Propulsión Problemas

Andrs Zarabozo Martnez

Propulsin. Problemas

Ingeniera Aeronutica

ETSEIAT

2011

Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas

- 2 -

Acerca de estos apuntes

Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura Propulsin, que se imparte

en el cuarto curso de Ingeniera Aeronutica, en la Escola Tcnica Superior dEnginyeries Industrial i

Aeronutica de Terrassa, de la Universitat Politcnica de Catalunya (ETSEIAT UPC).

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- 3 -

0. ndice

0. ndice ............................................................................................................................................... 3

1. Aerorreactores ................................................................................................................................ 4

Problema 1. Consumo especfico respecto al peso del motor ........................................................ 4

Problema 2. Parmetro de flujo de masa en funcin de Mach ....................................................... 7

Problema 3. Variaciones del flujo en funcin del Mach ................................................................ 11

Problema 4. Problema terico ...................................................................................................... 14

Problema 5. Boeing 707 ................................................................................................................ 17

Problema 6. Turbofn para el B707 ............................................................................................... 22

Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso especfico .................................... 27

Problema 8. Estatorreactor ........................................................................................................... 33

Problema 9. Resistencia de entrada .............................................................................................. 36

Problema 10. Compresor ............................................................................................................. 39

Problema 11. Turbina .................................................................................................................. 44

Problema 12. Actuaciones de un UAV ......................................................................................... 47

Problema 13. Actuaciones de un caza ......................................................................................... 51

2. Motor cohete ................................................................................................................................ 56

Problema 1. Calculo de empujes y de reas de un motor cohete ................................................. 56

Problema 2. Aplicacin de la segunda ley de Newton .................................................................. 63

Problema 3. Sistema de defensa antiarea basado en misiles ..................................................... 66

Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad ................................................................ 70

Problema 5. Tobera aerospike ...................................................................................................... 72

Problema 6. Estudio de tobera utilizando el mtodo de las caractersticas ................................. 76

Problema 7. Cohete de agua ......................................................................................................... 85

Problema 8. Diseo de una tobera ideal bidimensional ............................................................... 88

Problema 9. Efecto de partculas en el flujo .................................................................................. 95


- 4 -

1. Aerorreactores

Problema 1. Consumo especfico respecto al peso del motor

El principal objetivo de los desarrolladores de motores es obtener un consumo especfico de

combustible mnimo. Menos combustible quemado permite ms carga de pago en los aviones. Pero

desafortunadamente la reduccin en el consumo especfico de combustible implica motores ms

grandes y pesados (debido a relaciones de presiones mayores y relaciones de derivacin).

Asumiendo que la masa de la aeronave al principio del vuelo en crucero es , y que tanto la

relacin entre la sustentacin y la resistencia ( ) y el consumo especfico del empuje son

constantes para todo el vuelo de crucero. Se pide lo siguiente

a. Encontrar la masa de combustible en crucero como una funcin de y .

b. Para el caso de un vuelo de corto/medio alcance (con ), simplificar la expresin

anterior, considerando una masa media de la aeronave ( ) .

Asumiendo que el incremento del peso y la reduccin de afectan a y , respectivamente con

factores y , y usando la expresin encontrada en b, se pide

c. Encontrar la relacin entre y , y otros parmetros (segn sea necesario) que impliquen

que una mejora en no sea interesante (el incremento en el peso del motor no implica un

ahorro en combustible).


- 5 -

Resolucin

a. ( )

Se utiliza la ecuacin de Breguet para el caso de turborreactor

Se busca ahora despejar la masa de combustible .

( )

Finalmente

(

)

b.

La ecuacin obtenida puede simplificarse mediante series de Taylor. La serie de Taylor de la funcin

exponente es

En esta serie cuando es muy pequeo ( ) se pueden eliminar trminos. Una primera

simplificacin sera utilizando solo un trmino de la serie para la funcin de la masa de combustible.

(

)

Ahora se simplifica otra vez la funcin pero con dos trminos

(

)


- 6 -

[

(

)

]

(

)

(

)

El trmino que est entre parntesis se puede reemplazar utilizando la simplificacin de un solo

trmino.

(

)

Considerando una masa media de la aeronave ( ) .

c. Ahorro de combustible con motor nuevo

Se utiliza la siguiente simbologa, para el nuevo motor su gasto de combustible es . Se

considera que el nuevo motor tiene un incremento de peso y una disminucin en el consumo

especfico.

( ) ( )

Cogiendo primero la ecuacin del nuevo motor

( ) ( )

( )

( )

El ahorro de combustible es

( )

El incremento de peso tiene que ser menor al ahorro de combustible para que sea til el nuevo

motor.

( )

(

)


- 7 -

Problema 2. Parmetro de flujo de masa en funcin de Mach

Considerando un flujo unidimensional a travs de un conducto con variaciones leves de su rea

transversal ( ), demuestra que el flujo de masa puede expresarse como una funcin del Mach

local , la presin total , la temperatura total y el rea:

( )

La funcin ( ) se denomina parmetro de flujo de masa. Grafica esta funcin y encuentra el

nmero de Mach donde ( ) llega a su mximo.


- 8 -

Resolucin

Consideramos un depsito como el que se ve en la Figura 1.1. Las condiciones son estacionarias, se

desprecia la friccin de las paredes y no hay adicin de calor (por lo que las condiciones de remanso

se mantienen constantes).

Figura 1.1. Diagrama de la seccin del flujo

Se busca que condiciones tiene el fluido respecto a las condiciones de remanso.

El flujo msico se define como . De la ecuacin de continuidad se puede afirmar que el

flujo msico es constante para todo el tubo de salida. Suponiendo la teora de gas perfecto.

Se estudia ahora la presin y la temperatura respecto a las condiciones de remanso

[

]

Introducindolo en la ecuacin del flujo

[

]

[

]

( )

Esta ecuacin es general tanto si se conserva o no la presin de remanso. La diferencia es que si se

conserva se puede poner en funcin de la presin de remanso en la condicin (inicial). Con esta


- 9 -

expresin se puede relacionar el nmero de Mach de una seccin con el nmero de Mach en otra

seccin, ya que las nicas variables no constantes seran y .

[

]

( )

[

]

( )

[ (

)

( )

] [ (

)

( )

]

Donde es el parmetro de flujo de masa.

Para un valor dado de , en trminos de nmero de Mach, el parmetro de flujo de masa vara como

se observa en la Figura 0.1 (tabulada para ). La Tabla 0.1 muestra valores de la funcin de

parmetro de flujo de masa y es muy til para otros ejercicios, sobre todo en el estudio de

actuaciones.

Buscando el mximo de la funcin se encuentra que el mximo coincide con condiciones snicas.

(

)

( )

( )(

)

( )

( )

0.00000

0.10000

0.20000

0.30000

0.40000

0.50000

0.60000

0.70000

0.80000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Par

me

tro

de

flu

jo d

e m

asa

Nmero de Mach

= 1.4


- 10 -

Figura 1.2. Grfico de en funcin de

Tabla 1.1. Valores de en funcin de


- 11 -

Problema 3. Variaciones del flujo en funcin del Mach

De la ecuacin de continuidad y conservacin de cantidad de movimiento para un flujo casi

unidimensional e isentrpico, obtener una relacin diferencial en trminos de la velocidad , seccin

y nmero de Mach .

- Ecuacin de continuidad:

- Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento:

- Flujo isentrpico:


- 12 -

Resolucin

De la ecuacin de continuidad se puede hacer una ecuacin diferencial

( )

Se quiere combinar la ecuacin diferencial con la de conservacin de cantidad de movimiento.

Se multiplica la ecuacin de continuidad por

Estas dos ecuaciones se pueden restar.

Se toma ahora la ecuacin del flujo isentrpico y se crea una ecuacin diferencial.

