Prontuario di matematica: formule, schemi operativi ...alberto/mn070fORMUL.pdf · Un prontuario di matematica, quindi, oggi pu o essere presentato solo come fonte di primo approccio

MATeXp

Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici

Contenuti delle sezioni

;001 caratteristiche del prontuario p.2 ;005 logica p 3 ;010 costanti p.6 ;020 insiemi, relazioni,

funzioni p.7 ;030 algebra p.10 ;040 funzioni basilari sugli interi p.14 ;050 sequenze finite specifiche

p.16 ;070 polinomi ed equazioni polinomiali p.17 ;080 quozienti di polinomi e loro decomposizioni

p.22 ;090 numeri interi p.23 ;100 esponenziali e logaritmi p.25 ;110 numeri complessi p.26 ;120

funzioni trigonometriche e collegate p.28 ;150 matrici e algebra lineare p.32 ;200 geometria piana

1 p.41 ;210 geometria dei solidi 1 p.45 ;220 geometria analitica 1 p.50 ;250 spazi vettoriali ed

euclidei p.55 ;260 rotazioni p. 61 ;270 trigonometria razionale p.62 ;280 quaternioni e altri

numeri ipercomplessi p.63 ;300 limiti p.65 ;320 derivate p.66 ;350 serie numeriche p.68 ;360

successioni e serie di funzioni p.69 ;370 sviluppi in serie di potenze p.70 ;380 prodotti infiniti p.73

;400 integrali p.74 ;420 antiderivate di integrandi algebrici p.75 ;440 antiderivate di integrandi

trascendenti p.87 ;460 integrali definiti p.96 ;500 spazio reale finitodimensionale p. 100 ;510

derivate parziali p.102 ;520 curve piane e calcolo infinitesimale p.103 ;530 integrali doppi p.104

;540 integrali tripli p.105 ;550 solidi di rivoluzione p.106 ;560 centroidi e momenti di inerzia p.107

;570 analisi dei campi vettoriali p.109 ;600 equazioni differenziali ordinarie, ossia ODE p.110 ;630

equazioni integrali p.112 ;650 trasformata di Fourier p.113 ;660 trasformata di Laplace p.114 ;670

trasformata -z p.115 ;700 equazioni alle derivate parziali, ossia PDE p.117 ;720 funzioni olomorfe

e funzioni analitiche p.118 ;730 spazi di Hilbert p.119 ;740 serie e funzioni ipergeometriche p.120

;750 sistemi di funzioni ortogonali p. 121 ;760 polinomi ortogonali p.122 ;770 funzioni speciali

p.128 ;990 indice KWIC dei termini rilevanti nel prontuario p.136 161

2016-04-11 070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici 1

Alberto Marini

;001 caratteristiche del prontuario

Come ogni prontuario, il presente contiene una raccolta di definizioni, enunciati, formule, schemi

operativi e quadri sinottici che si suppongono di uso frequente. Il materiale e ripartito in sezioni

e sottosezioni; collettivamente questi brani qui sono chiamate “ripartizioni”. All’interno di molte

sottosezioni inoltre compaiono, scritti in neretto, termini enfasizzati i quali hanno lo scopo di portare

l’attenzione sopra definizioni e risultati che si ritiene utile porre in evidenza.

Ciascuna ripartizione e caratterizzata da un titolo e contrassegnata da una sigla. I titoli cercano di

essere autoesplicativi; alcuni titoli contengono espressioni matematiche ed alcuni si servono di abbre-

viazioni.

Le sigle delle sezioni hanno la forma “;nnn” e quelle delle sottosezioni la forma “;nnnX” , ove ogni

n rappresenta una cifra decimale ed X sta per una lettera maiuscola . Le ripartizioni sono presentate

secondo sigle crescenti; la scelta del loro ordinamento, come la selezione dei contenuti, e in parte

arbitraria.

Molti contenuti possono essere reperiti consultando l’indice KWIC (KeyWords In Context) dei titoli

delle ripartizioni e dei termini enfasizzati; questo indice lessicografico e comparso come prima sezione,

la ;000. Per l’ordinamento lessicografico si e scelto che le formule precedano le parole leggibili.

Nel prontuario sono presenti non poche ripetizioni e ridondanze: molti fatti sono enunciati in piu punti

e secondo diversi punti di vista. In effetti anche qui si e favorita la facilita del reperimento dei fatti

enunciati, rinunciando al risparmio degli spazi, grazie alla adozione di dispositivi digitali.

I volumi con titolo come “Mathematical tables” e “Handbook of Mathematics” tradizionalmente con-

tengono numerose tabelle di numeri specifici (tipicamente valori interi e reali assunti da funzioni in

corrispondenza di progressioni aritmetiche di valori degli argomenti) e numerose espressioni che for-

niscono trasformate di funzioni. In seguito allo sviluppo di strumenti per il calcolo numerico (in

particolare di un mecanismo con funzioni di “Calculator” che si puo collocare sullo schermo di ogni

computer) ed in conseguenza dello sviluppo dei poderosi sistemi per il calcolo simbolico, numerico e

grafico (meno a portata di mano del precedente) tutti i suddetti valori possono essere ottenuti con i

suddetti prodotti software.

Inoltre molte definizioni di grandezze matematiche sono disponibili in pagine Web, in particolare negli

articoli di enciclopedie in linea come MathWorld o Wikipedia.

Un prontuario di matematica, quindi, oggi puo essere presentato solo come fonte di primo approccio

ad alcune informazioni specifiche, idealmente alle piu comunemente richieste. Il presente prontuario,

quindi, si propone di presentare le informazioni corredate da citazioni di discorsi piu completi e mirati

nel testo MATeXp (e per questi collegamenti si dovra curare l’uso di definizioni e di notazioni coerenti)

e in altre fonti.

Per l’efficacia di questo prontuario, anch’esso in evoluzione, andranno attentamente curate la coerenza

di termini e notazioni e le informazioni di orientamento costituite dai rinvii al suo interno precedute da

rinvii a sezioni e sottosezioni delle forme “v. ;nnn” e da “v. ;nnnX” , dall’indice iniziale delle sezioni

e dall’indice KWIC dei termini rilevanti collocato alla fine del fascicolo.

2 070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici 2016-04-11

MATeXp

;005 logica

;005A calcolo degli enunciati

Si chiama enunciato una affermazione che individuiamo con una lettera, la Q, della quale si suppone

possa essere accertata la validita o la non validita; nel primo caso si scrive P = T , nel secondo P = F .

Siano P e Q due enunciati; essi possono essere composti con i connettivi che seguono.

disgiunzione P ∨ Q vale P o vale Q

congiunzione P ∧ Q vale P e vale Q

condizionale P → Q se vale P , allora vale Q

bicondizionale P ↔ Q P sse Q

negazione ¬P non vale P

or esclusivo o xor P ⊖ Q vale P o vale Q ma non P e Q

not and o nand P ↑ Q negazione di P e Q

not or o nor P ↓ Q negazione di P o Q

tavole di verita (T per vero, F per falso)

P Q P ∨Q P ∧Q P ⇒ Q P ⇔ Q ¬P P ⊖Q P ↑ Q P ↓ Q

T T T T T T F F F F

T F T F F F F T T F

F T T F T F T T T F

F F F F T T T F T T

Diciamo formule enunciative le espressioni ben formate costituite con simboli di enunciati, connettivi

e parentesi in grado di delimitare sottoespressioni.

Si dice tautologia (o verita logica o formula universalmente valida) ogni formula che vale T per ogni

assegnazione di valori degli enunciati costituenti.

Si dice contraddizione ogni formula che vale F per ogni assegnazione di valori degli enunciati costituenti.

Useremo la notazione T per denotare una qualsiasi tautologia e la notazione F per denotare una

qualsiasi contraddizione.

Caratterizziamo con l’infisso ⇔ le equivalenze tautologiche.

¬¬P ⇔ P , P∧Q⇔ Q∧P , P∨Q⇔ Q∨P , (P∧Q)∧R⇔ P∧(Q∧R) , , (P∨Q)∨R⇔ P∨(Q∨R)

P ∨P ⇔ P , P ∧P ⇔ P , P ∧ (Q∨R) ⇔ (P ∧Q)∨ (P ∧R) , P ∨ (Q∧R) ⇔ (P ∨Q)∧ (P ∨R) ,

¬(P ∧Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q , ¬(P ∨Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q , P ∨ (Q ∧ ¬Q) ⇔ P , P ∧ (Q ∨ ¬Q) ⇔ P

P → Q⇔ ¬P ∧Q , ¬(P → Q) ⇔ P ∧ ¬Q , P → Q⇔ (¬Q→ ¬P )

P → (Q→ R) ⇔ ((P ∧Q) → R) , ¬(P ↔ Q) ⇔ (P ↔ ¬Q)

(P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q→ P ) , (P ↔ Q) ⇔ (P ∧Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)

P ⊖Q⇔ Q⊖ P , P ⊖ (Q⊖R) ⇔ (P ⊖Q) ⊖R , P ∧ (Q⊖R) ⇔ (P ∧Q) ⊖ (P ∧R)

P ⊖Q⇔ ((P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧Q)) , P ⊖Q⇔ ¬(P ↔ Q) ,

P ↑ Q⇔ Q ↑ P , P ↓ Q⇔ Q ↓ P , P ↑ (Q ↑ R) ⇔ ¬P ∨ (Q∧R) , P ↓ (Q ↓ R) ⇔ ¬P ∧ (Q∨R) .


Alberto Marini

Caratterizziamo con l’infisso ⇒ le implicazioni tautologiche.

P ∧Q⇒ P , P ∧Q⇒ Q , P ⇒ P ∨Q , Q⇒ P ∨Q , ¬P ⇒ (P → Q) , Q⇒ (P → Q)

¬(P → Q) ⇒ P , ¬(P → Q) ⇒ ¬Q , ¬P∧(P∨Q) ⇒ Q , P∧(P → Q) ⇒ Q , ¬Q∧(P → Q) ⇒ ¬P

(P → Q) ∧ (Q→ R) ⇒ (P → R) , (P ∨Q) ∧ (P ∨R) ∧ (Q→ R) ⇒ R

I vari connettivi presentati non sono indipendenti, come mostrano anche talune equivalenze tauto-

logiche. Inoltre mediante ↑ oppure mediante ↓ possono essere espressi tutti gli altri connettivi.

¬P ⇔ P ↑ P , P ∧Q⇔ ¬(P ↑ Q) , P ∨Q⇔ ¬(P ↑ ¬Q) , . . . . .

¬P ⇔ P ↓ P , P ∧Q⇔ ¬P ↑ ¬Q , P ∨Q⇔ ¬(P ↓ ¬Q) , . . . . .

Due formule enunciative F e G contenenti i connettivi ∨, ∧ e ¬ si dicono duali sse l’una si ottiene dall’altra

mediante lo scambio di ∨ e ∧; si scrive allora G = F∗; evidentemente tale dualita e una involuzione.

Ad esempio consideriamo una formula enunciativa fornita dalla espressione E(A1, A2, ..., An) nella quale

le Ai sono variabili atomiche, cioe argomenti non forniti da sottoespressioni composite. Vale la seguente

generalizzazione delle leggi di De Morgan:

E∗(A1, A2, ..., An) ⇔ ¬E(¬A1,¬A2, ...,¬An) .

Nell’ambito delle formule enunciative sulle n variabili A1, A2,..., An si dicono minterms enunciativi le 2n

formule avento una forma ∼1 A1∧ ∼2 A2 ∧ · · · ∧ ∼n An dove per ogni i = 1, 2, ..., n ∼i rappresenta

la stringa muta oppure ¬. Si dicono invece maxterms enunciativi le 2n formule avento una forma ∼1

A1∨ ∼2 A2 ∨ · · · ∨ ∼n An dove gli ∼i sono deefiniti come sopra.

Ad ogni formula enunciativa si possono dare due forme normali tautologicamente equivalenti: la forma

normale disgiuntiva principale data dalla disgiunzione di minterms e la forma normale congiuntiva principale

data dalla congiunzione di minterms.

;005B calcolo dei predicati

Studia le espressioni formali che riguardano formule predicative, cioe espressioni che contengono, oltre

a variabili enunciative che possono assumere i valori determinari T ed F , a connettivi e parentesi,

variabili predicative dipendenti da variabili x, y, ... che assumono i valori T ed F in dipendenza delle

variabili ed i due seguenti quantificatori:

quantificatore universale ∀x da leggere “per ogni x” ... ;

quantificatore esistenziale ∃x da leggere “esiste x tale che” ... .

Valgono le seguenti equivalenze e implicazioni tautologiche riguardanti quantificatori.

(∃x)(P (x) ∨Q(x)) ⇔ (∃x)P (x) ∨ (∃x)Q(x) , (∃x)(P (x) ∧Q(x)) ⇔ (∃x)P (x) ∧ (∃x)Q(x)

¬((∃x)P (x) ⇔ (∀x)¬P (x) , ¬((∀x)P (x) ⇔ (∃x)¬P (x)

(∀x)P (x) ∨ (∀x)Q(x) ⇒ (∀x)(P (x) ∨Q(x)) , (∃x)(P (x) ∧Q(x)) ⇒ (∃x)P (x) ∧ (∃x)Q(x)

(∀x)(P ∨Q(x)) ⇔ P ∨ (∀x)Q(x) , (∃x)(P ∧Q(x)) ⇔ P ∧ (∃x)Q(x)

(∀x)P (x) → Q ⇔ (∃x)(P (x) → Q) , (∀x)P (x) → Q ⇔ (∃x)(P (x) → Q)

P → (∀x)Q(x) ⇔ (∀x)(P → Q(x)) , P → (∃x)Q(x) ⇔ (∃x)(P → Q(x))


MATeXp

(∀x)(∀y)P (x, y) ⇔ (∀y)(∀x)P (x, y) , (∀x)(∀y)P (x, y) ⇒ (∃y)(∀x)P (x, y)

(∀y)(∀x)P (x, y) ⇒ (∃x)(∀y)P (x, y) , (∃y)(∀x)P (x, y) ⇒ (∀x)(∃y)P (x, y)

(∃x)(∀y)P (x, y) ⇒ (∀y)(∃x)P (x, y) , (∀x)(∃y)P (x, y) ⇒ (∃y)(∃x)P (x, y)

(∀y)(∃x)P (x, y) ⇒ (∃x)(∃y)P (x, y) , (∃x)(∃y)P (x, y) ⇔ (∃y)(∃x)P (x, y)

;005C metodi dimostrativi

modus ponens enunciato obiettivo Q procedimento:P

P→QQ

modus tollens enunciato obiettivo ¬P procedimento:¬QP→Q

¬P

sillogismo disgiuntivo enunciato obiettivo Q procedimento:P ∨Q

¬PQ

istanziazione universale enunciato obiettivo P (x) procedimento: (∀x)P (x)P (x)

dimostrazione indiretta enunciato obiettivo P ⇒ Q

procedimento: dimostrare che se Q e vera, allora P e vera

dimostrazione indiretta enunciato obiettivo P ⇒ Q procedimento: dimostrare che ¬Q⇒ ¬P

dimostrazione mediante implicazione enunciato obiettivo P ⇔ Q

procedimento: dimostrare che P ⇒ Q e che Q⇒ P

contraddizione enunciato obiettivo P

procedimento: assumere (∃x)P (x) e derivare una contraddizione

contraddizione enunciato obiettivo ¬(∃x)P (x)

procedimento: assumere che P sia falso e derivare una contraddizione

dimostrazione costruttiva enunciato obiettivo (∃x)P (x)

procedimento: individuare x tale che P (x) sia vero

dimostrazione non costruttiva enunciato obiettivo (∃x)P (x)

procedimento: dimostrare che ¬(∃x)(P (x) conduce ad una contraddizione

controesempio enunciato obiettivo ¬(∀x)P (x) procedimento: dimostrare (∃x)¬P (x)

generalizzazione universale enunciato obiettivo (∀x)P (x) procedimento: dimostrare che per

un arbitrario x P (x) e vera

Un importante genere di dimostrazione e la dimostrazione per induzione. Si tratta di dimostrare una

proprieta P (n) caratterizzata da un parametro intero positivo n. Essa effetua due passi:

— dimostrare che vale P (1);

— dimostrare la implicazione (∀n)P (n) =⇒ P (n+ 1) .


Alberto Marini

;010 costanti

;010A potenze di 10 e di 2

Potenze di 10 prefisso sigla

1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 yotta Y

1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 zetta Z

1 000 000 000 000 000 000 = 1018 exa E

1 000 000 000 000 000 = 1015 peta P

1 000 000 000 000 = 1012 tera T

1 000 000 000 = 109 giga M

1 000 000 = 106 mega M

10 000 = 104 miria

1 000 = 103 kilo G

100 = 102 hecto h

10 = 101 deca da o D

0.1 = 10−1 deci d

0.01 = 10−2 centi c

0.001 = 10−3 milli m

0.001 = 10−6 micro µ

0.000 001 = 10−9 nano n

0.000 000 001 = 10−12 pico p

0.000 000 000 001 = 10−15 femto f

0.000 000 000 000 001 = 10−18 atto a

0.000 000 000 000 000 001 = 10−21 zepto y

0.000 000 000 000 000 000 001 = 10−24 yocto z

;010A potenze di 2

1 = 20

2 = 21 2 048 = 211 2 097 152 = 221 2 147 483 648 = 231

4 = 22 4 096 = 212 4 194 304 = 222 4 294 967 296 = 232

8 = 23 8 192 = 213 8 388 608 = 223 8 589 934 592 = 233

16 = 24 16 384 = 214 16 777 216 = 224 17 179 869 184 = 234

32 = 25 32 768 = 215 33 554 432 = 225 34 359 738 768 = 235

64 = 26 65 536 = 216 67 108 864 = 226 68 719 476 736 = 236

128 = 27 131 072 = 217 134 217 728 = 227 68 719 476 736 = 237

256 = 28 261 144 = 218 268 435 456 = 228 274 877 976 944 = 238

512 = 29 524 288 = 219 536 870 912 = 229 549 755 813 888 = 239

1 024 = 210 1 048 576 = 220 1 073 741 824 = 230 1 099 511 627 776 = 240

1 024 = 210 kibibyte

1 048 576 = 220 = 1 0242 mibibyte

1 073 741 824 = 230 = 1 0243 gibibyte

1 099 511 627 776 = 240 = 1 0244 tebibyte


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1 125 899 906 842 624 = 250 = 1 0245 pebibyte

1 152 921 504 606 846 976 = 260 = 1 0246 exbibyte

9 223 372 036 854 875 808 = 263

18 446 744 073 709 551 616 = 264

1 180 591 620 717 411 303 424 = 270 = 1 0247 zebibyte

208 925 819 614 629 174 706 176 = 280 = 1 0248 yobibyte

340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456 = 2128

;010B radici e logaritmi di numeri

n = 2 3 4

√n ≈ 1.41421 35623 73095 1.73205 08075 68877 2

3√n ≈ 1.25992 10498 94873 1.44224 95703 07408 1.58740 10519 68199

ln n ≈ 0.69315 71805 59945 1.09861 22886 68110 1.38629 43611 19891log10 n ≈ 0.30102 99956 63981 0.47712 12547 19662 0.60205 99913 27962

n = 5 6 7

√n ≈ 2.23606 79774 99789 2.44948 97427 83178 2.64575 13110 64591

3√n ≈ 1.70997 59466 76697 1.81712 05928 32140 1.91293 11827 72389

ln n ≈ 1, 60943 79124 34100 1.79175 94692 28055 1.94591 01490 553133log10 n ≈ 0.69897 00043 36019 0.77815 12503 83643 0.84509 80400 14256

n = 8 9 10

√n ≈ 2.82842 71247 46190 3 3.16227 76601 68379

3√n ≈ 2 2.08008 38239 51904 2.15443 46900 31884

ln n ≈ 2.07944 15416 79835 2.19722 45773 36219 2.30258 50929 94046log10 n ≈ 0.90308 99869 91944 0.95424 25094 39324 1

12√

2 ≈ 1.05946 30343 59296

numero di Fidia = sezione aurea = ϕ :=

√5 + 1

2≈ 1.61803 39887 49894 84820

Φ :=1

ϕ=

√5 − 1

2= ϕ− 1 ≈ 0.61803 39887 59894

ϕ√5

=1

Φ√

5=

5 +√

5

10= 0.72360 67977 49979 ,

√5

ϕ=

5 −√

5

2= 1.38196 60112 50105

e := limn→+∞

(1 +

1

n

)n

=

+∞∑j=0

1

j!≈ 2.71828 18284 59045 23536

approssimazioni razionali di e:193

61≈ 2.71830 98592

1264

465≈ 2.71827 95699

1

e= 0.56418 36787 94411 71442 , e2 = 7.38905 60989 30650


Alberto Marini

log10 e = 0.43429 44819 03251 , loge 10 = ln 10 = 2.30258 50929 94045

π = 3.14159 26535 89793 , 2π = 6.28318 53071 79586 ,π

2= 1.57079 63267 94897

approssimazioni razionali di π:22

7≈ 3.14285 714293

355

113≈ 3.14159 29204

1

π= 0.31830 98861 83790 , π2 = 9.86960 44010 89358

√π = 1.77245 38509 05516 ,

1√π

= 0.56418 95835 47756

log10 π = 0.49714 98726 94133 , loge π = ln π = 1.14472 98858 49400

γem = 0.57721 56649 01532(v.; 300)

1 rad = 57◦ 17′ 8′′ = 57.29577 95130 82321◦

1◦ = 0.01745 rad , 1′ = 0.00029 rad , 1′′ = 0.00000 48481 rad

;020 insiemi, relazioni, funzioni

;020A insiemi

Siano A, B e C degli insiemi e denotiamo con U l’insieme che contiene entrambi e che chiamiamo

universo.

appartenenza x appartiene ad A: x ∈ A x non appartiene ad A: x ∈ A

A contiene x: A ∋ x

A e sottoinsieme in senso lato di B: A ⊆ B sse x ∈ A =⇒ x ∈ B

A e sottoinsieme proprio di B: A ⊂ B sse A ⊆ B e A = B

B e sovrainsieme in senso lato di A: B ⊇ A sse x ∈ A =⇒ x ∈ B

B e sovrainsieme proprio di A: B ⊃ A sse B ⊇ A e B = A

operazioni sugli insiemi

unione degli insiemi A e B A ∪B := {x ∈ U ST x ∈ A ∨ x ∈ B}intersezione degli insiemi A e B A ∩B := {x ∈ U ST x ∈ A ∧ x ∈ B}eliminazione dell’insieme B dall’insieme A ossia A senza B A \B := {x ∈ A ∧ x ∈ B}

;020B relazioni binarie

consideriamo due insiemi A e B e e A×B; ogni R ⊆ A×B si dice relazione fra A e B; denotiamo con

RelA,B l’insieme delle relazioni fra A e B e con RelFA,B l’insieme delle relazioni finite fra A e B

equivalentemente a ⟨a, b⟩ ∈ R si scrive aR b e la sua negazione ⟨a, b⟩ ∈ R si scrive anche a Rbdominio della R: dom(R) := {x ∈ A ST B ∋ y ST xR y};

codominio della R: cod(R) := {y ∈ B ST A ∋ x ST xR y};

A×B si dice relazione ovvia fra A e B; ∅ si chiama relazione assurda fra A e B;

R, se non assurda, si dice relazione da dom(R) su cod(R)

si dice relazione trasposta della R ∈ A×B la R−1 = R := {⟨a, b⟩ ∈ R :| ⟨b, a⟩; (R ) = R

alle relazioni si applicano le operazioni insiemistiche (R1∪R2) = R1 ∪R2 , (R1∩R2) = R1 ∩R2


MATeXp

relativamente ad A×B si dice relazione complementare della R ∈ RelA,B la R A,B := RelA,B \R(R A,B

)A,B

= R (R1 ∪R2) = (R1 ) ∩ (R2 ) (R1 ∩R2) = (R1 ) ∪ (R2 )

se A = B, RelA := RelA,A si dice insieme delle relazioni entro A RelA,B ⊆ Rel(A∪B),(A∪B)

IdA := {a ∈ A :| ⟨a, a⟩} ∈ RelA,A

prodotto di composizione o prodotto di Peirce delle relazioni R1RelA,B ed R2 ∈ RelB,C

R1 ◦R2 := {⟨a, c⟩ ∈ A× C ST B ∋ b ST aR1b ∧ bR2c}

(R1 ◦R)2) ◦R3 = R1 ◦ (R2 ◦R3) (R1 ◦R2)−1 = R2−1 ◦R1

−1

per una R ∈ RelA scriviamo R◦0 := IdA , R◦1 := R , R◦k := R ◦ (R◦(k−1 , R◦−k := (R−1)◦k ;

diciamo chiusura riflessiva: R ∪ IdA chiusura simmetrica: R ∪Rchiusura transitiva: R+ := R∪R◦2∪R◦3∪· · · chiusura riflessivo transitiva: R∗ := IdA∪R∪R◦2∪R◦3∪· · ·chiusura di equivalenza: Reqv := (R )+ ∪ Ida ∪R+ =

∪k∈ZR

◦k

R ∈ RelA si dice: riflessiva sse ∀a ∈ A aRa , antiriflessiva sse ∀a, b ∈ A aR b =⇒ b Rasimmetrica sse ∀a, b ∈ A aR b =⇒ bR a , antisimmetrica sse ∀a, b ∈= A aR b =⇒ b Ra ,

transitiva sse ∀a, b, c ∈ A aR b ∧ bR c =⇒ aR c , ossia sse R = R+

relazioni binarie e digrafi

ogni relazione finita equivale ad un digrafo e si puo rappresentare con una raffigurazione di tale digrafo

e con la matrice di incidenza che gli corrisponde; qui di seguito abbreviamo matrice di incidenza con

matrice e scriviamo im(R) la matrice della R

alla trasposta di una relazione corrisponde il digrafo con gli archi capovolti e la matrice trasposta

al prodotto di composizione di due relazioni corrisponde la matrice prodotto booleano delle matrici

dei fattori im(R1 ◦R2) = im(R1) ⊙ im(R2)

una relazione e riflessiva sse la sua matrice ha tutte le entrate diagonali uguali ad 1

una relazione e antiriflessiva sse la sua matrice ha tutte le entrate diagonali uguali a 0

una relazione e simmetrica sse la sua matrice e simmetrica

una relazione R e antisimmetrica sse ∀a, b ∈ = A im(R)a,b + im(R)b,a ≤ 1

la matrice di una relazione unione e la somma booleana delle corrispondenti matrici

la matrice di una relazione intersezione e il prodotto entrata per entrata l delle corrispondenti matrici

la matrice della chiusura transitiva di una relazione R e la somma booleana delle potenze booleane:

im(R+) =∑⊕+∞

i=1 im(R)◦k

;020C funzioni

;020D insiemi numerici

insieme dei naturali N = {0, 1, 2, 3, ...}

insieme degli interi positivi P = {1, 2, 3, ...}

insieme dei numeri interi Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

insieme degli interi negativi Z− = {−1,−2,−3, ...}

insieme degli interi diversi da 0 ZR2c := Z \ {0} = Z− ∪P = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...}


Alberto Marini

insieme dei numeri razionali Q :=

{h ∈ Z , k ∈ Znz :| h

k

}insieme dei numeri algebrici RA insieme dei reali soluzioni di equazioni polinomiali

con coefficienti interi

insieme dei numeri reali R insieme introdotto assiomaticamente (v.B42)

insieme dei reali positivi, negativi, non negativi, non positivi, diversi da zero

R+, R−, R0,+, R−,0, Rnz

i.nsieme dei reali costruibili RC := insieme dei reali approssimabili illimitatamente da procedure

insieme dei numeri complessi C := {a, b ∈ R :| a+ i b} con i2 = −1 (v.B50)

insieme dei complessi diversi da zero e costruibili Cnz := C \ {⟨0, 0⟩} , CC := RC × RC

intervalli di interi [h : k] :=

{∅ sse k < h{h, h+ 1, ..., k} sse h ≤ k

(h : k] := [h+ 1, k]

[h : k) := [h, k − 1] (h : k) := lJh+ 1, k − 1]

intervalli di reali (r, s) := {x ∈ R ST r < α < s} [r, s) := {x ∈ R ST r ≤ x < s}(r, s] := {x ∈ R ST r < x ≤ s} [r, s] := {x ∈ R ST r ≤ x ≤ s}(r,+∞] := {x ∈ R ST r < x} [−∞, s] := {x ∈ R ST x ≤ s}

;020E funzioni basilari sui reali

valore assoluto |x| :={x se x ≥ 0−x se x ≤ 0

funzione segno sign(x) :=

{−1 sse x < 00 sse x = 01 se x > 0

scalino di Heavyside Hvsd(x) :=sign(x) + 1

2=

{0 sse x < 012 sse x = 01 sse x > 0

funzione caratteristica dei reali non negativi χR0,+:=

{0 sse x < 01 sse x ≥ 0

funzione pavimento ⌊x⌋ := ∪ {n ∈ Z :| x ST n ≤ x < n+ 1 n }funzione soffitto ⌈x⌉ := ∪ {n ∈ Z :| x ST n− 1 < x ≤ n n }mantissa mant(x) := x− ⌊x⌋

arrotondamento del valore round(x) :=

⌊x− 1

2

⌋+

1

2


MATeXp

;030 algebra

;030A operazioni algebriche

L’algebra odierna fa riferimento alle strutture, sistemi costituiti da uno o piu insiemi detti terreni e da

una o piu operazioni soprattutto binarie e da un sistema di assiomi che li riguardano.

Data due strutture S e T, si dice che T e pu ricca di S sse possiede piu terreni e/o piu operazioni

ed un sistema di assiomi piu esteso; si dice che T e pu stringente di S sse hanno analoghi terreni ed

operazioni e gli assiomi della T implicano quelli della S.

Siano a, b, c e d elementi di una struttura munita delle operazioni somma e prodotto S = ⟨S,⊕,⊙, ...⟩potrebbe trattarsi di un semianello o di un suo arricchimento (v. ;030D).

proprieta commutative a⊕ b = b⊕ a , a⊙ b = b⊙ a

proprieta associative (a⊕ b) ⊕ c = a⊕ (b⊕ c) , (a⊙ b) ⊙ c = a⊙ (b⊙ c)

proprieta distributiva a⊙ (b⊕ c) = a⊙ b⊕ a · c , (a⊕ b) ⊙ c = a⊙ c⊕ b⊙ c

quindi (a⊕ b) ⊙ (c⊕ d) = a⊙ c⊕ a⊙ d⊕ b⊙ c⊕ b⊙ d

La struttura S abbia la somma commutativa e sia munita anche di un elemento neutro per la somma

denotato da 0, cioe di un elemento 0 tale che ∀x ∈ S x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x ; la presenza di 0 induce

a chiedersi se si ha l’operazione univoca passaggio da un elemento x al suo opposto ⊖x, elemento tale

che x⊕ (⊖x) = 0; essa e una involuzione, cioe ∀x ∈ S ⊖ (⊖x) = x .

Si puo allora definire la differenza fra due elementi della struttura ponendo a ⊖ b := a ⊕ (⊖b); la

differenza si dice operazione inversa della somma

Per il passaggio all’opposto si ha (a⊖ b) ⊕ b = b⊕ (a⊖ b) = a , a⊖ (⊖b) = a⊕ (⊕b) = a⊕ b

Per la relazione fra prodotto e zero si ha

a · 0 = 0 · a = 0 , (⊕a) ⊙ (+b) = a⊙ b = (ominusa) ⊙ (⊖b) , (⊕a) ⊙ (⊖b) = ⊖a⊙ b = ⊖(a⊙ b)

La S sia dotata anche di un elemento neutro bilatero per il prodotto che scriviamo 1, cioe sia ∀x x⊙1 = x = 1 ⊙ x;

nelle strutture costituite da trasformazioni per l’elemento neutro spesso si usa il termine identita

La S privata dello 0 sia munita anche dell’inversione rispetto al prodotto, operazione che trasforma x

nell’elemento x−1 tale che x⊙ (x−1) = (x−1)⊙x = 1; anche questa operazione e una involuzione, cioe

x⊙ (x−1) = (x−1) ⊙ x = 1 .

Su questa struttura si puo definire la divisione, operazione binaria definibile solo se il secondo operando

e diverso da 0:a

b:= a · (b−1)

Si usano anche le notazioni a/b := a : b :=a

b; la divisione si dice operazione inversa del prodotto.

Proprietaa

b· b = b · a

b= a

a

b± c

d=

a d± b c

b d,a

b⊙ c

d=

a c

b d,

abcd

=a

b⊙ d

c=

a d

b c,

−a−b

=a

b,

−ab

=a

−b= −a

b

;030C potenze e radici

potenze

Siano h, m ed n numeri interi e sia k un intero positivo.


Alberto Marini

a0 := 1 , a1 := a , an := an−1 · a

am+n = am · an , a−n :=1

an, (a · b)n = an · bn

am

an= am−n , (am)n = amn

(a · b)n = an · bn ,(ab

)n=

an

bn, (−a)2h = a2h , (−a)2h+1 = −a2h+1

radici

Consideriamo n e k interi positivi, m intero, a ed r reali non negativi.

n√a = r ⇐⇒ rn = a si usa anche la scrittura a1/n := n

√a

amn := n

√am =

(n√a)m

,n√a b = n

√a · n

√b , n

√a

b=

n√a

n√b

n√an b = a

n√b , n

√a · k

√a =

nk√an+k

;030D specie di strutture algebriche

magma o gruppoide struttura costituita da un insieme terreno e da un’operazione binaria che in genere

si chiama prodotto e che scriviamo ⊙; presentata formalmente con una notazione della forma ⟨M,⊙⟩quasigruppo magma ⟨Q,⊙⟩ nel quale per ogni a, b ∈ Q sono univocamente definiti gli elementi c e d

tali che a⊙ c = b e d⊙ a = b; in parole povere magma nel quale sono sempre definite una divisione a

sinistra ed una a destra. Un magma e un quasigruppo sse la sua tavola di composizione e un quadrato

latino (v. D63).

loop quasigruppo unitale, cioe semigruppo che possiede un elemento neutro bilatero, una identita.

semigruppo magma con ⊙ associativo

Esempi: ⟨P,+⟩, ⟨P, ·⟩, razionali positivi muniti di somma o di prodotto, reali positivi muniti di somma

o di prodotto

monoide semigruppo unitale; formalmente presentato con una notazione come ⟨M,⊙, e⟩.esempi: numeri naturali, razionali non negativi, reali non negativi muniti di somma; numeri positivi,

razionali positivi, reali positivi muniti di prodotto; booleano di un insieme munito di unione; insieme

delle relazioni entro un insieme munito del prodotto di composizione; classi di resti

gruppo monoide con tutti gli elementi dotati di inverso; forma tipica ⟨G,⊙, e,−1⟩Esempi: Z, Q, R, C munito di somma; Q+, Qnz, R+, Rnz muniti di prodotto; insieme delle permu-

tazioni di un insieme munito del prodotto di composizione; simmetrie di un poligono regolare o di altro

tipo di figura dotata di qualche regolarita; insieme delle classi di resti modulo p con p numero primo

munito del prodotto modulo p

semianello struttura munita di due operazioni presentabile con una notazione come ⟨S,⊕,⊙⟩, con

⟨S,⊕⟩ semigruppo abeliano, ⟨S,⊙⟩ semigruppo con ⊙ distributivo su ⊕Esempi: insieme delle matrici quadrate di dato profilo e classi di resti per un generico intero positivo

pseudoanello semianello con ⊕ operazione di gruppo abeliano

anello semianello con ⊕ operazione di gruppo abeliano e ⊙ dotato di unita, quindi pseudoanello

unitale


MATeXp

Esempi: insieme degli interi, dei pari, dei razionali, dei reali, dei complessi muniti di somma e prodotto

usuali

campo anello tale che tolto lo 0 ha il prodotto come operazione di gruppo abeliano

Esempi: insieme dei razionali, dei reali, dei complessi, delle classi di resti per un numero intero primo

semireticolo inferiore struttura munita di una operazione binaria chiamata incontro (meet) o massimo

dei minoranti che denotiamo con ∧ la quale e associativa, commutativa e idempotente

Esempi: controarborescenza

semireticolo superiore struttura munita di una operazione binaria chiamata giunzione (join) o minimo

dei maggioranti e denotata con ∨ la quale e associativa, commutativa e idempotente

reticolo struttura presentabile come ⟨L,∧,∨⟩ ove ∧ e ∨ sono due operazioni binarie che chiamiamo,

risp., giunzione e incontro tali che L,∧⟩ e un semireticolo inferiore e ⟨L,∨⟩ e un semireticolo superiore;

inoltre si chiede che valgano le due leggi di assorbimento:

∀a, b ∈ L a ∨ (a ∧ b = a , a ∧ (a ∨ b = a .

Esempi: collezione dei sottoinsiemi di un dato insieme munito delle operazioni di intersezione ed unione;

insieme delle partizioni di un insieme ordinato per raffinamento; N× N ordinato parzialmemte sulle

due componenti

reticolo di Boole reticolo sul cui terreno e definita una involuzione ∼ (a ∨ b) = (∼ a) ∧ (∼ b)

Esempi: reticolo dei sottoinsiemi di un dato insieme munito della complementazione

modulo sinistro su anello se R = ⟨R,+, 0,−, ·, 1⟩ e un anello, e una struttura della forma⟨R,⊕,⊖, 0, ,

⟩tale che r (v + wSd) = r v + r w , (r + s) v = r v + s v r · s) v = rM(sMv) e 1 v = v

Esempi: trasformazioni lineari

modulo destro su anello struttura simile al modulo sinistro nella quale la moltiplicazione vede gli

elementi dell’anello posti a destra

spazio vettoriale o spazio lineare modulo su un anello arricchibile a campo F = ⟨F,+, 0,−, ·,−1⟩ e tale

che r v = v r

Esempi: insieme delle funzioni da un dato dominio a valori su un campo munito di tale campo e

delle estensioni funzionali della somma di vettori e della moltiplicazione per elementi del campo; in

particolare per ogni d intero positivo, l’insieme delle d-uple di elementi del campo; piu in particolare

gli insiemi delle d-uple di numeri razionali, reali o complessi

algebra su campo spazio vettoriale munito di un prodotto distributivo sulla somma

Esempi: insieme delle matrici ad entrate su un campo; insieme delle trasformazioni lineari tra due

spazi vettoriali; insieme dei polinomi in una o piu variabii su un dato campo; insieme dei polinomi di

grado inferiore a d su un dato campo; insieme dlle serie formali su un dato campo

morfismi

Consideriamo due strutture algebriche che si possono considerare magmi ⟨S1,⊙1, ...⟩ ed ⟨S2,⊙2, ...⟩.Una funzione m ∈ {S1 −→ S2} si dice: Questa si dice:

omomorfismo sse mantiene la struttura algebrica, cioe sse ∀x1, x2 ∈ dom(m) x1⊙2x2 = m(x1⊙1x2);

endomorfismo sse cod(m) ⊆ S1

epimorfismo sse e suriettiva, cioe sse cod(m) = S2;

monomorfismo sse e iniettiva, cioe sse m ∈ {dom(m) ▹−−◃cod(m)};

isomorfismo sse e biiettiva, cioe sse m ∈ {S1 ▹−−◃S2};

automorfismo sse e una permutazione e S1 = S2, cioe sse m e endomorfismo ed isomorfismo.


Alberto Marini

Nei casi precedenti le due strutture si dicono, risp., omomorfe, endomorfe, epimorfe, momomorfe,

isomorfe ed automorfe.

;030E medie

Consideriamo n ∈ [2, 3, 4, ...) e la sequenza di numeri reali x =⟨x1, x2, ..., xn

⟩.

media aritmetica di x: Mx :=x1 + x2 + · · · + xx

nmedia geometrica di x con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0: Gx := n

√x1 · x2 · · · · · xn

media armonica di x con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0: Hx :=

(1

n

(1

x1+

1

x2· · · +

1

xn

))−1

consideriamo anche w =⟨w1, w2, ..., wn

⟩con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0, wi > 0 e

n∑i=1

wi = 1

media aritmetica pesata di x e w: Mx,wSd := w1 x1 + w2 x2 + · · ·wn xn

media geometrica pesata di x e w: Gx,w := xw11 xw2

2 · · ·xwnn

relazioni: Hx ≤ Gx ≤Mx con Hx = Gx = Mx ⇐⇒ x1 = x2 = · · · = xn ; Gx,w ≤Mx,w

;030F progressioni

progressione aritmetica con inizio a, passo p e lunghezza s :⟨a, a+ p, a+ 2 p, ..., a+ (s− 1) p

⟩somma: a · s+ p

s(s− 1)

2=a+ b

2· s con b := a+ (s− 1) p

progressione geometrica con inizio a, ragione q e lunghezza s :⟨a , a · q , a · q2 , ... , a · qs−1

⟩somma: a · q

s−1

q − 1=b q − a

q − 1con b := a · qs−1


MATeXp

;040 funzioni basilari sugli interi

delta di Kronecker δh,k ={

0 sse h = k1 sse h = k

successore del naturale n succ(n) := n+ 1

;040A fattoriale e dintorni

fattoriale di n ∈ N 0! := 1 , 1! := 1 , n! := (n− 1)! · n n! = 1 2 3 · · · n

formule di approssimazione alla Stirling n! ≈ n

e

n √2πn

ln(n!) ≈ (n+ 1/2) lnn− n+ 12 ln(2π) , ln(2π) ≈ 1.83787 70664 09345

semifattoriale (2h)!! := 2 · 4 · 6 · · · · 2h , (2h+ 1)!! := 1 · 3 · 5 · · · · 2h

(2h)! = h! 2h (2h− 1)!! , (2h+ 1)! = (2h+ 1)!! (2h)!!

Consideriamo s ∈ P , x ∈ R .

fattoriale crescente x0 := 1 , xs := x · (x+ 1) · ... · (x+ s− 1)

fattoriale decrescente x0 := 1 , xs := x · (x− 1) · ... · (x− s+ 1)

funzione Gamma (vedi anche ;770A)

∀x ∈ R+ Γ(x) :=

∫ +∞

0

dt e−t tx−1 , ∀x ∈ R \ Z0,− Γ(x) := limn→+∞

n!nx−1

xn

Γ(x+ 1) = xΓ(x) , Γ

(1

2

)=

√π

∀n ∈ P Γ(n) = (n− 1)! , Γ

(n+

1

2

)=

(2n− 1)!!

2n√π , Γ

(−n+

1

2

)=

(−1)n 2n

(2n− 1)!!

√π

Risulta utile convenire che ∀ − n ∈ Z−1

(−n)!:= 0

;040B coefficienti binomiali e sviluppo del binomio

Consideriamo n, k ∈ N e a ∈ R .(n

k

):=

{n!

k! (n−k)! sse 0 ≤ k ≤ n

0 sse 0 ≤ n < k∀ k ∈ N , a ∈ R

(a

k

):=

{ak

k! sse k ∈ P1 sse k = 0(

n

k

)=

(n

n− k

),

(a

k

)+

(a

k + 1

)=

(a+ 1

k + 1

)sviluppo del binomio (a+ b)n =

n∑j=0

(n

j

)= an +

(n

1

)an−1 b+ · · · +

(n

n− 1

)a bn−1 + bn

casi particolari (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 , (a± b)3 = a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3

fattorizzazioni nel campo reale a2 − b2 = (a+ b)(a− b) , a3 ± b3 = (a± b)(a2 −mpab+ b2)

a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2) , a4 + b4 = (a2 +√

2ab+ b2)(a2 −√

2ab+ b2)

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2 b+ · · · + a bn−2 + bn)

;040C coefficienti multinomiali e sviluppo del multinomio

Consideriamo s ∈ P, la s-upla di reali⟨a1, a2, ..., as

⟩l’intero n ∈ N e l’insieme Kn delle s-uple di

interi naturali⟨k1, k2, ..., ks

⟩la cui somma vale n.


