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UNIVERSIDAD TÈCNICA DE MACHALAFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
CURSO DE NIVELACION
APUNTES DE MATEMÀTICASALUMNA:
EMILIA JOHANNA GUACHO RIGCHAC
DOCENTE:Ing. SARA CRUZ
CURSO:ADMINISTRACIÒN “E”
AÑO LECTIVO:
2012-2013
INTRODUCCIÓN
El presente portafolio de matemáticas muestra las distintas fases de un
método de enseñanza, aprendizaje y evaluación que consiste en la aportación
de realizaciones de diferente personalidad por parte del estudiante a través de
las cuáles se pueden calificar sus capacidades en el marco de una disciplina o
materia de estudio. Estas producciones comunican de los procesos personales
seguidos por el estudiante, permitiéndole a él y a los demás ver sus esfuerzos
y logros, en relación a los objetivos de aprendizaje y criterios de evaluación
establecidos previamente.
Todos estos conocimientos y habilidades que se reflejaran mediante este
portafolio fueron desarrollados y adquiridos durante el curso académico 2012-
2013 en la asignatura de matemática del curso de nivelación en la Facultad de
Ciencias Empresariales de la Universidad Técnica de Machala (UTMACH).
El uso del portafolio es el resultado de una acción proyectada por el docente y
acordada con los estudiantes, con fines de formación específicos, y con una
clara intencionalidad educativa y permite también al estudiante identificar lo que
conoce y sabe, planear sus estrategias de procesamiento de información, tener
conciencia acerca del adecuado rendimiento, y evaluar su productividad y su
conveniente funcionamiento científico.
JUSTIFICACIÓN
En el siguiente Portafolio tiene como objetivo establecer, reconocer y
exteriorizar todos los trabajos ejecutados y de mostrar el resultado del
aprendizaje del estudiante a fin de evaluar su progreso.
El portafolio estudiantil es una mezcla de trabajos del estudiante entre los que
encontramos los diferentes temas, conceptos y ejemplos de las actividades
realizadas por el estudiante dentro del proceso educativo. El portafolio
estudiantil marca la huella de sus experiencias y es objeto de reflexión por
parte del estudiante.
El portafolio como medio alternativo de aprendizaje se relaciona con los
procesos de aprendizaje del estudiante y permite evaluar los conocimientos
previos del mismo. Al alejarse de la evaluación habitual, permite al estudiante
involucrarse más con su propio aprendizaje,
Hasta hoy las metodologías utilizadas con relación a la enseñanza de la
matemática se han centrado principalmente en darle al estudiante una
definición o una fórmula, para luego resolver ejercicios siguiendo patrones de
imitación, sin que los estudiantes entiendan a veces lo que están haciendo, y
en general el objetivo es desarrollar la capacidad productora e integradora del
alumno.
A través de la matemática podemos conocer la gran magnitud que
existe al utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar
e intervenir en diversas situaciones de la realidad.
Ccomprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e
incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentación habituales.
OBJETIVO GENERAL.-
Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas
susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar
estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los
recursos apropiados.
Desarrollar la capacidad para localizar
información, para formula un análisis y
resolver problemas con mayor problema, mediante un análisis de lo
estudiado, para la compresión del tema.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.-
Fortalecer el pensamiento abstracto y conocimiento matemático en los
estudiantes mediante actividades intencionadas, para resolver
situaciones, problema cotidiano y dirigirlas hacia su vida cotidiana.
Explicitar grados intermedios de formalización y profundización entre los
Conocimientos del alumnado y las características del conocimiento
matemático en cuestión de argumentar las habilidades del problema.
Integrar los objetivos y contenidos en actuaciones concretas,
estructuradas como unidades lectivas o unidades didácticas, que sirvan
para el aprendizaje, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la
realidad.
Comprender e interpretar distintas formas de expresión matemáticas e
incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentación habituales,
para tener una mejor intuición .
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho
Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 08. 01. 2013Tema: PROPOSICIÒN
Una proposición es una unidad semántica que sólo es verdadera o sólo es
falsa. Las proposiciones se las representan con las primeras letras de
abecedario en minúscula.
ORACIONES QUE SON PROPOSICIONES.Las proposiciones que tienen precisión y no ambigüedades. Ejemplo:
a: 5 es un número par. (0)
b: Incrementó el B.D.H. a $50.00 (1)
C: 3467+56= 4624 (0)
d: Machala es capital bananera. (0)
REQUISITO QUE DEBE TENER UNA PROPOSICIÒN: La proposición debe establecer su valor de verdad.
VALOR DE VERDAD.El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe
la misma proposición y este valor puede ser falso o verdadero.
OPERADORES LÒGICOSNEGACIÒN.El operador lógico de negación cambia el valor de verdad de una proposición.
La negación se representa con los términos gramaticales “no, ni, no es verdad que, no es cierto que”, y se lo representa simbólicamente por ¬a.
a ¬a
0 1
1 0
EJEMPLOS:
a: Tengo un billete de cinco dólares.
¬a: No tengo un billete de cinco dólares.
b: Quiero hacer el viaje.
¬b: No quiero hacer el viaje.
e: Mañana expondré mi proyecto de aula.
¬e: Mañana no expondré mi proyecto de aula.
d: El Ecuador tiene maravillosos lugares turísticos.
¬d: El Ecuador no tiene maravillosos lugares turísticos.
CONJUNCIÒN.Este operador lógico relaciona dos preposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de
verdad de ambas proposiciones es verdadero. La conjunción se representa con
los términos gramaticales “y, pero, mas”, y se lo representa simbólicamente
por a ∧ b.
a b a ∧ b
0 0 0
0 1 0
1 1 0
1 1 1
EJEMPLOS:
a: Tengo buenas calificaciones.
b: gano una beca.
a ∧ b: Tengo buenas calificaciones y gano una beca.
a: Trabajo demasiado.
b: recibo bajo sueldo.
a ∧ b: Trabajo demasiado pero recibo bajo sueldo.
a: No estudié para el examen.
b: obtuve buena calificación.
a ∧ b: No estudié para el examen pero obtuve una buena calificación.
a: Iré a la fiesta de María.
b: me divertiré todo la tarde.
a ∧ b: Iré a la fiesta de María y me divertiré todo la tarde.
DISYUNCIÒN.Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad
de ambas proposiciones es falso. La disyunción se representa con los términos
gramaticales “o” y se lo representa simbólicamente por a ∨ b.
a b a ∨ b
0 0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 1
EJEMPLOS:
a: Tengo un libro de trigonometría.
b: tengo un libro de algebra.
a ∨ b: Tengo un libro de trigonometría o uno de algebra.
a: Mañana tendré clases de matemática.
b: tendré el concurso de pintura.
a ∨ b: Mañana tendré clases de matemática o el concurso de pintura.
a: Melisa comprará las cosas para la fiesta.
b: Melisa junto con Pablo arreglaran el curso .
a ∨ b: Melisa comprará las cosas para la fiesta o Melisa junto con Pablo
arreglarán el curso.
a: Guayas es zona arrocera.
b: Quito es la capital de Chimborazo.
a ∨ b: Guayas es zona arrocera o Quito es la capital de Chimborazo.
DISYUNCIÒN EXCLUSIVA.Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando una de ellas
sea verdadera. La disyunción exclusiva a ∨ b se puede expresarse como
(a ∨ b) ∧ ¬ (a ∨ b)
En español se representa con los términos gramaticales “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o…, o…”.
a b a ⊻ b
0 0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 0
EJEMPLOS:
a: Estoy en Quito.
b: Estoy en Guayaquil.
a ⊻ b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.
a: Iré con mi familia de paseo.
b: Iré al cine con mis amigos.
a ⊻ b: Me iré con mi familia de paseo o iré al cine con mis amigos.
a:
b:
a ⊻ b:
CONDICIONAL.Este operador lógico se lo denomina enunciación hipotética o implicación. En la
proposición a⟶b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el
consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa
solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor
de consecuente sea falso. En español, la proposición a ⟶ b puede tener los
siguientes términos gramaticales: “si a, entonces b”, “a sólo si b”, “a solamente
si b”, “si a, b”, entre otras expresiones que denote causa y efecto.
a b a ⟶ b
0 0 1
0 1 1
1 1 0
1 1 1
EJEMPLOS:
a: Juan gana el concurso.
b: Juan dona $ 10.000.
a ⟶b: Si Juan gana el concurso, dona $10.000.
a: María viaja a Canadá.
b: María estudia y aprueba en los exámenes.
a ⟶ b: María viaja a Canadá solamente si estudia y aprueba en los
exámenes.
a:
b:
a ⟶ b:
REPRESENTACIONES SIMBÒLICAS.
Recíproca a ⟶ b
Inversa ¬a ⟶ ¬b
Contrarrecíproca ¬b ⟶ ¬a
CONDICIONES NECESARIASBICONDICIONAL. Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a ⟷ b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones
sean iguales. En español puede encontrar con los siguientes términos
gramaticales: “a si y sólo si b”, “a si y solamente si”, “a implica b y b implica a”, “a cuando y sólo cuando b”.
a b a ⟷ b
0 0 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
EJEMPLOS:
a: Un triangulo es equilátero.
b: Un triangulo es equiángulo.
a ⟷ b: Un triangulo es equilátero si y sólo si es equiángulo.
a:
b:
a ⟷ b:
a:
b:
a ⟷ b:
APUNTES DE LA CLASE DE MATEMÁTICAS
a ¬ a0 11 0
Nombre: Emilia Guacho Rigchac
Curso: Contabilidad Y Auditoría “E”
Docente: ing. Sara cruz
Fecha: 08.01.2013
Capítulo 1: lógica matemáticas
Lógica simbólica v-i-f
F-o-f
Proposiciones: Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las Oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al Mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión (Carecen de Sentido), no son objeto de estudio de la lógica.Ejemplo a: 5 es un numero par (o) El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que Describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.
1.1 operadores lógicos Negación: Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente
Por ¬a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado porLa siguiente tabla de verdad:
Ejemplo:a=tengo un billete de cinco dólares.¬a: no tengo un billete de cinco dólares
EJEMPLOa: tengo buenas notas b: gano una beca a∧b: tengo buenas notas y gano una beca A: trabajo demasiado B: recibo bajo sueldo a∧b: trabajo demasiado y recibo bajo sueldo
DISYUNCIÓN: a∧b (a∧b)
A=tengo un libro de trigonometría
B=tengo un libro algebra Avb: tengo un libro de trigonometría o tengo un libro de algebra.
Disyunción exclusiva: (avb)
Disyunción exclusiva de proposición
a b a →b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
a b c
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a b avb
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
a b avb0 0 00 1 11 0 11 1 1
a b a→ b
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
Las condiciones necesarias y suficientes.
