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Page 1 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Progression – Classe de Seconde – Mathématiques - 2019
Contenus et capacités étudiés tout au long de l’année :
Le calcul littéral est un « fil rouge » du programme qui est étudié tout au long de l’année. Les contenus suivants sont étudiés régulièrement sans faire l’objet
d’un « cours » particulier :
• Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires
• Ensemble des solutions d’une équation, d’une inéquation
La résolution des problèmes de géométrie est également un « fil rouge ». La géométrie est un support permettant de faire émerger des problèmes résolus dans
le cadre fonctionnel, le cadre probabiliste, …
• Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est à étudier à un moment de l’année laissé au choix du professeur (+ démonstration de la minimisation
de longueur point/droite)
• La démonstration de la relation trigonométrique cos²(a)+sin²(a)=1 est à étudier à un moment de l’année laissé au choix du professeur
Un choix est fait de travailler très tôt les fonctions de référence afin d’assurer leur maitrise tout au long de l’année (en les utilisant dans des résolutions de
problèmes, dans les automatismes, ...) et d’enrichir les connaissances au fur et à mesure des séquences.
L’algorithmique et la programmation en Python sont utilisées de manière récurrente tout au long de l’année scolaire : les acquis du cycle 4 sont consolidés
(variable, affectation, séquence d’instruction, boucle) et étoffés avec la notion de fonction. L’utilisation d’algorithmes peut être envisagée dans l’ensemble des
séquences proposées. Les exemples d’algorithmes indiqués dans le programme officiel sont indiqués dans la progression proposée. L’utilisation de l’outil
algorithmique ne se limite pas à ceux-ci et doit être étendue à d’autres problèmes.
Le travail autour du vocabulaire ensembliste et de la logique est également récurrent tout au long de l’année et prend sa part dans l’ensemble des séquences
proposées.
Des idées d’automatismes sont proposées en reprenant la séquence précédente. D’autres organisations sont possibles.
Des propositions d’intégration d’histoire des mathématiques sont formulées à titre indicatif. La richesse des situations exploitables permet d’en envisager
d’autres.
La présente progression représente un volume horaire d’environ 30 semaines. Les durées en semaines sont données à titre
indicatif.
Page 2 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 1 (2 semaines) Manipuler les nombres réels Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Nombres rationnels (D,Q) et réels (R),
encadrement d’un réel par des décimaux,
Intervalles, distance entre nombres réels
Calculs numériques de base, test d’égalité,
résolution équation simple du 1er degré
Implémentation en python de l'algorithme
de Babylone (ou méthode de Héron) pour
approximer racine de 2. (S'appuyer sur
l'approche géométrique basique à savoir
s'approcher de plus en plus d'un carré en
faisant la moyenne arithmétique de la
largeur et de la longueur du rectangle
précédent)
Le nombre de Champernowne
Démonstrations 1/3 n’est pas décimal
Exemple d’algorithme du
programme
Encadrement de racine de 2 par balayage
Exemple de « situation problème » Quel est le plus proche de 1 : 777777774 / 777777775 ou 777777775 / 777777774 ?
Séquence 2 (2 semaines) Les fonctions de référence Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Fonctions affine, carré, inverse, cube, racine carrée Distance entre deux nombres, intervalle et
distance, fraction décimale et différentes
écritures d’un même nombre
Règle de calculs de Matiyasevich
(concerne la courbe d’équation y=x² ) Démonstrations Positions relatives x, x², x³ pour x>=0
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Problème d’optimisation de volume ou d’aire
Séquence 3 (1,5 semaine) Utiliser l’information chiffrée Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Proportion, pourcentage, pourcentage de
pourcentage, évolution
Calcul d’image et d’antécédent à l’aide des
fonctions de référence, calculs avec
relation simple entre variable (U =RI, …),
présentation algorithmique (ou écrite en
Python)
Les cartogrammes d'Emile Levasseur
(carte dont certains paramètres, superficie,
PIB... varient en fonction d'une autre
variable thématique. Cela donne par
exemple une carte de l'Europe avec
beaucoup de rectangles pour chaque pays)
Démonstrations -
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Écriture de courtes fonctions Python répondant à des petits problèmes d’évolution, fonction appelant une autre fonction
Page 3 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 4 (2 semaines) Vecteurs du plan Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Vecteur, égalité de vecteurs, coordonnées d’un
vecteur, norme
Calculs de proportion et d’évolution
séparément, différencier une évolution
d’une proportion
Description de certains très beaux pavages
de Escher à l'aide du vocabulaire des
vecteurs. Construction de frises du même
style avec fonction principale pour un
motif appelée dans une fonction gérant la
répétition (prg Scratch vs module
turle de python)
Démonstrations -
Exemple d’algorithme du
programme
Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir les configurations du plan autour de la longueur et du milieu
Séquence 5 (2 semaines) Utiliser le calcul littéral Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Règles de calculs sur les puissances, racines
carrées, identités remarquables
Calculs et lectures de coordonnées de
vecteurs et de points, théorème de
Pythagore, norme d’un vecteur
Résolution de certaines équations du 2nd
degré (avec paramètre c bien choisi) par la
méthode d'Al-Khwarizmi. Cela met en
lumière l'utilisation de la première identité
remarquable : on dégage la forme
canonique géométriquement sans avoir
besoin de la nommer ou de la désigner
(plus au programme)
Mener un travail sur tableur ou (et) sur
python sur le théorème des deux carrés de
Fermat (décomposition de tout nb premier
de la forme 4n+1 comme somme unique de
deux carrés d'entiers)
Démonstrations Racine carrée d’un produit, d’un quotient,
illustration graphique de (a+b)²
Exemple d’algorithme du
programme
Première puissance supérieure ou inférieure à une
valeur donnée
Exemple de « situation problème » Quels sont les nombres entiers qui peuvent s’écrire comme différence de deux carrés d’entiers ?