Alberto Marini

Si dice coefficiente multinomiale relativo ad una⟨k1, k2, ..., ks

⟩∈ Ks,n il quoziente(

nk1, k2, · · · , ks

):=

n!

k1! k2! · · · ks!Si dice sviluppo del multinomio relativo ad n, Ks,n e

⟨a1, a2, ..., as

⟩l’espressione

(a1 + a2 + · · · + as)n :=

∑⟨k1,k2,...,ks

⟩∈Ks,n

n!

k1! k2! · · · ks!a1

k1 a2k2 · · · asks

casi particolari (a± b+ c)2 = a2 + b2 + c2 ± 2ab± 2bc+ 2ac

I coefficienti multonomiali si possono introdurre senza fare riferimento a Ks,n per ogni sequenza di

interi⟨n, k1, ..., ks−1

⟩con n > 0 ponendo

n!

k1, k2, ..., n− (k1 + k2 + · · · + kns−1)−

Se s = 2 si ha

(n

k1, k2

)=

(n

k1

)


MATeXp

;050 sequenze finite specifiche

;050A sequenze combinatorie basilari

Denotiamo con s un intero positivo, con A un insieme finito e sia n := |A|; ad A puo rendersi opportuno

assegnare un ordinamento totale. Qui esaminiamo sequenze di lunghezza s di elementi di A.

disposizioni con ripetizione di lunghezza s dell’insieme A: sono le s-uple di elementi di A, senza restrizioni

sulle componenti. Queste sequenze corrispondono alle funzioni dalla sequenza di interi⟨1, 2, ..., s

⟩nell’insieme A ed il loro insieme e

Se denotiamo con DispR(F, s) il loro insieme, lo possiamo far coincidere con A×s , con la potenza

cartesiana s-esima di A. La sua cardinalita e quindi

|DispR(A, s)| = |A|s = ns

Entro tale insieme di sequenze si collocano tutte le altre sequenze che seguono.

disposizioni senza ripetizione di elementi di un insieme finito A: si tratta delle sequenze di A×s che

non presentano componenti ripetute; denotiamo con DispI(F, s) il loro insieme. Queste sequenze

corrispondono alle funzioni iniettive, ossia invertibili, cioe alle funzioni costituenti {(s] 7−→ A}. Per

il loro numero si ha

|DispI(A, s)| = n (n− 1) (n− 2) · · · (n− s+ 1) = ns

Per avere |DispI(A, s)| > 0 deve essere N ≥ s.

permutazioni di A: sequenze costituite da n = |A| componenti costituite da elementi di A che non

presentano ripetizioni. In queste sequenze compaiono tutti gli elementi di A, ciascuno in una sola

posizione e quindi

Perm(A) = DispI(A,n) , |Perm(A)| = |A|! = n!

combinazioni senza ripetizione di lunghezza s di elementi di A ordinato totalmente da una relazione come

≺: sequenze crescenti di s componenti di A. Denotiamo il loro insieme con Comb(A, s) e osserviamo

che permutando le loro s componenti si ottengono tutte le sequenza di DispI(A,n).

|Comb(A, s)| =|DispI(A, s)||Perm((s])|

=ns

s!=

(n

s

)combinazioni con ripetizione di lunghezza s di elementi di A ordinato totalmente: sequenze non decrescenti

di s componenti di A.

Denotiamo il loro insieme con CombR(A, s) e osserviamo che quando A = {1, 2, ..., n} , si possono

porre in biiezione con le sequenze di Comb({1, 2, ..., n, ..., n+ s− 1}, s) . Quindi

|CombR((n], s)| = |Comb((n+ s− 1], s)| =(n+ s− 1)s

s!=

(n+ s− 1

s

)

;050D somme di potenze di interi

1 + 2 + 3 + · · · + s =s∑

j=1

j =s(s+ 1)

2,

s∑j=1

j2 =s(s+ 1)(2s+ 1

6,

s∑j=1

j3 =s2(s+ 1)2

4

s∑j=1

j4 =s(s+ 1)(2s+ 1)(3s2 + 3s− 1)

30, denotando con Bj il numero di Bernoulli di deponente j

s∑j=1

jp =sp+1

p+ 1+sp

2+B2

2

(p

1

)sp−1 +

B4

4

(p

3

)sp−3 · · · =

sp+1

p+ 1+sp

2+

p+12∑

m=1

B2m

2m

(p

2m− 1

)sp−2m+1


Alberto Marini

;070 polinomi ed equazioni polinomiali

;070A polinomiSia n un intero non negativo e consideriamo una sequenza a = ⟨an, an−1, ..., a2, a1, a0⟩ elementi di un

semianello K con an = 0; in particolare interessano i casi K = R, K = C e K = Fp per p numero primo.

Si dice polinomio nella z variabile in K l’espressione

P (z) = bn zn + bn−1 z

n−1 + · · · + b2 z2 + b1 z + b0 =

n∑j=0

bj zj

La sequenza a si dice sequenza dei coefficienti ddi P (z) ed n grado di tale polinomio; tale intero naturale

si denota con deg(P ). Affermare che deg(P ) = n equivale ad enunciare an = 0.

Un polinomio si puo interpretare come funzione polinomiale del genere {K 7−→ K}.

I polinomi di grado 0 corrispondono alle funzioni costanti entro K; i polinomi di grado 1, della forma

a1 z+ a0 corrispondono alle funzioni lineari entro K; quelli di grado 2, a2 z2 + a1 z+ a0, alle cosiddette

funzioni quadratiche; quelli di grado 3 alle funzioni cubiche; quelli di grado 4 alle cosiddette funzioni

quartiche; quelli di grado 5 alle cosiddette quintiche e cosı via.

Particolarmente utili sono le funzioni polinomiali su reali.

Conviene includere tra i polinomi su K anche il polinomio nullo P (z) ≡ 0 ed assegnargli il grado −1.

Spesso le considerazioni sui polinomi e sulle funzioni polinomiali si semplificano identificando le due

nozioni.

Sui polinomi si definiscono varie operazioni algebriche. Per questo consideriamo i generici poli-

nomi P (z) e Q(z) =0∑

j=r

qk zk e, quando serve, identifichiamo il polinomio di quest’ultima forma con

l’espressione0∑

j=R

qk zk con R > r, intendendo sia qk = 0 per k = r + 1, ..., R .

Somma P (z) +Q(z) :=0∑

k=M

(ak + qk) zk .

Chiaramente la soma di polinomi e commutativa ed associativa.

Inoltre deg(P ) = deg(Q) =⇒ deg(Pol + Q) = max(deg(P ), deg(Q) , mentre deg(P ) =

deg(Q) =⇒ deg(Pol +Q) ≤ max(deg(P ),deg(Q) .

Moltiplicazione per un elemento f di K f P (z) :=0∑

j=n

(f aj) zj .

Per il grado f = 0 =⇒ deg(f P (z)) = deg(P ), mentre deg(f P (z)) = −1 .

La moltiplicazione per −1 porta al polinomio opposto: (−1)P (z) = −P (z) =0∑

j=n

(−aj) zj avente lo

stesso grado di P (z).

Prodotto: se i due polinomi fattori non sono nulli P (z) ·Q(z) :=0∑jn

0∑h=q

(aj qh) zj+h e deg(P (z) ·

Q(z) = deg(P ) + deg(Q) .

Invece il prodotto con un fattore nullo porta al polinomio nullo.

Il prodotto di polinomi e commutativo ed associativo.


MATeXp

La divisione conduce ad entita piu generali, le cosiddette funzioni razionali della formaP (z)

Q(z).

;070B equazioni polinomiali

Una equazione polinomiale di grado n ∈ N ha la forma

(1) P (z) = an zn + an−1 z

n−1 + · · · + a2 z2 + a1 z + a0 = 0 .

Qui supponiamo che ∀i = 0, 1, 2, ..., n z ∈ C e che l’incognita z appartenga a C.

L’insieme delle soluzioni della (1) coincide con l’insieme delle soluzioni della corrispondente equazione

monica, equazione caratterizzata dal polinomio monico

(2) P (z) :=P (z)

an= xn + bn−1 x

n−1 + · · · + b2 b2 + b1 z + bn = 0 .

La (2) si ricava subito dalla (1) e in genere si tratta un po’ piu facilmente.

Un numero complesso s si dice zero o radice di P (z) di molteplicita m ∈ P sse si puo scrivere

P (z) = (z − s)mQ(z) con Q(z) polinomio (non nullo) tale che Q(s) = 0. Il polinomio Q(z) si ottiene

comeP (z)

(z − s)mmediante l’algoritmo euclideo.

Se s e radice di molteplicita m di P (z), allora s e radice di molteplicita m− 1 della P ′(z) = 0.

P (z) presenta il fattore (z − s)m sse P (s) = P ′(s) = · · · = P (m−1)(s) = 0 .

In particolare P (z) presenta il fattore z − s sse P (s) = 0 .

Teorema fondamentale dell’algebra L’equazione algebrica P (x) = 0 di grado n presenta esattamente n

radici nel campo complesso, quando ciascuna radice di molteplicita m si conta m volte. Se le radici

sono s1, s2, ..., sn si ha P (z) = an (z − s1) (z − s2) · · · (z − sn) .

Ovviamente l’equazione di primo grado a1 z + a0 = 0 ha l’unica soluzione z = −a0a1

.

Si trova che le equazioni dei gradi 2, 3 e 4 posseggono soluzioni date da espressioni generali nelle quali

intervengono dei radicali nei coefficienti. Per gradi superiori, come dimostra il teorema di Ruffini-Abel,

risulta impossibile trovare espressioni generali contenenti radicali per le soluzioni; si trovano soluzioni

mediante radicali solo per equazioni particolari; di una generica equazione si possono ottenere solo

soluzioni approssimate.

Con le notazioni precedenti si hanno i seguenti collegamenti polinomiali tra coefficienti e radici

(uguaglianze di Viete).

s1 + s2 + · · · + sn = −an−1

ans1 s2 + s1 s3 + · · · + sn−1 sn =

∑1≤i<j≤n

si sj =an−2

an

s1 s2 s3 + s1 s2 s4 + · · · + sn−2 sn−1 sn =∑

1≤i<j<k≤n

si sj sk = −an−3

an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s1 s2 · · · sn = (−1)na0an


Alberto Marini

;070C equazioni polinomiali con coefficienti reali

Consideriamo un polinomio reale P (x). Se s e una sua radice non reale, allora e radice anche il suo

complesso coniugato s∗, ossia

P (s) = 0 =⇒ P (s∗) = 0 .

Quindi un polinomio reale possiede un numero pari di radici non reali e se s e una di queste presenta

come fattore reale il binomio della forma z2 − 2ℜ(s) z + (ℜ(s)2 + ℑ(s)2) .

Quindi ogni polinomio reale si puo fattorizzare mediante polinomi reali che possono essere solo di grado

1 e di grado 2; ossia ad ogni polinomio reale monico si puo dare la forma

P (z) = (x− s1)α1 · · · (x− sv)αv (x2 + t1 x+ u1)β1 · · · (x2 + tw x+ uw)βw ,

dove α1 + · · · + αv + 2(β1 + · · · + βw) = n .

Dato che i fattori quadratici assumono solo valori positivi, un polinomio P (x) privo di radici reali (di

grado pari) assume solo valori con il segno di an.

Dunque un polinomio reale di grado pari e cona0an

< 0 possiede almeno due radici reali di segno

opposto.

Se tutti gli aj sono interi e se una radice e s =snsd

con sn ed sd coprimi, allora sn divide b0 e sd

divide bn.

Vale la regola dei segni di Cartesio: il numero delle radici reali positive, tenuto conto delle molteplicita,

e uguale al numero k dei cambiamenti di segno nella sequenza ⟨a0, a1, ..., an⟩ oppure e uguale a k

diminuito di un intero positivo pari. Se tutte le radici sono reali il numero delle positive e k.

;070D equazioni quadratiche

Consideriamo sia l’equazione generale che l’equazione monica:

P (x) = a x2 + b x+ c = 0 P (x) = x2 + β x+ γ = 0 .

Attraverso il cosiddetto “completamento del quadrato”, cioe scrivendo P (x) =(x+ β

2

)2−(

β2

)2+γ ,

per le soluzioni si ottengono, risp., le espressioni

x =−b±

√b2 − 4ac

2 ax = −β

2±

√(β

2

)2

− γ

L’espressione b2 − 4 a c si dice discriminante dell’equazione P (x) = 0 .

– se b2 − 4 a c > 0 si hanno due radici reali diverse;

– se b2 − 4 a c = 0 si ha una radice reale di molteplicita 2;

– se b2 − 4 a c < 0 si hanno due radici complesse non reali coniugate diverse.

Denotiamo con x1 e x2 le due soluzioni della P (x) = 0 ossia della P (x) = 0; abbiamo P (x) =

(x− x1)(x− x2) = 0 e quindi x1 + x2 = β e x1 x2 = γ .

;070E equazioni cubiche

Consideriamo l’equazione monica P (x) = x3 + r x2 + s x + t = 0 ; essa con la sostituzione

y := x+r

3conduce alla equazione ridotta y3 + p y+ q = 0 , ove p := s− r2

3e q :=

2 r3

27− r s

3+ t .


MATeXp

Le soluzioni dell’equazione ridotta sono date dalle formule di Cardano:

y1 = u+ v

y2 = ϵ u+ η v

y3 = η u+ ϵ v

ove

u := 3

√−q

2+

√D

u := 3

√−q

2−

√D

,

D :=(p

3

)3+(q

2

)2ϵ := − 1

2+ i

√3

2

η := − 1

2− i

√3

2

La loro collocazione nel piano complesso dipende dal discriminante D:

– se D > 0 si ha una soluzione reale x1 = u + v + r3 e due soluzioni complesse coniugate

x2,3 = −u+ v

2+r

3± i

√3

2(u− v)

– se D = 0 si ha una soluzione reale x1 e una soluzione reale di molteplicita 2 x2 = x3, eccetto il caso

p = q = 0 per il quale si ha una sola radice reale molteplicita 3;

se D < 0 si hanno tre radici reali.

Nell’ultimo caso le formula di Cardano forniscono due soluzioni reali mediante espressioni contenenti

immaginari. Si puo rimanere nel campo reale servendosi di funzioni trigonometriche ed iperboliche.

Introdotto R := (sign(q)√

|p|3 , si giunge alla seguente casistica

p < 0 ∧ D ≤ 0 p < 0 ∧ D > 0 p > 0

cos ϕ =q

2R3cosh ϕ =

q

2R3sinh, ϕ =

q

2R3

y1 = −2R cosϕ

3−2R cosh

ϕ

3−2R sinh

ϕ

3

y2 = −2R cos(ϕ/3 + 4π/3) R cosh

(ϕ

3

)− i

√3R sinh

(ϕ

3

)R sinh

(ϕ

3

)− i

√3R cosh

(ϕ

3

)y3 = −2R cos(ϕ/3 + 4π/3) R cosh

(ϕ

3

)− i

√3R sinh

(ϕ

3

)R sinh

(ϕ

3

)− i

√3R cosh

(ϕ

3

)

;070F equazioni quartiche

Consideriamo l’equazione P (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0 ; essa con la sostituzione

y := x+b

4conduce alla equazione ridotta y4 + p y2 + q y + 0 + r = 0 , ove p, q ed r sono dati da

espressioni algebriche nei coefficienti.

Le soluzioni di questa dipendono dalle soluzioni z1, z2 e z3 della cosiddetta risolvente cubica:

z3 + 2 p z2 + (p2 − 4 r) z − q2 = 0

Se tutte le zi sono reali positive la quartica possiede quattro soluzioni reali.

Se tutte le zi sono reali, ma una e positiva e due negative, allora la quartica possiede di due coppie di

soluzioni complesse coniugate.

Se una delle zi e reale e due sono complesse coniugate, allora la quartica possiede due soluzioni reali

ed una coppia di soluzioni complesse coniugate.

Conosciute le zi, le soluzioni della equazione quartica ridotta sono date da


Alberto Marini

y1 =1

2(√z1 +

√z2 +

√z3)

y2 =1

2(√z1 −

√z2 −

√z3)

y3 =1

2(−

√z1 +

√z2 −

√z3)

y4 =1

2(−

√z1 −

√z2 +

√z3)

Quando in particolare b = D = 0 si ha la cosiddetta equazione biquadratica la quale non e che una

equazione quadratica nella incognita v := x2, a v2 + c v + e = 0 ; le soluzioni della biquadratica si

ottengono come radici quadrate delle soluzioni di quest’ultima.

Si giunge a soluzioni ricavabili da due equazioni quadratiche anche per le particolari equazioni quartiche

i che nella forma monica x4 + r x3 + s x4 + t x+ u = 0 hanno coefficienti che soddisfano la relazione

r2 + 8 t = 4 r s . in tal caso si giunge all’equazione biquadratica

w2 +

(s− r2

4

)w + u = 0 ove w := x2 +

r x

2.

Ciascuna delle soluzioni w1 e w2 di questa porta ad un’equazione quadratica x2 +r

2x− wi = 0 e le

loro soluzioni forniscono le radici della quartica ora in esame.

;070G equazioni binomiche

Hanno la forma zn = c con c numero complesso.

In generale si ha una soluzione che si serve dell’espressione di c in coordinate polari, c = r eiθ: per

h = 0, 1, ..., n− 1 si puo scrivere zn = c = r ei(θ+2π h) e quindi

z = n√r ei(θ+2π h)/n = n

√r

(cos

θ + 2π h

n+ i sin

θ + 2π h

n

)Nel piano complesso le n radici zh per h = 0, 1, 2, ..., n− 1 sono i vertici del poligono regolare di n lati

con centro nell’origine, vertici sul circumcerchio di raggio n√r e anomalia di z0 pari a

θ

n.

In particolare l’equazione z2 = c definiti x := ℜ(z2) , y := ℑ(z2) e ρ := |z2| =√x2 + y2 , si trovano

le radici

z = ±√x+ iy =

±(√

ρ+x2 + i

√ρ−x2

)se y ≥ 0

±(√

ρ+x2 − i

√ρ−x2

)se y ≤ 0

;070H decomposizioni dei polinomi

Ogni polinomio con coefficienti reali D(x) si puo decomporre in fattori di primo o secondo grado con

coefficienti reali.

D(x) = d (x− r1)m1 · · · (x− rh)mh (x2 + 2 a1 x+ b1)n1 · · · (x2 + 2 ak x+ bk)nk ,

ove h, k ≥ 0 , ∀j = 1, ..., k aj2 < bj e

h∑i=1

mi + 2k∑

j=1

nj = deg(D) .


MATeXp

;080 quozienti di polinomi e loro decomposizioni

Siano N(x) e D(x) due polinomi con deg(D(x)) > 0; la loro divisione si dice funzione razionale e per

essa si ha univocamente

Q(x) :=N(x)

D(x)= P (x) +

R(x)

D(x)con deg(R) < deg(D) , deg(P ) = deg(N) − deg(D) .

Q(x) si dice polinomio quoziente e R(x) polinomio resto di N(x) e D(x). vja

Consideriamo i polinomi reali R(x) e D(x) con deg(R(x)) < deg(D(x)) e si abbia la decomposizione

di D(x) in polinomi real dei gradi 1 e 2 data in ;070H. Allora si trova univocamente la seguente

decomposizione

I coefficienti ρ1,1, ρ1,2,..., σk,nk, τk,nk

che, in numero di δ := deg(D), compaiono nei numeratori del

secondo membro si ottengono risolvendo l’equazione della forma R(x) = R(x), ove R(x) denota il

polinomio lineare nei suddetti coefficienti ottenuto riducendo ad un unico denominatore la somma a

secondo membro della decomposizione richiesta. Si osserva che dalla uguaglianza dei coefficienti delle

δ potenze xi per i=0,1,...,δ− 1 nella R(x) = R(x) si ottiene un sistema di δ equazioni negli altrettanti

coefficienti incogniti.


Alberto Marini

;090 numeri interi

Insieme degli interi positivi P := {1, 2, 3, ...}

Insieme degli interi naturali N := {0, 1, 2, 3, ...} = {0} ∪P

Insieme dei numeri interi negativi Z− := {...,−3,−2,−1} = {n ∈ P :| − n}

Insieme dei numeri interi Z := {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z− ∪N = Z− ∪ {0} ∪P

Insieme degli interi diversi da 0 Znz := Z \ {0}

Insieme dei numeri pari Even := {n ∈ Z :| 2n}

Insieme dei numeri dispari Odd := {n ∈ Z :| 2n+ 1}

;090A divisibilita fra interi

Insieme dei multipli di k ∈ Znz, kZ := {n ∈ Z :| k n}

Relazione di divisibilita, h ::|n sse n ∈ hPE una relazione riflessiva, h ::|h e transitiva, j ::|h ∧ h ::| k =⇒ j ::| k

Insieme dei divisori di n ∈ Znz, Dvsr(n) := {h ∈ P ST h ::|n}

massimo comun divisore MCD(h, k) = gcd(h, k) := max(Dvsr(h) ∩Dvsr(k)

)Questa funzione si puo estendere a funzione di 3 o piu interi. Essa si ottiene effettivamente mediante

l’algoritmo di Euclide per i numeri interi.

minimo comune multiplo mcm(h, k) = lcm(h, k) :=h k

MCD(h, k)

;090B numeri primi

Un intero positivo si dice primo sse e divisibile solo per se stesso e per l’unita.

I numeri primi costituiscono una successione crescente illimitata (superiormente).

Consideriamo una m-pla di primi ⟨p1, p2, ..., pm⟩; ogni fattore primo di p1 · p2 · · · pm + 1 e diverso dai

pj .

E utile considerare come successione dei numeri primi

PRMseq =⟨j ∈ P :| p[j]

⟩:= ⟨2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, ...⟩

ed estenderla definendo p[0] := 1 . Per l’insieme dei numeri primi scriviamo PRM := cod(PRMseq) .

A questa successione si riferisce la fattorizzazione mediante primi di un intero positivo m

ftrprm(m) =: 2e13e25e3 ...p[k]ek con eh ≥ 0 e ek > 0

Questa fattorizzazione consente di valutare il prodotto di due interi positivi mediante la sequenza delle

somme dei rispettivi esponenti dei successivi primi. Essa si estende naturalmente ai numeri razionali

e puo servire per il loro prodotto, per la loro divisione e per le loro potenze; inoltre puo servire per

valutare le loro radici.

Due interi positivi m ed n si dicono coprimi sse non hanno divisori comuni; questa relazione si denota

scrivendo m ⊥ n.

funzione totient di Eulero ϕeu := n ∈ N |{h ∈ {0, 1, 2, ..., n− 1} ST h ⊥ n}|

ϕeu =

y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 ...

y24 070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici 2016-04-11

MATeXp

Denotiamo con πpr(x) la funzione che ad ogni x ∈ R+ associa il numero di primi minori o uguali ad

x; si tratta di funzione a scalini che cresce illimitatamente che non si sa esprimere in termini analitici,

ma si puo valutare asintoticamente e per i singoli x. Si ha πpr(x) ∼x→∞x

ln xed in particolare

πpr(x) ⊃y 100 1000 10000 105 106 107 108 109

25 168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534

y


Alberto Marini

;100 esponenziali e logaritmi

a0 := 1 , a1 := a , an := an−1 a , a1/k = k√a , ah/k =

k√ah

ax1+x2 = ax1 ax2 , a−x =1

ax, (a b)x = ax bx

sia b ∈ R , y = logb x⇐⇒ x = by

e := limn→+∞

(1 +

1

n

)n

≈ 2.71828 18285 59045

lnx := loge x , y = lnx⇐⇒ x = ey , x = by = ey ln b

logb x1 x2 = logb x1 + logb x2 , logb

1

x= − logb x , logb

x1x2

= logb x1 − logb x2

logb xp = p logb x , logb

p√x = =

1

plogb x

lnb x1 x2 = ln x1 + ln x2 , ln1

x= − ln x , ln

x1x2

= ln x1 − ln x2 , logb xp = p logb x

logb x =logc x

logc b=

ln x

ln b, y = logb x =⇒ b = x

1y


MATeXp

;110 numeri complessi

unita immaginaria i numero tale che i2 = −1

e rappresentabile con la matrice mat(i) :=

[0 −11 0

]che sui vettori 2 in R× R effettua una rotazione

intorno all’origine 02 di 90◦ nel verso antiorario; il suo quadrato mat(i2) :=

[−1 00 −1

]effettua il

mezzogiro

numero complesso

numero rappresentabile nella sua forma rettangolare come z = x + i y o equivalentemente come

coppia ⟨x, y⟩; oppure con la matrice mat(z) :=

[x −yy x

]insieme dei numeri complessi C := R + i · Ra partire da z = x + i y ∈ C si ottengono la sua parte reale ℜ(z) := x e la sua parte immaginaria

ℑ(z) := y

ogni z ∈ C si puo esprimere come z = ℜ(z) + iℑ(z); l’unita immaginaria corrisponde alla coppia a

⟨0, 1⟩numeri immaginari puri sono i numeri complessi = i · y con y reale, ossia i numeri dati dalle coppie ⟨0, y⟩,

oppure dai vettori colonna

[0y

], oppure dalle matrici mat(i · y) :=

[0 −yy 0

]ogni numero reale x si identifica con il particolare complesso con ℑ(x) = 0 ossia con x = x∗, ossia con

il vettore colonna

[x0

], ossia con la matrici mat(x) :=

[x 00 x

]per ogni x ∈ R la matrice mat(x) agisce su R× R come omotetia di fattore x;

per ogni immaginario puro i ·y la matrice mat(i y) agisce su R× R come l’omotetia di fattore y seguita

(o preceduta) dalla rotazione oraria di 90◦ intorno all’origine

per ogni z = x + i y ∈ C la matrice mat(z) trasforma un vettore di R× R nella somma del vettore

ottenuto con l’omotetia mat(x) con il vettore ottenuto con l’omotetia mat(y) composta con la rotazione

oraria di 90◦ intorno all’origine

i numeri complessi z = x+ i y sono in biiezione con le matrici 2 × 2 della forma

[x −yy x

],

operazioni sui numeri complessi

coniugato di un numero complesso z e z∗ := x− i y = ℜ(z) + iℑ(z) ; talora lo si denota con z; si tratta

di una involuzione

modulo di un numero complesso e il modulo del corrispondente vettore: |z| :=√x2 + y2 =√

ℜ(z)2

+ ℑ(z)2

somma di due numeri complessi z1 + z2 := (x1 + i y1) + (x2 + i y2) = (x1 +x2) + i(y1 + y2) ; si tratta

di somma vettoriale commutativa ed associativa

mat(z1 + z2) = mat(z1) +mat(z2)

opposto di un complesso −z := −x+ (−y) = −ℜ(z) −ℑ(z)

differenza di due complessi z1−z2 := z1+(−z2) = (x1+i y1)+(−x2−i y2) = (x1−x2)+i(y1+y2)

prodotto di due numeri complessi z1 ·z2 := (x1+i y1)·(−x2−i y2) = (x1 ·x2−y1 ·y2)+i(x1 ·y2+x2 ·y1)

;

mat(z1 · z2) = mat(z1) ·mat(z2)


Alberto Marini

modulo come prodotto z · z∗ = x2 + y2 = |Z|2 = (x+ i y) · (x− i y)

passaggio al reciproco di un complesso non nullo z−1 =x2 − i y2

(x2 + i y2) (x2 − i y2)=

x2 − i y2x22 + y22

divisione tra due numeri complessiz1z2

:=x1 + i y1x2 + i y2

=(x1 + i y1)(x2 − i y2)

(x2 + i y2)(x2 − i y2)=

(x1 · x2 + y1 · y2) + i (x2 · y1 − x1 · y2)

x22 + y22

(z1 ± z2)∗ = z1∗ ± z2

∗ z1 · z2∗ = z1∗ · z2∗

(z1z2

)∗

=z1

∗

z2∗

||z1| − |z2|| ≤ |Z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2| |z1 · z2| = |Z1| · |z2|∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =

|z1||z2|

campo dei numeri complessi⟨C , + , − , ⟨0, 0⟩ , · , ⟨1, 0⟩ , −1

⟩forma polare o trigonometrica dei numeri complessi

z = x+ i y = r (cos θ + i sin θ) ove r =√x2 + y2 = |z| , θ = arg z = arctan

y

xformula di De Moivre ∀n ∈ Z (cos, θ + i sin θ)n = cos n θ + i sin n θ

formule di Eulero cos θ =ei θ + e−i θ

2sin θ =

ei θ − e−i θ

2forma esponenziale dei numeri complessi

z = x+ i y = r (cos θ + i sin θ) = r ei θ

Consideriamo z1 = r1 eiθ1 e z2 = r2 e

iθ2

z1 · z2 = r1 r2 ei(θ1+θ2) arg(z1 · z2) = arg z1 + argz2

z1z2

=r1r2ei(θ−θ2) arg

z1z2

= arg z1 − argz2

∀n ∈ Z zn = (r ei θ)n

= rn ei n θ arg(zn) = n arg(z)


MATeXp

;120 funzioni trigonometriche e collegate

1◦ =π

180rad ≈ 0.017543 rad , 1 rad =

180◦

π≈ 57.295 780

;120A funzioni trigonometriche

nel piano cartesiano Oxy consideriamo la circonferenza circle(A, r) con centro in A = 02 = ⟨0, 0⟩, il

suo punto C = ⟨c, a⟩ con c > 0 ed −r ≤ a, c ≤ r , la proiezione di C su Ox B = ⟨b, 0⟩ ed il triangolo

∆(A,B,C) avente gli angoli α in A, β in B e γ in C

seno sin α :=a

ccoseno cos α :=

b

ctangente tan α :=

a

b

cotangente cot α :=b

a=

1

tanαsecante secα :=

c

acosecante csc α :=

c

b

sin2 x+ cos2 x = 1 , tanx =sinx

cosx, cot x =

cosx

sinx=

1

tan x

secx =1

sinx, csc x =

1

cosx,

1

cos2 x= 1 + tan2 x ,

1

sin2 x= 1 + cot2 x

sin(−x) = − sinx , cos(−x) = cosx , tan(−x) = − tanx , cot(−x) = − cotx

sin(π

2− x)

= cosx = − cos(π − x) , cos(π

2− x)

= sinx = sin(π − x)

tan(π

2− x)

= cotx = − cot(π − x) , cot(π

2− x)

= tanx = − tan(π − x)

x 0 π12 = 15◦ π

10 = 18◦ π6 = 30◦ π

5 = 36◦ π4 = 45◦

sinx 0 14 (√

6 −√

2)√5−14

12

14

√10 − 2

√5

√22

cosx 1 14 (√

6 +√

2) 14

√10 + 2

√5

√32

√5−14

√22

tanx 0 2 −√

3

√5−2

√5

5

√33

√5 − 2

√5 1

cotx ±∞ 2 +√

3√

5 + 2√

5√

3

√5+2

√5

5 1

sin x = ±√

1 − cos2 x =tanx

±√

1 + tan2 x=

1

±√

1 + cot2 x=

±√

sec2x− 1

secx=

1

csc x

cos x = ±√

1 − sin2 x =1

±√

1 + tan2 x=

cotx

±√

1 + cot2 x=

1

csc x=

±√

csc 2 x− 1

secx

tan x =sinx

±√

1 − sin2 x=

±√

1 − cos2 x

cosx=

1

cotx= ±

√sec2 − 1 =

1

±√

csc 2x− 1

cot x =±√

1 − sin2 x

sinx=

cosx

±√

1 − cos2 x=

1

tanx=

1

±√

sec2x− 1= ±

√csc 2 x− 1

secx =1

±√

1 − sin2 x=

1

cos x= ±

√1 + tan2 x =

±√

1 + cot2 x

cot x=

csc x

±√

csc 2 x− 1

csc x =1

sinx=

1

±√

1 − cos2 x=

±√

1 + tan2 x

tan x= ±

√1 + cot2 x =

secx

±√

csc 2 x− 1

sin2 x =1 − cos 2x

2, cos2 x =

1 + cos 2x

2, tan2 x =

1 − cos 2x

1 + cos 2x


Alberto Marini

sin(x± π

2

)= ± cosx , cos

(x± π

2

)= ∓ sinx , tan

(x± π

2

)= − cotx , cot

(x± π

2

)= − tanx

sin(x± π) = − sinx , cos(x± π) = − cosx , tan(x± π) = tanx , cot(x± π) = cotx

sin(x± 2π) = sinx , cos(x± 2π) = cosx , tan(x± 2π) = tanx , cot(x± 2π) = cotx

sin(π − x) = sinx , cos(π − x) = − cosx , tan(π − x) = − tanx , cot(π − x) = − cotx

sin(2π − x) = − sinx , cos(2π − x) = cosx , tan(2π − x) = − tanx , cot(2π − x) = − cotx

sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin y , cos(x± y) = cosx cos y ∓ sinx sin y

tan(x± y) =tanx± tan y

1 ∓ tanx tan y, cot(x± y) = ±cotx cot y ∓ 1

cotx± cot y

sinx

2= ±

√1 − cosx

2, cos

x

2= ±

√1 + cosx

2, tan

x

2=

1 − cosx

sinx=

sinx

1 + cosx= ±

√1 − cosx

1 + cosx

sin 2x = 2 sinx cosx , cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x , tan 2x =2 tanx

1 − tan2 x

sin 3x = 3 sinx− 4 sin3 x , cos 3x = 4 cos3 x− 3 cos x , tan 3x =3 tanx− tan3 x

1 − 3 tan2 x

sin 4x = 4 sinx cosx− 8 sin3 x cosx , cos 4x = 8 cos4 x− 8 cos2 x+ 1 , tan 4x =4 tanx− 4 tan3 x

1 − 6 tan2 x+ tan4 x

sin nx = n sinx cosn−1 x−(n

3

)sin3 x cosn−3 x+

(n

5

)sin5 x cosn−5 x− · · ·

cos nx = cosn x−(n

2

)sin2 x cosn−2 x+

(n

4

)sin4 x cosn−4 x− · · ·

sin2m x =

(2m

m

)1

22m+

1

22m−1

m∑j=1

(−1)j(

2m

m− j

)cos 2jx

sin2m−1 x =1

22m−2

m∑j=1

(−1)j−1

(2m− 1

m− j

)sin(2j − 1)x

cos2m x =

(2m

m

)1

22m+

1

22m−1

m∑j=1

(2m

m− j

)cos 2jx

cos2m−1 x =1

22m−2

m∑j=1

(2m− 1

m− j

)cos(2j − 1)x

formule di prostaferesi

sinx± sin y = 2 sin

(x± y

2

)· cos

(x∓ y

2

), cosx± cos y = ±2

cos

sin

(x+ y

2

)· cos

sin

(x− y

2

)tanx± tan y =

sin(x± y)

cosx cos y, cotx± cot y =

sin(y ± x)

sinx sin y

;120B funzioni trigonometriche inverse

arcoseno y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y dove − 1 ≤ x ≤ 1 , −π2≤ y ≤ π

2arcocoseno y = arccosx ⇐⇒ x = cos y dove − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ π

arcotangente y = arctan x ⇐⇒ x = tan y dove −∞ ≤ x ≤ +∞ , −π2≤ y ≤ π

2arcocotangente y = arccotx ⇐⇒ x = cot y dove −∞ ≤ x ≤ +∞ , 0 ≤ y ≤ π

arcosecante arcsinx = arccos√

1 − x2 = arctanx√

1 − x2= arccot

√1 − x2

x


MATeXp

arcocosecante arccosx = arcsin√

1 − x2 = arccosx√

1 − x2= arccot

x√1 − x2

arctan x = arcsinx√

1 − x2= arccos

1√1 − x2

= arccot1

x

arccotx = arcsin1√

1 − x2= arccos

x√1 − x2

= arctan1

x

;120C funzioni iperboliche

seno iperbolico sinh x :=ex − e−x

2

coseno iperbolico cosh x :=ex + e−x

2

tangente iperbolica tanh x :=ex − e−x

ex + e−x

tangente iperbolica coth x :=ex + e−x

ex − e−x

sinh(−x) = − sinhxx , cosh(−x) = cosh xx , tanh(−x) = − tanhxx , coth(−x) = coth xx

sinhx = ±√

cosh2 x− 1 =tanh√

1 − tanh2 x= ± 1√

coth2 x− 1

coshx =sinh√

1 + sinh2 x=

1√1 − tanh2 x

=| coth x|√coth2 x− 1

tanh x =sinh x√

1 + sinh2 x= ±

√cosh2 x− 1

cosh x=

1

coth x

coth x =

√1 + sinh2 x

sinh x= ± cosh x√

cosh2 x− 1=

1

tanh x

cosh2 x− sinh2 x = 1 , = tanh x =sinh x

cosh x, tanh x =

cosh x

sinh x=

1

tanh xsinh(x± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y , cosh(x± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y

tanh(x± y) =tanh x± tanh y

1 ± tanh x tanh y, coth(x± y) =

1 ± coth x coth y

coth x± coth y

sinh 2x = 2 sinh x cosh x , cosh 2x = sinh2 x+ cosh2 x

tanh 2x =2 tanh x

1 + tanh2 x, coth 2x =

coth2 x+ 1

2 coth2 x

sinhx

2= ±

√cosh x− 1

2, cosh

x

2=

√cosh x+ 1

2

tanhx

2= ±

√cosh x− 1

cosh x+ 1=

sinh x

cosh x+ 1, coth

x

2= ±

√cosh x+ 1

cosh x− 1=

sinh x

cosh x− 1

sinh x+ sinh y = 2 sinhx+ y

2cosh

x− y

2, sinh x− sinh y = 2 cosh

x+ y

2sinh

x− y

2

cosh x+ cosh y = 2 coshx+ y

2cosh

x− y

2, cosh x− cosh y = 2 sinh

x+ y

2sinh

x− y

2

tanh x± tanh y =sinh x+ y

cosh x cosh y, coth x± coth y =

sinh x± y

sinh x sinh y

sinh x sinh y =1

2[cosh(x+ y) − cosh (x− y)] , sinh x cosh y =

1

2[sinh(x+ y) + sinh (x− y)]


Alberto Marini

cosh x cosh y =1

2[cosh(x+ y) + cosh (x− y)]

;120D funzioni iperboliche inverse

argomento del seno iperbolico y = sinh x ⇐⇒ x = arsinh y = ln(y +

√y2 + 1

)argomento del coseno iperbolico y = cosh x ⇐⇒ x = arcosh y = ln

(y +

√y2 − 1

)per y ≥ 1

argomento della tangente iperbolica y = tanh x ⇐⇒ x = artanh y =1

2ln

1 + y

1 − yper |y| < 1

argomento della cotangente iperbolica y = coth x ⇐⇒ x = arcoth y =1

2lny + 1

y − 1per |y| > 1

sinh i x = i sin x , cosh i x = i cos x tanh i x = i tan x , coth i x = i cot x

sinh(x+ i y) = sinh x cos y + i cosh x sin y , cosh(x+ i y) = cosh x cos y + i sinh x sin y

tanh(x+ i y) =tanh x+ i tan y

1 + i tanh x tan y, coth(x+ i y) =

1 − i coth x cot y

coth x− i cot y


MATeXp

;150 matrici e algebra lineare

In questa sezione m ed n denotano due interi positivi (di solito maggiori di 1) e K un semianello;

questo nei casi di maggiore interesse e il campo dei reali o il campo dei complessi. Per gli elementi di

K useremo notazioni come α, β, ai, ai,j e bk.

;150A vettori colonna e riga

Per le sequenze di elementi di K, che qui chiamiamo anche vettori, e per e le loro composizioni che

diciamo matrici adottiamo una rappresentazione piana canonica che denotiamo con VMPR (vector and

matrix canonical plane representation); secondo VMPR, innanzitutto, la sequenza a = ⟨a1, a2, ..., am⟩viene rappresentata da un vettore colonna e con esso di solito viene identificata:

a =

a1a2...am

Diciamo vettore trasposto di a la rappresentazione mediante vettore riga della sequenza:

a := [a1, a2, ..., am]

Si definisce moltiplicazione di α ∈ K per a la sequenza rappresentata secondo VRPR dal vettore

colonna

α · a :=

αa1αa2

...αam

Come prodotto scalare delle sequenze a e b con lo stesso numero m di componenti si pone

a · b := a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm =m∑i=1

ai bi .

Il prodotto scalare va considerato una funzione bilineare simmetrica, in quanto si hanno

a · (β b + γ c) = β a · b + γ a · c

e b · a = a · b .

Si dice norma o lunghezza di a |a| :=√a · a =

√a12 + a22 + · · · + am2 .

Due vettori a e b si dicono ortogonali, e si scrive a ⊥ b , sse a · b = 0.

;150B matrici 1

Consideriamo n vettori colonna aj =

a1,ja2,j

...am,j

per j = 1, 2, ..., n e l’operazione di affiancamento, non

commutativa, che per a1 a2 fornisce una funzione del genere {(m]× (2] 7−→ K} che secondo VMPR

viene presentata sulla pagina con il quadro

a1,1 a1,2a2,1 a2,2

......

am,1 am,2

Si chiede anche che l’affiancamento sia


Alberto Marini

associativo e quindi si definisce matrice ottenuta affiancando a1, a2, ..., an, la funzione {(m]×(n] 7−→ K}che secondo VMPR viene presentata dal quadro

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,n

e concisamente da [ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]

Denotiamo con Matm,n(K) l’insieme delle matrici m×n con entrate in K; a queste matrici si attribuisce

il profilo m× n.

Si dice matrice quadrata una matrice con le righe etichettate come le colonne e in particolare con i

numeri delle righe e delle colonne coincidenti. Matm,m(K) si abbrevia spesso con Matm(K) .

Particolari matrici quadrate sono le matrici triangolari inferiori aventi la forma

a1,1 0 · · · 0a2,1 a2,2 · · · 0

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,m

cioe le matrici [ai,j |: i, j ∈ (m]] tali che i < j =⇒ ai,j = 0 .

Si dicono invece matrici triangolari superiori le matrici [ai,j |: i, j ∈ (m]] tali che i > j =⇒ ai,j = 0

Si dicono matrici diagonali le matrici quadrate aventi la forma

a1,1 0 · · · 0

0 a2,2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · am,m

¡ cioe tali che

i = j =⇒ ai,j = 0 . La precedente matrice si denota anche con diag(a1,1, a2,2, · · · , am,m).

L’insieme delle matrici diagonali e l’intersezione dell’insieme delle triangolari inferiori con quello delle

triangolari superiori.

Particolari matrici diagonali sono la matrice identita 1n := diag(1, 1, · · · , 1) ed i suoi multipli

h · 1n = diag(h, h, · · · , h) .

Si dice matrice permutativa corrispondente ad una permutazione π = ⟨π1, π2, ..., πm⟩ la matrice

Mprm(π) = [Mi,j |: i, j ∈ (m]] dove Mi,j = δπi,j .

Altre matrici particolari sono le matrici nulle aventi tutte le entrate uguali a 0; la matrice nulla di

profilo m× n la scriviamo 0m,n .

;150C operazioni su matrici

Consideriamo m,n, µ, ν, p, q ∈ P e le matrici A = [ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]] , B = [bi,j |: i ∈ (µ], j ∈ (ν]] e

C = [ci,j |: i ∈ (p], j ∈ (q]] .

Si definisce somma di matrici (per µ = m e ν = n) A+B := [ai,j + bi,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]] ∈ Matm,n

La somma di matrici e associativa e commutativa; inoltre α · (A + B) = α · A + α · B e la matrice

0m,n e l’elemento neutro per la somma di matrici m× n.

Si dice moltiplicazione di matrice per un α ∈ K α ·A := [α · ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]

Si possono quindo considerare le combinazioni lineari di matrici αA+ β B con α, β ∈ K; le matrici di

un dato profilo quindi costituiscono uno spazio vettoriale.

Si dice passaggio alla matrice opposta −A := [ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]

si dice differenza fra matrici (per µ = m e ν = n) A−B := A+(−B) = [ai,j−bi,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]

Le matrici A ∈ Mat +m,n e B ∈ Matµ,ν si dicono conformabili o moltiplicabili sse n = µ.


MATeXp

prodotto di matrici conformabili A ·B :=

n∑j=1

ai,j bj, h |: i ∈ (m], h ∈ (ν]

∈ Matm,ν .

Il prodotto si puo applicare ad ogni coppia di matrici m×m e fornisce una matrice dello stesso profilo.

La matrice identita m×m e l’unita per il prodotto tra matrici di tale profilo.

Il prodotto e un’operazione associativa e in genere non commutativa, anche limitatamente alle matrici

quadrate; ad esempio:[1 10 1

]·[

1 01 1

]=

[2 11 1

]=[

2 11 1

]=

[1 01 1

]·[

1 10 1

].

Inoltre, se π e ϕ denotano due permutazioni, per il prodotto delle corrispondenti matrici permutative

si ha Mprm(π) ·Mprm(ϕ) = Mprm(π ◦ ϕ); il prodotto di tali matrici rispetta il prodotto di Peirce

delle corrispondenti permutazioni e tale prodotto in generale non e commutativo.