Este operador lógico también se denomina doble
implicación. Tabla de verdad de una forma proposicional.Dada la siguiente forma proposicional: A: [(p∧q)→(r∨¬p)]∧rDebido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán proposiciones posibles en la tabla de verdad de A.
p q r p^q ¬ p ᵥ¬ p [(p∧q)→(r∨¬p)]∧r ᶺr0 0 0 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1
Tautología, Contradicción, Contingencia
Dada la estructura lógica de una forma proposicional:
Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los
Valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es Una TAUTOLOGÍA.
a b a↔ b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ejemplo:
La forma proposicional tautológica: p⇒(q→p), se puede traducir al
Lenguaje común como “si se tiene p, de cualquier manera q se seguirá
Teniendo p”.
p q q→ p p→(q → p)0 0 1 10 1 0 11 0 1 11 1 1 1Esta tabla es tautología porque es verdadera.
Ejemplo Equivalencia Lógica.
La forma proposicional: (p→q) ⇔(¬q→¬p), se puede traducir al lenguaje
Común como “cada vez que se tiene p, se tiene q”, y es lógicamente
Equivalente a “cuando no se tiene q, entonces no se tiene p”.
p q p→ q ¬ p ¬ q ¬q→¬p (p→q) ⇔(¬q→¬p)
0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 11 1 1 0 0 1 1
Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los
Valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es Una TAUTOLOGIA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia GuachoCurso: AdministraciónParalelo: “E”Fecha: 09. 01. 2013Tema: EJERCICIOS.a: Elizabeth cumple con sus obligaciones.b: Elizabeth aprueba el examen.c: Elizabeth trabaja.d: Elizabeth no se va de vacaciones.
a ⟶ ¬[ b ⟶ (¬c ∨ d)] : Elizabeth cumple con sus obligaciones sólo si no aprueba el examen solo si trabaja o se va de vacaciones.
TABLAS DE VERDAD Y FORMAS PROPOSICIONALES
a: [ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ ¬p)] ∧ r
[(p ∧ q) ⟶ (r ∨ ¬p)] = x
p q r p ∧ q ¬p r ∨ ¬p [(p∧q)⟶(r ∨¬p)] x ∧ r
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1 1
IMPLICACIÒN LÒGICA
p ⟶ (q ⟶p)
p q q ⟶ p p ⟶ (q ⟶p)
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1
Tabla de tautología.- Es cuando todos los valores resultantes dan v, 1.
(p ⟶q) ⟷ (¬q ⟶¬p)
p q p ⟶ q ¬q ¬p ¬q ⟶¬p (p ⟶ q)⟺(¬q ⟶¬p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 11. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:
EJERCICIO EN CLASE:Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer, no me siento bien y
no puedo estudiar.
a: Siempre que tengo hambre.
b: Tengo tiempo para comer.
c: Me siento bien.
d: Puedo estudiar.
a) (¬b ∧ a) ⟶ (c ∧ d)
b) (¬c ∨ d) ⟶ (a ∨¬b)
c) (c ∧ d) ⟶ (a ∨ ¬b)
d) (¬a ∨ b) ⟶ (c ∨ d)
e) (c ∨ d) ⟶ (¬a ∨ b)
SOLUCIÒN:(a ∧ ¬b) ⟶ (¬c ∧ ¬d) ⇒ ¬(¬c ∧ ¬d) = (c ∨ d)
¬(a ∧ ¬b) = (¬a ∨ b)
(c ∨ d) ⟶ (¬a ∨ b)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Curso: Emilia GuachoParalelo: “E”Fecha: 16. 01. 2012Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoTema: CUANTIFICADORES.CUANTIFICADOR UNIVERSAL.Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje forma un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.EJEMPLOS:∀𝑥, 2𝑥 + 3𝑥= 5𝑥∃𝑥, 2𝑥 + 2𝑥= 4𝑥“Para todo número 𝑥, se cumple 2𝑥 + 3𝑥= 5𝑥”“Existe por lo menos un número 𝑥, para lo cual se cumple 2𝑥 + 2𝑥= 4𝑥”
SUBCONJUNTOS.El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenido en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A⊆B)⇔∀𝑥 [(𝑥∈A) → (𝑥∈B)]
CONJUNTO PROPIO: Si A es subconjunto de B, pero B no es subconjunto de A, se dice que A es subconjunto propio de B. (A⊂ B) ⇔ (A⊆B) ∧ ¬(A= B)
CONJUNTO POTENCIA: Dado el conjunto A, su conjunto de potencia es aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).P(A)= B/B ⊆ A
EJEMPLOS: Si A= ∗, +, a, entonces P(A)= ∅, ∗, +, a, ∗, +, ∗, a, +, a, AA partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:∗, + ⊂ A∗, + ∈ P(A)Ø ∈ P(A)Observe que N(P(A))= 23= 8. Dado el conjunto B= 1, ∗, Ω, construya P(B).N(P(B))= 22 =4P(B)= Ø, 1, ∗,Ω, B.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS.Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente se representa por:(A=B)⇔ [(A⊆B) ∧ (B⊆A)]CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES.Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son intersecantes si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.
UNIÒN ENTRE CONJUNTOS.La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por elementos que los pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como:A∪B= 𝑥/(𝑥∈A) ∨ (𝑥 ∈ B)
Re
Re
INTERSECCIÒN ENTRE CONJUNTOS.La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como:A∩B= 𝑥/(𝑥∈A) ∧ (𝑥 ∈ B)
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−¿B y se define como:A−¿B= 𝑥/(𝑥∈A) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)
DIFERENCIA SIMÈTRICA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∆ B y se define como:A ∆ B= 𝑥/[(𝑥∈A) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)]∨[(𝑥∈B) ∧ ¬(𝑥 ∈ A)]
A B
A B
Re
Re
EJERCICIOS EN CLASES: Dado el Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y los conjuntos:A= 1, 2, 3, 4, 5B= 2, 4, 6, 8C= 1, 3, 6, 7Determine:a) ACb) A∪Bc) A∩Bd) B−¿Ce) A ∆
COMPLEMENTACIÒN ENTRE CONJUNTOS.La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como:AC= 𝑥/(𝑥∈Re) ∧ ¬(𝑥 ∈ B)
A B
ACA
C C CC
A B
X
SOLUCIÒN:AC = 6, 7, 8A∪B= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8A∩B= 1, 3B−¿C= 2, 4, 8A ∆B= 1, 3, 5, 6, 8
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALACurso: Emilia GuachoParalelo: “E”Fecha: 17. 01. 2012Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoTema: PROPIEDADES DE LOS OPERADORES ENTRE CONJUNTOS
(A U B) = (B U A) Unión X (A U B) (X A) (X B)X (A U B) (X A) (X B) (Unión)X (A U B) (X B) (X A) (Disyunción)
LEY DE MORGAN
(A U B) = A B X (A U B) (X Re) ¬ (X (A U B)) Re
A B
X
T
N(A U B) = N(A) + N(B) – N(A B) Re
N(A) = N(A-B) + N(A B)N(A-B) = N(A) – N(A B)
EJEMPLO: Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:Encuesta a 1000 personas.Teleamazonas: 620Canal Uno: 400Ecuavisa: 590Teleamazonas y Canal Uno: 195Canal Uno y Ecuavisa: 400Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno: 300N(Re)=1000 ReN(T)=620N(C)=400N(E)=590N(T C)=195N(C E)=190N(T E)=400N(T E)-N(C)=300
SOLUCIÒN.N(T E) – N(C)=300N(C)= N(T E) – 300N(C)= 400 – 300N(C)= 100
FÒRMULA: A U B= N(A) + N(B) –N(A B)N(T) U N(C) U N(E) = T U C U ET U C U E = N(T)+N(C)+N(E)–N(T C)-N(C E)–N(T E)+ N(T E)-N(C) T U C U E = 620+400+590+195+190+400+ 400-300T U C U E = 1610-785+100T U C U E = 1710-785T U C U E = 925
C
E
A
C C C
CC
CCCC
C
C
C C C
CC
C
N(T C)= 195-100=95N(C E)= 190-100=90N(T E)= 400-100=300N(T)= 620-(300+100+95) N(T)= 620-495=125
N(C)= 400-(95+90+100)N(C)=400-285=125
N(E)= 590-(90+300+100)N(E)=590-490=100 Re
DETERMINAR:a) (A U B) (C B ) b) (A-B) U (C -B)
Re= 1,2,3,4,5,6,7,8A= 1,2,3,4,5B= 2,4,6,8C= 1,3,6,7
SOLUCIÒN. A U B :1,2,3,4,5,6,8 C :2,4,5,8 B : 1,3,5,7C B :2,4,5,8 1,3,5,7 (C B ) :1,2,3,4,6,7,8(A U B) (C B ) : 1,2,3,4,6,8
A-B:1,2,3C :2,4,5,8(C -B) :5(A-B) U (C -B) :1,3,5Re
T C
E
B
C
DETERMINAR A, B Y C SI SE CONOCE.Re=1,2,3,4,5,6A-B= 1,2,3A-C= 1,2(B-C)-A= 4C-(A U B)= 5 Re(A U B U C) =6 A BSOLUCIÒN.A= 1,2,3B= 4C= 3,5
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 22. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:Se entrevista a 90 personas: 50 escuchan música, 20 ven películas, 60 escuchan músicas o ven películas ¿Cuántas personas realizan las dos actividades? N(M)= 50N(P)= 20N(M∪P)= 60N(Re)= 90
N(M∪P)= N(M)+N(P)-N(A∩B)N(A∩B)= N(M)+N(P)-N(M∪P)N(A∩B)= 50+20-60N(A∩B)= 70-60N(A∩B)= 10
N(M)= 50-10=40N(P)= 20-10= 10
PREDICADOS
Son expresiones en términos de un variable que al ser reemplazadas por elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si 𝓍 representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión (𝑥) se definirá como predicado.
Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6(𝑥): 𝑥 es impar.(1)= es impar, es una proposición verdadera.
(𝑥): 𝑥 es par.(5)= 5 es par, es una proposición falsa.
CONJUNTOS DE VERDAD DE UN PREDICADO.
Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. Se lo representa con la letra A. Ejemplos:
A(𝑥)= 1, 2, 3 es verdadero.A(𝑥)= 2, 4, 6 es verdadero.A(𝑥)= 7 es falso.A(𝑥)= 8 es falso.Re= Quito, Lima, Bogotá, Caracas, Santiago
a) (𝑥): 𝑥 es capital de Ecuador.b) 𝑞(𝑥): 𝑥+2=5
A(𝑥): Quito es capital de Ecuador.A(𝑥): ∅
Re= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Determinar el conjunto de verdad del pre⊕⨳dicado: (𝑥): 𝑥 es un numero par.