Ya que la velocidad del sonido es . Ahora se junta con la relacin derivada de la resta entre la

ecuacin de continuidad y conservacin de cantidad de movimiento

( )

(

)

( )

Y tambin utilizando


- 13 -

Se obtiene

( )

Utilizando la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento ( ) se tiene

( )

( )

De estas ltimas ecuaciones se puede deducir que si el rgimen es subsnico los signos del

diferencial de densidad y el rea van en paralelo, o sea aumento de rea significa un aumento de

densidad. Tambin se deduce que si el rea aumenta la velocidad disminuye

En cambio si el rgimen es supersnico pasara al revs, un aumento de rea disminuira la densidad,

y tambin un aumento de rea implica un aumento de velocidad.

Tambin se puede llegar a la conclusin que para Mach igual a uno el diferencial de rea es cero. Eso

significa que la condicin snica ocurre en el tramo de rea mnima(o tambin denominado en las

toberas, cuello).


- 14 -

Problema 4. Problema terico

Graficar el ciclo ideal de un motor turborreactor en un diagrama ( ). Encontrar la funcin de la

eficiencia trmica en trminos de las temperaturas de las etapas del turborreactor. Simplificar la

expresin lo mximo posible considerando aplicable las relaciones termodinmicas, e indicando,

para unas condiciones de vuelo dadas, el efecto de y en la eficiencia trmica.

Nota: y deben considerarse independientemente (en el anlisis del diseo), en otras palabras,

no estn relacionados.


- 15 -

Resolucin

El diagrama ( ) para un motor ideal es el mismo que el estudiado en el libro Propulsin. Teora.

La Figura 1.3 muestra el ciclo de un motor ideal.

Figura 1.3. Diagrama del ciclo de un motor ideal

El rendimiento trmico es un concepto terico que expresa una relacin entre la energa cintica de

un flujo y la energa calorfica de la combustin. Es una forma de cuantificar la eficiencia del motor

en el cambio de tipo de energa.

( )

( )

Haciendo la hiptesis de que

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

De la igualdad de trabajos compresor-turbina (despreciando el ) establece

( ) ( )


- 16 -

Volviendo al rendimiento trmico

En el ciclo ideal la entropa solo vara en la combustin. Entre el punto y la isobra es la misma;

pasa lo mismo entre el punto y . Se puede decir que

(

)

(

)

Finalmente el rendimiento trmico queda

Debido a que el hace variar otros rendimientos, la solucin de compromiso es el ( )

desarrollado en los apuntes de teora.


- 17 -

Problema 5. Boeing 707

El Boeing 707 fue un avin de pasajeros de finales de los aos . Tiene cuatro turborreactores Pratt

& Whitney JT3C-7 con las siguientes caractersticas en condiciones de nivel de mar

- Ratio de presin

- Temperatura de entrada de la turbina

- Empuje

Asumiendo comportamiento ideal de todos los componentes, tobera convergente y aproximando

, se pide lo siguiente:

a. Flujo de aire

b. Consumo de combustible

Considerando un vuelo a a una altitud de , y considerando que se tiene la

misma relacin de presiones del compresor ( ) y de la turbina ( ) de las operaciones a nivel de

mar, se pide:

c. El empujo unidimensional

d. El consumo especfico de combustible


- 18 -

Resolucin

Las condiciones estticas significan que el avin est quieto en el suelo con los motores puestos en

marcha.

a. Caudal msico

Con la relacin de compresin se puede encontrar .

Como se tienen condiciones ideales de todos los componentes .

Se busca sabiendo que esta en condiciones estticas ( ).

En la cmara de combustin se tiene

Del balance de potencia compresor-turbina se obtiene la relacin de temperaturas y presiones de la

turbina

( )

( )

( ) ( )

Como no se sabe qu tipo de tobera se tiene (solo se sabe que es convergente), se busca la relacin

de presiones (ya simplificado por ser un motor ideal)

Si la tobera fuese adaptada

[( )

( ) ]

[ ( ) ]

Este Mach no puede existir ya que la tobera es convergente, y en una tobera convergente el mximo

Mach posible es . Por lo tanto la tobera es crtica. Como regla general, para toberas convergentes,

se puede verificar que la tobera es crtica si la relacin de presiones es mayor que

(

)


- 19 -

Aunque en exmenes es necesario hacer el procedimiento anterior completo.

Se sabe que la tobera es crtica. Se debe calcular ahora la relacin de presiones de salida y de

temperatura.

(

)

El empuje adimensional es

(

)

(

)

El flujo msico se puede calcular de la siguiente forma

( )

b. Flujo de combustible

El flujo de combustible es

Donde

( )

( )

Si no se especifica otra cosa el valor de es de .

c. Empuje adimensional

Se van a suponer los siguientes valores

-

- se mantiene igual al calculado antes

- y tambin se mantienen (debido a las suposiciones anteriores)

Para saber si la tobera est en condiciones crticas o no, como regla general si la tobera al nivel del

mar es crtica, en vuelo de crucero es an ms crtica.

Tambin se deben calcular y


- 20 -

Del balance de potencia compresor turbina se tiene

( )

( )

( )

La relacin de temperaturas queda

La de presiones (inversa)

(

)

(

)

El empuje adimensional se calcula de forma similar que en los primeros apartados.

(

)

( )

d. Consumo especfico

Sabiendo que para las condiciones de vuelo dadas (ISA)

Se calcula ahora el coeficiente

( )

( )

El impulso especfico es


- 21 -

El consumo especfico es

Otra forma de escribir este consumo especfico pero en otras unidades es

Esto significa que para dar un kilo de fuerza consume de combustible por hora.


- 22 -

Problema 6. Turbofn para el B707

Considera un turbofn que reemplace los motores del Boeing 707 del Problema 5, asumiendo:

- el mismo empuje

- los mismos parmetros y operando a nivel del mar en condiciones

estticas

- una relacin de derivacin

- una relaciones de presin del fan

Asumiendo un comportamiento ideal de todos los componentes, toberas convergentes y

aproximando , se pide lo siguiente

a. Flujo msico (flujo primario)


Considerando un Mach de vuelo a una altura de , y asumiendo el mismo

ratio de presiones del compresor y turbina de las operaciones a nivel del mar, se pide

c. El consumo especfico de combustible


- 23 -

Resolucin

a. Flujo msico

La relacin de temperaturas es igual que en el caso del turborreactor.

Se recuerda que pese a que se sabe que el motor tiene componentes ideales siempre se debe

escribir la ecuacin completa e indicar que .

La relacin de temperaturas del fn es

Sabiendo que se est en condiciones de nivel del mar y estticas

{

De la relacin de potencias compresor turbina se sabe

[ ( )]

[ ( )]

( )

( )

Las relaciones de presiones son

Se debe verificar que toberas se tienen

(

)

(

)

Tanto la tobera primaria como la secundaria son adaptadas.


- 24 -

{

[(

)

]

[

]

[(

)

]

[

]

{

El empuje adimensional queda

{

[

(

)] } {

[

(

)] }

( ) ( )


Se calcula primero el coeficiente de presin

( )

( )

c. Consumo especfico de combustible

Se mantienen constantes los siguientes parmetros

Al cambiar de altura se debe calcular la nueva temperatura ambiente y la nueva velocidad del sonido

( ) ( )


- 25 -

Al cambiar la velocidad de vuelo se cambian los parmetros y .

De la relacin de potencia compresor turbina se obtiene

[ ( )]

[ ( )]

Se calculan las relaciones de presiones de remanso en la tobera.

{

Ambas toberas son crticas ya que ambas relaciones son mayores que .Se calculan las

relaciones de temperatura y presin en la tobera

{

{

(

)

(

)

(

)

(

)


{

[

(

)] } {

[

(

)] }

{ [

(

)] } { [

( )] }

El factor es

( )

( )


- 26 -

Finalmente se puede calcular el consumo especfico.


