Progressões Aritméticas e Geométricas Notas de Aula es Aritméticas e Geométricas Notas de Aula 01 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em

Progressões Aritméticas e Geométricas Notas de Aula 01 –

Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

1

Sequências

Uma sequência é uma função f de em , ou seja . Para todo

número natural i associamos um número real por meio de uma determinada

regra de formação. A sequencia pode ser denotada por:

Ou, por meio de um gráfico de flechas:

Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando

apenas a imagem de :

Para indicar uma sequência qualquer, denotamos

,onde é o conjunto onde encontramos os índices da sequência dada.

Exemplos

Sequências dadas por fórmulas de recorrência

1) Seja a sequência tal que

, onde .

Neste caso , e é uma sequência finita.

2) Seja a sequência tal que

, onde , com .

Neste caso , e é uma sequência infinita.



2

Sequências que expressam seus termos em função da sua posição

3) Seja uma sequência tal que seus termos são dados pela lei de

formação , com .

Neste caso , e é uma sequência finita.

4) Seja uma sequência tal que seus termos são dados pela lei de

formação , para qualque natural maior ou igual a 1.

Neste caso , e é uma sequência infinita.

Progressões Aritméticas

Chamamos de Progressão Aritmética a toda sequência que pode ser dada pela

seguinte fórmula de recorrência:

, onde e são número reais fixos dados. A constante é chamada de razão

da PA.

Exemplos

São progressões aritméticas

, onde o primeiro termo é a razão é .



, onde o primeiro termo é a razão é

.

, onde o primeiro termo é

a razão é

.

Note que, uma propriedade importante das PA’s é a de que a diferença entre

dois termos consecutivos quaisquer é sempre constante e é igual a sua razão.



3

Uma PA será classificada como crescente quando sua razão for positiva, como

nas sequências acima.

Uma PA será classificada como decrescente quando sua razão for negativa,

como nas sequências acima.

Uma PA será classificada como constante quando sua razão for nula, como na

sequências acima.

Termo Geral de uma PA

Vimos uma definição de PA que usa uma definição de sequência por

recorrência. Mas, uma vez conhecendo-se o primeiro termo e a razão de uma

PA, podemos deduzir uma lei de formação que nos permite calcular qualquer

termo da PA sem usar o cálculo por recorrência. Se denotarmos o primeiro

termo da PA por e a razão por , temos:

Se somarmos todos os membros do lado direito das igualdades e todos os

membros do lado esquerdo das desigualdades teremos:

Cancelando as parcelas iguais em ambos os lados da igualdade obtemos:

A expressão acima é chamada de termo geral da PA, e fornece uma lei de

formação para encontrarmos qualquer elemento da sequência sem o uso da

recirrência. O termo geral da PA também pode ser demosntrado usando-se o

princípio da indução finita (ver exercício 8).

Também é possível obtermos uma lei de formação para obter o n-ésimo termo

de uma PA partindo de seu k-ésimo termo. Se n<k temos:



4

Portanto,

Interpolação Aritmética

Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma PA,

cujos extremos são . A PA procurada terá termos.

Assim:

Então

Por exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre os números 2 e 4.

Temos que este meios serão dados pela PA de primeiro termo igual a 2 e

razão igual a

Portanto os meio procurados são os meios da PA

.

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Resultado 1: Podemos mostrar, usando indução finita, que ao somarmos o

números naturais de até , o resulta do da soma S será dado por

Estamos interessados porém em elaborar uma expressão para a soma do n

primeiros termos de uma PA qualquer, de primeiro termo e razão .

Denotaremos esta soma por .



5

Temos

Então

Usando o Resultado 1, sabemos que a soma dos números naturais de 1 até (n-

1) será dada por

.

Portanto,

Desenvolvendo a expressão acima ainda obtemos:

E concluímos,

Exemplo

Calcular a soma dos 25 termos iniciais da PA (1,7,13,...)

A PA tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 6. O 25º termo será

dado por .