Moltiplicando la matrice A ∈ Matm,n a sinistra per la matrice Mperm(π) con π ⊂ Symm si ottiene la

matrice ottenuta dalla A sottoponendo le sue righe alla permutazione π. Dualmente moltiplicando la

A ∈ Matm,n a destrasinistra per la matrice Mperm(ϕ) con ϕ ⊂ Symn si ottiene la matrice ottenuta

dalla A sottoponendo le sue colonne alla permutazione ϕ.

Commutano invece le matrici diagonali: a1,1 · · · 0...

. . ....

0 · · · an,n

·

b1,1 · · · 0...

. . ....

0 · · · bn,n

=

a1,1 b1,1 · · · 0...

. . ....

0 · · · an,n bn,n

=

b1,1 · · · 0...

. . ....

0 · · · bn,n

·

a1,1 · · · 0...

. . ....

0 · · · an,n

.

Il prodotto mantiene la caratteristica di essere matrici triangolari inferiori e la caratteristica di essere

matrici triangolari superiori.

Una matrice A = [ai,j |: i ∈ (m] , j ∈ (n]], si puo considerare ottenuta, non solo con l’affiancamento

di n vettori colonna, ma anche come come sovrapposizione di m vettori riga a∗,i per i ∈ (m].

Il prodotto di matrici si puo considerare un assemblaggio di prodotti scalari; considerando il primo

fattore A come sovrapposizione di vettori riga ai,∗ ed il secondo B come affiancamento di n vettori

colonna b∗,h, le entrate del prodotto A ·B risultano esprimibili da prodotti scalari:

A ·B = [ai,∗ · b∗,h |: i ∈ (m], h ∈ (ν]] .

Si dice trasposta della matrice A ∈ Matm,n e si scrive A la matrice in Matn,m ottenuta dalla A

scambiando di ruolo le righe e le colonne:

A =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,n

:=

a1,1 a1,2 · · · am,1

a1,2 a2,2 · · · am,2

......

. . ....

a1,n a2,n · · · am,n

La trasposizione delle matrici generalizza la trasposizione di vettori riga e vettori colonna. La traspo-

sizione sull’insieme delle matrici quadrate di dato profilo e una involuzione.

Si dice matrice simmetrica una matrice quadrata che coincide con la sua trasposta. Le matrici simmet-

riche sono i punti fissi per l’involuzione trasposizione delle matrici quadrate.

Si dice matrice antisimmetrica una matrice quadrata che coincide con l’opposta della sua trasposta.


Alberto Marini

Ad ogni matrice quadrata A risultano associate la matrice simmetrica1

2(A+A ) e la matrice anti-

simmetrica1

2(A−A ); inoltre A e ottenibile come somma delle due.

Per ogni matrice A ∈ Matm,n sono simmetriche le matrici A ·A ∈ Matm,m e A ·A ∈ Matn,n .

La trasposizione rispetta la combinazione lineare delle matrici: in formula:

∀A,B ∈ Matm,n , α, β ∈ K (αA+ β B) = αA + β B .

La trasposizione di un prodotto comporta invece lo scambio dei fattori trasposti; infatti

(A ·B) = (B ) · (A ) .

Diciamo complessa coniugata di una matrice avente come entrate dei numeri complessi A = [ai,j |: i ∈(m], j ∈ (n]] ∈ MatC,m,n la matrice le cui entrate sono i complessi coniugati degli ai,j , *A∗ :=

[ai,j∗ |: i ∈ (m], j ∈ (n]] ; coniugazione complessa e una involuzione di MatC,m,n, rispetta la combi-

nazione lineare delle matrici in tale insieme e rispetta anche il prodotto di matrici conformabili, ossia

(A ·B)∗ = A∗ ·B∗ .

Si dice coniugata hermitiana di A ∈ MatC,m,n e si scrive Adag, la matrice complessa coniugata della

sua trasposta; si ha Adag = A∗

= A∗ .

Una A ∈ MatC,n,n si dice matrice hermitiana sse A = Adag, cioa sse A = A∗; si dice invece matrice

antihermitiana sse Adag = −A, cioe sse A = −A∗.

La coniugazione hermitiana e una involuzione avente come punti fissi le matrici hermitiane; per l’azione

della coniugazione hermitiana sul prodotto, come per la trasposizione, si ha (A ·B)dag = Bdag ·Adag

.

L’insieme delle matrici hermitiane e l’insieme delle matrici antihermitiane sono chiusi rispetto alla

combinazione lineare con coefficienti reali.

Per ogni matrice quadrata A ed ogni α ∈ R, α(A+Adag) e una matrice heermitiana ed i α (A−Adag)

e una matrice antihermitiana. Inoltre A si puo ottenere come somma di una matrice hermitiana con

una matrice antihermitiana:

A =1

2(A+Adag) +

i

2(A−Adag) .

Si definisce traccia di una matrice quadrata la somma delle sue entrate diagonali: Tr(A) :=n∑

i=1

ai,i .

La traccia puo considerarsi un funzionale lineare: ∀A,B ∈ Matn , α, β ∈ K Tr(αA +

β B) = αTr(A) + β Tr(B)

∀A ∈ Matm,n , B ∈ Matn,m Tr(A ·B) = Tr(B ·A).


MATeXp

;150D determinanti

Consideriamo una permutazione π di {1, 2, ..., n}; denotiamo con ncdecr(π) il numero delle coppie

⟨πi, πj⟩ con i < j tali che πi > πj ; si dice segno della π l’intero sign(π) := (−1)ncdecr(π); le permu-

tazioni con segno +1 si dicono pari (come ncdecr(π)), quelle con segno −1 si dicono dispari.

Se n ≥ 2 tra le n! permutazioni di Permn n!/2 sono pari ed altrettante dispari. La funzione segno di

permutazione e

Definiamo determinante di una matrice quadrata n× n A l’elemento di K dato dall’espressione

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,n

∣∣∣∣∣∣∣∣ :=∑

π∈Permn

sign(π) a1,π1 a2,π2 · · · an,πn .

In particolare per n = 1, 2, 3: |a1,1| = a1,1

∣∣∣∣ a1,1 a1,2a2,1 a2,2

∣∣∣∣ = a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1

∣∣∣∣∣∣a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2, a2,3a3,1 a3,2, a3,3

∣∣∣∣∣∣ = a1,1 a2,2 a3,3+a1,2 a2,3 a3,1+a1,3 a2,1 a3,2−a1,1 a2,3 a3,2−a1,3 a2,2 a3,1−a1,2 a2,1 a3,3

Il determinante di una matrice triangolare inferiore, e di una matrice triangolare superiore e dato dal

prodotto delle entrate diagonali.

Proprieta: det(A ) = det(A) det(A ·B) = det(A) · det(B) det(1n) = 1 det(k A) = kn det(A)

. Inoltre il determinante di una matrice permutativa e il segno della corrispondente permutazione.

Se la matrice A presenta una riga o una colonna con tutte le entrate nulle, allora det(A) = 0 .

Se nella matrice A si scambiano due righe o due colonne il determinante cambia di segno; se le righe

o le colonne della matrice sono sottoposte ad una permutazione π, il determinante viene moltiplicato

per sign(π).

Se la matrice A presenta due righe uguali o due colonne uguali, allora det(A) = 0 .

Il determinante di una matrice ottenuta dalla A moltiplicando per una costante k una sua riga o una

sua colonna e uguale a k det(A).

Il determinante di una matrice ottenuta dalla A aggiungendo ad una sua riga (o risp. una sua colonna)

un’altra sua riga (risp. un’altra sua colonna) moltiplicata per una costante e uguale a det(A).

Sia n un intero maggiore o uguale a 2, A una matrice quadrata di Matn ed i, j ∈ (n]; denotiamo con

A\⟨i,j⟩ la matrice ottenuta dalla A la i-esima riga e la j-esima colonna e consideriamo det(A\⟨i,j⟩).

Si definisce come cofattore di A relativo a ⟨i, j⟩ il valore cftri,j(A) := (−1)i+j det(A\⟨i,j⟩).

Si hanno le seguenti espressioni per il determinante di A:

∀i ∈ (n] det(A) =

n∑j=1

a(i, j) cftri,j(A) sviluppo secondo la riga i.

∀j ∈ (n] det(A) =n∑

i=1

a(i, j) cftri,j(A) sviluppo secondo la colonna j.

Una matrice quadrata ha determinante diverso da 0 sse tutte le sue righe sono linearmente indipendenti

sse tutte le sue colonne sono linearmente indipendenti.


Alberto Marini

;150E inversione di matrici

Sia A una matrice quadrata n× n.

Si dice matrice inversa della A, la matrice di Matn, se esiste, che si denota con A−1 che soddisfa le

relazioni A ·A−1 = A−1 ·A = 1n.

Se A possiede matrice inversa si dice matrice invertibile.

Se A e dotata di inversa A−1, allora A−1 e invertibile e (A−1)−1 = A .

Se A e B sono matrici quadrate invertibili, e tale anche A ·B e si ha (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.

La trasposizione di matrici e il passaggio alla inversa come azioni sulle matrici quadrate commutano:

(A )−1 = (A−1) .

La matrice quadrata A e invertibile sse det(A) = 0 sse le righe di A sono linearmente indipendenti

sse le colonne di A sono linearmente indipendenti.

Ogni matrice permutativa Mprm(π), avendo il determinante uguale a sign(π), e invertibile e la sua

inversa e Mprm(π−1) .

;150F matrici: rango e riduzione a scaglioni

Definiamo rango di una matrice A ∈ Matm,n il massimo ordine delle sue sottomatrici quadrate con

determinante diverso da 0. Tale intero lo denotiamo con rnk(A).

Il rango di una matrice si puo anche definire come massimo numero di sue righe linearmente indipen-

denti, oppure come massimo numero di sue colonne linearmente indipendenti.

Diciamo trasformazioni elementari -rnkconsrow le seguenti trasformazioni di matrici:

scambio di due righe;

moltiplicazione di una riga per uno scalare diverso da 0;

addizione ad una riga di un’altra riga.

Tutte queste trasformazioni conservano il rango, sono biiezioni e possono ottenersi moltiplicando la

matrice da trasformare per una opportuna matrice.

Anche la trasposizione non modifica il rango. Quindi il rango di una matrice non cambia se le si

effettuano le corrispondenti delle trasformazioni precedenti riguardanti le colonne, trasformazioni che

chiamiamo trasformazioni elementari -rnkconscol.

Quindi non cambia il rango anche se si applicano le cosiddette trasformazioni -rnkcons, cioe sequenze

di trasformazioni elementari -rnkconsrow e -rnkconscol; tra queste trasformazioni si trovano le permu-

tazioni di righe e di colonne e la somma ad una riga (risp. colonna) di una qualsiasi combinazione

lineare di altre righe (risp. colonne).

Due matrici A e B si dicono equivalenti -rnkcons sse l’una si puo trasformare nell’altra applicando

trasformazioni -rnkcons.

Una matrice si dice a scaglioni o a gradini (echelon) sse ha le seguenti proprieta: (1) nella prima riga ha

la prima entrata diversa da 0; (2) per j = 2, ..., r presenta la riga j-esima con zj zeri iniziali seguiti da

una entrata diversa da 0, dove j < k ≤ r =⇒ 1 ≤ zj < zk; (3) se r < m presenta m − r righe con

entrate nulle.

L’entrata nella posizioni ⟨j, zj + 1 si dice pivot della riga j della matrice.

Mediante permutazioni delle colonne una matrice a scaglioni si puo ridurre ad avere tutti i pivots sulla

diagonale principale.


MATeXp

Infine mediante ricombinazioni lineari delle righe o delle colonne una matrice a scaglioni puo essere

trasformata in una matrice con la sottomatrice delle prime r righe e delle prime r colonne uguale a 1r.

Ovvio quindi che il rango della matrice a scaglioni suddescritta sia r.

Una qualsiasi matrice mediante trasformazioni -rnkcons si puo trasformare in una matrice a scaglioni.

Il rango di una matrice si puo anche definire come rango di ogni matrice a scaglioni ad essa equivalente

-rnkcons.

Valgono le seguenti proprieta del rango:

rnk(A ·B) = min(rnk(A), rnk(B)) rnk(A ·A ) = rnk(A ·A) = rnk(A) .

;150G sistemi di equazioni lineari, ossia SLE

Consideriamo m,n ∈ P, la matrice A = a1,∗ a2,∗ · · · am,∗ =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

am,1 am,2 · · · am,n

,

il vettore colonna b =

b1b2

...bm

ed il vettore colonna x =

x1x2...xn

.

Si dice sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1, x2 ... ed xn il sistema di equazioni della

forma a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2

. . . . . .am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bn

Nel seguito abbrevieremo “sistema di equazioni lineari” ed il suo plurale con la sigla SLE. Il sistema

caratterizzato da A e b lo denotiamo costruttivamente con S = SLE(A, b); di questo sistema S A si

dice matrice dei coefficienti e b vettore di termini noti; ogni x che soddisfa le sue equazioni, si dice soluzione

di Scl, mentre il vettore formale x si dice vettore delle incognite. Ad uno SLE attribuiamo come profilo

il profilo della sua matrice dei coefficienti.

S si dice omogeneo sse b = 0m, disomogeneo in caso contrario; di ogni S = SLE(A, b) disomogeneo il

sistema So := SLE(A, 0n si dice corrispondente omogeneo.

Inoltre si dice matrice dei coefficienti allargata di S la matrice B := A b .

Un sistema SLE(A, b) che possiede una sola soluzione si dice SLE determinato, uno privo di soluzioni si

chiama SLE impossibile ed uno con piu soluzioni si dice SLE indeterminato. In un sistema indeterminato

le soluzioni sono caratterizzate da un numero f di incognite che possono assumere valori arbitrari e

sono dette indeterminate libere; in tal caso si dice che il sistema possiede ∞f soluzioni.

Sia m = n, caso di SLE con tante equazioni quante le incognite.

Se rnk(A) = n, cioe det(A) = 0 S0) ha una sola soluzione data da 0n; in tal caso anche rnk(B) = n ed

S possiede una sola soluzione.

Se rnk(A) < n, e quindi det(A) = 0, S0 possiede ∞n−rnk(A) soluzioni; per lo SLE disomogeneo si danno

due casi: quando rnk(A) < rnk(B) non si ha alcuna soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno

∞n−rnk(A) soluzioni.

Sia n < m, caso di sistema con meno incognite che equazioni.

Se rnk(A) = n, S0) ha una sola soluzione, mentre rnk(A) < rnk(B) ed S non possiede alcuna soluzione.


Alberto Marini

Se rnk(A) < n, S0 possiede ∞n−rnk(A) soluzioni; per il sistema disomogeneo si danno due casi: quando

rnk(A) < rnk(B) = n si ha una sola soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno ∞n−rnk(A)

soluzioni.

Sia n < m, caso di SLE con piu incognite che equazioni.

Se rnk(A) = n, S0) ha infinite soluzioni; per il sistema disomogeneo si danno due casi:

quando rnk(A) < rnk(B), S non possiede alcuna soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno

∞n−rnk(A) soluzioni.

;150H soluzione degli SLE mediante eliminazione di Gauss

Si puo ricercare la soluzione di un sistema SLE(A, b) procedendo ad effettuare modifiche delle equazioni

che lo compongono seguendo da vicino il procedimento di trasformazione di un matrice ad una equiv-

alente a scaglioni. Alle equazioni del sistema si possono applicare le operazioni elementari (1) scambio

delle equazioni, (2) moltiplicazione di tutti gli addendi di una equazione per uno scalare diverso da 0 4

(3) aggiunta ad una equazione di un’altra. Queste sono in stretta corrispondenza con le trasformazioni

elementari -rnkconsrow (1), (2) e (3) viste in ;150? per una generica matrice; ora questa matrice svolge

il ruolo di matrice dei coefficienti del sistema.

Con queste trasformazioni e attribuendo opportuni nuovi indici alle incognite con una permutazione

che corrisponde alla stessa permutazione delle colonne della matrice dei coefficienti modificata si giunge

ad un sistema che, posto r := rnk(A), ha la forma

c1,1 ξ1 + c1,2 ξ2 + · · · + c1,r ξr +

∑nj=r+1 c1,j ξj = β1

c2,2 ξ2 + · · · + c2,r ξr +∑n

j=r+1 c2,j ξj = β2. . . . . . . . . . . . . .

cr,r ξr +∑n

j=r+1 cr,j ξj = βr

In questo sistema si distinguono chiaramente le incognite basiche ξ1, ξ2,...,ξr che corrispondono ai

pivots e le incognite libere che possono assumere valori qualsiasi ed in particolare il valore 0. La

determinazione dei valori delle incognite basiche si effettua con facilit‘a procedendo a ritroso da ξr a

ξ1. E questo il metodo della eliminazione delle variabili di Gauss.

;150I soluzione degli SLE quadratici

Vediamo come calcolare la soluzione, esistente ed unica, di un sistema SLE(A, b) con det(A) = 0.

Chiaramente la soluzione si puo ottenere mediante la matrice inversa con l’espressione x = A−1 · b .

Piu operativamente si possono prendere in considerazione le espressioni costitunti la regola di Cramer.

Scriviamo ∆ := det(A) e per j = 1, 2, ..., n denotiamo con Dj il determinante della matrice ottenuta

dalla A sostituendo la sua colonna j con il vettore colonna dei termini noti B.

Allora per j = 1, 2, ..., n si ottengono le componenti delle incognite xj mediante le espressioni

xj =Dj

∆.


MATeXp

;150J approssimazione dei minimi quadrati

Consideriamo uno SLE(A, b) di profilo m×n privo di soluzioni esatte; puo essere utile trovare una sua

soluzione approssimata.

Introduciamo il corrispondente errore vettoriale E = ⟨E1, E2, ..., Em⟩ := A · x − b = 0m le cui

componenti sono Ei =

n∑j=1

ai,j xj

− bi per i = 1, 2, ...,m . Si tratta di individuare un vettore x che

rende minimo il cosiddetto errore quadratico medio

σ :=1√m

|A · x− b| =1√m

|E| =

√1

m

(E1

2 + E22 + · · ·En

2).

Un tale x si puo considerare una soluzione mediamente migliore di SLE(A, b) e si dice soluzione in

media del sistema in esame.

Ogni soluzione dello SLE di profilo n × n della forma A · A · x = A · b rende minimo σ ; Di

questo sistema, chiamato sistema delle equazioni normali di Gauss, esiste sempre almeno una soluzione,

soluzione in media.

;150J disuguaglianze

Consideriamo a e b numeri reali.

|a b| ≤ 1

2

(a2 + b2

), ∀ρ ∈ R+ |a b| ≤ 1

2

(ρ a2 +

1

ρb2)


Alberto Marini

;200 geometria piana 1

;200A triangoli

Denotiamo con ∆(A,B,C, α, β, γ, a, b, c) il triangolo i cui vertici, procedendo nel verso antiorario,

sono A, B e C, i cui angoli interni relativi ai suddetti vertici sono A = α, B = β e C = γ ed i cui lati

sono, risp., a (opposto ad A), b opposto a B e c opposto a C). Denotiamo inoltre con A la sua area,

con R il suo circumraggio e con r il suo inraggio. Preferenzialmente presenteremo a ≤ b ≤ c.

Prime proprieta: α+ β + γ = 180◦ , α < β < γ =⇒ a < b < c

Membri notevoli di un triangolo

– altezze ha, hb e hc; inoltre poniamo Ha := ha ∩ BC ecc.

– bisettrici degli angoli interni bα, bβ e bγ– punti medi dei lati Ma, Mb ed Mc

– assi dei lati, perpendicolari dei lati nei loro punti medi

– mediane ma, mb e mc

Concorrono in un punto

– le altezze (nell’ortocentro)

– le bisettrici (nell’incentro)

– le perpendicolari ai punti medi dei lati (nel circocentro)

– le mediane (nel centroide

Due triangoli sono uguali sse vale una delle seguenti uguaglianze di membri corrispondenti

- tre lati (condizione SSS)

- un angolo e i due lati che lo includono (condizione SAS)

- un lato e i due angoli che lo includono (condizione ASA)

Due triangoli ∆(A,B,C, α, β, γ, a, b, c) e ∆(A′, B′, C ′, α′, β′, γ′, a′, b′, c′) sono congruenti, cioea

a′=

b

b′=

c

c′e α = α′, β = β′ γ = γ′ ,

sse hanno i lati proporzionali,a

a′=

b

b′=

c

c′

- sse α = α′ eb

c=b′

c′

- sse (α = α′ e β = β′

Se due triangoli ∆ e Dlt′ sono simili, allora

A

A′ =( aa′

)2=

(hah′a′

)2

= · · · · · ·

triangoli rettangoli

teorema di Pitagora a2 + c2 = c2

A =a b

2=

c hc2

,b

cA=

a

cB, hc =

√cA cB , R =

c

2, r =

a+ b− c

2

Se il triangolo rettangolo e isoscele, a = b , allora α = β , c = a√

2 e h c =a√2

Se α = 60◦, allora c = 2 b ed ‘a = b√

3

triangoli equilateri a = b = c e α = β = γ = 60◦


MATeXp

h =

√3

2a , A =

a2√

3

4=

h2√3

, r =1

3h =

a

2√

3, R = 2 r =

a√3

=2

3h

triangoli isosceli che caratterizziamo con a = b , equivalente a α = β (pons asinorum)

γ = 180◦ − 2α e quindi γ < 90◦ ⇐⇒ c < a = b , hc =

√b2 − c2

4, hb = hc

c

b

se γ = 36◦ , allora , α = β = 72◦ , a = b = c

√5 − 1

2=

1

ϕ≈ 0.61803 c

(v. ;010 numero di Fidia)

se γ = 72◦ , allora , α = β = 54◦ , a = b = c1

2√

10 − 2√

5

se γ = 108◦ , allora , α = β = 36◦ , a = b = c1 +

√5

2= ϕ ≈ 1.61803 c

triangoli in generale

A =a ha

2=

b c sin α

2e permutate ; A =

√p(p− a)(p− b)(p− c) formula di Erone

ha = c sin β =2√p(p− a)(p− b)(p− c)

ae simili

ha =

√2 b2 + 2 c2 − a2

2e permutate ; sa =

√√√√b c

(1 −

(a

b+ c

)2)

e permutate

R =a b c

4A; r =

2A

a+ b+ c=

A

p

sin α

a=

sin β

b=

sin γ

c=

1

2Rlegge dei seni

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α e permutate legge dei coseni

a+ b

a− b=

tan(

α+β2

)tan

(α−β2

) e permutate legge delle tangenti

e permutate formula SAS dell’area

soluzioni dei triangoli

dati i tre lati (SSS), si utilizzano due leggi dei coseni e la α+ β + γ = 180◦

dati due lati e l’angolo compreso (SAS), ad es. b, α e c, si ottiene a dalla legge dei coseni;

quindi se b < c β dalla legge dei seni e γ = 180◦ − α− β

dati due lati e un angolo non compreso (SSA), ad es. b, c e β, si ottiene γ dalla legge dei seni,

α come 180◦ − β − γ ed a dalla legge dei coseni; sono possibili due soluzioni

dati un lato e due angoli adiacenti (ASA), ad es. a, β e γ, si ottiene γ = 180◦ − α− β ;

quindi e b e c dalla legge dei seni.

;200B circonferenze

centro Z , raggio r, diametro d, circonferenza c vjq c = 2π r = π d , A = π r2 =π d2

4

settore circolare relativo all’angolo al centro θ arco s = θ r , areas r

2=

α r2

2lunetta corrispondente al suddetto settore corda k e sagitta h


Alberto Marini

k = 2 r sinθ

2, h = r

(cos

θ

2

)=

(k

2

)21

2 r − h, area

r2

2(θ − sin θ) =

1

2(r k − (r − h)k)

;200C quadrilateri

seguendo il verso antiorario denotiamo i suoi successivi lati con a, b, c e d , i suoi vertici con A = d∩a,

B, C e D e i suoi angoli α := A, B, C e D; le sue diagonali siano e := AC ed f := BD; denotiamo

con θ un angolo formato dalle diagonali.

quadrato quadrilatero regolare lati a e angoli a 90◦

A = a2 =e2

2, r =

a

2, e = a

√2 , R =

a√2

rettangolo quadrilatero caratterizzato da 4 angoli retti, da due lati a e b

Acl = a b , e =√a2 + b2 , R =

e

2

parallelogramma quadrilatero con latti paralleli a coppie

caratterizzato dai lati a e b, dagli angoli angoli α e β = 180◦ − α, dalle altezze ha e hb, diagonali

e ed f

ha = b sin α , A = a ha = a b sin α , e2 + f2 = 2(a2 + b2) , e =√a2 + b2 + 2 a b cos α ,

f =√a2 + b2 − 2 a b cos α

rombo parallelogramma con i 4 lati uguali

A = a ha = a2 sin α =e f

2, e2 + f2 = 4 a2 , e = 2 a cos

α

2, f = 2 a sin

α

2

aquilone quadrilatero simmetrico rispetto ad una diagonale

angoli bisecati dall’asse di simmetria α adiacente a due lati a e β adiacente a due lati b; angoli

simmetrici γ

γ = 180◦ − α+β2

trapezio quadrilatero con due lati paralleli (basi)

i lati siano a, b, c e d com a//c; gli angoli α = da, β = ab, γ = bc e δ = cd;

A =(a+ c)ha

2, ha = d sin α = b sin β , e =

√a2 + b2 − 2 a b cos β

f =√a2 + b2 − 2 a d cos α

se α = β si parla di trapezio isoscele il quale e un quadrilatero secante

potrebbe essere α > 90◦ oppure β > 90◦ ;

se invece 0 < α < 90◦ ma 90◦ < β < 180◦ si ha un trapezio intrecciato

quadrilatero in generale

α+ β + γ + δ = 360◦ , θ = 90◦ ⇐⇒ a2 + c2 = b2 + d2

A =1

2e f sin θ =

1

4(b2 + d2 − a2 − c2) tan θ =

1

4

√4 e2 f2 − (b2 + d2 − a2 − c2)

quadrilatero tangente

a+ c = b+ d , A = p r dove p =1

2(a+ b+ c+ d) , se α+ γ = β + δ, allora A =

√a b c d

quadrilatero secante

α+ γ = β + δ = 180◦ ,√

(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)

R =1

4

√(ac+ bd)(ad+ bc)(ab+ cd)

A, e =

√(ad+ bc)((ac+ bd)

ab+ cd, e f = a c+ b d


MATeXp

pentagono regolare e pentagramma

lunghezza lati a , ampiezza angoli interni 108◦ centro Z , inraggio o apotema r , circumraggio R

,

lunghezza delle 5 diagonali g ; esse costituiscono il pentagramma

si puo decomporre in 5 triangoli isosceli come ABZ aventi base a, altri due lati R, altezza r, un angolo

di 72◦ e due angoli di 54◦

r = , R =a

2√

10 −√

5, A = , g = =

;200D poligoni regolari

numero dei lati n ciascuno di lunghezza a

angoli interni di ampiezza α =n− 2

n180◦ ; numero delle diagonali

n(n− 3)

2

A =1

4na2 cot

180◦

n, r =

a

2cot

180◦

n, R =

a

2 sin(pi/n)


Alberto Marini

;210 geometria dei solidi 1

;210A poliedri convessi

definiamo poliedro convesso ogni solido convesso, cioe tale che ogni segmento delimitato da due suoi

punti interni o di confine appartiene completamente al solido

per ogni poliedro denotiamo con V il suo volume e con S la sua superficie totale ; spesso sono carat-

terizzati da tre lati in direzioni diverse a, b e c, diagonale maggiore d, area di base B e da una distanza

fra un vertice privilegiato e la base hB

ogni poliedro P e caratterizzato dal numero dei vertici v(P), dal numero delle facce f(P) e dal numero

degli spigoli e(P) ; vale la

v(P) + f(P) = e(P) − 2 relazione di Eulero

parallelepipedo solido definito da 3 vettori (spigoli) applicati nello stesso punto (vertice) non com-

planari le cui lunghezze denotiamo con a, b e c ; i tre parallelogrammi Prlgrm(a, b), Prlgrm(b, c) e

Prlgrm(c, a) definiti dai duetti di vettori spigoli {a, b}, {b, c} e {c, a} sono 3 delle sei facce del solido

; le altre 3 si ottengono, risp., traslando Prlgrm(a, b) di c, Prlgrm(b, c) di a e Prlgrm(c, a) di b ;

servono gli angoli α :=b, c, β := c, a e γ :=

a, b

V = a b sin γ c sin α sin β , S = 2 (a b sin γ + b c sin α+ c a sin β)

parallelepipedo rettangolo o cuboide parallelepipedo con le facce rettangolari

d =√a2 + b2 + c2 , S − 2(ab+ bc+ ca) , V = a b c

prisma solido definito da un poligono non intrecciato B (una delle due basi) e da un vettore v

applicato ad un punto della base ; costituito dai punti dei vettori applicati ai vari punti della base e

paralleli a v

V = B hB , hB = v sin(B, v)

piramide caratterizzata da base B e vertice V

denotiamo questo solido con Pyr(B, V ), con hB la distanza tra V e B scriviamo

V =1

3B hB

tronco di piramide caratterizzato dalle basi B e B′ su piani paralleli ed aventi distanza del vertice V ,

risp., hB e hB′ ; puo ottenersi eliminando da Pyr(B, V ) la piramide Pyr(B′, V ) ; denotiamo co hB la

distanza dal V di B e con hB′ la distanza da V di B′ e supponiamo hB′ < hB

V =hB′

3

(B +

√BB′ + B′

),

V(B′, V )

V=

(B′

B

)3/2

=

(hB′

hB

)3

poliedri regolari o solidi platonici caratterizzati solo dalla lunghezza a di ciascuno degli spigoli

tetraedro regolare

V = a3√

2

12, S = a3

√3 , R = a

√6

4, r = a

√6

12

esaedro regolare o cubo

V = a3 , S = 6 a2 , R = a

√3

2, r =

a

2

ottaedro regolare


MATeXp

V = a3√

2

3, S = a2

√3 , R =

a√2, r =

a√6

dodecaedro regolare

V = a315 + 7

√5

4, S = 3 a2

√5(5 + 2

√5) , R = a

(1 +√

5) +√

3

4, r =

a

4

√50 + 22

√5

5

icosaedro regolare

V = a35 (3 +

√5

12, S = a2 5

√3 , R = a

√2(5 +

√5)

4, r = a

1

2

√7 + 3

√5

6

relazione di Eulero per i poliedri regolari

poliedro P v(P) e(P) f(P)

tetraedro 4 6 4

cubo 8 12 6

ottaedro 6 12 8

dodecaedro 20 30 12

icosaedro 12 30 20

Il tetraedro, meglio sarebbe la classe di similitudine del tetraedro regolare, e autoduale; il cubo e

l’ottaedro sono mutuamente duali; il dodecaedro e l’icosaedro sono duali.

;210B cilindri, coni

cilindro generale definito da figura piana di base B, avente il contorno K := ∂B semplice e

rettificabile e da retta generatrice, retta orientata G passante per un punto di K ; sia inoltre ϕ := R,B;

definito vettore v(P ) := v · vers(R) applicato in P := R∩ B di lunghezza |v| e direzione vers(R), si

introduce la seconda base B′ ottenuta traslando B di v e si ottiene il cilindro finito delimitato dalle basi

e dalla superficie laterale L := {P ∈ K :| v(P )} ; la sua altezza scriviamo h := |v| sin ϕ ;

V = Bh , L = 2B + |v|KSscilindro circolare retto le basi sono cerchi di raggio ρ e ϕ = 90◦

B = π r2 , L = 2π r h , S = 2π (r + h) , V = π r2 h

cono illimitato figura solida definita da una base B e da un vertice V che individuiamo come

Kone±∞(V,B); B e una figura piana avente semplice il contorno K := ∂B ; V e un punto che non

giace sul piano di B ;

la superficie laterale di questa figura e costituita dalle sue generatrici, rette passanti per V e per P

punto variabile su K; l’insieme dei suoi punti e costituito dai punti delle rette V Q con Q punto

variabile in Bse ci si limita alle semirette V,Q si ha il cono illimitato unilatero che scriviamo Kone∞(V,B)

si dice cono finito la figura delimitata da B e dalla superficie laterale L := {P ∈ K :| PV } ; la sua

altezza sia h := dist(V,B) ; tale figura si denota con Kone(V,B)

V =1

3Bh


Alberto Marini

tronco di cono si ottiene delimitando il suddetto cono finito con una seconda base B′ ottenuta

intersecando il cono con un piano parallelo al piano di B e distante dal vertice h′ con h′ < h ; siano

V′ := V(Kone(V,B′) e Vtr := V \ V′

Vtr := h−h′

3

(B +

√BB′ + B′

),

V′

V=

(B′

B

)3/2

=

(h′

h

)3

cono circolare retto la base e un cerchio di raggio ρ e centro Z ed il vertice si trova sulla normale

alla base per Z; quindi h = ZV

distanza fra vertice e circonferenza s =√ρ2 + h2 , A = π ρ s , L = π ρ (s+ ρ) , V =

π

3ρ2 h

tronco di cono circolare retto delimitato da una seconda base circolare B′ tagliata su Kone(V,B da

piano parallelo a quello di B con centro Z ′ con V Z ′ = h′ ove h′ < h e raggio ρ′ = ρ h′

h

distanza su una generatrice delle due circonferenze s =√

(ρ− ρ′)2 + (h− h′) , L = π

;210C sfera

caratterizzata solo dal raggio r e dal centro Z; in effetti tutte le sfere sono simili

S = 4π r2 , V =4

3π r3

angolo solido o sterangolo

si prenda un punto Z nello spazio, un piano che non lo tocca e su questo una curva chiusa semplice γ e

la superficie conica K formata dalle semirette che escono dal vertice Z e toccano i punti di γ; ciascuno

dei due coni solidi delimitati da K puo considerarsi un angolo solido; scelto uno dei due angoli solidi,

lo si misura con la superficie della sfera di raggio 1 e centro Z che e sezione dell’angolo; si misura in

steradianti ed assume valori compresi tra 0 e 4π; preferenzialmente lo denotiamo con ω

calotta sferica figura delimitata da parte della superficie sferica e da una base ottenuta sezionando

la sfera con un piano che dista dal centro r cos ϕ

raggio del cerchio di base ρ = r sin ϕ , altezza del solido h = r (1 − cos ϕ) , h (2 r − h) = ρ2

S = 2π r h , V =π

3h2 (3 r − h) =

π

6h (3ρ2 + h2) , ω = 4π sin2 ϕ

2

segmento sferico figura delimitata da due cerchi ottenuti sezionando la sfera con due piani paralleli

che distano dal centro, risp., r cos ϕ ed r cos psi, ove si chiede −90◦ ≤ ϕleqψ ≤ 90◦ ; le due basi

presentano, risp., i raggi ρ = r sin ϕ e σ = r sin ψ e sono distanti h = r (cos ψ − cos ϕ) vjq

S = 2π r h , V =π

6h (3 ρ2 + 3σ2 + h2 , ω = 4π (sin2 ϕ

2− sin2 ψ

2

settore sferico figura ottenuta considerando la circonferenza γ sezione della superficie sferica con un

piano che dista r cos ϕ da Z e delimitandola con il cono avente il vertice in Z e come base il cerchio

delimitato da γ e con la parte della superficie sferica delimitata da γ ; si ammette sia −90◦ ≤ ϕ ≤ 90◦

V =2π r2 h

3

toro circolare si considerino ρc e ρs con 0 < ρs < ρc, circonferenza γ di centro Z e raggio ρc in un

piano Π e circonferenza σ con centro in un P ∈ γ e raggio ρs nel piano ortogonale a Π; toro circolare

e la superficie tracciata da σ quando P percorre γ

S = 4π2 ρc ρs , V = 2π2 ρc ρs2

sfera in n dimensioni con n = 3, 4, 5, ...


MATeXp

V = rnπk

k!se n = 2 k , V = rn

2k πk−1

(2 k − 1)!!se n = 2 k − 1 , S =

nV

r

;210D trigonometria sferica

triangoli sferici lati archi di circonferenze massimali a, b e c, misurati da angoli al centro, angoli α,

β e γ ; tutte le misure angolari siano minori di 180◦

introduciamo i semiperimetri σ :=1

2(a+ b+ c) e τ :=

1

2(α+ β + γ)

0◦ < a+ b+ c < 360◦ , 180◦ < α+ β + γ < 540◦ , α < β < γ ⇐⇒ a < b < c e form.cicl.

a+ b > c e form.cicl. , α+ β > γ + 180◦ e form.cicl. ,

sin α

sin a=

sin β

sin b=

sin γ

sin clegge dei seni

cos a = cos b cos c+ sin b sin c cos α , cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a e form.cicl.

legge dei coseni

sinα

2sin

b+ c

2= sin

a

2sin

β − γ

2, sin

α

2cos

b+ c

2= cos

α

2cos

β + γ

2

cosα

2sin

b− c

2= sin

a

2sin

β − γ

2, cos

α

2cos

b− c

2= cos

a

2sin

β + γ

2e form.cicl. equazioni di Delambre

tanb+ c

2cos

β + γ

2= tan

a

2cos

β − γ

2, tan

b− c

2sin

β + γ

2= tan

a

2sin

β − γ

2

tanβ + γ

2cos

b+ c

2= cot

α

2cos

b− c

2, tan

β − γ

2sin

b+ c

2= cot

α

2sin

b− c

2e form.cicl. equazioni di Napier

sin2 α

2=

sin (σ − b) sin (σ − c)

sin b sin, c, cos2

α

2=

sin σ sin (σ − a)

sin b sin, c

sin2 α

2=

cos τ cos (τ − α)

sin β sin γ, cos2

α

2=

cos (τ − β) cos (τ − γ)

sin β sin γ

e form.cicl.

eccesso di un triangolo sferico

E := α+ β + γ − 180◦(≥ 0) , tanE

4=

√tan

σ

2tan

σ − a

2tan

σ − b

2tan

σ − c

2

area di un triangolo sferico A =π R2E

180

soluzioni dei triangoli sferici

dati tre lati (SSS) si ricavano gli angoli da (7) o (11)

dati tre angoli (AAA) si ricavano i tre lati da (8) o (11)

dati due lati e l’angolo incluso (SAS), ad es. b, c, α si ricavanoβ ± γ

2da (10) e quindi β e γ; poi

a da (8) o (11)

dati due angoli e il lato incluso (ASA), ad es. β, γ e a si ricavanob± c

2da (10) e quindi b e c; poi

α da (7) o (11)

dati due lati e un angolo non incluso (SSA), ad es. b, c e β si ricavano γ da (6) ed α ed a da (10);

due possibili soluzioni


Alberto Marini

dati due angoli e un lato non incluso (AAS), ad es. β, γ e b si ricavano c da (6) ed α ed a da (10);

due possibili soluzioni

regole di Napier per triangoli sferici con angolo retto

sia γ = 90◦ e si consideri il ciclo C ⟨cya, b, 90◦ − α, 90◦ − c, (90◦ − β⟩ ;

il seno di ogni angolo e dato:

dal prodotto delle tangenti dei due angoli che gli sono adiacenti in C;

dal prodotto dei coseni dei due angoli che non gli sono adiacenti in C;


MATeXp

;220 geometria analitica 1

;220A geometria piana lineare

nel piano cartesiano consideriamo punti Pi = ⟨xi, yi⟩ per i = µu, 1, 2, ... ed i vettori vj = ⟨vj,x, vj,y⟩ per

j = µu, 1, 2, ...

distanza fra P1 e P2

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 , punto medio di P1 P2

⟨x1 + x2

2,y1 + y2

2

⟩punto Pρ,σ ∈ P1 P2 tale che

P1 Pρ,σ

Pρ,σ P2=

ρ

σ

⟨ρ x1 + σ x2ρ+ σ

,ρ y1 + σ y2ρ+ σ

⟩centroide del triangolo con vertici Pi per i = 1, 2, 3

⟨x1 + x2 + x3

3,y1 + y2 + y3

3

⟩area del triangolo orientato ∆(P1, P2, P3)

1

2

∣∣∣∣ (P2 − P1)x (P2 − P1)y(P1 − P3)x (P1 − P3)y

∣∣∣∣ =1

2(x1 y2 + x3 y3 + x3 y1 − x2 y2 − x3 y2 − x1 y3)

area del poligono orientato non necessariamente semplice delimitato dalla poligonale ⟨cyP1, P2, ..., Pn⟩1

2(x1 y2 + x2 y3 + · · · + xn−1 yn + xn y1 − x2 y1 − x3 y2 − · · · − xn yn−1 − x1 yn)

sia θ l’angolo compreso tra i vettori v e w applicati nello stesso punto

cos θ =v · w

|v| · |w|=

vx wx + vy wy√vx2 + vy2 ·

√wx

2 + wy2

rette del piano

equazione generale a x+ b y + c = 0

se a = 0 la retta e verticale ; se b = 0 la retta e orizzontale ; se c = 0 la retta passa per l’origine

vettore orientazione della retta v = ⟨b,−a⟩ , normale alla retta in un suo punto n = ⟨a, b⟩

angolo di inclinazione θ = arctan(−ab

)equazione della retta non verticale passante per P1 = ⟨x1, x2⟩ e per P2 = ⟨x2, y2

y2 − y1x2 − x1

= −ab

equazione della retta non verticale passante per P = ⟨x, y⟩ ed avente inclinazione m ∈ Ry − y = m (x− x) m = −a

b

equazione in forma normalea x+ b y + c√

a2 + b2= 0

equazione delle intercettex

p+y

q= 0 dove p =

c

ae q =

c

b

equazione in forma parametrica r = r + t v ossia

{x = x+ b ty = y − a t

angoli tra due rette aventi inclinazioni m1 ed m2 arctan

(± m1 −m2

1 +m1m2

)consideriamo due rette aventi inclinazioni m1 ed m2 le rette sono ortogonali sse m1m2 = −1

distanza tra P ′ = ⟨x′, y′⟩ e la retta a x+ b y + c = 0 ±a x′ + b y′ + c√a2 + b2


Alberto Marini

;220B curve di secondo grado

forma generale a1,1 x2 + 2a1,2xy + a2,2y

2 + 2a1,3x+ 2a2,3y + f = 0 con |a1,1| + |a1,2| + |a2,2| > 0

casistica dipendente dal discriminante ∆ := a1,1 a2,2 − a1,22

∆ > 0 =⇒ la curva e una ellisse; in particolare puo essere una circonferenza, puo ridursi ad un punto

o puo non rappresentare alcun punto del piano

∆ = 0 =⇒ la curva e una parabola; in particolare puo ridursi a due rette parallele e anche ad una

sola retta di molteplicita 2

∆ < 0 =⇒ la curva e una iperbole; in particolare puo ridursi a due rette che si intersecano

Se b = 0 effettuando il completamento dei quadrati l’equazione assume la forma

a1,1

(x+

a1,3a1,1

)2

+ a2,2

(y +

a2,3a2,2

)2

=a1,3

2

a1,1+a2,3

2

a2,2− a3,3

equazione di una curva con centro in

⟨−a1,3a1,1

, −a2,3a2,2

⟩circonferenza con centro nell’origine 02 e raggio s Γ = Circle(02, r)

equazione cartesiana x2 +y2 = r2 equazioni parametriche

{x = r cos ty = r sin t

per 0 ≤ t ≤ 2π

circonferena con centro C = ⟨xC , yC⟩ e raggio r Circle(C, r)

equazione cartesiana (x− xC)2 + (y − yC)2 = r2

equazioni parametriche

{x = xC + r cos ty = yC + r sin t

per 0 ≤ t ≤ 2π

lunghezza della circonferenza 2π r , area del cerchio A = π r2

circonferenza passante per i punti Pi = ⟨xi, yi⟩ per i = 1, 2, 3

∣∣∣∣∣∣∣x2 + y2 x y 1x1

2 + y12 x1 y1 1

x22 + y2

2 x2 y2 1x3

2 + y32 x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

ellisse

consideriamo a e b reali con 0 < b < a ; si dice ellissi con asse maggiore 2 a lungo Ox, con asse minore

