Propiedades definibles en primer orden de la

Geometrıa Tropical

Santiago CamachoDirector: Alf Onshuus

Universidad de los Andes

Julio de 2011

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Indice general

1. Introduccion 51.1. Notacion & Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Campos Valuados Algebraicamente Cerrados 112.1. Anillos Valuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Anillos de Valuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Series de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Eliminacion de Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Completitud de la Teorıa de ACVF . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Algebra Conmutativa y Geometrıa Algebraica 213.1. Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Geometrıa Tropical 254.1. Variedades Tropicales a Partir de Inω . . . . . . . . . . . . . . . 264.2. El Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. El Semicampo Tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4. Combinatoria Tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5. Curvas Tropicales Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Primer Orden en la Geometrıa Tropical 355.1. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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INDICE GENERAL

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Capıtulo 1

Introduccion

La geometrıa tropical es un area relativamente nueva de las matematicasque se puede entender informalmente como la version lineal a trozos de la ge-ometrıa algebraica clasica. Su nombre “tropical” se dio en honor al brasileroImre Simon quien fue de los primeros en trabajar en matematica tropical, quees el estudio del semianillo donde las operaciones son el maximo y la suma. Haydiferentes formas en que se generan variedades tropicales, los objetos a estudiaren cuestion, a partir de variedades algebraicas, sobre diferentes campos, por logeneral algebraicamente cerrados. La ventaja de la geometrıa tropical frente ala geometrıa algebraica es que se pueden utilizar diferentes herramientas princi-palmente combinatoricas para poder trabajar en ella. Muchos resultados de lageometrıa algebraica tienen un resultado similar en la geometrıa tropical (verpor ejemplo [8]). De igual manera se estudian propiedades de la geometrıa trop-ical que puedan dar resultados en geometrıa algebraica.

En este documento buscamos identificar algunas propiedades y resultados dela geometrıa tropical que se puedan escribir en primer orden, de forma que inde-pendientemente del campo que se utilice para realizar la demostracion, por com-pletitud de la teorıa, tengamos que vale en el caso general. Entre las propiedadesque vamos a mostrar esta el teorema fundamental de la geometrıa tropical parahipersuperficies, y veremos como su demostracion para el caso de las series dePuiseux implica la validez en cualquier campo valuado algebraicamente cerrado.En el primer capitulo repasamos algunas nociones basicas de logica y algebra.En el segundo capıtulo desarrollamos la teorıa de campos valuados algebraica-mente cerrados y probamos propiedades de la teorıa, tales como eliminacion decuantificadores y completitud. En el tercer capıtulo desarrollamos algunas her-ramientas de geometrıa algebraica y algebra conmutativa. En el cuarto capıtulodesarrollamos las nociones de geometrıa tropical. En el capıtulo cinco mostramosalgunas propiedades de geometrıa tropical en primer orden.

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CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.1. Notacion & Preliminares

Definicion 1.1. Un lenguaje es un conjunto de la forma L = LC∪LF∪LR dondeLC es un conjunto de sımbolos de constante, LF es un conjunto de sımbolos defuncion y LR es un conjunto de sımbolos de relacion. Cada uno posiblementevacıo, donde LC∩LF = LC∩LR = LF ∩LR = ∅. Para cada elemento de LF ∪LRcorresponde una aridad (un entero positivo asociado).

Definicion 1.2. Un L-termino se define recursivamente de la siguiente manera:

Las variables x1, x2, · · · son L-terminos. A veces se utilizan x, y, z.

Las constantes del lenguaje son L-terminos.

Si f es un sımbolo de funcion n-ario y t1, · · · , tn son L-terminos entoncesft1 · · · tn es un L-termino. Usualmente se denota f(t1, · · · , tn) o t1ft2 parafunciones binarias.

Definicion 1.3. Una L-formula esta definida recursivamente de la siguientemanera:

Si t1 y t2 son L-terminos entonces t1 = t2 es una L-formula.

Si R es un sımbolo de relacion n-ario y t1, · · · , tn son L-terminos entoncesRt1 · · · tn es L-formula. Usualmente se denota R(t1, · · · , tn) o t1Rt2 pararelaciones binarias.

Si φ es L-formula entonces ¬φ es L-formula.

Si φ y ψ son L-formulas entonces φ∧ψ es L-formula.

Si φ es L-formula entonces ∃xφ es L-formula.

Usualmente se utilizan las siguientes abreviaciones,

φ∨ψ ≡ ¬(¬φ∧¬ψ).

φ→ ψ ≡ ¬φ∧ψ.

φ↔ ψ ≡ φ→ ψ∧ψ → ψ.

∀xφ ≡ ¬∃x¬φ.

Definicion 1.4. Dada φ una L-formula definimos el conjunto de variables libresde φ como Lib(φ).

Si φ es de la forma t1 = t2 entonces Lib(φ) es igual al conjunto de variablesque aparecen en t1 o t2.

Si φ es de la forma Rt1 · · · tn entonces Lib(φ) es igual a la union de lasvariables libres de t1, · · · , tn.

Si φ es de la forma ¬ψ entonces Lib(φ) = Lib(ψ).

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1.1. NOTACION & PRELIMINARES

Si φ es de la forma φ1 ∧φ2 entonces Lib(φ) = Lib(φ1) ∪ Lib(φ2).

Si φ es de la forma ∃xψ entonces Lib(φ) = Lib(ψ) \ {x}.

Decimos que una L-formula φ es una L-sentencia si Lib(φ) = ∅.

Definicion 1.5. Dado un lenguaje L, una L-estructura A es una tupla (A, (ZA)Z∈L)donde

ZA ∈ A si Z es un sımbolo de constante.

ZA : An → A si Z es un sımbolo de funcion de aridad n.

ZA ⊆ An si Z es un simbolo de relacion de aridad n.

Definicion 1.6. Dada una L-formula φ(x1, · · · , xn), una L-estructura A ya1, · · · , an ∈ A decimos que A modela φ(a1, · · · , an) (A |= φ(a1, · · · , an)) enlos siguientes casos.

{φ ≡ t1 = t2} si tA1 (a1, · · · , an) = tA2 (a1, · · · , an).

{φ ≡ Rt1 · · · tn} si (tA1 (a1, · · · , an), · · · , tAn (a1, · · · , an)) ∈ RA.

{φ ≡ ¬ψ} si A 6|= ψ(a1, · · · , an).

{φ ≡ φ1 ∧ φ2} si A |= φ1(a1, · · · , an) y A |= φ2(a1, · · · , an).

{φ ≡ ∃xψ} si hay un b ∈ A tal que A |= ψ(b)(a1, · · · , an).

Definicion 1.7. Dado un lenguaje L decimos que T es una L-teorıa (o sim-plemente una teorıa en contexto) si T es un conjunto de L-sentencias y ademasdecimos que es consistente si existe A tal que para toda φ ∈ T tenemos queA |= φ. En este caso decimos que A es un modelo de T (A |= T ).

Definicion 1.8. Sea T un conjunto de L-formulas y φ una L-formula, decimosque φ se deduce de T (T ` φ) si para todo modelo A de T tenemos A |= φ.

Definicion 1.9. Un embebimiento de L-estructuras h : A→ B es una funcionh : A→ B, con A y B los universos de A y B respectivamente, que cumple lassiguientes propiedades.

1. cA 7→ cB para cada c ∈ Lc.

2. fA(a1, · · · , an) 7→ fB(h(a1), · · · , h(an)) para cada f ∈ Lf .

3. (a1, · · · , an) ∈ PA ⇔ (h(a1), · · · , h(an)) ∈ PB para cada P ∈ Lr.

4. h es inyectiva.

A lo largo del documento utilizamos los sımbolos N, Z, Q, R, C para referirnosa los numeros naturales, los numeros enteros, los numeros racionales, los numerosreales y los numeros complejos respectivamente.

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CAPITULO 1. INTRODUCCION

Definicion 1.10. Un grupo es una estructura (G, e, ∗) que cumple:

1. ∀x∀y∀z(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

2. ∀x(x ∗ e = e ∗ x = x).

3. ∀x∃y(x ∗ y = y ∗ x = e).

Decimos que G es un grupo abeliano si ademas vale:

4. ∀x, y(x ∗ y = y ∗ x) En cuya ocasion es usual denotar la operacion por +y la identidad por 0.

Tambien decimos que G es un grupo ordenado si lo podemos extender a(G,+, 0, <) de tal forma que valga

5. ∀x, y, z((x < y) → (x + z < y + z)). En este caso definimos G+ := {x ∈G : x > 0} y G+

0 := {x ∈ G : x ≥ 0}.

Definicion 1.11. Un grupo ordenado Γ es arquimediano, si para todo α, β ∈ Γ+

existe n ∈ N tal que nα > β.

Lema 1.12. Sea Γ un grupo ordenado arquimediano y γ ∈ Γ+. Existe un unicoembebimiento i : Γ→ R de tal forma que i(γ) = 1. Mas aun, si no existe δ ∈ Γtal que 0 < i(δ) < 1 podemos afirmar que i(Γ) = Z.

Demostracion. Si existe α ∈ Γ tal que α = mın{Γ+} entonces todos los elemen-tos de Γ son de la forma ±

∑nk=1 α, puesto que Γ es arquimediano. En este caso si

γ =∑mk=1 α entonces i(Γ) = m−1Z. De lo contrario i(β) = sup{nk−1|nγ ≤ kβ}.

Definicion 1.13. Un anillo es una estructura (R, 0,+, ∗) que cumple:

1. (R, 0,+) es un grupo abeliano.

2. ∗ es una funcion binaria asociativa.

