Proiectul II constă în verificarea ipotezelor pe care se fundamentează estimarea parametrilor

modelului econometric.

Prima ipoteza se bazează pe ideea că variabilele x și y nu sunt afectate de erori de

măsură.Această ipoteză se poate verifica cu regula celor 3sigma ,regulă care constă în verificarea

următoarelor relații:

x t∈ ( x ±3σx )→x−3σy<xt<x+3σx

y t∈ ( y±3σy )→ y−3σy< y t< y+3σy

Unde:

σx=√∑ (xt−x )2

n=√ 235,35

30=2.8

σy √∑ ( y t− y )2

n=√ 243,11

30=2.84

26,511-8.4¿x¿26.511+8.4

18.11¿ x<34.911

36,137-8.52¿ y<¿36,137 +8.52

27.61¿ y<44.65

Ipoteza 2. Homoscedasticitate a variabilelor reziuduale

Ipoteza 2.1.

Metoda grafică – constă în construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale şi

ale variabilei reziduale. Se reprezintă grafic pe axa OX valorile variabilei factoriale x, iar pe axa

OY se reprezintă valorile variabilei reziduale u.

Va trebui să calculăm valorile variabilei reziduale: ui= y i− y i

1

0 5 10 15 20 25 30 350.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

u=(yi-Y)

x

u

Deoarece graficul punctelor prezintă o evoluţie oscilantă putem accepta ipoteza că variabilă factorială şi cea reziduală sunt independente.

Ipoteza 2.2.

Procedeul dispersiilor variabilei reziduale – se aplică atunci cînd se dispune de serii lungi de date. Seria valorilor variabilei reziduale se împarte în două grupe, pentru fiecare grupă calculîndu-se dispersiile pentru fiecare grupă. Dispersia care este mai mare se deplasează la numărător şi invers.

2

perioada

credite si leasind financiar(x)

total obligatiuni(y) x*y x^2 Y y^2

(y-ymed)^2

(x-xmed)^2 u u^2

februarie 22,04 32,49 716,0703 485,63 32,07361 1055,86 0,55 2,82 0,42 0,18ianuarie 2010 22,11 32,69 722,725 488,84 32,12392 1068,52 0,30 2,58 0,56 0,32martie 22,18 32,22 714,6639 491,86 32,17119 1038,39 1,02 2,37 0,05 0,00aprilie 22,28 32,39 721,5054 496,35 32,24108 1048,79 0,72 2,07 0,14 0,02mai 22,84 32,33 738,5237 521,85 32,63207 1045,16 0,82 0,76 -0,30 0,09iunie 23,46 32,55 763,399 550,18 33,05558 1059,24 0,48 0,07 -0,51 0,26iulie 23,78 32,83 780,7393 565,58 33,28118 1077,74 0,17 0,00 -0,45 0,20august 24,09 32,85 791,2601 580,33 33,49431 1078,86 0,15 0,14 -0,65 0,42septembrie 24,37 33,48 816,1146 594,09 33,69085 1121,11 0,06 0,43 -0,21 0,04octombrie 24,88 33,63 836,59 619,01 34,041 1130,64 0,15 1,35 -0,42 0,17noiembrie 25,35 34,10 864,1631 642,37 34,36279 1162,54 0,74 2,65 -0,27 0,07ianuarie 2011 25,44 35,51 903,43 647,35 34,43061 1260,82 5,16 2,98 1,08 1,16decembrie 25,50 35,01 892,7265 650,10 34,46798 1225,91 3,16 3,17 0,55 0,30