2 b e con centro nell’origine la curva avente equazione cartesianax2

a2+y2

b2= 1


{x = a cos ty = b sin t

per 0 ≤ t ≤ 2π

equazioni in forma polare r2 =a2 b2

a2 sin2 θ + b2 cos2 θ

fuochi nei punti ⟨±c, 0⟩ ove c :=√a2 − b2 , eccentricita e :=

c

atale che 0 ≤ c < 1

rette direttrici x = ±ae

= ± a2√a2 − b2

quando b tende ad a, e tende a 0 e l’ellisse tende alla circonferenza di raggio a

area della regione interna alla curva π a b = π a2√

1 − e2

lunghezza della curva 4 aE(k), con k :=c

a=

√1 − b2

a2e con E(k) integrale ellittico di seconda

specie completo


MATeXp

approssimazione di [[Ramanujan]] con errore relativo pari circa a 3 e20236

π (a+ b)

(1 +

3λ2

10 +√

4 − 3λ2

), ove λ :=

a− b

a+ b

l’ellisse con centro in C = ⟨xC , yC⟩ soddisfa le equazioni

x− xC)2

a2+y − yC)2

b2= 1 e

{x = xC + a cos ty = yC + b sin t

per 0 ≤ t ≤ 2π

parabola

sia p reale positivo; si dice parabola con vertice nell’origine O, asse orizzontale e fuoco in F = ⟨p, 0⟩ la

curva di equazione cartesiana y2 = 4 p x

retta direttrice x = −p e il luogo dei punti aveti uguale distanza dal fuoco e dalla direttrice

equazione in forma polare r =4 p cos θ

sin2 θper −π

2≤ θ < 0 e 0 < θ ≤ π

2

quando l’eccentricita di una ellisse tende ad 1, cioa quandob

atende a 0, quasta curva tende a diventare

una parabola

consideriamo la tangente t alla parabola nel suo punto P = ⟨x, y⟩ con y =√

4 p x⟩ ; sono uguali gli

angoli tP P F e ⟨+∞, y⟩P t

segmento di parabola regione piana determinato dai suoi due punti P = ⟨x, y⟩ e Q = ⟨x,−y⟩e delimitata a sinistra dall’arco di parabola P

⌢Q ed a destra dal segmento P Q

area2

3x y , lunghezza dell’arco

√y2 + 16x2

2+y2

8xln

(4x+

√y2

+ 16x2

y

)si consideri il solido ottenuto ruotando di 2π il segmento intorno ad Ox

volumeπ

8y2 x , area della superficie

π

96

(y2 + 16x2)3/2

x2

iperbole

consideriamo a e b reali positivi; si dice iperbole con asse trasverso 2 a lungo Ox, con asse coniugato

2 b e con centro nell’origine la curva avente equazione cartesianax2

a2− y2

b2= 1

equazioni parametriche del ramo per x > 0

{x = a cosh ty = b sinh t

per 0 −∞ < t < +∞

equazione polare r2 =a2 b2

b2 cos2 θ − a2 sin2 θ

fuochi nei punti ⟨±, 0⟩ ove c :=√a2 + b2 , eccentricita e =

c

a, valore superiore ad 1

asintoti y = ± b

ax

rette direttrici x = ±ae

=a2√a2 + b2


Alberto Marini

;220C geometria analitica tridimensionale lineare

nello spazio R×3 consideriamo punti Pi = ⟨xi, yi, zi⟩ per i = µu, 1, 2, ... ed i vettori vj = ⟨vj,x, vj,y⟩ per

j = µu, 1, 2, ...

distanza fra P1 e P2

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

punto medio di P1 P2

⟨x1 + x2

2,y1 + y2

2,z1 + z2

2

⟩punto Pρ,σ ∈ P1 P2 tale che

P1 Pρ,σ

Pρ,σ P2=

ρ

σ

⟨ρ x1 + σ x2ρ+ σ

,ρ y1 + σ y2ρ+ σ

,ρ z1 + σ z2ρ+ σ

⟩area orientata del triangolo ∆(P1, P2, P3)

1

2( P1 P2 ∧ P1 P3)

centroide del tetraedro con vertici Pi per i = 1, 2, 3, 4⟨x1 + x2 + x3 + x4

4,y1 + y2 + y3 + y4

4,z1 + z2 + z3 + z4

4

⟩

volume orientato del suddetto tetraedro1

6

∣∣∣∣∣∣(P2 − P1)x (P2 − P1)y (P2 − P1)z(P3 − P1)x (P3 − P1)y (P3 − P1)z(P4 − P1)x (P4 − P1)y (P4 − P1)z

∣∣∣∣∣∣sia θ l’angolo compreso tra i vettori v e w applicati nello stesso punto

cos θ =v · w

|v| · |w|=

vx wx + vy wy + vz wz√vx2 + vy2 + vz2 ·

√wx

2 + wy2 + wz

2

rette e piani in 3D

retta passante per P0 = ⟨x0, y0, z0⟩ con la direzione data dal vettore d = ⟨dx, dy, dz⟩


x = x0 + dx t

y = y0 + dy t

z = z0 + dz t

equivalenti allex− x0dx

=y − y0dy

=z − z0dx

retta passante per Pi = ⟨xi, yi, zi⟩ con i = 1, 2

x = x1 + (x2 − x1) t

y = y1 + (y2 − y1) t

z = z1 + (z2 − z1) t

equazione generale a x+ b y + c z + d = 0 ove ⟨a, b, c⟩ e un vettore ortogonale al piano

piano passante per P0 = ⟨x0, y0, z0⟩ e con vettore normale n = ⟨nx, ny, nz⟩nx (x− x0) + ny (y − y0) + nz (z − z0) = 0

piano passante per P0 = ⟨x0, y0, z0⟩ e sotteso dai vettori v e w applicati in P0∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0vx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣ = 0 o dal sistema equivalente

x = x0 + vx t+ wx uy = y0 + vy t+ wy uz = z0 + vz t+ wz u

piano passante per i tre punti Pi per i = 1, 2, 3

piano che interseca Ox in sx ex, Oy in sy ey e Oz in sz ez (forma delle intercette)x

sx+

y

sy+

z

sz= 1

angolo θ fra una retta avente d come vettore direzione ed il piano avente n come vettore normale

sin θ =|d · n||d| · |n|

angolo θ tra due piani relativi ai vettori normali n1 ed n2 cos θ =|n1 · n2||n1| · |n2|


MATeXp

distanza fra un punto P ed una retta passante per il punto Q ed avente d come vettore direzione∣∣∣d ∧ −−→PQ∣∣∣

|d|distanza fra un punto P ed un piano passante per Q ed avente n come vettore normale∣∣∣n ∧ −−→

PQ∣∣∣

|n|distanza fra due rette non parallele, la prima passante per P1 ed avente d1 come vettore direzione, la

seconda passante per P2 ed avente d2 come vettore direzione∣∣∣(d1 ∧ d2) · −−−→P1 P2

∣∣∣|d1 ∧ d2|

;220D superfici di secondo grado

forma generale supposto sia |a1,1| + |a2,2| + |a3,3| > 0

a1,1 x2 + a2,2 x

2 + a3,3 x2 + 2 a1,2 x y + 2 a2,3 y z + 2 a3,1 z x+ 2 a1,4 x+ 2 a2,4 y + 2 a3,4 z + a4,4 = 0

se a1,2 = a2,3 = a3,1 = 0 si puo effettuare il completamento dei quadrati e giungere ad una

equazione in forma standard come per i casi che seguono

se |a1,2| + |a2,3| + |a3,1| > 0 si deve ricorrere a metodi spettrali

sfera di raggio r x2 + y2 + z2 = r2 V =4

3π r3

elissoide con assi 2 a, 2 b e 2 cx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 V =

4

3π a b c

se vale la a = b o una permutata si ha un elissoide di rotazione; se inoltre vale la c < a o una

permutata si ha un elissoide oblato; se vale c > a o una permutata si ha un elissoide prolato

cilindro ellittico con asse di simmetria traslazionale Oz ed assi 2 a e 2 bx2

a2+y2

b2= 1

cilindro iperbolico con asse di simmetria traslazionale Oz ed assi delle sezioni 2 a e 2 bx2

a2− y2

b2= 1

cilindro parabolico con asse di simmetria traslazionale Oz, con piano di simmetria di riflessione Oxz,

passante per O e con parametro p x =y2

2 p

paraboloide ellittico con piani di simmetria di riflessione Oxz e Oyz z =x2

a2+y2

b2se a = b, allora Oz e asse di simmetria cilindrica e quindi si ha un solido di rotazione

paraboloide iperbolico con sezioni z = k iperboli (o copia di rette z =x2

a2− y2

b2e una superficie rigata

cono ellittico le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 bx2

a2+y2

b2− z2

c2= 0

iperboloide ellittico ad una falda le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 bx2

a2+y2

b2− z2

c2= 1

se a = b, allora Oz e asse di simmetria cilindrica; e una superficie rigata

iperboloide ellittico a due falde le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 bx2

a2+y2

b2− z2

c2= −1

se a = b allora Oz e asse di simmetria cilindrica;


Alberto Marini

;250 spazi vettoriali ed euclidei

;250A spazi vettoriali

Ricordiamo che si dice spazio vettoriale V sopra un campo F (i cui elementi sono detti scalari) un insieme

(detto terreno dello spazio ed i cui elementi chiamiamo vettori) munito di un’operazione binaria di

somma che rende il terreno un gruppo abeliano e una moltiplicazione per uno scalare che trasforma

ogni vettore in un vettore. Formalmente spazio vetoriale e una struttura ⟨V,F,+, 0,−, ·⟩ ove:

F ∈ Fld , ∃+ ∈ {V×V 7−→ V , ∃· ∈ {F×V 7−→ V} ST ∀x, y, z ∈ V , α, β ∈ F

x + y = y + x , (x + y) + z = x + (y + z) , V ∋ 0V ST x + 0 = x ,−x ∈ V ST x + (−x) = 0

α · (β ·x) = (αβ) ·x , (α+β) ·x = α ·x+β ·x , α · (x+y) = α ·x+β ·y , 1 x = x , 0 x = 0 , α ·0 = 0

questa struttura di spazio vettoriale la denotiamo con VV sp

un S ⊆ V si dice sottospazio di V sse ∀x, y ∈ S , α ∈ F x + y ∈ S , α · x ∈ S , cioe sse e terreno di

uno spazio vettoriale

un w ∈ V e combinazione lineare dei vettori v1, ... vh sse F ∋ α1, ..., αh tali che sia w = α1 v1+ · · ·+αh vh;

in tal caso si dice che w dipende linearmente dai vi per i = 1, ..., h

l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di vettori di V costituisce un sottospazio di

questo spazio; l’insieme delle combinazioni lineari di un insieme finito E = {v1, ..., vh} si denota con

span(v1, ..., vh); ale sottospazio si dice anche chiusura lineare di E (linear hull)

I vettori di un insieme, finito o meno, si dice insieme di vettori linearmente indipendenti sse nessuno di

essi dipende linearmente dai restanti;

i vettori di un insieme finito {v1, ..., vh} sono linearmente indipendenti sse α1 v1 + · · · + αh vh =

0V =⇒ α1 = · · · = αh = 0

una famiglia di vettori linearmente indipendenti si dice base dello spazio sse ogni altro vettore dipende

lnearmente dai suoi elementi

se uno spazio vettoriale che possiede una base finita si dice finito-dimensionale

due basi di uno spazio finitodimensionale V hanno la stessa cardinalita; essa si dice dimensione dello

spazio e si denota con dim(V)

consideriamo un intero positivo d e l’insieme F×d delle d-uple di elementi del campo; la somma com-

ponente per componente di tutte le componenti per un elemento del campo rendono F×d uno spazio

vettoriale V; la sequenza dei vettori ui =⟨j = 1, ..., d :| δi,j

⟩costituisce una la base ordinata dello

spazio che quindi e d-dimensionale.

Dato uno spazio d-dimensionale V ed una sua base ordinata ⟨e1, e2, ..., ed⟩, dato che ogni suo vettore

v si puo esprimere come v = v1 e1 + v2 e2 + · · · + vd ed, si ha una biiezione fra V e lo spazio vettoriale

delle d-uple di elementi del campo F; questi due spazi risultano isomorfi.

Cambiando la base cambia l’isomorfismo; comunque tutti gli spazi d-dimensionali su F sono isomorfi e

lo studio degli spazi finitodimensionsali equivale allo studio degli spazi di sequenze su F.


MATeXp

;250B spazi euclidei

Sullo spazio R×dvsp si definisce prodotto scalare o prodotto interno la funzione del genere {F×d×F×d ◃F}

che ai vettori v =∑d

j=1vj ej e w =∑d

j=1wj ej ssocia il valore

v · w :=d∑

j=1

vj wj .

Il prodotto scalare e una funzione

simmetrica : ∀v,w ∈ R×d v · w = w · vbilineare ∀v1, v2,w ∈ R×d (α1 v1 + α2 v2) · w = α1 v1 · w + α2 v2 · w

e quindi ∀v,w1,w2 ∈ R×d v · (α1 w1 + α2 w2) = α1 v · w1 + α2 v · w2

e definita positiva v · v = 0 ⇐⇒ v = 0 .

Per il prodotto scalare si usano anche notazioni come⟨v|w⟩, (v,w), (v|w),

⟨v|w⟩

e ⟨v,w⟩; inoltre iden-

tificando i vettori argomento con matrici di profilo d × 1, cioe con vettori colonna, si puo esprimere

anche come v · w.

Ogni spazio vettoriale finitodimensionale V munito di una base privilegiata B costituisce uno spazio

con prodotto interno che si puo denotare con Vvsp,B, con Vvsp, · o con Vvsp, ⟨⟩. Un tale spazio con

prodotto interno, ovvero con prodotto scalare, viene detto spazio euclideo.

Lo spazio R×dvsp,· risulta essere uno spazio normato definendo

norma (o lunghezza) di v |v| :=√∑d

j=1vj2

e risulta essere uno spazio metrico definendo

distanza pitagorica fra v e w dist(v,w) := |v− w| =√∑d

j=1(vj − wj)2

In uno spazio euclideo V valgono le seguenti disuguaglianze

disuguaglianza di Cauchy-Schwarz |v · w| ≤ |v| · |w|disuguaglianza triangolare ||v| − |w|| ≤ |v + w| ≤ ||v| + |w||

In uno spazio euclideo R×dvsp si possono collocare tutte le nozioni geometriche classiche. Dopo aver

identificato i vettori con i punti ed aver definito la lunghezza di un vettore e la distanza tra due punti,

si hanno i passi che seguono.

Angolo θ compreso tra i vettori v e w:

θ := v,w) , v · w = |v| |w| cos θ , θ = arccos

(v · w|v| |w|

)Due elementi di uno spazio euclideo v e w si dicono vettori ortogonali e si scrive v ⊥ w sse v ·w = 0, ossia

sse i due vettori comprendono un angolo di 90◦.

Vale il teorema di Pitagora v ⊥ w = 0 ⇐⇒ |v + w|2 = |V|2 + |w|2

Si dice base ortonormale di uno spazio euclideo d-dimensionale un insieme di d vettori {e1, e2, ..., ed} tale

che

∀i, j ∈ (d] ei · ej = δi,j .

Il complemento ortogonale di un sottospazio T di V e l’insieme T⊥ := {w ∈ V ST ∀v ∈ T v·w = 0}.

Esso e un sottospazio ed il passaggio al complemento ortogonale e una involuzione fra i sottospazi dello

spazio ambiente.

Sia PrjT la proiezione ortogonale di v sul sottospazio T del quale {u1, ..., ut} e base ortogonale


Alberto Marini

PrjT(v) =t∑

i=1

⟨v|ui⟩u con v−

t∑i=1

⟨v|ui⟩u ∈ T⊥ .

Le basi ortonormali presentano notevoli vantaggi e si costruisce in V una base ortonormale ⟨e1, ..., ed⟩a partire da una base generica ⟨b1, ..., vd⟩ con la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

e1 :=b1|b1|

d2 := b2 −⟨b2|e1

⟩e1 , e2 :=

d2|d2|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

di := bi −⟨bi|e1

⟩− · · · −

⟨bi|ei−1

⟩ei , ei :=

di|di|

per i = 2, 3, ..., d .

;250C trasformazioni lineari

Consideriamo due spazi vettoriali V e W sul campo F e la funzione L ∈ {V −→ W}; L si dice

omomorfismo lineare o trasformazione lineare sse

∀v,w ∈ V , α, β ∈ F L(α v + β w) = αL(v) + β L(w)

Una L ∈ {V ◃W}, se d := dim(V) ed e := dim(W), relativamente ad una B = ⟨e1, ..., ed⟩ base

ordinata di V, e ad una C = ⟨f1, ..., fe⟩ base ordinata di W viene rappresentata da una matrice e× d.

CLB := L(e1) · · · L(ed) =

a1,1 a1,2 . . . a1,da2,1 a2,2 . . . a2,d

......

. . ....

ae,1 ae,2 . . . ae,d

ove ∀i ∈ (d] L(ei) =

e∑j=1

fj aj,i

Infatti se v =:

d∑i=1

xi ei e w := L(v) =:

e∑j=1

wj fj , la trasformazione di v in L(v) viene rappresentata

da

w = A · v ossia

w1

w2...we

=

e1,1 e1,2 . . . e1,ae2,1 e2,2 . . . e2,a

......

. . ....

ed,1 ed,2 . . . ed,a

·

v1v2...vd

Si osservi che le notazioni scelte inducono a visualizzare la trasformazione come modifica di un vettore

sulla destra in uno sulla sinistra.

Per una trasformazione L invertibile la inversa L−1 viene rappresentata dalla matrice A−1, ovvero

B(L−1)C = (CLB)−1 .

Per quanto riguarda la composizione delle trasformazioni lineari, se L ∈ {V ◃W} edM ∈ {W ◃X}la loro composizione M ◦rl L viene rappresentata dal prodotto delle corrispondenti matrici:

D(M ◦rl L)B = (DMC) (CLB) .

Servono in particolare gli endomorfismi lineari, ossia le trasformazioni di {V −→lin V; questi sono

rappresentati da matrici quadrate corrispondenti ad una unica base; il loro insieme lo denotiamo con

LintrV e una matrice rappresentativa con LB.

Una S ∈ LintrV si dice trasformazione simmetrica sse ∀v,w ∈ V⟨S v|w

⟩=⟨v|S w

⟩. Una trasfor-

mazioni lineare e simmetrica sse in una base ortonormale e rappresentata da una matrrice simmetrica.


MATeXp

Consideriamo una matrice quadrata reale di ordine d

P =

d1,1 d1,2 . . . d1,pd2,1 d2,2 . . . d2,p

......

. . ....

dd,1 dd,2 . . . dd,p

= ⟨P1,∗ · · · Pd,∗⟩ .

Essa si dice matrice ortogonale sse P P = 1p . Denotiamo con MatOrtd l’insieme delle matrici reali

ortogonali di ordine d.

P ∈ MatOrt ⇐⇒ ∀i, j = 1, 2, ..., d (Pi,∗) · P∗,j = δi,j ⇐⇒ P−1 = P

P ∈ MatOrt =⇒ P ∈ MatOrt , det(P ) = ±1 ,

∀v,w ∈ V (P v) · (P w) = v · w , |P v| = |v| , v ⊥ w ⇐⇒ P v ⊥ P w

P,Q ∈ MatOrtd =⇒ P Q ∈ MatOrt

;250D sistemi di equazioni lineari e spazi vettoriali

;250E autovettori, autovalori, diagonalizzazione

Consideriamo la matrice quadrata di ordine d sui reali A = [ai,j |: i, j = 1, ..., d] .

Il vettore a ∈ R×dnz si dice autovettore relativo all’autovalore λ per la matrice A sse A a = λ a . Se

a e b sono autovettori della A con autovalore λ, e tale anche ogni loro combinazione lineare. Si dice

autospazio della A relativo all’autovalore λ il sottospazio di R×d costituito da tutti gli autovettori della

A relativi all’autovalore λ ampliato con 0d.

Il polinomio det(A− λ 1d) si dice polinomio caratteristico della A.

Si dice equazione caratteristica della matrice A l’equazione polinomiale

det(A− λ 1d) = det

a1,1 − λ a1,2 · · · a1,da2,1 a2,2 − λ · · · a2,d

......

. . ....

ad,1 ad,2 · · · ad,d − λ

= 0 .

Le definizioni di autovettore, autovalore, polinomio caratteristico ed equazione caratteristica si adot-

tano anche per le trasformazioni lineari attraverso una matrice che le rappresenta, grazie alla loro

invarianza rispetto ai cambiamenti delle basi che modificano le rappresentazioni matriciali delle trasfor-

mazioni.

Se il polinomio caratteristico della matrice A possiede d radici reali λ1, λ2, ..., λd, allora

detA = λ1 λ2 · · · λd e TrA = λ1 + λ2 + · · · + λd.

Se A e una matrice simmetrica, allora tutti i suoi autovalori sono reali , gli autovettori (gli autospazi)

relativi ad autovalori diversi sono ortogonali e ∀v,w ∈ V v · (aw) = (A v) · w .

teorema spettrale

Sia A e una matrice simmetrica e scriviamo ⟨λ1, λ2, ..., λd⟩ la sequenza non decrescente dei suoi au-

tovalori con ripetizioni che rispettano le molteplicita, ⟨u1, u2, ..., ud⟩ la sequenza dei corrispondenti

autovettori e P := u1 u2 · · · ud. Si hanno le seguenti proprieta:

(a) ∀i, j ∈ (d] ui · uj = δi,j ;

(b) questa matrice e ortogonale, P P = 1d ;

(c) P AP = D := diag(λ1, λ2, ..., λd) e A = P DP ;


Alberto Marini

(d) ∀h = 1, 2, 3, ... Ah = P Dh P = diag(λ1

h, λ2h, ..., λd

h)

;

(e) ∀v ∈ R×dnz λ1 ≤ v A v

|v|2≤ λd ,

con le uguaglianze valendo sse v e autovettore relativo all’autovalore λ1 = λd .

Se A non e simmetrica ma presenta d autovalori distinti, allora i corrisondenti autovettori sono linear-

mente indipendenti.

Se A non simmetrica presenta d autovettori u1, ..., ud linearmente indipendenti, con possibili autovalori

molteplici, allora, posto P := u1 u2 · · · ud , si ha P−1AP = diag(λ1, ..., λd) .

problema agli autovalori generalizzato

Sia B una matrice di ordine d invertibile:

trovare l’autovettore u ∈ R×dnz e il corrispondente autovalore λ ∈ R tali che sia A u = λB u .

Il problema si riduce a quello all’inizio della sezione quando B = 1d.

Ogni autovalore λ deve risolvere l’equazione polinomiale det(A− λB) = 0 .

Teorema spettrale generalizzato

Le matrici A e B siano simmetriche, la B sia definita positiva e denotiamo la sequenza non decrescente

degli autovalori dell’equazione polinomiale con ⟨λ1, ..., λd⟩. Allora

(a) tutti i λi sono reali;

(b) esiste una base {u1, ..., ud} di R×d costituita da autovettori corrispondenti ai suddetti autovalori

tale che ∀i, j ∈ (d] ui B uj = δi,j e ui A uj = λiδi,j ;

(c) posto P := u1 u2 · · · ud , si ha P B P = 1d e P AP = diag(λ1, ..., λd)

(d) ∀v ∈ V λ1 ≤ v A v

v B v≤ λd .

;250F forme quadratiche

Una forma quadratica in una d-upla x = ⟨x1, ..., xd⟩ di variabili in un campo F e un polinomio omogeneo

di secondo grado in queste variabili della forma

Q(x) = Q(x1, ..., xd) =

d∑i=1

d∑j=1

ai,j xi xj

= [x1 x2 · · · xd ]

a1,1 a1,2 . . . a1,da2,1 a2,2 . . . a2,d

......

. . ....

ad,1 ad,2 . . . ad,d

x1x2...xd

= x A x ,

ove A e una matrice simmetrica di ordine d.

Una quadrica in 2D nelle variabili x e y ha la forma ax,x x2 + ay,y y

2 + 2 ax,y x y

Una quadrica in 3D nelle variabili x, y e z ha la forma

ax,x x2 + ay,y y

2 + az,z z2 + 2 ax,y x y + 2 ay,z y z + 2 az,x z x

Consideriamo la matrice simmetrica sui reali A =

a1,1 a1,2 . . . a1,da2,1 a2,2 . . . a2,d

......

. . ....

ad,1 ad,2 . . . ad,d

avente come autovalori


MATeXp

λ1, λ2, ...λd e per h = 1, 2, ..., d le sottomatrici associate Ah := A (h],(h] =

a1,1 . . . a1,h...

. . ....

ah,1 . . . ah,h

.

La matrice A e la corrispondente forma quadratica Q(x) = x A x sono dette

positive definite sse ∀x ∈ Vnz Q(x) > 0 sse λ1, λ2, ..., λd > 0 ssa ∀h = 1, 2, ..., d det(Ah) > 0 ;

positive semidefinite sse ∀x ∈ Vnz Q(x) ≥ 0 sse λ1, λ2, ..., λd ≥ 0

indefinite sse al variare di x la Q(x) assume valori sia positivi che negativi;

negative definite sse −A e −Q(x) sono definite positive.

Consideriamo inoltre la sequenza degli autovettori ⟨u1, u2, ..., ud⟩ corrispondente alla sequenza non

decrescente degli autovalori ⟨λ1, λ2, ..., λd⟩ e la matrice P := u1 u2 · · · ud .

Se gli autovettori sono mutuamente ortogonali e di norma 1, ovvero se P ∈ MatOrt, allora :

(a) la trasformazione che porta x in x := P x fa assumere alla forma quadratica Q la forma canonica

Q = λ1 x12 + λ2 x2

2 + · · · + λd xd2 = x diag(λ1, λ2, ..., λd) x;

(b) λ1 ≤ Q(x)

|x|2≤ λd , valendo le due uguaglianze sse x e il corrispondente autovettore .

L’uguaglianza a zero della forma quadratica Q


Alberto Marini

;260 rotazioni

Isometrie (entro uno spazio metrico) con almeno un punto fisso, chiamato centro della rotazione.

Nell’ambito di uno spazio vettoriale R×d sono rapresentate da matrici ortogonali di ordine d e con

determinante 1.

;260A rotazioni in 2D

Rotazione di R× R con centro nell’origine per l’angolo θ R02(θ) =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]

;260B rotazioni in 3D

Ogni rotazione in R×3 lascia invariata una retta che si chiama asse di rotazione. e fa ruotare secondo lo

stesso angolo, detto angolo di rotazione ogni piano ortogonale all’asse. Una qualsiasi rotazione R viene

individuata dal suo asse, che scriviamo L, e dall’angolo di rotazione α; la R si puo quindi denotare

genericamente con R(L, α). Piu operativamente una R si puo individuare in modi diversi, in quanto

anche la L puo essere individuata da diversi gruppi di parametri.

La R puo essere individuata da un punto C dell’asse L e dal versore n = ⟨nx, ny, nz⟩ che precisa una

orientazione della L e da α inteso come angolo con segno collegato ad n dalla regola della mano destra:

un osservatore con i piedi sul punto di intersezione della L con un piano ortogonale Π ed orientato

come n vede i punti di Π ruotati di un angolo α nel verso antiorario sse la ampiezza e positiva.

Per questa rotazione R(L, α) usiamo la piu concreta notazione R(C; n, α) o le equivalenti R(C; nα) e

R(C; a, b, c), dove ⟨a, b, c⟩ := nα = ⟨nx α, ny α, nz α⟩.Le rotazioni piu importanti sono quelle con C = 03, ovvero quelle con l’asse L passante per l’origine;

infatti composizioni di queste con traslazioni sono in grado di fornire qualsiasi rotazione. Per le ro-

tazioni con asse passante per l’origine le notazioni sopra introdotte si possono semplificare trascurando

l’indicazione del centro per il quale si sottintende l’origine stessa: si usano quindi espressioni come

R(n, α), R(nα) e R(a, b, c).

Per le rotazioni con centro nell’origine possono servire anche i parametri r :=√a2 + b2 + c2, ρ :=√

a2 + b2, l’ampiezza angolare θ tale che sia cos θ =c

re sin θ =

ρ

re l’angolo ϕ per il quale si hanno

cos ϕ =a

ρe sin ϕ =

b

ρ.

In effetti l’asse di simmetria si puo esprimere come

L = {t ∈ R :| ⟨a t, b t, c t⟩} = {t ∈ R :| ⟨t sin θ cos ϕ, t sin θ sin ϕ, t cos θ⟩} .

Le rotazioni R(L, α) con centro nell’origine in una data base destrorsa B sono rappresentate da matrici

di ordine 3 ortogonali e con determinante 1; per esse potremmo usare la notazione RB = RB(L, α); se

la base si puo lasciare implicita confondiamo la rotazione con la matrice rappresentativa.

Tutte le rotazioni con centro nell’origine si possono esprimere come prodotti di rotazioni intorno agli

assi coordinati secondo un angolo α per le cui matrici abbiamo:

ROx(θ) =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

ROy(θ) =

cos θ 0 sin θ0 1 0

− sin θ 0 cos θ

ROz(θ) =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

Per il prodotto di due rotazioni con lo stesso asse abbiamo R(L, α1) ◦ R(L, α2) = R(L, α1 + α2) ,

mentre per la rotazione inversa R(L, α)−1

= R(L,−α) .


MATeXp

La rotazione di un angolo α intorno alla retta generica per l’origine L caratterizzabile con i precedenti

parametri n, a, b, c, θ e ϕ, e data dal seguente prodotto di rotazioni intorno ad assi coordinati:

R(L, α) = R(Oz)(ϕ) ◦ R(Oy)(θ) ◦ R(Oz)(α) ◦ R(Oy)(−θ) ◦ R(Oz)(−ϕ) .

La matrice che rappresenta la rotazione R(a, b, c) nella base B = ⟨ex, ey, ez⟩ si puo ottenere anche con

il cambiamento di coordinate che porta a riferirsi alla base B = ⟨ex, ey, ez⟩ con il versore ez coincidente

con n =1

r⟨a, b, c⟩

La matrice di questo cambiamento di cordinate e P = ex ey ez =

p1,1 p1,2 p1,3p2,1 p2,2 p2,3p3,1 p3,2 p3,3

, ove

ez =n

|n|=

p1,3p2,3p3,3

=1

r

abc

, ey =

p1,2p2,2p3,2

=1

ρ

−ba0

, ex =

p1,1p2,1p3,1

= = ey ∧ ez

Quindi si ha la matrice RB(L, α) = P ROz(α) P = P

cos α − sin α 0sin α cos α 0

0 0 1

P .

Si puo ricavare la matrice R = RB(α n) anche dalla uguaglianza

R x = (cos α) x + (1 − cos α)n · x|v|2

+sin α

|v|n ∧ x ove x =

xyz

.

Dalla matrice R = RB(α n) si ottengono l’angolo di rotazione dalla cos α =Tr(R) − 1

2e il vettore

della orientazione dell’asse di rotazione dal sistema di equazioni lineari omogenee (R− 13)n = 03 .

;260CA rotazioni in n dimensioni

Le rotazioni sono individuate dalle matrici ortogonali che rappresentano il collegamento fra due basi

ortonormali.


Alberto Marini

;270 trigonometria razionale

270A trigonometria razionale nel piano

Consideriamo punti nel piano riferito ad un sistema cartesiano Pi = ⟨xi, yi⟩ per i = µu, 1, 2, 3, ...

quadranza di A1 ed A2 Q(A1, A2) := (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

la quadranza quindi a una funzione bivariata simmetrica definita positiva, Q(A1, A2) = 0 sse A1 = A2

consideriamo tre punti del piano Pi con gli indici da trattare ciclicamente (identificando i coni+ 3Z )

e le corrispondenti tre varianze Qi := Q(Ai+1, Ai+2)

i punti A1, A2 ed A3 sono collineari sse vale la uguaglianza delle tre quadranze

(Q1 +Q2 +Q3)2 = 2(Q12 +Q2

2 +Q32) .

una espressione equivalente ha la seguente forma (Q1 +Q2 −Q3)2 = 4Q1Q2 e cycl.

consideriamo quattro punti Ai per i = 1, 2, 3, 4 con gli indici da trattare ciclicamente (identificando

i = 5 con i = 1 ecc.) e definiamo le corrispondenti quattro quadranze Qi,i+1 := Q(Ai, Ai+1

i quattro punti Pi sono collineari sse vale la seguente uguaglianza delle quattro quadranze:((Q1,2 +Q2,3 +Q3,4 +Q4,1)2 − 2 (Q1,2

2 +Q2,32 +Q3,4

2 +Q4,12)2

= 64Q1,2Q2,3Q3,4Q4,1

consideriamo due rette R1 ed R2 caratterizzate, risp., dalle equazioni ai x+ bi y+ ci = 0 ; ricordiamo

che esse sono parallele sse a1 a2 − b1 b2 = 0 e sono perpendicolari sse a1 a2 + b1 b2 = 0 ;

si dice spread delle due rette sprd(R1,R2) :=(a1 a2 − b1 b2)2

(a12 + b12) (a22 + b2

2)

detto A l’intersezione delle due rette, θ uno dei due angoli tra le due rette, preso un punto C sulla R1

e detto B la proiezione di C sulla R2, per lo spread si ha sprd(R1,R2) =Q(B,C)

Qcl(A,C)= sin2 θ

questa misura, evidentemente, e simmetrica nelle due rette, non dipende dalla scelta di C e non cambia

scambiando θ con 180◦ − θ, cioe non dipende da una orientazione delle rette.


MATeXp

;280 Quaternioni ed altri numeri ipercomplessi

;280A quaternioni

algebra unitale dei quaternioni spazio vettoriale quadridimensionale sui reali i cui elementi si possono

scrivere

q = a 1 + b i + c j + d k :=⟨qa, b, c, d

⟩per a, b, c, d ∈ R ,

spazio munito del prodotto bilineare “·” (di Hamilton) che soddisfa le seguenti uguaglianze

(1) ∀q ∈ Qtrn 1 q := q 1 = q , i2 = j2 = k2 = i j k = −1 .

qui con Qtrn denotiamo l’insieme dei quaternioni;

il prodotto dei quaternioni viene individuato equivalentemente dalla seguente tavola di moltiplicazione,

nella quale si evidenzia che 1 ha il ruolo di unita :

(3)

1 i j k

1 1 i j ki i −1 k −jj j −k −1 ik k j −i −1

.

l’algebra dei quaternioni si denota con H =⟨R×4

V sp, ·⟩

nel quaternione q = a 1+b i+c j+d k si individuano la componente scalare o temporale sclr(q) := a 1 e

la componente vettoriale o spaziale o pura vect(Q) := b i + c j + d k

i quaternioni scalari si identificano con i numeri reali e nella scrittura del generici quqternione si

trascura 1; i quaternioni vettoriali si identificano spesso con i vettori di R×3e su di essi si possono

calcolare i prodotti scalare e vettoriale; i quaternioni scalari costituscono il centro di H, i quaternioni

vettoriali una sottoalgebra anticommutativa di H

quaternione coniugato di q si definisce q∗ := a 1− b i− c j− d k

(q∗)∗ = q , sclr(q) =1

2(q + q∗) , vect(q) =

1

2(q− q∗)

q∗ = 12 (q + i · q · i + j · q · j + k · q · k)

ogni quaternione si puo rappresentare nella forma q = Z[1] + Z[2] · j con Z[1] := a + b i e

Z[2] := c+ d i

inoltre si puo rappresentare nella forma matriciale q =

[z w

−w∗ z∗

]:=

[a+ i b c+ i d−c+ i d a− i b

]norma al quadrato di q ||q||2 := q · (q∗) = a2 + b2 + c2 + d2 = (q∗) · qper essa valgono le proprieta delle norme al quadrato; quindi si puo definire come distanza fra due

quaternioni q1 e q2 distH(q1 e q2) := ||q1 − q2||si dice quaternione unitario ogni quaternione di norma 1; denotiamo con QtnU il loro insieme

si dice inverso del quaternione q q−1 =1

q:=

q∗

||q||2

se q = Z[1] + j · j , si ha:1

q=

1

||q||2((Z[1])

∗ − Z[2] · j)

se q =

[z w

−w∗ z∗

], si ha

1

q=

1

||q||2

[z∗ −w

−w∗ z

]


Alberto Marini

radice quadrata, esponenziale e logaritmo

rotazioni in R×3 espresse mediante quaternioni

;280B octonioni

per algebra degli octonioni si intende lo spazio vettoriale R×8 la cui base canonica denotiamo con

⟨1, i, j, k, l,m, n, o⟩ munito del prodotto per il quale 1 e unita bilatera e viemne completato dalla

seguente tavola di moltiplicazione

i j k l m n o

i −1 k −j m −l −o nj −k −1 i n o −l −mk j −i −1 o −n m −ll −m −n −o −1 i j km l −o n −i −1 −k jn o l −n −j k −1 −io −n m l −k −j i −1

.

queto prodotto non e associativo, ad es.

;280C esadecanioni


MATeXp

;300 limiti

limx→0

sinx

x= 1 , lim

x→0

tanx

x= 1 , lim

x→0

1 − cosx

x= 0 , lim

x→0

1 − cosx

x2=

1

2

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n

≈= 2.71828 18284 59045 , limx→∞

(1 +

1

x

)x

= e

∀α ∈ R,m ∈ N limx→∞

(1 +

α

x

)mx

= eαm In partic. limx→∞

(1 +

α

x

)x= eα , lim

x→∞

(1 − 1

x

)x

=1

e

limx→0

(1 + αx)1x = eα In partic. lim

x→0(1 + x)

1x = e , lim

x→0(1 − x)

1x =

1

e

limx→0

ln(1 + x)

x= 1 , ∀a ∈ R+ lim

x→0

ax − 1

x= ln a , lim

x→0

ex − 1

x= 1 , lim

x→0

(1 + x)α − 1

x= α

∀p ∈ R+ limx→+∞

lnx

xp= 0 , lim

x→0+xp lnx = 0 , lim

x→+∞(x− α lnx) = +∞

∀M ∈ R limx→+∞

ex

xM= +∞ , lim

x→+∞xM e−x = 0

γem := limn→+∞

n∑j=1

1

j− ln n

≈ = 0.57721 56649 01532 costante di Eulero-Mascheroni


Alberto Marini

;320 derivate

Sia f(x) funzione definita in un intervallo reale I a valori reali; si dice derivabile in I sse

∀x ∈ I Dx(f(x)) :=df

dx(x) := f ′(x) := lim

∆x→0

f(x+ ∆x) − f(x)

∆x=i∃ lim

∆x→0

∆f

∆x

∀α ∈ Rd

dx(xα) = αxα−1 . In partic. ∀C ∈ R

d

dxC = 0 ,

d

dx

√x =

1

2√x

,d

dx

1

x= − 1

x2

∀n = 0, 1, 2, ...d

dxn√x =

1

n

n√xn−1 , ∀β ∈ R+

d

dx

1

xβ= −βx

β−1

x2β= −βx−β−1

∀b ∈ R+ \ {1} d

dx(bx) = bx ln b . In partic.

d

dx(ex) = ex ,

d

dx(e−x) = −e−x ,

d

dx(eax) = aeax

d

dx(loga x) =

1

xloga e =

1

ln a x,

d

dx(lnx) = Dx(loge x) =

1

xd

dx(sinx) = cosx ,

d

dx(cosx) = − sinx

d

dxsecx =

d

dx

[1

cosx

]=

sinx

cos2 x=

tanx

cosx,

d

dxcsc x =

d

dx

[1

sinx

]= − cosx

sin2 x=

cotx

sinxd

dxtanx =

d

dx

[sinx

cosx

]=

cos2 x+ sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x =

1

cos2 xd

dxcotx =

d

dx

[cosx

sinx

]=

− sin2 x− cos2 x

sin2 x= −1 − cot2 x = − 1

sin2 x

y = arcsinx :d

dxarcsinx =

1

Dy sin y=

1

cos y=

1√1 − sin2 y

=1√

1 − x2

y = arccosx :d

dxarccosx =

1

Dy cos y= − 1

sin y= − 1√

1 − cos2 x= − 1√

1 − x2

y = arctanx :d

dxarctanx =

1

Dy tan y=

1

1 + tan2 y=

1

1 + x2

y = arccotx :d

dxarccotx =

1

Dy cot y=

1

1 + cot2 y= − 1

1 + x2

d

dx(sinhx) = coshx ,

d

dx(coshx) = − sinhx

d

dxtanh x =

d

dx

[sinh x

cosh x

]=

cos2 x+ sin2 x

cos2 x= 1 − tanh2 x =

1

cosh2 xd

dxcoth x =

d

dx

[cosh x

sinh x

]= 1 − coth2 x = − 1

sin2 x

y = arsinhx :d

dxarsinhx =

1

Dy sinh y=

1

cosh y=

1√1 + x2

y = arcoshx :d

dxarcoshx =

1

Dy cosh y= − 1

sinh y= − 1√

1 − cosh2 x= − 1√

x2 − 1

y = artanhx :d

dxartanhx =

1

Dy tanh y=

1

1 + tanh2 y=

1

1 + x2

y = arcothx :d

dxarcothx =

1

Dy coth y=

1

1 − x2

;320B regole di derivazione

f(x) e g(x) derivabili in x Dx[αf(x) + βg(x)] = αDxf(x) + βDxg′(x)

Dx[f(x)g(x)] = Dxf(x) · g(x) + f(x) ·Dxg(x) , Dx

[f(x)

g(x)

]=f ′(x)g(x) − f(x(g′(x)

g(x)


MATeXp

Dxf(g(x)) = Dg(x(g(x)) ·Dxg(x) , Dxf(g(h(x))) = Dg[f((h(x)))] ·Dh[g(h(x))] ·Dxh(x)

Dxef(x) = ef(x) ·Dxf(x) , Dx ln |f(x)| =

Dxf(x)

f(x)

Dx[f(x)]g(x) = [f(x)]g(x)[g′(x) · ln f(x) +

g(x) f ′(x)

f(x)

]


Alberto Marini

;350 serie numeriche

1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · · +

1

n!+ · · · = e , 1 − 1

1!+

1

2!− 1

3!+ · · · + (−1)n

1

n!± · · · =

1

e

1 − 1

2+

1

3− 1

4+ · · · + (−1)n−1 1

n+ · · · = ln 2 , 1 +

1

2+

1

4+

1

8+ · · · +

1

2n+ · · · = 2

1 − 1

2+

1

4− 1

8+ · · · +

(−1)n

2n+ · · · =

2

3, 1 − 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · · − 1

4n− 1+

1

4n+ 1− · · · =

π

41

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+· · ·+ 1

n(n+ 1)+· · · = 1 , 1+

1

1 · 3+

1

3 · 5+

1

5 · 7+· · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)+· · · =

1

2

1

1 · 3+

1

2 · 4+

1

3 · 5+ · · · +

1

(n− 1)(n+ 1)+ · · · =

3

4

1

3 · 5+

1

7 · 9+

1

11 · 13+ · · · +

1

(4n− 1)(4n+ 1)+ · · · =

1

2− π

8

1

1 · 2 · 3+

1

2 · 3 · 4+

1

3 · 4 · 5+ · · · +

1

n(n+ 1)(n+ 2)+ · · · =

1

4

1

1 · 2 · · ·h+

1

2 · 3 · · · (h+ 1)+

1

3 · 4 · · · (h+ 2)+ · · · +

1

n(n+ 1) · · · (n+ h− 1)+ · · · =

1

(h− 1) · (h− 1)!

