 1.3) a dá se předpokládat, že v následujících verzích budou tyto chyby odstraněny. Jinou skupinu problémů způsobuje pravděpodobně nedostatečná zpětná vazba od uživatelů z řad učitelů a studentů. I u těchto nedostatků předpokládám postupné odstranění.

To, co podle mého odstraněno nebude a bude představovat velkou překážku uplatnění programu na našich školách, vyplývá z jeho nepřizpůsobení českému trhu a specifickým potřebám české středoškolské matematiky a jeho silné orientace na americké matematické standardy.

8.1 ChybyVelice často jsem byla nucena použít zobrazení netisknutelných znaků, které mi umožňovalo kontrolovat přesnou pozici kurzoru, konce řádků, mezery. Jen tak jsem byla schopná vyřešit některé problémy s umístěním textu a matematických rámečků nad nebo pod řádkem. Program také čas od času sám zvolí polohu textu pod řádkem [Format] – [Font] – [Subscript], čímž způsobí „vyčnívání“ matematických rámečků.

Některé matematické rámečky nezobrazují správně hodnotu proměnné měněné posuvníkem.

Další problém jsem objevila při umístění více matematických rámečků na jeden řádek. Přiřadím-li v prvním z nich do proměnné hodnotu, nelze se spolehnout na to, že další rámečky toto přiřazení „zaregistrují“. Pokud si chcete být jistí, dejte rámečky, které tuto proměnnou používají, až na další řádek.

Občas je nutné místo myši použít klávesnici. Například ne vždy nefunguje „scrollování“ pomocí kolečka myši – přestože to vypadá, že listujete dokumentem, zobrazuje se dokola pořád táž stránka.

8.2 Nestandardní chováníAč se to může zdát zvláštní, program používá jiný font pro „černé“ symboly matematické palety a jiný pro „modré“ a „zelené“. Výraz x2 tak vypadá rozdílně v závislosti na tom, jak byl vytvořen.

Angloamerický zvyk psát desetinné tečky je navíc rozšířen o to, že nula před desetinnou tečkou se vůbec nepíše. Bohužel to není věcí nastavení, tudíž to nejde změnit.

Funkce signum neodpovídá předpisu, tak jak jej známe: sign(0) = ±1 a ne sign(0) = 0.

8.3 Nedostatečná či chybějící funkcionalitaFormátování textu – TIIA sám sebe charakterizuje jako „standardní textový editor“. To znamená, že nemá bohatou paletou formátovacích funkcí, ale mezi matematickým software patří k těm lepším. Přesto bych ocenila například sloupce, rámečky kolem textu či odrážky.

42


Nabídka symbolů matematické palety je značně užší než u MS Editoru rovnic i editoru vzorců v Open Office. Za vážný nedostatek považuji nepřítomnost symbolů pro kombinační čísla, logické spojky a pro negaci (dají se zapsat pouze slovně). Pro didaktické využití je nedostatečná podpora symbolů pro intervaly. Celkově je patrné, že se americké konvence liší od českých – program používá odlišnou symboliku.

Nepříjemné, i když nijak extrémně závažné, je, že nejde zvolit, zda se zlomek vykreslí s vodorovnou nebo šikmou zlomkovou čarou.

Při manipulaci s matematickými rámečky bych ocenila možnost vybrat několik rámečků současně a nastavit jim společně vlastnosti. Velmi by to zrychlilo práci.

Během tvorby výukových materiálů, v nichž jsem se soustředila hlavně na využití programu v oblasti funkcí a grafů, jsem čas od času narazila na to, že program neuměl to, co jsem potřebovala.

Popisky [Label] by rozhodně měly nabízet použití matematické palety, například popis y=sqrt(abs(x^2-2))) není ideálním popisem grafu funkce. Tento nedostatek mi přijde o to paradoxnější, že k zapsání funkčního předpisu, který se na rozdíl od popisku nikde nezobrazuje, matematická paleta k dispozici je. Rovněž by bylo užitečné propojení popisku s příslušným bodem či křivkou – mohl by reagovat na změny, nezůstávat na jednom místě, schovat se, schová-li se graf, apod.

Pro zápis jednotek na osách grafu goniometrických funkcí by mi přišly vhodnější radiány vyjádřené pomocí násobků π, nikoli číselných hodnot.

Program bohužel neumí nakreslit grafy funkcí více proměnných ani implicitních funkcí. První nedostatek můžeme z hlediska střední školy zanedbat, funkce více proměnných spadají jednoznačně až do učiva vysokých škol, přesto by je program tohoto typu dle mého názoru měl ovládat. Implicitní funkce se však objevují už v rámci středoškolského učiva a je chyba, že je TIIA neumí nakreslit. Např. Derive s takto zadanými funkcemi nemá nejmenší problém a zvládá i 3D grafy.

Na druhé straně je zde k dispozici poměrně netradiční graf parametrických křivek a graf v polárních souřadnicích, jejichž použitelnost pro výuku středoškolské matematiky je omezená. (Lze ovšem předpokládat, že by tyto grafy mohly najít uplatnění ve výuce fyziky – např. trajektorie složených pohybů, skládání kmitů v navzájem kolmých rovinách.)

Při výuce by se jistě uplatnilo i znázornění grafického řešení rovnic a nerovnic, které rovněž není implementováno a musí být vytvořeno ručně pomocí grafu funkce a šrafování (Derive tuto vlastnost opět zvládá).

Další problém, na nějž jsem narazila, byla konstrukce přímky bez směrnice. Nástroj, jímž se kreslí svislá přímka, nepodporuje zadání x-ové souřadnice pomocí proměnné, takže takovouto přímku nelze kombinovat s posuvníkem. Tento nedostatek se mi podařilo obejít přes statistický graf.

Co se publikační stránky týče, chybí mi možnost vytvoření dynamického „read-only“ výstupu neboli materiálů pouze ke čtení. Program nepodporuje tvorbu apletů, vlastní dokument nelze zamknout pouze pro čtení a nabízený export není dynamický.

43


8.4 Jazykové problémyJak už bylo zmíněno výše, TIIA není určen pro český trh – znamená to, že není k dispozici jeho lokalizovaná verze. Jeho uživatelé se tedy musí vypořádat s angličtinou, což může spoustu zájemců odradit. Kromě anglického prostředí je nepříjemná i anglicky psaná nápověda a naprostý nedostatek česky psaných materiálů o tomto programu.

Tato věc má ještě jeden konkrétní dopad. TIIA si automaticky volí používaný jazyk (resp. klávesnici) podle standardního nastavení počítače a tuto volbu uchovává a nedovoluje ji změnit! Prakticky to znamená to, že nejde přepínat mezi českou a anglickou klávesnicí.

44

Závěr

9. Závěr

CAS systémy obecně nepovažuji za příliš vhodné k masivnějšímu zapojení do výuky středoškolské matematiky. Na této úrovni mají význam při ukázkách grafů funkcí, pro kontrolu správnosti výsledků a pouze okrajově k usnadnění výpočtů. Širšímu použití brání hlavně jejich primární zaměření na vyšší matematiku a slabší podpora výukových vlastností.

TIIA je výpočetně dostačující, má slabší podporu grafů, slušné možnosti pro práci s matematickým textem. Z didaktického hlediska vyzdvihuji význam dynamických ukázek založených na posuvnících. Práce s tímto programem může být příjemná pro uživatele grafických kalkulátorů firmy Texas Instruments, z jejichž koncepce vychází a s nimiž je do značné míry kompatibilní. Ve srovnání s jinými CAS je TIIA cenově výhodný. Slabinou pro uchycení na našich školách bude to, že program není lokalizován a odpovídá americkým matematickým standardům.

45

Literatura a jiné zdroje

10. Literatura a jiné zdroje

10.1 Literatura[ 1 ] Odvárko O. (1994): Matematika pro gymnázia – Funkce. Prometheus

[ 2 ] Hrubý D., Kubát J. (1997): Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Prometheus

[ 3 ] Bauer L., Bittnerová D., Dolanský P., Dvořáková E., Holenda J. (2005): Matematika 1 pro distanční studium. Plzeň

[ 4 ] Hřebíček J. (2004): Systémy počítačové algebryhttp://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/cas.pdf

10.2 Webové stránky[ 5 ] Computer Algebra System

http://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system

[ 6 ] Počítačová Algebra, Algoritmy, Systémy a Aplikacehttp://kfe.fjfi.cvut.cz/~liska/poalg/all.html

[ 7 ] Symbolic nethttp://www.symbolicnet.org/toc.html

[ 8 ] Derive 6 (stránky výhradního dovozce pro ČR)http://derive.europeon.cz/html/index.htm

[ 9 ] Texas Instruments Derive™ 6 from US & Canada (oficiální stránky výrobce)http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_derive6.html

[ 10 ] Derive Computer Algebra Systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Derive_computer_algebra_system

[ 11 ] Maplesoft (stránky výrobce programu Maple)http://maplesoft.com/

[ 12 ] Maple (software)http://en.wikipedia.org/wiki/Maple_%28software%29

[ 13 ] Mathematicahttp://en.wikipedia.org/wiki/Mathematica

[ 14 ] Mathematica (stránky autorizovaného distributora produktů Wolfram Research)http://www.mathematica.cz/produkty.php?p_mathematica

46

http://maplesoft.com/

Literatura a jiné zdroje

[ 15 ] Texas Instruments TI InterActive!™ from US & Canada (oficiální stránky výrobce)http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_ti_interactive.html

[ 16 ] T3 – Teachers Teaching with Technology™ – Worldwidehttp://www.t3ww.org/

[ 17 ] TI InterActive!™ in the Classroomhttp://www.t3ww.org/tii/index.html

10.3 Další zdroje[ 18 ] Odpovědi z ankety „Programy podporující výuku matematiky“

[ 19 ] Nápověda k programu TI InterActive!

47

http://www.t3ww.org/

Přílohy

Přílohy - obsah

A. Úkoly řešitelné pomocí TIIA.........................................................................................- 1 -A.1 Zadání.....................................................................................................................- 1 -A.2 Úkol č.1..................................................................................................................- 1 -A.3 Úkol č.2..................................................................................................................- 2 -

B. Úkoly vytvořené v TIIA.................................................................................................- 5 -B.1 Písemné práce.........................................................................................................- 5 -

B.1.a Funkce – písemka č.1.....................................................................................- 5 -B.1.b Funkce – písemka č.2.....................................................................................- 5 -

B.2 Příklady s řešením..................................................................................................- 8 -B.2.a Lineární rovnice a nerovnice – zadání, výsledky...........................................- 8 -B.2.b Průběh funkce – zadání příkladů..................................................................- 10 -B.2.c Průběh funkce – materiály k řešení..............................................................- 10 -

C. Statické učební texty....................................................................................................- 19 -C.1 Lineární funkce....................................................................................................- 19 -C.2 Asymptoty grafu funkce.......................................................................................- 20 -

D. Dynamické učební texty...............................................................................................- 22 -D.1 Průběh funkce.......................................................................................................- 22 -

E. Prezentace do hodin matematiky..................................................................................- 34 -E.1 Elementární funkce..............................................................................................- 34 -

E.1.a Lineární funkce............................................................................................- 34 -E.1.b Kvadratická funkce......................................................................................- 35 -E.1.c Nepřímá úměrnost........................................................................................- 39 -E.1.d Lineární lomená funkce................................................................................- 41 -E.1.e Mocninné funkce..........................................................................................- 46 -E.1.f Inverzní funkce.............................................................................................- 50 -E.1.g Exponenciální funkce a logaritmus..............................................................- 53 -E.1.h Goniometrické funkce..................................................................................- 58 -

E.2 Diferenciální počet...............................................................................................- 61 -E.2.a Limita funkce...............................................................................................- 61 -E.2.b Jednostranná limita funkce...........................................................................- 65 -E.2.c Nevlastní limita funkce................................................................................- 69 -E.2.d Limita funkce v nevlastním bodě.................................................................- 71 -E.2.e Geometrický význam derivace.....................................................................- 73 -

F. Anketa Programy podporující výuku matematiky.......................................................- 77 -F.1 Otázky ke vztahu vyučujícího k používání počítačů ve výuce matematiky........- 77 -F.2 Otázky k situaci ve školách..................................................................................- 84 -F.3 Otázky k Texas Instruments a TIIA.....................................................................- 87 -

48

A. Úkoly řešitelné pomocí TIIAPřipravila jsem dvě úlohy aplikačního charakteru z oblasti diferenciálního počtu. U úloh tohoto typu musí studenti vědět, jak je řešit, co je potřeba spočítat, a konkrétní počítání jim ulehčí program.

A1 Zadání

Úkol č. 1

Určete lokální minima a maxima a inflexní body funkce fx = 2x

x + 1 .

Úkol č. 2

Určete asymptoty grafu funkce fx = 2x + 1x + 3

.