- 27 -

Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso especfico

Dadas las siguientes condiciones de vuelo

- Altitud de crucero,

- Nmero de Mach de crucero,

Se pide encontrar los valores ptimos (en trminos del mximo impulso especfico para mximo

empuje) de y y los valores de los parmetros adimensionales de y , cuando se

incremente de a (en una grfica).

Usar los siguientes valores

( )


- 28 -

Resolucin

Se resolver el problema tomando un solo valor de . El problema pide hacer lo mismo para

poder ver grficamente la variacin del impulso especfico y el empuje adimensional en funcin del

parmetro .

Para y

Ahora se busca el valor de sabiendo que el motor es ptimo.

( )( ) ( )

Se reemplaza por

( )( ) ( )

[( )( )]( ) ( )

Esta ecuacin se resuelve de forma iterativa. Dar dos soluciones, pero como se descarta una

de las soluciones. Normalmente se prueba aislando el valor de de mayor potencia.

[( )( )]( )

[( )( )]( )

( )

El vuelo se desarrolla a

La temperatura ambiente a esa altura es

( ) ( )

Se puede sacar la temperatura de entrada de las turbinas


- 29 -

El correspondiente es el ptimo y queda

( )

Se calcula ahora y

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

[ ( )]

[ ( )]

Las toberas en este problema son adaptadas ya que es caso ptimo

La tobera del primario es convergente ya que el valor es menor que la relacin crtica ( ).

La tobera del flujo secundario es convergente divergente. En contrario a lo que dice la teora (aqu

calculada), en la prctica no se empleara una tobera convergente divergente ya que solo servira

para estar en condiciones ptimas en estas condiciones en concreto. Una tobera con geometra

variable tampoco sera una buena solucin. Por compromiso se usa una tobera convergente ya que

la prdida de potencia no es tan significativa en comparacin con los problemas que causara utilizar

el otro tipo de tobera.

Para verificar que lo que se ha hecho est bien se comprueban las velocidades de escape (deben de

ser iguales ya que son ambas adaptadas), se calcula primero el nmero de Mach y luego la velocidad

de escape


- 30 -

[ ]

[

]

[ ]

[

]

( )

( )

Efectivamente ambas velocidades son iguales.


(

)

[ ( )

( )( ) ] ( )

El impulso especfico es

( )

( )( )

Se han usado los siguientes valores

( )

El impulso especfico adimensional es

( )

( )( )


- 31 -

Para valores distintos de se sigue el mismo procedimiento obteniendo los siguientes resultados

Tabla 1.2. Valores del problema para distintos

Figura 1.4. Empuje adimensional respecto a

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

F

Empuje adimensional


- 32 -

Figura 1.5.Impuslo especfico respecto a

Figura 1.6. Impulso especfico adimensional respecto a

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 2 4 6 8 10 12 14

Isp

Impulso especfico

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14

sp

Impulso especfico adimensional


- 33 -

Problema 8. Estatorreactor

Se supone un avin equipado con un estatorreactor en vuelo supersnico en la estratosfera. Se le

aade un buen diseo de la entrada de aire con geometra variable para evitar fuertes ondas de

choque. En vez de una onda de choque aparecen muchas ondas de menor potencia, y la velocidad se

reduce hasta el motor a una velocidad subsnica con perdida negligible de la presin de remanso.

Adems, una geometra variable de la tobera permite un flujo de salida adaptado a la presin de

ambiente para cualquier condicin de vuelo.

Considerando conocidos todos los datos relacionados con el motor, comportamiento ideal de los

componentes del motor y una fraccin de flujo de combustible negligible, se pide

a. Representar en un diagrama el ciclo del motor, y encontrar el nmero de Mach de

salida

b. Calcular el rea de captura como una funcin del nmero de Mach de vuelo ( ) y otros

parmetros si fuese necesario

c. Calcular el ratio como funcin de y de otros parmetros si fuese necesario

Figura 1.7. Diagrama de etapas del estatorreactor

Entrada Cmara de combustin Tobera


- 34 -

Resolucin

a. Diagrama

El diagrama ( ) para un motor ideal es parecido que el estudiado en el libro Propulsin. Teora,

pero adaptado a un estatorreactor ideal. La Tabla 1.3 muestra las distintas etapas del

estatorreactor. La Figura 1.8 muestra el ciclo del estatorreactor ideal.

Etapa Proceso caractersticas

Compresin adiabtica sin trabajo aadido crecen, constante Adicin de calor constante, crecen

Expansin adiabtica sin trabajo extrado, cambio de volumen

disminuyen, constante

Tabla 1.3. Etapas de un estatorreactor ideal

Figura 1.8. Diagrama del ciclo de un estatorreactor ideal

b. Calcular el rea de captura

Al ser tobera adaptada .

[(

)

]


- 35 -

[(

)

]

Pese a que los nmeros de Mach sean iguales no significa que las velocidades lo sean

Hay que introducir ahora la condicin de que el flujo de entrada es igual al flujo de salida por las

toberas (ya que se ha despreciado la adicin del combustible). Se elige el punto 8 que es la garganta

de la tobera, en este punto el nmero de Mach es 1.

( )

Se calcula ahora el flujo en la seccin 0. Al ser supersnico se puede elegir ese punto donde se

quiera ya que la informacin del flujo supersnico no viajas aguas arriba. Se decide que el punto est

en la punta.

Los flujos son iguales

( )

( )

( )

( )

Los valores de se obtienen a travs de tablas tabuladas para el .

c. Calcular el ratio

La relacin de reas es igual a la relacin de , ya que

( )

( )

( )


- 36 -

Problema 9. Resistencia de entrada

Asumiendo un flujo unidimensional, aplicar la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento

en el tune de flujo mostrado en la figura, entre los puntos (0) y (1), y obtener la resistencia de

entrada dada por la integral

( ) ( )

( )

Obtener una expresin asinttica para .

Figura 1.9. Volumen de control utilizado


- 37 -

Resolucin

Se empieza calculando la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )[ ( )

( )[ ( )( )]

( )

El ltimo trmino es cero ya que la superficie 2 se define por unas lneas de corriente donde la

velocidad es perpendicular al vector normal del plano.

( )

Fsicamente la integral de la normal por la superficie en un volumen cerrado es nula.

Volviendo a la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento

( )

Se multiplica escalarmente por .

( )

(

) (

)

( ) ( )

Esta expresin es siempre positiva aunque ya se fij el signo segn el convenio de signos del empuje.

Ahora se fija el para ver como afecta el flujo de entrada. Se adimensionaliza la expresin

( )

( )

La relacin de presiones se encuentra de la siguiente forma

(

)

(

)


- 38 -

( ( )

( ) )

La relacin de reas es igual a la relacin de (parmetro de flujo de masa), ya que

( )

Se introducen estos valores en el Excel y se obtiene la siguiente grfica mostrando que la resistencia

de entrada es siempre positiva.


- 39 -

Problema 10. Compresor

Se quiere realizar un proyecto preliminar de un compresor axial para un turborreactor bajo los

siguientes criterios:

- Relacin de presin:

- Etapas repetidas

- Filas repetidas

- Velocidad axial constante a lo largo del compresor

- Angulo de entrada:

- Temperatura de entrada:

- Nmero de mach de entrada:

La tecnologa accesible permite los siguientes valores:

- Eficiencia politrpica de la etapa:

- Eficiencia politrpica del rotor: ( ) ( )

- Mximo incremento de temperatura por etapa:

Se pide lo siguiente

a. La eficiencia politrpica global (para el compresor entero)

b. La eficiencia isentrpica global

c. El nmero mnimo de etapas

d. La velocidad del compresor

e. La distribucin de presiones totales a lo largo del compresor

f. La distribucin de la presin y temperatura (esttica) a lo largo del compresor

g. La distribucin de reas de paso de las palas a lo largo del compresor


- 40 -

Resolucin

a. Eficiencia politrpica global

En este tipo de problema se suele utilizar la terminologa con subndice que significa inlet (o de

entrada) para la primera etapa.