Page 4 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 6 (1,5 semaine) Utiliser l’information chiffrée Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Évolutions successives, évolution réciproque Identités remarquables (102x98), calculs
de puissances, différentes écritures d’une
racine carrée
Ou plutôt une belle histoire du JT de
France 2 regarder et commenter avec les
élèves les propos de Jean-Paul Chapel lors
du JT de France 2 du 19/02/2013.
Démonstrations -
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Paradoxes des pourcentages, évolution de t % non compensée par une baisse de t % (lien avec calcul littéral (1+t’)(1-t’) )
Séquence 7 (1,5 semaine) Représenter algébriquement et
graphiquement les fonctions
Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Fonction définie sur un intervalle (ou une réunion
d’intervalles), courbe représentative, parité
Augmentations successives, augmentation
non compensée, évolution réciproque
Maths dans l'histoire :
qu'est ce qu'une fonction ?
définition d'Euler en 1748 dans Introductio
in analysin infinitorum (étude d'un extrait)
plus restreinte (seulement une expression
analytique) que celle purement algébrique
de Dirichlet formalisée en 1837.
Démonstrations
Exemple d’algorithme du
programme
Exemple de « situation problème » Parmi les fonctions affines, quelles sont celles qui sont paires ? Impaires ?
Séquence 8 (2 semaines) Statistique descriptive Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Indicateurs de tendance centrale, indicateurs de
dispersion
Lecture d’image et d’antécédent, équation
f(x)=k, inéquation f(x)<k
Un peu de topologie...
définition de la distance en norme 1 sur un
exemple simple. Calcul d'un itinéraire
entre deux points sur l'île de Manhattan.
Puis interprétation de la médiane comme
minimiseur en norme 1 sur une série de 3
valeurs. Interprétation de la moyenne
comme minimiseur en norme 2. La racine
carrée du min est l'écart-type.
Démonstrations
Exemple d’algorithme du
programme
Fonction renvoyant la moyenne, l’écart-type et la
proportion appartenant à [m-2s;m+2s]
Exemple de « situation problème » Travail à partir de fichiers de données réelles volumineux ( data.gouv.fr )
Page 5 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 9 (2 semaines) Opérations sur les vecteurs Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Somme, relation de Chasles, produit, colinéarité Associer à des séries les bons indicateurs
Calcul littéral, équations
Une démonstration du théorème de
Ménélaus (énoncé sans mesures
algébriques) à l'aide d'un déterminant Démonstrations 2 vecteurs colinéaires ssi déterminant = 0
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir les configurations du plan autour de l’alignement et du parallélisme
Séquence 10 (2 semaines) Variations et extrémums d’une
fonction
Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Croissance, décroissance, monotonie
Maximum et minimum
Vecteurs colinéaires, relation de Chasles,
déterminant
Situation d’alignement et de parallélisme à
partir de la donnée des coordonnées de
points
Pb de l'aire entre les trois demi-cercles (on
peut à cette occasion faire une digression
sur les lunules d'Hippocrate) Démonstrations
Exemple d’algorithme du
programme
Approximation d’un extrémum (balayage,
dichotomie)
Calcul approché de longueur d’une portion d’une
courbe
Exemple de « situation problème » Problème de l’aire de baignade, ...