A2 Úkol č.1

Úkol č.1Určete lok. minima a maxima a inflexní body funkce

f x := x®x + 1

Za pomoci TI InterActive mohu postupovat dvěma způsoby:Prvním z nich je prozkoumat graf této funkce.Vytvořím tedy graf (použiji již zapsaný funkční předpis).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Oba grafy představují tutéž funkci pouze v jiném měřítku - na prvním je lépe vidět celkové chování funkce, na druhém detailní průběh v okolí problematického bodu -1, kde funkce není definována.Z grafu je vidět, že funkce má dva lokální extrémy (za předpokladu, že se mimo zobrazenou

1

část chová „rozumně“ - tento předpoklad je však splněn, protože jediným „problematickým“ bodem je -1.Vypadá to tedy, že funkce má v bodě -2 lokální maximum, jehož hodnota je -4, a v bodě 0 lokální minimum, jehož hodnota je 0.Hodnoty mohu ověřit výpočtem pomocí [Calculate minimum], [Calculate maximum] v nabídce okna [Graph]. Musím ohlídat, aby byly nalezeny skutečně lokální extrémy, počáteční odhad (Guess) zvolím -2 v případě maxima a 0 v případě minima.Skutečně, tyto hodnoty představují body, v nichž funkce nabývá lokálních extrémů.minumum: (0., 0.) maximum: (-2., -4.)

Druhý postup kopíruje analytický výpočet:Pro určení extrémů a konvexnosti/konkávnosti je významné chování první resp. druhé derivace funkce.

První derivace: dfx := ¶¶x

f x

dfx xx + 2

2x + 1

Nulové body první derivace: sb := zerosdfx , x -2, 0

Druhá derivace: ddfx := ¶¶x

dfx

ddfx 23x + 1

Hodnoty druhé derivace ve stacionárních bodech:

ddfsb 1-2 , v tomto bodě je tedy lokální maximum

ddfsb 22 , v tomto bodě je tedy lokální minimum

Nulové body druhé derivace: ib := zerosddfx , x Funkce nemá inflexní body.

Použité příkazy:derivative()zeros()

A3 Úkol č.2

Úkol č.2

Určete asymptoty grafu funkce f x := x® + 1x + 3 .

2

-20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20

-18-15-12-9-6-3

369

121518

Asymptoty se směrnicí: yx := kx + q

k := x

lim f xx

1q :=

x lim f x - kx

-3

yx x - 3

k2 := x -

lim f xx

1 q2 :=

x -lim f x - kx

-3 Druhá asymptota tedy vychází stejně jako první.

Asymptota bez směrnice: x = c

x -3lim f x

x- -3

lim f x

-

x+ -3

lim f x

v bodě -3 má funkce asymptotu bez směrnice

3

-20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20

-18-15-12-9-6-3

369

121518

4

B. Úkoly vytvořené v TIIATyto ukázky demonstrují použití TIIA pro vytváření zadání příkladů, případně doplněných o výsledky či nástin řešení.

B1 Písemné práce

B.1.a Funkce – písemka č.1Varianta A1) Načrtněte graf funkce f, která má tyto vlastnosti:Df = <-5, 5>, Hf = <-3, 3>, je lichá a má maximum v bodě [-2, 3]

2) Zjistěte, zda funkce g je lichá nebo sudá

g:y = x2x + 1

3) Určete co nejvíce vlastností funkcea) f :y = 2x - 1b) f :y = -

2x + 3

Varianta B1) Načrtněte graf funkce f, která má tyto vlastnosti:Df = <-3, 3>, Hf = <-5, 5>, je lichá a má maximum v bodě [2, -5]

2) Zjistěte, zda funkce g je lichá nebo sudá

g:y = 2x + 4

x3) Určete co nejvíce vlastností funkce

a) f :y = 1 - 2xb) f :y = 2x + 3

B.1.b Funkce – písemka č.21) Najděte funkční předpis funkce a určete její definiční obor, znáte-li její graf:

5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

2) Je dána funkce h: y = 4x - 72x -4

. Určete

a) h(0)b) Dh

c) zda 1Hh

3) Rozhodněte, zda se jedná o graf funkce, pokud ano, určete její definiční obor a obor

hodnot.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5a)

6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5b)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5c)

7

B2 Příklady s řešením

B.2.a Lineární rovnice a nerovnice – zadání, výsledky

Grafy lineárních funkcí při řešení rovnic a nerovnic

PříkladSestrojte graf lineární funkce y = -2x + 3 a zjistěte z něj, pro která xR platí:a) -2x+3 = 0b) -2x+3 0c) -2x+3 0d) -2x+3 -5e) -2x+3 8f) -5 -2x+3 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5a)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5b)

8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5c)

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8-7-6-5-4-3-2-1

12345

d)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10e)

9

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10f)

Ověření grafického řešení pomocí nástroje [solve]:

a) solve-2x + 3 = 0, x x = 32

b) solve-2x + 3 0, x x 32

c) solve-2x + 3 < 0, x x > 32

d) solve-2x + 3 -5, x x 4

e) solve-2x + 3 > 8, x x < -52

f) solve-2x + 3 < 8 and -5 -2x + 3, x x 4 and x > -52

10

B.2.b Průběh funkce – zadání příkladů

Příklad 1Najděte lokální extrémy funkce:A) f x = 2 2x - 4x

B) f x = 2x - 3 2x3

C) f x = 1x

+ 4 2x

D) f x = xlnx

E) f x = x -

2xe

Příklad 2Najděte globální extrémy funkce f x = 3x - 12x + 5 na intervalu -3; 5 .

Příklad 3Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a všechny inflexní body funkcí:

A) f x = 82x + 4

B) f x = ln1 + 2x

C) f x = x 32x + 1

Příklad 4Vyšetřete průběh funkce:A) f x = 4x - 6 2x + 5 B) f x = 3x - 2x

C) f x = 1 - 3x2x

D) f x = 3x + 3 2x + 5

x

E) f x = 1sinx

F) f x = 2 2x - lnx

B.2.c Průběh funkce – materiály k řešení

Příklad 1Najděte lokální extrémy funkce:A) f x : = 2 2x - 4x

11

¶¶x

22x - 4x 4x - 4 3x

zerosans, x -1, 0, 1

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

B) f x : = 2x - 3 2x3

¶¶x

2x - 3 2x3

2 - 2

x3

zerosans, x 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

C) f x := 1x

+ 4 2x

¶¶x

1x

+ 4 2x8x - 1

2x

zerosans, x

12

12

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

D) f x : = xlnx

¶¶x

xlnx

1lnx

- 12lnx

zerosans, x e

1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

E) f x : = x -

2xe

¶¶x

x -

2xe 1 - 2x

x -

2xe

zerosans, x

12

13

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Příklad 2Najděte globální extrémy funkce f x : = 3x - 12x + 5 na intervalu -3; 5 .

¶¶x

3x - 12x + 5 3

2x - 12

zerosans, x -2, 2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5-6

61218243036424854606672

Příklad 3Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a všechny inflexní body funkcí:

A) f x : = 82x + 4

¶¶x

82x + 4

-16x2

2x + 4

¶¶x

ans 163

2x - 43

2x + 4

zerosans, x

-233

, 233

14

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

B) f x : = ln1 + 2x

¶¶x

ln1 + 2x

2x2x + 1

¶¶x

ans -2

2x - 12

2x + 1

zerosans, x -1, 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

C) f x : = x32x + 1

¶¶x

x

32x + 1

22x + 1 8x + 1

15

¶¶x

ans 122x + 14x + 1

zerosans, x

-12

, -14

-1 1

-1

1

Příklad 4Vyšetřete průběh funkce:A) f x : = 4x - 6 2x + 5

¶¶x

4x - 6 2x + 5 4

3x - 12x

¶¶x

ans 12 2x - 12

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

B) f x : = 3x - 2x

¶¶x

3x - 2x 3

2x - 2

16

¶¶x

ans 6x

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

C) f x := 1 - 3x2x

¶¶x

1 - 3x2x

-

3x + 23x

¶¶x

ans 64x

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

D) f x := 3x + 3 2x + 5

x

¶¶x

3x + 3 2x + 5

x2

3x + 3 2x - 52x

¶¶x

ans 2

3x + 53x

17

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

E) f x := 1sinx

¶¶x

1sinx

-cosx2sinx

¶¶x

ans 2cosx + 1

3sinx

-6.28319 -3.14159 3.14159 6.28319

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

F) f x :=2 2x - lnx

¶¶x

22x - lnx 4x - 1

x

¶¶x

ans 12x

+ 4

18

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

19

C. Statické učební texty

C1 Lineární funkce

Ukázka statického učebního textu obsahujícího matematickou symboliku, grafy funkcí a tabulku funkčních hodnot. Lineární funkce

===================================================================Lineární funkce je každá funkce na množině R (tj. funkce o definičním oboru R), která je daná ve tvaru

y = ax + b, (1)kde a, b jsou reálná čísla.Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je a = 0, tj. funkce

y = b,které nazýváme konstantní funkce.Pro lineární funkce dané vzorcem (1), v němž je b = 0, užíváme také název přímá úměrnost.===================================================================

Grafem každé lineární funkce v soustavě souřadnic Oxy je přímka různoběžná s osou y. Jde-li speciálně o konstantní funkci, je jejím grafem přímka rovnoběžná s osou x; graf funkce přímá úměrnost prochází počátkem soustavy souřadnic.Platí také obráceně: Každá přímka různoběžná s osou y je grafem některé lineární funkce.K sestrojení grafu lineární funkce stačí tedy znát dva jeho různé body; k sestrojení grafu konstantní funkce dokonce pouze bod jediný.

PříkladNačrtněte grafy funkcí y = -2, y = 2x - 1.

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

y = 2x - 1

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

y = -2

20

C2 Asymptoty grafu funkceUkázka statického učebního textu obsahujícího matematickou symboliku, vzorce a grafy funkcí.

Asymptoty grafu funkce

- asymptoty bez směrnice (x = c)- asymptoty se směrnicí (y = kx + q)

Obr.1 - asymptota bez směrnice Obr.2 - asymptota se směrnicí

1. bez směrniceExistuje v bodě a, v němž alespoň jedna jednostranná limita je nevlastní.

2. se směrnicí(Obr.3 na následující straně)

Ke grafu funkce y = f(x) je přímka y = kx + q asymptotou, jestliže existuje x

lim fxx a

x lim fx - kx .

[nebo obě limity pro x -].

Jestliže x lim fx - kx +q = 0 , pak přímka y = kx + q je asymptotou y = f(x) pro x .

Jestliže x lim fx - kx +q = 0 , pak také

x lim

fx - kx +qx

= 0

.

21

Obr. 3

y = kx + q

y = f(x)

f(x) - (kx + q)

f(x)

kx + qf(x)

kx + q

tzn.1

x lim

fxx

- kxx

- qx

= 0

x

lim f xx

- x

lim k - x

lim qx

= 0

x

lim f xx

- k - 0 = 0

k =

x lim fx

x

tzn.2

x lim fx - kx +q = 0

x lim f x -

x lim kx -

x lim q = 0

x lim f x -

x lim kx - q = 0

q =

x lim f x - k

22

D. Dynamické učební texty

D1 Průběh funkce

Průběh funkce

V následujícím textu odvodíme, jak lze při vyšetřování průběhu funkce využít diferenciální počet.

1. OpakováníNa začátek připomeneme několik užitečných pojmů.

Monotonie a extrémy funkce===================================================================Funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro všechna x1, x2

D f platí:

Je-li x1 < x2, pakf x1 < f x2

.

Funkce f se nazývá klesající, právě když pro všechna x1, x2D f platí:

Je-li x1 < x2, pakf x1 > f x2

.

===================================================================Je dána funkce f, J je interval, který je částí jejího definičního oboru JD f

.

Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J, právě když pro všechna x1, x2J platí:

Je-li x1 < x2, pakf x1 < f x2

.

Funkce f se nazývá klesající v intervalu J, právě když pro všechna x1, x2J platí:

Je-li x1 < x2, pakf x1 > f x2

.

