AVERAGE Ova funkcija odgovara aritmetičkoj sredini na negrupisanim podacima i jednaka je količniku sume svih vrijednosti i ukupnog broja vrijednosti. Aritmetička sredina uzorka i aritmetička sredina populacije računaju se na isti način ali su im korištene oznake različite. Za slučaj uzorka, koristimo se formulom:

n

1i

in21 x

n1

nx...xx

x

gdje je: n - ukupan broj vrijednosti u uzorku x - aritmetička sredina uzorka xi - pojedinačne vrijednosti - grčko veliko slovo sigma koje ukazuje na operaciju sabiranja

gdje je: N - ukupan broj vrijednosti u populaciji - aritmetička sredina populacije

gdje je: fi - odgovarajuća frekvencija klasnog intervala (i = 1, 2, …, k) n - ukupan broj frekvencija x - oznaka za aritmetičku sredinu uzorka xi - srednja tačka svakog klasnog intervala

Kada imamo slučaj da opažene vrijednosti predstavljaju osnovni skup (populaciju), koristimo se obrascem:

Sintaksa AVERAGE ( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 brojčanih argumenata. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti, ili prazne ćelije,

te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula se uključuju. Kada računamo prosječnu vrijednost trebamo voditi računa o razlici između praznih ćelija

i onih koje sadrže vrijednost nula posebno ako smo očistili potvrdni okvir Zero values na kartici View, naredba Options, izbornik Tools.

Aritmetička sredina se veoma mnogo koristi kao mjera centralne tendencije i ima nekoliko važnih osobina: svaki skup istorodnih podataka na intervalnom i omjernom nivou ima aritmetičku sredinu, sve vrijednosti u skupu se uzimaju u obzir kod izračunavanja, jedan skup ima samo jednu aritmetičku sredinu, veoma je korisna za poređenja dvije ili više populacija, suma devijacija pojedinačnih vrijednosti od aritmetičke sredine uvijek je jednaka nuli.

Aritmetičku sredinu na grupisanim podacima možemo izračunati posredstvom ugrađenih funkcija SUMPRODUCT i SUM (iz kategorije matematičkih funkcija), prema obrascu:

N

1i

iN21 x

N1

Nx...xx

μ

k

1i

iik21

kk2211 xfn1

f...ffxf...xfxf

x

5

Vaganu aritmetičku sredinu možemo izračunati kao i u slučaju grupisanih podataka posredstvom funkcija SUMPRODUCT i SUM, prema obrascu:

)w/()x

k

1i

ii

gdje su wi odgovarajući ponderi za brojeve xi.

Primjer 1. Težine (u kg) slučajno odabranih proizvoda sa proizvodne linije su:

w(w...ww

xw...xwxwx

k

1i

ik21

kk2211w

Izračunati aritmetičku sredinu. Rješenje Primjenom obrasca za izračunavanje aritmetičke sredine na uzorku, dobijamo:

Dakle, prosječna težina iznosi 89,75 kg.

75,986

538,56

6,905,884,919,878,893,096

xxxxxxx 654321

Na slici 1. je pokazano kako se do ove vrijednosti može doći posredstvom gotove Excelove funkcije AVERAGE.

Slika 1.

Naravno, do ove vrijednosti možemo doći i ako argumentima funkcije na neki drugi način obuhvatimo opažene vrijednosti, ili ako polje podataka imenujemo, kao na slici 2.

Slika 2.

75,986

AAAAAA)6A:1A(VERAGEA 654321

6

Primjer 2. Izvršili smo 10 mjerenja pulsa jednog čovjeka i dobili ove vrijednosti:

a devijacija pojedinačnih mjerenja pulsa od tmetičke sredine jednaka nuli.

Izračunati prosječan puls i pokazati da je sumnjihove ariRješenje Prosječan puls odgovara aritmetičkoj sredini, odnosno količniku sume izmjerenih vrijednosti i broja mjerenja:

i sume devijacija pojedinačnih mjerenja od ove prosječne

polju ćelija A2:J2 date su devijacije pojedinačnih mjerenja pulsa od njihovog prosjeka.