3. ∀x, y, z(x+ y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z∧z ∗ (x+ y) = z ∗ x+ z ∗ y.

Decimos que R es un anillo conmutativo si ademas

4. ∗ es conmutativo.

y Decimos que R es un anillo con unidad si

5. ∃u∀yu ∗ y = y ∗ u = y.

En este caso podemos utilizar (R,+, ∗, 0, 1) donde 1 representa la identidadde la multiplicacion.

Nota. A lo largo del documento cuando mencionemos anillo vamos a referirnosa anillo conmutativo con identidad.

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1.1. NOTACION & PRELIMINARES

Definicion 1.14. Un dominio de integridad D es un anillo tal que para todox, y en D xy = 0 implica que x = 0 o y = 0.

Definicion 1.15. Decimos que K es un campo si es un dominio de integridadtal que para todo x 6= 0 existe un y tal que xy = 1.

Definicion 1.16. Sea D un dominio de integridad, podemos extender D a sucampo de cocientes Frac(D) := {(a, b) ∈ D×D∗}/P donde P es una relacion deequivalencia de forma que (a1, b1)P (a2, b2) si y solo si a1b2 = a2b1. Usualmenteescribimos la pareja (a, b) como a/b o a

b . Las operaciones de D las extendemosde tal forma que,(a, b) + (c, d) = (ad+ bc, bd) y(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd).

Definicion 1.17. Sea R un anillo, definimos a R[x1, · · · , xn] como el conjuntode polinomios en las variables xi con coeficientes en R

R[x1, · · · , xn] :=

∑i∈I⊆Nn

aixi : |I| < ℵ0 ai ∈ R xi = xi11 · · ·xinn

.

Usualmente escribiremos R[x] para denotar este conjunto.

Definicion 1.18. Si A es un subconjunto de R un anillo, A es cerrado bajosuma, y para todo x ∈ R tenemos que xA ⊂ A, decimos que A es un ideal deR.Cuando hablemos de ideal maximal nos referimos a maximal con respecto a lainclusion.Si S ⊂ R entonces 〈S〉R o simplemente 〈S〉 denota el mınimo ideal que contienea S.

Podemos definir operaciones de ideales de la siguiente manera. Si A y B sonideales de R, entoncesA+B := {a+ b : a ∈ A b ∈ B} la suma de ideales yA ∗B := 〈{ab : a ∈ A b ∈ B}〉R el producto (por lo general simplemente AB).

Observacion.

〈S〉R = {a1s1 + · · ·+ ansn : ai ∈ R, si ∈ S} =⋂I⊃S

I

Definicion 1.19. Sea I es un ideal de R, definimos el radical de I como√I :=

{f ∈ R : ∃n ∈ N|fn ∈ I}.

Definicion 1.20. Decimos que P es un ideal primo si para todo x, y elementosde R se tiene que xy ∈ P implica que x ∈ P o y ∈ P .

Observacion. Sea I ideal de R entonces√I =

⋂j∈J Pj donde Pj es un ideal

primo que contiene a I para todo j ∈ J .

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CAPITULO 1. INTRODUCCION

Definicion 1.21. Si I es un ideal de R definimos el anillo cociente de R por Icomo

R/I := {a+ I : a ∈ R}.

Podemos extender las operaciones de R a R/I de la siguiente manera. (a+I) + (b+ I) := (a+ b) + I y (a+ I) ∗ (b+ I) := ab+ I de forma que R/I tieneestructura de anillo. Es facil ver que independientemente de los representante ay b que utilicemos, estas operaciones estan bien definidas.

Observacion. Si I es un ideal de R

I es un ideal primo si y solo si R/I es un dominio de integridad.

I es un ideal maximal si y solo si R/I es un campo.

Definicion 1.22. Un semigrupo es una estructura (G, ∗, e) que cumple asocia-tividad y que e es la identidad.

Definicion 1.23. Un semianillo es una estructura (R,+, ∗, 0) que cumple todoslos axiomas de anillo intercambiando el primero por (R,+, 0) es un semigrupoabeliano.

Definicion 1.24. Decimos que (R,m) (a veces nombramos unicamente a R) esun anillo local si m es el unico ideal maximal que posee R. R/m = k el campoque resulta del cociente de R por m lo llamamos el campo de residuos de R.

Definicion 1.25. Sea R un anillo y S ⊆ R cerrado por multiplicacion, definimosel anillo de fracciones de R con respecto a S como S−1R := {(a, b) : a ∈ R b ∈S}/ ∼ donde (a1, b1) ∼ (a2, b2) si ∃u ∈ S : (a1b2 − a2b1)u = 0.Cuando S = R \ P para algun ideal primo P de R denotamos a S−1R por RPy lo llamamos la localizacion de R con respecto a P . En este caso cualquierelemento por fuera de PRP es unidad y por lo tanto RP es un anillo local.

Ejemplo 1. Sea R = Z y P = pZ para p un primo, entonces RP = {ab : p 6 | b}y RP /PRP ∼= Fp := Z/pZ.

Definicion 1.26. Un anillo Noethereano es un anillo cuyos ideales cumplan lacondicion de cadena ascendente. Es decir, un anillo tal que cualquier cadenaestrictamente creciente de ideales es finita.

Proposicion 1.27. Las siguiente son equivalentes propiedades son equivalentespara un anillo R

a) R es Noethereano.

b) Todo subconjunto no vacıo de ideales de R tiene un elemento maximal.

c) Todo ideal es finitamente generado.

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Capıtulo 2

Campos ValuadosAlgebraicamente Cerrados

2.1. Anillos Valuados

Definicion 2.1. Una valuacion sobre un dominio A es una funcion v : R\{0} →Γ donde Γ es un grupo abeliano ordenado que cumple las siguientes propiedades:

1. v(x+ y) ≥ min{vx, vy} tal que x+ y 6= 0,

2. v(xy) = v(x) + v(y).

Ejemplo 2. Los siguientes son ejemplos de anillos valuados

1. Sea k un campo cualquiera consideremos k[X] el anillo de polinomios dek con la valuacion v : k[X]∗ → Z que envıa a

∑ni=0 aix

i en mınai 6=0{i}.

2. Q, p un numero primo y vp : Q∗ → Z la aplicacion a/b 7→ (α−β) donde αy β son las maximas potencias de p que dividen a a y a b respectivamente.

Si K es el campo de fracciones de A podemos extender a v al campo deforma que v(xy−1) = v(x)− v(y).Mas aun si a Γ le adjuntamos∞ tal que para todo x ∈ Γ tenemos que x+∞ =∞y x < ∞ podemos extender la valuacion al cero de forma tal que v(0) = ∞manteniendo las dos propiedades de la valuacion.

Proposicion 2.2. Algunas propiedades interesantes son las siguientes

1. v(1) = 0.

2. v(x) = v(−x).

3. Si v(x) < v(y) entonces v(x+ y) = v(x).

4. La relacion P = {(x, y)|v(x − y) > v(x)} es una relacion de equivalenciaen R\{0}.

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CAPITULO 2. CAMPOS VALUADOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS

Demostracion. 1. v(1) = v(1 ∗ 1) = v(1) + v(1) por lo tanto 0 = v(1).

2. Es suficiente demostrar que v(−1) = 0. Tenemos que 0 = v(1) = v(−1) +v(−1). Por ser Γ ordenado, es entonces libre de torsion. Por lo tantov(−1) = 0.

3. Tenemos que v(x+ y) ≥ v(x). Ademas v(x) = v(x+ y − y) ≥ mın{v(x+y), v(y)} por lo tanto v(x) ≥ v(x+ y).

4. Reflexividad v(x− x) = v(0) =∞ > v(x) entonces (x, x) ∈ P .

Simetrıa Sea (x, y) ∈ P .Caso 1: v(x) = v(y) entonces como v(x − y) = v(y − x) entoncesv(y − x) > v(y).Caso 2: v(x) > v(y) no puede ser puesto que v(y) = v(x − y) >v(x) > v(y). Analogamente el tercer caso (v(x) < v(y)) no puede ser,de lo contrario v(x− y) = v(x).

Transitividad Sean (x, y), (y, z) ∈ P . v(x − z) = v(x − y + y −z) ≥ mın{v(x− y), v(y − z)} > mın{v(x), v(y)} pero por la simetrıaobservamos que v(x) = v(z) entonces v(x− z) > v(z).

Definicion 2.3. Dada v una valuacion v : K → Γ ∪ {∞} consideraremos tresestructuras importantes

Rv := {x ∈ K : v(x) ≥ 0}.

mv := {x ∈ K : v(x) > 0}.

kv := Rv/mv.

Si φ : Rv → kv es el homomorfismo canonico entonces por el resto del capıtuloutilizaremos la notacion x = φ(x).

Ejemplo 3. Siguiendo con la numeracion del Ejemplo 2 tenemos

1. Rv = k[X]; mv = Xk[X]; kv = k.

2. Rvp = {a/b : p 6 |b}; mvp = pRvp ; kv = Fp.

El siguiente lema es una herramienta que se utilizara con frecuencia duranteel desarrollo del capitulo

Lema 2.4. v(x) = 0⇔ x 6= 0.

Demostracion. x = 0 si y solo si x ∈ mv lo que ocurre si y solo si v(x) > 0.

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2.2. ANILLOS DE VALUACION

2.2. Anillos de Valuacion

Definicion 2.5. Un anillo de valuacion es un anillo cuyos ideales esten orde-nados linealmente por inclusion.