  308,31 432,07 10261,91 7333,55 432,0714373,5

8 13,49 21,40 0,00 3,24

x= 23,72

y= 33,24

a= 16,82375

b=

0,692012

Su12

= ∑ u2

(n−k−1)2

= 0,5891190

3

x y x*y x^2 Y y^2(y-ymed)^2

(x-xmed)^2 u u^2

iulie 27,65 37,24 1029,65 764,63 37,26 1386,523,16648

3 2,72047 -0,02 0,00

iunie 27,71 37,35 1035,19 768,01 37,32 1395,322,76045

42,52296

6 0,03 0,00

august 28,16 37,91 1067,52 793,15 37,80 1436,791,23312

5 1,29592 0,10 0,01

septembrie 28,99 38,52 1116,58 840,42 38,68 1483,480,24946

2 0,09696 -0,17 0,03

octombrie 29,19 38,89 1135,13 851,82 38,89 1512,670,01499

70,01331

4 0,00 0,00

noiembrie 29,19 38,67 1128,55 851,94 38,89 1494,980,12282

30,01285

6 -0,23 0,05

decembrie 29,81 39,61 1180,98 888,81 39,56 1569,190,35705

2 0,26175 0,05 0,00

februarie 29,82 39,88 1188,91 888,99 39,56 1590,020,73880

60,26482

9 0,31 0,10

ianuarie2012 29,91 39,71 1187,79 894,61 39,66 1577,040,48516

60,37041

3 0,05 0,00

aprilie 29,99 39,93 1197,35 899,40 39,75 1594,01 0,827260,47419

1 0,18 0,03

mai 30,12 39,91 1202,15 907,21 39,89 1592,970,80378

10,67013

1 0,02 0,00

iunie 30,16 39,98 1205,84 909,69 39,93 1598,400,93033

40,73893

9 0,05 0,00

martie 30,22 39,62 1197,01 913,01 39,99 1569,350,35944

60,83652

1 -0,38 0,14

380,92 507,2014872,6

511171,7

0 507,2019800,7

3 12,05 10,28 0,00 0,37

4

x= 29,3013846

y=39,0154615

a=7,78139

b=1,065959

Su12

= ∑ u2

(n−k−1)2

=0,06713

5

F calc=Su1

2

Su22 =8,78; F tab(0,01 ;11/2 ;11/2)=¿8,47

F tab<Fcalc→ se accepta ipoteza de heteroscedasticitate

Ipoteza 2.3.

Calculul coeficientului de corelaţie liniară simplă

ru /x=∑ u t⋅( x t−x )n⋅σ u⋅σ x

=0

Din calculele efectuate ru /x≃0 , se acceptă ipoteza homoscedasticităţii, variabilele u şi x fiind independente.

Ipoteza 2.4.

Metoda analizei variaţiei

A=∑ ( y t− y)2= 243,11

B=∑ ( y t− y )2= 237.01

C=∑ ( y t− y t )2= 6,10

A=B+C=237.1+6 . 10=243 . 11, variabilele u şi x sunt independente şi se acceptă ipoteza de homoscedasticitate.

Testul Goldfeld-Quandt

perioada

credite si leasind financiar(x)

total obligatiuni(y) x*y x^2 Y y^2 u^2

(y-ymed)^2

(x-xmed)^2

(Y-Ymed)^2

februarie 22,04 32,49 716,07 485,63 32,07 1055,86 0,18 0,55 2,82 1,35ianuarie 2010 22,11 32,69 722,73 488,84 32,12

