Projenin Adı EULER’İN YOLU İSTANBUL’A DÜùERSE · PDF file · 2014-04-21Günlük hayatta birçok problemin çözümü için kullanılan graflar ekonomi yönetim bilimi bilgi

Projenin Adı: EULER’İN YOLU İSTANBUL’A DÜŞERSE

Projenin Amacı: Çizge kuramının başlangıç noktası kabul edilen Königsberg köprüsü

probleminden hareketle İstanbul ve Königsberg şehirleri arasında analoji kurulmuştur.

İstanbul’a gelen bir turistin boğaz köprüsü ve haliç köprülerinden en az bir kere geçerek

görülmesi gereken önemli mekanlara gidebilecekleri en uygun turun hesaplanması

amaçlanmıştır. Ele alınan problemin çözüm yöntemleri gerçek hayatta mektup dağıtımı, yol

bakımı atık veya çöp toplama işlemleri kar temizleme çalışmaları elektrik sayaçlarının

okunması polis devriye araçlarının rotalarının belirlenmesi ve otobüs çizelgelemesi gibi geniş

uygulama alanlarına sahiptir ve ekonomiye olumlu katkı sağlamaktadır. Ülkemizdeki

kurumlarca bu olumlu etki göz ardı edilmektedir. Bu çalışmada bir problem ele alınarak

çeşitli modellemeler için örnek tescil etmesi amaçlanmıştır.

GİRİŞ:

GRAF TEORİSİ

Günlük hayatta birçok problemin çözümü için kullanılan graflar ekonomi yönetim bilimi

bilgi iletimi gibi birçok alanı kapsamaktadır. Graf teorisi problemleri tanımlamada ve ilişkileri

belirlemekte oldukça faydalıdır.

-

Graf, noktalar yani diğer bir değişle düğümler ve bu noktaları birleştiren çizgiler yani ayrıtlar

topluluğudur. Graf Teori’sinde ’deki diyagrama bakılınca

noktalara düğüm (vertex) olarak adlandırılırken

düğümleri bileştiren kenarları da ayrıt (vertices) olarak adlandırılır. Bu

diyagram için düğümler kümesini ve ayrıtlar

kümesini ifade eder.

düğümler kümesi ve ayrıtlar kümesi olmak üzere bir graf belirtir.

Bir ayrıt her iki ucunda da bir düğüm olacak şekilde tanımlandığından graftaki tüm

ayrıtların uç noktalarını bir düğüm ile ilişkilendirmek gerekir. Bu nedenle, her bir ayrıtı için

kümesi tanımlanır ve şeklinde gösterilir. Bunun anlamı ayrıt’ının ve

düğümlerini bağladığıdır. Ayrıca belirtilmesi gerekir ki olabilir.

Başlangıç ve bitiş noktası aynı olan ayrıtlara çevrim (loops) denir. (Yani;

dumrumunun gerçeklenmesidir). Örnek olarak - ’deki bağlantısı

verilebilir.

Bir düğüm çifti iki veya daha fazla kenar ile bağlanmış ise bu kenarlara paralel kenarlar

denir. - ’ deki A ve B düğümlerini birleştiren iki ayrıt paralel ayrıta örnek verilebilir.

-

Bir yönsüz (undirected) grafı şunlardan oluşur:

i) boş olmayan sonlu bir düğümler kümesi ve sonlu bir ayrıtlar kümesi ve

(ii) bir fonksiyonu öyle ki her bir e ayrıtı için ‘nin bir veya iki elemanlı bir

alt kümesidir

Şekil-3

- ’deki grafına bakalım. Açıktır ki grafı için ve

olduğuna göre fonksiyonu şöyle tanımlanmaktadır:

Graf ile onu temsil eden diyagram aynı değildir. erilen bir graf birbirinden çok farklı

görünen iki graf ile gösterilebilir. Örneğin; - ve - ‘deki iki diyagram çok farklı

görünmelerine rağmen aynı grafını temsil ederler.

- -

Paralel ayrıt ve çevrim içermeyen graflara basit (simple) graf denir. ( -

Paralel kenarı olan ve çevrim içermeyen graflara çoklu (multi)

graf denir. -

Pseudo Graf paralel kenarı olan ve çevrim içeren graflardır. -

- - -

Eğer düğümlü bir basit grafta her bir düğüm çifti arasında bir ayrıt var ise buna tam

(complete) graf denir ve ile gösterilir . -

-

Yönsüz bir grafta ve düğüm çiftini bağlayan bir ayrıt’ ı varsa bu iki düğüm

kom udur (adjacent) denir.

Yönsüz bir grafta bir düğümünün derecesi (degree): düğümüne bağlı olan ayrıtların

sayısıdır ve şeklinde gösterilir. Aksi belirtilmediği sürece çevrim içeren düğümler

derecesini iki arttırır.)

- için: , , ,

Tüm düğümleri aynı derecesine sahip grafa dereceli düzenli (regular) graf denir.

Düğümlerin dereceleri ile ilgili iki önemli teorem vardır:

El Sıkı ma Teoremi: (Handshaking Theorem): m tane ayrıta sahip olan yönsüz bir

graf olsun. Bu durumda;

eşitliği gerçeklenir.

Teorem: Yönsüz bir grafında derecesi tek olan düğümlerin sayısı çifttir.

İspat: , m tane ayrıta sahip olan yönsüz bir graf olsun. derecesi çift olan düğümlerin

kümesini ve derecesi tek olan düğümlerin kümesini temsil etsin. El Sıkışma Teorem’ini

kullanarak;

eşitliğini yazabiliriz. Eşitliğin sol tarafında bulunduğuna göre derecesi tek olan düğümler

ile derecesi çift olan düğümlerin sayısının toplamı çift bir sayıya eşittir.

derecesi çift olan ayrıtların kümesi olduğundan için çift bir sayıdır bu

durum eşitliğin ilk terimini çift yapar. Çift bir sayıyı ancak ve ancak çift bir sayı ile toplarsak

sonucu çift olabileceğini biliyoruz).Bu durumda birinci terim çift bir sayı olduğuna göre ve

eşitliğin sol tarafının da çift olduğunu bildiğimize göre ikinci terimi de yani derecesi tek olan

düğümlerin sayısının toplamı) çift olmak zorundadır. Sonuç olarak derecesi tek olan

düğümlerin sayısı çift olur.