Dakle, prosječan puls u minuti, odnosno aritmetička sredina pulsa je 64. Izračunavanje prosječne vrijednostivrijednosti, prikazano je na slici 3.

Slika 3 . U Primjer 3. Izračunati aritmetičku sredinu sljedećih vrijednosti uzorka:

Rješenje Primjenom formule za izračunavanje aritmetičke sredine, dobijamo:

cel, računamo veoma jednostavno posredstvom

Slika 4.

Prosječnu vrijednost, u proračunskoj tablici Exugrađene funkcije AVERAGE, kao na slici 4.

6464656063627162686164x...xx

10

6401010

1021

3625,5888

x 821 42,96,66,25,65,44,13,66,94,5x...xx

7

Primjer 4. U jednoj ordinaciji opšte medicine u toku šest dana izvršeno je 216 pregleda, koji su na

rosječan broj pregleda dnevno?

sljedeći način raspoređeni po danima:

Koliki je pRješenje Prosječan broj pregleda dnevno je:

, do rezultata koji odgovara prosječ

Slika 5.

Posredstvom funkcije AVERAGE nom broju pregleda dnevno, dolazimo kao na slici 5.

Primjer 5. U jednoj kompaniji brojno stanje zaposlenih na početku navedenih mjeseci 1999. godine bilo je sljedeće:

olugodišnji prosjek zaposlenih? Koliki je pRješenje S obzirom na prirodu podataka, prosječan broj zaposlenih se utvrđuje metodom hronološkog prosjeka po poznatoj formuli:

Slika 6.

Kako se do ovog rezultata dolazi posredstvom funkcije AVERAGE, vidimo na slici 6.

3666

216422633233953

5861-n

x 670620540520500

2560

2x

x...x2x n

1-n21

02700

8

Primjer 6. Izračunati apsolutne pokazatelje dinamike za proizvodnju raži, soje i duhana prema sljedećim podacima (u tonama):

Rješenje Prosječna godišnja proizvodnja raži, soje i duhana data je na slici 7.

Slika 7. Srednji apsolutni nivoi iznose:

oizvodnje raži

do 1998. godine izno

998. godine idnja godišnje prosječno opadala za 333,33 t.

Možemo zaključiti da je u periodu od 1992 do 1998. godine prosječan nivo priznosio 14571,43 t pa je proizvodnja godišnje prosječno opadala za 666,67 t. Prosječan nivo proizvodnje soje u periodu od 1992 sio je 114000 t, pa je

znosio je 12285,71 t proizvodnja godišnje prosječno rasla za 8666,67 t. Prosječan nivo proizvodnje duhana u periodu od 1992 do 1pa je proizvoPrimjer 7. Wheatstonovim mostom izvršeno je pet mjerenja jednog otpora pod istim

, 1581 . ajvjerovatnija vrijednost mjerenog otpora ?

okolnostima. Dobijene su vrijednosti: 1584 , 1578 , 1586 , 1582Kolika je nRješenje Najvjerovatnija vrijednost mjerenog otpora je njegova aritmetička sredina:

ija A2:E2.

Slika 8.

Pretpostavimo da su vrijednosti o mjerenoj veličini smještene u polju ćelProsječnu vrijednost mjerenog otpora možemo izračunati kao na slici 8.

Ω 15811582158615785841 2,158255

RRRRRR 54321

9

Primjer 8. U jednoj kompaniji je zaposleno 10 ljudi koji rade na prodaji automobila. U toku prošlog

omobila. aritmetičku sredinu broja novoprodatih automobila.

mjeseca prodali su: 14, 22, 7, 12, 15, 9, 11, 15, 25, 20 novih autIzračunati Rješenje Aritmetička sredina broja prodatih novih automobila odgovara količniku sume ukupnog broja prodatih automobila i broja zaposlenih radnika:

Slika 9.