A(𝑥):2, 4, 6, 8, 10
PROPIEDADES:A¬𝑝(𝑥)= AC𝑝(𝑥)A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)A(𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)
.A(𝑝(𝑥)⟶𝑞(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪EJERCICIOS EN CLASE:
Re= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7(𝑥): 𝑥 es un número primo.(𝑥): 𝑥≤5Determinar conjunto A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)).(𝑥)= 2, 3, 5, 7(𝑥)= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5A(𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= 2, 3, 5
Sea el conjunto referencial Re= 1, 2, 3, 4….. y los predicados: (𝑥): 𝑥 es un número impar.(𝑥): 𝑥 es un número par.
Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:a) A(𝑝(𝑥)⟶ 𝑞(𝑥))⊆A 𝑞(𝑥) es verdadera.b) Re= A(𝑥)∪A𝑞(𝑥) es verdadera.c) A(𝑥)= AC 𝑞(𝑥) es verdadera.d) A(𝑥)-A𝑝(𝑥)=ø es falsa.e) A(𝑞(𝑥)-𝑝(𝑥))-A𝑝(𝑥) es verdadera
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 23. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:Dado el conjunto referencial Re= -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, encontrar:
a) 𝑝(𝑥): 𝑥<0b) 𝑞(𝑥): -2<𝑥<4c) 𝑟(𝑥): 𝑥 es impar >1d) ¬𝑝(𝑥): 𝑥>0
A(𝑥)= -5, -4, -3, -2, -1A(𝑥)=-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4A(𝑥)=3, 5
A(𝑥)=1, 2, 3, 4, 5A¬(𝑥)=0, 1, 2, 3, 4, 5Hallar el valor de verdad de los siguientes predicados:
a) A¬𝑝(𝑥)b) A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))c) A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))d) A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))
Solución:A¬(𝑥)= AC𝑝(𝑥)A¬(𝑥)=0, 1, 2, 3, 4, 5
A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)A(A𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥))=-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪A𝑟(𝑥)A(𝑝(𝑥)→𝑟(𝑥))=0, 1, 2, 3, 4, 5
A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= A(¬𝑝(𝑥)∩𝑞(𝑥))A(¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥))= 0, 1, 2, 3, 4, 5
Dado el conjunto referencial Re= 1, 2, 3, 4, 5, hallar el valor de verdad de los siguientes predicados:(𝑥)= 𝑥 es divisor de 12.(𝑥)= 𝑥 es primo.
a) ∀[ 𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥)] Verdadero.b) ∃[ 𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)] Falso.c) ∃[¬𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)] Verdadero.
Solución:A(𝑥)=1, 2, 3, 4A(𝑥)=2, 3, 5A¬(𝑥)=5
A(𝑥)∨A𝑞(𝑥)= A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)A(𝑥)∨A𝑞(𝑥)= 1, 2, 3, 4, 5
A(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= A𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)A(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= 2, 3
A¬(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= AC𝑝(𝑥)∩A𝑞(𝑥)A¬(𝑥)∧A𝑞(𝑥)= 5
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 24. 01. 2013Tema: EQUIVALENCIA LÒGICA
PROPIEDADES CONJUNCIÒN DISYUNCIÒNCONMUTATIVA (p ∧ q) ≡ (q ∧ p) (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
ASOCIATIVA [( p∧q)∧r]≡[p∧(q∧r)] [( p∨q)∨r]≡[p∨(q∨r)]
IDEMPOTENCIA (p∧p)≡p (p∧p)≡p
ABSORCIÒN (p∧0)≡0 (p∨1)≡1
LEYES DE LOS OPERADORES
¬0=1
¬1=0
NEGACIÓN
¬(¬p)= p DOBLE NEGACIÒN
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
DISTRIBUTIVAS
¬(p∧q)≡(¬p∨¬q)
¬(p∨q)≡(¬p∧¬q)DE MORGAN
(p∨¬q)≡1 TERCERO EXCLUIDO
(p∧¬q)≡0 CONTRADICCIÒN
(p ⟶ q)≡(¬q ⟶ ¬p) CONTRARRECÌPROCA
(p⟶q)≡(¬p∨q)
(¬p⟶q)≡(p∨q)
¬(p⟶¬q)≡(p∧q)
IMPLICACIÒN
(p≡q)≡[(p⟶q)∧(q⟶p)]
(p≡q)≡(q≡p)EQUIVALENCIA
EJERCICIOS:
(p ∧ q)⟶r ≡ ¬p ⟶r(¬p ∨ ¬q)⟶r(¬p ∨ ¬q) ∨ r ≡ p ∨ qTraduzca el siguiente lenguaje:
p q
No quiero ir al estadio ni ver televisión.
p: Quiero ir al estadio.
q: ver televisión
¬p ∧ ¬q ≡ ¬(p ∨ q)
Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos, o pierde y trata de
ganar el próximo juego.
p: Mi equipo gana el juego de futbol.
q: Obtiene los 3 puntos.
r: Pierde.
s: Trata de ganar el próximo juego.
(p ∧ q)∨(r ∧ s)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANOMBRE: Emilia Guacho Curso: Administración Paralelo: “E”Fecha: 24. 01. 2013Tema: EJERCICIOS EN CLASE:
Dado Re= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6(𝑥): 𝑥 es un número par. (𝑥): 𝑥 es mayor que 7=Ø(𝑥): 𝑥 es menor que 10(𝑥): 𝑥 es un número impar.
Determinar conjuntos:a) A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)b) A𝑠(𝑥)∩A𝑟(𝑥)c) A𝑝(𝑥)∪A𝑠(𝑥)d) A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))
e) A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]f) (Re-A𝑝(𝑥))∩(A𝑞(𝑥)∪A𝑠(𝑥))
SOLUCIÒN:A(𝑥)= 2, 4, 6
A(𝑥)= Ø
A(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
A(𝑥)= 1, 3, 5
AC(𝑥)= 0, 1, 3, 5
AC(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
A𝑝(𝑥)∪A𝑞(𝑥)= Ø, 2, 4, 6
A𝑠(𝑥)∩A𝑟(𝑥)= 1, 3, 5
A𝑝(𝑥)∪A𝑠(𝑥)= 1, 2, 3, 4, 5, 6
A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))= AC𝑝(𝑥)∪𝑞(𝑥)
A(𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥))= Ø, 0, 1, 3, 5
A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]= (AC𝑝(𝑥)∪𝑠(𝑥))∪(AC𝑞(𝑥)∪𝑟(𝑥))
AC(𝑥)∪𝑠(𝑥)= 0, 1, 3, 5
AC(𝑥)∪𝑟(𝑥)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
A[(𝑝(𝑥)→𝑠(𝑥))→(𝑞(𝑥)→𝑟(𝑥))]= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
((Re-A𝑝(𝑥))∩(A𝑞(𝑥)∪A𝑠(𝑥))= Ø, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(Re-A(𝑥))= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(A(𝑥)∪A𝑠(𝑥))= Ø, 1, 3, 5
PRODUCTO CARTESIANO.PAR ORDENADO: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a, b).
PRODUCTO CARTESIANO:Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos: como A x B.A × B= (𝑥,)/(𝑥∈A)∧(𝑦∈B)
EJEMPLOS:
A= *, &, #B= @, $, ⨳A×B= N(A)×N(B)A×B= (*, @), (*, $), (*, ⨳), (&, @), (&, $), (&,⨳), (#, @), (#, &), (#, ⨳)
RELACIONES: R⊆A×B R(A×B)= 2N(A)×N(B)
A= ?, ⊕B= a,R
R1 A B R2 A B Ø ?, a
R3 A B R4 A B ⊕, b ?, b
R5 A B R6 A B
R7 A B R8 A B
?
⊕a
b
?
⊕a
b
?
⊕a
b
a
b
a
b
?
⊕
a
b
a
b
a
b
?
⊕?
⊕
?
⊕?
⊕
R9 A B R10 A B
R11 A B R12 A B
R13 A B R14 A B
R15 A B R16 A B
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
?
⊕?
⊕
?
⊕?
⊕
?
⊕?
⊕
?
⊕?
⊕
PROPIEDADES:
N(A×B)= N(A)N(B)A×(B∩C)= (A×B)∩(A×C)A×(B∪C)= (A×B)∪(A×C)A×(B-C)= (A×B)-(A×C)A×(BΔC)= (A×B)∆(A×C)
EJERCICIOS EN CLASE:A= 1, 2, 3 B= a, b A×B= (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)
A= (a, b)B= 1, 2A×B= 1(a, b), 2(a, b) A= 2, 4, 5B= 1, 3, 5R= (𝑥,)/𝑥+𝑦 es número primoR= (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3)
DOMINIO DE UNA RELACIÒN.Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R.
dom R= 2, 4
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 30/01/2013
APUNTES
UNIDAD II
Números Reales
Los números reales pueden ser números racionales y números irracionales .Los números racionales tiene números enteros como (enteros positivos, cero, enteros negativos).
N ⊆ Z ⊆ Q⊆ R
N=# Naturales
Z=# Enteros
Q=Racionales (P/Q=Q≠0
R=Reales
I=Irracionales (No Periódicos)
Ejercicios en clase
16=0.1616161616=0.16=periodos(racianales)
π=3,14151662...... Son los que no tiene un periodo secuencial. 1,5656565656=1,56 =periódico irracional e2= numero irracional
1,2323232323=1,23 =periódico racional
I Q ZN
π4=irracional
√ 18=irracional
12=0.5=irracional
√2=irracional
√ 525= irracional
3(6-1.333….)+6(1.333….)-16.666…=3(6-1.33 )+6(1.33)-16.66 =
(18-3.99)+7.98 -16.66 =2.19 +7.98 -16.66 =94.51
PROPIEDADES
Clausurativa = si solo si
Indica que el resultado de la operación binaria debe pertenecer al conjunto que
se toma como referencia.
∀a, b ∈S, a*b ∈ S
Binaria Conmutativa=↔
Indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operación.∀a, b ∈S, a*b = b*a
Binaria Asociativa=↔
Indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la
operación.∀a, b, c ∈S, a*(b*c) = (a*b)*c
Elemento neutro (n) =↔
Indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y
este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero.∃ n ∈S ∀a ∈S, a*n = n*a = a
Elemento inverso si= i inverso de a
Indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y
este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad sólo
deberá probarse en caso de existir elemento neutro. Por definición, toda
operación binaria cumple con la propiedad de cerradura. Las restantes
propiedades pueden o no cumplirse, según sea el caso, sin Perjuicio de que la
operación sea binaria.∀a ∈S ∃ ∼a ∈S, a*∼a= ∼a*a = n
OPERACIÓN BINARIA Y PROPIEDADES.
Ejemplo: Operación binaria.
Se define S = , , , y la operación * sobre S mostrada en la siguiente tabla:
*
Ejemplo: Operación binaria.