1068,52 0,32 0,30 2,58 1,24

martie 22,18 32,22 714,66 491,86 32,171038,3

9 0,00 1,02 2,37 1,13

aprilie 22,28 32,39 721,51 496,35 32,241048,7

9 0,02 0,72 2,07 0,99

mai 22,84 32,33 738,52 521,85 32,631045,1

6 0,09 0,82 0,76 0,36

iunie 23,46 32,55 763,40 550,18 33,061059,2

4 0,26 0,48 0,07 0,03

iulie 23,78 32,83 780,74 565,58 33,281077,7

4 0,20 0,17 0,00 0,00

august 24,09 32,85 791,26 580,33 33,491078,8

6 0,42 0,15 0,14 0,07septembrie 24,37 33,48 816,11 594,09 33,69

1121,11 0,04 0,06 0,43 0,21

octombrie 24,88 33,63 836,59 619,01 34,04

1130,64 0,17 0,15 1,35 0,65

noiembrie 25,35 34,10 864,16 642,37 34,36

1162,54 0,07 0,74 2,65 1,27

ianuarie 2011 25,44 35,51 903,43 647,35 34,43

1260,82 1,16 5,16 2,98 1,43

6

decembrie 25,50 35,01 892,73 650,10 34,47

1225,91 0,30 3,16 3,17 1,52

308,31 432,0710261,

917333,5

5432,0

714373,

58 3,24 13,49 21,40 10,25

x= 23,72

y= 33,24

a= 16,82375

b=

0,692012

Su❑2= ∑ u12

n−c2

−(k+1)=0,294559

x y x*y x^2 Y y^2 u^2(y-ymed)^2

(x-xmed)^2

(Y-ymed)^2

iulie 27,65 37,24 1029,65 764,63 37,26 1386,52 0,00 3,17 2,72 3,09

iunie 27,71 37,35 1035,19 768,01 37,32 1395,32 0,00 2,76 2,52 2,87

august 28,16 37,91 1067,52 793,15 37,80 1436,79 0,01 1,23 1,30 1,47

septembrie 28,99 38,52 1116,58 840,42 38,68 1483,48 0,03 0,25 0,10 0,11

octombrie 29,19 38,89 1135,13 851,82 38,89 1512,67 0,00 0,01 0,01 0,02

noiembrie 29,19 38,67 1128,55 851,94 38,89 1494,98 0,05 0,12 0,01 0,01

decembrie 29,81 39,61 1180,98 888,81 39,56 1569,19 0,00 0,36 0,26 0,30

februarie 29,82 39,88 1188,91 888,99 39,56 1590,02 0,10 0,74 0,26 0,30

ianuarie2012 29,91 39,71 1187,79 894,61 39,66 1577,04 0,00 0,49 0,37 0,42

aprilie 29,99 39,93 1197,35 899,40 39,75 1594,01 0,03 0,83 0,47 0,54

mai 30,12 39,91 1202,15 907,21 39,89 1592,97 0,00 0,80 0,67 0,76

iunie 30,16 39,98 1205,84 909,69 39,93 1598,40 0,00 0,93 0,74 0,84

martie 30,22 39,62 1197,01 913,01 39,99 1569,35 0,14 0,36 0,84 0,95

380,92 507,20 14872,65 11171,70 507,20 19800,73 0,37 12,05 10,28 11,68

x= 29,3013846

y=39,0154615

a=7,78139

b=1,065959

Su❑2= ∑ u12

n−c2

−(k+1)=0,033563

Fcalc=Su1

2

Su22

=∑ u12 ¿(

n−c2

−(k+1))

∑ u22 ¿(n−c

2−(k+1))

=

8,776287

7

F tab=( α ;( n−c2

−(k+1)); ( n−c2

−( k+1)))=4 ,16

Ipoteza 3. Autocorelaţia erorilor

Ipoteza 3.1. Procedeul grafic- se realizează corelograma între valorile estimate ale variabilei

endogene y t şi valorile variabilei reziduale ut .

0.0000 5.0000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 30.0000 35.0000

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

u=(yi-Y)y^

u

Deoarece graficul punctelor prezintă o evoluţie oscilantă putem accepta ipoteza că erorile sunt independente, adică nu sunt autocorelate.

Ipoteza 3.2. Calculul coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1

r1=∑ ut⋅ut−1

∑ ut2

= 3 .986 .10

=0 ,652

Deoarece r1 tinde spre 1, aceasta ne arată că există o autocorelaţie pozitivă a erorilor.

Ipoteza 3.3. Testul Durbin-Watson

Testarea ipotezei cu ajutorul testului DW:

- Se stabileşte ipoteza nulă:

H0: variabila reziduală nu este autocorelată.

- Se stabileşte ipoteza alternativă:

H0: variabila reziduală nu este autocorelată.

8

- Se calculează testul DW:

DW=∑(u t−ut−1)

2

∑ ut2

=3 . 276 . 10=0 ,536

DW se compară cu 2 valori teoretice, d1 şi d2, preluate din tabelul de distribuţie Durbin-

Watson în funcţie de pragul de semnificaţie α ,k

şi n.

d1= 1,13 d2= 1,26Deoarece DW nu se afla între d1 şi d2 de aici se specifică existenţa unei autocorelaţii pozitive.

Ipoteza 4. Ipoteza de normalitate a erorilor

P(|u t|≤t tab⋅S u )=1−α

0 5 10 15 20 25 30 350.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

u=(yi-Y)yi

ui + t0,01;28 *Su

- t0,01;28 *Su

Valorile empirice ale variabilelor reziduale se înscriu în banda ±t tab⋅S u , cu un anumit prag de semnificaţie α =0,01 ipoteza de normalitate a variabilelor reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnificaţie.

Testul Jarque-Berra

JB=n⋅[ S2

6+(k−3)2

24 ]− χα ;22

Coeficient de asimetrie

9

S=

1n∑ ( y i− y )3

σy3

=

130

⋅( -13 . 82)

2 . 843= 0 .46

22 . 90=0 ,020

Coeficient de aplatizare sau boltire -

K=

1n∑ ( y i− y )4

σy4

=

130

⋅2894 .43

2. 844 =96 . 4865 .05 =1 . 48

JB=30⋅[ 0 ,0202

6+

(1. 48−3)2

24 ]=30⋅[0 . 00007+0 ,0962 ]=30⋅0 .0963=2 ,89

χα ;22=5 ,99

Testul JB < χα ;22 ceea ce ne arată că ipoteza de normalitate a erorilor este acceptată.