Então a soma será dada por:



6

Progressões Geométricas

Chamamos de Progressão Aritmética a toda sequência que pode ser dada pela

seguinte fórmula de recorrência:

, onde e são número reais fixos dados. A constante é chamada de razão

da PG.

Então, em uma PG, a razão entre dois termos consecutivos

é sempre

constante e coincide com a razão da própria PG.

Exemplos

São progressões geométricas




, onde o primeiro termo é a razão é

.



Uma PG será classificada como crescente quando cada termo for maior do que

seu antecessor. Isto ocorre quando o temo inicial é positivo e a razão é maior

do que 1, ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é um número entre

0 e 1.

Uma PG será classificada como decrescente quando cada termo for menor do

que seu antecessor. Isto ocorre quando o temo inicial é positivo e a razão é um

número entre 0 e 1, ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior

do que 1.

Uma PG será classificada como constante quando cada termo for igual ao

termo anterior. Isto ocorre quando o temo inicial é diferente de zero e a razão é

igual a 1, ou quando o primeiro termo é zero e a razão é qualquer.



7

Uma PG será classificada como alternante quando cada termo tem o sinal

contrário de seu antecessor. Isto ocorre quando a razão da PG é negativa. Por

exemplo, a PG dada acima.

Uma PG será classificada como estacionária quando o primeiro termo for não

nulo e todos os outros forem nulos. Isto ocorre quando o temo inicial é diferente

de zero e a razão é igual a zero. Por exemplo, a PG dada acima.

Termo Geral de uma PG

Vimos uma definição de PG que usa uma definição de sequência por

recorrência. Mas, uma vez conhecendo-se o primeiro termo e a razão de uma

PG, podemos deduzir uma lei de formação que nos permite calcular qualquer

termo da PG sem usar o cálculo por recorrência. Se denotarmos o primeiro

termo da PG por e a razão por , temos:

Se multiplicarmos todos os membros do lado direito das igualdades e todos os

membros do lado esquerdo das desigualdades teremos:

Cancelando os fatores iguais em ambos os lados da igualdade obtemos:

A expressão acima é chamada de termo geral da PG, e fornece uma lei de

formação para encontrarmos qualquer elemento da sequência sem o uso da

recirrência. O termo geral da PG também pode ser demosntrado usando-se o

princípio da indução finita.



8

Interpolação Geométrica

Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma PG,

cujos extremos são . A PG procurada terá termos.

Assim:

Então

Por exemplo:

Num determinado semestre, a produção de uma indústria cresceu em PG. Em

janeiro a produção foi de 1500 unidades, e, em junho, foi de 48000 unidades.

Qual foi a produção em cada um dos meses entre janeiro e junho ?

O que temos que fazer é interpolar 4 meios geométricos entre os números

1500 e 48000.

Temos que este meios serão dados pela PG de primeiro termo igual a 1500 e

razão igual a

Portanto os meios procurados são os meios da PG:

Soma dos termos de uma PG Finita

Da mesma forma como fizemos com as progressões aritméticas, vamos

abordar o problema de encontrar a soma dos n primeiros termos de uma PG,

elaborando uma “fórmula” para tal soma.

A soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo e razão será

dada por:



9

Ao multiplicarmos a soma toda pela razão da PG obtemos

Subtraindo (2) de (1) temos:

Do que reslta:

E obtemos

Note que a expressão para a soma somente está definida para PG de razão

diferente de 1.

Obs: ver outra forma de expressar a soma dos termos de uma PG no exercício

65.

Limite de uma sequência e a soma dos termos de uma PG infinita

Definição: Dizemos que uma sequência converge para uma determinado limite

, se dado um , existe um natural de tal forma que se então o valor

de está a uma distância menor do que de . Ou seja

Se

Neste caso indicamos

E dizemos que a sequência converge para .

O limite de uma PG infinida de razão cujo módulo é menor do que 1

Suponhamos que temos uma PG de razão tal que .

Vamos mostrar que esta PG converge para zero.