B= 1, 2,3
* 1 2 31 3 2
2 2 3 23 3 2
Resultado=1*3=3
3*3=1
S=Z →números enteros
a*b=2ab+b2+a2 Propiedad Clausurativa
b*a=2ba+a2+b2
a*b=b*a
2ab+ b2+a2 = 2ab+ b2+a2 Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
a*b=2ba+a2+b2
Neutro inverso (asociativa)
∀a∈ ∀b∈ ∀c∈ (a . (b . c) = (a . b) . c)
a*b=2ab+b2+ a2
(2ab+b2+ a2)*C= ( a2+2ab+b2)2+2(2ab+ b2+ a2)(c) +(c)2
(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)+ (4abc+2b2c+2a2c+c2)
(2ab+b2+a2)*c=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4+2a2c+2b2c+4abc+c2
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+4abc+2a2c+2b2c+c2+b4
a*(b*c)= a*(2bc+c2+b2)
2a(2bc+c2+b2)+(2bc+c2+b2)2+a2
(4abc+2ac2+2ab2)+ (b2+4b3c+6b2c2+4bc3+c4)
3
1
4abc+2ac2+2ab2+b4+4b3c+6b2c2+4bc3+c4+a2
Neutro ≠ Único
a * n ≠ n * a
2an + n2+a2=0
Ejemplo:
π2π
+4=12+ 41=1+82
=92=4.5 Racional
NÚMERO PRIMO
Un número entero positivo p > 1 es primo, si y sólo si sus únicos factores son exactamente 1 y p.
El conjunto de los números primos es:
P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
NÚMERO COMPUESTO
Un número entero positivo n > 1 es compuesto si y sólo si no es primo.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.))
El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.
Ejemplo
24-36-48 36 2 24 2 18 2 22.32
12 2 23.3 9 3
6 2 3 3
3 3 1
1
48 2
24 2
12 2 24.3
6 2
3 3
1
28-24-8428 2 24 2 84 2
14 2 22.7 12 2 23.3 42 2 22.3.7
7 7 6 2 21 3
1 3 3 7 7
1
112-128-18
112 2 128 2 18 2
56 2 24.7 64 2 9 3 2.32
28 2 32 2 27 3 3
14 2 16 2 1
7 7 8 2
1 4 2
2 2
1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 05 /02/2013
APUNTES
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes
operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica
corresponden a cada una de sus partes, las cuales están separadas entre sí
por los signos + o −.
EJEMPLO: OPERACIONES CON FRACCIONES
11
1+ 12
+1= 1
1
1+ 12
+1= 1132
+1= 123+1
= 12+33
= 153
=35
1+ 1
1− 1
1+ 1
1−−1×
=1+ 1
1− 1
1+ 1
1−1x
=1+ 1
1− 1
1+ 1x−1
x
=1+ 1
1− 1
1+ xx−1
1+ 1
1− 1x−1+x
x−1
=1+ 1
1− x−12 x−1
=1+ 12 x−1−x+12x−1
=1+ 1x
2x−1
=1+2 x−1x
=1+ 2x−1x
= x+2 x−1x
=3 x−1x
xx+ yx
x− y +¿−
yx− y
yx+ y
=x ( x− y )− y (x+ y)
( x+ y ) (x− y )x ( x+ y )+ y ( x− y )
( x− y ) ( x+ y )
=¿¿
x2−xy−xy− y2
x2+ xy+ xy− y2= x2−2xy− y2
x2+2 xy− y2
1234
= 46=23
11+ 1
x= x+1
x
11+ 2x
x= x+2 x
x=3 x
x=3
2+ 1
3+ 1
1+ 1
1+12
=2+ 1
3+ 1
1+ 132
=2+ 1
3+ 1
1+ 23
=2+ 1
3+ 153
=2+ 1
3+ 35
=2+ 1185
=2+ 518
=4118
x
1+ 1
1+ 1x
= x
1+ 1x+1
x
= x
1+ xx+1
= x2x+1x+1
= x2−3 xx2+3 x
=x (x−3)x (x+3)
=x( x−3)x (x+3)
=(x−3)(x+3)
x3+3 x2+3 x+1x3+2x2+x
=¿¿
x2−3x3−x
=x ( x−3 )3− x
x2+ x−2x3−x2−x+1
−9+x2
x2+2 x−15=
(x2−9)( x−3 ) ( x+5 )
=(x−3)(x+3)(x−3)(x+5)
=(x+3)(x+5)
1x+1
= 2 xx2−1
− 1x−1
= 1x+1
+ 2( x+1 ) ( x−1 )
− 1x−1
= x−1+2x−x+1(x+1)(x−1)
=2 x
m−1m
1+ 1−mm
−1
m−1
m−1 ¿
−1 (m )+(m−1)m =
−m+m−1m =
−1m =
−1m
1+1−mm
=m+1−mm
= 1m
−1m1m
=¿−(1 ) (m )
(m ) (1 )=−m
m=−m
m=−1¿
a2+2ab+b2
1a2−b2
a+b
= (a+b )2(a+b)(1)(a+b)(a−ab)
=(a+b)2
(a−b)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 06 /02/2013
APUNTESPROPIEDADES DE LOS EXPONENTESUna potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que
Se repite un mismo factor un cierto número de veces.
an=a . a .a …. a→n veces
an: es la potencia
α : es la base
n: es el exponente
Si el exponente es fraccionario tenemos una expresión algebraica con
radicales. Esto es 432=√43=√64=8.en general ,a
nm=
m√an .
Para simplificar expresiones que poseen exponentes, se deben respetar las
siguientes leyes:
Sean a≠0 , b ≠0:
1.an . am=an+m.
2. an
am =an−m
3. an. bn=(ab)n
4. an
an =( ab)
n
Simplificar la expresión algebraica:
(2 xn+1)x3−n
x2 (n+1 )¿¿
¿¿
OPERACIONES CON EXPONENTESx,y= variables independientes
n,m: enteros positivos.
REGLA DE LAS OPERACIONES CON EXPONENTES
x0=1 n√ x=x1n (xy ¿¿n=xn . y m n√(x . y)m= 2√xm ∙ n√ yn
x−1=1x
n√ xm=xmn ¿¿ n√ x
y= 2√x
x−n= 1xn
1n√x
=x−1n xm ∙ xn=xm+n xm
y2=xm−n
EJERCICIOS EN CLASES
3√ X3=X35
712=√7
523=
3√52
6√49=√726=713=3√7
2 4√3=4√(2)4 ∙3=4√48
X2 7√X3=7√¿¿¿
4√128=4√27= 4√23 ∙24=2 4√8
7√ X30=7√X28 ∙ X2=X 4 7√X 2=X28 ∙ X2=X30
5√1024=5√210= 5√25 ∙25=2.2=4
7√ x84=x847 =x12
4 p(27
p3 )(125p)(6
2p )
(8p3 ) (9
3p2 )(103 p)
=22 p(3p)(53 p)(2
2p)(32 p)
(2p)(33 p)(53 p)(23 p)=24 p ∙33 p
24 p ∙33 p =1
y4m−z2
y2m+z= y2m−z
√a3=a23
6 3√ x2 y2√ y3=6 x43 y
23 y
13
4√252= 4√252= 2√25=5
5√ 4√x10=20√ x10=√x
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 07 /02/2013
APUNTESPRODUCTOS NOTABLESLos productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse
directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de
multiplicar del álgebra elemental.
Los principales productos notables son:
Cuadrado del binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Suma por diferencia
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Producto de binomios con un término repetido
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
EJERCICIOS EN CLASE
(x¿¿2+6 x+9)x2−9
∙ (x−3)4
=(x+3)2
( x+3)(x−3)∙ x−34
=x+3( x+3)4 (x+3)
= x+34
¿
( xy−xy2−1 )( y+1
x+2 )( 2 x+45 x )= x ( y−1 )
( y+1 ) ( y−1 )∙ ( y+1 )
( x+2 )∙ 2(x+2)5 x
= 2x5 x
= 25
a6+a4+a2+1a3+a2+a+1
=(a6+a4 )+(a2+1 )(a3+a )+(a2+1 )
=a4 ( a2+1 )+( a2+1 )a (a2+1 )+( a2+1 )
=( a4+1 )a+1
7−4mm2−m−6
+ 3m+2
− 23−m
= 7−4mm2−m−6
+ 3m+2
− 23−m
= 7−4m(m−3 ) (m+2 )
+ 3m+2
− 2m−3
= (7−4m )+m−3 (3 )−m+2 (2 )(m−3 ) (m+2 )
=7−4m−3m−9−2m+4(m−3 ) (m+2 )
= (m+2 )(m+3 ) (m+2 )
=m−3
4m2
n2−m2−m−nm+n
+ m+nm−n
= −4m2
(m+n ) (m−n )−m−n
m+n+ m+n
m−n=−4m2−( m−n ) (m−n )+(m+n ) (m+n )
(m+n ) (m−n )=−4m2−m2+2mn−n2+m2+2mn+n2
(m+n ) (m−n )=−4m2+4mn
(m+n ) (m−n )= −4m (m−n )
(m+n ) (m−n )= −4m
(m+n )= −4m
(m+n )
a+b4 a−6b
∙ a2−b2
a2−2ab+b2∙ 2a−2ba2+2ab+b2
=(a+b )
2 (2a−3b )∙
( a+b ) (a−b )¿¿
FACTORIZACIÓNFactorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto
Más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse
exponer en evidencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el
factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos
notables Todas las expresiones correspondientes a los productos notables
pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de
derecha a izquierda.
A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización:
Factor comúnax + ay – az = a(x + y − z)
Agrupación de términos
x2 − ax − bx + ab
= (x2− ax) − (bx − ab)
= x(x − a) − b(x − a)
= (x − a) (x − b)
Trinomio cuadrado perfecto
4a2− 12ab + 9b2= (2a − 3b¿¿2
Diferencia de cuadrados perfectos 36
(m+n)2+121(m−n)2=[6 (m+n )+11(m−n)] [6 (m+n )−11(m−n)]=(6m+6n+11n)(6m+6n−11m+11 n)=(17m−5n)(17n−5m)
Simplificar la expresión algebraica: m2−1m2+m−2
m2−1m2+m−2
=(m+1)(m−1)(m+2)(m−1)
=m+1m+2
6xy−3 x2
3x2−13 xy+14 y2= 6 xy−3 x2
3 x2−13xy+14 y2=
3 x (2 y−x)(3 x−7 y )(x−2 y )
=−3 x (x−2 y )
(3x−7 y)(x−2 y )= −3 x3 x−7 y
6m3−3m2n21mn+7n2
÷ 6m2+24mn6mn+2n2
=6m3−3m2n21mn+7n2
÷ 6m2+24mn6mn+2n2
=[ 6m3−3m2n21mn+7n2 ] [ 6mn+2n2
6m2+24mn ]=[3m2(2m−n)7n (3m+n) ][ 2n(3m+n)
6m(m+4 n) ]=m(2m−n)7 (m+4 n)
20x2−30 x15 x315 x2
÷ 4 x−6x+1
=5 x (4 x−6)15 x2(x−1)
× x+14 x−6
= 13 x
x2−4 x−5x2−12x−8
÷ x2−3 x−10x2+x−12
÷ x2−2x−3x2−4
=(x−5)(x+1)(x+4)(x−2)
×(x+4)(x−3)(x−5)(x+2)
×(x+2)(x−2)(x−3)(x+1)
=1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 13 /02/2013
APUNTES
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo
denominador es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea
racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción,
desaparece todo signo radical del denominador.