1 +1

22+

1

32+

1

42+ · · · +

1

n2+ · · · =

π2

6, 1 − 1

22+

1

32− 1

42+ · · · + (−1)n−1 1

n2+ · · · =

π2

12

1 +1

24+

1

34+

1

44+ · · · +

1

n4+ · · · =

π4

90, 1 − 1

24+

1

34− 1

44+ · · · + (−1)n+1 1

n4+ · · · =

7π4

720

1 +1

24+

1

34+

1

44+ · · · +

1

n4+ · · · =

π4

90, 1 − 1

24+

1

34− 1

44+ · · · + (−1)n+1 1

n4+ · · · =

7π4

720

1+1

32+

1

52+− 1

72+ · · ·+ 1

(2n+ 1)2+ · · · =

π2

8, 1+

1

34+

1

54+− 1

74+ · · ·+ 1

(2n+ 1)4+ · · · =

π4

96

;350A serie per numeri di Bernoulli e di Eulero

1 +1

22k+

1

32k+

1

42k+ · · · +

1

n2k+ · · · =

π2k 22k−1

(2k)!Brnlk

1 − 1

22k+

1

32k− 1

42k+ · · · + (−1)n−1 1

n2k+ · · · =

π2k (22k−1 − 1)

(2k)!Brnlk

1 +1

32k+

1

52k+

1

72k+ · · · + (−1)n−1 1

(2n− 1)2k+ · · · =

π2k (22k−1 − 1)

2 (2k)!Brnlk

1 − 1

32k+1+

1

52k+1− 1

72k+1+ · · · + (−1)n−1 1

(2n− 1)2k+1+ · · · =

π2k (22k−1 − 1)

2 (2k)!Eulk


MATeXp

;360 successioni e serie di funzioni


Alberto Marini

;370 sviluppi in serie di potenze

In questa sezione assumiamo che sia α ∈ R e a, b ∈ Rnz

;370A sviluppi in serie di potenze di espressioni algebriche

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)

6x3 · · · +

(a

n

)xn + · · · per − 1 < x < 1

1

1 − x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · + xn + · · · per − 1 < x < 1

1

1 + x= 1 − x+ x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + · · · per − 1 < x < 1

1

a− b x=

1

a

(1 +

b x

a+

(b x

a

)2

+ · · · +

(b x

a

)n

+ · · ·

)per |x| < |a|

|b|

= − 1

b x

(1 +

a

b x+( a

b x

)2+ · · · +

( a

b x

)n+ · · ·

)per |x| > |a|

|b|1

(1 − x)2= 1 + 2x+ 3x2 + · · · + (n+ 1)xn + · · · per − 1 < x <≤ 1

√1 + x = 1 +

x

2− x2

8+x3

16− 5x4

128+ · · · + +

(1/2

n

)xn per − 1 < x < 1

1√1 + x

= 1 − x

2+

3x2

8− 5, x3

16+

35x4

128− · · · +

(−1/2

n

)xn + · · · per − 1 < x ≤ 1

;370B sviluppi in serie di potenze per esponenziali

ex = 1 + x+x2

2+x3

3!+ · · · +

xn

n!+ · · · ‘ per −∞ < x < +∞

ax = 1 + x ln a+(x ln a)2

2+

(x ln a)3

3!+ · · · +

(x ln a)n

n!+ · · · per −∞ < x < +∞

1

ex − 1=

1

x− 1

2+

x

12− x3

30 4!+ · · · +

Brnl2n x2n−1n

(2n)!+ · · · per − 2π < x < 0 e 0 < x < 2π

sinhx = x+x3

3!+x5

5!+ · · · +

x2n+1

(2n+ 1)!+ · · · per −∞ < x < +∞

coshx = 1 +x2

2!+x4

4!+ · · · +

x2n

(2n)!+ · · · per −∞ < x < +∞

tanhx = x− x3

3!+

2x5

15− 17x7

315+ · · · +

22n(22n − 1)

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · perπ

2< x <

π

2

cothx =1

x+x

3− x3

45+

2x5

945+ · · · +

22n

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · per π < x < 0 e 0 < x < π


MATeXp

1

sinhx=

1

x− x

6+

7x3

360+ · · · +

22n − 2

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · per π < x < 0 e 0 < x < π

csch x =1

coshx= 1 − x2

2+

5x4

24+ · · · +

Eul2n(2n)!

x2n + · · · perπ

2< x <

π

2

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · · + (−1)n−1 x

n

n+ · · · per − 1 < x ≤ 1

ln(a+ x) = ln a+x

a− 1

2

(xa

)2+

1

3

(xa

)3− · · · + (−1)n−1 1

n

(xa

)n+ · · · per − a < x ≤ a

ln(1 + x) =x

1 + x+

1

2

(x

1 + x

)2

+ · · · +1

n

(x

1 + x

)n

+ · · · per − 1

2< x

arsinhx = x− x3

6+

3x5

40− · · · + (−1)n

(2n− 1)!!

(2n)!! (2n+ 1)x2n+1 + · · · per − 1 < x < 1

arcoshx = ln |2x| − 1

4x2− 3

32x4− · · · − (2n− 1)!!

(2n)!! 2nx2n− · · · per |x| > 1

artanhx = x+x3

3+x5

5+ · · · +

x2n+1

2n+ 1+ · · · per − 1 < x < 1

arcothx =1

x+

1

3x3+

1

5x5+ · · · +

1

(2n+ 1) 5x2n+1per |x| > 1

;370C sviluppi in serie di potenze per espressioni trigonometriche

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · + (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ · · · per −∞ < x < +∞

cosx = 1 − x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · + (−1)n

x2n

(2n)!+ · · · per −∞ < x < +∞

tanx = x+x3

3+

2x5

15+

17x7

315+ · · · + (−1)n−1 22n(22n − 1)

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · perπ

2< x <

π

2

cotx =1

x− x

3+x3

45+

2x5

945− · · · + (−1)n

22n

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · per π < x < 0 e 0 < x < π

secx =1

cos x= 1 − x2

2+

5x4

24+

61x6

6!+ · · · + (−1)n

Eul2n(2n)!

x2n + · · · perπ

2< x <

π

2

csc x =1

x+x

6+

7x3

360+

31x5

3 7!+ · · · + (−1)n−1 22n − 2

(2n)!Brnl2n x

2n−1 + · · · per π < x < π , x = 0

arcsinx = x+x3

6+

3, x5

40− +

(2n1)!!

(2n)!! (2n+ 1)x2n+1 + · · · per − 1 < x < 1


Alberto Marini

arctanx = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · · + +(−1)n

x2n+1

2n+ 1+ · · · per − 1 < x < 1

arccosx =π

2− arcsin x per − 1 < x < 1

arccotx =π

2− arctan x per − 1 < x ≤ 1


MATeXp

;380 prodotti infiniti


Alberto Marini

;400 integrali

;400A schemi di integrazione

∫dx [g(x)]b g′(x) =

1

b+ 1[g(x)]b+1 + C ,

∫dx

g′(x)

g(x)= ln |g(x)| + C∫

dx sin[g(x)] g′(x) = − cos[g(x)] ,

∫dx cos[g(x)] g′(x) = sin[g(x)]∫

dx1

cos2[g(x)]g′(x) = tan[g(x)] + C ,

∫dx

1

sin2[g(x)]g′(x) = cot[g(x)] + C

∫dx ag(x) · g′(x) =

ag(x)

ln a+ C

;400B regole di integrazione∫dx [αf(x) + βg(x)] = α

∫dx f(x) + β

∫dx g(x)∫ c

a

dx f(x) =

∫ b

a

dx f(x) +

∫ c

b

dx f(x)

,


MATeXp

;420 antiderivate di integrandi algebrici

;420A antiderivate di integrandi con ax+ b∫dx a = ax+ C con a ∈ R∫

dx xα =xα+1

α+ 1+ C con α ∈ R \ {−1}∫

dx1

x= ln |x| + C ,

∫dx

1

xn= − 1

(n− 1)xn−1+ C∫

dx bx =1

ln bbx + C con b ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) in partic.

∫dx ex = ex + C∫

dx (a x+ b)n =(a x+ b)n+1

a (n+ 1)con n = 1∫

dx

ax+ b=

1

aln |a x+ b| ,

∫dx

(a x+ b)n=

1

n (n− 1) (a x+ b)n−1con n = 1∫

dx x (a x+ b)n =1

a2

((a x+ b)n+2

n+ 2− b(a x+ b)n+1

n+ 1

)con n = −1,−2∫

dxx

ax+ b=x

a+

b

a2ln |a x+ b|∫

dxx

(a x+ b)n=

1

a2

(b

(n− 1) (a x+ b)n−1− 1

(n− 2) (a x+ b)n−2

)con n = 1∫

dxx2

a x+ b=

x

2a+bx

a2+b2

a3ln |a x+ b|∫

dxxn

a x+ b=

xn

na− b xn−1

(n− 1)a2+

b2xn−2

(n− 2)a3− · · ·

+(−1)n−1 bn−1 x

an+ (−1)n−1 b

n−1 x

anln |a x+ b| per n = 3, 4, 5, ...∫

dxx

(a x+ b)2=

b

a2 (a x+ b)+

1

a2ln |a x+ b|∫

dx x2 (a x+ b)n =1

a3

((a x+ b)n+3

n+ 3− 2b(a x+ b)n+2

n+ 2+b2(a x+ b)n+1

n+ 1

)con n = −1,−2,−3∫

dxx2

(a x+ b)n=

1

a3

(b2

(n− 1)(a x+ b)n−1− 2 b

(n− 2)(a x+ b)n−2+

1

(n− 3)(a x+ b)n−3

)con n = 1, 2, 3∫

dxx2

a x+ b=

1

a3

((a x+ b)2

2− 2 b (a x+ b) + b2 ln |a x+ b|

)∫dx

x2

(a x+ b)2=

1

a3

(a x+ b− 2 b ln |a x+ b| − b2

a x+ b

)∫dx

x2

(a x+ b)3=

1

a3

(ln |a x+ b| +

2 b

a x+ b− b2

2(a x+ b)2

)∫

dx

x(a x+ b)=

1

bln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣∫dx

x2 (a x+ b)=

1

b x+a

b2ln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣∫dx

x3 (a x+ b)=

2ax− b

2b2 x2− a2

b3ln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣2016-04-11 070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici 77

Alberto Marini

∫dx

xn (a x+ b)= − 1

(n− 1) b xn−1+

a

(n− 2) b2 xn−2− a2

(n− 3) b3 xn−3+ · · ·

+ (−1)n−1 an−2

bn−1 x+ (−1)n

an−1

bnln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣ per n = 4, 5, 6, ...∫dx

x (a x+ b)2=

1

b (a x+ b)− 1

b2ln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣∫dx

x (a x+ b)n=

1

b (n− 1) (a x+ b)n−1+

1

b

∫dx

x (a x+ b)n−1per n = 1∫

dx

x2 (a x+ b)2= − 2ax+ b

b2 x (a x+ b)+

2 a

b3ln

∣∣∣∣a x+ b

x

∣∣∣∣;420B antiderivate di integrandi con

√ax+ b∫

dx√a x+ b =

2(a x+ b)3/2

3a∫dx x

√a x+ b =

2(a x+ b)3/2

15a2(3ax− 2b)∫

dx x2√a x+ b =

2(a x+ b)3/2

105a2(15 a2 x2 − 12abx+ 8b2)∫

dx xn√a x+ b =

2

a(2n+ 3)

(xn (a x+ b)3/2 − b n

∫dx xn−1

√a x+ b

)∫dx

√a x+ b

x= 2

√a x+ b+ b

∫dx

x√a x+ b

V.(1)∫dx

√a x+ b

xn=

1

b(n− 1)

((a x+ b)3/2

xn−1+

2n− 5)a

2

∫dx

√a x+ b

xn−1

)∫

dx√a x+ b

=2√a x+ b

a∫dx

x√a x+ b

=2 b

√a x+ b

a2+

2(a x+ b)3/2

3 a2∫dx

x2√a x+ b

=2 b2

√a x+ b

a3− 4b(a x+ b)3/2

3a3+

2(a x+ b)5/2

5 a3∫dx

xn√a x+ b

=2

a(2n+ 1)

(xn

√a x+ b− b n

∫dx

xn−1

√a x+ b

)

(1)

∫dx

x√a x+ b

=

1√b

ln∣∣∣√a x+b−

√b√

a x+b+√b

∣∣∣ sse b > 0

2√−b

arctan√

a x+b−b sse b < 0∫

dx

xn√a x+ b

= −√a x+ b−

√b

√a x+ b+

√b− (2n− 3)a

(2n− 2)b

∫dx

xn−1√a x+ b

per n = −1∫dx

c+√a x+ b

=2

a

(√a x+ b− c ln

∣∣∣c+√a x+ b

∣∣∣)∫dx

√a x+ b

c+√a x+ b

=2

a

(a x+ b− 2 c

√a x+ b+ 2 c2 ln

∣∣∣c+√a x+ b

∣∣∣)∫dx

x

c+√a x+ b

=1

a2

(2(c2 − b)

√a x+ b− c (a x+ b) +

2

3(a x+ b)3/2 − 2 c (c2 − b) ln

∣∣∣c+√a x+ b

∣∣∣)


MATeXp

∫dx√

a x+ b(c+

√a x+ b

) =2

aln∣∣∣c+

√a x+ b

∣∣∣∫dx

(a x+ b)(c+

√a x+ b

) =2

a cln

∣∣∣∣ √a x+ b

c+√a x+ b

∣∣∣∣∫dx(

c+√a x+ b

)2 =2 c

a(c+

√a x+ b

) +2

aln∣∣∣c+

√a x+ b

∣∣∣∫dx

√a x+ b(

c+√a x+ b

)2 =2√a x+ b

a− 2 c2

a(c+

√a x+ b

) − 4 c

aln∣∣∣c+

√a x+ b

∣∣∣∫dx

x(c+

√a x+ b

)2 =1

a2

(−4 c

√a x+ b+ a x+

2 c(c2 − b)

c+√a x+ b

+ 2(3 c2 − b) ln∣∣∣c+

√a x+ b

∣∣∣)∫dx

√a x+ b

(c+

√a x+ b

)2 = − 2

a(c+

√a x+ b

)∫

dx

(a x+ b)(c+

√a x+ b

)2 =1

a c2

(2 c

c+√a x+ b

+ 2 ln

∣∣∣∣ √a x+ b

c+√a x+ b

∣∣∣∣)

;420C antiderivate di integrandi con ax+ b e cx+ d

Consideriamo i reali a, b, c e d, poniamo k := ad− bc e supponiamo che tale numero sia diverso da 0;

consideriamo inoltre m = 2, 3, ... ed n = 1, 2, 3, ... .

∫dx

(ax+ b)n (cx+ d)m=

1

k(m− 1)

[1

(ax+ b)n−1 (cx+ d)m−1+ a(m+ n− 2)

∫dx

(ax+ b)n (cx+ d)m−1

]∫

dx

(ax+ b) (cx+ d)=

1

kln

∣∣∣∣ax+ b

cx+ d

∣∣∣∣∫dx

x

(ax+ b) (cx+ d)= −1

k

(b

aln |ax+ b| − d

cln |cx+ d|

)∫

dx

(ax+ b)2 (cx+ d)=

1

k

(1

a x+ b+c

kln

∣∣∣∣ax+ b

cx+ d

∣∣∣∣)∫dx

x

(ax+ b)2 (cx+ d)=

b

ak(ax+ b)+

d

k2ln

∣∣∣∣ax+ b

cx+ d

∣∣∣∣∫dx

x2

(ax+ b)2 (cx+ d)= − b2

a2k(ax+ b)+

1

k2

(−b(k + ad)

a2ln |ax+ b| +

d2

cln |cx+ d|

)∫

dx

x (ax+ b) (cx+ d)=

1

bdln |x| − a

bkln |ax+ b| +

c

d kln |cx+ d|

∫dx

dx

x2 (ax+ b)2 (cx+ d)= −a

2 d2 + b2 c2

b2 d2 kln |x| − 1

bdx+

a2

b2 kln |ax+ b| +

c2

d2 kln |cx+ d|∫

dxax+ b

cx+ d=

ax

c− k

c2ln |cx+ d|


Alberto Marini

∫dx

(ax+ b)n

(cx+ d)m=

1

k(m− 1)

((ax+ b)n+1

(cx+ d)m−1+ (m− n− 2) a

∫dx

(ax+ b)n

(cx+ d)m−1

)= − 1

(m− n− 1) c

((ax+ b)n

(cx+ d)m−1− k n

∫dx

(ax+ b)n−1

(cx+ d)m

)∫dx

√x+ b

x+ d=

√x+ b

√x+ d+ (b− d) ln

(√x+ d+

√x+ d

)∫dx

√b− x

d+ x=

√b− x

√x+ d+ (b+ d) arcsin

√d+ x

b+ d

∫dx

(cx+ d)√ax+ b

=

1√−k c

ln

∣∣∣∣√c(ax+b)−√−k√

c(ax+b)+√−k

∣∣∣∣ se c > 0 , k < 0

2√kc

arctan√

c(ax+b)k se c, k > 0

;420D antiderivate di integrandi con a2 x2 ± c2

Consideriamo a e c i reali positivi.

∫dx

a2x2 + c2=

1

acarctan

ax

c=: A1∫

dx

a2x2 − c2=

1

2acln

∣∣∣∣ax− c

ax+ c

∣∣∣∣ =: B1∫dx

(a2x2 + c2)2=

x

2c2(a2x2 + c2+

1

2ac3arctan

ax

c=: A2∫

dx

(a2x2 − c2)2= − x

2c2(a2x2 − c2− 1

4ac3ln

∣∣∣∣ax− c

ax+ c

∣∣∣∣ =: B2

An :=

∫dx

(a2x2 + c2)n=

x

2(n− 1)c2(a2x2)n−1+

2n− 3

2(n− 1)c2An−1

Bn :=

∫dx

(a2x2 − c2)n=

x

2(n− 1)c2(a2x2)n−1− 2n− 3

2(n− 1)c2Bn−1

∫dx x (a2x2 ± c2)n =

(a2x2 ± c2)n+1

2(n+ 1)a2per n = −1∫

dxx

a2x2 ± c2=

1

2a2ln∣∣a2x2 ± c2

∣∣∫dx

x

(a2x2 ± c2)n=

1

2 a2 (n− 1) (a2 x2 ± c2)n−1per n = 1∫

dx

x (a2x2 ± c2)= ± 1

2c2ln

∣∣∣∣ x2

a2x2 ± c2

∣∣∣∣∫dx

x2 (a2x2 + c2)= − 1

c2 x− a

c3arctan

ax

c∫dx

x2 (a2x2 − c2)=

1

c2 x+

a

2 c3ln

∣∣∣∣ax− c

ax+ c

∣∣∣∣∫dx

x2

a2x2 + c2=

x

a2− c

a3arctan

ax

c


MATeXp

∫dx

x2

a2x2 − c2=

x

a2+

c

2 a3ln

∣∣∣∣ax− c

ax+ c

∣∣∣∣∫dx

xn

a2x2 ± c2=

xn−1

a2(n− 1)∓ c2

a2

∫dx

xn−2

a2x2 ± c2per n = 1∫

dxx2

(a2x2 + c2)n= − x

2(n− 1)a2(a2x2 + c2)n−1+

1

2(n− 1)a2An−1 per n = 1∫

dxx2

(a2x2 − c2)n= − x

2(n− 1)a2(a2x2 − c2)n−1+

1

2(n− 1)a2Bn−1 per n = 1∫

dxxm

(a2x2 ± c2)n=

1

a2

∫dx

xm−2

(a2x2 ± c2)n−1∓ c2

a2

∫dx

xm−2

(a2x2 ± c2)n∫dx

x (a2 x2 ± c2)n= ± 1

2c2(n− 1)(a2x2 ± c2)n−1± 1

c2

∫dx

(a2 x2 ± c2)n−1per n = 1∫

dx

x2 (a2 x2 ± c2)n= ± 1

c2

∫dx

x2 (a2 x2 ± c2)n−1∓ a2

c2

∫dx

(a2x2 ± c2)n∫dx

xm (a2 x2 ± c2)n= ± 1

c2

∫dx

xm (a2 x2 ± c2)n−1∓ a2

c2

∫dx

xm−2 (a2 x2 ± c2)n∫dx

(p x+ q) (a2 x2 + c2)=

1

a2 q2 + c2 p2

(p

2ln

(p x+ q)2

a2 x2 + c2+a q

2 carctan

a x

c

)∫

dx

(p x+ q) (a2 x2 − c2)=

1

a2 q2 − c2 p2

(p

2ln

(p x+ q)2

|a2 x2 − c2|+a q

2 cln

∣∣∣∣a x− c

a x+ c

∣∣∣∣)∫dx

x

(p x+ q) (a2 x2 + c2)=

1

a2 q2 + c2 p2

(−q

2ln

(p x+ q)2

a2 x2 + c2+c p

aarctan

a x

c

)∫dx

x

(p x+ q) (a2 x2 − c2)=

1

a2 q2 − c2 p2

(−q

2ln

(p x+ q)2

|a2 x2 − c2|− c p

2 aln

∣∣∣∣a x− c

a x+ c

∣∣∣∣)∫dx

x2

(p x+ q) (a2 x2 + c2)=

1

a2 q2 + c2 p2

(q2

pln |p x+ q| +

c2 p

2 a2ln (a2 x2 + c2) − c q

aarctan

a x

c

)∫dx

x2

(p x+ q) (a2 x2 − c2)=

1

a2 q2 − c2 p2

(q2

pln |p x+ q| − c2 p

2 a2ln∣∣a2 x2 − c2

∣∣+c q

2 aln

∣∣∣∣a x− c

a x+ c

∣∣∣∣)

;420E antiderivate di integrandi con√a2 x2 ± c2

∫dx√a2 x2 ± c2 =

1

2x√a2x2 ± c2 ± c2

2aln∣∣∣ax+

√a2x2 ± c2

∣∣∣∫dx√

a2 x2 ± c2=

1

aln∣∣∣ax+

√a2x2 ± c2

∣∣∣∫dx

x√a2 x2 ± c2

=1

a2

√a2x2 ± c2∫

dx

x√a2 x2 + c2

= −1

cln

∣∣∣∣∣√a2x2 + c2 + c

x

∣∣∣∣∣∫

dx

x√a2 x2 − c2

=1

carctan

√a2x2 + c2

c

[=

1

carccos

c

axse x > 0

]


Alberto Marini

∫dx x

√a2 x2 ± c2 =

1

3 a2(a2 x2 ± c2)3/2

(1)

∫dx x2

√a2 x2 ± c2 =

x

4 a2(a2 x2 ± c2)3/2 ∓ c2 x

8 a2

√a2 x2 ± c2 − c4

8 a3ln∣∣∣ax+

√a2x2 ± c2

∣∣∣∫dx

√a2 x2 + c2

x=√a2 x2 + c2 − c ln

∣∣∣∣a2 x2 + c2

x

∣∣∣∣∫dx

√a2 x2 − c2

x=√a2 x2 − c2 − c arctan

√a2 x2 − c2

c∫dx

x2√a2 x2 ± c2

= ∓√a2 x2 ± c2

c2 x∫dx

xn√a2 x2 ± c2

=xn−1

√a2 x2 ± c2

na2∓ (n− 1) c2

na2

∫dx

xn−2

√a2 x2 ± c2

per n = 1, 2, 3, ...∫dx xn

√a2 x2 ± c2 =

xn−1 (a2 x2 ± c2)3/2

(n+ 2) a2∓ (n− 1) c2

(n+ 2) a2

∫dx xn−2

√a2 x2 ± c2 per n = 1, 2, 3, ...∫

dx

√a2 x2 ± c2

xn= ∓ (a2 x2 ± c2)3/2

(n− 1) c2 xn−1∓ (n− 4) a2

(n− 1) c2

∫dx

√a2 x2 ± c2

xn−2per n = 1, 2, 3, ...∫

dx

xn√a2 x2 ± c2

= ∓√

(a2 x2 ± c2)

(n− 1) c2 xn−1∓ (n− 2) a2

(n− 1) c2

∫dx

xn−2√a2 x2 ± c2

per n = 1, 2, 3, ...∫dx

(x− b)√x2 − b2

= −1

b

√x+ b

x− bper b < 0 ∧ b > 0∫

dx

(x− b)√p x2 + q

=

[[t :=

1

x− b

]]= −sign(b)

∫dt√

(p b2 + q)t2 + 2 p b t+ pper b ∈ R

∫dx

(x− b)n√p x2 + q

=

[[t :=

1

x− b

]]= −sign(b)

∫dt

tn−1√(p b2 + q)t2 + 2 p b t+ p

per b ∈ R

∫dx (a2 x2 ± c2)3/2 =

x

4(a2 x2 ± c2)3/2 ± 3 c2 x

8

√a2 x2 ± c2 +

3 c4

8 aln∣∣∣a x+

√a2 x2 ± c2

∣∣∣∫dx x (a2 x2 ± c2)3/2 =

1

5 a2(a2 x2 ± c2)5/2∫

dx x2 (a2 x2 ± c2)3/2 =x3

6(a2 x2 ± c2)3/2 ± c2

2

∫dx x2

√a2 x2 ± c2 (v.1)∫

dx x3 (a2 x2 ± c2)3/2 =1

7 a4(a2 x2 ± c2)7/2 ∓ c2

5 a4(a2 x2 ± c2)5/2

∫dx

(a2 x2 + c2)3/2

x=

1

3(a2 x2 + c2)3/2 + c2

√a2 x2 + c2 − c3 ln

∣∣∣∣∣c+√a2 x2 + c2

x

∣∣∣∣∣∫dx

(a2 x2 − c2)3/2

x=

1

3(a2 x2 − c2)3/2 − c2

√a2 x2 − c2 + c3 arctan

√a2 x2 − c2

c∫dx

(a2 x2 ± c2)3/2= ± x

c2√a2 x2 ± c2∫

dxx

(a2 x2 ± c2)3/2= − 1

a2√a2 x2 ± c2


MATeXp

∫dx

x2

(a2 x2 ± c2)3/2= − x

a2√a2 x2 ± c2

+1

a3ln∣∣∣a x+

√a2 x2 ± c2

∣∣∣∫dx

x3

(a2 x2 ± c2)3/2= ± c2

a4√a2 x2 ± c2

+1

a4

√a2 x2 ± c2

∫dx

x (a2 x2 + c2)3/2=

1

c2√a2 x2 + c2

− 1

c3ln

∣∣∣∣∣c+√a2 x2 + c2

x

∣∣∣∣∣∫dx

x (a2 x2 − c2)3/2= − 1

c2√a2 x2 + c2

− 1

c3arctan

√a2 x2 − c2

c∫dx

x2 (a2 x2 ± c2)3/2= − 1

c4

(√a2 x2 ± c2

x+

a2 x√a2 x2 ± c2

)∫

dx

x3 (a2 x2 + c2)3/2= − 1

2 c2

(1

x2√a2 x2 + c2

+3 a2

c2√a2 x2 + c2

+3 a2

c3ln

∣∣∣∣∣√a2 x2 ± c2 − c

x

∣∣∣∣∣)

∫dx

x3 (a2 x2 − c2)3/2=

1

2 c2

(1

x2√a2 x2 − c2

− 3 a2

c2√a2 x2 − c2

− 3 a2

c3arctan

√a2 x2 − c2

c

)

;420F antiderivate di integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0

∫dx

c2 − a2x2=

1

2 a cln

∣∣∣∣c+ a x

c− a x

∣∣∣∣ =: C1∫dx

(c2 − a2x2)2=

x

2 c2(c2 − a2x2)+

1

4 a c3ln

∣∣∣∣c+ a x

c− a x

∣∣∣∣ =: C2

(1)

∫dx

(c2 − a2x2)n=

x

2(n− 1) c2(c2 − a2x2)n−1+

2n− 3

2(n− 1)c2Cn−1 =: Cn∫

dx x (c2 − a2x2)n = − (c2 − a2x2)n+1

2(n+ 1)a2per n = −1∫

dxx

c2 − a2x2= − 1

2a2ln∣∣c2 − a2x2

∣∣∫dx

x

(c2 − a2x2)n= − 1

2a2(n− 1) (c2 − a2x2)n−1per n = −1∫

dx

x(c2 − a2x2)= − 1

2c2ln

∣∣∣∣ x2

c2 − a2x2

∣∣∣∣(2)

∫dx

x2(c2 − a2x2)= − 1

c2 x+

a

2 c3ln

∣∣∣∣c+ ax

c− ax

∣∣∣∣∫dx

x2

c2 − a2x2= − x

a2+

c

2 a3ln

∣∣∣∣c+ ax

c− ax

∣∣∣∣∫dx

xn

c2 − a2x2= − xn−1

a2(n− 1)+c2

a2

∫dx

xn−2

c2 − a2x2∫dx

x2

(c2 − a2x2)n=

x

2(n− 1) a2 (c2 − a2x2)n−1− 1

2(n− 1) a2Cn−1


Alberto Marini

∫dx

xm

(c2 − a2 x2)n= − 1

a2

∫dx

xm−2

(c2 − a2 x2)n−1+c2

a2

∫dx

xm−2

(c2 − a2 x2)n∫dx

x (c2 − a2 x2)n=

1

2(n− 1) c2 (c2 − a2 x2)n−1+

1

c2

∫dx

x2 (c2 − a2 x2)n−1per n = 1∫

dx

x2 (c2 − a2 x2)n=

1

c2

∫dx

x2 (c2 − a2 x2)n−1+a2

c2

∫dx

(c2 − a2 x2)nv.(1), (2)∫

dx

xm (c2 − a2 x2)n=

1

c2

∫dx

xm (c2 − a2 x2)n−1+a2

c2

∫dx

xm−2 (c2 − a2 x2)n∫dx

(p x+ q) (c2 − a2 x2)=

1

c2 p2 − a2 q2

(p

2ln

(p x+ q)2

|c2 − a2 x2|+a q

2 cln

∣∣∣∣c− a x

c+ a x

∣∣∣∣ )∫dx

x

(p x+ q) (c2 − a2 x2)=

1

c2 p2 − a2 q2

(−q

2ln

(p x+ q)2

|c2 − a2 x2|− c p

2 aln

∣∣∣∣c− a x

c+ a x

∣∣∣∣ )∫dx

x2

(p x+ q) (c2 − a2 x2)=

1

c2 p2 − a2 q2

(q2

pln |p x+ q| − c2 p

2 a2ln∣∣c2 − a2 x2

∣∣+c q

2 aln

∣∣∣∣c− a x

c+ a x

∣∣∣∣)∫dx√c2 − a2 x2 =

x

2

√c2 − a2 x2 +

c2

2 aarcsin

a x

c∫dx√

c2 − a2 x2=

1

aarcsin

a x

c∫dx

x√c2 − a2 x2

= − 1

a2

√c2 − a2 x2

∫dx

x√c2 − a2 x2

= −1

cln

∣∣∣∣∣√c2 − a2 x2 + c

x

∣∣∣∣∣∫dx x

√c2 − a2 x2 = − 1

3 a2(c2 − a2 x2)3/2∫

dx x2√c2 − a2 x2 = − x

4 a2(c2 − a2 x2)3/2 +

c2 x

8 a2

√c2 − a2 x2 +

c4

8 a3arcsin

a x

c∫dx

√c2 − a2 x2

x=√c2 − a2 x2 − c ln

∣∣∣∣∣√c2 − a2 x2 + c

x

∣∣∣∣∣∫dx

x2√c2 − a2 x2

= −√c2 − a2 x2

c2 x∫dx xn

√c2 − a2 x2 = −x

n−1 (c2 − a2 x2)3/2

(n+ 2) a2+

(n− 1) c2

(n+ 2) a2

∫dx xn−2

√c2 − a2 x2 per n > 0∫

dx

√c2 − a2 x2

xn= − (c2 − a2 x2)3/2

(n− 1) c2 xn−1+

(n− 4) a2

(n− 1) c2

∫dx

√c2 − a2 x2

xn−2per n > 1∫

dx

xn√c2 − a2 x2

= −√c2 − a2 x2

(n− 1) c2 xn−1+

(n− 2) a2

(n− 1) c2

∫dx

xn−2√c2 − a2 x2

per n > 1∫dx

(x− b)√p x2 + q

=

[[t :=

1

x− b

]]= −sign(x− b)

∫dt√

(p b2 + q) t2 + 2 p b t+ p∫dx

(x− b)n√p x2 + q

=

[[t :=

1

x− b

]]= −sign(x− b)n

∫dt

tn−1√(p b2 + q) t2 + 2 p b t+ p∫

dx (c2 − a2 x2)3/2 =x

4(c2 − a2 x2)3/2 +

3 c2 x

8

√c2 − a2 x2 +

3 c4

8 aarcsin

a x

c


MATeXp

∫dx x (c2 − a2 x2)3/2 =

1

5 a2(c2 − a2 x2)5/2∫

dx x (c2 − a2 x2)3/2 =1

5 a2(c2 − a2 x2)5/2∫

dx x2 (c2 − a2 x2)3/2 =x3

6(c2 − a2 x2)3/2 +

c2

2

∫dx x2

√c2 − a2 x2∫

dx x3 (c2 − a2 x2)3/2 =1

7 a4(c2 − a2 x2)7/2 − c2

5 a4(c2 − a2 x2)5/2

∫dx

(c2 − a2 x2)3/2

x=

1

3(c2 − a2 x2)3/2 + c2

√c2 − a2 x2 − c3 ln

∣∣∣∣∣c+√c2 − a2 x2

x

∣∣∣∣∣∫dx

(c2 − a2 x2)3/2=

x

c2√c2 − a2 x2∫

dxx

(c2 − a2 x2)3/2=

1

a2√c2 − a2 x2∫

dxx2

(c2 − a2 x2)3/2=

x

a2√c2 − a2 x2

− 1

a3arcsin

a x

c∫dx

x3

(c2 − a2 x2)3/2=

c2

a4√c2 − a2 x2

+1

a4

√c2 − a2 x2

∫dx

x (c2 − a2 x2)3/2=

1

c2√c2 − a2 x2

+1

c3ln

∣∣∣∣∣√c2 − a2 x2 − c

x

∣∣∣∣∣∫dx

x2 (c2 − a2 x2)3/2=

1

c4

(√c2 − a2 x2

x− a2 x√

c2 − a2 x2

)∫

dx

x3 (c2 − a2 x2)3/2= − 1

2 c2

(1

x2√c2 − a2 x2

− 3 a2

c2√c2 − a2 x2

− 3 a2

c3ln

∣∣∣∣∣√c2 − a2 x2 − c

x

∣∣∣∣∣)

;420G antiderivate di integrandi con a x2 + b x+ c

Poniamo k := 4ac− b2; osserviamo anche che si puo scrivere a x2 + b x+ c = a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4 a

e che questa espressione, posto t := x+ b2a , assume la forma a t2 + b esaminata in ;420D.

∫dx

a x2 + b x+ c=

1√−k

ln∣∣∣2ax+b−

√−k

2ax+b+√−k

∣∣∣ sse 4ac < b2

2√k

arctan 2ax+b√k

sse 4ac > b2

− 22ax+b sse 4ac = b2∫

dxx

ax2 + b x+ c=

1

2aln∣∣2 a x2 + b x+ c

∣∣− b

2 a

∫dx

ax2 + b x+ c∫dx

(a x2 + b x+ c)2=

2ax+ b

k(a x2 + b x+ c)+

2a

k

∫dx

ax2 + b x+ c

∫dx

x

(a x2 + b x+ c)2= − bx+ 2c

k(a x2 + b x+ c)− b

k

∫dx

a x2 + b x+ c


Alberto Marini

∫dx

x (a x2 + b x+ c)=

1

2 cln

∣∣∣∣ x2

a x2 + b x+ c

∣∣∣∣− b

2 c

∫dx

a x2 + b x+ c∫dx

x2 (a x2 + b x+ c)=

b

2 c2ln

∣∣∣∣a x2 + b x+ c

x2

∣∣∣∣− 1

c x+

(b2

2 c2− a

c

) ∫dx

ax2 + b x+ c∫dx√

a x2 + b x+ c=

{1√a

ln∣∣2 a x+ b+ 2

√a x2 + b x+ c

∣∣ sse a > 01√−a

arcsin −2 a x−b√−k

sse a < 0∫dx

x√a x2 + b x+ c

=

√a x2 + b x+ c

a− b

2 a

∫dx√

a x2 + b x+ c∫dx

x2√a x2 + b x+ c

=x√a x2 + b x+ c

2 a− 3 b

4 a

∫dx

x√a x2 + b x+ c

− c

2 a

∫dx√

a x2 + b x+ c

∫dx

x√a x2 + b x+ c

=

− 1√

cln∣∣∣√a x2+b x+c+

√c

x + b2√c

∣∣∣ sse c > 01√−c

arcsin b x+2 cx√−k

sse c < 0

−2√a x2+b x+c

b x sse c = 0∫dx

x2√a x2 + b x+ c

= −√a x2 + b x+ c

c x− b

2 c

∫dx√

a x2 + b x+ c∫dx

(x− d)n√a x2 + b x+ c

=

[[t :=

1

x− d

]]= −sign(x− d)

∫dt

tn−1√(a d2 + b d+ c)2 + (2 a d+ b) t+ a∫

dx√a x2 + b x+ c =

2 a x

4 a

√a x2 + b x+ c+

k

8 a

∫dx√

a x2 + b x+ c∫dx x

√a x2 + b x+ c =

(a x2 + b x+ c)3/2

3 a− b

2 a

∫dx√a x2 + b x+ c∫

dx x2√a x2 + b x+ c =

(x− 5 b

6 a

)(a x2 + b x+ c)3/2

4 a+

5 b2 − 4 a c

16 a2

∫dx√a x2 + b x+ c

∫dx

(a x2 + b x+ c)3/2=

2(2 a x+ b)

k√a x2 + b x+ c∫

dx

(a x2 + b x+ c)n+1=

2 a x+ b)

k n (a x2 + b x+ c)n+

2(2n− 1) a

k n

∫dx

(a x2 + b x+ c)n∫dx

x

(a x2 + b x+ c)n+1= − b x+ 2 c

k n (a x2 + b x+ c)n− 2(2n− 1) b

k n

∫dx

(a x2 + b x+ c)n

∫dx

xm

(a x2 + b x+ c)n=

− xm−1

a (2n−m−1) (a x2+b x+c)n−1 − n−m) b(2n−m−1) a

∫dx xm−1

(a x2+b x+c)n

+ m−1) c(2n−m−1) a

∫dx xm−2

(a x2+b x+c)n sse m = 2n− 1

1a

∫dx xm−2

(a x2+b x+c)n−1 − ba

∫dx xm−1

(a x2+b x+c)n − ca

∫dx xm−2

(a x2+b x+c)n∫dx

xm (a x2 + b x+ c)n= − 1

(m− 1) c xm−1 (a x2 + b x+ c)n−1

− (n+m− 2) b

(m− 1) c

∫dx

xm−1 (a x2 + b x+ c)n− (2n+m− 3) a

(m− 1) c

∫dx

xm−2 (a x2 + b x+ c)n


MATeXp

∫dx

x (a x2 + b x+ c)n=

1

2 c (n− 1)(a x2 + b x+ c)n−1− b

2 c

∫dx

(a x2 + b x+ c)n

+1

c

∫dx

(a x2 + b x+ c)n−1

∫dx (a x2 + b x+ c)n =

(2 a x+ b) (a x2 + b x+ c)n

2 (2n+ 1) a− nk

2(2n+ 1) a

∫dx (a x2 + b x+ c)n−1

∫dx x (a x2 + b x+ c)n =

(a x2 + b x+ c)n+1

2 (n+ 1) a− b

2 a

∫dx (a x2 + b x+ c)n

;420H antiderivate di integrandi con x3 ± a3

Presentiamo solo formule riguardanti x3 +a3, ma osserviamo che le corrispondenti formule riguardanti

x3 − a3 si ottengono dalle seguenti cambiando a in −a.∫dx

x3 + a3=

1

3a2

(1

2ln

(x+ a)2

x2 − ax+ a2+

√3 arctan

2x− a

a√

3

)=: I1∫

dx

(x3 + a3)2=

x

3a3(x3 + a3)+

2

3a3

∫dx

x3 + a3= ... I1∫

dx

x3 + a3=

1

3a

(1

2ln

(x+ a)2

x2 − ax+ a2+√

3 arctan2x− a

a√

3

)=: I3∫

dxx2

x3 + a3=

1

3ln |x3 + a3|∫

dx

x(x3 + a3)=

1

3a3ln

∣∣∣∣ x3

x3 + a3

∣∣∣∣∫dx

x2(x3 + a3)=

1

a3 x− 1

a3

∫dx

x

x3 + a3= ... I3∫

dx

x2(x3 + a3)=

1

a3 x− 1

a3

∫dx

x

x3 + a3= ... I3

;420I antiderivate di integrandi con x4 ± a4∫dx

x4 + a4=

1

2√

2a3

(1

2lnx2 +

√2ax+ a2

x2 −√

2ax+ a2+ arctan

√2ax

a2 − x2+ π

)∫

dx

x4 − a4=

1

2a3

(1

2ln

∣∣∣∣x− a

x+ a

∣∣∣∣− arctanx

a

)∫

dxx

x4 + a4=

1

2a2arctan

x2

a2∫dx

x

x4 − a4=

1

4a2ln

∣∣∣∣x2 − a2

x2 + a2

∣∣∣∣∫dx

x2

x4 + a4=

1

2√

2a

(1

2lnx2 −

√2ax+ a2

x2 +√

2ax+ a2+ arctan

√2√

2ax

a2 − x2+ π

)∫

dxx2

x4 − a4=

1

2a

(1

2ln

∣∣∣∣x− a

x+ a

∣∣∣∣+ arctanx

a

)


Alberto Marini

∫dx

x3

x4 ± a4=

1

4ln∣∣x4 ± a4

∣∣;420J antiderivate di integrandi con a xn + b∫

dx

x(a xn + b)=

1

b nln

∣∣∣∣xnu∣∣∣∣∫

dx

x√a xn + b

=

1

n√b

ln∣∣∣√u−

√b√

u+√b

∣∣∣ sse b > 0

2n,

√−b

arctan√

u−b sse b < 0

Introduciamo u := a xn + b e consideriamo i parametri m,n, p ∈ R .∫dx xm(a xn + b)p =

1

m+ np+ 1

(xm+1 up + n p b

∫dx xm up−1

)=

1

b n(p+ 1)

(−xm+1 up+1 + (m+ n p+ n+ 1)

∫dx xm up+1

)=

1

a(m+ n p+ 1

(xm−n+1 up+1 − (m− n+ 1) b

∫dx xm−n up

)=

1

b(m+ 1

(xm+1 up+1 − (m− n p+ n+ 1) b

∫dx xm+n up

)


MATeXp

;440 antiderivate di integrandi trascendenti

Le formule che seguono possono essere utilizzate anche per integrandi contenenti richiami a tangenti,

cotangenti, secanti e cosecanti, pur di tenere conto che

tan x =sin x

cos x, cot x =

cos x

sin x, secx =

1

cos x, csc x =

1

sin x

Nelle espressioni delle antiderivate le costanti additive arbitrerie come C e C1 sono indicate solo in

presenza di risultati formalmente diversi.