Yol:

(i) grafında uzunluğunda ayrıt dizisi; için ve komşu

olmak üzere ayrıtlarının dizisidir. Ayrıt dizisi olmak

üzere düğüm dizisini belirler. ’a ilk düğüm, ‘e son düğüm

denir.

(ii) Bir grafta, ve düğümü arasındaki bir yol (path), düğümlerin

şeklindeki ayrıtların sonlu bir dizisidir. Burada,

ve düğümleri arasındaki ayrıttır. Yani bir yolda aynı bir ayrıttan birden fazla

geçilmeye izin verilmez.

Kapalı Yol: ise ayrıt dizisi kapalıdır. Yani başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan

yollardır.

Basit Yol: Aynı düğümü birden fazla ziyaret etmiyorsak bu yola basit yol denir.

Devre(circuit): En az bir ayrıt içeren basit ve kapalı bir yola devre circuit) denir. -

-

Bağlantılı Graf: Herhangi düğüm çiftinin arasında bir yol olan graflara bağlantılı connected)

ya da bağlı graf denir. -

Şekil-11

Ağaçlar

Tanım: İçinde devre circuit) içermeyen yönsüz bağlı graflara ağaç (tree) denir. - )

Tanımdan da açıkça görüldüğü gibi bir ağaçta çevrim veya paralel ayrıt yoktur. Herhangi bir

çevrim loop) kendi başına bir devredir ve ve aynı düğüm çiftinin bağlıyorsa , dizisi de

bir devredir.

-

Ağaçların zellikleri

* düğümlü bir ağacın tam olarak ayrıtı vardır.

Bir yönsüz graf ancak ve ancak herhangi iki düğümü arasında tek bir basit yol var ise bir

ağaçtır.

Ağaçların graf teorisinde önemli olmasının bir nedeni tüm bağlı grafların bir ağaç

içermesindendir. Buna kapsayan ağaç(spanning tree) denir ve bütün düğümleri bağlar.

Bir ayrıt dizisi grafın diyagramında kalemi k ğıdın üzerinden kaldırmadan çizebileceğimiz

herhangi sonlu ayrıt dizisidir. Ayrıtlar tekrar edilebilir veya çevrimler tekrarlanabilir. Ayrıt

dizileri çok genel olduklarından kullanıma uygun değillerdir ve bu yüzden yollar

tanımlanmıştır. Bir yolda aynı ayrıttan birden fazla geçmeye izin verilmez.

Hamilton Devreleri (Hamiltonian Circuits)

Benzer bir problem de herhangi bir ayrıttan birden fazla geçmemek kaydıyla her bir

düğümü sadece bir kez ziyaret edip başladığımız yere geri dönebilir miyiz Şeklinde

sorulabilir. Bu problem Hamilton tarafından irdelenmiştir ve ismi bu yollar ile birlikte

anılmaktadır.

Hamilton Yolu: Eğer bir grafta her bir düğümden sadece bir kere geçilen bir yol varsa iki

düğüm arasındaki yola, Hamilton yolu denir.

Hamilton Devresi: Her bir düğümden tam olarak bir kere geçen ve tüm ayrıtların farklı

olduğu bir kapalı yol Hamilton devresidir. (cycle)

Bir graftaki Hamilton devresi tüm düğümlerden bir kez geçen kapalı bir yol olduğu için aynı

ayrıttan birden fazla geçmeye izin vermez.

Hamilton Graf: Hamilton devresi içeren graflara Hamilton Graf denir. -

-

Königsberg ve Euler

18. yüzyılın ortalarında Königsberg şehri Pregel nehrinin iki yakası ve nehirdeki iki ada

üzerine kurulmuştu. Bu adalardan büyük olanı şehrin iki yakasına ikişer köprü diğeri de birer

köprü ile bağlanmıştı. Ayrıca iki ada

arasında da bir köprü bulunmaktaydı.

Şehir sakinlerinin cevaplandırmaya

çalıştığı bir soru vardı: Her hangi bir

noktadan harekete başlayıp yedi

köprünün hepsinden bir ve yalnız bir

kez geçip şehrin bütün bölümlerini

dolaştıktan sonra başlangıç noktasına varılabilir mi Bu problemin çözümü olmadığı

Leonhard Euler (1707-1783) tarafından gösterildi. Euler problemi üzerinde daha rahatça

oynayabilecek bir şekille temsil ederek işe başladı. Şehrin dört bölümü birer nokta ve köprüler

de bu noktaları bağlayan eğri parçaları ile gösterilirse probleme ait şekil şöyle olur;

-14

Elbette bu şekli problemin özelliklerini bozmadan aşağıdaki şekil gibi de çizebilirdik.

-15

Şehirleri temsil eden noktalara düğüm köprülere tekabül eden eğri parçalarına da kiriş

adını verelim. Königsberg köprüleri problemi bu çizdiğimiz şekiller dilinde şu hali aldı: Her

hangi bir düğüm noktasından harekete başlayıp bütün kirişlerden bir ve yalnız bir defa

geçerek bütün düğümleri ziyaret ettikten sonra başlangıç düğümüne varabilir miyiz

Böyle bir gezintinin imkansızlığını göstermeden önce bir iki tanım daha yapalım. Her

kirişin iki ucunda birer düğüm bulunmaktadır. Bu düğümlere o kirişin uçları denebilir.

Aralarında en az) bir kiriş bulunan iki düğüme komşu düğümler ve ortak bir ucu bulunan iki

kirişe de komşu kirişler diyelim. Bir düğümü uç kabul eden kirişlerin sayısı uğraştığımız

problemde ve bir çok tartışmada önemli rol oynamaktadır. Bu sebeple bu sayıya da bir isim

vermek yerinde olur. Buna yerel) derece diyeceğiz. Bu tanımlardan sonra probleme

dönmeden önce bir gözlemde bulunalım. Sadece Königsberg köprüleri problemi için

çizdiğimiz şekilde değil düğümler ve kirişlerden oluşan benzer herhangi bir şekilde bir

düğümden başlayıp bütün kirişleri bir ve yalnız bir defa kullanarak ve bütün düğümleri ziyaret

edip başlangıç noktasına varmak istediğimizi düşünelim. Derecesi tek olan bir düğüm

başlangıç düğümü olamaz zira buna bağlı kirişlerden birisi harekete başlarken çıkış kirişi

olarak kullanılacaktır geriye bu düğüme bağlı çift sayıda kullanılmamış kiriş kalacaktır. Bu

düğümü ikinci kez ziyaret ettiğimizde buna varmak için bir kiriş daha kullanılmış

olacağından geriye tek sayıda yani en az 1) kiriş kalacaktır demek ki bu düğüm hareketin

biteceği nokta olamaz.