Ejemplos.-
Racionalizar la siguiente expresión1
√3−2= 1
¿¿
√3+23−4
→ √3+2−1
=−√3−2
Racionalizar el denominador y simplificar la expresión
4√23√xy2
=214 ( xy2 )
23
( xy2 )13 ( xy2 )
23
=2312 ( xy2 )
812
xy2=12√23 x8 y16
xy2=
12√8 x8 y16
xy2
VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un número x se representa por | x | y es un número no
negativo, tal que:
| x | = x, x ≥ 0
− x, x < 0
aplicación del valor absoluto.-
|−72 |=|−1||72| |−72 |= (1 )(72 )
72=72R//
|14−45|≤|14|+|−45 |14−45=5−16
20=1120
|−1120 |≤ 14 + 4514+ 45=5+1620
=2120
1120
≤ 2120 R//
ECUACIONES
Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para
algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que
corresponda.
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de
ecuación, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:
p(x): ax + b = 0 a, b ∈ ∧ a ≠ 0
Donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar.
Sea Re = y p(x): 3−2+2−X
333
=1determine Ap(x)
3−
6+2−x33
=1.2
3−
8−x33
=23−8−x9
=2
27−8+x9
=2 19+x9
=2
19+x=18 x=18−19x=−1R /¿
COMPROBACION
3−2+2−X
333
=1
3−2+2−(−1 )
333
=1
3−2+2+1
332
=3−2+ 3332
3−332
=3−12
=22=1
ECUACIONES CUADRATICAS.-
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede
representarse con un predicado de la forma:
p(x): a x2+bx+c=0 a,b,c ∈Rʌ a≠0
Sea Re= R y p(x):x2+5x−6=0, determine Ap(x)
x2+5x−6=0
( x+6 ) ( x−1 )=0
( x+6 )=0v ( x−1 )=0 x=-6 v x=1
comprobacion .−p(x ): x2+5 x−6=0
p(-6):(−6 )2+5 (6 )−6=36−30−6=0
p(1):(1 )2+5 (1 )−6=1+5−6=0
En consecuencia Ap(x)= −6,1
FORMULA GENERAL
16x2−24 x+9=0
a=16
b=24
x=−b±√b2−4ac2a
c=9
x=−24±√(24)2−4 (16 ) (9 )2(16)
=−24±√576−57632
x=−24±√032
=2432
x1=34 x2=
34
SUMA ALGEBRAICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática viene dada por la fórmula:
x=−b+√b2−4 ac2a
+−b−√b2−4ac2a
=¿
−b+√b2−4 ac−b−√b2−4ac2a
=−2b2a
=−ba
PRODUCTO ALGEBRAICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.
El producto de las raíces de la ecuación cuadrática viene dado por la fórmula:
x=−b±√b2−4ac2a
x1=−b+√b2−4 ac
2a;x2
−b−√b2−4 ac2a
x1 . x2=(−b)2−(√b2−4ac )2
4 a2
x1+¿ x2=¿−b
a¿¿
x1. x2=ca
x1. x2=b2−b2+4ac
4a2=4 ac4a2
= ca
Encontrar el valor de k de la siguiente ecuación
2 x2−5 x=x2+3 x−k+1 (k−1 )
2 x2−5 x−x2−3x+(k−1 )=0
x2−8 x+(k−1 )
a=1
b=-8
c=(k−1 )
−ba
=3( ca )
−−81
=3( ( k−1 )1 )=−−8
1=3k−3
1
8¿ 3k-3
-3k¿−8−3 (−1 )
k=113
ECUACIONES CON RADICALES
Sea Re = y p(x): √ x + √ x+1= √2x+1, determine Ap(x).
(√ x+√x+1 )2=(√2 x+1 )2
x+2√ x√ x+1 + x + 1 = 2x + 1
2√ x √ x+1 = 0
4x(x + 1) = 0
ax2+bx+c
(4x = 0) ∨ (x + 1 = 0)
x1=¿0¿ ∨ x2=¿−1¿
PLANTEO DE ECUACIONES
Lectura y compresión del enunciado del problema: Antes de iniciar la
resolución de un problema, es necesario que hayamos comprendido bien su
enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario,
para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cómo se relaciona la
información dada.
Traducción del texto del problema al lenguaje matemático: Exprese en
términos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema.
Resolución de las ecuaciones y análisis de las soluciones encontradas: Resuelva la(s) ecuación(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al
problema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que
responda a la pregunta que se planteó en el problema.
Elena tiene una canasta con canicas. Le dio la mitad de las canicas a Jorge y un tercio de las que quedaban en la canasta, se las dio a María. De esta manera, le quedaron 6 canicas a Elena, ¿Cuántas canicas tenia al principio?
a) 18 b) 24 c) 36 d) 30 e) 40
Datos:
X= número de canicas
12
x=¿dio aJorge
13 ( x−1
2x)=¿ dioa Maria
6=¿quedo a elena
12
x+ 13 (x−1
2x )+6=x
12
x+ 13 (2 x−x
2 )+6=x
12
x+ 13 ( x2 )+6= x
12
x+ x6+6=x
12
x+ x6−x=−6
3x+x−6 x6
=−6
3 x+ x−6 x=−6 (6 )
−2 x=−36 (−1 )
x=362
x=18
COMPROBACION
12
(18 )+ 13 (18−12 (18 ))+6=18
12
(18 )+ 13 ( 2 (18 )−18
2 )+6=18
9+ 13 ( 36−182 )+6=18
9+ 62+6=18 18+6+12
2=18
36=18 (2 )36=36
R// Elena tenía 18 canicas al principio.
Un consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios, mientras que
su asistente gana en una hora el equivalente en dólares a los 513del
número total de horas trabajadas por el consultor. Si en un trabajo, en el cual el consultor trabajó 3 horas más que su asistente, la cuenta total fue de $ 880, encuentre el número de horas trabajadas por el consultor.
DATOS:
x=numero dehoras del consultor
25 x=cobra el consultor
513
x ( x−3 )=cobra asistente
consultor+3 asistente≫ total cuentaes 880
25 x+ 513
x ( x−3 )=880
25 x+ 513
( x2−3x )=880
25x+5 x2−15 x13
=880 (13 )
325 x+5 x2−15 x13
=11440
325 x+5x2−15 x=11440
5 x2+310 x−11440=0
x+62x−2288=0
a=1
b=62
c=-2288
x=−b ±√b2−4ac2a
x=−62±√622−4 (1 ) (−2288 )2
x=−62±√129962
x=−62+√129962
x=−62−√129962
x1=−62+144
2x2=
−62−1442
x1=522
x2=−1762
x1=26 x2=−88
( x=26 )V ( x=−88 )
En un avión viajan 330 pasajeros de tres países: españoles, alemanes y franceses. Hay 30 franceses más que alemanes y de españoles hay el doble que de franceses y alemanes juntos. ¿cuantos hay de cada país?
DATOS:
Alemanes: x
Franceses: (30+x )
Españoles: [2 (30+x )+x ]
x+(30+x )+ [2 (30+x )+x ]=330
x+30+x+60+2 x+x=330
5 x=330−30−60
x=2405
x=48
REEMPLAZO.-
x+(30+x )+ [2 (30+x )+x ]=330
48+(30+48 )+ [2 (30+48 )+48 ]=330
48+78+204=330
330=330
INECUACIONES
DESIGUALDAD.-
Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas.
Dichas expresiones están separadas por alguno de los siguientes símbolos: >,
<, ≤, ≥.
Ejemplos.-
16>7
( 14 )<(13 ) −1≥−2
(−32 )≥(−72 )INECUACIÓN.-
Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y
resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los
cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.
Propiedades.- |a|<b−b<a<b
|a|>b a>b y a←b
|a|≤b−b ≤ a ≤ b
|a|≥b a≥ b y a ≤−b
p ( x ):|x|<a ,a≥0
[0≤ x<a ] v [−a< x<0 ]
|x|<a
x>−a
p ( x ) :|x|>a , a≥0
|x|>a
x←a
( x>a ) v ( x←a )
p ( x ) :|x|≤ a , a≥0
−a ≤ x≤ a
Determine Ap ( x )
p ( x ):|x|≤ a
|x−a|≤b
−b ≤ x−a≤ b
a−b≤ x≤ a+b
Ap ( x ) : [ a−b , a+b ]
CASO 1
CASO 2
CASO 3
Determinar Ap ( x ) de la siguiente expresión:
|2 x−3|>11
[ (2 x−3 )>11 ]v [ (2x−3 )←11]
2 x−3>112 x−3←11
2 x>11+32x←11+3
x>142
x<−82
x>7 x←4
Ap ( x ) : x /x ( x←4 ) v ( x>7 )
Determinar Ap ( x ) de la siguiente expresión:
|2 x−3|>11
−a≤ x≤ a
−52 ≤ x+2≤ 52
−52
−2≤ x ≤ 52−2
−5−42
≤ x ≤ 5−42
−92
≤ x≤ 12
Ap ( x ) :(x ≤−92 )v (x≤ 1
2 ) Determinar Ap ( x ) de la siguiente expresión:
| x+22x−3|≥4
( x+22x−3
≥4) v( x+22 x−3
≤−4)
(−4≤ x+22 x−3 ) v (4≥ x+2
2x−3 )(−4 (2 x−3 ) ≤ x+2 ) v (4 (2x−3 )≥ x+2 )
(−8 x+12≤ x+2 ) v (8x−12≥ x+2 )
(−8 x−x ≤2−12 ) v (8 x−x ≥2+12 )
(−9 x ≤−10 ) v (7 x≥2+12 )
(x ≤ 109 )v (x ≥ 14
7 )
(x ≤ 109 )v ( x≥2 )
Ap ( x ) : x /x (x ≤ 109 )v ( x≥2 )
PLANTEO DE INECUACIONES
Jenny quiere invertir $ 50000. Ella puede escoger el banco A que ofrece un interés anual del 8%, o con un mayor riesgo, escoger el banco B que ofrece un interés anual del 10%. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en el banco B, de modo que reciba una rentabilidad anual total de al menos $ 4400?DATOS:
Jenny debe invertir: $50.000
Banco A, porcentaje anual 8% mayor riesgo
Banco B, porcentaje anual 10%
Rentabilidad $4400 Banco B
xCantidad que debe invertir Banco B
50.000−X Cantidad banco A
B (10%)+ A (8% )≥4400
0,1 x+0,08 (50000−x )≥4400
0,1 x+4000−0,08 x ≥4400
0,1 x−0,08 x≥4400−4000
−0,02 x≥−400
x≥ −400−0,02
x≥20.000
R// Jenny debe invertir $20.000 en el banco B para obtener la cantidad deseada.