===================================================================

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Obr 1.1

f: y = x^3

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Obr. 1.2

y = 1/x

Funkce f (Obr. 1.1) je rostoucí.Funkce g (Obr. 1.2) není klesající (myšleno v celém definičním oboru), ale je klesající na intervalu -, 0 a na intervalu 0, + .Extrémy a lokální extrémy funkce

23

===================================================================Říkáme, že funkce f má v bodě a maximum, právě když pro všechna xD f je f x f a.Říkáme, že funkce f má v bodě a minimum, právě když pro všechna xD f je f x f a .===================================================================Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální maximum, existuje-li takové okolí U(a) bodu a, že pro všechna xU aD f platí f x f a . Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální minimum, existuje-li takové okolí U(a) bodu a, že pro všechna xU aD f platí f x f a . ===================================================================Platí-li v uvedených nerovnostech rovnost jen pro a (tj. pro ostatní body z definičního oboru platí ostré nerovnosti), pak říkáme, že funkce f má v bodě a ostré maximum/minimum/lokální maximum/lokální minimum.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Obr. 1.3

f: y = x^2 - 1

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Obr. 1.4

g: y = |x+2| - |x-1|

Funkce f (Obr. 1.3) má lokální minimum v bodě 0, jeho hodnota je -1. Toto lokální minimum je současně minimem. Funkce nemá lokální maximum ani maximum.Funkce g (Obr. 1.4) nabývá minima na celém intervalu (- , -2>, jeho hodnota je -3. Podobně maxima nabývá na intervalu <1, ), jeho hodnota je 3 .Oba lokální extrémy jsou současně „globálními“ extrémy.

24

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Obr. 1.5

h: y = x^3 + x^2 - 1

-6.28319 -3.14159 3.14159 6.28319

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Obr. 1.6

i: y = sin x

Funkce h (Obr. 1.5) má lokální minimum -1 v bodě 0, lokální maximum - 2327

v bodě - 23

.

Tato funkce nemá minimum ani maximum.

Funkce i (Obr. 1.6) má lokální minima v bodech

3

2 + 2k ; kZ

, jejich hodnota je -1.

Lokální maxima má v bodech

2 + 2k ; kZ

, jejich hodnota je 1. Lokální extrémy

jsou současně „globálními“ extrémy.

2. První derivace - monotonie a lokální extrémyNačrtneme grafy několika funkcí a jejich derivací a soustředíme se na vztah derivace funkce k monotonii funkce.(Pozn. ve funkčních předpisech, které se dále používají v grafech, značíme derivaci funkce f(x) jako df(x). )

f1x := 2x df1x := ¶¶x

f1x

f2x := 3x - 3x df2x := ¶¶x

f2x

f3x := 2x df3x := ¶¶x

f3x

f4x := sinx df4x := ¶¶x

f4x

f5x := x df5x := ¶¶x

f5x

f6x := 3x + 2 - 1 df6x := ¶¶x

f6x

25

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.1a

f1(x) = x^2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.2a

f2(x) = x^3 - 3x

df2(x) = 3(x^2) - 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.3a

f3(x) = 2x

df3(x) = 2

-6.28319 -3.14159 3.14159 6.28319

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Obr. 2.4a

f4(x) = sin x

df4(x) = cos x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.5a

f5(x) = |x|

df5(x) = 1; x>0= -1; x<0n.d.; x=0

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.6a

f6(x) = (x+2)^3 - 1

df6(x) = 3(x+2)^2

26

Z obrázků je vidět, že pro to, zda funkce roste či klesá, nejsou podstatné konkrétní hodnoty její derivace, ale pouze její znaménko - je-li kladná, funkce roste, je-li záporná, funkce klesá.Přesněji lze závěr našeho pozorování zformulovat jako matematickou větu:

VětaNechť funkce f je spojitá na intervalu (a, b).Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a, b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí.Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a, b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající.

Vzpomeneme-li si na geometrický význam derivace funkce (udává směrnici tečny ke grafu funkce), bude celá věc ještě jasnější.

Vše ilustruje následující obrázek:Modře je nakreslen graf funkce f x := 2x .

Červeně graf její derivace dfx := ¶¶x

f x .

Zeleně tečna ke grafu funkce v bodě [b, f(b)], jehož hodnotu je možné měnit pomocí posuvníku.

b 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.7

f(x) = x^2

df(x) = 2x

Komentář:Kladná derivace neboli kladná směrnice tečny znamená rostoucí tečnu a tudíž rostoucí funkci.Naopak záporná derivace neboli záporná směrnice tečny znamená klesající tečnu a tudíž klesající funkci.___________________________________________________________________________

Vyřešili jsme, jak to vypadá s funkcí tam, kde je její derivace kladná nebo záporná.Zbývá zjistit, co se s funkcí děje v bodech, v nichž je derivace rovna 0 (tzv. stacionárních bodech) nebo v bodech, v nichž derivace neexistuje.Vraťte se k předchozím grafům (Obr. 2.1a - 2.6a). „Podezřelé body“ derivací jsou vyznačeny fialově, jim odpovídající body na grafech funkcí růžově.

27

Pokud usuzujete, že tyto body mají souvislost s lokálními extrémy funkce, máte pravdu.Na obrázcích 2.1a, 2.2a, 2.4a odpovídají nulovým hodnotám derivace lokální extrémy funkcí.Funkce na obrázku 2.3a má kladnou derivaci, a nemá žádný lokální extrém.Mohlo by se tedy zdát, že nulová derivace znamená lokální extrém a naopak. Ve skutečnosti je ale situace trošku komplikovanějšíNapř. funkce f5(x) = |x| (Obr. 2.5a) nabývá svého minima v bodě 0, kde derivace neexistuje. A funkce f6x = 3x + 2 - 1 (Obr. 2.6a) má sice v bodě -2 derivaci rovnu 0, ale extrém v tomto bodě nemá.Jaký je tedy závěr? Opět jej vyslovíme jako větu:

Věta (nutná podmínka pro existenci lokálního extrému)Existuje-li v bodě b derivace f 'b 0 , nemá f v bodě b lokální extrém.

Tuto větu lze přeformulovat:Má-li funkce f v bodě b lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f '(b), pak platí f 'b = 0 .

Věta (postačující podmínka pro existenci lokálního extrému)Nechť f 'b = 0 . Jestliže existuje takové okolí U b, , že v intervalech b - , b a b, b + má f '(x) různá znaménka, má funkce f v bodě b ostrý lokální extrém.Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě b lokální maximum.Mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě b lokální minimum.

Ještě obecněji lze zformulovat větu takto:Věta (postačující podmínka pro existenci lokálního extrému)Nechť je funkce f spojitá v bodě b a nějakém jeho okolí. Jestliže existuje takové okolí U b, , že v intervalech b - , b a b, b + má f '(x) různá znaménka, má funkce f v bodě b ostrý lokální extrém.Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě b lokální maximum.Mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě b lokální minimum.___________________________________________________________________________

Pokusíme se přijít na to, jestli není možné lokální extrém funkce zjistit ještě nějak jinak. Vraťme se k funkcím z Obr. 2.1a - 2.6a a tentokrát se zaměřme na hodnoty druhé derivace v „podezřelých bodech“.Je zřejmé, že druhá derivace nemůže existovat tam, kde neexistovala první derivace.Vynecháme proto funkci z obrázku 2.5a.Funkce jsou opět nakresleny modře, jejich druhé derivace zeleně.

28

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.1b

f1(x) = x^2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Obr. 2.2b

f2(x) = x^3 - 3x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.3b

f3(x) = 2x

-6.28319 -3.14159 3.14159 6.28319

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Obr. 2.4b

f4(x) = sin x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 2.6b

f6(x) = (x+2)^3 - 1

29

Výsledek pozorování sepíšeme:f1 nabývá lok. minima v bodě 0, kde hodnota druhé derivace je 2.f2 nabývá lok. minima v bodě 1, kde hodnota druhé derivace je 6. f2 nabývá lok. maxima v bodě -1, kde hodnota druhé derivace je -6. f3 nenabývá lok. minima ani maxima (není splněna nutná podmínka pro ex. lokálního extrému)

f4 nabývá lok. minima v bodech -

2 + 2k ; kZ , kde druhá derivace je rovna 1.

f4 nabývá lok. maxima v bodech

2 + 2k ; kZ , kde druhá derivace je rovna -1.

f6 nenabývá lok. minima ani maxima, přestože první derivace v bodě -2 je rovna 0. Druhá derivace je v tomto bodě taky rovna 0.

Věta (lokální extrém a druhá derivace)Nechť je f'(b) = 0.Je-li f''(b) > 0, má funkce f v bodě b lokální minimum.Je-li f''(b) < 0, má funkce f v bodě b lokální maximum.

Pozn. je-li f''(b) = 0, nelze o existenci lokálního extrému tímto způsobem rozhodnout.3. Druhá derivace - konvexnost, konkávnost a inflexeVyřešili jsme otázku růstu či klesání funkce a jejích lokálních extrémů. Pokusíme se graf funkce vyšetřit ještě přesněji - zaměříme se na tvar grafu, „rychlost“ růstu a klesání a polohu grafu vůči tečně ke grafu.

Motivace 1Obrázek 3.1 obsahuje grafy funkcí, které mají podle nám dostupných měřítek prakticky shodné vlastnosti - všechny jsou rostoucí, nemají žádné lokální extrémy. To, že se nechovají stejně, je však zřejmé- o funkci f(x) můžeme říct, že jak se hodnoty x zleva blíží 0, je „méně rostoucí“, naopak jak se hodnoty x vzdalují od 0 doprava, její růst se „zrychluje“.- funkce g(x) roste konstantně.- funkce h(x) naopak až do 0 zrychluje růst, vzdalujeme-li se od 0, její růst se zpomaluje.Čím se tedy liší?

30

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.1

g(x) = 2xf(x) = x^3

h(x) = x^(1/3)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.2

g(x) = e^2x

f(x) = x^2

Motivace 2Situace na obrázku 3.2 je opačná. Z pohledu monotonie a extrémů nemají funkce téměř nic společného. Funkce f(x) je v části definičního oboru klesající, v části rostoucí, v bodě 0 má ostré lokální minimum. Funkce g(x) je rostoucí na celém svém definičním oboru a tudíž žádný lokální extrém nemá.Přesto si jsou tyto funkce „podobné“ - čím je to dáno?Odpovědi na tyto otázky získáme podrobnějším prozkoumáním chování druhé derivace těchto funkcí.V levém obrázku bude vždy graf funkce a její druhé derivace, v pravém obrázku tečna ke grafu v bodě [b, f(b)] (resp. g(b), h(b)); hodnotu b je možné měnit pomocí posuvníku - vyzkoušejte . Na obou obrázcích jsou vyznačeny i body [b, 0] a [b, f''(b)] (resp. g''(b), h''(b)) .

Nejprve se budeme věnovat první trojici (funkce z Obr. 3.1).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.3a

f(x) = x^3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.3b

f(x) = x^3

31

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.4a

g(x) = 2x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.4b

g(x) = 2x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.5a

h(x) = x^(1/3)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.5b

h(x) = x^(1/3)

Na intervalech, kde funkce svůj růst zvyšovaly, ležel graf nad tečnou. Druhá derivace zde byla kladná.Obráceně, na intervalech, kde se růst funkce zpomaloval, ležel graf pod tečnou. Druhá derivace zde byla záporná.

Abychom nemuseli používat výrazy „pod tečnou“, „nad tečnou“, zavedeme následující pojmy.===================================================================Funkce f, která má derivaci v bodě b, je v bodě [b, f(b)] konvexní, existuje-li takové okolí U(b) bodu b, že xU b , x b , leží body grafu funkce f „nad tečnou“ sestrojenou v bodě [b, f(b)].Funkce f, která má derivaci v bodě b, je v bodě [b, f(b)] konkávní, existuje-li takové okolí U(b) bodu b, že xU b , x b , leží body grafu funkce f „pod tečnou“ sestrojenou v bodě [b, f(b)].

32

===================================================================Je-li funkce konvexní v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvexní v intervalu I.Je-li funkce konkávní v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konkávní v intervalu I.===================================================================

[Otázka na zamyšlení - co lze v těchto případech říci o první derivaci?Předpisy pro první derivace jsou v grafech zadány, stačí je nechat zobrazit.]

Nyní obdobně vyšetřeme dvojici funkcí z Obr. 3.2.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.6a

f(x) = x^2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.6b

f(x) = x^2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.7a

g(x) = e^2x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Obr. 3.7b

g(x) = e^2x

Grafy obou funkcí leží nad tečnou sestrojenou v libovolném bodě jejich grafu - funkce jsou konvexní. Jejich druhé derivace byly všude kladné.Opět následuje přesná formulace závěru pozorování.

Věta

33

Je-li f ''b 0 , je funkce f(x) v bodě b konvexní.Je-li f ''b 0 , je funkce f(x) v bodě b konkávní.

Věta (lokální význam znaménka druhé derivace)Je-li f ''x = 0 v intervalu I, je funkce f(x) v I konvexní.Je-li f ''x = 0 v intervalu I, je funkce f(x) v I konkávní.===================================================================Bod, v němž funkce f přechází z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ nebo naopak (tj. mění se z konvexní na konkávní nebo naopak) nazýváme inflexní bod funkce f.===================================================================

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Obr. 3.8

f(x) = x^3-3x^2

inflexní bod

Druhá derivace v inflexním bodě mění znaménko, z toho plyne nutná podmínka pro inflexi.Je-li bod b inflexním bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci, pak f''(b) = 0.