;440A antiderivate di integrandi con seno e/o coseno∫dx sinx = − cosx ,

∫dx sin a x = −1

acos a x ,

∫dx cosx = sinx ,

∫dx cos a x =

1

asin a x∫

dx sin2 a x =x

2− sin 2 a x

4 a,

∫dx cos2 a x =

x

2+

sin 2 a x

4 a∫dx sin3 a x = −1

acos a x+

1

3 acos 3 a x ,

∫dx cos3 a x =

1

asin a x− 1

3 asin 3 a x∫

dx sin4 a x =3x

8− sin 2 a x

4 a+

sin 4 a x

32 a,

∫dx cos4 a x =

3x

8+

sin 2 a x

4 a+

sin 4 a x

32 a∫dx sinn a x = − 1

nasinn−1 a x cos a x+

n− 1

n

∫dx sinn−2 a x∫

dx cosn a x =1

nasin a x cosn−1 a x+

n− 1

n

∫dx cosn−2 a x∫

dx sin a x cosn a x =

{− cosn+1 a x

a(n+1) sse n = −1

− 1a ln | cos, a x| sse n=-1∫

dx sinn a x cos a x =

{− sinn+1 a x

a(n+1) sse n = −1

− 1a ln | sin a x| sse n=-1∫

dx sinm x cosn x =sinm+1 x cosn−1 x

m+ n+

n− 1

m+ n

∫dx sinm x cosn−2 x

= − sinm−1 x cosn+1 x

m+ n+m− 1

m+ n

∫dx sinm−2 x cosn x∫

dx x sin a x =1

a2(

sin a x− a x cos a x)

∫dx x cos a x =

1

a2(

cos a x+ a x sin a x)

∫dx x2 sin a x =

1

a3(2 cos a x+ 2 a x sin a x− a2 x2 cos a x

)∫dx x2 cos a x =

1

a3(− 2 sin a x+ 2 a x cos a x+ a2 x2 sin a x

)∫dx xn sin a x = −1

axn cos a x+

n

a

∫dx xn−1 cos a x∫

dx xn cos a x = −1

axn sin a x− n

a

∫dx xn−1 sin a x∫

dx x sin2 a x =x2

4− x sin 2 a x

4 a− cos 2 a x

8 a2


Alberto Marini

∫dx x cos2 a x =

x2

4+x sin 2 a x

4 a+

cos 2 a x

8 a2∫dx sin mx sin nx =

sin(m− n)x

2(m− n)− sin(m+ n)x

2(m+ n)per m2 = n2∫

dx sin mx cos nx = −cos(m− n)x

2(m− n)− cos(m+ n)x

2(m+ n)per m2 = n2∫

dx cos mx cos nx =sin(m− n)x

2(m− n)+

sin(m+ n)x

2(m+ n)per m2 = n2

;440B antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co)secante

∫dx tan a x =

1

aln | cos a x| + C =

1

aln |sec a x| + C1∫

dx cot a x =

∫dx

tan a x=

1

aln | sin a x|x+ C =

1

aln |csc a x| + C1∫

dx tan2 a x =1

atan a x− x∫

dx tan3 a x =1

2atan2 a x+

1

aln |cos a x|∫

dx tann a x =1

(n− 1) atann−1 a x−

∫dx tann−2 a x∫

dx tann a x sec2 a x =

∫dx

tann a x

cos2 a x=

1

(n+ 1) atann+1 a x per n = −1∫

dx cot2 a x = −1

acot a x− x∫

dx cot3 a x =1

2acot2 a x− 1

aln |sin a x|∫

dx cotn a x = − 1

(n− 1) acotn−1 a x−

∫dx cotn−2 a x∫

dx cotn a x csc 2 a x =

∫dx

cotn a x

sin2 a x=

1

(n+ 1) acotn+1 a x per n = −1∫

dxsec2 a x

tan a x=

∫dx

cos2 a x tan a x=

1

aln | tan a x|∫

dxcsc 2 a x

cot a x=

∫dx

sin2 a x cot a x= −1

aln | cot a x|∫

dx x tan2 a x =x

atan a x+

1

a2ln | cos a x| − x2

2∫dx x cot2 a x = −x

acot a x+

1

a2ln | sin a x| − x2

2∫dx

b+ c tan x=

1

b2 + c2

(b x+ c ln |b cos x+ c sin x|

)∫

dx√b+ c tan2 x

=1√b− c

arcsin

(√b− c

bsin x

)per b > 0 , b2 > c2∫

dx

sin2 a x=

∫dx csc 2 a x = −1

acot a x


MATeXp

∫dx

cos2 a x=

∫dx sec2 a x =

1

atan a x∫

dx sec a x =

∫dx

cos a x=

1

aln∣∣∣tan

(a x2

+π

4

)∣∣∣∫dx csc a x =

∫dx

sin a x=

1

aln∣∣∣tan

a x

2

∣∣∣∫dx secx = ln |secx+ tan x| ,

∫dx csc x = ln |csc x| − cotx|∫

dx sec a x tan a x =

∫dx

sin a x

cos2 a x=

1

asec a x =

1

a cos a x∫dx csc a x cot a x =

∫dx

cos a x

sin2 a x= −1

acsc x = − 1

a sin a x∫dx

sinn a x= − cos a x

a (n− 1) sinn−1 a x+n− 2

n− 1

∫dx

sinn−2 a x∫dx

cosn a x= − sin a x

a (n− 1) cosn−1 a x+n− 2

n− 1

∫dx

cosn−2 a x∫dx

sin a x cos a x=

1

aln | tan a x|∫

dx

sin a x cos2 a x=

1

a

(1

cos a x+ ln

∣∣∣tana x

2

∣∣∣)∫dx

sin2 a x cos a x=

1

a

(− 1

sin a x+ ln

∣∣∣tan(a x

2+π

4

)∣∣∣)∫dx

sinm x cosn x= − 1

(m− 1) sinm−1 x cosm−1 x+m+ n− 2

m− 1

∫dx

sinm−2 x cosn x

= − 1

(m− 1) sinm−1 x cosm−1 x− m+ n− 2

n− 1

∫dx

sinm x cosn−2 x∫dx

sinm x

cosn x=

sinm+1 x

(n− 1) cosn−1 x+m+ n− 2

n− 1

∫dx

sinm x

cosn−2 x

= − sinm−1 x

(m− n) cosn−1 x+m− 1

m− n

∫dx

sinm−2 x

cosn x∫dx

cosm x

sinn x= − cosn+1 x

(m− 1) sinm−1 x− m+ n− 2

m− 1

∫dx

cosn x

sinm−2 x

=cosm−1 x

(m− n) sinm−1 x+

n− 1

n−m

∫dx

cosn−2 x

sinn x∫dx

x

sin2 a x= −x

acot a x+

1

a2ln |sin a x|∫

dxx

cos2 a x=

x

atan a x+

1

a2ln |cos a x|

∫dx

1 + sin a x= −1

atan

(π4− a x

2

)∫

dx

1 − sin a x=

1

atan

(π4

+a x

2

)∫

dx

1 + cos a x=

1

atan

a x

2


Alberto Marini

∫dx

1 − cos a x= −1

acot

a x

2∫dx

b+ c sin a x=

{ 2a√b2−c2

arctan b tan(a x/2)+c√b2−c2

sse b2 > c2

1a√c2−b2

ln∣∣∣ b tan(a x/2)+c−

√c2−b2

b tan(a x/2)+c+√c2−b2

∣∣∣ sse b2 < c2∫dx

sin x (b+ c sin x)=

1

bln∣∣∣tan

x

2

∣∣∣− c

b

∫dx

b+ c sin a x∫dx

sin x (1 + sin x)= ln

∣∣∣tanx

2

∣∣∣− tan(x

2− π

4

)∫

dx

sin x (1 − sin x)= ln

∣∣∣tanx

2

∣∣∣+ tan(x

2+π

4

)∫

dx

sin x (1 − sin x)= ln

∣∣∣tanx

2

∣∣∣+ tan(x

2+π

4

)∫

dx

(b+ c sin x)2=

c cos x

(b2 − c2) (b+ c sin x)+

b

b2 − c2

∫dx

b+ c sin x∫dx

sin x

(b+ c sin x)2=

b cos x

(b2 − c2) (b+ c sin x)+

c

c2 − b2

∫dx

b+ c sin x∫dx

cos x

(b+ c sin x)2= − 1

c (b+ c sin x)∫dx

b+ c cos a x=

{ 2a√b2−c2

arctan (b−c) tan(a x/2)√b2−c2

sse b2 > c2

1a√c2−b2

ln∣∣∣ (c−b) tan(a x/2)+

√c2−b2

(c−b) tan(a x/2)−√c2−b2

∣∣∣ sse b2 < c2∫dx

cos x (b+ c cos x)=

1

bln∣∣∣tan

(x2

+π

4

)∣∣∣− c

b

∫dx

b+ c sin a x∫dx

cos x (1 + cos x)= ln

∣∣∣tan(x

2+π

4

)∣∣∣− tanx

2∫dx

cos x (1 − cos x)= ln

∣∣∣tan(x

2+π

4

)∣∣∣− cotx

2∫dx

(b+ c cos x)2=

c sin x

(c2 − b2) (b+ c cos x)− b

c2 − b2

∫dx

b+ c cos x∫dx

cos x

(b+ c cos x)2=

b sin x

(b2 − c2) (b+ c cos x)− c

b2 − c2

∫dx

b+ c sin x∫dx

sin x

(b+ c cos x)2=

1

c (b+ c cos x)

Dati b e c reali non nulli, introduciamo r :=√b2 + c2 e ϕ := arctan b

c∫dx

b cos x+ c sin x=

1

rln

∣∣∣∣tanx+ ϕ

2

∣∣∣∣ per c > 0∫dx

a+ b cos x+ c sin x= t := x+ ϕ =

∫dt

a+ r sin t∫dx

sin a x

b+ c cos x= − 1

a cln |b+ c cos a x|∫

dxcos a x

b+ c sin x= − 1

a cln |b+ c sin a x|


MATeXp

∫dx

a sin2 a+ b=

∫dx

(a+ b) sin2 x+ b cos2 x∫dx

a cos2 a+ b=

∫dx

(a+ b) cos2 x+ b sin2 x∫dx

a2 cos2 x+ b2 sin2 =1

a barctan

(b

atan x

)∫

dx

a2 cos2 x− b2 sin2 =1

2 a bln

∣∣∣∣b tan x+ a

b tan x− a

∣∣∣∣∫dx

sin x

a cos2 x+ b= t := cos x = −

∫dt

a t2 + b∫dx

cos x

a sin2 x+ b= t := sin x =

∫dt

a t2 + b

Da alcune delle presenti formule che riguardano sin2 x si possono ricavare corrispondenti formule

utilizzando la cos2 x = 1 − sin2 x .

Consideriamo il parametro a ∈ R+∫dx sin x

√a sin2 x+ b = −cos x

2

√a sin2 x+ b+ b− a+ b

2√a

arcsin

√a cos x√a+ b∫

dx sin x√b− a sin2 x = −cos x

2

√b− a sin2 x− a− b

2√a

ln∣∣∣√a cos x+

√b− a sin2 x

∣∣∣∫dx

sin x√a sin2 x+ b

= − 1√a

arcsin

√a cos x√a+ b∫

dxsin x√

b− a sin2 x= − 1√

aln∣∣∣√a cos x+

√b− a sin2 x

∣∣∣∫dx cos x

√a sin2 x+ b =

sin x

2

√a sin2 x+ b+

b

2√a

ln∣∣∣√a sin x+

√a sin2 x+ b

∣∣∣∫dx cos x

√b− a sin2 x =

sin x

2

√b− a sin2 x+

b

2√a

arcsin

(√a

bsin x

)∫dx

cos x√a sin2 x+ b

=1√a

ln∣∣∣√a sin x+

√a sin2 x+ b

∣∣∣∫dx

cos x√b− a sin2 x

=1√a

arcsin

(√a

bsin x

)

;440C antiderivate di integrandi con trigonometriche inverse

Ricordiamo che:

∫dx

1

1 + x2= arctanx ,

∫dx

1√1 − x2

= arcsinx∫dx arcsin a x = x arcsin a x+

1

a

√1 − a2 x2∫

dx (arcsin a x)2 = x (arcsin a x)2 − 2x+2

a

√1 − a2 x2 arcsin a x∫

dx x arcsin a x =1

4 a2

(2 a2 x2 arcsin a x− arcsin a x+ a x

√1 − a2 x2

)


Alberto Marini

∫dx x2 arcsin a x =

1

9 a3

(3 a3 x3 arcsin a x+ (a2 x2 + 2)

√1 − a2 x2

)∫dx

arcsin a x

x2= − 1

xarcsin a x− a ln

∣∣∣∣∣1 +√

1 − a2 x2

a x

∣∣∣∣∣∫dx arccos a x = x arccos a x− 1

a

√1 − a2 x2∫

dx (arccos a x)2 = x (arccos a x)2 − 2x− 2

a

√1 − a2 x2 arccos a x∫

dx x arccos a x =1

4 a2

(2 a2 x2 arccos a x− arccos a x− a x

√1 − a2 x2

)∫dx x2 arccos a x =

1

9 a3

(3 a3 x3 arccos a x− (a2 x2 + 2)

√1 − a2 x2

)∫dx

arccos a x

x2= − 1

xarccos a x+ a ln

∣∣∣∣∣1 +√

1 − a2 x2

a x

∣∣∣∣∣∫dx arctan a x =

1

2 a

(2 a x arctan a x− ln(1 + a2 x2)

)∫dx arccot a x =

1

2 a

(2 a x arccot a x+ ln(1 + a2 x2)

)∫dx x arctan a x =

1

2 a2((1 + a2 x2) arctan a x− a x

)∫dx x2 arctan a x =

1

6 a3(2 a3 x3 arctan a x− a2 x2 + ln(1 + a2 x2)

)∫dx

arctan a x

x2= − 1

xarctan a x− a

2ln

1 + a2 x2

a2 x2∫dx arcsec a x = x arcsec a x− 1

aln∣∣∣a, x+

√a2 x2 − 1

∣∣∣∫dx arccsc a x = x arccsc a x+

1

aln∣∣∣a, x+

√a2 x2 − 1

∣∣∣∫dx x arcsec a x =

x2

2arcsec a x− 1

2 a2

√a2 x2 − 1∫

dx x arccsc a x =x2

2arccsc a x+

1

2 a2

√a2 x2 − 1

;440D antiderivate di integrandi con esponenziali∫dx ea x =

1

aea x ,

∫dx bx =

∫dx ex ln b =

bx

ln b∫dx x ea x =

eax

a2(ax− 1) ,

∫dx x2 ea x =

eax

a3(a2 x2 − 2 a x+ 2)

(1)

∫dx xn ea x =

eax

an+1

((ax)n − n (ax)n−1 + n(n− 1)(ax)n−2 − · · · + (−1)n n!

)con n ∈ P∫

dx

b+ c ea x=

1

a b

(a x− ln |b+ c eax|

)∫dx

eax

b+ c ea x=

1

a bln |b+ c eax|


MATeXp

∫dx

(b+ c ea x)2=

x

b2+

1

a b(b+ c ea x)− 1

a b2ln |b+ c eax|∫

dxea x

(b+ c ea x)2= − 1

a c(b+ c ea x)∫dx x ea x =

1

2 aea x∫

dx x2n+1 ea x = t := x2 =1

2

∫dt tn ea t [v.(1)]∫

dxx ea x

(1 + a x)2=

ea x

a2(1 + a x)∫dx ea x sin b x =

ea x

a2 + b2(a sin b x− b cos b x)∫

dx ea x cos b x =ea x

a2 + b2(a cos b x+ b sin b x)∫

dx ea x sinn b x =ea x sinn−1 b x

a2 + n2 b2(a sin b x− n b cos b x) +

n(n− 1) b2

a2 + n2 b2

∫dx ea x sinn−2 b x∫

dx ea x cosn b x =ea x cosn−1 b x

a2 + n2 b2(a cos b x+ n b sin b x) +

n(n− 1) b2

a2 + n2 b2

∫dx ea x cosn−2 b x∫

dx x ea x sin b x =x ea x

a2 + b2(a sin b x− b cos b x) − ea x

(a2 + b2)2((a2 − b2) sin b x− 2 a b cos b x

)∫dx x ea x cos b x =

x ea x

a2 + b2(a cos b x+ b sin b x) − ea x

(a2 + b2)2((a2 − b2) cos b x+ 2 a b sin b x

)

;440E antiderivate di integrandi con logaritmi

∫dx ln a x = x ln a x− x ,

∫dx (ln a x)2 = x (ln a x)2 − 2x ln a x+ 2x∫

dx (ln a x)n = x (ln a x)n − n

∫dx (ln a x)n−1∫

dx xn (ln a x)n = xn+1

(ln a x

n+ 1− 1

(n+ 1)2

)per n = −1∫

dxln a x

x=

1

2(ln a x)2 ,

∫dx

x ln a x= ln (ln a x)

∫dx

(ln a x)n

x=

(ln a x)n+1

n+ 1per n = −1∫

dxln a x

xn=

1

xn−1

(ln a x

n− 1+

1

(n− 1)2

)per n = −1∫

dx xn (ln a x)m =xn+1

n+ 1(ln a x)m − m

n+ 1

∫dx xn (ln a x)m−1 per n = −1∫

dx ln(a x+ b) =a x+ b

aln( a x+ b) − x∫

dx ln(x2 + a2) = x ln(x2 + a2) − 2x+ 2 a arctanx

a


Alberto Marini

∫dx ln(x2 − a2) = x ln(x2 − a2) − 2x+ a ln

x+ a

x− a∫dx x ln(x2 ± a2) =

1

2(x2 ± a2) ln(x2 ± a2) − x2

2∫dx ln(

∣∣∣x+√x2 + a

∣∣∣ = x ln(∣∣∣x+

√x2 + a

∣∣∣−√x2 + a∫dx x ln(

∣∣∣x+√x2 + a

∣∣∣ =

(x2

2+a

4

)ln(∣∣∣x+

√x2 + a

∣∣∣− x√x2 + a

4∫dx sin (ln a x) =

x

2

(sin(ln a x) − cos(ln a x)

)∫dx cos (ln a x) =

x

2

(sin(ln a x) + cos(ln a x)

)

;440F antiderivate di integrandi iperbolici e loro inverse

∫dx sinh a x =

1

acosh a x ,

∫dx cosh a x =

1

asinh a x∫

dx tanh a x =1

aln(cosh a x) ,

∫dx coth a x =

1

aln | cosh a x|∫

dx sinh2 a x =1

4 a

(sinh 2 a x− 2 a x

)∫dx sinhn a x =

1

nasinhn−1 a x cosh a x− n− 1

n

∫dx sinhn−2 a x∫

dx csch a x =

∫dx

sinh a x=

1

aln∣∣∣tanh

a x

2

∣∣∣∫dx sech2 a x =

∫dx

cosh2 a x=

1

atanh a x∫

dx sech a x tanh a x =

∫dx

sinh a x

cosh2 a x= −1

asech a x∫

dx cosh2 a x =1

4 a

(sinh 2 a x+ 2 a x

)∫dx coshn a x =

1

nacoshn−1 a x sinh a x+

n− 1

n

∫dx coshn−2 a x∫

dx sech a x =

∫dx

cosh a x=

2

aarctan ea x∫

dx csch 2 a x =

∫dx

sinh2 a x= −1

acoth a x∫

dx csch a x coth a x =

∫dx

cosh a x

sinh2 a x= −1

acsch a x∫

dx tanh2 a x = x− 1

atanh a x ,

∫dx coth2 a x = x− 1

acoth a x

∫dx arsinhx =

∫dx

sinh x=

∫dx ln

(x+

√x2 + 1

)= x arsinhx−

√x2 + 1∫

dx arcoshx =

∫dx

cosh x=

∫dx ln

(x+

√x2 − 1

)= x arcoshx−

√x2 − 1


MATeXp

∫dx artanhx =

∫dx

tanh x= x artanhx+

1

2ln(x2 − 1)∫

dx arcothx =

∫dx

coth x= x arcothx+

1

2ln(x2 − 1)∫

dx

sechx=

x

sechx+

1

sinh x,

∫dx

csch x=

x

csch x+

signx

sinh x∫dx

x

sechx=

x2

2 sechx− 1

2

√1 − x2 ,

∫dx

x

csch x=

x2

2 csch x+

signx

2

√1 − x2∫

dx1

(sinhx)2= tanhx ,

∫dx

1

(coshx)2= cothx


Alberto Marini

;460 integrali definiti

costante di Eulero-Mascheroni γem = 0.57721 56649

funzione Gamma Γ(z) := limn→+∞

nz n!

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)

;460A integrali definiti di integrandi algebrici

∫ b

a

dx xm−1 (1 − x)n−1 =Γ(m) Γ(n)

Γ(m+ n)per m,n > 0

∫ 1

0

dx (x− a)m−1 (b− x)n−1 = (b− a)m+n−1 Γ(m) Γ(n)

Γ(m+ n)per m,n > 0 , a < b∫ 1

0

dxxn

1 + x= (−1)n

(ln 2 − 1 +

1

2− · · · +

(−1)n

n

)per n ∈ P∫ 1

0

dx

(1 − x)1/n=

π

n sin πn

per n > 1∫ 1

0

dxxa√

1 − x2=

√π Γ

(a+12

)2 Γ(a+22

) per − 1 < a∫ 1

0

dxxa−1

(1 − a)a=

π

sin a πper 0 < a < 1∫ 1

0

dx√1 − xa

=

√π Γ(1/a)

a Γ(1a + 1

2

)∫ +∞

0

dx

1 + xa=

π

a sin xa

per a > 1∫ +∞

0

dx

xa (1 + x)=

π

b sin a xper 0 < a < 1∫ +∞

0

dxxa−1

1 + xb=

π

b sin(a πb

) per 0 < a < b∫ +∞

0

dx

a2 + x2=

π

2 aper 0 < a∫ +∞

0

dx

(a2 + x2)n=

π (2n− 3)!!

2 a2n−1 (2n− 2)!!per 0 < a , n = 2, 3, 4....∫ +∞

0

dx

(a2 + x2) (b2 + x2)=

π

2 a b (a+ b)per a, b > 0∫ +∞

0

dxxm−1

(a x+ b)m+n=

Γ(m) Γ(n)

am bn Γ(m+ n)per a, b,m, n > 0∫ +∞

0

dx

ax2 + 2 b x+ c=

1√a c− b2

(π

2− arctan

b√a c− b2

)per a, a c− b2 > 0∫ +∞

0

dx

a x2 + 2 b x+ c=

π

2√c d

ove d := 2(b+√a c) per a, c, d > 0∫ +∞

1

dx

(1

⌊x⌋− 1

x

)= γem(v.; 300)


MATeXp

;460B integrali definiti di integrandi esponenziali

Consideriamo a > 0 , n ∈ N , h ∈ P .∫ +∞

0

dx xc e−a x =Γ(c+ 1)

ac+1per c ∈ (− 1,+∞)

∫ +∞

0

dx√x e−a x =

1

2 a

√π∫ +∞

0

dx xn e−x = n! per n ∈ N

∫ +∞

0

dx xn e−a x =n!

an+1per n ∈ N

∫ +∞

0

dx e−a x2

=1

2

√π

a∫ +∞

0

dx x2 e−a x2

=1

4

√π

a3

∫ +∞

0

dx x2h e−a x2

=2n− 1

2 a

∫ +∞

0

dx x2h e−a x2

=2h− 1)!!

2h+1

√π

a2h+1=

2h)!

h! 22h+12h+1

√π

a2h+1

∫ +∞

0

dx xc e−a x2

=1

2

Γ((c+ 1)/2)

a(c+1)/2∫ +∞

0

dx x2h e−a x2

=(2h− 1)!!

2h+1 ah

√π

aper h ∈ N

∫ +∞

0

dx x2h+1 e−a x2

=h!

2 ah+1per h ∈ N∫ +∞

−∞dx e2 b x−a x2

=

√π

aeb

2/a per a > 0 , b ∈ R

∫ 1

0

dx x−x =

∫ 1

0

dx e−x lnx =+∞∑n=1

1

nn≈ 1.29128 59970 62664

∫ 1

0

dx xx =

∫ 1

0

dx ex ln x = −+∞∑n=1

(−1)n+1

nn= −

+∞∑n=1

1

(−n)n≈ 0.78343 05107 12134

;460C integrali definiti di integrandi logaritmici

∫ 1

0

dx (ln x)n = (−1)n n! per n ∈ P

∫ 1

0

dx ln | ln x| =

∫ +∞

0

dx e−x ln x = γem


Alberto Marini

∫ 1

0

dxln x

x− 1=

π2

6∫ 1

0

dxln x

x+ 1= −π

2

12∫ 1

0

dxln x√1 − x2

= −π2

ln 2

;460D integrali definiti di integrandi trigonometrici

∫ π/2

0

dx sinn x =

∫ π/2

0

dx cosn x =

{(n−1)!!

n!! per n = 1, 3, 5, ...(n−1)!!

n!!π2 per n = 2, 4, 6, ...∫ π/2

0

dx sina x =

∫ π/2

0

dx cosa x =

√π

2

Γ(a+12

)Γ(a+22

) per a > −1

∫ π

0

dx x sinn x =

(n−1)!!

n!! π per n = 1, 3, 5, ...(n−1)!!

n!!π2

2 per n = 2, 4, 6, ...

n3/2

2

Γ(n+12 )

Γ(n+22 )

per n > −1∫ π/2

0

dx sin2a+1 x cos2b+1 x =Γ(a+ 1) Γ(b+ 1)

2 Γ(a+ b+ 2)

Consideriamo gli interi m ed n.∫ π

0

dx sin mx sin nx =

{0 per m = nπ2 per m = n∫ π

0

dx cos mx cos nx =

{0 per m = nπ2 per m = n = 0π per m = n = 0∫ π

0

dx sin mx cos nx =

{0 per m+ n pari

2mm2−n2 per m+ n dispari∫ π/2

0

dx

1 + a cos x=

∫ π2

0

dx

1 + a sin x=

arccos a√1 − a2

per |a| < 1∫ π

0

dx

1 + a sin x=

2 a arccos a√1 − a2

per − 1 < a < 1∫ π

0

dx

1 + a cos x=

π√1 − a2

per − 1 < a < 1

∫ π/2

0

dx

a2 cos2 x+ b2 sin2 x=

π

2 a bper a, b > 0∫ +∞

0

dx sin x2 =

∫ +∞

0

dx cos x2 =

√2π

4∫ +∞

0

dx sin xa = Γ

(1 +

1

a

)sin

π

2 a


MATeXp

∫ +∞

0

dx cos xa = Γ

(1 +

1

a

)cos

π

2 a∫ +∞

0

dxsin a x

x=π

2per a > 0

∫ +∞

0

dxsin x√x

=

∫ +∞

0

dxcos x√x

=

√π

2∫ +∞

0

dxsin3 x

x3=

3π

8∫ +∞

0

dxsin4 x

x4=π

3∫ +∞

0

dxsin x

xa=

π

2 Γ(a) sin(a π/2)per 0 < a < 2∫ +∞

0

dxcos x

xa=

π

2 Γ(a) cos(a π/2)per 0 < a < 1∫ +∞

0

dxcos a x− cos b x

x= ln

b

a∫ +∞

0

dxx sin a x

b2 + x2=π

2e−a b per a, b > 0∫ +∞

0

dxcos a x

b2 + x2=

π

2 be−a b per a, b > 0

;460E integrali definiti di integrandi espologtrigonometrici

Consideriamo a > 0 , n ∈ N , h ∈ P .

∫ +∞

0

dx e−ax sin b x =b

a2 + b2,

∫ +∞

0

dx e−ax sin b x =a

a2 + b2∫ +∞

0

dx x e−ax sin b x =2 a b

(a2 + b2)2,

∫ +∞

0

dx x e−ax cos b x =a2 − b2

a2 + b2∫ +∞

0

dxe−ax sin b x

x= arctan

b

aper a > 0

∫ π2

0

dx ln(sin x) =

∫ π2

0

dx ln(cos x) = −π2

ln 2

∫ +∞

0

dx

∫ π4

z

dx ln(1 + tan x) =π

8ln 2∫ +∞

0

dxsin x

xln x = −π

2γem


Alberto Marini

;500 spazio reale finitodimensionale

R×d, spazio vettoriale delle sequenze di numeri reali di lunghezza d ∈ P x = ⟨x1, x2, ..., xd⟩ munito

delle operazioni binarie somma e prodotto interno e della moltiplicazione per reali.

somma

moltiplicazione per un reale

prodotto scalare o prodotto interno

norma e distanza euclidea

R×d e quindi il terreno di uno spazio vettoriale finito dimensionale sui reali a prodotto interno e

normato; inoltre esso e uno spazio metrico e ;500co.

vettori ortogonali, paralleli, normalizzati (o versori)

angolo θ tra i vettori x e y cos θ =x · y

|x| · |y|

;500A topologia di R×d

gli elementi di R×d si possono chiamare vettori o punti;

tratteremo i punti/vettori Pi = pi e Qi = qi per i = µu, 0, 1, 2, ... ed insiemi di punti S, T,...

bolla aperta di centro x e raggio r ∈ R+ ball(p, r) := {x ∈ R×d ST |x− p| < r}bolla chiusa corrispondente ball(p, r) := {x ∈ R×d ST |x− p|‘r}insieme aperto di R×d

insieme ciascun punto del quale e contenuto in una bolla aperta interamente contenuta in esso

insieme chiuso di R×d sottoinsieme di R×d complementare di un insieme aperto

l’unione di una collezione qualsiasi di insiemi aperti e un insieme aperto

l’intersezione di una collezione finita di insiemi aperti e un insieme aperto

l’intersezione di una collezione qualsiasi di insiemi chiusi e un insieme chiuso

l’unione di una collezione finita di insiemi chiusi e un insieme chiuso

intorno di un punto p ∈ R×d insieme contenente una bolla aperta di centro p

intorno impoverito di un p ∈ R×d intorno di p privato dello stesso p

intorno ipercuboide aperto di p ∈ R×d insieme della forma

{x ∈ R×d ST ∀i = 1, ..., d pi − δi < xi < pi + δi}punto interno ad un S ⊂ R×d punto che possiede un intorno interamente contenuto in S

interiore di S ⊂ R×d insieme dei punti interni di S; lo denotiamo con Intr(S)

punto esterno ad un S ⊂ R×d punto che possiede un intorno che non interseca S

punto di frontiera di un S ⊂ R×d punto tale che ciascuno dei suoi intorni interseca sia S che il suo

complementare;

frontiera di S insieme dei punti di frontiera di S; denotiamo tale insieme con ∂S

chiusura di un S ⊂ R×d ampliamento di S ottenuto aggiungendo la sua frontiera;

la denotiamo con S e definiamo S := S ∪ ∂S

un punto q si dice punto di accumulazione o punto di aderenza o punto limite di S ⊂ R×d sse ogni suo

intorno impoverito contiene almeno un punto di S


MATeXp

diciamo aderenza di un S ⊂ R×d l’insieme dei suoi punti di accumulazione; lo denotiamo con Adrn(S)

un S ⊂ R×d si dice limitato sse R+ ∋ R tale che S ⊂ ball(0d, R)

ogni insieme limitato infinito di R×d possiede almeno un punto di accumulazione

(teorema di Bolzano -Weierstrass)

sia S ⊂ R×d compatto e sia {i ∈ I :| Oi} una sua copertura infinita di insiemi aperti;

da essa si puo estrarre una copertura finita (teorema di Pincherle-Heine-Borel)


Alberto Marini

;510 derivate parziali

consideriamo f(x, y) ∈ {R× R −→ R}, D := dom(f) e ⟨a, b⟩ ∈ Intr(D); si dice derivata parziale della f

rispetto ad x [risp. rispetto ad y] in ⟨a, b⟩

Dx f(a, b) = fx′(a, b) =

∂ f

∂ x= lim

h→0

f(a+ h, b) − f(a, b)

h.

si dice derivata parziale della f rispetto ad y in ⟨a, b⟩

Dy f(a, b) = fy′(a, b) =

∂ f

∂ y= lim

k→0

f(a, b+ k) − f(a, b)

k.


MATeXp

;520 curve piane e calcolo infinitesimale

In questa sezione usiamo t per denotare una variabile reale e per ogni funzione ϕ(t) scriveremo

ϕ(t) :=d

dtϕ(t).

Useremo A per l’area di una regione, s per la lunghezza di un arco, κ per la sua curvatura e ρ =1

|κ|per il suo raggio di curvatura.

Verranno trattate funzioni f(x), f1(x) e f2(x) definite nell’intervallo I := [x1, x2].

Verranno inoltre trattate le regioni Rf1,f2 := {⟨x, y⟩ |: x ∈ I , f1(x) ≤ y ≤ f2(x)} e

;520A curve date da funzioni y = f(x)

area della regione R delimitata da f1(x) ed f2(x)(≥ f1(x)) per x1 ≤ x ≤ x2

A =

∫ x2

x1

dx(f2(x) − f1(x)

)centroide ⟨xc, yc⟩ della R

xc =1

A

∫ x2

x1

dx x(f2(x) − f1(x)

)yc =

1

2A

∫ x2

x1

dx(f2

2(x) − f1(x)2)

lunghezza della curva y = f(x) per x1 ≤ x ≤ x2 s =

∫ x2

x1

dx

√1 + f ′(x)

2

;520B curve in forma parametrica

;520C curve in forma implicita

;520D curve in coordinate polari

;520E famiglie di curve


Alberto Marini

;530 integrali doppi

Consideriamo una regione D ⊂ R× R limitata, chiusa e quadrabile, una funzione limitata del genere

f ∈ {D 7−→ R× R} e scriviamo m := inf⟨x,y⟩∈D f(x, y) ed M := sup⟨x,y⟩∈D f(x, y). Denotiamo con

PrtnFSqrbD l’insieme delle partizioni di D costituite da collezioni finite di sottoinsiemi di D quadrabili.

Sia R = {i = 1, ..., r :| DR,i} una collezione in PrtnFSqrbD e quindi sia·∪i=1,...,r

DR,i = D.

Introduciamo inoltre per ogni R e ogni DR,i:

dR := maxi=1,...,r

diag(DR,i) , AR,i := Area(DR,i) , mR,i := inf⟨x,y⟩∈DR,i

f(x, y) ,

MR,i := inf⟨x,y⟩∈DR,i

f(x, y) , sR,i :=r∑

i=1

AR,imR,i , SR,i :=r∑

i=1

AR,iMR,i ,

Si definiscono, risp., integrale inferiore e integrale superiore della f in D∫∫D

dx dy f(x, y) := infR∈PrtnFSqrbD

sR,i ,

∫∫D

dx dy f(x, y) := supR∈PrtnFSqrbD

sR,i .

Se questi due numeri reali coincidono il loro valore si dice integrale doppio della f in D e si denota con

. ∫∫D

dx dy f(x, y) .

Un insieme rinchiudibile in una regione D come sopra e un insieme finito di curve continue contenute in

D che possono essere racchiuse in regioni aperte di area complessiva riducibile a piacere.

Se una funzione reale f(x, y) definita in una regione D chiusa, limitata e quadrabile e limitata e continua

in tutto D ad eccezione dei punti di un insieme rinchiudibile, possiede integrale doppio ottenibile come∫∫D

dx dy f(x, y) = limR∈PrtnFSqrb , dR→0

r∑i=1

AR,i f(xi, yi) per qualsiasi ⟨xi, yi⟩ ∈ DR,i .


MATeXp

;540 integrali tripli


Alberto Marini

;550 solidi di rivoluzione

volume del solido che presenta sezioni di area A(x) per x1 ≤ x ≤ x2 V =

∫ x2

x1

dx A(x)

volume del solido di rivoluzione intorno ad Ox delimitato da f1(x) e f2(x) per x1 ≤ x ≤ x2

V = π

∫ x2

x1

dx((f2(x))2 − (f1(x)2

)volume del solido di rivoluzione intorno ad Oy delimitato da g1(y) e g2(y) per y1 ≤ y ≤ y2

V = π

∫ y2

y1

dx((g2(y))2 − (g1(y)2

)


MATeXp

;560 centroidi e momenti di inerzia

per varie figure presentiamo le coordinate del centroide, o centro di massa, C xC , yC e zC ed i momenti

d’inerzia Ix, Iy, Iz relativi, risp., ad Ox, Oy e Oz ed i momenti d’inerzia Iu, Iv ed Iw relativi ad assi

determinati da opportuni vettori u, v e w in genere applicati al centroide.

;560A centroidi e momenti di inerzia in 2D

riguardano lamine rigide ed omogenee la cui massa denotiamo con m

asta o barra con estremita O e ⟨s, 0⟩ (appartenente ad Ox), considerando v parallelo ad Oy ed applicato

in C

xC =s

2, yC = 0 , Ix = 0 , Iy =

ms3

3, Iv +

ms3

12rettangolo con due vertici opposti in ⟨a, 0⟩ e ⟨0, b⟩ un lato appartenenti ad Ox e di lunghezza a ed un

lato appartenente ad Oy e di lunghezza b

xC =a

2, yC =

b

2, Ix =

mb2

3, Iy =

ma2

3, Iu =

ma2

12, Iv =

ma2

12con u orizzontale e

v verticale applicati in C

triangolo con un lato (su Ox) con estremita in ⟨−a1, 0⟩ e ⟨a2, 0⟩, il vertice opposto in V = ⟨0, h⟩

xC =c− b

3, yC =

h

3, Ix =

mh2

6, Iy =

m(a13 + a2

3

6 a1 + a2, Iu =

mh2

18, Iw =

mh2

2ove u e w sono orizzontali, il primo applicato in C ed il secondo in V

cerchio con centro (centroide) in O e raggio r Ix = Iymr2

4, Iu = Iv =

5mr2

4dove

u e orizzontale e tangente al cerchio in ⟨0,−r⟩ e v verticale e tangente al cerchio in ⟨−r, 0⟩settore circolare del cerchio di raggio r con centro in O, con asse Ox e ampiezza dell’angolo al centro 2α

xC =2 r sin α

3α, yC = 0 , Ix =

mr2

4

(1 − sin 2α

2α

), Iy =

mr2

4

(1 +

sin 2α

2α

)corona circolare delimitata dalle circonferenze con centro in O e raggi r1 ed r2 (> r1)

Ix = Iy =m (r1

2 + r22)

4Iu = Iv =

m (r12 + r2

2)

4+mr2

2

;560B centroidi e momenti di inerzia in 3D

parallelepipedo con lati sui tre assi aventi lunghezze a, b e c

xC =a

2, yC =

b

2, zc =

c

2, Iy =

m

3(a2 + c2) , Iv =

m

12(a2 + 4 c2) , Iu =

m

3(a2 + c2) ,

dove v e u sono vettori paralleli ad Oy, il primo sulla mediana della faccia inferiore,

il secondo applicato in C

sfera con centro in O e raggio r xC = yC = zC = 0 , Ix = Iy = Iz =2

5mr2 e

Iu =7

5mr2 , dove u e un vettore tangente alla sfera

sfera cava con centro in O e raggio r xC = yC = zC = 0 , Ix = Iy = Iz =2

3mr2 e

Iu =5

3mr2 , dove u e un vettore tangente alla sfera

cilindro con asse di simmetria cilindrica Oz, avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e

avente altezza h


Alberto Marini

xC = yC = 0 , zC =h

2, Ix = Iy =

m

12(3 r2 + 4h2) , Iz =

1

2mr2 , Iu =

m

12(3 r2 + h2) ,

dove u e un vettore orizzontale applicato in C

cilindro cavo e senza basi con asse di simmetria cilindrica Oz, avente come base un cerchio sul piano Oxy

di raggio r e avente altezza h

xC = yC = 0 , zC =h

2, Ix = Iy =

m

6(3 r2 + 2h2) , Iz = mr2 , Iu =

m

12(6 r2 + h2) ,


cono avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e avente altezza h

xC = yC = 0 , zC =h

4, Ix = Iy =

m

20(3 r2 + 2h2) , Iz =

3

10mr2 , Iu =

m

12(6 r2 + h2) ,


cono cavo e privato della base avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e avente altezza h

xC = yC = 0 , zC =2

3h , Ix = Iy =

m

4(r2 + 2h2) , Iz =

1

2mr2 , Iu =

m

18(9 r2 + 10h2)

e Iv =m

4(r2 + 2h2) , dove u e un vettore orizzontale applicato in C e v un vettore orizzontale

passnte per il vertice


MATeXp

;570 analisi dei campi vettoriali

ricordiamo che [f, g, h] := f·(g∧h) e che ∇(f(r)) = grad(f(r)) := exd

dxf(r) + ey

d

dyf(r) + ez

d

dzf(r)

;570A curve in piu dimensioni

per ogni f(t) ∈ {R −→ R} scriviamo f(t) := Dtf(t) = lim∆t→0

f(t+ ∆t) − f(t)

∆te per ogni F(t) =

⟩F1(t), ..., Fd(t)⟩ scriviamo F(t) := DtF(t)

consideriamo l’intervallo reale [a, b] e per t ∈ [a, b] la curva in d dimensioni r(t) = ⟨x1(t), ..., xd(t)⟩Dt (αF(t) + βgSd(t)) − αDt F(t) + β Dt G(t) , Dt (s(t) F(t)) − s(t) F(t) + s(t) F(t)

Dt (f(t) · g(t)) = f(t) · g(t)+⊙f(t) ·g(t) , per d = 3 si ha Dt (f(t) ∧ g(t)) = f(t)∧ g(t)+⊙f(t)∧g(t)

Dt [f, g, h] = Dt (f · (g ∧ h() = [f, g, h] + [f, g, h] + [f, g, h]

Dt s (f(t)) = ∇ (f(t)) · f(t)

f(t+ ∆t) = f(t) + ∆t f(t) +∆t)2

2f(t) + · · · +

∆t)n

n!Dt

n f(t) + · · ·

consideriamo una curva γ definita dalla funzione r(t) = ⟨x(t), y(t), x(t)⟩ ∈ {[a, b] 7−→ R×3}vettore tangente alla γ in r : r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩

lunghezza della curva : len(γ) =∫γ|dr| =

∫ b

adt |r(t)| =

∫ b

adt

√x(t)

2+ y(t)

2+ z(t)

2

traiettoria di una particella

posizione r(t) versore tangente alla traiettoria t(t) =r

|t(t)|velocita rispetto al parametro t v(t) =

r(t) = |r| t modulo della velocita v := |r|

versore normale principale n(t) =r” − v t

|r′′ − v t|

accelerazione rispetto a t aSd = v = r′′ = at t + an n at = v =v · av

=r′ · r′′

|r|an =


Alberto Marini

;600 equazioni differenziali ordinarie, ossia ODE

Per molti enunciati per la derivazione rispetto alla variabile x risulta conveniente usare la la notazione

Dx

Qui le ai, le αi, β e le Ci e le Di denotano costanti reali.

Sia P (t) un polinomio della forma an tn + an−1 t

n−1 + · · ·+ a1 t+ a0 per il quale, trattando equazioni

lineari , spesso si puo assumere an = 1. Come argomento del polinomio si puo assumere Dx e si puo

trattare l’operatore differenziale applicabile a funzioni della x

P (Dx) = Dxn + an−1Dx

n−1 + · · · + a1Dx + a0


MATeXp

;600A ODE lineari: coefficienti costanti

Si considera l’equazione avente come incognita una funzione y(x)

P (Dx) y = Q(x) ossia

(Dx

n + an−1Dxn−1 + · · · + a1Dx + a0

)y(x) = R(x)

che denotiamo con ER. Si tratta anche la sua corrispodente equazione omogenea relativa ad R(x) = 0

che possiamo denotare con E0.

Casi particolari

(Dx − α)y = 0 =⇒ y = C eαx

(Dx − α)m y = 0 =⇒ y =(Cm−1 x

m−1 + · · · + C1 x+ C0

)eαx(

(Dx − α+ i β) (Dx − α− i β))y(x) =⇒ y = (C cos β x+ D sin β x) eαx(

(Dx − α+ i β)m (Dx − α− i β)m)y(x) = 0 =⇒

y =((Cm−1 x

m−1 + · · · + C1 x+ C0)

cos β x+(Dm−1 x

m−1 + · · · + D1 x+ D0)

sin β x)eαx

Alla soluzione generale della ER si puo dare la forma y(x) = yp(x) + yh(x) , con yp particolare

soluzione della ER e yh(x) soluzione della E0. Questa si puo ottenere sommando soluzioni delle

equazioni precedenti.


Alberto Marini

;630 equazioni itegrali


MATeXp

;650 trasformata di Fourier

Supponiamo sia t una variabile reale per ∞ < t < +∞, ω una variabile in R ed f(t) una funzione -RR

differenziabile a pezzi e assolutamente integrabile, ossia∫ +∞−∞ dt |f(t)| <∞ . Si definisce trasformata

di Fourier della f(t)

f(ω) := Fω

(f(t)

):=

∫ +∞

−∞dt e−i ω t f(t)

In molti contesti il deponente della F si puo trascurare.

L’enunciato F (w) = f(t) si esprime anche con f(t) ⊃ F (ω) o con l’equivalente F (ω) ⊂ f(t) .

;650A proprieta della trasformata di Fourier

linearita: F(α1 · f1(t) + α2 · f2(t)

)= α1 · Fω

(f1(t)

)+ α2 · Fω

(f2(t)

)simmetria: f(t) ⊃ g(ω) =⇒ g(t) ⊃ 2π f(−ω)

parita: f(t) pari =⇒ f(ω) pari , f(t) dispari =⇒ f(ω) dispari

derivazione rispetto ad un parametro:

F (ω, α) := Fω

(f(t, α)

)=⇒ Fω

(∂

∂αf(t, α)

)=

∂

∂αFclω (f(t, α))

derivazione reiterata:

G(ω) := Fω

(dn

dtnf(t)

)=⇒ Fω

(f(t)

)=

G(ω)

(i ω)n+

n−1∑j=0

cjdj

dωjδ

g(t) := Ft

(dn

dωnF (ω)

)=⇒ Fω

(g(t)

):=

g(t)

(−it)n+

n−1∑j=0

kjdj

dtjη(t)

formula di sommazione di Poisson:

∀α ∈ R+

+∞∑j=−∞

f(α · j) =1

α

+∞∑n=−∞

f

(2nπ

α

)


Alberto Marini

;660 trasformata di Laplace

Consideriamo una funzione -RC f(t) continua a pezzi in R+ che soddisfa una limitazione della

forma |f(t)| ≤ c1 ec2 t e tale che esista

∫ +∞0

dt e−s t f(t) e che valga una limitazione della forma

|f(t)| ≤ c1 ec2 t ; sia s una variabile complessa. Si dice trasformata di Laplace della f(t) la funzione

F (s) := L (f(t)) :=

∫ +∞

0

dt es t f(t)

;660A proprieta della trasformata di Laplace

linearita: L(α1 · f1(t) + α2 · f2(t)

)= α1 · L

(f1(t)

)+ α2 · L

(f2(t)

)proprieta di convoluzione: L

(∫ t

0

du f1(t− u) · f2(u)

)= L

(f1(t)

)· L(f2(t)

)proprieta di integrazione: L

(∫ t

0

du f(u)

)=

1

sL(f(t))

proprieta di derivazione: L(d

dt

n

f(t)

)= sn L

(f(t)

)−

n−1∑j=0

sn−1−j

(lim

t→0+

dj

dtjf(t)

)proprieta di traslazione: L

(f(t− d)

)= e−d s L

(f(t)

)proprieta di omotetia: L

(f(α t)

)=

1

αF( sα

)per α ∈ R+

proprieta di smorzamento o damping: L(e−α tf(t)

)= F (s+ α)

proprieta di moltiplicazione: L(tn f(t)

)= (−1)n

d

ds

n

F (s)

proprieta di divisione: L(

1

tf(t)

)=ie

∫ +∞

s

du F (u)

inversione della trasformazione: f(t) := L−1 F (s) :=1

2π i

∫ c3+∞

c3−i∞dt es t F (s)

relazione con la trasformata di Fourier

∀t < 0 f(t) = 0 ∧∫ +∞

−∞dt |f(t)| <∞ =⇒ f(ω) = L

(f(i ω)

)

;660B trasformate di Laplace specifiche

L(1) =1

s, L(tn) =

n!

sn+1, L

(e−αt tn

)=

n!