Suponha que temos dado tão peque quanto se queira. Temos



10

Queremos exibir um a partir do qual

Temos

Como , a desigualdade acima implica que

Ou seja, basta tomarmos como o primeiro natural tal que tal que

Então dado , podemos sempre exibir como sendo o primeiro natural

maior do que

, tal que

Pela definição de limite de uma sequência temos que :

Quando a razão da PG é um número entre -1 e 1 , então

Como consequência do resultado acima, se tomarmos uma PG de primeiro

termo r e razão r com – teremos que e então



11

Limite da soma de uma PG infinita

Suponhamos uma PG com razão r de tal forma que . Se

calcularmos a soma dos n primeiros termo desta PG teremos.

Calculando o limite quando n vai para infinito temos

Como

é constante em relação a n

Usando que se – entçao

, teremos

E,

Observações Importantes:

Se , a PG tem todos os termos igual a zero e a soma dos termos

converge para zero para qualquer que seja a razão da PG.

Se e a razão r da PG é tal que ou , então a soma

dos termos da PG não converge para nenhum valor, e não é possível

exibir a soma dos termos da PG.



12

Produto dos Termos de uma PG

Chamemos de ao produto dos n primeiros termos de uma PG finita.

Temos

Então

Usando a formula da soma dos primeiros n números naturais temos



13

Exercícios

1)Determinar de tal forma que a sequência seja uma

PA.

Resposta:

2)Determinar a de forma que seja uma PA.

Resposta:

3)Obter uma PA de 3 termos tais que a soma seja 24 e o produto seja 440.

Sugestão: adote que a PA tem a forma

Resposta:

4)Obter números em PA sabendo que sua soma é e a soma de seus

inversos é

.

Resposta: ou

5)A soma de 4 termos consecutivos de uma PA é -6, o produto do primeiro

deles pelo quarto é -54. Determine a PA.

Resposta: ou .

6)Obter uma PA crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos

seja 45 e o dos meios seja 77.

Resposta: ou .

7)Obter uma PA de 5 termos sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus

cubos é 3025.

Sugestão: utilize uma PA dada genericamente por

.

Resposta: .

8) Mostre, usando o princípio da indução finita, que o termos geral de uma

PA de primeiro termo k e razão r é dado pela expressão

9)Calcule o vigésimo termo de uma PA cujo termo inicial é e a razão é .

Resposta: 62



14

10) Obter o 9º, o 23º e o 1000º termo da PA (3,7,11,15,...)

Resposta : 35, 91 e 3999.

11) Obter a razão da PA em que o primeiro termo é -1 e o vigésimo primeiro

é 59.

Resposta: 3.

12)Obter o primeiro termo de uma PA de razão 2, cujo 21º termo é 30.

Resposta: -10.

13)Qual é o termo igual a 71 na PA em que o 3º termo é 17 e a razão é 6?

Resposta: É o 12º termo.

14)Qual é a razão da PA em que e ?

Resposta: -3.

15)Obter o termo geral da PA em que e .

Resposta:

16)Determinar a PA em que o 6º termo é 7 e o 10º termo é 15.

Resposta: (-3,-1,1,3,...)

17) Qual é a PA em que o 1º termo é 20 e o 9º é 44?

Resposta: (20,23,26,...)

18)Determinar a PA em que se verificam as relações:

Resposta:(89,93,27,...)

19)Qual é o primeiro termo negativo da PA (60,53,46,...)?

Resposta:

20) Qual é o primeiro termo positivo da PA (-101,-97,-93,...)?

Resposta: .

21) Intercalar (ou interpolar) 5 meios aritméticos entre -2 e 40.

Resposta: São os meios da PA (-2,5,12,19,26,33,40).



15

22) Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200.

Resposta: Resultam da PA de primeiro termos e razão

.

23)Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para

que a razão da interpolação seja ½?

Resposta: 43

24) Quantos números inteiros e positivos, formados por 3 algarismos, são

múltiplos de 13?