Zapamatujte si!Při vyšetřování průběhu funkce informuje první derivace o monotonii a lokálních extrémech funkce, druhá derivace o jejím zakřivení a inflexních bodech.

Na závěr je uveden jeden z možných postupů při vyšetřování průběhu funkce1. Definiční obor2. Elementární vlastnosti funkcí (sudá, lichá, periodická)3. Limity v nevlastních bodech a v bodech, v nichž funkce není definovaná4. Průsečíky se souřadnými osami, znaménka funkčních hodnot5. Výpočet f'(x), zjištění, kdy je f'(x) = 0 nebo kdy f'(x) neexistuje6. Lokální extrémy, intervaly monotonie 7. Výpočet f''(x), zjištění, kdy je f''(x) = 0 nebo kdy f''(x) neexistuje 8. Inflexní body, intervaly konvexnosti, konkávnosti 9. Asymptoty10. Obor hodnot11. Graf funkce

34

E. Prezentace do hodin matematiky

E1 Elementární funkce

E.1.a Lineární funkce

Lineární funkce===================================================================Lineární funkce je každá funkce na množině R (tj. funkce o definičním oboru R), která je daná ve tvaru

y = ax + b, (1)kde a, b jsou reálná čísla.Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je a = 0, tj. funkce

y = b,které nazýváme konstantní funkce.Pro lineární funkce dané vzorcem (1), v němž je b = 0, užíváme také název přímá úměrnost.===================================================================

Význam parametrů a, b v předpisu y = ax + b

a 2.3

b 2.1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = ax

a

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y = ax + b

b

Parametr a (tzv. směrnice) ovlivňuje „sklon“ přímky - pro a > 0 je funkce rostoucí- pro a < 0 je funkce klesající- pro a = 0 je funkce konstantní|a| ovlivňuje „strmost“ grafu

Parametr b určuje úsek, který přímka vytíná na ose y.Průsečík přímky s osou y má souřadnice [0, b].

Nekonstantní lineární funkce protíná osu x v bodě o souřadnicích [-b/a; 0].

35

E.1.b Kvadratická funkce

Kvadratická funkce===================================================================Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru

y = a 2x + bx + c ,kde aR - 0, b, cR .===================================================================Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Bod V xV, yV se nazývá vrchol paraboly.

V

parabola

x

y

Vlastnosti funkce (tvar jejího grafu) závisí na hodnotách parametrů a, b, c.f x := a 2x + bx + c

a 1

b -3

c -.3

36

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Například- pro a = 0 bychom dostali funkci y = bx + c, což je funkce lineární - ta je z definice vyloučena.- pro b = 0 dostaneme funkci, jejíž graf je souměrný podle osy y- pro c = 0 dostaneme funkci, jejíž graf prochází bodem [0,0] (tj. jeden nulový bod je 0)

K určení vlastností obecné kvadratické funkce dospějeme postupně pomocí některých speciálních případů. Budeme vycházet ze „základního“ grafu y = 2x .

1) Nejprve určíme, jaký vliv má na tvar grafu hodnota parametru a.f x := 2xgx := a 2x

a -.2

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

|a| ovlivňuje „šířku“(strmost) paraboly (větší |a| znamená „užší“ parabolu a naopak).Znaménko a určuje , zda je parabola „otevřená“ nahoru (a > 0) nebo dolů (a < 0).

37

2) Dále určíme, jaký vliv má na tvar grafu hodnota parametru n.f x := 2xgx := 2x + n

n -2.6

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Parametr n posunuje graf po ose y. Vrchol paraboly y = 2x + n má souřadnice [0, n].

3) Nyní určíme, jaký vliv má na tvar grafu hodnota parametru m. f x := 2x gx := 2x - m

m -2.3

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Parametr m posunuje graf po ose x. Vrchol paraboly y = 2x - m má souřadnice [m, 0].

38

4) Kombinací předchozích případů lze získat graf libovolné kvadratické funkce vyjádřené předpisem ve tvaru y = a 2x - m + n ... vrcholový tvar kvadratické funkcef x := 2xgx := a 2x - m + n

a .4

m 4

n 1.4

gx .4 2x - 3.2x + 7.8

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Vlastnosti- definiční obor je R- vrchol paraboly má souřadnice V[m, n]- obor hodnot je

pro a > 0 ... <n, ); funkce je omezená zdolapro a < 0 ... (- , n>; funkce je omezená shora

- intervaly monotoniepro a > 0 ... v (- , n> klesá, v <n, ) roste; v bodě V[m, n] má minimumpro a < 0 ... v (- , n> roste, v <n, ) klesá; v bodě V[m, n] má maximum

Vlastnosti obecné kvadratické funkce y = a 2x + bx + c zjistíme převedením jejího funkčního předpisu na vrcholový tvar y = a 2x - m + n .(převod lze provést vždy; například tzv. doplněním na čtverec)

39

E.1.c Nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost===================================================================

Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině R - {0} daná ve tvaru y = kx , kde k je

reálné číslo různé od nuly (tzv. koeficient nepřímé úměrnosti).===================================================================

Grafem nepřímé úměrnosti je křivka, která se nazývá rovnoosá hyperbola. Bod S označujeme střed hyperboly. V případě nepřímé úměrnosti leží střed hyperboly v počátku soustavy souřadnic. Graf je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

y = 1/x

S

větve hyperboly

rovnoosá hyperbola

Prozkoumáme vliv hodnoty koeficientu nepřímé úměrnosti k na vlastnosti nepřímé úměrnosti.

f x := 1x

gx := kx

k 2.1

40

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5f(x) = 1/x

g(x) = k/x

VlastnostiOborem hodnot je R-{0}.Není ani zdola, ani shora omezená.Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum.Je lichá.

Pro k > 0 je klesající v -, 0 , v 0, .Pro k < 0 je rostoucí v -, 0 , v 0, .

41

E.1.d Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce

Ukážeme si, jak lze využít grafy funkcí nepřímá úměrnost k sestrojování grafů některých dalších funkcí.

Příklad 1

Sestrojte graf funkce f x := -2x - 1

Řešení

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

f(x)

Graf funkce f získáme z grafu funkce gx = -2x a to posunutím o jednu jednotku ve směru

kladné poloosy x.

Příklad 2

Sestrojte graf funkce f x := -2 + 3xx .

ŘešeníNejprve upravíme funkční předpis, abychom našli souvislost s nepřímou úměrností:-2+3x

x = - 2

x + 3x

x = - 2

x + 3

42

Zkoumanou funkci lze tedy zapsat ve tvaru y = -2x

+ 3

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

f(x)

Graf funkce f získáme opět z grafu funkce gx := -2x , tentokrát posunutím o tři jednotky ve

směru kladné poloosy y.

Zobecnění

Chceme sestrojit graf funkce f :y = kx - m

+ n .

Zřejmě bude opět souviset s grafem nepřímé úměrnosti y = kx .

k 3

m 2.4 n -2.6

43

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Graf funkce f získáme posunutím grafu nepřímé úměrnosti y = kx o m ve směru osy x a n ve

směru osy y.Grafem je tedy rovnoosá hyperbola se středem v bodě S[m, n]. Tvar funkčního předpisu

y = kx - m

+ n (případně y - n = kx - m

) nazýváme středový tvar.

Příklad 3

Sestrojte graf funkce f x := 3x - 5x - 1

Řešení

Funkce nemá s předchozími případy zdánlivě mnoho společného - jednoduchou úpravou lze

však její předpis převést na středový tvar.

fx = 3x - 5

x-1 = 3x-1 -2

x-1 =3 + -2

x-1Grafem je tedy hyperbola se středem [1, 3] vzniklá opět posunutím grafu nepřímé úměrnosti

gx := -2x

44

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

f(x)

Funkce z Příkladů 1 - 3 byly ukázkami tzv. lineární lomené funkce.===================================================================

Lineární lomená funkce je každá funkce na množině R -

-

dc

, vyjádřená ve tvaru

y = ax + bcx + d

, kde a, b, c, d jsou reálná čísla, c 0 a ad - bc 0 .

===================================================================Hodnoty koeficientů a, b, c, d ovlivňují vlastnosti funkce (tvar grafu).

f x := ax + bcx + d

a .7

b 3.5

c 1.8

d 4

f x .388889x + 5.

x + 2.22222

45

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Pro některé speciální hodnoty koeficientů nezískáme lineární lomenou funkci (viz podmínky v definici)

c=0 y = ax + bd , např. f x := 2x + 3

5 lineární funkce

ad-bc=0 např. gx := 2x - 4-x + 2 konstantní funkce

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

f(x)

g(x)

Pro sestrojení grafu lineární lomené funkce a zjištění jejích vlastností není obecný tvar

funkčního předpisu y = ax + bcx + d

příliš vhodný, proto ho nejčastěji převádíme na tvar středový

(viz výše).

46

E.1.e Mocninné funkce

Mocninné funkce Mocninné funkce s přirozeným exponentemf x := nx

n 3

f x 3x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Tyto funkce můžeme v závislosti na tom, zda je n liché či sudé, rozdělit do dvou skupin s následujícími vlastnostmi:1) n lichéOborem hodnot je R.Funkce je rostoucí.Není ani zdola, ani shora omezená.Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum.Je lichá.

2) n sudéOborem hodnot je <0,+).Funkce je rostoucí v <0,+), klesající v (-, 0>.Je zdola omezená, není shora omezená.V bodě [0, 0] má minimum, v žádném bodě nemá maximum.Je sudá.

Mocninné funkce s celým exponentem

f x := zx z -1

47

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Kladné hodnoty exponentu jsme již probrali v rámci mocninných funkcí s přirozeným exponentem. Pro z = 0 dostáváme část konstantní funkce y = 1 s definičním oborem R-{0}.

Soustředíme se tedy na funkce f x = zx ; z Z-.

Funkce můžeme opět rozdělit do dvou skupin podle sudosti či lichosti z:1) z lichéOborem hodnot je R-{0}.Funkce je klesající v -, 0 , v 0, .Není ani zdola, ani shora omezená.Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum.Je lichá.

2) z sudéOborem hodnot je R+ .Funkce je rostoucí v -, 0 , klesající v 0, .Je zdola omezená, není shora omezená.Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum.Je sudá.

Grafy mocninných funkcí s opačným exponentemf x := nx gx := -nx

n 3

f x 3x

gx 13x

48

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Mocninné funkce a n-tá odmocninaFunkce y = xn pronN , n 2 je inverzní funkcí k funkci y = nx .f x := nx

n 5 gx := xn

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Vlastnosti funkce y = xn :1) n lichéDefiniční obor i obor hodnot je R.Je rostoucí.Není ani zdola, ani shora omezená.Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum.Je lichá.

2) n sudé

49

Definiční obor i obor hodnot je <0,+). Je rostoucí.Je zdola omezená, není shora omezená.Má minimum v bodě [0, 0], nemá maximum.

50

E.1.f Inverzní funkce

Inverzní funkce

Motivace

f x := 2x ; xR x 4.6

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Obr. 1

f(x) = 2x

[x, f(x)]

[f(x), x]

f x := x2 ; xR x -6

-20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20

-18-15-12-9-6-3

369

121518

Obr. 2

[x, f(x)]

[f(x), x]

f(x)

PozorováníF =

x, f x ... graf funkce f

G = fx , x

... je G také grafem nějaké funkce?

51

x 2.5 f x := 2x ; xR

-20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20

-18-15-12-9-6-3

369

121518

Obr. 3

[x, f(x)]

[f(x), x]

f(x)

f x := 3x ; xR

-20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20

-18-15-12-9-6-3

369

121518

Obr. 4

f(x)

[x, f(x)]

[f(x), x]

Množina G v Obr. 3 není grafem funkce, v Obr. 4 je grafem funkce.

===================================================================Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce g, pro kterou platí:1. Dg = H f. 2. Každému y Dg je přiřazeno právě to x D f , pro které je f(x) = y.===================================================================Pozn. inverzní funkci k funkci f značíme obvykle -1f .

Vlastnosti inverzní funkce

52

1) -1f je prostá funkce2) je-li f rostoucí (klesající), je -1f také rostoucí (klesající) 3) grafy funkcí f a -1f sestrojené v téže soustavě souřadnic Oxy jsou souměrné podle přímky y = x (osy I. a III. kvadrantu)

53

E.1.g Exponenciální funkce a logaritmus

Exponenciální funkce a logaritmus

===================================================================Exponenciální funkce o základu a je funkce na množině R vyjádřená ve tvaru

y = xa ,kde a je kladné číslo různé od 1.===================================================================f x := xa

a .8

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

f x := xa gx := x

1a

a 1.4

54

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

===================================================================Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y = xa , kde a je libovolné kladné číslo různé od jedné.===================================================================f x := logx, a

a 1.7

55

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Přirozená exponenciála, přirozený logaritmusMotivace - vyšetříme počet společných bodů funkcí f x := xa a gx := x + 1 v závislosti na parametru a.f x := xa gx := x + 1

a 1.6 pruseciky := zeros f x - gx , x

56

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

y = x + 1

Ve většině případů mají exponenciála s přímkou dva společné body, pouze v jednom případě mají jediný společný bod [0, 1]. Hodnota parametru a, pro kterou tento případ nastane je cca 2,7; přesněji 2, 718281828. Toto číslo je iracionální, nazývá se Eulerovo a značí e. Exponenciální funkci o základu e nazýváme přirozená exponenciální funkce a zapisujeme y = xe .