(s+ α)n+1

;660C antitrasformate di Laplace specifiche

F (s) =1

s=⇒ f(t) = 1 ,


MATeXp

;670 trasformata -z

Consideriamo la successione x =⟨n ∈ N :| xn

⟩e la variabile reale z; si dice trasformata -z della x la

serie di potenze non positive della z lo sviluppo

Zz(x) :=+∞∑n=0

xn1

zn

In questa sezione ci serviremo della funzione di Heavyside sugli interi Hvsd(n) :={

0 sse n < 01 sse n ≥ 0

e

della delta di Kronecker δk,n :={

0 sse k = n1 sse k = n

.

;670A proprieta della trasformata -z

linearita: Zz

(α1 · x1 + α2 · x2

)= α1 · Zz

(x1)

+ α2 · Zz

(x2)

successione inizialmente azzerata

∀k ∈ P Zz

(⟨n ∈ [k : +∞) :| xn

⟩)= Z(x)

successione traslata

∀k ∈ P Zz

(⟨n ∈ N :| xn+k

⟩)= zk · Zz(x) −

k−1∑j=0

zk−j xj

Zz

(⟨n ∈ N :| an · xn

⟩)= Zz/a

(x)

∀k ∈ P Zz

(⟨n ∈ N :| (−1)k

k∏j=1

(n− j) xn−k Hvsd(n)⟩)

=dk

dzkZz

(x)

Zz

(⟨n ∈ N :| n · xn

⟩)= −z · d

dz

(Zz

(x))

convoluzione delle successioni x ed y =⟨n ∈ N :| yn

⟩Zz

(⟨n ∈ N :|

n∑j=0

xn−j yj⟩)

= Zz

(⟨n ∈ N :|

n∑j=0

xj yn−j

⟩)= Zz

(x)· Zz

(y)

;670B trasformate -z specifiche

∀k ∈ P Zz

(⟨n ∈ N :| δk,n

⟩)=

1

zk

∀α ∈ Cnz Zz

(⟨n ∈ N :| αn

⟩)=

z

z − α

∀α ∈ Cnz Zz

(⟨n ∈ N :| αn

⟩)=

z

z − α

∀k ∈ N Zz

(⟨n ∈ N :| Hvsd(n− k)αn−k

⟩)=

z1−k

z − α

∀α ∈ Cnz Zz

(⟨n ∈ N :| nαn

⟩)=

α z

(z − α)2


Alberto Marini

∀α ∈ Cnz Zz

(⟨n ∈ N :| n2 αn

⟩)=

α (z + α) z

(z − α)3


MATeXp

;700 equazioni alle derivate parziali, ossia PDE


Alberto Marini

;720 funzioni olomorfe e funzioni analitiche

;720A funzioni olomorfe

diciamo funzione olomorfa una funzione f ∈ {C −→ C}, cioe della forma w = f(z) = f(x +

i y) = u(x, y)+a v(x, y) , il cui dominio D e connesso e che in ogni punto interno di D e differenziabile,

cioe t.c. esista f ′(z) = lim∆x→02

f(z+∆ z)−f(z)∆ z ;

la f(z) si dice olomorfa nel punto ∞ sse la f(1x

)e olomorfa in 0

f(z) e differenziabile in z sse valgono le equazioni di Cauchy-Riemann∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂xe le derivate parziali sono continue nei punti di D

se f(z) e espressa nelle coordinate polari r :=√x2 + y2 e θ := arctan(y/x), si devono soddisfare le

equazioni r∂u

∂r=

∂v

∂θ, r

∂v

∂r= −∂u

∂θ

∆u =∂2 u

∂2x+∂2 u

∂2y= 0 =⇒ ∆ v = 0 quindi u e v sono funzioni armoniche coniugate

{c1 ∈ R :| u(x, y) = c1} e {c2 ∈ R :| u(x, y) = c2} sono due famiglie di curve armoniche coniugate

se ∃M ∈ R+ ST |f(z)| ≤ M su una curva chiusa semplice Γ sulla quale f(z) non e costante, allora

|f(z)| ≤M nella regione delimitata daΓ principio del massimo modulo

f ′(z) = 0 =⇒ w = f(z) in un imtorno di a possiede una funzione inversa analitica edz

dw=

dw

dz

−1

una funzione olomorfa nell’intetro piano complesso viene detta funzione intera

una funzione intera limitata e una funzione costante teorema di Liouville

f(z) olomorfa per |z| < 1 , f(z) ≤ 1 , f(0) = 0 =⇒ |f(z) ≤ |z| con |f(z) = |z| ⇐⇒ f(z) = c z con

|c| = 1 lemma di Schwarz

;720B funzioni analitiche


MATeXp

;730 spazi di Hilbert


Alberto Marini

;740 serie e funzioni ipergeometriche

;740A serie e funzioni ipergeometriche 2F1

;740B serie e funzioni ipergeometriche confluenti

;740C serie e funzioni ipergeometriche pFq


MATeXp

;750 sistemi di funzioni ortogonali

in questa sezione con Poln≤k(x) denotiamo un imprecisato polinomio nella x di grado minore o uguale

a k ∈ N e con Poln=k(x) un imprecisato polinomio di grado uguale a k


Alberto Marini

;760 polinomi ortogonali

Su questo argomento il riferimento attualmente piu aggiornato e completo e la Digital Library of

Mathematical Functions (dlmf.nist.gov/)

Una successione di polinomi reali ⟨n ∈ N :| pn(x)⟩ si dice graduata sse ∀n ∈ N deg(pn(x)) = n

sia [a, b] un intervallo reale limitato o illimitato; si dice funzione peso su [a, b] ogni funzione di {[a, b] 7−→R+}; denotiamo con Wtfna,b l’insieme delle funzioni peso su [a, b]

sia w(x) ∈ Wtfn; si dice sistema di polinomi ortogonali su [a, b] rispetto al peso w(x) ogni suc-

cessione graduata di polinomi reali tali che∫ b

adx w(x) pn(x) pm(x) = Nn δm,n . chiaramente

Nn =∫ b

adx w(x) pn(x)

2

in un sistema di polinomi ortogonali talora conviene includere il polinomio nullo come polinomio di

grado −1

denotiamo con SysPolOrtw(x)(a, b) l’insieme dei sistemi di polinomi ortogonali rispetto al peso w(x)

su [a, b];

un ⟨n ∈ N :| pn(x)⟩ ∈ SysPolOrtw(x)(a, b) si dice sistema di polinomi ortonormali sse ∀n ∈ N Nn = 1

denotiamo con SysPolOrtNw(x)(a, b) l’insieme dei sistemi di polinomi ortonormali su [a, b]

siano f(x) e g(x) funzioni definite in [a, b]; nell’ipotesi che il seguente integrale esista, introduciamo il

funzionale bilineare⟨f(x)|g(x)

⟩:=

∫ b

adx w(x) f(x) g(x)

Facendo riferimento ad un P := ⟨n ∈ N :| pn(x)⟩ ∈ SysPolOrtw(x)(a, b) ed alle notazioni precedente-

mente introdotte.

Denotiamo con z(n)i per i = 1, 2, ..., n gli zeri di pn(x);

questi zeri sono tutti distinti ed appartengono tutti ad (a, b)

scriviamo hn il coefficiente di grado n di pn(x) e possiamo supporre sia sempre hn > 0

esistono tre successioni di reali ⟨n ∈ N :| an⟩ ⟨n ∈ N :| bn⟩ e ⟨n ∈ N :| cn⟩ tali che si ha la formula di

ricorrenza

∀n ∈ N x pn(x) = an pn+1 + bn pn + cn pn−1(x) con an =hnhn+1

> 0 e cn =Nn hn−1

Nn−1 hn> 0

formula di Christoffel-Darboux consideriamo x e y variabili in ⟨a, b⟩

∀n ∈ Nn∑

i=0

pi(x) pi(x)

Ni=

hnNn hn+1

· pn+1(y) pn(x) − pn+1(x) pn(y)

y − x

disuguaglianza di Bessel consideriamo un qualsiasi ⟨n ∈ N :| un(x)⟩ ∈ SysPolOrtNw(x)(a, b) ed

una f(x) opportunamente integrabile in [a, b] e poniamo per ogni i ∈ N ci :=⟨f |ui

⟩; allora

∀n ∈ Nn∑

i=0

ci2 ≤

∫ b

a

dx w(x) f(x)2

di conseguenza ∀⟨n ∈ N :| pn(x)⟩ ∈ SysPolOrtw(x)(a, b) limn→+∞

1√Nn

∫ b

a

dx w(x) f(x) pn(x) = 0

;760A polinomi di Legendre

successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice

1√1 − 2x t+ t2

=:+∞∑n=0

Pn(x) tn o con la espressione esplicita Pn(x) :=

⌊n/2⌋∑k=0

(−1)k(1/2)n (2x)n−2k

k! (n− 2k)!

dunque ⟨n ∈ N :| Pn(x)⟩ e una successione graduale di polinomi


MATeXp

Pn(−x) = (−1)n Pn(x) Pn(1) = 1 Pn(−1) = (−1)n P2n+1(0) = 0

P2n(0) = (−1)n(1/2)n

n!P2n

′(0) = 0 P2n+1′(0) = (−1)n

(3/2)n

n!

formula di Rodrigues Pn(x) =1

(2n)!!Dx

n (x2 − 1)n

;760B funzioni associate di Legendre

funzioni dipendenti dal parametro n ∈ N e dal parametro m ∈ [0 : n] definibili equivalentemente con

una espressione eplicita alla Rodrigues o con una relazione generatrice

Pmn (x) := (1 + x2)

m2 Dx

m Pn(x) (2m− 1)!! (1 − x2)m2 tm(1 − 2xt+ t2)−m−1/2 =

+∞∑n=m

Pmn (x) tn

ogni y(x) := Pmn (x) soddisfa l’equazione (1 − x2) y′′ − 2x y +

(n(n+ 1) − m2

1 − x2

)y = 0

(n−m+ 1)Pmn+1(x) = (2n+ 1)xPm

n (x) − (n+m)Pmn−1(x)

Pm+1n (x) = 2mx((1 − x2)−1/2 Pm

n (x) − (n−m+ 1)(n+m)Pm−1n (x)∫ +1

−1

dx Pmn (x)Pm

k (x) = δn.k(n+m)!

(n−m)!

2

2n+ 1

cioe ∀m ∈ N⟨n ∈ [m : +∞) :| Pm

n (x)⟩∈ SysPolOrt e

∀f(x) ∈ FunSqsum(−1,+1) f(x) =

+∞∑n=m

Pmn (x) con cn

2n+ 1

2

n−m)!

(n+m)!

∫ +1

−1

dx f(x)Pmn (x)

;760C armoniche sferiche di superficie

consideriamo gli interi l ∈ N ed m ∈ [ − l, l] e le coordinate di un punto sulla sfera di raggio 1 θ e ϕ;

sono dette armoniche sferiche di superficie le funzioni

Yl,m(θ, ϕ) := (−1)|m|+m

2

√2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

P|m|l (cos θ) eimϕ

= (−1)|m|+m

2

√2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

sin |m| θd|m|

d(cos θ)|m| P|m|l (cos θ) eimϕ

Y0,0(θ, ϕ) =1

2√π

, Y1,0(θ, ϕ) =

√3

4πcos θ , Y1,±1(θ, ϕ) = ∓

√3

8πsin θ e±iϕ ,

Y2,0 =

√5

16π(3 cos2 θ − 1) , Y2,±1 = ∓

√15

8πsin θ cos θ e±i ϕ , Y2,±2 =

√15

32πsin2 θ e±2i, ϕ

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θ Yl,m∗(θ, ϕ)Yl′,m′

∗(θ, ϕ) = δm,m′ δl,l′

consideriamo le due direzioni ⟨θi, ϕi⟩ per i = 1, 2 e l’angolo α da esse definito

2 l + 1

4πPl(cos α) =

+l∑m=−l

Yl,m∗(θ1, ϕ1)Yl,m(θ2, ϕ2) formula di addizione

ei k z =+∞∑l=0

(2l + 1) il jl(k r)Pl(cos θ) sviluppo dell’onda piana


Alberto Marini

;760D polinomi di Cebyshev

polinomi di Cebyshev di prima specie Tn(x) := cos(n arccosx) ovvero Tn(cos θ) = cos(n θ)

definibili anche per ricorrenza T0(x) := 1 , T1(x) := x , Tn(x) := 2xTn−1(x) − Tn−2(x) ,

con la relazione generatrice1 − xt

1 − 2xt+ t2=

+∞∑n=0

Tn(x) tn (conv. per |x|, |t| < 1)

e con l’espressione esplicita Tn(x) :=

⌊n/2⌋∑k=0

(−1)k(n

2/k

)xn−2k(1 − x2)k

T0(x) = 1 , T1(x) = x , T2 = 2x2 − 1 , T3(x) = 4x3 − 3X , T4(x) = 8x4 − 8X2 + 1

polinomi di Cebyshev di seconda specie Un(x) := sin((n+ 1) arccosx

)ovvero Un(cos θ) =

sin(n+ 1) θ

sin θdefinibili anche per ricorrenza U0(x) := 1 , U1(x) := 2x , Un(x) := 2xUn−1(x) − Un−2(x) ,

con la relazione generatrice1 − xt

1 − 2xt+ t2=

+∞∑n=0

Un(x) tn (conv. per |x|, |t| < 1)

e con l’espressione esplicita Un(x) :=n∑

k=0

(−2)k(n+ k − 1)!

(n− k)! (2k + 1)!(1 − x)k per n > 0

U0(x) = 1 , T1(x) = 2x , U2 = 4x2 − 1 , U3(x) = 4x3 − 3X , U4(x) = 16x4 − 12X2 + 1

Tn(−x) = (−1)n Tn(x) , Un(−x) = (−1)n Un(x)

Tn(x) ha n zeri semplici in (− 1,+1): xk = cos

(2k − 1

2nπ

)per k = 1, ..., n

Tn(x) ha n zeri semplici in (− 1,+1): xk = cos

(k

n+ 1π

)per k = 1, ..., n

gli estemi di Tn(x) in [ − 1,+1] si trovano per x = cos

(k

nπ

)per k = 0, 1, ..., n; Tn(x) ed Un(x)

presentano estremi in −1 e +1: Tn(1) = 1 , Tn(−1) = (−1)n , Un(1) = n+1 , Un(−1) = (−1)n (n+1)

polinomi di Cebyshev di terza specie Vn(cos θ) :=sin((2n+ 1) tet/2

)sin(θ/2)

polinomi di Cebyshev di quarta specie Wn(cos θ) :=cos((2n+ 1) tet/2

)cos(θ/2)

;760E polinomi di Hermite

successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice

e2 x t−t2 =:+∞∑n=0

Hn(x)tn

n!o con la espressione esplicita Hn(x) :=

⌊n/2⌋∑k=0

(−1)kn! (2x)n−2k

k! (n− 2k)!

Hn(x) − 2n xn + Poln=n−2 , Hn(−x) = Hn(x)

H2k(0) = (−1)k 22k (1/2)k , H2k+1(0) = 0 , H ′2k+1(0) = (−1)k 22k+1 (3/2)k , H ′

2k(0) = 0

H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x2−2 , H3(x) = 2x = 8x2−12x , H4(x) = 16x4−48x2 +12

H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x , H6(x) = 64x6 − 480x4 + 720x2 − 120

Hn′(x) = 2nHn−1(x) , Hn(x) = 2xHn−1(x) −Hn−1

′(x)

Hn(x) = 2xHn−1 − 2(mn− 1)Hn−2(x) , Hn′′ − 2xhn

′(x) + 2nHn(x) = 0

Hn(x) = (−1)n ex2

Dxn e−x2

formula alla Rodrigues


MATeXp

Pn(x) =2

n!√π

∫ +∞

0

dt e−t2 Hn(x t) , Hn(x) = 2n+1 ex2

∫ +∞

0

dt e−t2 tn+1 Pn

(xt

)Hn(x) = (2x)n −2F1

(−n

2,−n

2+

1

2;−;− 1

x2

)∫ +∞

−∞dx e−x2

Hn(x)Hm(x) = δn,m√π e2 t2 quindi

⟨n ∈ N :| Hn(x)

⟩∈ SysPolOrte−x2 (−∞,+∞)

Hn(x) =

⌊n/2⌋∑k=0

(−1)k n! (2n− 4k + 1)

k! (3/2)n−2k1F2(−k, 3/2 + n− 2k; 1)Pn−2k(x)

;760F polinomi di Laguerre

sia α ∈ (− 1,+∞); per ogni n ∈ N si definisce polinomio di Laguerre di grado n

Ln(α) :=

(1 + α)n

n!1F1(−n; 1 + α;x) =

(1 + α)n(x)

n!

+∞∑k=0

(−n)k xk

(1 + α)k k!

se α = 0 scriviamo Ln(x) := Ln(0)(x) = 0F1(, 1, ;x)

L0(α)(x) = 1 , L1

(α)(x) = −x+ 1 + α , L2(α)(x) =

1

2x2 − (2 + α)x+

1

2(1 + α)(2 + α) ,

L3(α)(x) = −1

6x3 +

1

2(3 + α) − 1

2(2 + α)(3 + α) +

1

6(1 + α)(2 + α)(3 + α)

et 0F1(, 1 + α;−x t) = Γ(1 + α)(x t)−α/2 et Jα(2√

(xt) =+∞∑n=0

L(α)n (t)

tn

(1 + α)k

1

(1 − t)1+αe−

x t1−t =

+∞∑n=0

L(α)n (x) tn

xDx L(α)n (x) = nL(α)

n (x) − (n+ α)L(α)n−1(x) , Dx L

(α)n (x) = Dx L

(α)n−1(x) − L

(α)n−1(x) = −

n−1∑k=0

L(α)k (x)

nL(α)n (x) = (2n− 1 + α− x)L

(α)n−1(x) − (n− 1 + α)L

(α)n−2(x)

L(α)n (x) = L

(α)n−1(x) + L

(α−1)n (x) , (n− x)L

(α)n (x) = (α+ n)L

(α)n−1(x) − xL

(α+1)n (x)

(1 + α+ n)L(α)n (x) = (n+ 1)L

(α)n+1(x) + xL

(α+1)n (x) , L

(α+1)n (x) =

∑+∞k=0 L

(α)k (x)

L(α)n (x) =

x−α ex

n!Dxn

(e−x xn+α

)formula alla Rodrigues∫ +∞

0

dx xα e−x L(α)n (x)L(α)

m (x) = δm,nΓ(1 + α+ n)

n!per ℜ(α > −1

quindi se ℜ(α > −1 ,⟨n ∈ N :| L(α)

n (x)⟩∈ SysPolOrtxα e−x(0,+∞)

xn =+∞∑k=0

−1)n n!

(n− k)! (1 + α)nL(α)k (x)

Hn(x) = 2n (1 + α)n+∞∑k=0

2F2

[−1

2 (n− k), − 12 (n− k − 1);

−12 (α+ n), −1

2 (α+ n− 1);

1

4

]·

(−n)k L(α)k (x)

(1 + α)k

Pn(z) =2n (1/2)n (1 + α)n

n!2F3

[−1

2 (n− k), −12 (n− k − 1);

12 − n, 1

2(α+ n), − 1

2 (α+ n− 1);1

4

]·

(−n)k L(α)k (x)

(1 + α)k

L(α)n (x) =

+∞∑k=0

(α− β)k

k!L(β)n−k(x) , L(α+β+1)

n (x+ y) =+∞∑k=0

L(α)n (x)L

(β)n−k(x)


Alberto Marini

L(α)n (x y) =

+∞∑k=0

(1 + α)n

(n− k)! (1 + α)k(1 − y)n−k yk L

(α)k (x)

∀c ∈ R \ Z−,0 L(α)n (x) =

(1 + α)n

cn

+∞∑k=0

(1 + α− c)k

cnL(α)n (−x)L

(2c−α−2)n−k (x)

+∞∑n=0

(n+ k)!

N ! k!L(α)n+k t

n = (1 − t)−1−k−α exp

(− x t

1 − t

)L(α)k

(x

1 − t

)

;760G polinomi di Jacobi

successione graduale di polinomi che si possono definire equivalentemente mediante la relazione gene-

ratrice

u−1 (1 − t+ u)−α (1 + t+ u)−β =+∞∑n=0

2−α−β P (α,β)n (x) tn

ove u :=√

1 − 2xt+ t2 e per |x| < 1 e |t| < 1

o con la espressione esplicita P (α,β)n (x) :=

1

2n

+∞∑k=0

(n+ α

k

)(n+ β

n− k

)(x+ 1)k (x− 1)n−k

P (α,β)n (x) =

(−1)n

(2n)!!(1 − x)−α (1 + x)−β Dx

n((1 − x)n+α (1 + x)n+β

)formula alla Rodrigues∫ +1

−1

dx (1 − x)α (1 + x)β P (α,β)n (x)P (α,β)

m (x) = δm,n2α+β+1 Γ(n+ α+ 1) Γ(n+ β + 1)

(2n+ α+ β + 1)n! Γ(n+ α+ β + 1)

quindi⟨n ∈ N :| P (α,β)

n (x)⟩∈ SysPolOrt

y = P(α,β)n (x) soddisfa l’equazione (1−x2), y′′ +(β − α− (α+ β + 2)x) y′ +n(n+α+β+1) y = 0

;760H polinomi di Gegenbauer ed ultrasferici

si dicono polinomi ultrasferici i particolari polinomi di Jacobi P(α,α)n (x) per i quali vale la relazione di

generazione (1 − 2x t+ t2)−12−α =

+∞∑n=0

(1 + 2α)n P(α,α)n

(1 + α)ntn

si dicono polinomi di Gegenbauer e si denotano con Cnν(x) le generalizzazioni dei polinomi di Legendre

che definiamo con la relazione di generazione (1 − 2x t+ t62)−ν =+∞∑n=0

Cnν(x) tn

i due tipi di polinomi sono strettamente collegati:

Cnν(x) =

(2ν)n P(ν−1/2,ν−1/2)n (x)

(nu+ 1/2)nP (α,α)n (x) =

(1 + α)n Cnα+1/2(x)

(1 + 2α)n

ciascuno di essi presenta vantaggi parziali; nel seguito ci concentreremo sui Cnν(x)

Pn(x) = Cn1/2 , Cn

ν(x) =2n νn

n!xn + Poln=n−2 , Cn

ν(−x) = (−1)nCnν(x)

ex t0F1

[;

ν + 12 ;

t2(x2 − 1)

4

]=

+∞∑n=0

Cnν(x)

2νntn

∀γ (1 − xt)−γ2F1

[γ2 ,

γ2 + 1

2 ;ν + 1

2 ;

t2(x2 − 1)

(1 − xt)2

]=

+∞∑n=0

γn Cnν(x)

(2ν)n


MATeXp

(1 − x2)Dx2 Cn

ν(x) − (2ν + 1)xDx Cnν(x) + n(2ν + n)Cn

ν(x) = 0

Cnν(x) =

(2ν)n

n!2F1

[−n, 2ν + n;

ν + 12 ;

1 − x

2

]=

+∞∑k=0

(2ν)n+k

k! (n− k)!(ν + 1/2)k

0F1

[;

ν + 12 ;

t(x− 1)

2

]0F1

[;

ν + 12 ;

t(x− +)

2

]=

+∞∑n=0

Cnν(x) tn

(2ν)n (ν + 1/2)n(rel di Bateman)

2F1

[γ, 2ν − γ;

ν + 1/2;

1 − t− ρ

2

]2F1

[γ, 2ν − γ;

ν + 1/2;

1 + t− ρ

2

]=

+∞∑n=0

γn (2ν − γ)n Cnν(x) tn

(2ν)n (ν + 1/2)n

dove ρ :=√

1 − 2x t+ t2 (relazione generatrice di Brafman)


Alberto Marini

;770 funzioni speciali

su questo argomento il riferimento attualmente piu aggiornato e completo e la Digital Library of

Mathematical Functions (dlmf.nist.gov/)

;770A funzione Gamma e collegate

funzione Gamma funzione analitica t.c. Γ(z) :=

∫ +∞

0

dt e−t tz−1 per ℜ(z) > 0

per ℜ(z) ≤ 0 possiede poli per ogni z ∈ Z−1

Γ(z)e funzione intera

Γ(z) =

∫ +∞

1

dt tz−1 e−t ++∞∑n=0

−1n

n! (z + n)per z ∈ C \ Z−,0 Γ(z) = lim

n→+∞

nz n!

zn+1

∀z ∈ C \ Z−,0 Γ(z + 1) = z Γ(z) ∀n ∈ P γ(n) = (n− 1)! Γ

(1

2

)=

√π

∀n ∈ P Γ

(n+

1

2

)=

(2n− 1)!!√π

2n, Γ

(−n+

1

2

)=

(−1)n 2n√π

(2n− 1)!!

Γ(z) Γ(1 − z) =π

sin π z, Γ

(1

2+ z

)Γ

(1

2− z

)=

π

cos π z

Γ(2 z) =1√(π

22 z−1 Γ(z) Γ

(z +

1

2

), Γ′(1) = −γem

funzione Psi ψ(z) :=Γ′(z)

Γ(z)per ogni z ∈ C \ Z−,0

ψ(z) = −1

z− γem +

+∞∑n=0

(−1)n

n! (z + n)

funzione Beta funzione analitica t.c. B(z, w) :=∫ 1

0dt (tz−1 (1 − t)w−1) per ℜ z , ℜw > 0

B(z, w) =Γ(z) Γ(w)

Γ(z + w)= 2

∫ π/2

0

dt sin 2 z − 1 t cos2w−1 t per ℜ z , ℜw > 0


MATeXp

;770B funzioni di Bessel

Introdurremo prima le funzioni di Bessel cilindriche Jp(x), Yp(x), H(1)p (x) e H

(2)p (x), poi le funzioni di

Bessel sferiche jp(x), yp(x), h(1)p (x) e h

(2)p (x)

nel seguito utilizzeremo i numeri armonici H0 := 0 e Hk :=k∑

h=1

1

h

funzioni di Bessel J

∀p ∈ C \ Z , x ∈ R+ Jp(x) :=+∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(p+ k + 1)

(x2

)p+2 k

∀n ∈ N Jn(x) :=+∞∑k=0

(−1)k

k! (n− k)!

(x2

)n+2 k

∀n ∈ P Jn(x) =1

π

∫ π

0

dϕ cos(x sin ϕ− nϕ) =1

2π

∫ π

−π

dϕ ei(x sin ϕ−nϕ

∀n ∈ P Jx = (−1)n Yn(x)

J0 = 1 − x2

22+

x4

22 42− x6

22 42 62+ · · · , J1 =

x

2− x3

22 4+

x5

22 42 6− x7

22 42 62 8+ · · ·

J1/2(x) =

√2

π xsin x , J−1/2(x) =

√2

π xcos x

J0′(x) = −J1(x)

funzioni di Weber-Neumann

∀p ∈ C \ Z Yp(x) :=Jp(x) cos p π − J−p(x)

sin p x

∀n ∈ P Yn(x) := limp→n

Yp(x)

=2

π

(γem + ln

x

2

)Jn(x) − 1

n

n−1∑k=0

(n− k − 1)!

k!

(x2

)2k−n

− 1

π

+∞∑k=0

(Hk +Hk+n)(−1)k

k! (n+ k)!

(x2

)2k+n

=1

π

∫ π

0

dt sin(x sin t− n t) − 1

π

∫ +∞

0

dt(ent + (−1)n e−nt

)e−x sinh t

∀n ∈ P Yn(x) = (−1)n Yn(x)

funzioni di Hankel

H(1)p (x) := Jp(x) + i Yp(x) H

(2)p (x) := Jp(x) − i Yp(x)

funzioni di Bessel modificate

In(x) := i−n Jn(i x) =+∞∑k=0

1

k! (n+ k)!

(x2

)n+2k

=1

π

∫ π

0

dt ex cos t cos n t

I0 = 1 +x2

22+

x4

22 42+

x6

22 42 62+ · · · , I1 =

x

2+

x3

22 4+

x5

22 42 6+

x7

22 42 62 8+ · · ·

I0′(x) = I1(x)

Kn(x) :=π

2in+1H(1)

n (ix) =π

2in+1 (Jn(ix) + i Yn(ix)) =

∫ +∞

0

dt e−x cosh t cosh n t =

(−1)n+1(

lnx

2+ γem

)In(x) +

1

2

n−1∑k=0

(−1)k (n− k − 1)!(x

2

)2k−n

+(−1)n

2

+∞∑k=0

Hk +Hn+k

k! (n+ k)!

(x2

)2k+n


Alberto Marini

I1/2(x) =

√2

π xsinh x , J−1/2(x) =

√2

π xcosh x

funzioni di Kelvin

Ber(x) :=+∞∑k=0

(−1)k

((2 k)!)2

(x2

)4k, Bei(x) :=

+∞∑k=0

(−1)k

((2 k + 1)!)2

(x2

)4k+2

Ker(x) := −(

lnx

2+ γem

)Ber(x) +

π

4Bei(x) + 1 +

+∞∑k=1

(−1)k

((2 k)!)2 H2k

(x2

)4kKei(x) := := −

(lnx

2+ γem

)Bei(x) − π

4Ber(x) + 1 +

+∞∑k=0

(−1)k

((2 k + 1)!)2 H2k+1

(x2

)4k+2

Ber(x) + i Bei(x) = J0(e3 i π/4 x) , Ker(x) + iKei(x) = K0(ei π /4 x)

equazioni differenziali per le funzioni di Bessel

x2 y′′ + x y′ + (a2 x2 − p2) y = 0 ⇐⇒ y′′ +y′

x+

(a2 − p2

x2

)y = 0

⇐⇒ 1

x(x y′)′ +

(a2 − p2

x2

)y = 0 =⇒ y = αJp(a x) + β Yp(a x)

x2 y′′ + x y′ − (a2 x2 + n2) y = 0 ⇐⇒ y′′ +y′

x−(a2 +

p2

x2

)y = 0

⇐⇒ 1

x(x y′)′ −

(a2 +

n2

x2

)y = 0 =⇒ y = α Ip(a x) + β Kp(a x)

x2 y′′ + x y′ − i a2 x2 y = 0 ⇐⇒ 1

x(x y′)′ − i a2 y = 0

=⇒ y = α(Ber(a x) + i Bei(a x)

)+ β

(Ker(a x) + iKei(a x)

)funzioni generatrici delle funzioni di Bessel

exp

(x

2

(t− 1

t

))=

+∞∑n=−∞

Jn(x) tn , ei x sin ϕ =+∞∑

n=−∞Jn(x) ei n ϕ ,

exp

(x

2

(t+

1

t

))=

+∞∑n=−∞

In(x) tn

relazioni di ricorrenza per le funzioni di Bessel ∀Fp(x) ∈{Jp(x), Yp(x),H

(1)p (x),H

(2)p (x)

}Fp−1(x) + Fp+1(x) =

2 p

xFp(x) , Fp−1(x) − Fp+1(x) = 2Fp

′(x)

xFp′(x) = pFp(x) − xFp+1(x) = xFp−1(x) − pFp(x)(

xp Fp(x))′

= xp Fp−1(x) ,(x−p Fp(x)

)′= −x−p Fp+1(x) (J0

′(x) = −J1(x) , Y0′(x) = −Y1(x))∫

dx Fn2(x)x =

1

2x2,(Fn

′(x))2

+1

2(x2 − n2)Fn

2(x)∫dx x1+n Fn(x) = x1+n Fn+1(x) = −x1−n

(Fn

′(x) − n

xFn(x)

)∫

dx x1−n Fn(x) = x1−n Fn−1(x) = −x1−n(Fn

′(x) +n

xFn(x)

)∫

dx xn F0(x) = xn F1(x) + (n− 1)xn−1 F0(x) − (n− 1)2∫

dx xn−2 F0(x)

Fn(a x)Fnb x)x =x(aFn(b x)Fn

′(a x) − b Fn(a x)Fn′(b x)

)b2 − a2


MATeXp

∫dx Fn

2(a x)x =x2

2

(Fn

′(a x)2 +

(1 − n2

a2 x2

)Fn(a x)2

)In+1(x) = In−1(x) − 2n

xIn(x) = 2 In

′(x) − In−1(x)

Kn+1(x) = Kn−1(x) +2n

xKn(x) = −2Kn

′(x) −Kn−1(x)

sistemi ortogonali di funzioni di Bessel

consideriamo p ∈ R0,+, L ∈ R+, l’intervallo I := [0, L] e la funzione peso w(x) = x;

gli zeri positivi di Jp(x) costituiscono una successione che scriviamo⟨i ∈ P :| zi

⟩∫ L

0

dx xJp

(zi xL

)Jp

(zj xL

)= δi,j

L2 (Jp+1(zi))2

2

e la successione⟨i ∈ :| Jp

(zi xL

)⟩costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]

rispetto al peso w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f(x) =+∞∑i=0

ci Jp

(zi xL

)con ci =

2

L2 Jp+12

∫ L

0

dx x f(x)Jp

(zi xL

)gli zeri positivi della c Jp(x) + xJp

′(x) = 0 per c > −p costituiscono una successione che scriviamo⟨i ∈ P :| vi

⟩∫ L

0

dx xJp

(vi xL

)Jp

(vj xL

)= δi,j

L2 (vi2 − p2 + c2)Jp(vi)

2

2 vi2

e la successione⟨i ∈ P :| Jp

(vi xL


rispetto al peso w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f(x) =+∞∑i=0

ci Jp

(vi xL

)con ci =

2 vi2

L2(vi2 − p2 + c2)(Jp(vi))2

∫ L

0

dx x f(x) Jp

(vi xL

)gli zeri positivi della −p Jp(x) +xJp

′(x) = 0 costituiscono una successione che scriviamo⟨i ∈ P :| ui

⟩∫ L

0

dx xJp

(ui xL

)Jp

(uj xL

)= δi,j

L2 Jp(vi)2

2

e la successione⟨i ∈ :| Jp

(ui xL


rispetto alla w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f(x) = c0 xp +

+∞∑i=1

ci Jp

(ui xL

)con c0 =

2p+ 2

L2p+2

∫ L

0

dx f(x)xp+1 e

ci =2ui

2

L2 Jp+1(ui)2

∫ L

0

dx x f(x)Jp

(ui xL

)funzioni di Bessel sferiche

jn(x) :=

√π

2xJn+1/2(x) = xn

(− 1

x

d

dx

)nsin x

x=

xn

2n+1 n!

∫ π

0

dt cos(x cos t) sin2n+1 t

yn(x) := (−1)n+1

√π

2xJ−n−1/2(x) =

√π

2xYn+1/2(x) = −xn

(− 1

x

d

dx

)ncos x

x

h(1)n (x) := jn(x) + i yn(x) =

√π

2xH

(1)n+1/2(x)

h(2)n (x) := jn(x) − i yn(x) =

√π

2xH

(2)n+1/2(x)

j0(x) =sin x

x, j1(x) =

sin x

x2− cos x

x, j2(x) =

(− 3

x3+

1

x

)sin x− 3

x2cos x


Alberto Marini

y0(x) = −cos x

x, y1(x) = −cos x

x2− cos x

x, j2(x) =

(− 3

x3+

1

x

)cos x− 3

x2sin x

ricorrenze ∀fn(x) ∈ {jn(x), jn(x), h(1)n (x), h(2)n (x)} fn+1(x) = (2n+ 1)fn(x)

x− fn−1(x) ,

fn′ =

n

2n+ 1fn−1(x) − n+ 1

2n+ 1fn+1 = fn−1(x) − n+ 1

nfn(x) =

n

xfn(x) − fn+1(x)

equazione differenziale x2 y′′ + 2 y′ +(a2 x2 − n(n+ 1)

)y = 0 =⇒ y = α jn(a x) + β yn(a x)


MATeXp

;770C integrali ellittici

integrali ellittici del primo tipo

F (k, ϕ)) :=

∫ ϕ

0

dθ√1 − k2 sin2 θ

=

∫ x

0

dt1√

(1 − t2)(1 − k2 t2)per k2 < 1

integrali ellittici del secondo tipo

E(k, ϕ)) :=

∫ ϕ

0

dθ√

1 − k2 sin2 θ =

∫ x

0

dt

√(1 − k2 t2)

1 − t2per k2 < 1

integrali ellittici del terzo tipo

π(k, n, ϕ)) :=

∫ ϕ

0

dθ

(1 − n sin2 θ)√

1 − k2 sin2 θ=

∫ x

0

dt1

(1 − n t2)√

(1 − t2)(1 − k2 t2)per k2 <

1

integrali ellittici completi

K(k) := F(k,π

2

)=

∫ π/2

0

dθ√1 − k2 sin2 θ

per k2 < 1

E(k) := E(k,π

2

)=

∫ π/2

0

dθ√

1 − k2 sin2 θ per k2 < 1

relazione di Legendre posto k′ :=√

1 − k2 : E(k)K(k′) + E(k′)K(k) −K(k)K(k′) =π

2

equazioni differenziali k(1 − k2)d2K(k)

dk2+ (1 − 3 k2)

dK(k)

dk− kK(k) = 0

k(1 − k2)d2E(k)

dk2+ (1 − k2)

dE(k)

dk+ k E(k) = 0


Alberto Marini

;770D dilogaritmo e polilogaritmi

si dice dilogaritmo la funzione analitica definita dalla serie di potenze Li2(x) :=

+∞∑n=1

xn

n!convergente

per x ≤ 1

forallx ∈ C \ [1,+∞) Li2(x) = −∫ x

0

dtln(1 − t)

tnel suddetto insieme quindi si ha una funzione univoca

Li2(x) = x 3F2

[1, 1, 1

2, 2;x

], Li2(x) + Li2

(x

x− 1

)= −1

2

(ln(1 − x)

)2∀n ∈ P , ω ST ωn = 1 Li2(xn) =

n−1∑i=0

Li2(ωi x) , Li2(x) − Li2(1 − x) = π2

6 − ln(1 − x)

1

2Li2(x2) = Li2(x) + Li2(−x)

Li2(0) = 0 , Li2(1) =π2

6, Li2(−1) = −π

2

12, Li2

(1

2

)=π2

12− 1

2(ln 2)2

Li2

(x

1 − x· y

1 − y

)= Li2

(x

1 − y

)+ Li2

(y

1 − x

)Li2(x) − Li2(y) ln(1 − x) ln(1 − y)

si generalizza il dilogaritmo definendo per ogni s ∈ C come polilogaritmo di ordine s la funzione analitica

definita dalla serie Lis(x) :=

+∞∑n=1

xn

nsconvergente per |x| ≤ 1

Li3(x) viene chiamata anche trilogaritmo

DxLis(x) =1

xLis−1(x) ovvero Lis(x) =

∫ x

0

dtLis−1(t)

t

per s ∈ Z−,0 Lix(x) e una funzione razionale: in particolare

Li1(x) = − ln(1 − x) , Li0(x) =x

x− 1, Li−1(x) =

x

(1 − x)2,

Li−2(x) =x(1 + x)

(1 − x)3, Li−3(x) =

x(1 + 4x+ x2)

(x− 1)4, Li−4(x) =

x(1 + x)(1 + 10x+ x2)

(1 − x)5

Lis(x) = x s+1Fs

[1, 1, ..., 1;

2, ..., , 2 :x

]∀n ∈ N Li−n =

(xd

dx

)n(x

1 − x

)=

n∑i=0

i!Strl2(n+ 1, i+ 1)

(x

1 − z

)i+1


MATeXp

;770E altre funzioni da integrali trascendenti

integrali esponenziali

E1(x) :=

∫ +∞

x

dte−t

t=

∫ +∞

1

dte−x t

t= −γem − ln x−

+∞∑n=1

(−1)n xn

nn!per x > 0

∀n ∈ P En(x) :=

∫ +∞

1

dte−x tn

tper x > 0 ∀n ∈ P En+1(x) =

1

n

(e−x − xEn(x)

)Ei(x) :=

∫ x

−∞

et

t= γem + ln x+

+∞∑n=1

xn

nn!se x < 0 si assume il valore principale dell’integrale

li(x) :=

∫ x

0

dt1

ln t= Ei(ln x) se x > 1 si assume il valore principale

funzione degli errori e sua complementare

erf(x) :=2√π

∫ x

0

dt e−t2 =2√π

+∞∑n=0

(−1)n

n! (2n+ 1)x2n+1

erf(x) := 1 − erf(x)

seno integrale Si(x) :=

∫ x

0

dtsin t

t=

+∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)(2n+ 1)!

coseno integrale Ci(x) := −∫ +∞

x

dtcos t

t= γem + ln x+

+∞∑n=1

(−1)n x2n

2n(2n)!per x > 0

integrali di Fresnel

C(x) :=

∫ x

0

dt cosπ t2

2=

+∞∑n=0

(−1)n (π/2)2n

(2n)! (4n+ 1)x4n+1

S(x) :=

∫ x

0

dt sinπ t2

2=

+∞∑n=0

(−1)n (π/2)2n+1

(2n+ 1)! (4n+ 3)x4n+3


Alberto Marini

;990 indice KWIC dei termini rilevanti nel prontuario

base ortonormale ;250B

complemento ortogonale ;250B

ortonormale / base ;250B

ortogonale / complemento ;250B

R×d / topologia di ;500A√a2 x2 ± c2 / antiderivate di integrandi con ;420E√ax+ b / antiderivate di integrandi con ;420B