ÇİNLİ POSTACI PROBLEMİ

Rotalama problemleri düğüm rotalama problemleri ve ayrıt rotalama problemleri olmak

üzere ikiye ayrılır. Bu problem tiplerinden ilki bir çizgeni düğümlerini ikincisi ise ayrıtlarını

ele alır. Ayrıt rotalama problemlerinde amaç bir çizge üzerinde yer alan tüm ayrıtlardan en az

bir kere geçerek başlangıç düğümüne dönen kısa rota veya rotaları belirlemektir. Ayrıt

rotalama problemleri de kırsal postacı problemi rural postman problem/KPP) ve Çinli

postacı problemi Chinese postman problem/CPP) olmak üzere ikiye ayrılabilir. Kırsal postacı

probleminde bir çizge üzerinde yer alan belirli ayrıtlardan en az bir kez geçilerek Çinli

postacı probleminde ise çizgedeki her ayrıttan en az bir kez geçilerek en kısa turun

oluşturulması istenir.

Çinli postacı problemi ilk olarak 1962 yılında Çinli bir matematikçi olan Mei-Ko Kwan

tarafından incelenmiştir. Problem bir postacının postaneden aldığı mektupları mümkün

olan en kısa yoldan şehirdeki tüm sokaklara uğrayarak dağıtmak istemesiyle ortaya çıkmıştır.

Mektupların dağıtımından sonra postacı başladığı düğüm olan postaneye geri dönmek

zorundadır.

Çinli postacı probleminde bir çizgenin düğümleri yerine bu düğümleri birbirine bağlayan

ayrıtlardan geçilmesi ve bunun da en az bir kez gerçekleşmesi şartıdır. Çinli postacı

probleminin çizgesinde eğer bir Euler tur elde edilemiyorsa turun tamamlanabilmesi için

ayrıtlardan birden fazla geçilmesi gerekmektedir.

Çinli postacı problemi 8 alt başlık halinde incelenir.

1) Yönsüz Çinli postacı problemi Undirected Chinese postman problem)

2) Yönlü Çinli postacı problemi Directed Chinese postman problem)

3) Karma Çinli postacı problemi Mixed Chinese postman problem)

4) k-Çinli postacı problemi k-Chinese postman problem)

5) Min-Max k-Çinli postacı problemi Min-Max k-Chinese postman problem)

6) Hızlı Çinli postacı problemi Windy Chinese postman problem)

7) Hiyerarşik Çinli postacı problemi (Hierarchical Chinese postman problem)

8) Kapasite Kısıtlı Çinli postacı problemi Capacitated Chinese postman problem)

Bu çalışmada yönsüz Çinli postacı problemi ele alınmaktadır.

Yönsüz Çinli Postacı Problemi

Yönsüz Çinli postacı probleminde yönsüz bir çizge üzerindeki her bir ayrıta en az bir kez

uğrayarak başlanılan düğüme geri dönmek koşuluyla en kısa yolun bulunması istenir.

Yönsüz Çinli postacı problemi, yönlü Çinli postacı probleminden biraz

daha karmaşıktır. Problemin G çizgesi bir Euler çizge ise problem Euler tur bulunarak

çözülebilir. Tur tekrarlanan ayrıt deadheading) olmadan tamamlanabilir. Ancak G

bir Euler çizge değil ise o zaman tekrarlanan ayrıtların toplam uzunluğu en kısa mesafeli

eşleştirme minimum-length matching) yönteminin probleme uygulanması ile en

küçüklenmeye çalışılır. Tekrarlanan ayrıtların toplam uzunluğunun en küçüklenmesi

problemin en iyi sonucunu verir.

Şekil 16’da yönsüz CPP’nin çözümüne 1-2-3-4-5-3-5-2-1-5-6-1) ilişkin bir örnek verilmiştir.

-16

Şekil 17’de ise yönsüz CPP’ ne ilişkin başka bir çizgeye yer verilmiştir.

-17

En Kısa Mesafeli E le tirme Yöntemi

Bir Çinli postacı probleminin çözümü için bu problemin çizgesindeki herhangi bir x

düğümü tek dereceli ise x düğümüne bağlı en az bir ayrıt tekrarlanmalıdır. Bu ayrıtların

tekrarlanmasıyla çizgedeki tüm düğümler çift dereceli even degree) olabilmektedir.

Tekrarlanacak ayrıtları belirlemek için en kısa mesafeli eşleştirme yönteminden yararlanılır.

En kısa mesafeli eşleştirme yönteminin yönsüz Çinli postacı probleminin çözümü için etkin

bir algoritma olarak kullanılması ilk defa Edmonds ve Johnson tarafından 1973 yılında

gerçekleştirilmiştir. Bu yöntemde ilk önce çizge G’deki tek dereceli düğümler tespit edilir.

Sonra bir G´=(V´, E´) çizgesi kurulur. Bu G´çizgesindeki düğümler kümesi G çizgesindeki

tüm tek dereceli düğümleri ayrıtlar kümesi ise bu tek dereceli düğümleri birbirine bağlayan

ayrıtları içermektedir. Burada amaç oluşturulan G´çizgesinde yer alan tek dereceli

düğümlerin olası eşleştirilmiş çiftlerini ve bunların arasındaki en kısa uzunluğu saptamaktır.

Bunun gerçekleştirilebilmesi için G´çizgesi çift sayıda tek dereceli düğüme 2n) sahip

olmalıdır. Böylece her bir tek dereceli düğüm çifti yine G´çizgesinde yer alan bir ayrıtla bağlı

olduğu için n sayıda düğüm çifti eşleştirilebilir. Bir tek dereceli düğümden diğer bir tek

dereceli düğüme doğrudan giden yeni bir yolun kurulması da akla gelebilir. Ancak bu gerçek

hayatta yeni bir yolun veya köprünün kurulması anlamına gelir. Böyle bir yol veya köprünün

kurulması ise çok maliyetli veya imkansız olabilir. Bu nedenle yeni bir yol kurmak yerine

mevcut yollar dikkate alınarak en az maliyetli ya da en kısa uzunluklu yollar bulunmaya

çalışılır. Tek dereceli düğümler en kısa uzunluk dikkate alınarak eşleştirildiğinde bunlar

arasındaki en kısa yollar tekrarlanacak ayrıtları kapsayacaktır.