Resposta: 69

25)De 100 a 1000 quantos são múltiplos de 2 ou de 3 ?

Resposta: 601

26)Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto

termo da PA?

Resposta: d 30

27) Calcule a soma dos 90 primeiros números ímpares positivos.

Resposta: 8100

28)Obtenha uma fórmula genérica para a soma dos n primeiros números

ímpares positivos.

Resposta:

29)Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 150?

Resposta: 11325.

30)Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da PA ( 3,7,11,15,...).

Resposta: 210.

31)Obter a soma dos n elementos iniciais da sequência:

Resposta:

d 53

32)Determine o primeiro termo e a razão da PA em que o vigésimo termos

é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650.

Resposta: .



16

33) Qual é o 23º termo da PA de razão 3 , em que a soma dos 30 termos

iniciais é 255 ?

Resposta: 31

34)Quantos termos devem ser somados na PA (-5,-1,3, ...), a partir do

primeiro termo, para que a soma seja 1590 ?

Resposta: 30

35)Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em PA (202,206,210,...), por

distração não foi somada a 35º parcela. Qual foi a soma encontrada?

Resposta: 14662.

36)Determinar uma PA em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a

soma dos 50 termos iniciais é 3650.

Resposta:

.

37)Qual é a soma dos múltiplos de 5 positivos, formados por três

algarismos?

Resposta:98550.

38)Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10000?

Resposta:4549050.

39)Obter uma PA em que a soma dos n primeiros termos é para

todo n natural.

Resposta: (3,5,7,9,...)

40)Calcular o primeiro termo e a razão de uma PA em que a soma dos n

primeiros termos é para todo n natural.

Resposta:(5,7,9,...)

41)Qual deve ser o valor de x para que a sequência (5,15,45,135,x) seja

uma PG ?

Resposta: 405

42)Qual é o número que deve ser somado a 1,9 e 15 para que se tenha,

nesta ordem, três números em PG ?

Resposta: Devemos soma -33 a cada um dos números.



17

43) A sequência está em progressão

geométrica? Se sim, qual é a razão?

Resposta:Sim, é uma PG de razão .

44)Qual é a razão da PG

?

Resposta:

.

45)Determine o 4º termo da PG .

Reposta:

46)A população de um país é atualmente igual a e cresce 3% ao ano.

Qual será a população do país daqui a t anos?

Resposta:

47)Um tanque de água tem capacidade . Após ficar completamente

cheio, este tanque começou a escoar água perdendo 4% de seu volume

a cada minuto. Qual será o volume de água no tanque daqui a t

minutos?

Resposta:

48)Determinar 3 números reais positivo em PG, de forma que sua soma

seja

, e a soma de seus quadrados seja

.

Resposta:

ou

49)Obter a PG de 4 elementos em que a soma dos 2 primeiros é 12 e a

soma dos 2 últimos é 300.

Resposta: (2,10,50,250)

50)De a fórmula do termo geral da PG (2,4,...)

Resposta:

51)Qual é o sétimo termo da PG (2,6,...)?

Resposta: 1458

52)Calcule o 1º termo da PG em que e .

Resposta:



18

53)Numa PG crescente, o 1º termo é 3 e o 5º termo é 30000. Qual é a

razão desta PG.

Resposta: 10

54)Quantos elementos tem a PG ?

Resposta: 15 termos.

55)Mostre que numa PG sempre vale que

56)Numa PG crescente, o 3º termo é 3 e o 5º termo é 48. Qual é o valor do

4º termo. Qual é a razão da PG?

Resposta: O valor o 4º termo é 12 e a razão é 4.

57)Numa PG temos e . Calcule o primeiro termo e a razão

desta PG.

Resposta: e .

58)Numa PG, a soma do 3º e do 5º termo é igual a 360 e a soma do 4º e do

6º termo é igual a 1080. Determine a razão e o primeiro termo desta PG.

Resposta: e .

59)Três números estão em PG de forma que o produto deles é 729 e a

soma é 39. Calcule os 3 números.