( )

Se puede encontrar primero

Se hace la suposicin que el compresor tiene etapas. Se define el del motor como la relacin de

presiones de salida de la ltima etapa y la presin de entrada de la primera etapa.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Estos valores de relacin de presin de cada etapa no son iguales.

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( )

( ) ( ))

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

Obteniendo una demostracin de lo que se estudi en el tema del turborreactor. Es importante

notar que esto no es extrapolable para el rendimiento isentrpico.

b. Eficiencia isentrpica global

Como se sabe

( )


- 41 -

La eficiencia isentrpica es

c. Nmero mnimo de etapas

Se sabe que el incremento de temperatura total es

( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

Por lo tanto el nmero de etapas es

(

( )[ ]

)

Utilizando valores numricos

( )

( ) (

) (

)

( ) ( ) ( )

Este es el incremento que se tiene que conseguir con la suma de etapas. Como mximo cada etapa

puede producir solo .

(

)

d. Velocidad del compresor

La velocidad se consigue mediante la ecuacin de Euler.

( )

Donde

Adems

Queda una ecuacin lineal de segundo orden. La es la velocidad tangencial a la entrada y se

tienen todos los datos para calcularla.

( )

( )

La ecuacin para encontrar queda


- 42 -

Esta ecuacin tiene dos soluciones pero una ser negativa por lo que directamente se pone la

solucin positiva.

Tambin es interesante calcular la velocidad absoluta a la salida del rotor.

( ) ( )

e. Distribucin de presiones totales a lo largo del compresor

La distribucin se obtiene a partir de la distribucin de temperaturas totales. Como son etapas

repetidas, entre estaciones homlogas de la etapa ( ) y la etapa ( ) se tiene

( )

( ) ( )( ) ( ) (

( ))

Como son filas repetidas, entre estaciones de una misma etapa se tiene

( )

( )

( )

( )

La presin total en la salida del rotor de la etapa ( ) respeto la presin total a la entrada de la etapa

( ) es

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

(

( )

( )

)

( )

( ( )

)

(

( ))

f. Distribucin de presiones y temperaturas estticas

La temperatura esttica en la entrada de la etapa ( ) respecto a la temperatura esttica en la entrada

de la etapa ( ) es

( )

( ) ( )( ) ( )

Entre estaciones de una misma etapa

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

Las presiones estticas se obtienen a partir de las presiones totales, Mediante las correcciones por

nmero de Mach. Debido a que las velocidades se repiten de etapa en etapa, y que hay similitud

geomtrica entre labes del rotor y estator, los nmeros de Mach se calculan de la siguiente forma


- 43 -

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

La presin esttica en la entrada de la etapa ( ) respecto la presin esttica a la entrada de la etapa

( ) es

( )

( )

( )

( )

[

(

( ))

( ( ))

]

( )

( )

[

( ( ))

]

La presin esttica en la salida del compresor de la etapa ( ) respecto a la presin esttica en la

entrada de la etapa ( ) es

( )

( )

( )

( )

[

(

( ))

( ( ))

]

( )

( )

[

( ( ))

]

g. Distribucin de reas de paso

De la ecuacin de continuidad se tiene

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

La velocidad axial es constante.

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Utilizando ahora la ecuacin de los gases perfectos, se busca la relacin de densidades.

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Se pueden calcular a partir de las relaciones obtenidas en el apartado anterior. Como la densidad

aumenta a lo largo el compresor, las reas de paso son cada vez ms pequeas. Cuanto ms se

quiera comprimir se tiene que hacer labes (o seccin de paso) cada vez ms pequeos y los efectos

viscosos son ms notables hacindolos menos eficientes.

Cuando el radio medio es el mismo para todas las etapas, las relaciones de alturas de paso

coinciden con la relacin de reas, debido a las siguientes proporcionalidades

( )

( )

( )

( )

( )

( )


- 44 -

Problema 11. Turbina

Se pide disear una etapa de turbina (encontrar y ) para potencia mxima ( ),

asumiendo las siguientes condiciones:

- Flujo axial en la entrada y la salida

- constante

-

-

-

-

-

Calcular tambin el valor de ( )


- 45 -

Resolucin

Se calcula el nmero de mach del movimiento del rotor.

De la ecuacin del grado de reaccin

( ) ( )

Se multiplica la ecuacin de por , obteniendo

(

)

Utilizando ahora la igualdad derivada de la optimizacin del parmetro

(

)

(

)

Se obtiene

(

)

(

)

Esto es un polinomio de orden dos, por lo que se obtienen dos soluciones para , pero se descarta

una por ser negativa.

Se puede encontrar el ngulo

Se busca ahora partiendo de la siguiente ecuacin


- 46 -

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

Haciendo un cambio de variable

( )

(

)

( )

( )

( )

Este polinomio tiene seis ecuaciones pero se toman solo la solucin real

Se calcula la temperatura de remanso en el punto entre el estator y el rotor.

El ratio se determina mediante su definicin como

(

)

(

)


- 47 -

Problema 12. Actuaciones de un UAV

Para propulsar un UAV de reconocimiento se considera la posibilidad de utilizar como planta

propulsora un turborreactor de flujo simple. Los requisitos de diseo en operacin esttica a nivel

del mar ISA son:

- Empuje

- Relacin de compresin

- Temperatura de entrada a turbina

- Toberas convergentes

De acuerdo con estos requisitos y suponiendo componentes ideales, se pide:

a. Comprobar que la tobera es crtica y calcular el caudal msico de aire

b. Determinar la temperatura por debajo de la cual, operando en esttico a nivel del mar

ISA, la tobera deja de ser crtica.

Solo para el apartado siguiente, suponer que para cada etapa completa del compresor el

rendimiento politrpico vale , con una configuracin de etapas repetidas, filas repetidas y

velocidad axial constante. Suponiendo tambin que el incremento mximo de temperatura total por

etapa es ( ) , y el flujo de entrada a cada etapa es axial, y a la entrada del comresor es

, calcular:

Nmero mnimo de etapas necesarias para conseguir la relacin de compresin de diseo y rea de

entrada al compresor, teniendo en cuenta el caudal msico encontrado en el apartad a. (si no se ha

calculado, tomar ).


- 48 -

Resolucin

a. Comprobacin de la tobera y caudal msico

Lo primero que se busca es

Sabiendo la temperatura en la entrada del compresor

De la ecuacin de la relacin de potencia compresor turbina (sabiendo que en operacin esttica

.

( )

( )

Se comprueba que tobera se tiene

Se tiene tobera crtica.

(

)

(

)

El empuje adimensional para tobera crtica queda

(

) (

)

Se obtiene el flujo msico

b. Temperatura

Se sabe que la tobera es crtica


- 49 -

(

)

(

)

Por otro lado, sabiendo que es constante, y como hay condiciones estticas ( ), se tiene que

Si la tobera fuese adaptada

( ) (

)

Utilizando la ecuacin del balance de potencia

Obteniendo, multiplicando por la temperatura ambiente

c. Nmero mnimo de etapas y rea de entrada

Ahora se tiene que considerar un rendimiento por lo que los clculos se tienen que hacer desde el

principio.

(

) (

)

La temperatura en la salida del compresor (tomando ) es

Obteniendo una diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida del compresor de

El nmero de etapas por lo tanto queda

[ ( )

] [

] [ ]

El caudal msico se obtiene como


- 50 -

( )

En el problema 2, se obtiene una tabla con los valores de la funcin parmetro de flujo de masa

tabulados para

( )

( )


- 51 -

Problema 13. Actuaciones de un caza

Un caza de combate est propulsado por un motor turbofn, con una geometra variable

convergente divergente, teniendo siempre condiciones de tobera adaptada. Inicialmente la

aeronave vuela a con las siguientes caractersticas

Asumiendo comportamiento ideal en todos los componentes y despreciando el flujo de masa de

combustible con respecto al flujo de aire, se pide lo siguiente

a. Calcular el consumo de combustible en las condiciones de operacin descritas

b. Obtener la relacin de reas

El piloto precede a interceptar un avin enemigo que vuela a una altitud de y avanza la

palanca de potencia para obtener potencia mxima (con ). La operacin consiste en dos

fases: ascender con Mach constante ( ) hasta la altitud final ( ), seguido de una

aceleracin horizontal hasta llegar a un Mach de . Se pide lo siguiente

c. El empuje del motor a y con

El flujo de aire a y con


- 52 -

Resolucin

a. Consumo de combustible

Se utiliza el modelo ISA para encontrar la presin y la temperatura ambiental.