UNIVERSIDAD TÉCNICA MACHALANombres: Emilia Johanna Guacho RigchacCurso: Administración Paralelo: “E”Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoFecha: 03 De Marzo Del 2013Tema: FACTORIAL
Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente manera:
N! 1 , n=0n (n−1 ) ! , n≥1
A este esquema de definición se lo denomina recursivo. La recursión es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propio definición.
Ejemplo: al encontrar el valor de 6! Se abtiene:
6! = 6.5!
= 6.5.4!
= 6.5.4.3!
= 6.5.4.3.2!
= 6.5.4.3.2.1!
= 6.5.4.3.2.1.0!
=720
Una de las aplicaciones del factorial, la encontramos en el siguiente ejemplo:
¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de cartas?, ese número es 52!. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8.065817517094 x 1067
.Esta cifra es mayor que la representada por un 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6.022 x 1023, el número de átomos o moléculas, etc., que hay en una mol y está en el mismo orden de magnitud que el número de átomos en la Vía Láctea.(Combinatoria)
Sean n, m enteros no negativos tales que n ≥m, el símbolo ( nm) que se lee
“combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez”, se calcula de la siguiente manera:
( nm)= n!
m! (n−m )!
Al encontrar el valor de (106 ), se obtiene:
(106 )= 10 !6 ! (10−6 ) !
= 10!6 !4 !
=10.9 .8 .7 .6 !6 ! 4.3.2 .1
=210
Propiedades de las combinatorias
1. ∀n∈Z+¿∪ 0 [( n
m)=1 ]¿
2. ∀n∈Z+¿∪ 0 [(n
0)=1 ]¿
3. ∀n∈Z+¿∪ 0 ∀ (1≤i ≤ n)[(ni )+( n
i−1)=(n+1i )]¿
Demostración de la tercera propiedad.
∀n∈Z+¿∪ 0 ∀ (1≤i ≤ n)[(ni )+( n
i−1)=(n+1i )]¿
Principio de la Suma (Aditivo)Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras diferentes, y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A ∩B=∅ ¿, entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m+n) maneras diferentes.
Ejemplo: Un repuesto de automóvil se vende en 6 locales de Guayaquil y en 8 locales de Quito. Si la adquisición de repuestos puede hacerse en Guayaquil o en Quito. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?
Guayaquil: 6Quito: 8 6+8=14
Un paquete de software tiene 3 opciones de menú, si la primera tiene 10 subopciones, la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene 12 subopciones, ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir el usuario una subopción?
Solución:
Por el principio aditivo, se puede notar que el usuario solamente puedeElegir una subopción a la vez:10 maneras + 15 maneras + 12 maneras = 37 maneras.
UNIVERSIDAD TÉCNICA MACHALANombres: Emilia Johanna Guacho RigchacCurso: Administración Paralelo: “E”Docente: Ing. Sara Cruz NaranjoFecha: 04 De Marzo Del 2013TEMA: Principio de la Multiplicación (Multiplicativo)
Si un evento A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes y otro evento B de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos eventos es m.n.Ejemplo: En un día determinado, nueve amigos: Evelyn, Janeth, Yajaira, Laura, Verónica, Christian, Jimmy, Gabriel, y David, deciden ir a ver una película al cine; al momento de ingresar a la sala, ellos se ponen de acuerdo para sentarse de forma alternada, de tal manera que al lado de una chica siempre se encuentre un chico. ¿De cuántas formas posibles pueden sentarse estos amigos cumpliendo aquella condición?
Solución:
Si M: representa una chica y H: representa un chico, entonces se ubicarían de la siguiente forma:9 amigos5 mujeres 5!x4!=2.8804 hombres
EJEMPLOS:
Ana y María observaron la placa de un carro, donde viajaban dos hombres sospechosos de un robo. Al ser interrogadas por la policía, dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de tres letras seguidas de tres dígitos): María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8; Ana dijo que la primera letra de la placa era una G y que la tercera letra era definitivamente una vocal.
Determine la cantidad de placas diferentes que la policía debe verificar.
Solución:
La placa deberá tener una secuencia de caracteres de la forma
X X X ¿ ¿ ¿3 LETRAS +3 DIGITOS 2° letra: 0 -∅ 1 carácter G 1 posibilidadUltimo digito: 3 o 8 2° carácter 0 - ∅ 2 posibilidad 1°letra: G 3°letra a-u 5 posibilidad3°letra: vocal 1° numero 10 posibilidad 2° numero 10 posibilidad 3°numero: 3º8 2 posibilidadLetras: 1(5) (2) = 10Números: 10(10) (2)= 200Posibilidades: 2000 Permutaciones: orden Combinación: contenido
Permutaciones
⟨ p nm⟩= n!
(n−m )!Ejemplo: En una carrera participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro plata y bronce?
Solución: Se busca las diferentes ternas (m =3) que se pueden formar con los 10atletas (n =10).
p310=10!
7 !=10.9 .8 .7 !
7 !=720
Por lo tanto, a los 3 primeros lugares se los puede premiar de 720 formas distintas.Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia, cuatro de literatura y seis de matemáticas, si los de la misma materia deben estar juntos?
Solución:
Los libros de historia pueden permutarse así:
p55= 5 !
(5−5 )!=5 !0!
CombinaciónUna combinación es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado, Sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza comocm
n y se calcula así:
cmn = n !
m ! (n−m) !, nm≥
Ejemplo:
Se necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres, para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres; determine el número de grupos diferentes que se pueden formar.Solución:Para constituir el grupo de hombres:
Grupos: 2 hombres3 mujeres
Cmn = n !
m (n−m )!
C212= 12!2 (12−2 ) !
= 122 (10 )!
=479.001600(2)3628800
=66
C38= 8!3 (8−3 )!
= 8 !3 (5 ) !
= 40320720
=56
Adicionales:
Ejemplo: La cantidad de números de 2 digitos que pueden formarse a partir de los dígitos que pueden formarse a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4,5.
Pmn = n!
m (n−m) !
P25= 5 !2(5−2)
= 5!2 (3 )!
=1206
=20
De cuantas maneras pueden 5 personas tomar asiento en un automóvil, si 2 han de viajar en el asiento delantero, y 3 en el posterior. Dando que personas determinadas no han de viajar en el asiento del conductor.
Cmn = 5 !2(5−2)
=12012
=10
3 10-2=8
10-1=9 72
TEOREMA DE UN BINOMIO
Este teorema fue descubierto por Newton y comunicado por primera vez en 1676 a Henry Goldemberg, secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema.
(a+b )n
( ni)=an−i bi
n: exponente binomio i: posición del término en el desarrollo del binomio disminuido en 1 a, b: términos del trinomioTermino no contiene “x”
cx-12x ( 10i )=x10−i−¿
n: 10
a: x x10−i−( 12 x )¿ i=x0
b: 12x x10−i−x−i=x0=10−i−i=0
10−2i=0i=5
( 105 )=x10−5(−12x )( 105 )= 10 !
5 ! (10−5 )!¿
( 1050 )= 10!5 !5 !
=(−132 )=362880014400=252
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALANombre: Emilia GuachoCurso: Administración Paralelo: “E”Docente: Ing. Sara CruzFecha: 05.03.2013Tema: Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números reales, los cuales reciben el nombre de términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un siguiente.F: n→ rDomf=n
F(n)=1n
F(n)=(n−2)2
F(n)=1,0,1,4,9,16
F(n)= n
n+112 ,23 ,3445
Ejemplos: an=2(an-1-3), a1=5
a2=(a1−3 ) a2=2 (5−3)a2=4
a3=2 (a2−3 )=2 (4−3 )a3=2
a4=2 (a3−3 )=2 (2−3 ) a4=−2
a5=2 (a4−3 )=2 (−2−3 ) a5=−10
Ejemplos:
an= 3an-1 a1=23
a2… ..a5
a2=3( 23 ) . a3=2
a3=3 (2 )=6
a4=3 (6 )=18
a5=3 (18 )=54
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Formula: f(n)= a+(n-1)d
a: primer termino
n: números de términos
d: diferencia
Ejemplos: encuentre el valor de la siguiente suma: 5+9+13-1………o la 2, 7, 12, 17,22.
a: 2 f(n)=2+ (13-1)5
n: 13 f (3)=2+(12)5
d=7-2=5 f (3)=62
FORMULA DE LA SUMA:
Sn=n2=[2a+(n−1 ) d ]
a: 54 49=5+(n-1)4
d: 9-5= 4 49= 5+4n-4
f: 49 -4n=5-4-49
n=−48−4
n=12
s(12)=122 [2 (5 )+ (12−1 )4 ]
6 [10+11∗4 ]
9∗54=324
S12=324
ADICIONALES:
ENCONTRAR LO SIGUIENTE: 1, 3, 5, 7…..RESULTADOES 3969
a=1 S3969=n2 [2 (1 )+ (n−1 ) 2 ]
d=3-1=2 3969=n2
(2++2n−2 )
Sn=3969 3969=n2
(2n )
n=? 3969=n2
n=√3969
N=±63
En el concurso “Rueda de la Fortuna” hay 12 premios, que en total suman $ 96000. Si existe una diferencia de $ 1000 entre cada premio sucesivo, determine el premio de menor valor en el concurso.
Solución:
n=12 96000¿ 122 [2 ( a )+(12−1 )1000 ]
Sn=96000 96000=122 [2 ( a )+(11)1000 ]
d= 1000 96000=6 [2a+11.000 ]
a=? 96000=12a+66.000
-12a= 66.000-96000
+12a=+30.000
a=30.00012
=2.500
Progresiones geométricas
f (n)=a r n−1
a=primer termino
r=razon
octavo termino ,1,3,9……
P ∞≈ 91−R
r=31=r=3 P ∞≈ a
1−r
f (8 )=¿ p ∞≈ 1
1−( 34 )
1−34+ 916
− 2764 p∞≈ 1
1+ 34
=
1174
=47
α=1
r=
916−34
=3648
=−34
Ejemplo:
1√33
+ 1√36
+ 1√39
= 1√312
a=1
√33 36 .39=36−9=3−3
r=1
√39√38
=√36√9
= 1√33
EJEMPLO:
En la figura se indica un árbol genealógico que muestra tres generaciones anteriores y un total de 14 antecesores. Si usted tuviera que analizar su historia familiar hasta 10 generaciones atrás, ¿cuántos ancestros encontraría?