Lema 2.6. Sea R un anillo de valuacion entonces:

1. R es local.

2. Si K es su campo de fracciones, entonces para todo x ∈ K se tiene quex ∈ R o x−1 ∈ R.

3. R es un anillo valuado. Mas aun v(R) ⊆ Γ+0 := {x ∈ γ : x ≥ 0}.

Demostracion. 1. Sea m un ideal maximal de R, por lo tanto dado que susideales estan ordenados por inclusion, para todo otro ideal I diferente deR mismo se tiene que I ⊆ m.

2. Sea x ∈ K entonces existen a, b ∈ R tales que x = ab−1. Si 〈a〉R ⊆ 〈b〉Rentonces existe r ∈ R tal que a = br y por lo tanto r = bb−1r = x ∈ R.De lo contrario 〈b〉 ⊂ 〈a〉 y x−1 ∈ R.

3. Construimos el grupo a partir del semigrupo Γ+0 = {I : Ies ideal de R}

con la operacion de grupo correspondiente al producto de ideales y laidentidad R.Definimos el orden en el grupo como I < J si y solo si I ⊃ J .Definimos v : R→ Γ x 7→ Ix donde Ix corresponde al ideal tal que x ∈ Ixy para todo J > Ix tenemos que x /∈ J .Con estas definiciones tenemos que se cumplen las propiedades uno y dosde anillos valuados.

Nota. En general no se puede extender cualquier semigrupo a un grupo. Porejemplo N∪{∞} no se puede extender pues al agregar un inverso a∞ se pierdela asociatividad ([−∞+∞]+c = c 6= 0 = −∞+[∞+c]). Sin embargo en el casode la prueba anterior si, pues podemos verificar que al extender a R a su campode cocientes podemos definir el inverso de I como −I = {x|∃y ∈ I : xy = 1} sinperder asociatividad.

Definicion 2.7. Un anillo local (R,m) se llama Henseliano si para todo f(x) =n∑i=0

aixi en R[X] y todo α en R tal que f(α) ∈ m y f ′(α) /∈ m, existe un a en

R tal que f(a) = 0 y a − α ∈ m, donde f ′(x) :=

n∑i=1

aiixi−1 es la derivada

algebraica de f .

Teorema 2.8. Sea R,m un anillo local. Las siguientes afirmaciones son equiv-alentes:

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CAPITULO 2. CAMPOS VALUADOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS

i) R es un anillo Henseliano.

ii) Todo polinomio de la forma 1 + X + ba2X2 + · · · + banX

n con b ∈ m yai ∈ R tiene solucion en U(R) := {x ∈ R | ∃y ∈ R : xy = 1}.

iii) Todo polinomio de la forma Xn +Xn−1 + ba2Xn−2 + · · ·+ ban con b ∈ m

y ai ∈ R tiene solucion en U(R).

iv) Dado un polinomio f(X) en R[X], α ∈ R, c ∈ m tal que f(α) = cf ′(α)2

existe un a ∈ R tal que f(a) = 0, y a ≡ α( mod cf ′(α)).

Demostracion. (i)⇒ (ii) Modulo m la ecuacion f(X) = 1 +X + ba2X2 + · · ·+

banXn tiene la solucion −1. Por definicion tenemos que existe un a ∈ R tal que

f(a) = 0 y a ≡m −1 por lo tanto a es unidad.

(ii)⇔ (iii) Si x es solucion de una de la ecuacion 1+X+ba2X2 +· · ·+banXn

o de la ecuacion Xn +Xn−1 + ba2Xn−2 + · · ·+ ban, entonces x−1 es solucion de

Xn +Xn−1 + ba2Xn−2 + · · ·+ ban o solucion de 1 +X + ba2X

2 + · · ·+ banXn

respectivamente.

(ii) ⇒ (iv) Sean f, α, c como en el enunciado y sea x ∈ R. Tenemos en-tonces que f(α + x) = f(α) + xf ′(α) + x2(B) con B ∈ R que es igual porhipotesis a cf ′(α)2 +xf ′(α) +x2(B). Reemplazando x por cf ′(α)y tenemos quef(α+ cf ′(α)y) = cf ′(α)2[1 + y + y2cB(y)] con B(y) un polinomio en y.Consideremos una solucion d del polinomio 1+X+X2cB(X) que existe por (ii).Por lo tanto llegamos a que a := α + cf ′(α)d es solucion de f y es congruentecon α modulo cf ′(α).

(iv)⇒(i) Tomese c = f(α)[f ′(α)]−2 que existe pues f ′(α) es unidad.

Definicion 2.9. Un anillo de valuacion A de un campo K es un subanillo deK de tal forma que para todo x ∈ K∗ tenemos que x ∈ A o x−1 ∈ A. En efectoA es un anillo de valuacion con K su campo de fracciones.

Lema 2.10. Todo campo valuado K corresponde a un anillo de valuacion A deK, y a todo anillo de valuacion le corresponde un campo K.

Demostracion. Dado K un campo valuado consideremos Rv entonces Rv es unanillo de valuacion de K.Si A es un anillo de valuacion sobre K, dado que A es local podemos expresar aK como la union disyunta U(A) ∪mA ∪ (ma\{0})−1. Consideremos K∗/U(A)es un grupo abeliano podemos definir un orden xU(A) > yU(A) si xy−1 ∈A, haciendo que K∗/U(A) sea un grupo ordenado. Consideremos v : K∗ →K∗/U(A). v(xy) = xyU(A) = xU(A)y(A) = v(x) ∗ v(y). Sea vx ≤ vy entonces(x+ y)x−1 = 1 + yx−1 ∈ A. Por lo tanto v es una valuacion.

Definicion 2.11. Un campo de valuacion es una pareja (K,A) donde K es uncampo y A es un anillo de valuacion de K.

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2.3. SERIES DE PUISEUX

Proposicion 2.12. Si E es un subcampo de K entonces la pareja (E,A ∩ E)es un campo de valuacion y (E,A ∩ E) es una subestructura de (K,A).

Lema 2.13. Si (K,A) es algebraicamente cerrado entonces kA es algebraica-mente cerrado y ΓA es un grupo divisible.

Demostracion. Supongamos para proceder por contradiccion que k = kA no esalgebraicamente cerrado, entonces existe f ∈ k[X] tal que no tiene solucion enk. Sea x una solucion de f en K, procederemos a mostrar que v(x) = 0 por lotanto x es diferente de 0 en k. Sea n el grado de f entonces si vx < 0 se tiene quev(f(x)) = −nv(x). Si v(x) > 0 tenemos que en f(x) hay un unico termino convalor 0 (el termino independiente) y todos los demas tienen valores diferentes ypositivos, por lo tanto v(f(x)) = 0, luego v(x) tiene que ser 0.Sea t ∈ K tal que vt = n entonces la solucion de Xk − t tiene valor n

k . Por lotanto ΓA es divisible.

Definicion 2.14. Dado un campo de valuacion (K,A) y una extension al-gebraica de L ⊇ K decimos que el anillo de valuacion B sobre L yace sobre Ao domina a A, si B ∩K = A.

Nota. En este caso mA = mB ∩ K por lo tanto kA ↪→ kB por medio de laidentidad. Ademas U(A) = U(B) ∩K por lo tanto ΓA ↪→ ΓB por medio de laidentidad.

2.3. Series de Puiseux

Utilizaremos un ejemplo de campos valuados algebraicamente cerrados so-bre el cual estudiaremos los resultados aplicables en geometrıa tropical. Con-sideremos RN := K[[t

1N ]] := {

∑n∈N ant

nN : an ∈ K} donde K es un campo

algebraicamente cerrado. Consideremos LN := Frac(RN ).

Definicion 2.15. Las series de Puiseux se definen como

P :=⋃N∈N

LN .

Las operaciones de anillo se heredan de los LN puesto que si a, b ∈ P existenM,K ∈ N tales que a ∈ LM y b ∈ K, pero tanto LM como LK se pueden vercomo subanillos de Lm.c.m(N,M) por lo tanto a + b y ab estan definidos ya enLm.c.m(N,M).

Como cada uno de los LM es campo tenemos que P es tambien campo.Ademas se puede demostrar que si K es algebraicamente cerrado entoncestambien lo es P.

Proposicion 2.16. Sea SN := {t nN }∞n=0 entonces LN se es el anillo de frac-

ciones de RN con respecto a SN .

15

CAPITULO 2. CAMPOS VALUADOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS

Demostracion. Claramente SN es un subconjunto de RN cerrado bajo multipli-cacion. Es suficiente mostrar que S−1

N RN es un campo para ver que es igual a LN .Consideremos el homorfismo de anillos

∑n∈N ant

nN 7→

∑n∈N ant

n : RN → K[[t]]

que es de hecho un isomorfismo. Si extendemos el dicho homomorfismo a S−1N RN

tenemos entonces un isomorfismo entre S−1N RN y las series de Laurent con finitos

coeficientes correspondientes a exponentes negativos diferentes de 0. Sabemosque este ultimo anillo es un campo, por lo tanto S−1

N RN tambien lo es.

Nota. Sea J ≤ P[x] un ideal. El conjunto N (J) := {N ∈ N : 〈J ∩RN 〉P[x] = J}es no vacıo, puesto que J es generado por un numero finito de elementos(ver3.10).

2.4. Eliminacion de Cuantificadores

Definicion 2.17. Decimos que una teorıa T tiene posee eliminacion de cuantifi-cadores si para toda formula φ(x1, · · ·xn) existe una formula ψ(x1, · · ·xn) librede cuantificadores tal que T ` ∀x1 · · · ∀xn(φ(x)↔ ψ(x)).