( )

( ) ( ( )

)

(

)

El coeficiente de presin se obtiene de la siguiente forma

( )

Tambin se calcula y

( )

(

)

La fraccin de combustible se calcula de la siguiente forma

( )

( )

Recordar que en esta frmula no es la altitud sino que es el poder calorfico, si no se dice lo

contrario .

De la ecuacin del balance de potencia se asla

( )

( )

( )

Al ser tobera adaptada

[(

)

]

[( )

]


- 53 -

La relacin es

Donde

El flujo de masa se calcula utilizando la frmula del empuje adimensional

[(

) ]

[ ]

Por lo tanto el consumo de combustible

( )

b. Relacin de reas

Debido a la conservacin de masa se puede utilizar la ecuacin de continuidad (por lo tanto flujo de

masa entrante igual a saliente)

( )

( )

La relacin de reas queda

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

c. Empuje del motor a

Debido a que se ha empujado la palanca de gas para dar ms potencia, se han cambiado las

condiciones de vuelo. Generalmente lo que cambia la palanca de gas es la temperatura en la salida

de la combustin. Ahora se tiene

La fuerza a con el nuevo ajuste de temperatura se denomina , este tipo de connotacin

se utilizara para otras variables con el nuevo ajuste.

(

)

Debido a que se han cambiado las condiciones, la relacin de compresin del compresor tambin

habr cambiado. Hay que recordar que solo se mantiene constante la relacin de presiones de la

turbina.


- 54 -

( )

( )

(

)

Para el clculo del flujo msico se suele utilizar el parmetro de flujo para ya que este es la

unidad.

( )

( )

Al ser tobera adaptada

(

)

[(

)

]

[( )

]

(

)

La relacin es

(

)

Se calcula el empuje adimensional (teniendo tobera adaptada)

(

)

(

)


- 55 -

Finalmente el empuje es

(

)

d. Flujo msico a

En este apartado se vuelven a cambiar las condiciones de vuelo. Como tambin se cambia la altura

se debe volver a calcular la presin y la temperatura ambiente. Hay que tener cuidado ya que la

altura en la que se desarrolla este apartado es y se est por encima del lmite de la

troposfera.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Se vuelven a calcular ya que ahora se tiene y

(

)

( )

La nueva relacin de compresin del compresor se calcula otra vez utilizando el balance de

potencias

( )

( )

(

)

Se calcula ahora el flujo msico de forma similar al apartado anterior

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )


- 56 -

2. Motor cohete

Problema 1. Calculo de empujes y de reas de un motor cohete

Un motor cohete para un lanzador orbital tiene las siguientes caractersticas:

-

-

-

-

-

Se pide

a. Calcular la velocidad caracterstica y el gasto por unidad de rea de garganta

b. Calcular el coeficiente de empuje al despegue. Nota: verificar que existe desprendimiento

del flujo en esta condicin

c. Dimensionar las reas y tal que el empuje al despegue sea . Calcular el

flujo msico y el impulso especfico correspondientes.

d. Determina a qu altitud (atmsfera ISA) dejar de desprenderse el flujo, y calcular el empuje

y el impulso especfico en este punto.

e. Determinar a qu altitud estar adaptada la tobera, y calcular el empuje y el impulso

especfico en este punto

f. Determinar el empuje y el impulso especfico en el vaco


- 57 -

Resolucin

a. Velocidad caracterstica y gasto

Se calcula primero el factor ( ), sabiendo que

( ) (

)

( )

(

)

( )

La constante del gas se calcula a partir de la constante universal

Nota: son ms eficientes los propulsantes con una constante alta, y por lo tanto son mejores los

propulsantes con peso molar bajo.

La velocidad caracterstica se obtiene a partir de la siguiente ecuacin

( )

El gasto es

b. Coeficiente de empuje al despegue

Cuando las toberas estn demasiado sobre expansionadas (se asume que en este punto la tobera

est sobre expansionada ya que se est lanzando el cohete al nivel del mar) aparece un

desprendimiento de flujo en la tobera.

El coeficiente de empuje es

( ) ( ( ))

Todos los parmetros del coeficiente de empuje dependen del nmero de Mach (como se ha

demostrado en la teora), por lo tanto es lo primero que se debe calcular.

La relacin de reas es un dato del enunciado . Como se sabe que la relacin de

reas solo depende del Mach y de se tiene una expresin para obtener el nmero Mach.

(

)

( )


- 58 -

Para resolver el valor del nmero de Mach se pueden utilizar mtodos numricos iterativos o utilizar

los valores tabulados de las tablas del parmetro de flujo, ya que tambin esta expresin es igual a la

relacin del parmetro de fulo de masa. Para casos de motores cohete es muy til utilizar tablas

tabuladas del parmetro del flujo de masa para valores de y .

Se sabe que el parmetro ( ) coincide con el valor de parmetro de flujo de masa para el caso

snico. En la garganta se tienen esas condiciones.

( )

De las tablas tabuladas para se obtiene que el Mach de salida es

Si se resolviese de forma iterativa

(

)

( )

(

)

( ) (

)

Empezando por un valor supersnico de por ejemplo , se obtienen los siguientes valores en

las iteraciones

Por lo que la solucin coincide con la obtenida en las tablas, .

Calculando el coeficiente de empuje en el vaco se obtiene

(

)

( )

(

)

( )


- 59 -

Obteniendo finalmente el coeficiente de empuje

( )

Pero como se dijo antes la tobera est sobreexpansionada y es posible que haya desprendimiento de

flujo. Si hubiese desprendimiento de flujo este valor del coeficiente de empuje no sera el correcto.

Se debe comprobar que no haya desprendimiento y si lo hubiese recalcular el coeficiente de empuje.

La relacin de presiones entre la salida y la cmara es

(

)

(

)

Debido a que la presin de salida es menor a veces la presin ambiente ( ), , se

tiene desprendimiento de flujo y por lo tanto el coeficiente de empuje es incorrecto.

Se debe buscar la relacin de reas , donde

es la seccin de salida donde se genera la onda

de choque y empieza el desprendimiento.

Se sabe que en esta seccin , por lo tanto

Utilizando la expresin de la relacin de presiones se obtiene el Mach de salida (corregido debido al

desprendimiento).

(

)

[(

)

]

[(

)

]

El coeficiente de empuje en vaco cambia ya que el nmero de Mach se ha modificado

(

)

( )

(

)

( )


- 60 -

La relacin de reas es

( )

(

)

( )

(

)

( )

Finalmente se puede recalcular el coeficiente de empuje

( ) (

)

c. Dimensionar las reas, calcular el flujo msico y el impulso especfico

El empuje es seiscientas toneladas.

Adems se puede definir el empuje como

Donde

Por lo tanto

(

)

Fsicamente el rea de salida es la que da el enunciado (con la relacin de reas), el rea efectiva

solo se utiliza para encontrar el empuje.