Punctul 4:

Reviziunea datoriilor pe baza valorii viitoare a riscurilor globale pot fi estimate fie pe baza estimaţiei punctuale, fie pe baza unui interval de încredere.

Dacă valoarea riscului global în luna iulie a fost egală cu 270,21 mild lei, atunci:

xn+v=x t−r1⋅xt−1=270 ,21−0 ,702⋅265 ,589=270 ,21−186 ,443=83 ,767

a1= a⋅(1−r1 )=-54,463⋅(1-0,702 )=-54,463⋅0 ,298=−16 ,230

b1=b

Estimarea punctuală

yn+v=a1+b1⋅xn+v=−16 ,230+0 ,293⋅83 ,767=−16 ,230+24 ,544=8 ,314

Estimarea prin intervalul de încredere

P( yn+v−tα⋅S yn+v)≤ yn+ v¿P( yn+v− tα ¿S yn+ v

)=1−α

S yn+ v=√S u2 ¿(1+130

+(xn+v− x )2

∑ ( xi−x )2 )=√1,913⋅(1+130

+(83 ,767−242 ,946)2

5586 ,109)=√1 ,913⋅(1+1

30+25337 ,954

5586 ,109 )==√1 ,913⋅(1,033+4 ,536 )=√1,913⋅5 ,569=√10 ,653=3 ,264

10

P(8 ,314−1 ,701⋅3 ,264 )≤ y n+ v≤P(8 ,314+1,701⋅3 ,264 )=1−0,1⇒P(8 ,314−5 ,552 )≤ yn+v≤P(8 ,314+5 ,552)=0,9⇒P(2 ,762 )≤ yn+v≤P(13 ,866 )

Deci cu un prag de semnificaţie de 0,1 sau cu o probabilitate egală cu 0,90, valoarea estimată a datoriilor în luna iulie va fi cuprinsă:

P( yn+v∈ [2 ,762;13 ,866 ] )=0 ,90

Eroarea relativă

er=|tα⋅S yn+v

yn+v|¿100≤E(% )=5. . 10

er=|1 ,701⋅3 ,2648 ,314

|⋅100=|5 ,5528 ,314

|⋅100=|0 ,66778|⋅100=66 ,778

Coeficientul Theil

T=√1n ∑ ( y− y i )

2

√1n⋅∑ y2+√1

n ∑ y2

=√130

⋅53 ,569

√130

⋅8868,784+√130

⋅8922,353

=√1 ,786√295 ,626+√297 ,412

=

¿1 ,336√295 ,626+17 ,246

=1 ,336√312 ,872

=1 ,33617 ,688

=0 ,0755

Coeficientul Theil obținut are valoarea cuprinsă în intervalul [0,1] tinde spre zero, deci aceasta ne demonstrează că capacitatea de prognozare a modelului este bună.

Ponderea abaterii

T A=( y− y i )

2

1n∑ ( y− y i )

2=

(16 ,722−16 ,722)2

53 ,56930

=0,0000000000000000000000000000070685

y=∑ yn

=501 ,67330

=16 ,722

Acest indicator are valorile aproximativ zero, deci aceasta ne indică faptul că existența

unor erori de estimare este prcatic neexistentă.

Ponderea dispersiei

11

TD=(√1

30 ∑ ( y− y )2−√130 ∑ ( y i− y i )

2)2

σu2

=(√479 ,590

30−√533 ,159

30 )2

1 ,786=

(√15 ,986−√17 ,772 )2

1 ,786=

¿(3 ,998−4 ,216 )2

1 ,786 =(−0 ,218 )2

1 ,786 =0 ,0481 ,786 =0 ,0265

σu2=∑ ( y− y i )

2

n=53 ,569

30=1,786

Acest indicator are valoarea cuprinsă în intervalul [0,1], TD = 0 ,0265

tinde spre zero deci aceasta ne demonstrează că capacitatea de prognozare a modelului este bună.

Ponderea covariaţiei

T C=2⋅(1−r y y )⋅σ y⋅σ y

1n∑ ( y− yi )

2=

2⋅(1−0 ,952)⋅3 ,998⋅4 ,2161 ,786

=1 ,6181 ,786

=0 ,902

σ y=√∑ ( y t− y )2

30=√479 ,590

30=3 ,998

Coeficientul de corelaţie liniară a variabilei y i şi y

r y y=

∑ ( y− y )⋅( yi− yi )n⋅σ y⋅σ y

=481,49430⋅4 ,216⋅3 ,998

=481 ,494505 ,667

=0 ,952

12