El siguiente criterio es una aplicacion de modelos saturados que se utilizapara probar eliminacion de cuantificadores en una teorıa. La demostracion sepuede encontrar en [7].

Proposicion 2.18. Dada una teorıa T si para cuales quiera dos modelos N ,Mde T donde N es |M|+-saturado y dado cualquier embebimiento i : A → Nde una subestructura propia A de M en N , podemos extender i a j : A′ →N donde A′ es una extension propia de A entonces T posee eliminacion decuantificadores.

Utilizaremos este criterio para probar que la teorıa de campos valuados al-gebraicamente cerrados posee eliminacion de cuantificadores. Para esto vamos aprobar que hay tres formas de extender una valuacion de K a K(x), dependiendode el x que se escoja con respecto a K.

Para lograrlo utilizaremos los siguientes lemas.

Lema 2.19. Sea(K,A) un campo valuado y (L,B) = (K(x), B) donde x estrascendente sobre kA entonces

vB(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = mın

i{v(ai)}.

Demostracion. Basta probarlo para el caso en el que los ai estan en A y algun aitiene valuacion 0, puesto que de lo contrario podemos dividir por el coeficientecon menor valuacion.

Consideremos b = a0 + a1x+ · · ·+ anxn = a0 + · · · + anxn. Como x estrascendente sobre kA Entonces b 6= 0 por lo tanto v(a0 + a1x+ · · ·+ anx

n) =0.

16

2.4. ELIMINACION DE CUANTIFICADORES

Lema 2.20. Sea (K,A) un campo valuado y (L,B) una extension. Si {ci}n1yacen en diferentes coconjuntos(cosets) de ΓA = v(K∗) ⊆ ΓB = v(L∗) y {ai}n0 ⊆K entonces

v(aoc0 + a1c1 · · ·+ ancn) = mıni{v(ai) + v(ci)}.

Demostracion. Cada Γ+v(ci) 6= Γ+v(cj) para i 6= j por lo tanto v(ai)+v(ci) 6=v(aj) + v(cj) para i 6= j, resultando en v(aoc0 + a1c1 · · ·+ ancn) = mıni{v(ai) +v(ci)}.

Lema 2.21. Sea (K,A) un campo valuado y L = K(x) con x trascendente sobreK, entonces existe un unico B anillo de valuacion de L que yace sobre A de talforma que x ∈ B y x (la clase de x en el campo residual de B) es trascendentesobre kA. Mas aun se tiene que kB = kA(x) y que ΓB = ΓA.

Demostracion. Unicidad : Sea B como en el lema. Como x es trascendente sobrekA entonces 1, x, x2, · · · son linealmente independientes, por lo tanto si {ai}ni=0 ⊂K tenemos que

vB(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = mın

i{vA(ai)}.

Por lo tanto la valuacion sobre A[x] queda univocamente determinada, luego Bes unico.

Existencia: Definimos

v(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) := mın

i{vA(ai)}.

Revisamos que ası definido obtenemos una valuacion sobre L.

Sean f = a0 + · · · + anxn y g = b0 + · · · bmxm tales que v(f) = v(al) y

v(g) = v(bk). Supongamos sin perdida de generalidad que n ≥ m.v(f+g) = v((a0+b0)+· · ·+(an+bn)xn) = mıni{v(ai+bi)} ≥mıni,j v(ai), v(bj) =mın {v(g), v(f)}.

Sean f, g como antes

v(fg) = v

n+m∑i=0

i∑j=0

(ajbi−j)xi

= mın

v i∑j=0

(ajbi−j)

.

Ahora v(∑ij=0(ajbi−j) ≥ v(aj) + vbi−j para todos i, j con aj , bi−j 6= 0 a

su vez mayor o igual que v(f)+v(g). Cuando tomamos i = l+k, entoncesobtenemos el mınimo.

Claramente x ∈ B dado que por construccion v(x) = 0.

17

CAPITULO 2. CAMPOS VALUADOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS

Lema 2.22. Si (K,A) es un campo valuado y L = K(x) es una extension conx trascendente sobre K y δ un elemento de una extension de Γ = v(K) tal quenδ /∈ Γ para n > 0 entonces existe una unica valuacion vB de L que extiende avA de tal forma que v(L∗) = Γ + δZ con v(x) = δ.

Demostracion. Unicidad Sea vB como en el lema, sea {ai}n0 ⊆ A,

vB(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = mın{v(ai) + iδ}.

Puesto que nδ /∈ Γ, no hay i 6= j tal que v(ai) + iδ = v(aj) + jδ. Por lo tanto lavaluacion esta univocamente determinada.

Existencia: Definimos

vB(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) := mın{v(ai) + iδ}.

Revisamos que de esta forma tenemos una valuacion definida sobre L.

Sea f = a0 + · · ·+ anxn y g = b0 + · · ·+ bmx

m tales que v(f) = v(al) + lδy v(g) = v(bk) + kδ.Supongamos sin perdida de generalidad que n ≥ m

v(f + g) = v((a0 + b0) + · · ·+ (an + bn)xn) = mıni{v(ai + bi) + iδ}

≥ mıni{mın{v(ai) + iδ, v(bi) + iδ}}

≥ mıni,j{v(ai) + iδ, v(bj) + jδ} = mın{v(f), v(g)}.

Sean f y g como antes

v(fg) = v

n+m∑i=0

i∑j=0

(ajbi−j)xi

= mın{v

i∑j=0

(ajbi−j)

+ iδ},

v(∑ij=0(ajbi−j))+iδ ≥ v(aj)+v(bi−j)+iδ para todo i, j tal que aj , bi−j 6=

0 que es a su vez mayor o igual que v(f) + v(g) pero cuando tomamosi = l + k obtenemos el mınimo, que se da cuando j = l.

Teorema 2.23. La teorıa de campos valuados algebraicamente cerrados poseeeliminacion de cuantificadores en el lenguaje {+, ∗, 0, 1, U, |}, donde U es unsimbolo de relacion 1-ario que identifica al anillo de valuacion y | un sımbolo derelacion binario tal que a|b↔ ∃x(U(x)∧(a ∗ x = b)).

Demostracion. Sean (E,A) y (F,B) campos valuados algebraicamente cerradostales que F es |E|+−Saturado. En principio una subestructura de (E,A) esun dominio, sin embargo cualquier mapa del dominio se extiende al campo ya la clausura algebraica de este. Por lo tanto podemos reducirnos al caso de(K,K ∩A) donde K es algebraicamente cerrado. Vamos a considerar tres casos.

18

2.5. COMPLETITUD DE LA TEORIA DE ACVF

Caso 1: kK∩A 6= kA consideramos un x ∈ A tal que x sea trascendentesobre kK∩A. Por la |E|+−saturacion de F podemos encontrar un y ∈ Btal que y sea trascendente sobre kB∩i(K) por el Lema 2.21 la extension dei a i∪{(x, y)} es isomorfismo (pues x, y son trascendentes sobre K e i(K)respectivamente).

Caso 2: kK∩A = kA y v(E) 6= v(K) Tomemos x /∈ v−1(v(E)). Por lo tanto0, vx, vx2, · · · yacen en coconjuntos de v(E) diferentes, por lo tanto por elLema 2.22 y la |E|+-saturacion de F existe un y ∈ F tal que i se extiendea j de manera que j(x) = y.

Caso 3: kK∩A = kA y v(E) = v(K)Sea x ∈ E \K. Cualquier f ∈ K[x] sepuede re escribir como c

∏l(x−al) con c, al ∈ K por serK algebraicamente

cerrado. Entonces la valuacion v : K(x)→ Γ esta totalmente determinadapor la valuacion de E restringida a K y las valuaciones de (x − a) paracada a ∈ K. Tenemos que vf = vc+

∑l v(x− al). Por la |K|+-saturacion

de F existe un y ∈ F talque v(x− al) = v(y − i(al)).

2.5. Completitud de la Teorıa de ACVF

Definicion 2.24. Decimos que una teorıa T es completa si para toda L-sentenciaφ tenemos que T ` φ o T ` ¬φ.

Para poder encontrar uso a los resultados buscados, resta mostrar que lateorıa de campos valuados algebraicamente cerrados es completa y por lo tantocualquier afirmacion en primer orden que se deduzca en las series de Puiseuxvale para cualquier tipo de estructura que modele esta teorıa. Siendo estrictosla completitud en dicha teorıa no se da debido a las diferentes combinaciones(Char(K), Char(kA)) que se pueden tener sobre la caracterıstica del campovaluado y la caracterıstica del campo de residuos. Sin embargo el caso particularque nos interesa es el de (0, 0).

Teorema 2.25. Sea T una teorıa con eliminacion de cuantificadores tal queexiste una estructura A que se puede embeber en cualquier modelo de T , entoncesT es completa.

Demostracion. Sea A como en el enunciado, B1 |= T y B2 |= T . Entonces pode-mos suponer A ⊆ Bi para i ∈ {1, 2}. Sea φ una sentencia tal que B1 |= φ. ComoT elimina cuantificadores, entonces existe ψ formula libre de cuantificadores talque T ` φ↔ ψ. Por lo tanto

B1 |= ψ

⇒ A |= ψ

⇒ B2 |= ψ.

19

CAPITULO 2. CAMPOS VALUADOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS

Y dado que B2 es un modelo de T , llegamos a que B2 |= φ. Podemos concluirentonces que cualquier sentencia valida en un modelo de T es valida en todoslos modelos de T .

Queremos entonces una estructura en el lenguaje (+, ∗, 0, 1, U, |) que po-damos embeber en cualquier campo valuado algebraicamente cerrado con camporesidual de caracterıstica cero. Es conocido que Q se puede embeber en cualquiercampo de caracterıstica cero. Utilizaremos esta idea, junto con la valuacionv(Q) = {0,∞} para obtener tal estructura.