Madre
Usted
Padre
SOLUCIÓN
Madre
Usted
Padre
2 ancestros
4 ancestros
8 ancestros
Se trata de encontrar la suma de los 10 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón r es 2 y cuyo primer término a es también 2.
p(10) a (rn−1)r−1
=2(210−1)2−1
=2046
Es decir, que se tendrían 2046 ancestros.
E S T A D I S T I C A S Y P R O B A B I L I D A D E S
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 07/03/2013
APUNTES
UNIDAD XI
ESTADÍSTICAS
Numero
CUANTITATIVA Grupo
Senes
Etc
ANÁLISIS Precisa
CONCLUSIONES Futuro
Objetivos:
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Explicar el rol de la estadística en la sociedad y su aplicación en el análisis de información.
* Distinguir entre estadística descriptiva y estadística inferencial.
* Identificar los errores más comunes cuando se analiza información estadística.
* Definir los términos estadísticos, los tipos de variables y escalas de medición frecuentemente más empleados.
El método estadístico es el conjunto de los procedimientos que se utilizan
para medir las características de los datos, para resumir los valores
individuales y para analizarlos, a fin de extraerles el máximo de información; es
lo que se conoce como método estadístico.
Un método estadístico contempla las siguientes seis etapas:
1. Definición del problema:
2. Recopilación de la información existente.
3. Clasificación y control de calidad de los datos.
4. Codificación y digitación.
5. Análisis.
6. Presentación.
Errores estadísticos comunes. Existe la posibilidad de cometer errores al
momento de recopilar los datos que serán procesados, así como durante el
cómputo de los mismos. No obstante, hay otros errores que no tienen que ver
con la digitación y no son tan fáciles de identificar.
Algunos de estos errores son:
Sesgo: Hay que ser completamente objetivo y no tener ideas preconcebidas
antes de comenzar a estudiar un problema, evitando que puedan influir en la
recopilación y en el análisis de la información.
Datos no comparables: Establecer comparaciones es una de las partes más
importantes del análisis estadístico, pero es extremadamente importante que
tales comparaciones se hagan entre datos que se presten a ello.
Proyección descuidada de tendencias: La proyección simplista de
tendencias pasadas hacia el futuro, es uno de los errores que más ha
desacreditado el uso del análisis estadístico.
Muestreo incorrecto: En la mayoría de los estudios, la información disponible
es tan extensa que se hace necesario inferir a partir de muestras, para derivar
conclusiones acerca de la población a la que pertenece la muestra.
CONCEPTOS BÁSICOSElemento o ente: Cualquier elemento que aporte información sobre la
característica que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una
clase, cada alumno es un ente; si estudiamos el precio de la vivienda, cada
vivienda es un ente.
Población: Conjunto o colección de los entes de interés. Cada ente presenta
características determinadas, observables y medibles. Por ejemplo, en el
elemento persona: nombre, edad, género, peso, nacionalidad, etc. Por lo tanto,
la estadística se preocupa de estudiar las características de los elementos
constituyentes de la población, y estudia las posibles relaciones y las
regularidades que presenta la población a partir de estas características.
La población se puede clasificar, según su tamaño, en dos tipos:
Población finita: El número de elementos es finito. Por ejemplo: la cantidad
de alumnos de una escuela.
Población infinita: El número de elementos es infinito o tan grande que
pueden considerarse en cantidad infinita. Por ejemplo: las estrellas de la Vía
Láctea.
Muestra: La mayoría de los estudios estadísticos, no se realizan sobre la
población por los altos costos en tiempo y dinero, sino sobre un subconjunto o
una parte de ella denominada muestra, partiendo del supuesto de que este
subconjunto presenta el mismo comportamiento y características de la
población. Por ejemplo, para la población “estudiantes de las escuelas de
Guayaquil”, una muestra podría ser “el conjunto de niños de una escuela en
particular”.
Variables cuantitativas: Se expresan por medio de números y pueden ser:
Discretas: Solo se miden por medio de valores puntuales. Por ejemplo:
número de materias, cantidad de médicos en un hospital; y,
Continuas: Pueden tomar cualquier valor intermedio entre dos números,
es decir, intervalos. Por ejemplo: el peso y la estatura de una persona.
Las variables también se pueden clasificar en:
Variables unidimensionales: Sólo recogen información sobre una
característica. Por ejemplo: edad de los alumnos de una clase.
Variables bidimensionales: Recogen información sobre dos características
de la población. Por ejemplo: edad y estatura de los alumnos de una clase.
Variables multidimensionales: Recogen información sobre tres o más
características. Por ejemplo: edad, estatura y peso de los alumnos de una
clase.
Ejemplo Tabla de tipo II
El número diario de llamadas telefónicas realizadas en una casa durante 30
días, se encuentra tabulado así:
2 4 1 3 2 53 1 3 4 1 11 5 3 1 2 3
2 1 5 3 4 2
3 4 1 2 5 5
Sea la variable el número diario de llamadas telefónicas, podemos observar
que el rango de la variable está entre 1 y 5 llamadas, y que el total de datos es
30 llamadas. Por lo tanto, la tabla de frecuencia se estructura siguiendo los
pasos 1 y 2:
1. Ordene los datos en forma decreciente o creciente por cada columna y
realice el conteo:
2. Estructure la tabla de frecuencia relacionando el conteo con un número
(frecuencia):
N° de llamadas
frecuencia
1 82 63 74 45 5Total 30
1 1 2 3 3 51 1 2 3 4 51 1 2 3 4 51 2 2 3 4 51 2 3 3 4 5
N° de llamadas
frecuencia
1 IIIIIIII2 IIIIII3 IIIIIII4 IIII5 IIIII
Ejemplo Tabla de tipo III
La edad de un grupo de 30
personas se encuentra tabulada así:
Sea la variable, la edad de las personas, observamos que los valores están
dispersos y que el rango de la variable está entre 5 y 55, por lo cual, si se
quiere elaborar una tabla, ésta debe ser de intervalos.
Ahora, los pasos que se deben seguir son:
1. Determine el total de datos. En este caso N = 30.
2. Calcule el rango R de la variable con la expresión R = Xmáx − Xmín, en los
cuales están considerados el valor máximo y mínimo de dicha variable. Para el
ejemplo, R = 55 − 5 = 50.3. Determine el número de intervalos, entre 10 y 15. En este ejemplo, se
tomarán 13 intervalos.
4. Calcule la amplitud de los intervalos i=R
N ° INTERVALOS , aproximando al
entero más cercano. Para el ejemplo,i=5013
≈ 4.
22 23 44 10 28 40
15 43 38 7 24 31
28 12 5 18 20 47
50 27 14 16 30 26
55 27 42 50 27 36
5. Construya la tabla considerando que los intervalos serán siempre cerrados
por la izquierda y abiertos por la derecha [Li − 1, Li). Para el primer intervalo
[L1, L2), L1 es el mínimo valor de los datos y L2 es igual a L1 + i. Para el
segundo intervalo [L2, L3), L2 ya se determinó en el paso anterior y L3 es igual
a L2 + i. Este procedimiento se sigue realizando para los nuevos intervalos.
Para el ejemplo, la tabla sería:
Intervalos deedades
Frecuencia
[5,9) 2
[9,13) 2
[13,17) 3
[17,21) 2
[21,25) 3
[25,29) 6
[29,33) 2
[33,37) 1
[37,41) 2
[41,45) 3
[45,49) 1
[49,53) 2
[53,57) 1
total 30
Ejemplo
Edad en años de estudiantes en etapa colegial
16 12 12
11 19 16 17 11
16 9
16 12 1
3
10 16 17 14 1
7
16 17
18 13 1
4
13 13 13 14 1
7
14 12
14 15 1
4
13 17 10 15 1
5
12 14
13 10 1
2
16 12 14
TABLA DE FRECUENCIA
N=46
Rango=19-9=10
i=106
=1.66=2
Intervalos de la variable
Marca de clase
Frec.Ads.
Frec. abs. acumulada
Frec.rel Frec.rel. acumulada
[9,11) 10 4 4 0.09 0.09
[11,13) 12 9 13 0.20 0.29
[13,15) 14 15 28 0.32 0.61
[15,17) 16 10 38 0.22 0.83
Edad en años de estudiantes
frecuencia
[9,11) 4
[11,13) 9
[13,15) 15
[15,17) 10
[17,19) 7
[19,21) 1
total 46
N=46
Rango=9.15-6.00=3.15
i=3.153
=1.05=2
[17,19) 18 7 45 0.15 0.98
[19,21) 20 1 46 0.02 1.00
Total N=46 1.00
EjemploNotas de los estudiantes de un curso de cálculo en la ESPOL
6.45
8.30 7.55
6.00 8.20
6.25 6.00
7.00 6.40
7.45
6.20
6.35 6.5
5
7.80 6.0
0
6.45 7.9
5
6.00 6.1
5
7.05
7.35
6.35 6.0
0
6.45 6.6
0
9.15 6.6
0
7.60 6.3
0
7.30
7.40
8.15 6.7
0
6.25 6.4
0
6.45 8.3
0
7.55 6.0
0
8.20
6.25
6.00 7.0
0
6.40 7.4
5
6.20
TABLA DE FRECUENCIA
Intervalos de la variable
Marca de clase
Frec.Ads.
Frec. abs. acumulada
Frec.rel Frec.rel. acumulada
[6.00,8.00) 7 40 40 0.869 0.869
Nota de lo estudiantes
frecuencia
[6.00,8.00) 40
[8.00,10.00) 6
[10.00,12.00) 0
Total 46
[8.00,10.00) 9 6 46 0.130 1.000
[10.00,12.00)
11 0 46 0 1.00
Total 46 1.00
EjemploTiempo de espera en minutos de los clientes de un banco de la localidad.
TABLA DE FRECUENCIA
40 45 52 33 27 5 11 31 42 51
55 55 60 42 37 35 10 43 54 55
10 22 5 62 74 57 42 43 31 26
29 35 33 41 39 44 54 56 22 15
32 17 26 42 44 45
N=46
Rango=74-5=69
i=6910
=6.90=7
Intervalos de la variable
Marca de clase
Frec.Ads.
Frec. abs. acumulada
Frec.rel Frec.rel. acumulada
[5,12) 9 5 5 0.11 0.11
[12,19) 16 2 7 0.04 0.15
[19,26) 23 2 9 0.04 0.19
[26,33) 29 7 16 0.15 0.34
[33,40) 37 6 22 0.13 0.47
[40,47) 44 12 34 0.26 0.73
[47,54) 51 2 36 0.04 0.78
[54,61) 58 8 44 0.17 0.95
[61,68) 65 1 45 0.02 0.97
[68,75) 72 1 46 0.02 1.00
total N=46 1.00
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRALObjetivos
Tiempo de espera
Frecuencia
[5,12) 5
[12,19) 2
[19,26) 2
[26,33) 7
[33,40) 6
[40,47) 12
[47,54) 2
[54,61) 8
[61,68) 1
[68,75) 1
Total 46
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dada un conjunto de datos, calcular e interpretar medidas de tendencia
central y no central.