Şekil-18

Şekil 18’de bir yönsüz Çinli postacı problemi yer almaktadır. Bu problemin çizgesi olan G’de

A B C ve D düğümleri tek derecelidir. Bu tek dereceli düğümleri ve onları birbirine

bağlayan ayrıtları gösteren G´çizgesi ise Şekil-19 ’da verilmiştir. Burada dört tane tek dereceli

düğüm ile iki tane eşleştirilmiş düğüm çifti n=2) vardır ve üç olası eşleştirme yapmak

mümkündür.

-19. Şekil 18’deki Çinli Postacı Probleminin G´ Çizgesi

Aşağıda G´çizgesindeki tüm ayrıtlar için en kısa mesafeli eşleştirme yöntemi kullanılarak

yapılan eşleştirmeler verilmektedir:

Eşleştirme Mesafe

(A,B) (C,D) 5+3=8

(A,C) (B,D) 2+4=6

(A,D) (B,C) 3+2=5*

Burada en kısa mesafeli eşleştirme A D) ve B C) ayrıtları arasında ortaya çıkmaktadır.

Postacının tekrar edeceği yollar A’dan D’ye en kısa yol A D ayrıtı) ve B’den C’ye en kısa

yol (B,C ayrıtı) şeklindedir. Şekil 20’deki G çizgesinde A D) ve B C) ayrıtlarının

birer kopyası görülmektedir. Çizgedeki tüm düğümler çift dereceli hale dönüşmüştür. En

iyi rotayı bulmaya çalıştığımız Şekil 18’deki orijinal çizge için artık yeni oluşan G çizgesine

bakılarak en az bir Euler tur oluşturulabilir. Bu oluşturulan Euler tur aynı zamanda

en iyi rotayı verir. Oluşan en iyi rota ise şöyledir { A E) E D) D F) F A) A B) B D)

D C) C B) B C) C A) A D) D A)}. Buna göre G çizgesindeki her bir ayrıttan tam

olarak bir kez ve G çizgesindeki her bir ayrıttan en az bir kez geçilmiştir. G çizgesinde

sadece A D) ve B C) ayrıtları tekrarlanmıştır. Sonuç olarak bu rotanın toplam uzunluğu

birimdir. Bu uzunluk G çizgesindeki her bir ayrıtın yalnız bir kez

geçilmesiyle bulunan toplam uzunluktan 5 birim fazladır.

-20: Şekil 18daki Çinli Postacı Probleminin G Çizgesi

SERBEST SATICI PROBLEMİ

Serbest Satıcı Problemi İngiltere’nin Armbridge köyünde yaşayan ve civar kasabalara

mallarını satmak isteyen bir seyyar satıcının bu kasabaları mümkün olan en kısa şekilde ve

her bir kasabaya sadece bir kere uğrayarak başladığı yere geri dönmek istemesidir.

İki çeşit serbest satıcı problemi vardır:

1) Pratik Gezgin Satıcı Problemi: Gezgin Satıcı Problemi’nin bu çeşidinde her kasabaya

sadece bir kez uğrama koşulu ile en kısa rotadan gidildiği takdirde aynı yoldan tekrar

geçmek umursanmamıştır.

2) Klasik Gezgin Satıcı Problemi: Her kasabaya sadece bir kez uğrama ve aynı yol

üzerinden tekrar geçmeme koşulları ile en kısa rotayı bulmak amaçlanmıştır.

Bu çalışmada Klasik Serbest Satıcı Problemi ele alınacaktır.

Klasik Serbest Satıcı Problemi

Her düğümden sadece bir kez geçilerek ve kullanılan ayrıtı bir daha kullanmamak şartıyla

başlanılan düğüme geri dönen en kısa yolun bulunması istenir.

Her bir düğümden sadece bir kez geçen ve geçtiği ayrıtı bir daha kullanmayan kapalı

yolların Hamilton devresi olduğundan daha önce bahsedildi. Bu durumda klasik serbest satıcı

problemi için aradığımız rota en kısa Hamilton devresidir .

Problemi çözmek için sağlanması gereken şartlar:

Her tam complete) graf bir Hamilton devresi içerdiğinden problemin çözümde tam graf

kullanmak,

Ayrıtların uzunlukları üçgen eşitsizliğini doğrulamasıdır.

Üçgen E itsizliği: - ’deki üçgeninde ayrıt kümesindeki her düğüm için:

eşitsizliğinin sağlanmasıdır.

-

Serbest satıcı problemi kolay görünmesine rağmen hızlı ve etkili bir çözüm için bilinen bir

algoritma yoktur. erilen şartlarda en kısa rotayı bulmak için tüm olası yolları eksiksiz

listeleyerek çözüme ulaşmayı amaçlayan algoritmadaki adımlar:

Adım : Tüm Hamilton devrelerini lisetelenir

Adım : Her Hamilton devresinin için toplam mesafe bulunur

Adım : En kısa mesafe seçilip bu mesafe aranan rota olarak belirlenir.

-

- ’ deki tam graf için bu yöntem kullanılmaya çalışılırsa tüm Hamilton yolları

aşağıda verilmiştir.

Görüldüğü üzere 24 tane devre çıkmaktadır. Bu devrelerin uzunluklarını hesaplamak

oldukça meşakkatli bir iştir. Kenar sayısı daha fazla olan tam graflarda iş daha da

zorlaşmaktadır. Bu yöntem kullanışlı olmadığından daha iyileştirilmiş yöntemlere başvurulur.

Bu çalışmada en kısa mesafeli Hamilton devresini bulmak için üst sınır ve alt sınır bulma

yöntemi kullanılacaktır.

Üst Sınır: Bir kümedeki her elemandan büyük olan değerlere üst sınır denir. Bir kümesi

için için ise ’e kümesinin üst sınırı denir.

Alt sınır: Bir kümedeki her elemandan küçük değerlere alt sınır denir. Bir kümesi için

için ise ’e kümesinin alt sınırı denir.

Açıktır ki bulunan üst sınırların en küçüğünü ve alt sınırların en büyüğünün alınması daha

kesin sonuçlara ulaşmayı sağlar. En kısa mesafeli Hamilton devresi bu sınırların arasında yer

alacağından sınır aralığımızı daraltılması doğru sonuca daha da yaklaşılmasını sağlar.