Teorema 2.26. Sea K un modelo de la teorıa valuada de campos algebraica-mente cerrados con caracterıstica 0 y cuyo campo de residuos tiene caracterıstica0. Entonces (Q,+, ∗, 0, 1,Q, (Q∗ ×Q) ∪ {(0, 0)}) se puede embeber en K.

Demostracion. 1 ∈ kA el campo de residuos, por lo tanto existe una copia de Zen kA dado que es de caracterıstica 0. Por lo tanto, al ser kA campo hay unacopia de Q dentro de k. Mas aun lo mismo podemos decir del campo K dadoque kA se puede inyectar en K, por lo tanto identificando la imagen de Q i(Q)de forma que i(Q) ↪→ k → A sea un isomorfismo.

Corolario 2.27. La teorıa de campos valuados algebraıcamente cerrados decaracterıstica cero con campo de residuos de caracterıstica cero es completa.

20

Capıtulo 3

Algebra Conmutativa yGeometrıa Algebraica

La geometrıa algebraica en principio busca estudiar propiedades de solu-ciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables. Esta ramade las matematicas tiene bastantes aplicaciones tanto en otras areas de lamatematica, ası como en otras areas del conocimiento como fısica, biologıa ycomputacion.

Definicion 3.1. Sea K un campo. A ⊆ Kn es un conjunto algebraico si existeS ⊆ K[x1, · · · , xn] tal que A = {a : f(a) = 0 ∀f ∈ S}. En este caso decimosque A es el conjunto algebraico generado por S y denotamos A = V (S).

Por lo general se utiliza el termino variedad para referirse a cierto tipo deconjuntos algebraicos o sus complementos. Sin embargo vamos a utilizar a lolargo del documento la palabra variedad para referirnos a conjuntos algebraicos.

Definicion 3.2. Sea Σ un conjunto algebraico de Kn definimos el ideal asociadoa Σ, J (Σ) := {f ∈ K[x1, · · · , xn] : f(Σ) = 0}.

Proposicion 3.3. Sean I, J, {Il}l∈L ideales de K[x1, · · · , xn]. Entonces ten-emos las siguientes propiedades.

1. I ⊆ J ⇒ V (I) ⊇ V (J).

2. V (∑l Il) =

⋂V (Il) .

3. V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).

Demostracion. 1. Supongamos I ⊆ J , y a ∈ V (J) entonces para todo f ∈ Jtenemos f(a) = 0. Por lo tanto para todo g ∈ I ⊆ J tenemos g(a) = 0ergo V (J) ⊆ V (I).

2. Sea a ∈ V (∑l Il) entonces para todo f ∈

∑l Il tenemos que f(a) = 0 en

particular para cada fαl ∈ Il. Por lo tanto a ∈ V (Il) para cada l ∈ L.

21

CAPITULO 3. ALGEBRA CONMUTATIVA Y GEOMETRIAALGEBRAICA

Sea a ∈ V (Il) para todo l ∈ L. Sea f ∈∑l Il entonces existen fl1 , · · · fln

con fi ∈ Ii tales que f = fl1 + · · · fln de forma que f(a) = fl1(a) + · · · +fln(a) = 0. Por lo tanto a ∈ V (

∑l Il).

3. Por (1) tenemos que V (I∩J) ⊇ V (I)∪V (J). Sea x /∈ V (I)∪V (J) entoncesexiste f ∈ J ∪ I tal que f(a) 6= 0 entonces a /∈ V (J ∪ I).

Con estas propiedades vemos que los conjuntos algebraicos definen unatopologıa por cerrados sobre Kn. A esta topologıa se le conoce como la topologıade Zariski.

Corolario 3.4. (a1, · · · , an) ∈ V (I)⇔ 〈x1 − a1, · · · , xn − an〉 ⊇ I.

Definicion 3.5. Un conjunto algebraico C se dice irreducible si no existen A yB conjuntos algebraicos contenidos estrictamente en C tales que A ∪B = C.

3.1. Nullstellensatz

Teorema 3.6. Sea K un campo y B una K-algebra finitamente generada. Si Bes un campo entonces B es una extension algebraica finita de K. En particularsi K = K su clausura algebraica, entonces B = K.

Corolario 3.7 (Nullstellensatz debil). Sea A una K-algebra finitamente gen-erada, y m un ideal maximal de A entonces A/m es una extension algebraicafinita de K. En particular si K = K tenemos que A/m ∼= K.

Corolario 3.8. Si K = K. Entonces los ideales maximales de K[X1, · · · , Xn]estan dados por {〈X1 − a1, · · · , Xn − an〉 : (a1, · · · , an) ∈ Kn}.

Corolario 3.9. Si K = K entonces tenemos que J (V (I)) =√I para todo ideal

I de K[X1, · · · , Xn].

Demostracion. Si f ∈√I entonces existe n ∈ N tal que fn ∈ I por lo tanto

fn(x) = 0 ∀x ∈ V (I) lo que implica que f(x) = 0 ∀x ∈ V (I) entoncesf ∈ J (V (I)).Si f /∈

√I entonces existe un ideal primo P ⊇ I tal que f /∈ P Sea B =

K[X1, · · · , Xn]/P y C = B[ 1f ] sea m un ideal maximal de C, entonces C/m es

isomorfo a K. Consideremos π : K[X1, · · · , Xn] → C y sea mc = π−1(m) en-tonces mc = 〈X1−a1, · · · , Xn−an〉. Como mc ⊇ P ⊇ J , entonces (a1, · · · , an) ∈V (J) pero f(a1, · · · , an) 6= 0.

3.2. Base de Hilbert

Teorema 3.10. [Base de Hilbert] Sea R un anillo Noethereano. Entonces R[X],el anillo de polinomios de R en una variable, es tambien Noethereano.

22

3.3. DIMENSION

Demostracion. Sea I un ideal de R[X]. Sea I ′ el ideal generado por los coefi-cientes principales de I. Es decir I ′ ≤ R, por lo tanto existen a1, · · · , an tales que〈a1, · · · , an〉 = I ′. Tenemos entonces que existen {fi}ni=1 tales que fi = aix

ni +∑ni−1

k=0 bkxk. Consideremos N = maxi ni. Sea f ∈ I f = axm +

∑m−1k=0 ckx

k.Supongamos m ≥ N y a =

∑µiai entonces tenemos que f =

∑µifix

m−ni + gcon g de grado menor que f . Tenemos entonces que g es tambien elemento deI. Iterando este proceso llegamos a que f = F + G con F ∈ 〈{fi}ni=1〉 y G degrado menor que N . Consideremos 1, x, · · ·xN−1 entonces G esta en el gener-ado de1, x, · · ·xN−1 ∩I. Visto como R-modulo el generado por 1, x, · · ·xN−1 esNoethereano y por lo tanto tambien su interseccion con I. Por lo tanto existeng1, · · · gl que generan al generado por 1, x, · · · , xN−1 ∩I por lo tanto G esta en elgenerado de los gj . Concluimos entonces que {gj}lj=1 ∪{fi}ni=1 generan a I.

Corolario 3.11. Si K es un campo entonces K[X1, · · · , Xn] es Noethereano.

Por ser K[X1, · · · , Xn] un anillo Noethereano tenemos entonces descom-posicion primaria minimal de cualquier ideal, por lo tanto si J = Q1 ∩ · · · ∩Qnes una descomposicion minimal con Qi un ideal Pi-primario tenemos entoncesque√J = P1 ∩ · · · ∩ Pn y luego V (J) = V (P1) ∪ · · · ∪ V (Pn) con V (Pi) una

variedad irreducible, por lo tanto cualquier variedad la podemos descomponeren una union finita de variedades irreducibles.

3.3. Dimension

Definicion 3.12. La dimension de un anillo R, dim(R) se define como elsupremo menos 1 de los tamanos de una cadena de ideales primos de este.Definimos la dimension de un ideal I ≤ R como el supremo de los tamanosde una cadena de ideales primos de R que contengan a I menos 1. Es decircomo la dimension de R/I. Como K[X1, · · · , Xn] es Noethereano la dimensionde cualquier ideal va a ser finita.

Definicion 3.13. Definimos la codimension de un ideal primo P de un anilloR como supremo de los tamanos de las cadenas cde ideales primos contenidasen P menos 1.

Proposicion 3.14. En particular tenemos la siguiente desigualdad

dim(P ) + codim(P ) ≤ dim(R).

Definicion 3.15. Sea I un ideal, un ideal primo minimal asociado a I es unideal primo P tal que para todo ideal primo Q tal que I ⊆ Q ⊆ P tenemos queQ = P . El conjunto de ideales primos minimales asociados a I lo denotamospor minAs(I).

Definicion 3.16. Decimos que un ideal I ≤ K[X1, · · · , Xn] es de dimensionpura d, o equidimensional de dimension d si para todo P ∈ minAs(I) tenemosque dim(P ) = d.

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CAPITULO 3. ALGEBRA CONMUTATIVA Y GEOMETRIAALGEBRAICA

Lema 3.17. Sea R = K[X1, · · · , Xn] e I ≤ R un ideal tal que codim(P ) = dpara todo P ∈ minAs(I) y sea f ∈ R \ I entonces tenemos que

minAs(I + 〈f〉) =⋃

P∈minAs(I)

minAs(P + 〈f〉).

Mas aun para todo P ′ ∈ minAs(I + 〈f〉) tenemos que codim(P ′) = d+ 1.