Analogicky mluvíme o přirozeném logaritmu, tj. o logaritmu o základu e.Zapisujeme jej y = ln x.

57

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

y = x + 1

y = e^x

y = ln x

y = x - 1

58

E.1.h Goniometrické funkce

Perioda a amplituda goniometrických funkcí

Periodaf x := sin px

p 2

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159 4.71239

-2

-1

1

2

změna periody funkce

sin (x)

sin (px)

Amplitudagx := asinx

a .5

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159 4.71239

-2

-1

1

2

změna amplitudy funkce

sin (x)

a * sin (x)

hx := asin px

59

a 1.4 p 1.7

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159 4.71239

-2

-1

1

2

změna periody i amplitudy funkce

sin (x)

a*sin (px)

Posunutí grafu goniometrických funkcí

f x := sinx - m + n

m 1.1

n -.5

f x sinx - 1.1 - .5

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159 4.71239 6.28319

-2

-1

1

2

posunutí grafu funkce

sin(x)

sin(x-m)+n

Parametr m posunuje graf po ose x, parametr n posunuje graf po ose y.Graf funkce y = sinx - m + n získáme posunutím grafu funkce y = sinx o m ve směru osy x a n ve směru osy y.

60

Shrnutí

f x := asin px - m + ngx := acos px - m + n

a 1.1 p 2 m 1.6

n -.5

f x 1.1sin2x - 1.6 - .5

gx 1.1cos2x - 1.6 - .5

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159 4.71239 6.28319

-2

-1

1

2sin(x)a(sin(px - m)) + n

cos(x)a(cos(px - m)) + n

Pozn. V grafu jsou definovány funkce sin(x), cos(x), f(x), g(x), pouze nejsou všechny zobrazeny.

61

E2 Diferenciální počet

E.2.a Limita funkce

Limita funkce

===================================================================

Definice limityŘekneme, že funkce f(x) má v bodě aR limitu LR, jestliže ke každému okolí bodu L existuje okolí bodu a tak, že pro všechna x a z tohoto okolí náleží hodnoty f(x) zvolenému okolí bodu L.

Jiná definice (epsilon-delta)Řekneme, že funkce f(x) má v bodě aR limitu LR, jestliže >0 >0 takové, že x; 0 x-a fx -L .

Píšeme:x alim f x = L

===================================================================Pozn. Hodnoty „delta“ v následujících příkladech jsou zvoleny na základě výpočtů. Tyto výpočty nejsou pro ukázku podstatné a nejsou tudíž její součástí.

Příklad 1

Ukážeme, že x 1lim 2x = 1

f x := x®L := 1a := 1

delta := epsilon3

epsilon .99

62

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

limita funkce

L

a

f(x) = x^2

Příklad 2

Ukážeme, že x 1

lim tgxx

= 1

f x := tanx

xL := 1a := 0delta := epsilon

epsilon .79

63

-3.14159 -1.5708 1.5708 3.14159

-1

1

2

limita funkce

L

a

f(x) = (tg x)/x

Příklad 3Ukážeme, že x 0

lim x + 1 2 f x := x + 1L := 2a := 0

epsilon .71

delta .51

64

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

limita funkce

L

a

f(x) = x +1

65

E.2.b Jednostranná limita funkce

Jednostranná limita funkce

===================================================================

Definice jednostranné limityŘekneme, že funkce f(x) má v bodě aR limitu LR zleva, jestliže ke každému - okolí bodu L existuje levé - okolí bodu a tak, že pro všechna x a z levého okolí bodu a náleží funkční

hodnoty f(x) zvolenému - okolí bodu L.

Jiná definice (epsilon-delta)Řekneme, že funkce f(x) má v bodě aR limitu LR zleva, jestliže >0 >0 tak, že xa- ,a platí fx -L .

Píšeme:x

-a

lim f x = L

===================================================================Pozn. Hodnoty „delta“ v následujících příkladech jsou zvoleny na základě výpočtů. Tyto výpočty nejsou pro ukázku podstatné a nejsou tudíž její součástí.

Příklad 1

Ukážeme, že x

-0

lim xx

= -1

f x := xx

L := -1a := 0

delta := epsilon2

epsilon .57

66

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

limita funkce zleva

L

a

f(x) = |x| / x

Příklad 2

Ukážeme, že x

+0

lim 1 + x = 1

f x := 1 + xL := 1a := 0delta := 3epsilon

epsilon .79

67

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

limita funkce zprava

L

a

f(x) = 1+sqrt(x)

Příklad 3

Ukážeme, že x

-1

lim x - x = 1

f x := x - floorxL := 1a := 1delta := 0.5epsilon

epsilon .54

68

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

limita funkce zleva

L

a

f(x) = x - [x]

69

E.2.c Nevlastní limita funkce

Nevlastní limita funkce

===================================================================

DefiniceŘekneme, že funkce f(x) má v bodě aR nevlastní limitu +, jestliže ke každému číslu K existuje takové 0 , že pro všechna x a z - okolí bodu a je f(x)>K.

Jiná definiceŘekneme, že funkce f(x) má v bodě aR nevlastní limitu +, jestliže KR 0 tak, že pro 0 x-a platí fx K .

Píšeme: x alim f x = +

=================================================================== Pozn. Hodnota „delta“ v následujícím příkladě je zvolena na základě výpočtu. Tento výpočet není pro ukázku podstatný a není tudíž její součástí.

Příklad 1

Ukážeme, že x 0lim 1

2x =

f x := 1

2xa := 0

delta := 1

1.1K

K 5.6

70

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-2-1

123456789

10

nevlastní limita funkce

L

a

f(x) = 1/(x^2)

71

E.2.d Limita funkce v nevlastním bodě

Limita funkce v nevlastním bodě

===================================================================

DefiniceŘekneme, že funkce f(x) má v nevlastním bodě + limitu LR, jestliže ke každému okolí

bodu L existuje x0 takové, že pro všechna x x0 náleží hodnoty f(x) zvolenému okolí bodu L.

Jiná definiceŘekneme, že funkce f(x) má v nevlastním bodě + limitu LR, jestliže >0 x0 takové, že x x0 je fx -L .

Píšeme: x lim f x = L

=================================================================== Pozn. Hodnota „x0“ v následujícím příkladě je zvolena na základě výpočtu. Tento výpočet není pro ukázku podstatný a není tudíž její součástí.

Příklad 1

Ukážeme, že x

lim 1x

= 0

f x := 1x

L := 0

x0 := 2epsilon

epsilon .93 x0 2.15054

72

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2-1

123456789

10

limita funkce v nevlastním bodě

L

x0

f(x) = 1/x

73

E.2.e Geometrický význam derivace

Geometrický význam derivace

Nakreslíme graf funkce f x := x®, zvolíme na něm dva body a povedeme jimi sečnu.(první bod zvolíme pevně, druhý zadáme pomocí posuvníku, abychom ho mohli snadno měnit)x0 := 2 [x0; f(x0)] = [2 ;4]

x1 .4 [x1; f (x1) ] = [.4 ; .16 ]

směrnice sečny: k := f x1 - f x0x1 - x0

2.4

rovnice sečny: sx := kx - x0 + f x0

sx 2.4x - .8 Nyní vyzkoušíme, jak se chová sečna při změně bodu x1.

-10 -5 5 10

-5

5

10

15f(x) = x^2

x0

x1s(x)

Pozorování: blíží-li se bod x1 bodu x0, připomíná sečna spíše tečnu ke grafu.Nechejte si v grafu zobrazit skutečnou tečnu ke grafu (předdefinovaná funkce t(x)) a vyzkoušejte.Totéž můžete vyzkoušet pro různé body x0.

74

f x := x®

x0 -1.1 [x0; f(x0)] = [-1.1 ;1.21 ]

x1 2.9 [x1; f (x1) ] = [2.9 ; 8.41 ]

k := f x1 - f x0x1 - x0

1.8

sx := kx - x0 + f x0

-10 -5 5 10

-5

5

10

15f(x) = x^2

x0x1

s(x)

Pro x0 = x1 nebyl výraz udávající směrnici sečny k definován (0/0).Pokusíme se určit limitu tohoto výrazu pro x1 -> x0 a použít ji jako směrnici kt.

f x := x®x0 2.1

kt := x x0

lim f x - f x0x - x0

4.2

tx := ktx - x0 + f x0 tx 4.2x - 4.41

75

-10 -5 5 10

-5

5

10

15

f(x) = x^2

x0

s(x)

Závěr

Pokud existuje vlastní limita x x0

lim f x - f x0x - x0 , představuje směrnici tečny ke grafu

funkce v tomto bodě.

Tato limita se označuje jako derivace funkce f v bodě x0.

Alternativní zápis směrnice (resp. derivace) pomocí diference d:f x := x® x0 := 2

k := f x0 + d - f x0d

sx := kx - x0 + f x0

d -1.1

kt :=

d 0lim f x0 + d - f x0

d4

tx := ktx - x0 + f x0

76

-10 -5 5 10

-5

5

10

15

77

F. Anketa Programy podporující výuku matematiky

F1 Otázky ke vztahu vyučujícího k používání počítačů ve výuce matematiky

Četnost Otázka č. 1: Používáte v souvislosti s výukou matematiky počítač?26 Ano5 Ne1 ano – zatím spíše pro přípravu materiálů, příkladů1 ano, ale málo

1 ano, kromě přípravy testů a písemek používám program pro znázornění grafů funkcí – promítám přes dataprojektor

1Ano, na počítači dělám některé přípravy, na některé portály odkazuji studenty, mám–li pocit, že je znalost obsahu přínosná (např. Utažská univerzita a její grapher) . Naše škola má zakoupený program Maple, v současné době se nic na počítačích neučí– nemáme vhodné prostory

1 Ano, protoze pocitace vyucuji :) Jinak ho spise pouzivam pri pripravach na vyuku. Jo a taky ve spojeni s projektorem jako demonstracni pomucku.

1 Ne, v současné době matematiku neučím.1 občas, záleží na ročníku, který vyučuji1 poměrně málo1 Pravdaže používam už od dôb ZX Spectrum Sinclaira. A to je už od roku 1984.1 Pro svoji přípravu ano.

1 Velmi často

Četnost Otázka č. 2: Je pro Vás používání počítače přínosné? V čem jsou podle Vás výhody a nevýhody?

2 –2 Ano1 Ano, je to přínosné, výhody jsou zřejmé a vyplývají z dalšího.1 Ano, názornost výkladu, přitažlivost pro studenty, šetří práci, přesnost

1 Ano, pestřejší výuka, názornost, Nevýhodou je, že PC není v každé učebně a časová náročnost příprav v počáteční fázi

1 Ano, precisnost grafického projevu, okamžitý výsledek pro kontrolu. Nevýhody: chybí stálé vybavení učeben.

1 ano, výhody – rychlost řešení, názornost grafu, výuka více studenty baví, nevýhody – dlouhá příprava hodin, nedostanu se do počítačové učebny

1 Ano, výhody – šetří papír, čas; nevýhody – příprava časově náročná

1 ano, výhody: operativní, rychlé zpracování; nevýhody: nemám počítač doma a musím s ním pracovat ve škole

1 Ano, zpestření hodiny, individuální přístup, grafické výstupy

1 Ano, zpestřuje práci, napomáhá pochopení, usnadní výpočty. Nevýhody–malé množství výukových programů hlavně pro vyšší gymnázium.

1 ano,zároveň i samostatnost studentů při vyhledávání problému1 áno. Možnosť rýchlej aktualizácie údajov. Prístup k novým zdrojom. Názornosť1 Ano. Pro přípravu písemek.

1

Ano. Výhody: názornost, přesnost provedených konstrukcí, dynamika (vše je vidět v pohybu – ideální pro diskuzi), možnost vrátit se zpět, rychlá kontrola při samostatné práci studentů,... Nevýhody: vytvoření programů je časově náročné pro učitele, vyučovací hodina musí být technicky zabezpečená

1 Ano. Výhody: rychlost, přesnost, kvalita zpracování, velká paměť (narozdíl ode mne). Nevýhody:

78

momentálně si nevzpomínám :–)

1 Ano; výhody:přehledný zápis např. zadání písemky; nevýhody:náročnost zápisu matematické symboliky

1

Ešte pre príchodom grafických kalkulačiek som používal svoj program na kreslenie grafov. Kolega používal hladanie prvočísel a iné. Používanie je prínosné ale len ako doplnok k výuke grafov funkcií, kombinatoriky , pravdepodobnosti a hladanie riešení po predchádzajúcom dôkaze cez Cabri geometriu po písomnej práci.