Üst sınırların en küçüğü ve alt sınırların en büyüğüne ulaşma yönteminde en kısa mesafeli

kapsayan ağaç (spanning tree) kullanılacaktır. Ayrıca en kısa mesafeli kapsayan ağaç

bulunurken Prim Algoritmasına başvurulacaktır.

Prim Algoritması:

İstenilen düğümden başlanarak belirlenen graftaki tüm noktaları içeren en kısa ağacın inşası

gerçekleştirilir. Her bir adımda en kısa ayrıt kullanılarak ve ağaç olma şartlarını bozmadan en

yakın düğümler ağaca eklenir. İzlenmesi gereken adımlar aşağıdaki gibidir:

1) İlk olarak her düğüm çiftinin arasındaki uzaklıkları gösteren tablo(matris) oluşturulur.

2) Başlamak için herhangi bir düğüm seçilir ve düğümün olduğu sütündan en küçük sayı

işaretlenir. Bir sonraki adımın başlangıç düğümleri işaretlenen sayının ait olduğu

satırda bulunan düğüm ile başlanılan düğüm olur.

3) Bir önceki adımda seçilen iki düğümün satırı incelenir ve tekrar en küçük sayı

seçilir. En küçük sayı seçilirken çevrim loop) devre circuits) veya parelel kenar

oluşmamasına dikkat edilir.)

4) Bu işlem graftaki her noktayı ağaca bağlayana kadar devam ettirilir.

5) Bu durumda bulunan ağaç tüm noktaları içeren en kısa kapsayan ağaç spanning tree)

olur.

- ’de klasik serbest satıcı problemi yer almaktadır. Bu çizgede düğümler kasabaları

ayrıtlar kasabalar arasındaki yolları ve ayrıtların uzunlukları kasabalar arasındaki yolların en

kısa mesafelerini ifade eder. Her düğümden sadece bir kez geçilerek ve aynı ayrıttan tekrar

geçilmeme şartı ile başlanılan noktaya geri dönmeyi sağlayan en kısa rotayı bulmak

amaçlanır.

Modellediğimiz - ’deki örneğin bir tam graf olduğu açıktır. Aynı zamanda düğüm

çiftinin arasındaki en kısa mesafe alındığı için üçlü her düğüm üçgen eşitsizliğini sağlar.

Üst sınır: Çizgedeki her düğüm çiftinin arasındaki uzaklık - ’de verilmiştir.

-

En kısa mesafeli kapsayan ağaç - kullanılarak - ’deki gibi oluşturulmuştur.

-

Ağacında toplam uzunluğu birimdir.

Üst sınır: eklinde hesaplanır.

-

Bu durumda bir üst sınırdır. Devamında bu üst sınırın en küçüğü

hesaplanacaktır.

- çizgesindeki güzergah - ’de verilmiştir.

-

Ardından kestirme yol belirlenip güzergahı kısaltılır. - ’da

görüldüğü gibi bu ağaç için kestirme yoldur ve yeni güzergah olur.

-

birim olduğu görülür.

Bu sonuçtan kestirme yolunun uzunluğu çıkartılırsa: birimlik yol

kısalmış anlamına gelir.

Daha önce bulunan üst sınırından kısalan yolun uzunluğu çıkartılırsa:

birim bulunur ve birim üst sınırların en küçüğü olarak alınır.

Bu durumda;

olur.

Alt sınır: Aşağıdaki adımlar sırayla uygulanarak bulunur.

Adım Herhangi bir düğüm seçilir ve bu düğüm bağlı olduğu kenarlar ile birlikte graf

üzerinden silinir. Geriye kalan kısım yeni bir graf gösterir.

Adım : Bu yeni graf için en kısa kapsayan ağaç bulunur.

Adım : Daha önce silinen düğümün en kısa ayrıtlarla bağlı olduğu iki düğüm belirlenir.

Devamında bu iki düğüm ile silinen düğüm en kısa kapsayan ağaç üzerinde tekrar bağlanır.

Adım : Problemde verilen graf üzerindeki her nokta için ilk adım uygulanarak her bir

düğüm için ayrı alt sınır bulunur.

Adım :Her düğüm için bulunan alt sınırların en büyüğü alınır.

Bu adımlar probleme uygulanırsa:

A düğümü ve bağlı olduğu ayrıtlar silinirse yeni graf -27’deki gibidir.

-27

-

Oluşturulan yeni graf için - kullanılarak bulunan en kısa kapsayan ağaç

-

şeklinde olduğu görülür ve uzunluğu birimdir.

( birim) ve ( ayrıtları düğümünün bağlı olduğu en kısa iki ayrıt olduğu

belirlenir ve düğümü bu iki ayrıt ile ağaç üzerinde ve noktalarına -29’daki gibi

bağlanır.

-

düğümünün silinmesiyle bulunan olur.

Bu işlemler ve düğümleri için de uygulanır ve - ’deki alt sınırlar bulunur.

-

Bulunan alt sınırlar arasından en büyüğü olarak belirlenir.

Bu durumda;

.

Elde edilen en küçük üst sınır ile en büyük alt sınırın aralığı

olduğu görülür.

Sonuç olarak - ’deki çizge için aranan en kısa rota: birim olan

yoludur.

Y NTEM:

Graf teorisi kullanılarak İstanbul’un turistik mekanlarına yapılacak gezi için belli turistik

noktalardan ve yollardan geçme koşulu altında en uygun rotanın belirlenmesi

amaçlanmaktadır. Bu amaç doğrultusunda graf teorisi ile ilgili araştırmalar yapılmış ve graf

teorisi ile çözümlenmiş problemler incelenmiştir.

Projede İstanbul’u ziyaret eden turistler için gezilmesi planlanan turistik mekanların yerleri

belirlendi. Daha sonra harita üzerinde bu noktalar belirlenerek aralarındaki bağlantılar

belirlendi ve bir graf oluşturuldu. Yaptığımız araştırmalar sonucunda İstanbul için uygun

modelleme yöntemi belirlendi.

Edinilen bilgilere göre her yoldan geçme koşulu altında en uygun yöntemin yönsüz Çinli

postacı problemi çözüm yöntemi Seçilmiş Yöntem 1) olduğu belirlendi.

Yine edinilen bilgilere göre her noktaya sadece bir kere uğrama koşulları altında en uygun

yöntemin serbest satıcı problemi çözüm yöntemi Seçilmiş Yöntem 2) olduğu belirlendi.