Demostracion. Procederemos a mostrar ambas inclusiones.

“⊆” Sea Q ∈ minAs(I + 〈f〉) entonces existe P ∈ minAs(I) tal que P ⊆ Q.Entonces Q ∈ minAs(P + 〈f〉).

“⊇” Sea Q ∈ minAs(P + 〈f〉) para P ∈ minAs(I). Como I ⊆ Q entoncesexiste Q′ ∈ minAs(I + 〈f〉) tal que Q′ ⊆ Q. Tenemos tambien que existeP ′ ∈ minAs(I) tal que P ′ ⊆ Q pero f ∈ Q entonces la inclusion esestricta. Por lo tanto tenemos que

codim(Q) ≥ codim(Q′) ≥ codim(P ′) + 1 = d+ 1

Tenemos por el teorema del ideal principal de krull [1] que codim(Q/P ) =1.

Utilizaremos la siguiente notacion para las siguientes proposiciones, V0 :={a0 + a1x1 + · · · anxn : ai ∈ C}

La primera geometricamente afirma que una variedad de dimension a lomenos 1 interseca a una hipersuperficie generica.

Proposicion 3.18. Sea J ≤ P[x] un ideal de dimension pura dim(J) ≥ 1entonces existe U abierto denso de Zariski de V0 tal que para todo P ∈ minAs(J)y para todo f ∈ U tenemos que 1 /∈ 〈f〉+ P .

Proposicion 3.19. Sea J ≤ K[x] de dimension pura dim(J) ≥ 1 tal quex1 · · ·xn /∈

√J entonces existe U un abierto denso de Zariski de V0 tal que para

todo f ∈ U tenemos que x1 · · ·xn /∈√J + 〈f〉.

Proposicion 3.20. Sea R un anillo que contenga a K. Sea J ≤ R[x], entoncesexiste U abierto denso de Zariski de V0 tal que para todo f ∈ U y para todoP ∈ minAs(J) tenemos que f /∈ P .

24

Capıtulo 4

Geometrıa Tropical

El primer acercamiento que se hace a la geometrıa tropical es via la imagende variedades algebraicas en (C∗)n bajo la funcion de (C∗)n en Rn tal que(z1, · · · , zn) 7→ (x1, · · · , xn) donde xi = log |zi| Esto resulta en una imagenconocida como amebas (llamadas ası por su figura en el caso n = 2). Mas aunse considera la familia

Logt : (C∗)n → Rn.(z1, · · · , zn) 7→ (logt |x1|, · · · , logt |xn|)

Cuando t es pequeno, y se considera el lımite cuando t tiende a 0. Esteprocedimiento parte de la ameba original y la reduce a su esqueleto, terminandoası en la curva tropical.

Definicion 4.1. Una hipersuperficie tropical esta dada por la imagen de V unahipersuperficie en Cn bajo el mapa lım

t→0Logt(V ∩ (C∗)n)

Esta definicion no resulta adecuada desde el punto de vista algebraico, por lotanto se dio cabida a una definicion un poco mas algebraica. Para esta vamos aconsiderar el mapa de valuacion de un campo valuado algebraicamente cerrado.Sabemos que la teorıa de CVAC es completa, por lo tanto basta con considerarun unico caso de CVAC para propiedades que se puedan expresar en primerorden. El caso mas conocido es por supuesto las series de Puiseux P, cuyoselementos son de la forma

c =∑q∈Q

aqtq

donde el conjunto S := {q : aq 6= 0} es bien ordenado dado que tal conjuntocomparte un denominador comun. Tomamos la valuacion de la serie de tal formaque v(c) = mın{q|aq 6= 0}.

Dado un polinomio f ∈ P[X1, · · · , Xn] una hipersuperficie tropical en Rn

se construye tomando el conjunto de puntos (y1, · · · , yn) de tal forma queyi = −v(xi) donde la tupla (x1, · · · , xn) es solucion de f .

25

CAPITULO 4. GEOMETRIA TROPICAL

Definicion 4.2. Una variedad tropical esta dada por la imagen de una variedadV ∈ Pn bajo el mapa

V al : V ∩ (P∗)n → Rn

(x1, · · · , xn) 7→ (−v(x1), · · · ,−v(xn))

Es comun pedir que la valuacion de un campo sea una funcion sobreyectiva .En el caso de las series de Puiseux se puede notar que el grupo de valuacion noes R sino Q. Sin embargo todas las propiedades combinatoricas que interesancuando se realiza la tropicalizacion resultan fuincionar en Qn por lo tanto estehecho lo podemos obviar.

4.1. Variedades Tropicales a Partir de Inω

Definicion 4.3. Dado ω ∈ Rn y f ∈ K[x1, · · ·xn] con f =∑aix

i definimos laforma ω-inicial de f como

Inω(f) =∑

−vaj+〈j,w〉es maxajx

j ,

la suma de los monomios sobre los indices j donde se maximiza −vaj + 〈j, w〉.Si J es un ideal de K[x1, · · ·xn] entonces extendemos la definicion de Inω aInω(J) = 〈Inω(f)|f ∈ J〉.

Definicion 4.4. Si consideramos las series de Puiseux, definimos la forma t-inicial de f con respecto a ω como t− inω(f) := Inω(f) |t=1.

La forma en que definimos una variedad tropical desde las formas inicialeses la siguiente.

Definicion 4.5. Dado J ∈ K[x1, · · · , xn] definimos una variedad tropical como

Trop(J) = {ω ∈ Rn|Inω(J) no contiene ningun monomio}.

Es posible definir Trop(J) como los ω tal que t− inω(J) no contenga ningunmonomio, puesto que si tαxβ , tα

′xβ

′son parte de Inω(f) con α 6= α′ entonces

β 6= β′.Similar a como ocurre en la geometrıa algebraica clasica tenemos las sigu-

ientes propiedades para los “conjuntos algebraicos Tropicales”.

Proposicion 4.6. Sean J1, J2, · · · , Jm ideales de K[x1, · · ·xn] entonces

(a) J1 ⊆ J2 entonces Trop(J1) ⊇ Trop(J2),

(b) Trop(J1 ∩ J2 ∩ · · · ∩ Jm) = Trop(J1) ∪ · · · ∪ Trop(Jk),

(c) Trop(J1 + J2) ⊆ Trop(J1) ∩ Trop(J2),

(d) Trop(J1) = Trop(√J1) =

⋃P∈minAs(J1)

Trop(P ).

26

4.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL

Demostracion. a) Supongamos que J1 ⊆ J2 y sea w ∈ Trop(J1) por lo tantoInw(J1) posee un monomio, pero como J1 ⊆ J2 entonces Inw(J2) contieneun monomio.

b) J1 ∩ J2 ∩ · · · ∩ Jm ⊆ J1 por lo tanto por la parte (a) tenemos queTrop(J1 ∩J2 ∩ · · · ∩Jm) ⊇ Trop(J1)∪ · · · ∪Trop(Jk). Ahora, supongamosque w /∈ Ji para i ∈ {1, · · · ,m} por lo tanto Inw(Ji) contiene un monomio,supongamos Inw(fi), dado que Inw(f1 · · · fm) = Inw(f1) · · · Inw(fm) ten-emos que Inw(f1 · · · fm) es un monomio y dado que f1 · · · fm ∈ J1∩· · ·∩Jnentonces w /∈ Trop(J1 ∩ J2 ∩ · · · ∩ Jm)

c) Si w ∈ Trop(J1 +J2) entonces para cada fj1 +fj2 ∈ J1 +J2 Inw(fj1 +fj2)no contiene monomios. En particular fj1 + 0 y 0 + fj2 por lo tanto w ∈Trop(J1) ∩ Trop(J2).

d) Dado que J ⊆√J = ∪P∈minAs(J)Trop(P ) tenemos que Trop(

√J) ⊆

Trop(J). Ahora supongamos que w /∈ Trop(√J) por lo tanto existe un

monomio en Inw(√J) es decir existe f ∈ J tal que Inw(fn) es un monomio.

Por lo tanto Inw(f)n es un monomio, y por ende Inw(f) es un monomio.Concluimos entonces que w /∈ Trop(J).

El literal c) a diferencia de la geometrıa tiene casos en los que la contenenciaes propia. Por ejemplo, consideremos J1 = 〈x+ y + 1〉 y J2 = 〈x+ y + t〉.

4.2. El Teorema Fundamental

La idea del teorema fundamental de la geometrıa tropical es mostrar que laconstruccion de variedades tropicales se puede hacer de cualquiera de las dosformas. La ventaja de esto es que por un lado tenemos una definicion relati-vamente amigable que ayuda a entender estos objetos geometricos utilizandotecnicas combinatoricas, y por el otro lado tenemos una definicion que nos haceimplıcita la relacion entre la geometrıa algebraica y la geometrıa tropical.

Teorema 4.7. Sea K un campo valuado algebraicamente cerrado y J un idealde K[x] entonces Trop(J) = −v(V (J) ∩ {a ∈ (K∗)n}).

La demostracion de este teorema se divide en dos pedazos, y seguiremos lademostracion de [2]. El primero

Teorema 4.8. Dado a ∈ V (J) tenemos que −v(a) ∈ Trop(J).

Para este no es necesario que K sea algebraicamente cerrado y lo probaremosen el caso general. El segundo,

Teorema 4.9. [Lifting Tropical] Dado ω ∈ Trop(J) existe un a ∈ V (J) tal que−v(a) = ω.

27

CAPITULO 4. GEOMETRIA TROPICAL

En este nos enfocaremos en el caso de K = P y haremos una salvedad conrespecto a los ω ∈ Rn \Qn.