1Jelikož jsem zároveň správce sítě, učitel informatiky a koordinátor ICT vidím v použití výpočetní techniky přínos tehdy, je–li škola přiměřeně vybavena.Výhoda – postupy konstrukcí – Cabri geométre, statistika – excel, algoritmizace – programovací jazyky atd.

1 Kontroverzní. Zabírá čas s přípravou (přenášení počítače ...) někdy je i méně názorné. Výhodou jsou věci v pohybu.

1 Kvalitnější příprava materiálů, výukových i pro ověřování znalostí, snadnější archivace písemností v elektronické podobě (menší nároky na prostor).

1 Názornost, dynamičnost, rychlost. Náročnost na přípravu, nutnost dalšího vzdělávání, někdy neefektivnost.

1 Ne1 nevhodné pro výklad učiva, velmi vhodné pro utřídění poznatků, opakování učiva

1 nevýhody: náročnost na přípravu techniky (používám přenosný dataprojektor a notebook); výhoda: názornost, graf je zobrazen ihned, dá se snadno ukázat vliv koeficientů na graf fce.

1 Okamžitá názornost, přesnost, příjemná manipulace (mnohem lepší než křída nebo fix), čitelnost pro studenty, zábava

1Počítač při přípravě urychluje práci, zejména při opravách zadání písemek či tvorbě podobných zadání. Dají se zároveň předvést i některé věci – grafy, kontrukce, které se ručně črtají nepřesně. Nevýhodou je značná časová náročnost na přípravu.

1 Pokud je v ucebne projektor, pak lze vyuku spojit s pocitacovou prezentaci. Je to rychlejsi, nekdy nazornejsi.

1

Pro mě je užívání počítače významně přínosné. Hlavní nevýhodou počítače je to, že informace jsou podávány v tištěné podobě a schopnost studentů porozumět tištěnému textu je stále nižší. Význam počítače ve výuce bývá často přeceňován. Pro výuku matematiky považuji za nejpřínosnější grafické programy (Cabri apod.)

1 přehledný zápis jakýchkoliv poznámek – výhoda, nevýhody nejsou

1 přínos – ano, opakovatelné použití připravených materiálů, nevýhoda – časová náročnost při první přípravě materiálů

1 Přínosem zatím je příprava písemek.1 Přínosné. Mohu používat opakovaně (písemné pr,procvičování), upravovat, přidávat, užívat grafy ap.

1 Přínosy: přehlednost, kreativnost, možnost uchování cenných nápadů v elektronické podobě. Nevýhody: finanční nedostupnost některých programů.

1 Příprava písemek, grafů apod. Nevýhodou je časová náročnost.

1 určitě přínosné, výhoda: archivace a opětné použití vytvořených materiálů, nevýhoda: moje malá zběhlost v práci s počítačem a jeho nedostupnost doma a mimo školu

1 Velká motivace pro studenty, grafická kvalita, názornost, dynamičnost některých softwarů. Nevýhoda: studenti se „uzavírají“ do ulity s počítačem, ochabuje osobní komunikace.

1 výhoda je, že to studenti přečtou

1 výhoda pro moji přípravu – dostupnost; nevýhoda pro studenty – nenožnost jej používat při výuce kdykoliv

1 výhody–zpestření,názornost–grafy,stereometrie....nevýhody–pro běžnou hodinu ubíjí pozornost...příklad je třeba tvořit před žákem, jinak tupě opisuje..

Četnost Otázka č. 3: K čemu konkrétně jej používáte?(přípravy, písemky, kontrola výsledků, vytváření grafů, přímé použití v hodinách..)

4 příprava písemek3 –2 Písemky1 Archiv nápadů, písemné práce, grafy, statistiky, grafy, geometrie, jako pomůcku pro výuku

79

využívám počítače bohužel jen ojediněle. Samotných počítačů přímo ve výuce využívám nedostatečně – 1. Na M není pamatováno v rozvrhu – není volná pracovna. 2. Práce se studenty ubírá příliš mnoho času určeného pro výuku hodinově nedostatečně dotovaného předmětu. 3. Při ojedinělém (nepravidelném) využívání počítače studenti nemají nacvičeny potřebné návyky nutné pro efektivní práci, výuka je neefektivní.

1 Dále práce s internetem, databáze příkladů.1 Geometrie

1

Hodnocení (Excel), poloautomatická kontrola písemek (Excel, vlastní programy), komunikace se studenty (e–maily + vlastní web), sběr informací (ankety, dotazníky), příprava písemek (Word, Excel, tiskárna :o), demonstrace v hodinách (vlastní programy, Cabri Geometry, Excel), různé prográmky a aplikace pro studenty se snahou zapojit je do jejich vytváření (bohužel jich u nás ve škole moc neprogramuje, průměrně jeden až dva z každé třídy, a to ještě až na jedinou výjimku na nijak slavné úrovni), uvažuju o zapojení mobilní počítačové učebny (notebooky) do zpracovávání laboratorních prací na místě přímo v hodinách, ale zatím to nemám promyšleno a připraveno, tak asi příští rok..., rád používám v hodinách dataprojektor, například pro zadání písemky, nebo k některým demonstracím, rád při hodinách nechávám studenty vyhledávat na internetu, hlavně při laborkách.

1 Kdybych učil, tak bych kromě písemek aktivně využíval počítač při výuce grafů.1 kontrola výsledků, vytváření grafů1 nejčastěji si na něm připravuji písemky a jiné práce pro studenty1 písemky, grafy1 Písemky, grafy, demonstrace rýsování, zadávání práce v hodině1 písemky, grafy, občas v hodinách – např. Funkce1 písemky, mat. soft pro výuku1 písemky, pracovní listy, klasifikace, tvorba testů, výukové programy přímo v hodinách

1 písemky, vytváření grafů, vytváření konstrukcí, někdy řezy – v hodinách jej využívám velice málo, spíše pro frontální předvádění

1 písemky, grafy–program vofce, stereometrie–řezy,prezentace–např. Kuželosečky1 písemné práce, klasifikace, infinitesimální počet, stereometrie, kontrola výsledků1 pripravy, pisemky, grafy, prezentace, demonstrace, co se ma kde naklikat atp.1 prípravy, písomky, priame použitie na hodinách

1 prostřednictvím dataprojektoru používáme výukové programy a tedy počítač k výkladu učiva, řešení příkladů, konstrukčním úlohám, tvoření grafů funkcí, kontrole DÚ, ...

1

Především ve spojení s dataprojektorem, prezentace ppt, výborně se hodí ve stereometrii, při výuce funkcí a také konstrukčních úloh, event. při modelování rotačních těles (integrály) nebo různých křivek (cykloida). Výborná motivace (představuje to pro studenty populární formu „PC her“, na které „zabírají)

1 přímé použití v hodinách,vytváření grafů,přípravy, písemky, procvičování1 příprava materiálů, písemek... v hodinách ne – není prostor v rozvrhu vybavených učeben1 příprava písemek, příprava materiálů pro výuku

1 příprava písemných prací, grafy v učivu o funkcích, maturitní témata, tvorba dokumentů (ŠVP, zápisy, ...)

1 Přípravy, písemky, grafy, jednoduché prográmky, žáci si sami mohou kontrolovat výsledky(Excel), vyhledávání.

1 Přípravy, písemky, kontrola výsledků, vytváření hodnocení.1 přípravy, písemky, studijní materiál

1 Přípravy, tvorba grafů, grafická řešení geometrických úloh, matematická statistika, řešení logických problémů

1 Samozrejme príprava testov a písomných prác je výlučne na PC.1 Simulace problémů, vytváření a ověřování hypotéz.1 statistiky, kotrola výsledků, generování úkolů – každý jiné zadání, grafy, modelování...atd.1 všechno co uvádíš + komunikace

80

1 zadání písemek, maturitní otázky, příklady na procvičování

1 zadávání písemných prací, kontrola grafů funkcí

Četnost Otázka č. 4: Jak reagují na „používání techniky“ Vaši studenti?5 –4 Kladně1 baví je to, ale odvádí pozornost od podstatného1 Celkem běžně, neboť na naší škole je to poměrné časté.1 jak kdy, zpestření výuky, ale přísné hodnocení v programech1 jsou na ni zvyklí1 jsou rádi, že přečtou zadání1 jsou zvyklí na materiály v této formě, mám–li text psaný rukou, nemohou ho někdy přečíst1 kladne, zvykli si

1 Kladně; někdy mám ale pocit, že pro studenty je promítání pouze oddechový čas, kdy nemusí nic dělat.

1 mají hrůzu z toho, že by jim výklad látky zajišťoval počítač. Pokud má testová úloha delší zadání, neporozumí mu.

1 myslím, že kladně1 nekdy i davaji pozor nebo se ptaji, kde se da prezentace stahnout ;)1 Nereagují.1 neví, že by se takto dala učit matematika1 nevidí mne přitom...:–) vybavení naší školy VT je tristní1 Ocení materiály připravené pomocí počítače.

1 počítač přímo v hodinách MAT nepoužívám; jinak si myslím, že např. zadání písemky na počítači je přijímáno kladně

1 počítače používají jindy než v hodinách matematiky – studují počítače jako svůj hlavní obor

1 Používanie techniky nemôže byť násilné. Pri mojom výklade ju použijem, len keď tvorivo posilní výklad. Pri častom používaní študenti prestanú rozmýšlať.

1 Pozitivně

1 pro studenty znamená připravená písemka nebo příklady na doma nebo materiály ke studiu zjednodušení a urychlení jejich činnosti v matematice

1 Přijímají jej kladně.

1 Různě. Nadšení žáci spolupracují, další více odpočívají, jiní více zlobí, někteří kritizují např. kvalitu projekce apod.

1U nás ve škole je to dost běžná věc, takže, nijak mimořádně. Samozřejmě občas některý student (kupodivu hlavně kluci!) má naprostý odpor k počítačům, ale i ti se většinou přemůžou a aspoň minimálně snaží :o).

1 v hodinách nevyužívám počítač1 Velice pozitivně, snaží se osvojit si některé programy (pro začátek ms equation a vofce)1 velmi dobře1 velmi pozitivně, motivace , více je to baví1 Většinou je to oživení hodiny, někteří to berou jako „pokyn k odpočinku“1 Většinou kladně.1 Většinou pozitivně.1 zpestření hodiny1 zpestření hodiny, mají radost

1 zpracování referátů na počítači je běžné,včetně mat.symboliky...reagují normálně,ani jim to nepřijde

81

Četnost Otázka č. 5: Jaké programy používáte?(např. Maple, Derive, CAD, Cabri, TI InterActive!, MS Office – Word, Excel, TEX)

11 MS Office2 Cabri, MS Office1 –1 Cabri, Derive, Excel, Word1 cabri, excel, word,1 Cabri, MS Office – Excel, Word, zatím omezeně Matematico, TEX bohužel neumím.1 Cabri, MS Office, programy pro sestavování rovnic a z toho vyplývajících grafů fcí

1Cabri, MS Office, Visual Basic nebo jiné programovací jazyky, které jsou po ruce (a aplikace tím vytvořené), Notepad :o), editory HTML, MasterEye, Photo Shop, občas nějaké applety a tak... zatím mě nic dalšího nenapadá

1 Cabri, MS Word, TeX.1 Cabri, Office, IE skripty1 Cabri, Word, Excel, Famulus1 Cabri, Word, Excel, Java1 CAD, Word, Excel1 Derive (zatím se učím), vofce, grafy funkcí, Word – equation, zatím snaha o cabri

1 Derive,Cabri,Word, Excel,PowerPoint, Matik,Programy stažené z diplomových prací (MFF UK, JCU České Bud.)

1 Dotest, Word, Excel, Matik 6–9, Algebraické výrazy, Pythagorova věta, Rovnice 1,21 dříve Famulus, nyní Cabri,Derive1 mám školení na programy CABRI, DERIVE

1 Maple, Derive, Cabri, MatLab, Excel, TeX, ViM a řadu dalších freewarových programů (Vofce, různé grafické programy, Žočkův editor testů apod.)