Yönsüz Çinli Postacı Probleminin Çözüm Yöntemini Kullanarak Yapılan Hesaplamalar

Çinli postacı probleminde temel unsur düğümler arasındaki her ayrıttan en az bir kere

geçerek en kısa rotayı bulmaktır. G modellediğimiz çizge olmak üzere G’deki tek dereceli

düğümler tespit edildi. Euler teoreminde her düğümün derecesi çift ise Euler turu

gerçekleştirilebilir. Oluşturulan çizgede tek dereceli düğümlerin varlığı söz konusu ise bu

düğümler ayrıştırılır. Şehirdeki turu temsil eden düğümler ayrıtlar ve ayrıtların uzunluğu

aşağıdaki şekilde tasvir edildiği gibidir.

- İstanbul’un belirli semtleri için G çizgesi

Tablo-4’de G grafı üzerindeki numaraların temsil ettiği semtler verilmiştir.

- ’ bakılınca deg(1)=2, deg(2)=3, deg(3)=4, deg(4)=2, deg(5)=6, deg(6)=3, deg(7)=4,

deg 8)=3 deg 9)=2 deg 10)=3 olduğu görülür. Bu durumda 2 6 8 10 numaralı düğümler

tek derecelidir.Tek dereceli düğümler ve onları birbirine bağlayan ayrıtlar için en kısa

mesafeli eşleştirme yöntemi kullanılarak yapılan eşleştirmeler - ’ de verilmiştir.

Eşleştirmeler Mesafe

(2,6) - (8,10) 5.9 + 15.3 = 21.2 *

(2,8) - (6,10) 14.8 + 9.9 = 24.7

(2,10) - (6,8) 14.3 + 10.6 = 24.9

-

Numaralar Semt

İsimleri

1 Anadolu

Hisarı

2 Fatih

3 Eminönü

4 Eyüp

5 Taksim

6 Karaköy

7 Beşiktaş

8 Rumeli

Hisarı

9 Üsküdar

10 Beylerbeyi

-

- ’den de açıkça görülmektedir ki en kısa mesafeli eşleştirme 2 6)- 8 10) ayrıtları

arasında ortaya çıkmaktadır. Turun gerçekleşebilmesi için tekrar edilecek yollar 2’den 6’ya en

kısa yol ((2,3)- 3 6) ayrıtı) ve 8’den 10’a gidilecek en kısa yoldur((8,7)- 7 10) ayrıtı).

- İstanbul’un belirli semtleri için G çizgesi

- ‘deki G çizgesinde tekrar edilecek yollar kırmızı renkle ifade edilmiştir.Bu

durumda çizgedeki tüm düğümler çift dereceli hale dönüşmüştür.en iyi rotayı bulmaya

çalıştığımız - ’deki orijinal çizge için artık yeni oluşan G çizgesine bakılarak en az

bir Euler tutu oluşturulabilir. Bu oluşturulan Euler turu aynı zamanda en iyi rotayı verir.

Oluşan en iyi rota ise şöyledir (2,4)-(4,5)-(5,2)-(2,3)-(3,5)-(5,8)-(8,1)-(1,10)-(10,7)-(7,8)-

(8,7)-(7,5)-(5,6)-(6,3)-(3,9)-(9,10)-(10,7)-(7,6)-(6,3)-(3,2). Buna göre G çizgesindeki her bir

ayrıttan tam olarak bir kez ve G çizgesindeki her ayrıttan en az bir kez geçilmiştir. G

çizgesinde sadece 2 3)- (3,6) ve (8,7)- 7 10) ayrıtları tekrarlanmıştır. Sonuç olarak bu rotanın

toplam uzunluğu 112 24 km’dir. Bu uzunluk G çizgesindeki her bir yolun yalnız bir kez

geçilmesiyle bulunan toplam uzunluktan 21 2 km fazladır.

Problem en kısa mesafe eşleştirme yöntemi ile çözülüp en kısa rota uzunluğu bulunmuştur.

Fatihten yola çıkan aracın ana yollardan en az bir kere geçmesini sağlayarak aracın tekrar

fatihe dönmesi sağlanarak problem çözüme ulaştırılmıştır.

Her yoldan geçme koşulu sayesinde turistler sadece turistik mekanları değil İstanbul’un

tamamını görme fırsatı elde edecekler. Haliç üzerindeki köprüler boğaz köprüsü bu yollara

örnek verilebilir. Tablo-6’da geçilen tollar üzerindeki yerler belirtilmiştir.

Tablo-6

Serbest Satıcı Probleminin Çözüm Yöntemini Kullanarak Yapılan Hesaplamalar

Serbest satıcı probleminde; kullanılan ayrıt tekrar kullanılmama şartı ile her düğümden

sadece bir kere geçerek başlanılan düğüme geri dönen en kısa rotayı bulmak amaçlanır.

Bir tam graf olacak şekilde Tablo-4’teki numaraların temsil ettiği semtler ile Şekil-32’de G

tam grafı modellenmiştir.

Şekil-32: G tam grafı

Modellenen G grafında her düğüm semt) çiftinin arasındaki en kısa mesafeli yol alınarak

Tablo-7’da gösterilmiştir.

Tablo-7

G grafı üzerinde her düğüm çifti arasında en kısa mesafe alınması her üçlü düğümün bir

üçgen olduğunu gösterir. Bu durum aşağıdaki eşitsizliklerin her üçlü düğü takdirde için

sürdürüldüğü takdirde doğru sonuçlar vereceğinin kanıtıdır. Bu durumda oluşturulan grafta

her üçlü düğüm için ;

işlemler sürdürülerek üçgen eşitsizliğinin sağlandığı görülür.

Modellenen G grafının tam graf olması ve ayrıtların uzunluklarının üçgen eşitsizliğini

doğrulaması serbest satıcı probleminin çözüm yöntemi için gereken şartların sağlandığını

gösterir.

Üst sınır ve alt sınır bulma yöntemi ile problem çözümü;

Üst Sınır Bulma

2 numaralı semtten başlayarak tablo-7 yardımıyla Prim algoritması kullanıldı. Tüm

noktaları kapsayan en kısa ağaç spanning tree) Şekil-33teki gibi oluşturuldu.

Şekil-33

Bulduğumuz en kısa ağacın uzunluğu:

km olarak bulunur.

Üst sınır: km’dir.