Page 6 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 11 (2 semaines) Multiple, diviseur, nombre premier Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Ensembles N,Z
Multiple, diviseur, nombres pair & impairs,
nombre premier
Exploitation de tableau de variation,
lecture graphique sur la courbe, comparer
des images
Faire jouer les élèves en duel au jeu de
"Juniper Green" (ouverture très ambitieuse
programmer une Intelligence artificielle
pour jouer contre un humain, encore
ambitieux mais moins, programmer une
version solitaire = partie la plus longue)
Vérification à l'aide d'un programme
python de la conjecture de Goldbach sur
les premiers entiers pairs.
Extraction d'une racine carrée par diverses
méthodes dont celle géométrique de Liu
Hui
Démonstrations Somme de deux multiples de a est un multiple de a
Le carré d’un nombre impair est impair
Racine 2 est irrationnel
Exemple d’algorithme du
programme
Déterminer si a est multiple de b
Plus grand multiple de a inférieur ou égal à b
Déterminer si un nombre est premier
Exemple de « situation problème » Les fractions d’Erdös : décomposer 4/n en somme de 3 fractions de numérateur 1 (n>=2). Conjecture toujours d'actualité en 2019 !!!
Séquence 12 (2 semaines) Modéliser le hasard, calculer des
probabilités
Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Univers, événements, réunion, intersection,
complémentaire
Loi de probabilité, probabilité d’un événement
P(AuB)+P(AnB)=P(A)+P(B)
Dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres
Liste de diviseurs, différentes écritures
d’une racine carrée, fraction irréductible,
nombre premier ou pas ?
Paradoxe de Bertrand (longueur d'une
corde prise au hasard dans un cercle et
probabilité que longueur de cette corde soit
supérieure au côté d'un triangle équilatéral
inscrit dans ce cercle)
Problème du duc de Toscane
Problème du Chevalier de Méré
Insister sur l'importance du choix du
modèle. C'est lui qui fixe le cadre, et qui
donne notre perception du réel, c'est-à-dire
la suite à donner à la mathématisation du
problème.
Démonstrations -
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir des dénombrements à l’aide de tableaux ou d’arbres
(Soient a,b les résultats de 2 lancers de dés étude de la loi de proba de min(a,b) ; max(a;b) ; a + b ; a*b ; événement a/b irréductible ?
avec 3 dés a,b,c : le triangle de longueurs a,b,c est-il constructible ? ; celui avec 2 angles de mesure 15*a et 15*b est-il rectangle ?
Page 7 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 13 (2 semaines) Variations des fonctions de
référence
Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Interprétation du coefficient directeur d’une
fonction affine comme taux d’accroissement,
variation
Variation des fonctions carré, inverse, racine
carrée, cube
Produit d’une inégalité par un réel en lien avec le
sens de variation d’une fonction affine
Probabilité manquante dans une loi de
probabilité, calculer probabilité de l’union,
utilisation d’un arbre de dénombrement
Travaux de Newton et Leibniz, un mot sur
leurs méthodes pour une brève présentation
du calcul infinitésimal (ouverture au choix
de la spécialité maths de 1ère)
Démonstrations Variations des fonctions carré, inverse, racine
carrée
Exemple d’algorithme du
programme
Exemple de « situation problème » Problèmes menant à des résolutions d’inéquations en lien avec les sens de variation des fonctions de référence
Séquence 14 (2 semaines) Représenter et caractériser les
droites du plan
Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Vecteur directeur d’une droite
Equation de droite (cartésienne, réduite)
Pente d’une droite
Lecture graphique de coefficient directeur,
résolution d’inéquation du premier degré,
exploitation des variations des fonctions de
référence
Etude d'un texte de Descartes, l'un des
fondateurs de la géométrie analytique.
Tache intermédiaire guidée pour aboutir à
la célèbre égalité OH = 3 OG et
l'alignement O,H,G sur la droite d'Euler.
Démonstrations Forme générale d’une équation de droite
Exemple d’algorithme du
programme
Alignement de trois points du plan
Equation de droite passant par deux points
Exemple de « situation problème » Problèmes de rebonds sur un billard, concours des trois médianes d’un triangle
Page 8 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Séquence 15 (2 semaines) Échantillonnage Automatismes Histoire des mathématiques
Contenus Échantillon aléatoire pour une expérience à deux
issues
Version vulgarisée de la loi des grands nombres
Principe de l’estimation d’une probabilité, d’une
proportion
Appartenance d’un point à une droite
d’équation donnée, lecture graphique
d’une équation réduite de droite, associer
droites et équations
Problème du duc de Toscane
Problème du Chevalier de Méré
Démonstrations -
Exemple d’algorithme du
programme
-
Exemple de « situation problème » Problème du duc de Toscane ou un autre historique le problème du Chevalier de Méré
Le jeu du lièvre et de la tortue ; le jeu de franc-carreau ; le jeu de Monty Hall ; illustration du théorème de Césaro (théorie des nombres) avec
une simulation en python et une approximation de la probabilité par la fréquence.