1 Maple,vofce,MS–Word,Excel1 MS Office – Word, Excel, Origin1 Office (OO, MS), Corel, webove veci, TeX1 OpenOffice1 Používam Cabri, MS Office – Word, Excel, TEX1 TI Interactive, Mathematica, MS Office.1 Word, Excel někdy Maple či nějaký generátor grafů1 Word, Excel, Access,PowerPoint, Zoner Calisto1 Word, Excel, Bakaláři, programy vlastních studentů , i dřívějších, či kolegů – grafy1 Word, Excel, Cabri(teprve začínám)1 Word, Excel, Powerpoint a starej dobrej Matheass, toužím po Derive

1 Zatím používám (kromě MS Words a Excel) free programy stažené z internetu (www.slunecnice.cz). Vedení školy nám ale slíbilo zakoupení Cabri geometrie – až budou peníze.

Četnost Otázka č. 6: Co Vám u programů, které používáte, chybí? Co se Vám nelíbí, co byste řešili jinak?

11 –2 nic2 momentálně mě nic nenapadá1 Cabri – vetší oblast citlivých bodů, což by umožnilo snadnější spolupráci s interaktivní tabulí.

1Čas na jejich užívání ve výuce, čas na jejich studium, hlavně školení, která by doporučila pár bezplatných programů s open source. Programů, které by se ve výuce matematiky stávaly určitým standardem.

1 Derive – lepší grafika, dynamičnost

82

1 Editor rovnic je poněkud těžkopádný.1 Je zbytečné kritizovat, určitě nevyužívám ani všeho, co programy umí.

1Keď v USA predávali TI 86, rodičia študentov si mysleli, že budú ich ratolesti vedieť matematiku na výbornú. A ono je to len pomôcka, nie vedomosť. Preto si myslím, že kalkulačka, a hocijaký program nenahradí tvorivého učuiteľa.

1 Lokalizace.1 Množství.1 nejsou přímo určeny pro výuku matematiky, musí se „improvizovat“1 nevím, v příštím školním roce bude naše škola kupovat Cabri a Derive1 neznám programy dokonale, nemohu odpovědět1 nízká cena, celostátní multilicence1 nižší cena1 pohodlnější zadávání vzorců by se hodilo, ale po chvíli praxe se člověk naučí i ty zkratky

1Používala jsem program Matematika – sb.příkladů od firmy GamBit, ale s novým Microsofte zlobí a je problém ji použít, spíše zdržuje. Dříve podobná sb. v dos a nová verze také není. To je škoda, že program, který byl velmi dobře využitelný nebývá obnoven.

1 Prezentace by mohly být připravené někým..nedostává se mi času...více stereometrických programů1 problémy s textem v Cabri1 resila bych jinak MS celkove :)1 s využitím programů jsem vázána na konkrétní místo u počítače – tedy na školu1 snadnější používání – např. nějaké matematické šablony výrazů1 To neumím říci. Já jsem celkem spokojen, nehledám žádné hluboké využití.1 Ty další zatím neznám1 U některých by mohlo být lepší (atraktivnější) grafické prostředí1 Viac programov na konkretne vyucovacie témy, použiteľných na hodinách

1 Více možností a variant na procvičování i pro studenty, více řešení a snad také souhrn a přehled dostupných programu či technik.

1 využívám toho, co poskytují, potřebovala bych jednodušší zápisy matematických příkladů1 zatím žádné námitky, každý má něco, co se hodí

Četnost Otázka č. 7: Jak jste se o konkrétních programech dozvěděli?4 –2 Znám odjakživa2 Internet, kolegové2 Kolegové2 Kurzy

1Informace o Cabri kdysi na školení pro informatiku. C602, AmiPro – školení. Většinu z toho, co jsem schopna kreativně používat, jsem získala dalším samostudiem. (Nemám–li však papír o vyškolení, oficiálně budu považována za analfabeta.)

1 informace o programech z kurzů1 internet, kolegové, kurzy1 internet, semináře matematiky1 Kolegové, internet.1 kolegové, kurzy1 kurz, který proběhl na naší škole1 kurzy, časopis MFI, kolegové, drby...1 kurzy, internet1 kurzy, rodinní příslušníci

1 MAPLE – měli jsme na VŠ jako předmět ukončený klasif. zápočtem; MS Office – Word,.. – sama – formou „pokus a omyl“

1 MasterEye až ve škole, kde učí, Cabri na Veletrhu nápadů učitelů fyziky, Photo Shop jsem poznal až na VŠ díky své ženě, která se ho užila v prváku v rámci základního kruzu počítačů, Vše ostatní jsem

83

myslím znal už na gymplu, tedy „odjakživa“.1 MFF UK, kolegové, e–gram.cz1 MS Office odjakziva, Cabri z kurzu1 některé znám dlouho, jiné na vš1 některé znám leta, na kurzech a z měsíčníku Chip1 net, kolegové, vzdělávací kurzy, částečné i VŠ1 Praxe1 Především kolegové, předmětová komise, školení1 Semináře, internet, kolegové.1 studovala jsem informatiku, učila se sama používat, když to byla novinky a poté učila studenty1 Už nevím.1 Veľa programov už poznám od 1984.1 vlastní zájem, DVU1 VS, internet, musim to vyucovat :–/1 VŠ, kurzy, internet1 VŠ, semináře + kurzy1 všechny z nabízených možností...ještě bych dodala–studenti–ti mě zásobují :–)1 Výhradně internet

1 Vysoká škola, pracoviště.

84

F2 Otázky k situaci ve školáchČetnost Otázka č. 8: Podporuje Vaše škola takovéto aktivity?

18 Ano2 Ne2 Částečně ano1 –1 Ano – pořítačová učebna, školení1 Ano, ale ne všichni využívají1 ano, bude se budovat nová učebna matematiky pro tyto účely1 Ano, dost. Nákupem techniky, možností školení, „morální podporou“.1 Ano, naše škola je školícím střediskem pro Cabri Excel, Word,... píšeme projekty SIPVZ, EU1 ANO, poměrně hojně.1 Ano, vzdělávací kurzy1 Ano,organizuje vzdělávací kurzy, finančně podporuje zapojování počítačů do výuky.1 Celkem ano, některé aktivity jsou podporovány více, jiné méně, záleží na ledasčem.1 Jasně

1Naša škola podporuje aktivity. Len pozor. Aby tieto aktivity viedli k tvorivosti. Nech sa nevráti heslo: Ak nie je meotar (PC) na hodide hodine, nie je didakticky správne odučená hodina. To bolo za ČSSR.

1 Naše škola umožňuje účast na všech školeních. Postrádám konkrétní podporu zřizováním a vybavováním učeben

1 Nevím1 Organizuje vzdělávací kurzy – v rámci SIPVZ

1 škola kurzy organizuje a naši účast na nich finančně zajišťuje, snaží se nás přimět k jejich absolvování

1 Škola podporuje zapojování počítačů do výuky – dádvá finance, podporuje žádosti o granty, ale finanční ohodnocení učitele dle zapojení počítačů zatím – díky bohu – neprovádí.

1 škola se snaží v rámci možností1 Výrazně ano1 Zatím ne

Četnost Otázka č. 9: Jaké zázemí pro Vás vytváří?(technické vybavení kabinetu, potřebné programové vybavení)

2 –2 Zatím nic2 Obojí.1 ano, bude se budovat nová učebna matematiky pro tyto účely1 Dobré zázemí...1 ha ha ha !!!1 Hardware

1 Kabinet matematiky vlastní jedno PC plne pripojené na internet, projektor, meotar, grafické kalkulačky. Ale podotýkam: Ťažisko práce je krieda, tabuľa a učiteľ.

1 Mám v kabinetu a doma svůj počítač. Většinu práce dělám doma. Doma mám bohužel řadu nelegálních instalací matematických programů.

1 mám vlastní počítač, k dispozici MS Office – Word, Excel1 nevyhovující – vše co souvisí s počítači je pro vedení zbytečně drahé

1

No tak zrovna náš kabinet je co se týká vybavení počítačem žalostný, ale je to jeden z posledních ostrůvků šrotu ve škole – a mně to moc nevadí, nosím si vlastní notebook :o). Vlastně ještě počítače ve třídách nejsou nic moc, ale to mě taky moc nepálí, používám je jen jako ovladače dataprojektorů nebo hledače na internetu, pokud potřebuju něco víc, vyřeším si to jinak. Jsem spokojen s počítačovou učebnou, mobilní učebnou (17 notebooků), dostatečným množstvím dataprojektorů ve třídách... Doufám, že časem bude wifi po celé škole, ne jenom mobilní.

1 nooooooo, technicke vybaveni kabinetu stale pokulhava za vybavenim uceben (jeste minuly rok nebyl pocitac vsude, po „inovaci“ nasadili do kabinetu neco jako prvni Pentia). Programy nejsou problem, pokud se jedna o produkty MS. Jinak je to spis otazka toho, ze se hlavnimu spravci neco

85

takoveho kupovat nechce.1 Odpovídající potřebám, vstřícně.1 pc s připojením na internet v každém kabinetu, školní síť...1 počítač v kabinetu, příprava učebny s počítači na mat.1 Počítače v učebnách i v kabinetech.1 potřebné programové vybavení1 používám počítač v učebně VYT, protože tam vyučuji1 Sám spoluvytvářím zázemí.1 Spíše programové vybavení + postupné zařizování učeben dataprojektory, zatím i jeden přenosný1 technické vybavení1 technické vybavení kabinetu i učeben je v rámci možností1 technické vybavení kabinetu, potřebné programové vybavení1 technické vybavení kabinetu, programové vybavení1 v kabinetě 1 starý počítač pro tři vyučující – nedostatečné

1 V kabinetě je možné číst poštu, vytisknout dokumenty, zapsat klasifikaci – jeden počítač pro čtyři osoby. Ale i toto je velmi příznivé.

1 V kabinetě mám počítač s vnitřní sítí, možnost připojení k Internetu. Programové vybavení je na průměrné úrovni.

1 v kabinetě máme nový počítač, ale čekaly jsme na něj spoustu let, pro studenty je vybavení lepší, ale je omezeno nedostatkem financí

1 V kabinetech jsou zasíťované počítače, včetně tiskáren.

1 v kabinetu máme nový počítač,ale např. výuka mat. na počítačích by byla náročná kvůli kapacitě – nemáme učebnu počítačů pro 30 žáků

1 V možných finančních podmínkách maximálně. Pc, nákup programů financování školení1 v rámci možností jsem velmi spokojen1 V rámci možností vyhovující.1 Veškeré1 Všichni učitelé mají k dispozici PC.1 vytvoření učebny matematiky s potřebným, vybavením1 zabezpecuje hardvér a softvér1 začínáme s cabrigeom., snad budou i interaktivní tabule

Četnost Otázka č. 10: Máte ve škole speciální učebnu pro výuku matematiky, jejíž vybavení umožňuje využití výpočetní techniky? (dataprojektor, interaktivní tabule, ...)

14 Ne3 Ano3 Zatím ne

1 ani náhodou... k dispozici jsou dvě učebny s dataproj. – BIO, IVT a jeden dataproj. je přenosný, žel k němu není přenosný počítač a instalace trvá déle než přestávka

1 ano, ale do techto uceben se nedostane kazdy ucitel :(1 ano, bude se budovat nová učebna matematiky pro tyto účely1 ano, viz otázka výše

1dataprojektor ve škole je, ale ne speciálně pro matematiku, interaktivní tabuli nemáme, od konce minulého kalendářního roku je k dispozici 16 notebooků, tedy pro půlku třídy, zatím jsem s nimi nepracovala, máme i učebnu s počítači, ale ta je určena převážně k výuce IVT

1 máme odbornou učebnu matematiky s počítačem, dataprojektorem a el.plátnem1 máme tři speciální učebny pro vzužití ICT ve všech předmětech1 Mobilní učebna tohle splňuje, o interaktivní tabuli se uvažuje příští rok, dataprojektory jsou...1 Ne a nebude. Matematika není důležitá…1 Ne, ale pracuje se na ní.

1 ne, sice máme 4 speciální učebny, ale jsou využity odbornými předměty a ICT, učebna matematiky a deskriptivní geometrie má vzniknout v příštím roce

1 Ne, využíváme učebny jiných předmětů.1 Ne..ale je možnost dataprojektoru1 Nemáme, ale môžem si to pripraviť v každej triede.1 Přímo učebnu matematiky ne, ale lze využít přenosný dataprojektor do kterékoli třídy, event.

86

„vypůjčit“ si posluchárnu fyziky, biologie, aulu..1 spec. uč. ne, je možné používat počítačovou učebnu, třídu s dataprojektorem a s interaktivní tabulí1 speciální učebna je, ale není jen pro matematiku1 speciální učebnu ano, nikoliv jen pro výuku matematiky

1 Speciální učebnu matematiky nemáme, využíváme učebnu fyziky s dataprojektorem. Interaktivní tabuli nemáme – jedná se o jejím zakoupení.