Media aritmética Se define como el cuociente entre la suma de los valores que toma la variable
(datos) y el total de observaciones:xx1+ x2+x3+…… .. xn
n; siendo el total de
observaciones, también se puede expresar como ×
i
nΣ¿1n
generalmente esta
definición se ocupa para datos no tabulados.
Ejemplo Media aritmética para datos no tabulados
o Se tiene el sueldo de cinco empleados de una empresa: $567, $683,
$725, $675, $576.
La media aritmética es x=567+683+725+675+576
5=3226
5=645.2
En este caso, se puede decir que el sueldo promedio que paga la empresa a
sus cinco empleados es de $645.2.
o Si tiene las notas de 3 estudiantes que tienen un rendimiento bajo=N:
5.60, N=6.60, N: 2.30
La medida aritmética es=X=5.60+6.60+2.303
=4.833
o Si tiene 4 deudas como :$65.00,$78.00,$52.00,$10.00
La medida aritmética es =x=65.00+78.00+52.00+10.004
=$205.00
o si tiene dos telas que cortar T=6.30, T=5.02.
La medida aritmética es =x=6.30+5.022
=11.32
EJEMPLO MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS TABULADOS.XMC corresponde a la marca de clase del intervalo y se encuentra como la
media aritmética de los límites superior e inferior de cada intervalo. Por
ejemplo, la marca de clase para el primer intervalo de la tabla adjunta se
encuentra como:
400+4502
=425
Sueldo fi XMC Fi.XMC
[400,450) 10 425 4250
[450,500) 20 475 9500
[500,550) 30 525 15750
[550,600) 40 575 23000
[600,650) 15 625 9375
[650,700) 10 675 6750
[750,800) 5 775 3875
130 72500
La media aritmética es:
X=(10 ) (425 )+(20 ) (475 )+(30 ) (525 )+(40 ) (575 )+ (15 ) (625 )+ (10 ) (675 )+(5)(775)
130
X=4250+9500+15750+23000+9375+6750+3875130
X=72500130
≈557.7
MEDIANA (X)
Se define como el valor central de una distribución que tiene un número impar
de datos, una vez ordenados los datos de manera creciente o decreciente. El
dato que representa la mediana divide la distribución en dos grupos, un 50% de
valores son inferiores y otro 50% son superiores.
Si el número de datos (N) de la distribución es par, la mediana está dada por el
promedio de los dos datos centrales. La mediana no presenta el problema de
estar influenciada por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su
cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el
número de veces que se ha repetido).Si N es impar, el término central es el
dato que ocupa ese lugar:
x=x(n+1)
2
Ejemplo Mediana.
o Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10.
Como N es igual a 5, x =x(N +1)
2=
X (5+1)
2=X 6
2=X3=5
o considere los siguientes datos: 3, 5, 7, 11,13.
Como N es igual a 7 x=X (N +1)
2=
X(7+ 1)
2=X 8
2=X4=4
o considere los siguientes datos: 1, 2,3, 8,9.
Como N es igual a 3 x=X (N +1)
2=
X(3+1 )
2=X 4
2=X2=2
Si N es par, existen dos datos centrales: X=x N2
+X N2
+1
2
Ejemplo Mediana.
Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10, 12.
Aquí N = 6
x N2
=X 62
=X3=5=Y
X N2
+1=X3+1=X 4=9
X=5+92
=7
GEOMETRIA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: Emilia Guacho DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 19/03/2013
APUNTES
UNIDAD IV
SEMIRRECTA
Una semirrecta es la parte de una recta que está a un lado de la misma, desde
un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola
dirección.
ÁNGULOEs la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.
Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo, mientras que
la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se
intersecan las semirrectas se denomina vértice del ángulo. Se puede designar
a los ángulos, por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el
vértice, si es que no hay confusión. Por ejemplo:
C
B A
ÁnguloLa medida de un ángulo se denota por m, representa la abertura entre las dos
semirrectas; y, es una relación de A en, siendo A el conjunto de los ángulos.
Se acostumbra designar a la medida de los ángulos con letras del alfabeto
griego: α, β, γ, θ, ω entre otras.
Si se considera una región del plano con un recorrido desde el lado inicial del
ángulo hasta el lado final, siguiendo el sentido contrario de las manecillas del
reloj, por convención la medida del ángulo es positiva. Si dicho recorrido se
realiza en sentido de las manecillas del reloj, la medida es negativa.
a) Medida positiva de un ángulo b) Medida negativa de un
ángulo
SIGNOS DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS.
Un ángulo se encuentra en posición normal o estándar si su vértice está
ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial
coincide con el semieje X positivo. Si el lado terminal del ángulo se encuentra
en el segundo cuadrante, se denominará ángulo del segundo cuadrante y
análogamente para los otros cuadrantes.
a) Ángulo en posición normal del b) Ángulo en posición normal del cuarto cuadrante, cuya medida Es
negativa.
segundo cuadrante, cuya medida
es positiva.
SIGNOS DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS.
UNIDADES ANGULARES
Para la localización exacta de una estrella o la posición de un barco, se utilizan
las unidades de medida más conocidas, como son los grados sexagesimales,
minutos y segundos; tales unidades están basadas en la división en partes
iguales de una circunferencia. Algunas equivalencias importantes son las
siguientes:
360º representan un giro completo alrededor de una circunferencia.
180º representan12de vuelta alrededor de una circunferencia.
90º representan 14 de vuelta.
1º representa 1360 de vuelta.
1º representa 60 minutos (‛).
1‛ representa 60 segundos (‛‛).
Es de observar que para generar un ángulo se puede dar más de un giro
completo; por ejemplo, si damos dos giros completos se tendrían 720º; si se
dan 10 giros se tendrían 3600º. Para propósitos de cálculo, los grados son
transformados en radianes, puesto que el radián es mucho más práctico en las
aplicaciones físicas. A continuación, se interpreta el significado de un radián:
Considerando una circunferencia de radio r y centro O, se construye unángulo
de medida α cuyo vértice esté ubicado en O, y cuyos lados inicial y terminal
subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r, tenemos que α
constituye un radián.
Ejemplos
390 X π radianes180 °
=13π radianes6
75 ° X π radianes180 °
=5 π radianes12
150 ° X πradianes180 °
=5 π radianes6
5π12
X radianes=180°π
=75°
7π12
X radianes=180 °π
=105°
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
NOMBRE: EMILIA GUACHO DOCENTE: ING. SARA CRUZ
CURSO: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA FECHA: 20/03/2013
APUNTES
Ejemplo: Ubicación de los ángulos.
Se requiere ubicar un ángulo cuya medida es 410º. Si se divide para 360º, se
obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el ángulo ha dado
una vuelta completa de 360º y su lado terminal se ha ubicado en 50º. Por tanto,
es un ángulo del I Cuadrante.
Clases de ángulos
Coterminales
Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal.
Ángulos coterminales.
Sean α =π3 y β =
−5π3 Graficando se observa que los ángulos son coterminales.
Consecutivos
Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando sólo tienen un lado
en común.
Adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes
son semirrectas en la misma dirección, pero en sentido contrario. La suma de
las medidas de estos ángulos es 180º.
ComplementariosDos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye
la medida de un ángulo recto: α + β = 90º.
Suplementarios
Dos angulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la
medida de dos angulos rectos: ƒ¿ + ƒÀ = 180o.
Opuestos por el vértice
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos
son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificándose que α = β.
Relación entre grados sexagesimales y radianes
Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr, y para el caso de
una vuelta completa, hemos indicado que el ángulo mide 360º, entonces
podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimalesy
radianes.
A partir de la igualdad 2... radianes = 360º, determinamos que:
180º = .. radianes
90º = .. π2 radianes
60º=π3 radianes
45º= π4 radianes
30º =π6 radaines
Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura:
Funciones trigonométricas
Sea P(a,b) un punto sobre la circunferencia de radio unitario y x el ángulo en
posición estándar que forma el segmento OP, con el semieje X .
Función Seno
La función seno está definida por: sen(x) =b1 Es una función de R en R.
Función Coseno
La función coseno está definida por: cos(x) =a1 Es una función de Ren R.
Función Tangente
Si (a ‚ 0), la funcion tangente está definida por: tan(x) = ab Es una función de R
de R .- (2n + 1) π2 , n ∈ Z en R.
Función Cotangente
Si (b ≠ 0), la función cotangente está definida por: cot(x) =ab Es una función de
R − (nπ), n ∈ en R.
Función Secante
Si (a ≠ 0), la función secante está definida por: sec(x) =1a Es una función de −
(2n + 1)π2 n ∈ Z en R .
Función Cosecante
Si (b ≠ 0), la función cosecante está 1B definida por: csc(x) = Es una función de
− (nπ), n ∈ Z en R .
Ejemplo
Conclusiones.
Analizada la influencia de la planificación de estrategias para la enseñanza de
la matemática planteada inicialmente, se evidencio la necesidad de planificar
estrategias adecuadas para una enseñanza de calidad, porque ha quedado
separada de la realidad del sistema educativo, adaptándose en una
problemática de gran magnitud, por cuanto las herramientas o medios para
motivar al educando en su desarrollo del pensamiento lógico (procesos
mentales para el razonamiento) no conlleva a obtener una información clara y
precisa en la forma de decisiones así mismo incorporar valores y desarrollar
actitudes en el alumno.
En este sentido, a partir de la situación planteada y en función de esta
investigación se concluyó dándole respuestas específicas a los objetivos, a fin
de demostrar las respuestas a las interrogantes de investigación, en este orden
el primero de los objetivos específicos implica explicar la importancia de la
planificación para la enseñanza de la matemática en la segunda etapa de
educación básica permite concluir que en la planificación va inmersa las
estrategias
RECOMENDACIONES
Debería haber mayor control en cuanto a los conocimientos que adquieren
los alumnos, pues estos pasan los cursos con muchos vacíos y esto se
reflejó en las pruebas que se desarrollaron.
Se recomienda a los profesores hacer mayor énfasis en enseñar a
identificar núcleos del sujeto y núcleos del predicado, ya que como se vio en
las pruebas aplicadas los estudiantes del décimo año de educación básica
tienen problemas en reconocerlos.
Se recomienda a los profesores enseñen con mayor énfasis ortografía, con
el fin de que los alumnos dominen la misma.
Los alumnos deben tomar en serio las matemáticas ya que son muy
importantes en la vida cotidiana.
La variedad y diversidad de los elementos presentados en este portafolio
son coherencia con los problemas que se presenta en nuestras vidas.