El flujo msico Queda

(

)

El impulso especfico queda

Con este impulso especfico se podra afirmar que el cohete utiliza combustible lquido.

d. Altitud, empuje e impulso, cuando deja de haber desprendimiento

Se debe calcular la altura en la cual la presin de salida (en la seccin del final de la tobera) sea

. En el apartado b se obtuvo el nmero de Mach y la relacin de presiones . Se debe

calcular la altura donde la presin ambiente es . En el apartado de b se obtuvo que


- 61 -

( [ ]) ( )

De las ecuaciones ISA se sabe

( )

(

)

(

)

El coeficiente de empuje en el vaco que se obtuvo en el apartado b sin la correccin de

desprendimiento coincide con el coeficiente a esta altura.

[

] (

)

En toneladas

( )

El empuje ha aumentado debido a que se reduce el efecto de estar sobreexpansionada a medida

que aumenta la altura y disminuye la presin. El impulso especfico aumentar tambin en la misma

proporcin ya que el flujo msico y la aceleracin de la gravedad se mantienen constantes

( ) ( ) ( )

( )

e. Altitud para tener tobera adaptada, calcular empuje e impulso especfico

Se sabe que . De las ecuaciones ISA se debe encontrar el punto en el que la presin

atmosfrica es igual a esta presin

( ) (

)

Se hace una hiptesis: suponer que la altura no excede los ya que si no habra que utilizar

otra ecuacin de la ISA.

( )

(

)

El coeficiente de empuje cuando se tiene tobera adaptada es igual a


- 62 -

( ) (

)

( )

(

)

( )

El empuje queda

( )

El impulso especfico queda (nota: el parmetro de flujo de masa se mantiene constante y el impulso

especfico es proporcional al empuje).

( ) ( ) ( )

( )

f. Empuje e Impulso especfico en el vaco


( ) ( )

( )


- 63 -

Problema 2. Aplicacin de la segunda ley de Newton

Aplicar la segunda ley de Newton a un vehculo lanzador propulsado por un motor cohete y obtener

la ecuacin dinmica que rige su movimiento.

Nota: Considerar el sistema formado por el vehculo y el motor


- 64 -

Resolucin

Se considera un vehculo como el representado en la siguiente figura

Figura 2.1. Vehculo del problema

En un instante la cantidad de movimiento que tiene el vehculo es

( ) ( ) ( )

Se debe encontrar cual es la cantidad de movimiento al pasar un diferencial de tiempo .

El vehculo pierde masa pero gana velocidad. Al sistema se le debe de sumar un trmino que incluye

la cantidad de movimiento que tiene el combustible cuando es expulsado.

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

Segn el principio fundamental del clculo de Newton, la derivada es

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

[

]

Los trminos como por ejemplo se aproximan a cero ya que son infinitesimales de rdenes

superiores.

Se consideran ahora las fuerzas externas al vehculo

Esto podra considerarse como la causa del movimiento donde el efecto, el cambio de cantidad de

movimiento (segunda ley de Newton), es lo que se ha obtenido antes.


- 65 -

La ecuacin de la segunda ley de newton queda

Donde es la fuerza propulsiva y es igual a la expresin obtenida en los apuntes

( )


- 66 -

Problema 3. Sistema de defensa antiarea basado en misiles

El nuevo sistema de defensa antiarea basado en misiles tierra aire basado en misiles tierra aire

lanzados oblicuamente. Los requisitos de diseo son:

- Masa mxima en lanzamiento

- Masa al final del tramo acelerado

- Tiempo del tramo acelerado

- Velocidad final del tramo acelerado

Se pide

a. Plantear la ecuacin del movimiento, despreciando el peso y la resistencia aerodinmica, y

bajo la hiptesis preliminar que el impulso especfico se mantiene constante as como ,

determinar el valor del impulso especfico. Determinar tambin la velocidad en funcin del

tiempo.

Suponiendo que inicialmente la presin en la cmara de combustin es de , la

temperatura de combustin es , el coeficiente adabtico es con

( ) . Se pide

b. Obtener el impulso especfico en el momento de lanzamiento, considerando que se

pretende optimizar las prestaciones a baja altura.


- 67 -

Resolucin

a. Plantear las ecuaciones del movimiento

La ecuacin del movimiento para motores cohetes es

Se recuerda que esta ecuacin es vlida siempre y cuando se introduzcan las fuerzas propulsivas en

el termino . Adems se desprecia el peso, por lo que la contribucin de las fuerzas msicas son

nulas.

( )

[ ( )

]

En este punto no se puede an resolver la ecuacin, por ejemplo utilizando una masa media (no se

indica nada parecido en el enunciado).

La ecuacin tambin se puede escribir como

(

)

Queda una EDO inmediata que se puede resolver.

Esta es la ecuacin de Tsiokovsky, muy utilizada en el estudio de maniobras espaciales.


Sabiendo que ( ) , y volviendo a la ecuacin de Tsiokovsky

( ) ( )


- 68 -

( ( ) )

Se sabe que el tramo acelerado tiene una duracin de y que la velocidad final es de .

(

)

La velocidad queda entonces

( ) (

)

Figura 2.2. Velocidad respecto al tiempo

b. Impulso especfico en el lanzamiento

La ecuacin de la velocidad en funcin de Mach es

Se busca primero el nmero de Mach, al estar optimizada a baja altura, la presin de salida es igual a

la presin atmosfrica al nivel del mar (tobera adaptada).

[(

)

]

[( )

]

La temperatura de salida es

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.5 1 1.5 2


- 69 -

La velocidad de salida queda

El impulso especfico se puede definir como la velocidad de salida partido por la gravedad.


- 70 -

Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad

Evaluar las perdidas por el efecto de las no uniformidades en la tobera axisimtrica de la figura, de

acuerdo con la configuracin de flujos indicada.

Figura 2.3. Figura del problema


- 71 -

Resolucin

Es recomendable hacer un par de comprobaciones primero para ver que no haya errores en el

enunciado. Hay que comprobar que las facciones de flujo msico cumplen la ecuacin de

continuidad.

Hay que comprobar tambin que la media de la entalpia media coincide con la media de las

entalpias del flujo

( )

Dividiendo ahora ambos lados por el flujo msico se obtiene

El problema est bien planteado.

Se calcula ahora el rendimiento por la no uniformidad

( )

( )

( )

( ) [( )

]

( )

( )

Este es el tipo de no uniformidad debido a lo variacin de la entalpia en el flujo de salida. Otro tipo

de no uniformidad es la no uniformidad debido a distribuciones de presiones y temperatura en la

salida.


- 72 -

Problema 5. Tobera aerospike

Calcular el coeficiente de fuerza de la tobera bidimensional de tipo Aerospike que se observa en

la siguiente figura. La relacin de calores especficos . Encontrar tambin las relaciones

y .

Nota: Se recomienda considerar previamente el funcionamiento en diseo.

Figura 2.4. Esquema de la tobera Aerospike

Velocidad del flujo al final de la expansin

Plano de simetra


- 73 -

Resolucin

Se puede observar que hay una desviacin de flujo de . Esto significa que la tobera est

trabajando fuera de las condiciones de diseo. Como dice el enunciado, es recomendable estudiar

primero las condiciones de diseo.

Como se conserva el invariante se tiene

( ) ( )

Hay que recordar que ( ) y .

( )

Conociendo se tiene

Adems se tiene la siguiente expresin que depende del nmero de Mach.

( )

Utilizando las tablas de ( ) se obtiene el nmero de Mach

Conociendo el nmero de Mach se puede obtener y posteriormente .

El ngulo se obtiene observando la siguiente figura

Figura 2.5. Diagrama de la tobera con los ngulos


- 74 -

De la figura

Pudiendo ahora encontrar .

( )

(

)

La altura final es entonces

Por lo tanto la relacin de reas de la tobera es

Se puede utilizar el parmetro de flujo para comprobar el resultado anterior

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Se plantea ahora de nuevo el problema pero considerando ahora que ( ) . Cuando se tiene

esta condicin el flujo se expande ms de lo deseado. Como el flujo es supersnico, la informacin

solo viaja en una direccin y por lo tanto la informacin en la pared es la misma que en la condicin

de diseo (por ejemplo la presin en la pared de la tobera).