Resposta: 3,9 e 27.

60)Inserir 3 meios geométricos entre 3 e 48.

Resposta: (3,6,12,24,48) ou (3,-6,12,-24,48).

61)Qual é a razão da PG que obtemos ao interpolar 4 meios geométricos

entre 1 e 243 ?

Resposta: 3

62)Quantos meios geométricos devemos inserir entre

e de modo que

a sequência obtida tenha razão 4?

Resposta: A PG deve ter 6 termos e temos que inserir 4 meios

geométricos.



19

63)Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 32 e 2048 para

que se obtenha uma PG de razão 2 ?

Resposta: A PG deve ter 7 termos e temos que inserir 5 meios

geométricos.

64)Dados e , encontre e de tal forma que a sequência seja

uma PG. Exiba esta sequência em função de e .

Resposta:

65) Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma PG finita pode ser

expressa em função do primeiro termos, do último termo e da razão

através da expressão

66) Determine a soma:

a. dos 10 primeiros termos da PG (3,6,...)

b. dos termos da PG

Resposta: a) 3069. b)2046

67)Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série

Resposta:

68) A soma de uma PG finita é 728. Sabendo-se que o último termo é 486 e

a razão é igual a 3, calcule o primeiro termos desta sequência.

Resposta:

69)Calcule o valor de x na igualdade ,

sabendo que os termos do 1º membro formam uma PG.

Resposta: .

70) Se a e q são números reais não nulos, calcular a soma dos n primeiros

termos da PG

Resposta :

71) Partindo de um quadrado , cujo lado mede metros, consideremos

os quadrados , , ,..., tais que os vértices de cada quadrado



20

sejam os pontos médios dos lado do quadrado anterior. Calcular a soma

das áreas dos quadrados , , ,..., .

72)Quantos termos da PG devem ser somados para que a

soma seja 3280.

Resposta: 8 termos.

73)Determinar tal que

Resposta:

74)Determinar tal que

Resposta:

75) Uma empresa produziu 10000 unidades de certo produto em 2009. A

meta é produzir, a cada ano, 20% a mais do que no ano anterior.

Quantas unidades deverão ser produzidas no período de 2009 a 2013 ?

Resposta: 74416.

76) Qual é o limite da soma quando o número de

termos tendo ao infinito?

Resposta:

77)Determine o limite da soma da PG infinita

Resposta: 1

78)Determine o limite da soma da PG infinita

Resposta:

79)Determine o limite da soma da PG

sendo

.

Resposta:



21

80)Resolva a equação

, na qual o primeiro membro

é o limite da soma de uma PG infinita.

Resposta:

81)Determine o valor de na igualdade

, na qual o

primeiro membro é o limite da soma de uma PG infinita.

Resposta:

82)A medida do lado de um triângulo eqüilátero é 10. Unindo-se os pontos

médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo eqüilátero.

Unindo-se os pontos médios desse novo triângulo obtém-se um terceiro

,e, assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de

todos os triângulos.

Resposta: 60.

83)Determine o conjunto solução da equação

na qual o primeiro membro é o limite da soma de uma PG infinita.

Resposta:

84)Calcular a soma da série infinita

Resposta:4

85)Determinar a fração geratriz das dízimas periódicas:

a. 0,3333...

b. 0,5212121

Respostas: a)

b)

86) Qual é a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo

a.

b.

c.

d.

Respostas: a)

; b)

; c)

;d)



22

87) Qual é o número para o qual converge a série

Resposta:

88)Em cada uma das PGs abaixo calcule o produto dos n termos iniciais:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Respostas: a) ; b) ; c) ;

d) ; e) 1; f)

89)Calcular a soma . Qual é o

valor de a se ?

Resposta:

. Se então

90) Calcular o produtos dos 101 termos iniciais da PG alternante em que

.

Resposta:-1

Referências

Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3.

Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003.

Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume

4. Ed Atual. São Paulo. 1977.

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