2F1 / serie e funzioni ipergeometriche ;740A

a x2 + b x+ c / antiderivate di integrandi con ;420G

a xn + b / antiderivate di integrandi con ;420J

a2 x2 ± c2 / antiderivate di integrandi con ;420D

ax+ b / antiderivate di integrandi con ;420A

ax+ b e cx+ d / antiderivate di integrandi con ;420C

c2 − a2 x2 per a, c > 0 / antiderivate di integrandi con ;420F

J / funzioni di Bessel ;770B

n dimensioni / sfera in ;210D

x3 ± a3 / antiderivate di integrandi con ;420H

x4 ± a4 / antiderivate di integrandi con ;420I

y = f(x) / curve date da funzioni ;520A

2D / centroidi e momenti di inerzia in ;560A

3D / centroidi e momenti di inerzia in ;560B

3D / rette e piani in ;220C

accumulazione – di aderenza – limite / punto di ;500

addizione per le armoniche sferiche / formula di ;760C

aderenza – limite / punto di accumulazione – di ;500

aderenza ;500

algebra / teorema fondamentale dell’ ;070B

algebra ;030

algebra degli octonioni ;280B

algebra di Boole ;030D

algebra lineare / matrici e ;150

algebra su campo ;030D

algebra unitale dei quaternioni ;280A

algebriche / operazioni ;030A

algebriche / specie di strutture ;030D

algebriche / sviluppi in serie di potenze di espressioni ;370A

algebrici / insieme dei numeri ;020D

algebrici / integrali definiti di integrandi ;460A

allargata di uno SLE / matrice dei coefficienti ;150F

altezze di un triangolo ;200A

analitica 1 / geometria ;220

analitica tridimensionale lineare / geometria ;220C

analitiche / funzioni ;720A

and / not ;005A


MATeXp

anello / modulo destro su ;030D

anello / modulo sinistro su ;030D

anello ;030D

angoli interni di un triangolo / bisettrici degli ;200A

angolo retto / regole di Napier per triangoli sferici con ;210D

angolo solido = sterangolo ;210C

antiderivate di integrandi con√a2 x2 ± c2 ;420E

antiderivate di integrandi con√ax+ b ;420B

antiderivate di integrandi con a xn + b ;420J

antiderivate di integrandi con a2 x2 ± c2 ;420D

antiderivate di integrandi con ax+ b ;420A

antiderivate di integrandi con ax+ b e cx+ d ;420C

antiderivate di integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0 ;420F

antiderivate di integrandi con x4 ± a4 ;420I

antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co)secante ;440B

antiderivate di integrandi con a x2 + b x+ c ;420G

antiderivate di integrandi con x3 ± a3 ;420H

antiderivate di integrandi con esponenziali ;440D

antiderivate di integrandi con logaritmi ;440E

antiderivate di integrandi con seno e/o coseno ;440A

antiderivate di integrandi con trigonometriche inverse ;440C

antiderivate di integrandi iperbolici e loro inverse ;440F

antihermitiana / matrice ;150C

antisimmetrica / matrice ;150C

antisimmetrica / relazione ;020B

antitrasformate di Laplace specifiche ;660C

appartenenza ;020A

approssimazione alla Stirling / formule di ;040A

approssimazione dei minimi quadrati ;150I

aquilone ;200C

arcocosecante ;120B

arcocoseno ;120B

arcocotangente ;120B

arcosecante ;120B

arcoseno ;120B

arcotangente ;120B

area / formula SAS dell’ ;005B

argomento del coseno iperbolico ;120C

argomento del seno iperbolico ;120C

argomento della cotangente iperbolica ;120C

argomento della tangente iperbolica ;120C

armoniche sferiche / formula di addizione per le ;760C

armoniche sferiche ;760C

armonici / numeri ;770B

arrotondamento ;020E

assi dei lati di un triangolo ;200A


Alberto Marini

associate di Legendre / funzioni ;760B

assoluto / valore ;020E

assurda / relazione ;020B

asta ;560A

aurea / sezione ;010

automorfismo ;030D

autovalori, diagonalizzazione / autovettori, ;250E

autovettori, autovalori, diagonalizzazione ;250E

basilari / sequenze combinatorie ;050A

basilari sugli interi / funzioni ;040

basilari sui reali / funzioni ;020E

Bernoulli e di Eulero / serie per numeri di ;350A

Bessel J / funzioni di ;770B

Bessel / disuguaglianza di ;760B

Bessel / equazioni differenziali per le funzioni di ;770B

Bessel / funzioni di ;770B

Bessel / funzioni generatrici delle funzioni di ;770B

Bessel / relazioni di ricorrenza per le funzioni di ;770B

Bessel / sistemi ortogonali di funzioni di ;770B

Bessel cilindriche / funzioni di ;770B

Bessel modificate / funzioni di ;770B

Bessel sferiche / funzioni di ;770B

Beta / funzione ;770A

bicondizionale ;005A

binomiali e sviluppo del binomio / coefficienti ;040B

binomiche / equazioni ;070G

binomio / coefficienti binomiali e sviluppo del ;040B

biquadratiche / equazioni ;070F

bisettrici degli angoli interni di un triangolo ;200A

Bolzano-Weierstrass / teorema di ;500

Boole / algebra di ;030D

Boole / reticolo di ;030D

Borel / teorema di Pincherle-Heine- ;500

calcolo degli enunciati ;005A

calcolo dei predicati ;005B

calcolo infinitesimale / curve piane e ;520

calotta sferica ;210C

campo / algebra su ;030D

campo / modulo su ;030D

campo ;030D

campo dei numeri complessi ;110

Cardano / formule di ;070E

Cartesio / regola dei segni di ;070C

Cauchy-Riemann / equazioni di ;720A

Cauchy-Schwarz / disuguaglianza di ;250B

cava / sfera ;560B


MATeXp

cavo / cilindro ;560B

cavo / cono ;560B

Cebyshev / polinomi di ;760D

centroide di un triangolo ;200A

centroidi e momenti di inerzia in 2D ;560A

centroidi e momenti di inerzia in 3D ;560B

cerchio ;560A

chiusura di equivalenza ;020B

chiusura riflessiva ;020B

chiusura riflessivo-transitiva ;020B

chiusura simmetrica ;020B

chiusura transitiva ;020B

Christoffel-Darboux / formula di ;760

cilindri, coni ;210B

cilindriche / funzioni di Bessel ;770B

cilindro ;220D ;560B

cilindro cavo ;560B

cilindro circolare retto ;210B

cilindro ellittico ;220D

cilindro finito ;210B

cilindro generale ;210B

cilindro iperbolico ;220D

cilindro parabolico ;220D

circocentro di un triangolo ;200A

circolare / corona ;560A

circolare / settore ;200B ;560A

circolare / toro ;210C

circolare retto / cilindro ;210B

circolare retto / cono ;210B

circolare retto / tronco di cono ;210B

circonferenza ;220B

circonferenze ;200B

co)secante / antiderivate di integrandi con (co)tangente e ( ;440B

co)tangente e (co)secante antiderivate di integrandi con ;440B

codominio ;020B

coefficienti allargata di uno SLE / matrice dei ;150F

coefficienti binomiali e sviluppo del binomio ;040B

coefficienti costanti / ODE lineari: ;600A

coefficienti di uno SLE / matrice dei ;150F

coefficienti multinomiali e sviluppo del multinomio ;060D

coefficienti reali / equazioni polinomiali con ;070C

cofattore di una entrata di matrice ;150D

colonna e riga / vettori ;150A

combinatorie basilari / sequenze ;050A

combinazione lineare ;250A

combinazioni con ripetizione ;050A


Alberto Marini

combinazioni senza ripetizione ;050A

complementare / funzione degli errori e sua ;770E

complessi / campo dei numeri ;110

complessi / divisione tra due numeri ;110

complessi / forma esponenziale dei numeri ;110

complessi / forma polare – trigonometrica dei numeri ;110

complessi / insieme dei numeri ;020D ;110

complessi / numeri ;110

complessi / operazioni sui numeri ;110

complessi / prodotto di due numeri ;110

complessi / somma di due numeri ;110

complessi costruibili / insieme dei numeri ;020D

complessi diversi da zero / insieme dei ;020D

complesso / coniugato di un numero ;110

complesso / modulo di un numero ;110

composizione / prodotto di = prodotto di Peirce ;020B

comun denominatore / massimo ;90A

comune multiplo / minimo ;90A

condizionale ;005A

confluenti / serie e funzioni ipergeometriche ;740B

conformabili – moltiplicabili / matrici ;150C

congiuntiva principale / forma normale ;005A

congiunzione ;005A

congruenti / triangoli ;200A,

coni/ cilindri, ;210B

coniche / sezioni ;220B

coniugato di un numero complesso ;110

connettivi ;005A

cono / tronco di ;210B

cono ;560B

cono cavo ;560B

cono circolare retto / tronco di ;210B

cono circolare retto ;210B

cono ellittico ;220D

cono finito ;210B

cono illimitato ;210B

cono illimitato unilatero ;210B

contraddizione ;005A ;005C

controesempio ;005C

convoluzione di successioni ;670A

coordinate polari / curve in ;520D

coprimi ;090B

corona circolare ;560A

cosecante ;120A

coseni / legge dei ;200A

coseni su sfera / legge dei ;210D


MATeXp

coseno ;120A

coseno integrale ;770E

coseno iperbolico / argomento del ;120C

coseno iperbolico ;120C

costante di Eulero-Mascheroni ;300

costanti / ODE lineari: coefficienti ;600A

costanti ;010

costruibili / insieme dei numeri complessi ;020D

costruibili / insieme dei numeri reali ;020D

costruttiva / dimostrazione ;005C

cotangente ;120A

cotangente iperbolica / argomento della ;120C

cotangente iperbolica ;120C

Cramer / regola di ;150I

crescente / fattoriale ;040A

criteri di uguaglianza fra triangoli ;200A

cubica / risolvente ;070F

cubiche / equazioni ;070E

cubo = esaedro regolare ;210A

cuboide = parallelepipedo rettangolo ;210A

curva di secondo grado / discriminante di una ;220B

curve / famiglie di ;520E

curve date da funzioni y = f(x) ;520A

curve in coordinate polari ;520D

curve in forma implicita ;520C

curve in forma parametrica ;520B

curve piane e calcolo infinitesimale ;520

Darboux / formula di Christoffel- ;760

De Moivre / formula di ;110

decomposizioni / quozienti di polinomi e loro ;070D

decomposizioni dei polinomi ;070H

decrescente / fattoriale ;040A

definiti / integrali ;460

definiti di integrandi algebrici / integrali ;460A

definiti di integrandi espologtrigonometrici / integrali ;460E

definiti di integrandi esponenziali / integrali ;460B

definiti di integrandi logaritmici / integrali ;460C

definiti di integrandi trigonometrici / integrali ;460D

Delambre / equazioni di ;210D

delta di Kronecker ;040

denominatore / massimo comun ;90A

derivata parziale ;610

derivate ;320

derivate parziali, ossia PDE / equazioni alle ;700

derivazione / regole di ;320B

destro su anello / modulo ;030D


Alberto Marini

determinante di una matrice ;150D

determinanti ;150D

determinato / SLE ;150G

diagonale / matrice ;150B

diagonalizzazione / autovettori, autovalori, ;250E

differenziali lineari, ossia ODE / equazioni ;600

differenziali per le funzioni di Bessel / equazioni ;770B

dilogaritmo e polilogaritmi ;770D

dimensioni / sfera in n ;210D

dimostrativi / metodi ;005C

dimostrazione costruttiva ;005C

dimostrazione diretta ;005C

dimostrazione indiretta ;005C

dimostrazione mediante implicazione ;005C

dimostrazione non costruttiva ;005C

dimostrazione per induzione ;005C

diretta / dimostrazione ;005C

discriminante di una curva di secondo grado ;220B

disgiuntiva principale / forma normale ;005A

disgiuntivo / sillogismo ;005C

disgiunzione ;005A

disposizioni con ripetizione ;050A

disposizioni senza ripetizione ;050A

disuguaglianza ;250B

disuguaglianza di Bessel ;760B

disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ;250B

disuguaglianza triangolare ;250B

disuguaglianze ;150J

diversi da zero / insieme dei complessi ;020D

divisibilita fra interi ;090A

divisione tra due numeri complessi ;110

dodecaedro regolare ;210A

dominio ;020B

duali / formule enunciative ;005A

eliminazione da un insieme ;020A

eliminazione di Gauss / soluzione degli SLE mediante ;150H

elissoide ;220D

elissoide oblato ;220D

elissoide prolato ;220D

ellisse ;220B

ellittiche / funzioni ;770C

ellittici / integrali ;770C

ellittico / cilindro ;220D

ellittico / cono ;220D

ellittico / paraboloide ;220D

ellittico a due falde / iperboloide ;220D


MATeXp

ellittico ad una falda / iperboloide ;220D

endomorfismo ;030D

enfasizzati / termini ;001

entrata di matrice / cofattore di una ;150D

enunciati / calcolo degli ;005A

enunciative duali / formule ;005A

enunciativi / maxterms ;005A

enunciativi / minterms ;005A

epimorfismo ;030D

equazioni alle derivate parziali, ossia PDE ;700

equazioni binomiche ;070G

equazioni biquadratiche ;070F

equazioni cubiche ;070E

equazioni di Cauchy-Riemann ;720A

equazioni di Delambre ;210D

equazioni di Napier ;210D

equazioni differenziali per le funzioni di Bessel ;770B

equazioni lineari e spazi vettoriali / sistemi di ;250D

equazioni lineari, ossia SLE / sistemi di ;150G

equazioni polinomiali / polinomi ed ;070

equazioni polinomiali ;070B

equazioni polinomiali con coefficienti reali ;070C

equazioni quadratiche ;070D

equazioni quartiche ;070F

equilatero / triangolo ;200A

equivalenti -rnkcons / matrici ;150F

equivalenza / chiusura di ;020B

equivalenza tautologica ;005A

Erone / formule di ;200A

errori e sua complementare / funzione degli ;770E

esadecanioni ;280C

esaedro ;210A

esaedro regolare = cubo ;210A

esclusivo / or ;005A

esistenziale / quantificatore ;005B

espologtrigonometrici / integrali definiti di integrandi ;460E

esponenziale dei numeri complessi / forma ;110

esponenziali / antiderivate di integrandi con ;440D

esponenziali / integrali ;770E

esponenziali / integrali definiti di integrandi ;460B

esponenziali / sviluppi in serie di potenze per ;370B

esponenziali e logaritmi ;100

espressioni algebriche / sviluppi in serie di potenze di ;370A

espressioni trigonometriche / sviluppi in serie di potenze per ;370C

euclidei / spazi lineari ed ;250

euclideo / spazio ;250B


Alberto Marini

Eulero / formule di ;110

Eulero / funzione totient di ;090B

Eulero / relazione di ;210A

Eulero / serie per numeri di Bernoulli e di ;350A

Eulero-Mascheroni / costante di ;300

falda / iperboloide ellittico ad una ;220D

falde / iperboloide ellittico a due ;220D

famiglie di curve ;520E

fattoriale ;040A

fattoriale crescente ;040A

fattoriale decrescente ;040A

fattoriale e dintorni ;040A

fattorizzazione mediante primi ;090B

fattorizzazione mediante primi ;90B

Fidia / numero di ;010

finite specifiche / sequenze ;050

finito / cilindro ;210B

finito / cono ;210B

fondamentale dell’algebra / teorema ;070B

forma esponenziale dei numeri complessi ;110

forma implicita / curve in ;520C

forma normale congiuntiva principale ;005A

forma normale disgiuntiva principale ;005A

forma parametrica / curve in ;520B

forma polare – trigonometrica dei numeri complessi ;110

forme quadratiche ;250F

formula di addizione per le armoniche sferiche ;760C

formula di Christoffel-Darboux ;760

formula di De Moivre ;110

formula di Rodrigues ;760A

formula predicativa ;005B

formula SAS dell’area ;005B

formule di approssimazione alla Stirling ;040A

formule di Cardano ;070E

formule di Erone ;200A

formule di Eulero ;110

formule di prostaferesi ;120A

formule enunciative duali ;005A

formule predicative ;005A

Fourier / proprieta della trasformata di ;650A

Fourier / trasformata di ;650

Fresnel / integrali di ;770E

funzione Beta ;770A

funzione caratteristica dei reali non negativi ;020E

funzione degli errori e sua complementare ;770E

funzione Gamma ;040A ;770A


MATeXp

funzione Gamma e collegate ;770A

funzione intera ;720A

funzione olomorfa ;720A

funzione pavimento ;020E

funzione Psi ;770A

funzione segno ;020E

funzione soffitto ;020E

funzione totient di Eulero ;090B

funzioni y = f(x) / curve date da ;520A

funzioni analitiche ;720A

funzioni associate di Legendre ;760B

funzioni basilari sugli interi ;040

funzioni basilari sui reali ;020E

funzioni da integrali trascendenti / altre ;770E

funzioni da integrali trascendenti / altre ;770E

funzioni di Bessel J ;770B

funzioni di Bessel / equazioni differenziali per le ;770B

funzioni di Bessel / funzioni generatrici delle ;770B

funzioni di Bessel / relazioni di ricorrenza per le ;770B

funzioni di Bessel / sistemi ortogonali di ;770B

funzioni di Bessel ;770B

funzioni di Bessel cilindriche ;770B

funzioni di Bessel modificate ;770B

funzioni di Bessel sferiche ;770B

funzioni di Hankel ;770B

funzioni di Kelvin ;770B

funzioni di Weber-Neumann ;770B

funzioni ellittiche ;770C

funzioni generatrici delle funzioni di Bessel ;770B

funzioni iperboliche ;120C

funzioni iperboliche inverse ;120D

funzioni ipergeometriche 2F1 / serie e ;740A

funzioni ipergeometriche confluenti / serie e ;740B

funzioni ipergeometriche generalizzate / serie e ;740C

funzioni olomorfe ;720A

funzioni trigonometriche ;120A

funzioni trigonometriche e collegate ;120

funzioni trigonometriche inverse ;120B

funzioni, relazioni / insiemi, ;020

Gamma / funzione ;040A

Gamma e collegate / funzione ;770A

Gauss / soluzione degli SLE mediante eliminazione di ;150H

Gegenbauer e ultrasferici / polinomi di ;760H

generale / cilindro ;210B

generale / triangoli in ;200A

generalizzate / serie e funzioni ipergeometriche ;740C


Alberto Marini

generalizzazione universale ;005C

generatrice / retta ;210B

generatrici delle funzioni di Bessel / funzioni ;770B

geometria analitica 1 ;220

geometria analitica tridimensionale lineare ;220C

geometria dei solidi 1 ;210

geometria piana 1 ;200

geometria piana lineare ;220A

gradini / matrice a scaglioni – ;150F

grado / discriminante di una curva di secondo ;220B

grado / superfici di secondo ;220D

gruppo ;030D

gruppoide = magma ;030D

Hankel / funzioni di ;770B

Heavyside / scalino di ;020E

Heine-Borel / teorema di Pincherle- ;500

Hermite / polinomi di ;760E

hermitiana / matrice ;150C

icosaedro regolare ;210A

identita ;030A

illimitato / cono ;210B

illimitato unilatero / cono ;210B

immaginari puri / numeri ;110

immaginaria / unita ;110

implicazione / dimostrazione mediante ;005C

implicazione tautologica ;005A

implicita / curve in forma ;520C

impossibile / SLE ;150G

incentro di un triangolo ;200A

indefiniti / integrali ;420

indeterminate libere di uno SLE ;150G

indeterminato / SLE ;150G

indipendenti / linearmente ;250A

indiretta / dimostrazione ;005C

induzione / dimostrazione per ;005C

inerzia in 2D / centroidi e momenti di ;560A

inerzia in 3D / centroidi e momenti di ;560B

inferiore – superiore / matrice triangolare ;150B

inferiore / semireticolo ;030D

infinitesimale / curve piane e calcolo ;520

insieme / eliminazione da un ;020A

insieme degli interi positivi ;020D

insieme dei numeri algebrici ;020D

insieme dei numeri complessi ;020D ;110

insieme dei numeri complessi costruibili ;020D

insieme dei numeri interi ;020D


MATeXp

insieme dei numeri naturali ;020D

insieme dei numeri razionali ;020D

insieme dei numeri reali ;020D

insieme dei numeri reali costruibili ;020D

insiemi / operazioni sugli ;020

insiemi numerici ;020E

insiemi, funzioni, relazioni ;020

integrale / coseno ;770E

integrale / seno ;770E

integrali ;400

integrali definiti ;460

integrali definiti di integrandi algebrici ;460A

integrali definiti di integrandi espologtrigonometrici ;460E

integrali definiti di integrandi esponenziali ;460B

integrali definiti di integrandi logaritmici ;460C

integrali definiti di integrandi trigonometrici ;460D

integrali di Fresnel ;770E

integrali ellittici ;770C

integrali esponenziali ;770E

integrali indefiniti ;420

integrali trascendenti / altre funzioni da ;770E

integrali trascendenti / altre funzioni da ;770E

integrandi algebrici / integrali definiti di ;460A

integrandi con√a2 x2 ± c2 / antiderivate di ;420E

integrandi con√ax+ b / antiderivate di ;420B

integrandi con a xn + b / antiderivate di ;420J

integrandi con a2 x2 ± c2 / antiderivate di ;420D

integrandi con ax+ b / antiderivate di ;420A

integrandi con ax+ b e cx+ d / antiderivate di ;420C

integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0 / antiderivate di ;420F

integrandi con x4 ± a4 / antiderivate di ;420I

integrandi con (co)tangente e (co)secante / antiderivate di ;440B

integrandi con a x2 + b x+ c / antiderivate di ;420G

integrandi con x3 ± a3 / antiderivate di ;420H

integrandi con esponenziali / antiderivate di ;440D

integrandi con logaritmi / antiderivate di ;440E

integrandi con seno e,o coseno / antiderivate di ;440A

integrandi con trigonometriche inverse / antiderivate di ;440C

integrandi espologtrigonometrici / integrali definiti di ;460E

integrandi esponenziali / integrali definiti di ;460B

integrandi iperbolici e loro inverse / antiderivate di ;440F

integrandi logaritmici / integrali definiti di ;460C

integrandi trigonometrici / integrali definiti di ;460D

integrazione / regole di ;400B

integrazione / schemi di ;400A

intera / funzione ;720A


Alberto Marini

interi / divisibilita fra ;090A

interi / insieme dei numeri ;020D

interi / intervalli di ;020D

interi / numeri ;090

interi / somme di potenze di ;050D

interi positivi / insieme degli ;020D

interno / prodotto ;250B

interno / spazi con prodotto ;250B

intersezione ;020A

intervalli ;020D

intervalli di interi ;020D

intervalli di reali ;020D

inversa / matrice ;150E

inverse / antiderivate di integrandi con trigonometriche ;440C

inverse / antiderivate di integrandi iperbolici e loro ;440F

inverse / funzioni iperboliche ;120D

inverse / funzioni trigonometriche ;120B

inversione di matrici ;150E

invertibile / matrice ;150E

iperbole ;220B

iperbolica / argomento della cotangente ;120C

iperbolica / argomento della tangente ;120C

iperbolica / cotangente ;120C

iperbolica / tangente ;120C

iperboliche / funzioni ;120C

iperboliche inverse / funzioni ;120D

iperbolici e loro inverse / antiderivate di integrandi ;440F

iperbolico / argomento del coseno ;120C

iperbolico / argomento del seno ;120C

iperbolico / cilindro ;220D

iperbolico / coseno ;120C

iperbolico / paraboloide ;220D

iperbolico / seno ;120C

iperboloide ellittico a due falde ;220D

iperboloide ellittico ad una falda ;220D

ipercomplessi / quaternioni e altri numeri ;280

ipergeometriche 2F1 / serie e funzioni ;740A

ipergeometriche confluenti / serie e funzioni ;740B

ipergeometriche generalizzate / serie e funzioni ;740C

ipergruppo ;030D

isomorfe / strutture ;030D

isomorfismo ;030D

isoscele / triangolo ;200A

istanziazione universale ;005C

Jacobi / polinomi di ;760G

Kelvin / funzioni di ;770B


MATeXp

Kronecker / delta di ;040

Laguerre / polinomi di ;760F

Laplace / proprieta della trasformata di ;660A

Laplace / trasformata di ;660

Laplace specifiche / antitrasformate di ;660C

Laplace specifiche / trasformate di ;660B

lati di un triangolo / assi dei ;200A

Legendre / funzioni associate di ;760B

Legendre / polinomi di ;760A

legge dei coseni ;200A

legge dei coseni su sfera ;210D

legge dei seni ;210D

legge delle tangenti ;200A

lemma di Schwarz ;720A

libere di uno SLE / indeterminate ;150G

limite / punto di accumulazione – di aderenza – ;500

limiti ;300

lineare / combinazione ;250A

lineare / geometria analitica tridimensionale ;220C

lineare / geometria piana ;220A

lineare / matrici e algebra ;150

lineare / spazio ;030D

lineari / trasformazioni ;250C

lineari / trasformazioni ;250F

lineari e spazi vettoriali / sistemi di equazioni ;250D

lineari ed euclidei / spazi ;250

lineari, ossia SLE / sistemi di equazioni ;150G

lineari: coefficienti costanti / ODE ;600A

lineari: coefficienti costanti / ODE ;600A

linearmente indipendenti ;250A

Liouville / teorema di ;720A

logaritmi / antiderivate di integrandi con ;440E

logaritmi / esponenziali e ;100

logaritmici / integrali definiti di integrandi ;460C

logica ;005

loop ;030D

lunetta ;200B

magma = gruppoide) ;030D

mantissa ;020E

Mascheroni / costante di Eulero- ;300

massimo comun divisore ;90A

massimo modulo / principio del ;720A

matrice / cofattore di una entrata di ;150D

matrice / determinante di una ;150D

matrice / pivot di una riga di ;150F

matrice / profilo di una ;150B


Alberto Marini

matrice / rango di una ;150F

matrice / traccia di una ;150C

matrice / trasposta di una ;150C

matrice a scaglioni – gradini ;150F

matrice antihermitiana ;150C

matrice antisimmetrica ;150C

matrice dei coefficienti allargata di uno SLE ;150F

matrice dei coefficienti di uno SLE ;150F

matrice diagonale ;150B

matrice hermitiana ;150C

matrice inversa ;150E

matrice invertibile ;150E

matrice permutativa ;150B

matrice quadrata / traccia di una ;150C

matrice quadrata ;150B

matrice simmetrica ;150C

matrice triangolare inferiore – superiore ;150B

matrici / inversione di ;150E

matrici / operazioni su ;150C

matrici / prodotto di ;150C

matrici / somma di ;150C

matrici 1 ;150B

matrici conformabili – moltiplicabili ;150C

matrici e algebra lineare ;150

matrici equivalenti -rnkcons ;150F

matrici: rango e riduzione a scaglioni ;150F

maxterms enunciativi ;005A

mediane di un triangolo ;200A

medie ;030E

metodi dimostrativi ;005C

minimi quadrati / approssimazione dei ;150I

minimo comune multiplo ;90A

minterms enunciativi ;005A

modificate / funzioni di Bessel ;770B

modulo / principio del massimo ;720A

modulo destro su anello ;030D

modulo di un numero complesso ;110

modulo sinistro su anello ;030D

modus ponens ;005C

modus tollens ;005C

moltiplicabili / matrici conformabili – ;150C

momenti di inerzia in 2D / centroidi e ;560A

momenti di inerzia in 3D / centroidi e ;560B

monoide ;030D

monomorfismo ;030D

morfismo ;030D


MATeXp

multinomiali e sviluppo del multinomio / coefficienti ;060D

multinomio / coefficienti multinomiali e sviluppo del ;060D

multiplo / minimo comune ;90A

Napier / equazioni di ;210D

Napier per triangoli sferici con angolo retto / regole di ;210D

naturali / insieme dei numeri ;020D

negazione ;005A

Neumann / funzioni di Weber- ;770B

noand ;005A

non costruttiva / dimostrazione ;005C

nor ;005A

norma di un vettore ;150A

normale congiuntiva principale / forma ;005A

normale disgiuntiva principale / forma ;005A

not and ;005A

not or ;005A / insieme dei numeri ;020D

numeri algebrici / insieme dei ;020D

numeri armonici ;770B

numeri complessi / campo dei ;110

numeri complessi / divisione tra due ;110

numeri complessi / forma esponenziale dei ;110

numeri complessi / insieme dei ;020D ;110

numeri complessi / operazioni sui ;110

numeri complessi / prodotto di due ;110

numeri complessi / somma di due ;110

numeri complessi ;110

numeri complessi costruibili / insieme dei ;020D

numeri complessi forma polare – trigonometrica dei ;110

numeri di Bernoulli e di Eulero / serie per ;350A

numeri immaginari puri ;110

numeri interi / insieme dei ;020D

numeri interi ;090

numeri ipercomplessi / quaternioni e altri ;280

numeri naturali / insieme dei ;020D

numeri primi ;090B

numeri razionali / insieme dei ;020D

numeri reali / insieme dei ;020D

numeri reali costruibili / insieme dei ;020D

numeriche / serie ;350

numerici / insiemi ;020E

numero complesso / coniugato di un ;110

numero complesso / modulo di un ;110

numero complesso ;110

numero di Fidia ;010

oblato / elissoide ;220D

octonioni / algebra degli ;280B


Alberto Marini

octonioni ;280B

ODE / equazioni differenziali lineari, ossia ;600

ODE lineari ;600

ODE lineari: coefficienti costanti ;600A

olomorfa / funzione ;720A

olomorfe /

funzioni ;720A

omomorfismo ;030D

onda piana / sviluppo dell’ ;760C

operazioni algebriche ;030A

operazioni su matrici ;150C

operazioni sugli insiemi ;020A

operazioni sui numeri complessi ;110

or / not ;005A

or esclusivo ;005A

ordinarie, ossia ODE / equazioni differenziali ;600

ortocentro di un triangolo ;200A

ortogonali / sistema di polinomi ;760

ortogonali / vettori ;150A

ortogonali di funzioni di Bessel / sistemi ;770B

ottaedro regolare ;210A

ottaedro regolare ;210A

ovvia / relazione ;020B

parabola / segmento di ;220B

parabola ;220B

parabolico / cilindro ;220D

paraboloide ellittico ;220D

paraboloide iperbolico ;220D

parallelepipedo ;210A ;560B

parallelepipedo rettangolo = cuboide ;210A

parallelogramma ;200C

parametrica / curve in forma ;520B

particella / traiettoria di una ;570A

parziale / derivata ;610

parziali, ossia PDE / equazioni alle derivate ;700

pavimento / funzione ;020E

PDE / equazioni alle derivate parziali, ossia ;700

Peirce /prodotto di = prodotto di composizione ;020B

pentagono regolaree pentagramma ;200C

pentagramma / pentagono regolaree ;200C

permutativa / matrice ;150B

permutazione / segno di una ;150D

permutazioni ;050A

piana / sviluppo dell’onda ;760C

piana 1 / geometria ;200

piana lineare / geometria ;220A


MATeXp

piane e calcolo infinitesimale / curve ;520

piani in 3D / rette e ;220C

piano / rette del ;220A

Pincherle-Heine-Borel / teorema di ;500

piramide / tronco di ;210A

piramide ;210A

Pitagora / teorema di ;070B ;250B

pivot di una riga di matrice ;150F

platonici / solidi = poliedri regolari ;210A

polare – trigonometrica dei numeri complessi / forma ;110

polari / curve in coordinate ;520D

poliedri ;210A

poliedri regolari = solidi platonici ;210A

poligoni ;200D

polilogaritmi / dilogaritmo e ;770D

polinomi / decomposizioni dei ;070H

polinomi / prodotto di ;070A

polinomi / somma di ;070A

polinomi ;070A

polinomi di Cebyshev ;760D

polinomi di Gegenbauer e ultrasferici ;760H

polinomi di Hermite ;760E

polinomi di Jacobi ;760G

polinomi di Laguerre ;760F

polinomi di Legendre ;760A

polinomi e loro decomposizioni / quozienti di ;070D

polinomi ed equazioni polinomiali ;070

polinomi ortogonali / sistema di ;760

polinomiali / equazioni ;070B

polinomiali / polinomi ed equazioni ;070

polinomiali con coefficienti reali / equazioni ;070C

polinomio / zero – radice di un ;070A

ponens / modus ;005C

positivi / insieme degli interi ;020D

potenze / sviluppi in serie di ;370

potenze ;030C

potenze di espressioni algebriche / sviluppi in serie di ;370A

potenze di interi / somme di ;050D

potenze e radici ;030C

potenze per esponenziali / sviluppi in serie di ;370B

potenze per espressioni trigonometriche / sviluppi in serie di ;370C

predicati / calcolo dei ;005B

predicativa / formula ;005B

primi / fattorizzazione mediante ;090B

primi / numeri ;090B

principale / forma normale congiuntiva ;005A


Alberto Marini

principale / forma normale disgiuntiva ;005A

principio del massimo modulo ;720A

prisma ;210A

prodotto di composizione = prodotto di Peirce ;020B

prodotto di due numeri complessi ;110

prodotto di matrici ;150C

prodotto di Peirce = prodotto di composizione ;020B

prodotto di polinomi ;070A

prodotto interno / spazi con ;250B

prodotto scalare = prodotto interno ;250B

profilo di una matrice ;150B

progressioni ;030F

prolato / elissoide ;220D

proprieta della trasformata di Fourier ;650A

proprieta della trasformata di Laplace ;660A

proprieta della trasformata -z ;670A

prostaferesi / formule di ;120A

pseudoanello ;030D

Psi / funzione ;770A

punto di accumulazione – di aderenza – limite ;500

puri / numeri immaginari ;110

quadranze / uguaglianza delle quattro ;270A

quadranze / uguaglianza delle tre ;270A

quadrata / matrice ;150B

quadrata / traccia di una matrice ;150C

quadrati / approssimazione dei minimi ;150I

quadratiche / equazioni ;070D

quadratiche / forme ;250F

quadratici / soluzione degli SLE ;150I

quadrato ;200C

quadrilateri ;200C

quadrilatero secante ;200C

quadrilatero tangente ;200C

quantificatore esistenziale ;005B

quantificatore universale ;005B

quartiche / equazioni ;070F

quasigruppo ;030D

quaternioni / algebra unitale dei ;280A

quaternioni ;280A

quaternioni e altri numeri ipercomplessi ;280

quozienti di polinomi e loro decomposizioni ;070H

radice di un polinomio / zero – ;070A

radici / potenze e ;030C

radici ;030C

rango di una matrice ;150F

rango e riduzione a scaglioni / matrici: ;150F


MATeXp

razionale / trigonometria ;270

razionali / insieme dei numeri ;020D

reali / equazioni polinomiali con coefficienti ;070C

reali / funzioni basilari sui ;020E

reali / insieme dei numeri ;020D

reali / intervalli di ;020D

reali costruibili

regola dei segni di Cartesio ;070C

regola di Cramer ;150I

regolare / dodecaedro ;210A

regolare / esaedro ;210A

regolare / icosaedro ;210A

regolare / ottaedro ;210A

regolare / ottaedro ;210A

regolare / tetraedro ;210A

regolare / tetraedro ;210A

regolaree e pentagramma / pentagono ;200C

regolari / poliedri ;210A

regole di derivazione ;320B

regole di integrazione ;400B

regole di Napier per triangoli sferici con angolo retto ;210D

relazione antisimmetrica ;020B

relazione assurda ;020B

relazione di Eulero ;210A

relazione ovvia ;020B

relazione riflessiva ;020B

relazione simmetrica ;020B

relazione transitiva ;020B

relazione trasposta ;020B

relazioni / insiemi, funzioni, ;020

relazioni di ricorrenza per le funzioni di Bessel ;770B

reticolo ;030D

reticolo di Boole ;030D

retta generatrice ;210B

rettangolo / parallelepipedo ;210A

rettangolo ;200C ;560A

rette del piano ;220A

rette e piani in 3D ;220C

retto / cilindro circolare ;210B

retto / cono circolare ;210B

retto / regole di Napier per triangoli sferici con angolo 210D

retto / tronco di cono circolare ;210B

ricorrenza per le funzioni di Bessel / relazioni di ;770B

riduzione a scaglioni / matrici: rango e ;150F

Riemann / equazioni di Cauchy- ;720A

riflessiva / chiusura ;020B


Alberto Marini

riflessiva / relazione ;020B

riflessivo-transitiva / chiusura ;020B

riga / vettori colonna e ;150A

riga di matrice / pivot di una ;150F

ripetizione / combinazioni con ;050A

ripetizione / combinazioni senza ;050A

ripetizione / disposizioni con ;050A

ripetizione / disposizioni senza ;050A

risolvente cubica ;070F

rivoluzione / solidi di ;550

-rnkcons / matrici equivalenti ;150F

Rodrigues / formula di ;760A

rombo ;200C

rotazioni ;250G

SAS dell’area / formula ;005B

scaglioni – gradini / matrice a ;150F

scaglioni / matrici: rango e riduzione a ;150F

scalare / prodotto ;250B

scalino di Heavyside ;020E

schemi di integrazione ;400A

Schwarz / disuguaglianza di Cauchy- ;250B

Schwarz / lemma di ;720A

secante / antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co) ;440B

secante / quadrilatero ;200C

secante ;120A

secondo grado / discriminante di una curva di ;220B

secondo grado / superfici di ;220D

segmento di parabola ;220B

segmento sferico ;210C

segni di Cartesio / regola dei ;070C

segno / funzione ;020E

segno di una permutazione ;150D

semianello ;030D

semifattoriale ;040A

semigruppo ;030D

semireticolo inferiore ;030D

semireticolo superiore ;030D

seno ;120A

seno integrale ;770E

seno iperbolico / argomento del ;120C

seno iperbolico ;120C

sequenze combinatorie basilari ;050A

sequenze finite specifiche ;050

serie di potenze / sviluppi in ;370

serie di potenze di espressioni algebriche / sviluppi in ;370A

serie di potenze per esponenziali / sviluppi in ;370B


MATeXp

serie di potenze per espressioni trigonometriche / sviluppi in ;370C

serie e funzioni ipergeometriche 2F1 ;740A

serie e funzioni ipergeometriche confluenti ;740B

serie e funzioni ipergeometriche generalizzate ;740C

serie numeriche ;350

serie per numeri di Bernoulli e di Eulero ;350A

settore circolare ;200B ;560A

settore sferico ;210C

sezione aurea ;010

sezioni coniche ;220B

sfera / legge dei coseni su ;210D

sfera ;220D ;560B

sfera cava ;560B

sfera in n dimensioni ;210D

sfere ;210C

sferica / calotta ;210C

sferiche / armoniche ;760C

sferiche / formula di addizione per le armoniche ;760C

sferiche / funzioni di Bessel ;770B

sferici / soluzioni dei triangoli ;210D

sferici / triangoli ;210D

sferici con angolo retto / regole di Napier per triangoli ;210D

sferico / segmento ;210C

sferico / settore ;210C

sillogismo disgiuntivo ;005C

simmetrica / chiusura ;020B

simmetrica / matrice ;150C

simmetrica / relazione ;020B

sinistro su anello / modulo ;030D

sistema di polinomi ortogonali ;760

sistemi di equazioni lineari e spazi vettoriali ;250D

sistemi di equazioni lineari, ossia SLE ;150G

sistemi ortogonali di funzioni di Bessel ;770B

SLE / indeterminate libere di uno ;150G

SLE / matrice dei coefficienti allargata di uno ;150F

SLE / matrice dei coefficienti di uno ;150F

SLE / sistemi di equazioni lineari, ossia ;150G

SLE / vettore di termini noti di uno ;150F

SLE determinato ;150G

SLE impossibile ;150G

SLE indeterminato ;150G

SLE mediante eliminazione di Gauss / soluzione degli ;150H

SLE quadratici / soluzione degli ;150I

soffitto / funzione ;020E

solidi 1 / geometria dei ;210

solidi di rivoluzione ;550


Alberto Marini

solidi platonici = poliedri regolari ;210A

solido / angolo = sterangolo ;210C

soluzione degli SLE mediante eliminazione di Gauss ;150H

soluzione degli SLE quadratici ;150I

soluzioni dei triangoli ;200A

soluzioni dei triangoli sferici ;210D

somma di due numeri complessi ;110

somma di matrici ;150C

somma di polinomi ;070A

somme di potenze di interi ;050D

sottoinsieme ;020A

sottospazio vettoriale ;250A

sovrainsieme ;020A

spazi con prodotto interno ;250B

spazi lineari ed euclidei ;250

spazi vettoriali / sistemi di equazioni lineari e ;250D

spazi vettoriali ;250

spazi vettoriali ;250A

spazio euclideo ;250B

spazio lineare = spazio vettoriale ;030D

spazio reale finitodimensionale ;500

spazio vettoriale = spazio lineare ;030D ;250A

specie di strutture algebriche ;030D

specifiche / antitrasformate di Laplace ;660C

specifiche / sequenze finite ;050

specifiche / trasformate di Laplace ;660B

specifiche / trasformate -z ;670B

spread ;270A

sterangolo = angolo solido ;210C

Stirling / formule di approssimazione alla ;040A

strutture algebriche / specie di ;030D

strutture isomorfe ;030D

successioni / convoluzione di ;660A

superfici di secondo grado ;220D

superiore / matrice triangolare inferiore – ;150B

superiore / semireticolo ;030D

sviluppi in serie di potenze ;370

sviluppi in serie di potenze di espressioni algebriche ;370A

sviluppi in serie di potenze per esponenziali ;370B

sviluppi in serie di potenze per espressioni trigonometriche ;370C

sviluppo del binomio / coefficienti binomiali e ;040B

sviluppo del multinomio / coefficienti multinomiali e ;060D

sviluppo dell’onda piana ;760C

tangente / quadrilatero ;200C

tangente ;120A

tangente e (co)secante antiderivate di integrandi con (co) ;440B


MATeXp

tangente iperbolica / argomento della ;120C

tangente iperbolica ;120C

tangenti / legge delle ;200A

tautologia ;005A

tautologica / equivalenza ;005A

tautologica / implicazione ;005A

tavole di verita ;005A

teorema di Bolzano-Weierstrass ;500

teorema di Liouville ;720A

teorema di Pincherle-Heine-Borel ;500

teorema di Pitagora ;070B ;250B

teorema fondamentale dell’algebra ;070B

termini enfasizzati ;001

termini noti di uno SLE / vettore di ;150F

terreno ;030D

tetraedro ;210A

tollens / modus ;005C

topologia di R×d ;500A

toro circolare ;210C

totient di Eulero / funzione ;090B

traccia di una matrice ;150C

traccia di una matrice quadrata ;150C

traiettoria di una particella ;570A

transitiva / chiusura ;020B

transitiva / chiusura riflessivo- ;020B

transitiva / relazione ;020B

trapezio ;200C

trascendenti / altre funzioni da integrali ;770E

trasformata di Fourier / proprieta della ;650A

trasformata di Fourier ;650

trasformata di Laplace / proprieta della ;660A

trasformata di Laplace ;660

trasformata -z / proprieta della ;670A

trasformata -z ;670

trasformate di Laplace specifiche ;660B

trasformate -z specifiche ;670B

trasformazioni lineari ;250C

trasposta / relazione ;020B

trasposta di una matrice ;150C

triangolare / disuguaglianza ;250B

triangolare inferiore – superiore / matrice ;150B

triangoli / criteri di uguaglianza fra ;200A

triangoli / soluzioni dei ;200A

triangoli ;200A

triangoli congruenti ;200A,

triangoli in generale ;200A


Alberto Marini

triangoli sferici / soluzioni dei ;210D

triangoli sferici ;210D

triangoli sferici con angolo retto / regole di Napier per ;210D

triangolo / altezze di un ;200A

triangolo / assi dei lati di un ;200A

triangolo / bisettrici degli angoli interni di un ;200A

triangolo / centroide di un ;200A

triangolo / circocentro di un ;200A

triangolo / incentro di un ;200A

triangolo / mediane di un ;200A

triangolo / ortocentro di un ;200A

triangolo ;560A

triangolo equilatero ;200A

triangolo isoscele ;200A

tridimensionale lineare / geometria analitica ;220C

trigonometria razionale ;270

trigonometrica dei numeri complessi / forma polare – ;110

trigonometriche / funzioni ;120A

trigonometriche / sviluppi in serie di potenze per espressioni ;370C

trigonometriche e collegate / funzioni ;120

trigonometriche inverse / antiderivate di integrandi con ;440C

trigonometriche inverse / funzioni ;120B

trigonometrici / integrali definiti di integrandi ;460D

trilogaritmo ;770D

tronco di cono ;210B

tronco di cono circolare retto ;210B

tronco di piramide ;210A

uguaglianza delle quattro quadranze ;270A

uguaglianza delle tre quadranze ;270A

uguaglianza fra triangoli / criteri di ;200A

uguaglianze di Viete ;070A

ultrasferici / polinomi di Gegenbauer e ;760H

unilatero / cono illimitato ;210B

unione ;020A

unita immaginaria ;110

unitale dei quaternioni / algebra ;280A

universale / generalizzazione ;005C

universale / istanziazione ;005C

universale / quantificatore ;005B

universo ;020A

valore assoluto ;020E

verita / tavole di ;005A

vettore / norma di un ;150A

vettore di termini noti di uno SLE ;150F

vettori colonna e riga ;150A

vettori ortogonali ;150A


MATeXp

vettoriale / sottospazio ;250A

vettoriale / spazio ;030D ;250A

vettoriali / sistemi di equazioni lineari e spazi ;250D

vettoriali / spazi ;250A

Viete / uguaglianze di ;070B

Weber-Neumann / funzioni di ;770B

Weierstrass / teorema di Bolzano- ;500

-z / proprieta della trasformata ;670A

-z / trasformata ;670

-z specifiche / trasformate ;670B

zero – radice di un polinomio ;070A

Le varie componenti di questo testo sono accessibili in http://www.mi.imati.cnr.it/∼alberto


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Prontuario di matematica: formule, schemi operativi ...alberto/mn070fORMUL.pdf · Un prontuario di matematica, quindi, oggi pu o essere presentato solo come fonte di primo approccio