Demostracion. 4.8 Sea a ∈ V (J) entonces para todo f ∈ J f(a) = 0. Considere-mos v(f(a)) sabemos que toma el valo∞ y por lo tanto si f(x) =

∑l∈L⊂Nn blx

l

tenemos que existen k 6= q tal que v(bkak) = v(bqa

q) y que son menores o igualesa v(bla

l) para todo l ∈ {0, · · · ,m}. Pero eso simplemente quiere decir que

v(bk) + v(a) · k = v(bq) + v(a) · q ≤ v(bl) + v(a) · l.

Entonces tenemos que

−v(bk) +−v(a) · k = −v(bq) +−v(a) · q ≥ −v(bl) +−v(a) · l.

Es decir In−v(a)(f) no es monomio. Entonces −v(a) ∈ Trop(J).

Pra probar el teorema 4.9 empezaremos con el caso en el que J es un ideal0- dimensional y luego los demas casos los reduciremos a este.

Lema 4.10. Sea J es un ideal de dimension 0 de P[x]. entonces −v(V (I)) =Trop(I).

Demostracion. Si J es un ideal, entonces

Trop(J) = Trop(√J) =

⋃P∈minAs(J)

Trop(P )

pero como J es 0-dimensional, entonces los unicos ideales primos P sobre Json maximales, por lo tanto al ser P algebraicamente cerrado, tenemos queP = 〈x1 − p1, · · · , xn − pn〉. Entonces si w ∈ Trop(P ) tenemos que Inw(P ) nocontiene monomios y por lo tanto la valuacion de pi es necesariamente −wi yclaramente p = (p1, · · · , pn) ∈ V (J).

Para el caso general de 4.9, el procedimiento a seguir es encontrar un idealJ ′ tal que dim(J ′+ J) = 0 y ademas ω ∈ J + J ′ para esto vamos a necesitar unpoco mas de teorıa del comportamiento de la dimension de P[x].

Lema 4.11. Sea J ≤ P[x] un ideal y N ∈ N (J), entonces t − in0(J) = t −in0(JRN

) y 1 ∈ t− in0(J)

Lema 4.12. Sea I ≤ RN [x] un ideal. entonces las siguientes son equivalentes.

1. 1 /∈ In0(I).

2. ∀f ∈ RN [x] tenemos que 1 + t1N f /∈ I.

3. RN [x] \ (I + 〈t 1N 〉) 6= ∅.

4. ∃P ≤ RN [x] maximal que contiene a I y a 〈t 1N 〉.

28

4.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL

5. ∃P ≤ RN [x] maximal que contiene a I y tal que 1 /∈ In0(P ).

Por lo tanto si P es un ideal maximal, tenemos que 1 /∈ In0(P )⇔ t1N ∈ P .

Demostracion. Probaremos 1 ↔ 2, 2 → 3, luego 3 → 4, seguido del “por lotanto” luego 4↔ 5 y por ultimo 5→ 1.

1↔ 2 1 ∈ In0(J) si y solo si existe g ∈ J tal que In0(g) = 1 lo que ocurre si y

solo si g = 1 + t1n f para f ∈ Rn[x].

2→ 3 Como 1 /∈ (I + 〈t 1N 〉) tenemos que 1 ∈ RN [x] \ (I + 〈t 1

N 〉).

3→ 4 Como I+〈t 1N 〉 no es todo, entonces existe un ideal maximal (en particular

primo) que lo contiene.

“P.l.t.” t1N /∈ P si y solo si modulo P , t

1N es invertible, lo que ocurre si y solo si

existe −f ∈ RN [x] tal que 1 + t 1N f ∈ P y por [i↔ ii] eso ocurre si y solo

si 1 ∈ In0(P ).

4↔ 5 Se sigue del “Por lo tanto”.

5→ 1 I ⊆ P implica In0(I) ⊆ In0(P ) como 1 /∈ In0(P ) tenemos que 1 /∈ In0(I).

Lema 4.13. dim(RN [x]) = n+ 1.

Demostracion. RN es un domino de valuacion discreta, por lo tanto tiene di-mension 1. Por ser RN Noethereano tenemos que dim(RN [x]) = dim(RN )+n =n+ 1.

Citamos los siguientes lemas necesarios para la demostracion del teoremafundamental en el caso de las series de Puiseux. La demostracion se puede veren [2].

Proposicion 4.14. Sea P ≤ RN [x] es un ideal primo tal que 1 /∈ In0(P )tenemos que dim(P ) + codim(P ) = n+ 1.

Lema 4.15. Sea P ≤ P[x] un ideal primo, y N ≥ 1 entonces tenemos que

dim(PRN) = dim(P ) + 1⇔ 1 /∈ In0(P ),

dim(PRN) = dim(P )⇔ 1 ∈ In0(P ).

Lema 4.16. Sea J un ideal de dimension pura, y N ∈ N (J) entonces minAs(JRN) =

{PRN: P ∈ minAs(J)}.

Lema 4.17. Sea J un ideal de dimension pura y ω ∈ Qn entonces

minAs(t− inω(J)) =⋃

P∈minAs(J)

minAs(t− inω(P )).

29

CAPITULO 4. GEOMETRIA TROPICAL

Definicion 4.18. Consideremos P[x] definimos un orden con respecto a ω ∈ Qnen sus monomios modulo producto por elementos de K de la siguiente manera:

tαxβ >ω tα′xβ

′⇔ (−α+ω·β > −α′+ω·β′) o (−α+ωβ = −α′+ωβ′ y xβ > xβ

′).

donde > es un orden predefinido sobre los monomios en {x1, · · ·xn} por ejemploel orden lexicografico.

Teorema 4.19. Sea J = 〈I〉P con I ≤ K[[t1N ]], [x] y sea ω ∈ Qn y G una

base estandar de I con respecto a >ω. Entonces t − inω(J) = t − inω(I) =〈t− inω(G)〉 ≤ K[x].

Proposicion 4.20. Sea K un campo infinito J ≤ P[x] un ideal de dimensionpura d entonces existen abiertos de Zariski densos U1, · · · , Ud de V0 tales queexisten {fi}di=1 tales que fi ∈ Ui y J ′ = 〈f1, · · · , fd〉P[x] que satisfagan.

dim(J + J ′) = dim(t− in0(J) + t− in0(J ′)) = 0.

dim(t− in0(J ′)) = dim(J ′) = n− d.

x1 · · ·xn /∈√t− in0(J) + t− in0(J ′).√

t− in0(J) + t− in0(J ′) =√t− in0(J + J ′).

En particular, (0, · · · , 0) ∈ Trop(J + J ′).

Demostracion. Sea N ∈ N (J) tal que para todo P ∈ minAs(J) N ∈ N (P ).Por el Lema 4.11 tenemos que

t− in0(J) = t− in0(JRN)

yt− in0(P ) = t− in0(PRN

)

para todo P ∈ minAs(J).Por el Lema 4.16 tenemos que

minAs(JRN) = {PRN

: P ∈ minAs(J)}

.Como 0 ∈ Trop(J) tenemos que existe un primo asociado P a J con 0 ∈Trop(P ). Por lo tanto 1 /∈ t − in0(P ) y entonces por el Lema 4.17 tenemosque dim(J) = dim(t − in0(J)) = dim(Q) para todo Q en minAs(t − in0(J)).Como 0 ∈ Trop(J) tenemos que t − in0(J) es libre de monomios y x1 · · ·xn /∈√t− in0(J). Como K es infinito, podemos aplicar 3.18 a J , 3.20 a J visto como

ideal de P[x], a JRNvisto como ideal de RN [x] y a t−in0(J) como ideal de K[x],

y el Lema 3.19 a t−in0(J) como ideal deK[x] de forma que encontramos abiertos

U11, U12, U13, U14, U15 en V0 tales que ningun f1 ∈⋂5i=1 U1i esta contenido en

ningun primo minimal asociado a J , JRN, t− in0(J) tal que 1 /∈ (J + 〈f1〉P[x])

y x1 · · ·xn /∈√t− in0(J) + 〈f1〉.

30

4.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL

Por el Lema 3.17 los primos minimales asociados de J + 〈f1〉P[x], JRN+

〈f1〉RN [x], t − in0(J) + 〈f1〉K[x] tienen codimension n − d + 1. t1N /∈ Q∀Q ∈

minAs(JRN+ 〈f1〉RN [x]).

De lo contrario tendriamos por los Lemas 4.12, 4.13 y 4.14 que la dimensionde Q serıa n + 1 − codim(Q) = d. Ahora consideremos el mapa natural π :

RN [x]→ K[x] que manda a 7→ a+ 〈t 1N 〉. Por lo tanto tenemos que

t− in0(J) = π(JRN+ 〈t 1

N 〉)

yt− in0(J) + 〈f1〉K[x] ⊆ π(JRN

+ 〈t 1N , f1〉RN [x]) ⊆ π(Q),

dado que t1N esta en Q π(Q) es un ideal de dimension d. sin embargo dada la esco-

gencia de f1 tenemos que todo primo minimal asociado de t−in : 0(J)+〈f1〉K[x]

tiene codimension n− d+ 1 lo cual implica que el ideal tiene dimension d− 1 ypor lo tanto no puede estar contenido en uno de dimension d.