1 učebnu ne, ostatní pomůcky ano

1 Zatím je to ve vývoji vzhledem k prostorům školy, ale je dostatek jiných odborných učeben, kam se můžeme přesunout.

1 Zatím ne, plánuje se od roku 2007/08 (zatím nedostatek prostoru)

87

F3 Otázky k Texas Instruments a TIIAČetnost Otázka č. 11: Umožňujete studentům pracovat s kalkulačkami? (při čem, s jakými)

4 Ano3 Ano, klasické

1 ani i ne, jak pri jake praci. Jake? No jake maji, ja jim je nekontroluji. Potrebuji na nich mit napr. ruzne soustavy, goniometricke funkce...

1 Ano někdy1 ano vždy1 ano, co si kdo přinese1 ano, denně1 ano, kalkulačky bez grafického režimu1 Ano, kromě grafických s jakýmikoliv. Práci neomezuji.1 ano, povinná pomůcka na hodinu1 ano, s libovolnými

1

Ano, snažím se je naučit, jak s nimi pracovat – oni si kupují moderní kalkulačky za několik tisíc a pak s nimi nic neumí :o/. Často počítají na mobilech, to vidím nerad, protože mi to připadá neefektivní, ale nechávám to na nich. Na druhou stranu jim ukazuju (a snažím se je k tomu vést), že řadu věcí je daleko rychlejší počítat z hlavy než na kalkulačce. A taky se je snažím přimět k tomu, aby laborky počítali v Excelu a ne na kalkulačce. Když některý student nemá kalkulačku, může si půjčit u nás v kabinetě, máme tam takové obyčejné, ale postačují. Někteří studenti používají Pocket PC, chytré mobily a podobně, snažím se je vést k tomu, aby dovedně využívali jejich programovatelnosti – sám jsem to na gymplu se svou programovatelnou kalkulačkou takhle dělal. Bohužel to má i nevýhody, ty sou asi zřejmé... Můžeme o tom někdy podiskutovat, budu rád.

1ano, téměř při všem (s výjimkou nižších ročníků osmiletého gymnázia v partiích, kde se upravují číselné výrazy, jednoduché rovnice). Kalkulačky si žáci kupuijí, je tedy na nich, jaký typ si koupí (ne ale ty úplně obyčejné).

1 Ano, v příkladech, ve kterých je kladen důraz na postup.1 Ano, ve vyšších ročnících pro vyčíslení konečného výsledku.1 ano, vždy a s jakýmikoliv

1 Ano, vždy. Volba kalkulačky je věcí studentů. Musí mít matematické funkce probírané na střední škole

1 ano, jaké mají přesně nevím1 Ano, na vyšším g. téměř vždy a s takovou, jakou mají.1 Ano. Libovolné kalkulačky kdo co má. Mohou je používat jak potřebují.1 Ano. Na vyšším gymnáziu stále. Ale často zařazuji příklady, u kterých kalkulačka nepomůže.

1 ano; během výuky i při písemce – kdykoliv; u některých příkladů chci ovšem i zápis řešení (úpravy) – nestačí, že si to jen „naťukají“ do kalkulačky a dopíší výsledek

1 ano; kromě goniometrie (musí umět tabulkové hodnoty goniometrických fcí zpaměti) všude; používají kalkulačky, které jsou běžně dostupné – pouze klasické

1 až od konce sekundy(osmiletá gymn.), složitější úlohy1 běžně v hodinách, klasické kalkulačky, ukázka práce s kalkulačkou s grafickým displejem

1

Do 10 rokov som za prvotné počítanie bez kalkulačky. Všetky operácie. Na základe týchto skúseností ma žiak vedieť si overiť riešenia aj na kalkulačke. Nemá veriť len kalkulačke , lebo aj pri nej sa žiaci dopúšťajú chýb. Od 10 do 16 rokov dávať žiakom práce len s kalkulačkou ale aj len bez nej. Zadávať práce žiakom na doma aj s použitím PC. Plne využiť dostupnú kalkulačku, teda za 300 Sk. Grafické kalkulačky s finannčých dôvodov nepoužívam v národnom programe. Vôbec nie je rozdiel vo vedomostiach študentov aké kalkulačky a technológie žiaci používajú. Múdrosť, to nie je technológia.

1 Do tercie ne..s malými výjimkami,potom ano–s malými výjimkami1 goniometrie, jejich vlastní

1 Je jim doporučeno mít vlastní. Nejedná se zatím bohužel o grafické (z důvodu nízké zkušenosti učitelů)

1 ne – pouze při trigonometrii a výpočtech ve strereometrii1 pri zlozitejsich vypoctoch, ake maju studenti1 při fyzice, při matematice – ovšem mimo základní algebru a aritmetiku

88

1 Při složitějších početních operací (např. násobení a dělení des. čísel, goniometrické funkce apod.)

1při všech hodinách matematiky, skoro při všech písemkách (výjimečně ne), určitě při každé větší písemné práci, používají svoje kalkulačky bez grafického displeje, aby měli srovnatelné podmínky; škola vlastní a zapůjčuje při hodině studentům klasické kalkulačky

1 používají vlastní kalkulačky

1 V hodinách matematiky příliš ne, snad v některých případech v seminářích nebo nižších ročnících, ale spíše jim v tom bráníme.

1 vyčíslování výsledků. Ne s grafickými

Četnost Otázka č. 12: Jaký druh kalkulačky vlastníte/používáte? (klasická, grafická, ...)17 Klasická3 Grafická1 běžně klasická, mimořádně grafická1 Casio fx–570s1 CASIO fx–82TL1 Casio s matem. funkcemi, já používám i grafickou (kurz na MFF)1 klasická – CASIO1 klasická – vědecká1 klasická i grafická1 klasická kalkulačka1 klasická s funkcemi1 klasická, 20 let staré CASIO1 Klasická, CASIO1 klasická, k běžným výpočtům, mnozí studenti mají i grafické1 Klasická, programovatelná. raději užívám počítač1 klasickou i grafickou (nevyužívám její grafické fce)1 Klasickou i grafickou, i když grafická kalkulačka mi v době počítačů už přijde zbytečná.

1 Klasickou. Dříve jsme v seminářích používali i grafickou. Ale při úbytku hodin M se v seminářích vyučuje neprobrané základní učivo, už není čas na takové lahůdky.

1 Mám 4 kalkulačky– 1 grafickou, 3 klasické

1

Máme všetky kalkulačky. Na škole máme medzinárodný program. Ten povinne zaviedol grafické kalkulačky. Je to len technologivcký problém. žiaci nebudú opäť vedeieť viac matematiku ale len majú možnosť si overovať a porovnávať výsledky. V tomto programe využívam 5 rokov grafické kalkulačky. Ale niet nad presnú matematiku. Aby v testoch sme zistili vedomosť zručnosť žiak musí aj dokázať matematické vedomosti a zručnosti. Teda kalkulačka mu je manič. Musí veci rozumieť.

1 Nevlastním žádnou...aha–vidíte,už vím,co si přát na konec roku :–)1 PC – vedecka kalkulacka :)1 Sharp – jednořádkový display, Cassio – dvouřádkový displej, kalkulačku pod Wokny1 TI–89 – grafická, výborná

Četnost Otázka č. 13: Znáte firmu Texas Instruments?Máte zkušenost s jejími produkty? (pokud ano, s jakými?)

13 Ne10 Ano, kalkulačka.5 Znám, ale zkušenosti nemám3 Ano1 ano – zkušenosti velmi malé, znám pouze jejich kalkulačky1 Ano TI 83, 83 plus, 84, 86, 921 ano, ano mám – didaktické praktikum na MFF – doc. Lustig, dr. Feil apod.1 Ano, ano, TIIA1 Ano, kalkulátory, programy Derive, TI Interactive.1 ano, z MFF (pan Kašpar) graf. kalkulátory1 Ano. Měl jsem kdysi jejich kalkulačku. TI–301 Ano. SHARP1 Firmu znám, máme kalkulačky TI – 81 na škole. Dříve se využívaly častěji, teď už málo.

89

1 firmu znám, škola je vybavena jejich kalkulačkami, připadají mi pro výuku dostačující1 Měl jsem kdysi od nich notebook i moje první kalkulačka byla TI. Znám je – drazí1 název jsem slyšela,ale konkrétně nevím

Četnost Otázka č. 14: Vadí Vám/Vašim kolegům/studentům používání programů, které nejsou v češtině/slovenštině? Myslíte si, že takovéto programy mají šanci uchytit se ve školách?

2 –1 Ano vadí mně to, ale myslím, že tyto programy mají šanci se ve školách uchytit.1 Ano, ano.1 Ano.1 Ano. Nemají šanci uspět, alespoň nejbližších 15 let1 ano; pokud budou učitelé dobře vyškoleni a budou příkazům rozumět, pak ano1 Ano; spíše nemají šanci – možná na jazykových gymnáziích

1 asi jak komu. Osobne nevim, jak jsou na tom ostatni. Me naopak dela problemy vyucovat ceske verze, pokud znam ci pouzivam anglickou :)

1 asi ne, už i tá slovenčina robí problémy1 beru jako svou chybu, že neumím dostatečně anglicky a tudíž mne to zdržuje1 bylo by lepší, kdyby byly v češtině1 Částečně ano, pro mladší studenty je pak obtížnější maximální využití možností programu.

1 já osobně to s obtížemi zvládnu, ale spíš je to na závadu, do školy bych volila program s českou/slovenskou mutací

1Je to náročnější pro studenty, musí se soustředit nejen na samotnou látku, ale také na ovládání programu. Většinou si pak neví rady, i když slovní zásoba potřebná k užívání je většinou jen triviální.

1 kolegům a mně by to v adilo, studentům asi ne1 Mě ne, u ostatních nedokážu říct. Ano, mají.1 Mně nevadí vůbec, studenti slovensky neumí1 mně osobně nevadí, ale je malá šance1 Mně osobně to vadí, kolegům tak výběrově, u studentů nevím.1 Myslím, ze ano1 nam nevadi, ale obecne sanci nemaji1 Naopak, angličtina je velmi užitečná.1 Ne1 Ne1 Ne, ano1 Ne..pokud nejsou čínsky...1 nemají, studenti nejsou patřičně jazykově vybaveni a ani nechtějí být

1 neumím anglicky, takže práce s nimi mi dělá větší potíže, ale pracovala jsem s anglickou verzí Cabri; tyto programy jsou rozhodně pro školy přínosem

1 Nevadí, ano1 nevadí,ale jsou méně atraktivní a uživatele odrazují, práce se studentem je náročnější1 Občas

1

Studenti (a já taky) běžně hrají počítačové hry v angličtině, takže jim to je jedno (a mně taky). Snažíme se vést studenty ve škole k používání angličtiny. Teda nepředstavuj si teď, že učíme v angličitě a podobně, to ne :o). Nedokážu posoudit, jak angličtina vadí kolegům nebo studentům, myslím, že každý je raději, když může používat stejnou věc v češtině :–), ale problémy s tím asi nejsou. Navíc program v angličtině chápu spíš jako možnost naučit se při matice/fyzice/čemkoliv ještě něco dalšího – mezipředmětové vztahy :).

1 Studentům to vadí; na gymnáziích snad1 Vadí1 Vadí hlavne tým skôr narodeným. U mladých to vôbec nie je problém.1 Vadí, asi ne1 Vadí, do budoucna asi ano, až se zlepší jazykové znalosti studentů i učitelů1 vadí, požaduji výhradně české

1 Vadí, protože neumím jazyk natolik, abych to uměla překládat. Myslím si, že takové programy velkou šanci nemají.

90

1 Vadí. Pokud budou dobré a pracovat hlavně s grafikou a matem. výrazy, tak asi ano.1 Záleží jen na učiteli. Šance je určitě menší.

Četnost Otázka č. 15: Slyšeli jste/pracovali jste s programem TI InterActive?(pokud ano, jaký na něj máte názor?)

37 Ne1 Ano, dobrý pro demonstrací funkcí, jinak zbytečně složité způsoby zápisů. A chybí česká lokalizace.1 Ano. Chybí lokalizace, nedostupnost literatury (popis funkcí, kterými program disponuje)

1 Nepracoval, neznám. Začnu se po něm pídit. Je free? Samozřejmě není. Tím jeho cena pro výuku matematiky výrazně klesá

1

Práve som si o tomto programe prečítal na webe. Je to pobobná ponuka ako sa dalo pripojiť TI 84 a TI 85 k PC. Vyzerá to však lepšie nakoľko viem čo robí TI 92. Určite si to pozriem. Ale ako som celkovo povedal použijem to tak 5% na hodinách, 50% pri tvorbe a oprave testov a samozrehňjme sú študenti, ktorí budú takýto program používať aj iných oblastiach až 90% a niektorí len nutných 5%. Mám také skúsenosti.

1 zatím jsem s ním nepracovala, ale chystám se na to

91

Documents

Programy podporující výuku matematikykdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/dana_machova/diplomka... · Web view3) grafy funkcí f a sestrojené v téže soustavě souřadnic Oxy jsou