Se genera una variacin en el coeficiente de empuje.

( ) (( )

)

Esta expresin se puede demostrar aplicando la conservacin de la cantidad de movimiento e los

dos casos.

( )

Como las condiciones en la pared son las mismas ya que se tiene flujo supersnico y haciendo la

resta entre el caso de diseo y fuera se obtiene

( )

( )

Hay que tener cuidado ya que en el caso de que la presin sea mayor que la de diseo esto no se

podra usar. Eso es debido a que la distribucin de presiones en la pared es distinta al caso de diseo

(a partir de cierto punto, en el principio de la tobera si que es la misma).


- 75 -

Como regla general el coeficiente de empuje aumenta cuando la presin exterior aumenta.

Considerando expansin isentrpica

(

)

(

)

Cuando se tiene ( ) el invariante se mantiene igual que en condicin de diseo.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Obteniendo una un Mach para esta a partir de las tablas.

La relacin de presiones para el caso de estudio se puede ahora calcular

(

)

(

)

El coeficiente de empuje de diseo es

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

Finalmente se obtiene el coeficiente de empuje

( ) (( )

)

( )


- 76 -

Problema 6. Estudio de tobera utilizando el mtodo de las caractersticas

Cuando una tobera, que ha sido diseada para tener condiciones uniformes y flujo axial a la salida,

opera con presin ambiente inferior de la de diseo (para la cual sera igual a la ambiente), el flujo

aguas abajo experimenta una sucesin de expansiones y compresiones, dando lugar a una

configuracin de flujo que comnmente se conoce con el nombre de diamantes. Todo ello, hasta

que, a suficiente distancia aguas abajo, el flujo se estabiliza en unas condiciones transversales

uniformes de presin (realmente, no est tan claro que la velocidad sea tambin exactamente

uniforme, si las ondas de choque presentan una curvatura apreciable, ya que el incremento de

entropa ser distinto para cada lnea de corriente).

a) Haciendo uso de la ecuacin de la cantidad de movimiento (formulacin integral), obtener la

velocidad suficientemente aguas debajo de la tobera, donde puede suponerse uniformidad

tanto de presin como de velocidad en funcin de las variables del flujo en la seccin de

salida de la tobera.

Considrese una tobera bidimensional diseada para que a la salida el flujo se axial y uniforme, con

.

b) Indicar la Figura 2.6 la configuracin de lneas caractersticas en el chorro de salida en

condiciones de diseo.

Figura 2.6. Diagrama de la tobera

Supngase ahora que la presin ambiente es ( ) y que .

c) Indicar qu fenmeno va a tener lugar a la salida, as como las condiciones de contorno que

deben considerarse. Justificar razonadamente que, a partir de la seccin de salida , la

configuracin del flujo hasta cierta distancia equivaldra a la impuesta por una placa plana de

cierta longitud, deflectada cierto ngulo , tal como se muestra en la Figura 2.7.

d) Encontrar el ngulo .

Figura 2.7.tobera con plano en la salida

Plano de simetra

Plano de simetra


- 77 -

e) Dibujar las lneas caractersticas, e indicar cules de ellas son rectas. Puede tener lugar

algn tipo de incompatibilidad en alguna zona del flujo? Justificarlo. Fsicamente, en qu se

traducira esta incompatibilidad?

Recomendacin: en caso de recurrir a una solucin numrica, generar la malla a partir de slo 2

caractersticas, numerado las caractersticas de una familia, con nmeros, y los de la otra, con letras.


- 78 -

Resolucin

a) Condicin en el infinito

Se utiliza el teorema de conservacin de la cantidad de movimiento. El volumen de control utilizado

se puede observar en la Figura 2.8.

Figura 2.8. Volumen de control utilizado para la formulacin integral

La formulacin integral queda

( )

( )

( )

( )

Viendo la Figura 2.8 se pueden desarrollar las integrales

( )

( )

( )

La presin sobre la superficie lateral es siempre la presin ambiente

Si se tiene una integral cerrada se debe cumplir que

Obteniendo

Plano de simetra


- 79 -

( )

b) Configuracin de las lneas caractersticas para la condicin de diseo

Si las condiciones uniformes se mantienen (y se considera mezcla turbulenta, dominio uniforme), las

lneas caractersticas y son rectas y las propiedades del flujo son uniformes.

Figura 2.9.Lineas caractersticas para la condicin de diseo

c) Operacin con presin ambiente por debajo de la presin de ambiente de diseo

Como la presin ambiente es menor que la de diseo, hay una expansin de Prandtl Meyer. El

abanico de expansin empieza con (es decir ) correspondiendo a una relacin

de presiones

(

)

(

)

Al final de la expansin se tiene presin ambiente (igual a ).

[(

)

]

[(

)

]

[(

)

]

Figura 2.10. Tobera equivalente con plano inclinado

Plano de simetra

Plano de simetra


- 80 -

Dado que en las expansiones de Prandtl Meyer bidimensionales la presin es constante a lo largo

de las lneas caractersticas, el problema a efectos prcticos equivale a considerar la configuracin de

la Figura 2.10.

d) ngulo

Se calcula la variable que solo depende de

Siguiendo el invariante se tiene (ver Figura 2.10)

( )

(

) (

)

Mirando el invariante se tiene

( )

Adems al ser una zona uniforme

( )

( ) ( )

Se encuentra fcilmente el valor de ( )

(

) (

)

( )

Finalmente el ngulo es

e) Dibujar las lneas caractersticas, buscar incompatibilidades en alguna zona del flujo

El proceso de clculo se basa en ir buscando los parmetros de los puntos de cruce entre las lneas

caractersticas como se observa en la Figura 2.11. Se toman una serie de lneas y puntos en sus

cruces. Cuantas ms lneas se tomen ms precisin se tiene.


- 81 -

Figura 2.11. Seleccin de putos en los cruces de las lneas caractersticas

Ya se conocen las propiedades de las primeras lneas caractersticas, como por ejemplo

Adems siguiendo las lneas caractersticas se sabe que

Lo ms simple es confeccionar una tabla con los distintos puntos e ir calculando los distintos

parmetros que se van obteniendo.

Se calcula para los dos primeros casos

Como el punto viene de un invariante negativo salido directamente de (sin cruzarse con otra

lnea caracterstica) se puede ver fcilmente que los valores son iguales, hay que recordar que el

nmero de Mach se mantiene constante en la lnea de corriente divisoria.

En el punto al estar en la lnea de simetra se conoce el ngulo que es igual al ngulo que tiene

esa lnea (nulo).Se miran primero los datos que se tienen

Punto

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tabla 2.1. Valores iniciales de los puntos conocidos

Lnea de

corriente

divisoria

Plano de

simetra


- 82 -

Se escoge ahora El punto con ms informacin (punto ). Se conoce tanto el invariante como el

ngulo por lo que se puede obtener y a su vez .

Obteniendo segn las tablas

Los otros valores ya son triviales

Se actualiza ahora la tabla, hay que recordar que adems se conserva el invariante encontrado en las

otros puntos.

Punto

- - - - - - - - - -

Tabla 2.2. Tabla con primera actualizacin

Se podran ahora resolver tanto el punto como el punto ya que se tienen dos datos en cada

punto. Se muestra a continuacin la resolucin del punto que consiste en el punto donde se

cruzan dos invariantes conocidos. Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

{

{

Como y son iguales que en el punto , todos los valores restantes son tambin los mismos.

Para el caso del punto la resolucin es casi idntica a la resolucin del punto .


- 83 -

Se muestran todos los resultados en la tabla ya acabada.

Punto

Tabla 2.3. Tabla finalizada

Si se hiciese con mayor precisin al aumentar el nmero de caractersticas se obtendra un resultado

parecido al siguiente.