Utilizando el mismo argumento podemos encontrar U2, · · · , Ud y elemen-tos f2, · · · , fd tales que los primos minimales asociados a J + 〈f1, · · · , fk〉P[x],JRN

+ 〈f1, · · · , fk〉RN [x], t− in0(J) + 〈f1, · · · , fk〉K[x] tienen todos codimensionn − d + k para k ∈ {1, · · · , d}. Ademas i /∈ J + 〈f1, · · · , fk〉P[x] y x1 · · ·xn /∈√t− in0(J) + 〈f1, · · · , fk〉K[x]. Mas aun ninguno de los primos minimales aso-

ciados de JRN+ 〈f1, · · · , fk〉RN [x] contiene al elemento t

1N .

Para ver que√t− in0(J) + t− in0(J ′) =

√t− in0(J + J ′)

vamos a demostrar que

minAs(t− in0(J + J ′)) = minAs(t− in0(J) + t− in0(J ′)).

Para esto consideremos la extension de anillos RN [x] ⊆ S−1N RN [x] dada por la

localizacion y denotemos a Ic := I ∩ RN [x] y a Ie := 〈I〉P[x] la extension deI ⊆ RN [x] y J0 = J ∩ P[x] y J ′0 := J ′ ∩ P[x].Tenemos que

(Jc0 + J ′c0 )e = Jce0 + J ′ce0 = J0 + J ′0 : t1N /∈ Q} = minAs(Jc0 + J ′c0 ),

por lo tanto √Jc0 + J ′c0 =

√(J0 + J ′0)c

y comoπ(Jc0) = t− in0(JRN

) = t− in0(J),

π(J ′c0 ) = t− in0(J ′),

π((J0 + J ′0)c) = t− in0(J + J ′),

31

CAPITULO 4. GEOMETRIA TROPICAL

tenemos que √t− in0(J) + t− in0(J ′) =

√π(Jc0) + π(J ′c0 )

= π(√

(J0 + J ′0)c) =√π((J0 + j′0)c) =

√t− in0(J + J ′)

.

4.3. El Semicampo Tropical

Definicion 4.21. El semicampo tropical es una estructura (T,⊕,�,−∞, 0) quecumple

1. T = R ∪ {−∞}.

2. a⊕ b = max{a, b} para (a, b) ∈ R2.

3. a⊕−∞ = −∞⊕ a = a para a ∈ T.

4. a� b = a+ b para (a, b) ∈ R2.

5. a�−∞ = −∞� a = −∞ para a ∈ T.

Con estas operaciones T adquiere una estructura de semi campo. Otra formamas en la que se pueden ver las curvas tropicales y su relacion directa con lospolinomios algebraicos de donde surgen, es utilizando la suma y el producto trop-ical, donde ⊕ = max y � = +. dado un polinomio f(x) =

∑i∈Nn aix

i11 · · ·xinn

(usualmente lo escribiremos como∑aix

i) en K[x1 · · ·xn] se considera

g :=⊕i∈Nn

−v(ai)� xi11 � · · · � xinn = max{−v(ai) + i1x1 + · · ·+ inxn},

que es una funcion lineal a trozos. Cuando el polinomio original toma el valorcero, el valor mınimo de la valuacion en sus monomios se adquiere en dos deestos, por lo tanto la curva tropical asociada a f se puede ver como el lugargeometrico de Rn cuya imagen son “las esquinas” de la grafica de g.

4.4. Combinatoria Tropical

Consideremos f(x) =⊕aj � xj un polinomio, y J ⊆ N su soporte, es decir

las tuplas j = (j1, · · · , jn) tales que aj 6= 0. Consideremos ∆f la envolvente con-vexa de J y definamos el mapa vf : J → R j 7→ −aj . Consideremos la envolvente

convexa ∆G de G = {(j, u) : j ∈ J u ≥ vf (j)} entonces vf se puede extender

32

4.5. CURVAS TROPICALES PLANAS

a ∆f de tal forma que vf (j) = mın(j,u)∈∆G{u}. Definimos una particion de ∆f

generada por vf dada por la proyeccion de la parte no diferenciable de ∆G. Conlo que resultamos entonces, es una particion de ∆f en Tn a la que llamaremosSubdiv∆f .

Volvamos a considerar f y sea u ∈ Tn construyamos el conjunto

Jf (u) := {j ∈ J |f(u) = aj � uj}.

Es decir el conjunto de los indices en el soporte de f correspondientes a losmonomios para los cuales u obtiene el valor maximo. Ahora dado un poliedro∆ en Subdiv∆f y definimos

V ∆f := {u ∈ Tn|Jf (u) = ∆ ∩ J}.

Notese que para todo u ∈ Tn existe un ∆ tal que U ∈ V ∆f en particular u ∈ V ∆

f

para ∆ = {j} con j ∈ Jf (u). Tenemos entonces una subdivision de Tn gener-

ada por {V {j}f |j ∈ J}, donde los puntos de interseccion de V{j1}f y V

{j2}f para

j1 6= j2 pertenecen a la variedad generada por f .

Esta ultima subdivision y Subdiv∆f estan relacionadas en el sentido de quela una es la dual de la otra.

Es cierto que diferentes polinomios tropicales pueden generar las mismassubdivisiones en Tn por lo tanto decimos que Trop(g) y Trop(f) tienen el mismotipo combinatorico si ambos generan la misma subdivision.

4.5. Curvas Tropicales Planas

Restrinjamonos ahora al caso de T2

Definicion 4.22. Sea e una arista de Trop(f) una curva tropical y sea ∆e lacorrespondiente arista en Subdiv∆f . Definimos la multiplicidad de e en Trop(f)como el numero de puntos del reticulo Z2 en el interior de ∆e mas uno. Es decir

m(e) := |int(∆e) ∩ Z2|+ 1.

Proposicion 4.23. Sea P un vertice de Trop(f) entonces obtenemos la sigu-iente condicion sobre las aristas adyacentes a P y sus multiplicidades∑

m(e)ve = 0

donde ve es el vector de coordenadas primitivas, es decir un vector con coor-denadas enteras cuyo maximo comun divisor es 1, de la arista e en direccionexterior a P .

Definicion 4.24. Decimos que un polinomio tropical f tiene grado definido dsi su soporte J es total, es decir J = {(i, j) ∈ N2|i+ j ≤ d}.

33

CAPITULO 4. GEOMETRIA TROPICAL

Con esta definicion podemos ver que el numero de aristas infinitas en cadadireccion es d en un polinomio de grado definido.

Teorema 4.25 (Bezout Tropical). Sean C y D curvas tropicales en T2 de gradosdefinidos c y d respectivamente. Entonces si las dos curvas se encuentran en unnumero finito de puntos, el numero de puntos de interseccion es igual a cdcontando multiplicidad.

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Capıtulo 5

Primer Orden en laGeometrıa Tropical

5.1. Teorema Fundamental

El hecho de que ω forme parte de Trop(f) con f un polinomio especıficof(x) = ank

xnk + · · · + an1xn1 con coeficientes en K ocurre cuando existe un

c ∈ (K∗)n tal que −v(c) = ω y que el maximo de las valuacion de f(c) seobtenga el dos o mas monomios. Es decir que valga

∨0≤i<j≤k

(((anic

ni |anjcnj )∧(anjc

nj |anicni))

k∧l=0

(anicni |anl

cnl)

).

Denotemos la formula anterior como φf (c). Utilizando esto, tenemos en-tonces que la forma de escribir “ω ∈ Trop(f) ⇒ ∃x ∈ V (f) : −v(x) = ω”serıa

φf (c)→ ∃x1 · · · ∃xn

((n∧i=1

((xi|ci) ∧ (ci|xi))

)∧ f(x) = 0

).

Sabemos que

P |= ∀c

((φf (c))→ ∃x1 · · · ∃xn

((n∧i=1

((xi|ci) ∧ (ci|xi))

)∧ f(x) = 0

)).

Por completitud de CVAC tenemos entonces que el levantamiento de la ge-ometrıa tropical es valido para cualquier hipersuperficie tropical en cualquiercampo valuado algebraicamente cerrado de campo de residuos de caracterıstica0.

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CAPITULO 5. PRIMER ORDEN EN LA GEOMETRIA TROPICAL

5.2. Bezout

Para escribir el teorema de Bezout consideramos lo siguiente. Para quedos curvas tropicales Trop(f) y Trop(g) se intersecten deben existir (x1, y1) y(x2, y2) elementos de K2 tales que f(x1, y1) = g(x2, y2) = 0 y que v(x1) = v(x2)y que v(y1) = v(y2). Sabemos que ′′v(x) = v(y)′′ ≡ φ=(x, y) := (x|y) ∧ (y|x).

Para escribir que tenemos a lo sumo n puntos de interseccion escribimos∀x1 · · · ∀x2n+2∀y1 · · · ∀y2n+2(

∧n+1i=1 [(f(x2i−1, y2i−1) = g(x2i, y2i) = 0)∧(φ=(x2i−1, x2i)

∧φ=(y2i−1, y2i))]→∨i 6=j(φ=(x2i, x2j) ∧ φ=(y2i, y2j)))

que llamaremos ψn,L,K((al), (bk)) donde los al son los coeficientes de f y los bklos coeficientes de g.

Vamos a definir la formula θ(c,d,m) para tres numeros enteros c, d,m dondem > dc

∀a1 · · · ∀aC∀b1 · · · ∀bD[(

C∧i=1

ai 6= 0

D∧j=1

bj 6= 0)→ (¬ψcd,c,d(a, b)→ ¬ψm,c,d(a, b))],

donde C = c(c−1)2 y D = d(d−1)

2 . Si consideramos entonces⋃

(c,d,m) θc,d,m, obten-emos una forma de escribir la formulacion de Bezout que nos dice que la inter-seccion de dos curvas tropicales planas es a lo sumo el producto de los gradosde cada una.

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Bibliografıa

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