Devamında en küçük üst sınıra ulaşmak için Şekil-34’te görüldüğü gibi kestirme yollar

1 6)ve 8 6) ayrıtları olarak belirlendi. Kestirme yollar kullanılarak ve her düğümden sadece

birkere geçilerek kapsayan ağaç üzerinde en kısa rota Şekil-34’te mavi çizge ile gösterilmiştir.

Şekil-34

1 6) ayrıtı için kısaltılan yol uzunluğu: ’dir.

4 8) ayrıtı için kısaltılan yol uzunluğu: ’dir.

Üst sınır değerinden kısaltılan yolların uzunluğu çıkartılarak ulaşılan en küçük üst sınır:

olarak bulunur.

Bu durumda;

olmalıdır.

Bu durumda üst sınır bulunduktan sonra izlenen rota:

(2,3)-(3,9)-(9,10)-(10,1)-(1,6)-(6,5)-(5,7)-(7,8)-(8,4)- 4 2) şeklinde olur.

Alt sınır bulma:

G çizgesindeki her düğüm tek tek çıkartılarak her biri için en kısa ağaç belirlenerek alt

sınır bulunacak ve buradan en büyük alt sınıra ulaşılacaktır..

1 numaralı düğümün G grafından kaldırılması ile oluşan yeni graf için, içerisinde 1

numaralı düğümün olmadığı yeni bir tablo tekrar oluşturuldu. Tablo-8).

Tablo-8

Tablo-8 yardımıyla en kısa yollu ağaç oluşturuldu. Silinen 1 numaralı düğümün bağlı

olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 1 8) ve (1,10) olduğu belirlendi ve ağaca

eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-35 de gösterilmiştir.

Şekil-35

1 numaralı düğümün silinmesiyle ulaşılan alt sınır:

’dir.

2 numaralı düğümün G grafından kaldırılması ile oluşan yeni graf için içerisinde 2

numaralı düğümün olmadığı yeni bir tablo tekrar oluşturuldu. Tablo-9)


olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 2 3) ve 2 6) olduğu belirlendi ve ağaca

eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-36 de gösterilmiştir.

Tablo-9

Şekil-36




Tablo-10


olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 3,6) ve (3,2) olduğu belirlendi ve ağaca eklendi.

Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-37 de gösterilmiştir.


Şekil-37



Tablo-11 yardımıyla en kısa yollu ağaç oluşturuldu. Silinen 4 numaralı düğümün

bağlı olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 4 2) ve 4 3) olduğu belirlendi ve

ağaca eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-38 de gösterilmiştir.




Şekil-38

Tablo-11

Tablo-12



ağaca eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-39 da gösterilmiştir.




Şekil-39

Tablo-13



ağaca eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-40 ta gösterilmiştir.





bağlı olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ya bakılarak 7 5) ve 7 6) olduğu belirlendi ve

ağaca eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-41 de gösterilmiştir.

Şekil-40

Tablo-14

Şekil-41




Tablo-15


olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 8,5) ve (8,7) olduğu belirlendi ve ağaca eklendi.

Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-42 de gösterilmiştir.




Şekil-42

Tablo-16


olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 9,3) ve (9,10) olduğu belirlendi ve ağaca

eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-43’te gösterilmiştir.

Şekil-43




Tablo-17


olduğu en kısa iki ayrıt Tablo-7’ye bakılarak 10,9) ve (10,1) olduğu belirlendi ve ağaca

eklendi. Eklenen ayrıtlar mavi çizgeler ile Şekil-44’te gösterilmiştir.


Her düğüm için bulunana alt sınır Tablo-18’de gösterilmiştir ve bulunan alt sınırların en

büyüğü olduğu görülmüştür.

Tablo-18

Bu durumda; olur.

Opsiyonel rotanın uzunluğu

aralığında alınmalıdır.

Dolayısıyla aranan en kısa rota üst sınır araştırmalarında bulunan ve uzunluğu 68 74 km

olan, (2,3)-(3,9)-(9,10)-(10,1)-(1,6)-(6,5)-(5,7)-(7,8)-(8,4)-(4,2) rota olarak belirlenir.

İncelenmesi gerekir ki en büyük üst sınır olan 50 24 değeri 1 numaralı ve 10 numaralı

düğümlerin çıkarılmasıyla elde edilmiştir. Bu düğümlerin çıkarılmasıyla oluşturulan ağaçlar

üzerinde belirlediğimiz rotanın aynısı izlenebilir. Örnek olarak 10 numaralı düğümün

çıkarılmasıyla oluşturulan en kısa ağaç üzerinde belirlenen rotanın aynısı Şekil-45’de kırmızı

çizge ile gösterilmiştir.

Şekil-44

Şekil-45

Şekil-32’deki G grafı için kullanılan ayrıtı bir daha kullanmamak şartı ile her düğümden

sadece bir kere geçen ve başladığı noktaya geri dönen rota bulunmuştur. Yani Hamilton

devresine ulaşılmıştır ve opsiyonel en kısa Hamilton devresi 68 74 km’dir.

Fatih’ten başlayarak ziyaret edilmesi uygun görülen semtlere sadece bir kere gidilmiş ve hızlı

bir tur için geçilen yollardan sadece bir kere geçilmiştir. En kısa mesafeli turist yolculuğunun

rotası belirlenerek problem çözüme kavuşturulmuştur.

SONUÇ VE TARTIŞMA:

1.çözüm için rota 2 4)-(4,5)-(5,2)-(2,3)-(3,5)-(5,8)-(8,1)-(1,10)-(10,7)-(7,8)-(8,7)-(7,5)-

(5,6)-(6,3)-(3,9)-(9,10)-(10,7)-(7,6)-(6,3)-(3,2) olarak bulundu.

Buna göre G Şekil-31) çizgesindeki her bir ayrıttan tam olarak bir kez ve G Şekil-30)

çizgesindeki her ayrıttan en az bir kez geçilmiştir. G çizgesinde sadece 2 3)- (3,6) ve (8,7)-

7 10) ayrıtları tekrarlanmıştır. Sonuç olarak bu rotanın toplam uzunluğu 112 24 km’dir. Bu

uzunluk G çizgesindeki her bir yolun yalnız bir kez geçilmesiyle bulunan toplam uzunluktan

21 2 km fazladır. Ayrıtların uzunlukları ve temsil ettikleri yolların isimleri Tablo-6’da

verilmiştir.