Page 9 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Évaluation – Capacités attendues
Nombres et calculs
Manipuler les nombres réels :
• Associer à chaque point de la droite graduée un unique nombre réel et réciproquement.
• Représenter un intervalle de la droite numérique. Déterminer si un nombre réel appartient à un intervalle donné.
• Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.
• Dans le cadre de la résolution de problèmes, arrondir en donnant le nombre de chiffres significatifs adapté à la situation étudiée.
Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier :
• Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.
• Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible.
Utiliser le calcul littéral :
• Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
• Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U=RI, d=vt, S=πr², V=abc, V=πr²h), exprimer une variable en fonction des autres. Cas
d’une relation du premier degré ax+by=c.
• Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.
• Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.
• Modéliser un problème par une inéquation.
• Résoudre une inéquation du premier degré.
Page 10 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Évaluation – Capacités attendues
Géométrie
Manipuler les vecteurs du plan :
• Représenter géométriquement des vecteurs.
• Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
• Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
• Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
• Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
• Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
• Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
Résoudre des problèmes de géométrie :
• Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
• Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
• Traiter de problèmes d’optimisation.
Représenter et caractériser les droites du plan :
• Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente.
• Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
• Tracer une droite connaissant son équation cartésienne ou réduite.
• Établir que trois points sont alignés ou non.
• Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
• Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.
Page 11 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Évaluation – Capacités attendues
Fonctions
Se constituer un répertoire de fonctions de référence :
• Pour deux nombres a et b donnés et une fonction de référence ƒ, comparer ƒ(a) et ƒ(b) numériquement ou graphiquement.
• Pour les fonctions affines, carré, inverse, racine carrée et cube, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type
ƒ(x)=k, ƒ(x)<k.
Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions :
• Exploiter l’équation y=ƒ(x) d’une courbe : appartenance, calcul de coordonnées.
• Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.
• Résoudre une équation ou une inéquation du type ƒ(x)=k, ƒ(x)<k, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.
• Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
• Résoudre graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique, une équation ou inéquation du type ƒ(x)=g(x), ƒ(x)<g(x).
Étudier les variations et les extrémums d’une fonction :
• Relier représentation graphique et tableau de variations.
• Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.
• Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d’une fonction donnée par une
formule.
• Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.
Page 12 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Évaluation – Capacités attendues
Statistiques et probabilités
Utiliser l’information chiffrée et statistique descriptive :
• Exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.
• Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages.
• Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d’évolution.
• Calculer le taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs.
• Calculer un taux d’évolution réciproque.
• Décrire verbalement les différences entre deux séries statistiques, en s’appuyant sur des indicateurs ou sur des représentations graphiques données.
• Pour des données réelles ou issues d’une simulation, lire et comprendre une fonction écrite en Python renvoyant la moyenne m, l’écart type s, et la
proportion d’éléments appartenant à [m-2s , m+2s].
Modéliser le hasard, calculer des probabilités :
• Utiliser des modèles théoriques de référence (dé, pièce équilibrée, tirage au sort avec équiprobabilité dans une population) en comprenant que les
probabilités sont définies a priori.
• Construire un modèle à partir de fréquences observées, en distinguant nettement modèle et réalité.
• Calculer des probabilités dans des cas simples : expérience aléatoire à deux ou trois épreuves.
Échantillonnage :
• Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille n pour une expérience aléatoire à
deux issues.
• Observer la loi des grands nombres à l’aide d’une simulation sur Python ou tableur.
• Simuler N échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à deux issues. Si p est la probabilité d’une issue et ƒ sa fréquence observée dans un
échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre p et ƒ est inférieur ou égal à 1/racine(n).
Page 13 Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen
Évaluation – Capacités attendues
Algorithmique et programmation
Utiliser les variables et les instructions élémentaires :
• Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).
• Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions, une instruction conditionnelle.
• Écrire une formule permettant un calcul combinant des variables.
• Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.
• Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou compléter un algorithme ou un programme.
Notion de fonction :
• Écrire des fonctions simples : lire, comprendre, modifier, compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
• Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart type. Aucune connaissance sur les listes n’est exigée.
• Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d’une expérience aléatoire, d’une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.