Figura 2.12. Resultado del anlisis ms intensivo

Se puede ver como las lneas caractersticas se entrecruzan. Esto es una irregularidad

caracterizada por la aparicin de una onda de choque oblicua, situada en el cruce que est ms a la

izquierda. La onda de choque tiene la pendiente de la primera caracterstica afectada.

A partir de ese punto es necesario recurrir a las ecuaciones de ondas de choque oblicuas para

conocer las condiciones del flujo inmediatamente despus de la onda de choque. La generacin de

entropa a travs de la onda de choque dificulta la utilizacin del mtodo de las caractersticas, ya

que se tiene que aplicar por zonas y naturalmente solo donde el flujo sea supersnico. La siguiente

figura muestra el desarrollo de las lneas caractersticas.


- 84 -

Figura 2.13. Aparicin de ondas de choque en la expansin

Dependiendo de las condiciones particulares ( y ), se podra dar el caso de que las ondas

de choque oblicuas no lleguen al eje de simetra, sino que apareciese una onda de choque normal,

dando lugar a una configuracin en Y. Esto pasa cuando el ngulo que forma la onda de choque

oblicua con el eje de simetra sea demasiado grande.

Figura 2.14. Configuracin de onda de choque en Y

En el caso de tobera con flujo sobre expansionado tambin se puede tener una configuracin tipo

diamante. Esto pasa cuando la presin de salida sea ligeramente inferior al ambiente de manera que

tambin se forme una onda de choque en Y justo a la salida.

Figura 2.15. Configuracin de onda de choque de tipo diamante

Si la relacin de presiones fuese tal que se produjese una onda de choque normal en la salida, el

flujo posterior a la onda de choque sera subsnico y no se tendra configuracin de diamante. Se

tendra una tobera crtica.

Figura 2.16. Tobera crtica

Plano de simetra

Expansin

Lnea de corriente divisoria

Ondas de

choque oblicuas

Expansin


- 85 -

Problema 7. Cohete de agua

La figura adjunto representa un cohete propulsado por agua a presin utilizando botellas de 2 litros

de plstico. Inicialmente, el volumen de agua es y el resto es aire. Mediante una bomba

de aire se eleva la presin dentro de la botella hasta con , a partir de la cual

el tapn cede y sale disparado y comienza a salir el agua a presin. Se considera que el cohete deja

de propulsar cuando se acaba el agua de su interior.

Se pueden usar las siguientes hiptesis:

- En todo momento dentro de la botella la presin de aire y de agua es uniforme (gradiente de

presin por fuerzas de gravedad y de inercia negligible)

- El gas experimenta una expansin adiabtica y sin degradacin de energa (proceso

isentrpico)

- El agua es un fluido incompresible

- La presin de estancamiento del agua se mantiene constante hasta la salida (teorema de

Bernouilli)

Se pide encontrar el empuje y razonar que efectos tendra sobre las actuaciones del cohete la

utilizacin de un lquido con mayor densidad. Adems se pide encontrar la variacin del impulso

especfico en funcin de la masa de propulsante

Nota: el lquido siempre descarga a la atmosfera con una presin esttica igual a la presin ambiente

Figura 2.17. Cohete de agua

Agua

Aire


- 86 -

Resolucin

La ecuacin del empuje es tambin valida para fluidos lquidos

( )

Todos los lquidos (al ser incompresibles) se descargan a la atmosfera a presin atmosfrica.

La velocidad de escape se obtiene utilizando el teorema de Bernouilli. Se evala la presin de

estancamiento en el lmite superior del agua (condicin , con presin igual del gas interior) y en el

tapn (condicin de salida).

( )

El flujo msico de salida es

Se han despreciado los efectos viscosos en el agujero de la botella ( ).

Obteniendo el empuje

( )


( )

Se observa que el empuje no es funcin de la densidad del fluido. Se utiliza agua ya que se consigue

un flujo msico pequeo obteniendo mayor duracin de tiempo de empuje. En el caso de poner por

ejemplo solo aire, todo el flujo se expulsara de golpe y el cohete apenas obtendra un impulso.

Mirando ahora la variacin de la velocidad de salida respecto al tiempo

( )

Se puede relacionar la presin del gas con su volumen.

( ) (

( ))


- 87 -

( (

( ))

)

Como se obtuvo antes el impulso especfico es igual a la velocidad

( (

( )

)

)

El volumen vara en el tiempo de la siguiente forma

Esta integral se debe resolver numricamente. Se puede ver como la integral es el flujo msico

partido por la densidad.

El hecho de utilizar un fluido con mayor densidad, aumenta el tiempo de descarga para una

velocidad de escape igual. Es obvio que tambin aumenta drsticamente el peso. Adems hasta que

el lquido que sale adquiere la velocidad de escape se obtiene un transitorio con un bajo.

El hecho de tener un rea de salida mayor aumenta el empuje per tambin aumenta el flujo de

salida por lo que disminuye el tiempo de impulso.


- 88 -

Problema 8. Diseo de una tobera ideal bidimensional

Se pide disear una tobera ideal bidimensional para expandir el fluido desde unas condiciones

cercanas a las snicas, desde hasta . Utilizad cuatro lneas caractersticas con

.

Figura 2.18. Tobera con las cuatro lneas caractersticas


- 89 -

Resolucin

Segn la numeracin de la Figura 2.18, se identifican las diferentes regiones

uniforme

simple

simple

no simple

uniforme si el panel es recto, aunque an no se ha determinado la geometra

Como clculo preliminar al conocer se puede encontrar .

Siguiendo las lneas caractersticas, se pueden identificar los puntos con invariantes iguales

Y tambin

Adems se conoce el ngulo en los puntos de la pared inferior

El punto con mayor informacin es el punto . Se empieza buscando la informacin de ese punto.

Como se conoce el nmero de Mach se pueden encontrar fcilmente y .

(

) (

)

Tambin se pueden obtener fcilmente los invariantes y las direcciones

( )

( )

Al conocer el Mach de salida se pueden calcular valores para el punto y .

(

) (

)


- 90 -

Tambin se pueden obtener fcilmente los invariantes

( )

( )

Y de forma similar a antes, las direcciones

Es muy til en este tipo de ejercicio utilizar tablas para ir almacenando la informacin e ir pudiendo

elegir los siguientes puntos que se deben calcular. En la primera tabla se pueden ver los valores

obtenidos hasta ahora y as como las igualdades debidas a los invariantes.

Punto

0

Tabla 2.4. Primeros datos obtenidos

Se debe ahora buscar un punto donde se tengan suficientes datos. Por ejemplo el punto , se

conocen los dos invariantes.

{

{

A partir de este nmero y utilizando tablas se puede obtener el nmero de Mach y a partir de ese

nmero se puede encontrar . Finalmente se obtienen las direcciones y

.


- 91 -

Punto

0

Tabla 2.5. Datos actualizados de la segunda iteracin

Mirando la lnea caracterstica que va des hasta

, se observan cuatro puntos. Se obtiene

primero la diferencia entre y

y se divide por la cantidad de puntos en la lnea menos uno.

A partir de este valor se pueden obtener los invariantes de los otros dos puntos de la lnea

Al tener ahora los dos invariantes de esos puntos se pueden obtener el resto de parmetros de esos

puntos.

{

{

Similarmente para el punto .

{

{


- 92 -

Se vuelve a actualizar la tabla.

Punto

0

Tabla 2.6. Datos actualizados de la tercera iteracin

Como se tiene que

y adems se sabe que y se tienen dos variables para resolver el

sistema de dos ecuaciones y cuatro incgnitas para el punto .

{

{

( )

De forma similar se encuentra el punto

{

{

( )


- 93 -

Punto

0

Tabla 2.7. Actualizado el punto 5 y y los invariantes iguales

Se pueden encontrar ahora el resto de puntos ya que se conocen todos los invariantes. Se empieza

por el punto .

{

{

Se continua con el punto .

{

{


- 94 -

Finalmente se obtiene el punto .

{

{

Se muestra a continuacin la tabla finalizada.

Punto

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