Seçilen 1. yöntem olan Yönsüz Çinli Postacı Problemi Çözüm Yöntemi kullanılarak çıkan

rotadaki yolların açıklaması

Fatih’ten başlanarak Edirnekapı ardından Yavedut Caddesi üzerinden Eyüp’e gidildi.

Eyüp’ten E-5 üzerinden Haliç köprüsü ve Okmeydanı’ndan geçerek Taksim’e gidildi.

Taksim’den Fatih’e Atatürk Köprüsü ve Atatürk Bulvarı üzerinden gidildi. Fatih’ten

Eminönü’ne giderken Atatürk Bulvarı ardından Kennedy Caddesi kullanıldı. Eminönü’nden

Taksim’e Galata Köprüsü üzerinden gidildi. Taksim’den Rumeli Hisarı’na giderken Bebek

Sahilyolu kullanıldı. Rumeli Hisarı’ndan Anadolu Hisarı’na Fatih Sultan Mehmet üzerinden

gidildi. Anadolu Hisarı’ndan Beylerbeyi’ne giderken Kuleli Sahilyolu kullanıldı.

Beylerbeyi’nden Beşiktaş’a Boğaziçi Köprüsü aracılığıyla gidildi. Beşiktaş’tan Rumeli

Hisarı’na Bebek Sahilyolu üzerinden gidildi. Yine Bebek Sahilyolu kullanılarak Beşiktaş’a

geri dönüldü. Beşiktaş’tan Taksim’e Gümüşsuyu Caddesi üzerinden gidildi. Taksim’den

Karaköy’e Kazancı Yokuşu aracılığıyla gidildi. Karaköy’den Eminönü’ne Galata Köprüsü

üzerinden gidildi. Eminönü’nden arabalı vapurla Üsküdar’a geçildi. Üsküdar’dan

Beylerbeyi’ne Üsküdar Sahilyolu üzerinden gidildi. Beylerbeyi’nden Beşiktaş’a Boğaziçi

Köprüsü aracılığıyla gidildi. Beşiktaş’tan Karaköy’e Meclis-i Mebusan Caddesi üzerinden

gidildi. Karaköy’den Eminönü’ne Galata Köprüsü üzerinden geçildi. Eminönü’nden Fatih’e

Kennedy Caddesinden geçilerek Atatürk Bulvarı aracılığıyla gidildi.

2. çözüm için rota 2 3)-(3,9)-(9,10)-(10,1)-(1,6)-(6,5)-(5,7)-(7,8)-(8,4)-(4,2) olarak bulundu.

Şekil-32’deki G grafı için kullanılan ayrıtı bir daha kullanmamak şartı ile her düğümden

sadece bir kere geçen ve başladığı noktaya geri dönen rota bulunmuştur. Yani Hamilton

devresine ulaşılmıştır ve opsiyonel en kısa Hamilton devresi 68 74 km’dir.

Seçilen ikinci yöntem olan Serbest Satıcı Problemi Çözüm Yöntemi kullanılarak çıkarılan

rotadaki yolların açıklaması

Fatih’ten Eminönü’ne Atatürk Bulvarı ve Kennedy Caddesi üzerinden gidildi. Eminönü’nden

Üsküdar’a arabalı vapur ile geçildi. Üsküdar’dan Beylerbeyi’ne Üsküdar Sahilyolu’ndan

gidildi. Beylerbeyi’nden Anadolu Hisarı’na giderken Kuleli Sahilyolu kullanıldı. Anadolu

Hisarı’ndan Karaköy’e gidildi. Karaköy’den Taksim’e giderken Kazancı Yokuşu kullanıldı.

Taksim’den Beşiktaş’a Gümüşsuyu Caddesi üzerinden gidildi. Beşiktaş’tan Bebek Sahilyolu

kullanılarak Rumeli Hisarına gidildi. Rumeli Hisarı’ndan TEM otoyolu ile Eyüp’e gidildi.

Eyüp’ten Fatih’e Yavedut Caddesi Edirnekapı üzerinden gidildi.

Çözümün Değerlendirilmesi

Bu çalışmada görülmüştür ki problem ne kadar karmaşık olursa olsun graf teorisi

kullanılarak çözüm bulunabilmekte ve elde edilen çözüm gerek zaman kaybını engellemesi

açısından gerek ekonomik açıdan olumlu etkiler göstermektedir. Bu anlamda projede elde

edilen mektup dağıtımı yol bakımı atık veya çöp toplama işlemleri kar temizleme

çalışmaları elektrik sayaçlarının okunması polis devriye araçlarının rotalarının belirlenmesi

ve otobüs çizelgelemesi gibi durumlar için örnek olma niteliği taşımaktadır.

Projenin geliştirilmesi için bir sonraki aşama olarak semtlerde bulunan turistik mekanların

gezilebilmesi için yayalar göz önünde bulundurularak yeni rotalar hesaplanabilir.

KAYNAKÇA:

Rosen, Kenneth H., (2012),Discrete Mathematics and Its Applications,McGraw-Hill,

NewYork

Wilson, Robin J.,(1996), Introduction to Graph Theory, England, Fourth Edition

Liberti, Leo, (2010), Problems and exercise in Operations Research, ECOLE

POLYTECHNIQUE

Doğanaksoy Ali 1993) Graf Teorisi, Cilt 1-2

Casquilho, Miguel A. S., Travelling Salesman Problem, Universty of Lisbon, Portugal

EMEL Gökay Gül TAŞKIN Çağatan DİNÇ Emtullah Yönsüz Çinli Postacı Problemi:

Polis Devriye Araçları İçin Bir Uygulama Uludağ Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi,

Sayfa 121-138

Sural, Haldun, (2003), Gezgin Satıcı Problemi Matematik Dünyası 2003- III, Sayfa 37-40

Nesin, Ali, (2003), Euler Turu, Matematik Dünyası 2003-III, Sayfa 13-15

Eiselt, H. A., Gendreau, Michel, Laporte, Gilbert,(1995), Arc Routing Problems, Part I: The

Chinese Postman Problem, Operations Research, Volume 43 Issue 2, March-April 1995, pp.

231-242

Xiong, Bin, Zheng, Zhongyi, (2010), Graph Theory, World Scientific, Massachusetts

Marcus, Daniel A., (2008), Graph Theory: A Problem Oriented Approach, MAA, USA

Documents

Projenin Adı EULER’İN YOLU İSTANBUL’A DÜùERSE · PDF file · 2014-04-21Günlük hayatta birçok problemin çözümü için kullanılan graflar ekonomi yönetim bilimi bilgi