Dakle, prosječan broj novoprodatih automobila po zaposlenom je 15. U ovom primjeru imamo populaciju pa smo u oznaci za aritmetičku sredinu koristili grčko slovo . Naravno, Excel ne pravi razliku i na identičan način (slika 9.) kao i u prethodnimprimjerima izračunava prosječnu vrijednost.

Primjer 9. U jednoj državi ocijenjen je ukupan broj ljudi koji gledaju TV svaki dan u sedmici, od ponedjeljka do nedjelje. Rezultati dati u milionima gledalaca počev od ponedjeljka su:

Izračunati aritmetičku sredinu. Rješenje: 87 miliona gledalaca u prosjeku svaki dan u sedmici gleda TV (slika 10.).

Slika 10.

5110150022551119512172214x...xx 1021

μ

1010

gledalaca mil. 878

6098

7,871,77789,936,908,899,91x...xx 821 8

μ

10

Primjer 10. Na slici 11. u polju ćelija A1:C25 date su kvartalne prodaje određenih proizvoda u mil. $ u

ije AVERAGE i kvartalne sezonske

Slika 11.

periodu od 1990-te do 1995. godine. Odrediti centrirane pokretne sredine posredstvom funkcindekse metodom odnosa prema pokretnim sredinama.

Rješenje Na slici 1. date su vrijednosti za centrirane pokretne sredine i prikazane odgovarajuće sintakse; izračunate vrijednosti odgovaraju vrijednostima izraza:

kod četvorokvartalnog prosjeka paran, M = 4, i m = M/2 = 2, gornji izraz postaje:

pokretnu sredinu. Za treć

3:C5). Za četvrti kvartal centrirana pokretna sredina (t = 4) je:

m).-(n ..., 1,mt , y2

yy2M

1k

mtktmt

1111

Kako je broj članova

22. ..., ,3t , y2

yy24 2tkt2t

1111

Za prva dva kvartala nije moguće izračunati centriranu

1k

i kvartal centrirana pokretna sredina (t = 3) je:

4750,85,617,1211111

i odgovara sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C2;C6);C

106,47,624

y2

yyyy24 54321

2

450,826,45,6,41111

67,1210

24y

2yyyy

24 65432

11

i odgovara sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C3;C7);C4:C6), i td. Centrirana pokretna sredina vezana za treći kvartal (t = 3):

ja je prikazana na slic zi

e sve ostale

end

jućim centriranim pokretnim sredinama

dati dgovara količniku

vrijednosti u ćeliji C4 i prve centrirane pokretne sredine u ćeliji D4.

4

takođe, odgovara i sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C2:C5);AVERAGE(C3:C6)), koi 12. Sada je dovoljno mišem selektovati ćeliju D4 (u kojoj se nalaizračunata vrijednost) i kursor miša postaviti na donji desni ugao selektovane ćelije; sa pojavom znaka "+", držeći tipku miša i povlačeći jnaniže (ćelije D5:D23), Excel će se potruditi da nam izračuna

750,85,62

7,12106,47,624

y2

yyyy24 54321

111111

vrijednosti koje odgovaraju centriranim pomičnim sredinama.

Slika 12. Za izračunavanje tipičnih sezonskih indeksa razvijeno je nekoliko metoda a najčešće

(T), cikličnu komponentu (C), sezonsku korišteni metod je metod odnosa prema pokretnim sredinama. Originalni podaci u ćelijama C2:C25 sadrže trkomponentu (S), i slučajnu komponentu (I). Izračunavanjem centriranih pokretnih sredina iz originalnih podataka su odstranjene komponente S i I, tako da naši podaci sada nose informaciju o trendu i cikličnoj komponenti.Dakle, dijeljenjem originalnih podataka sa odgovaradobijamo vrijednosti koje sadrže komponente S i I. Ovo su specifični sezonali i množenjem njihovih vrijednosti sa brojem 100 možemo im formu indeksa. Prvi sezonal za ljeto 117,994 (ćelija E4 na slici 13.) o

Sada je mišem potrebno selektovati ćeliju (E4) u kojoj se nalazi količnik vrijednosti ućelijama C4 i D4 i pojavom znaka "+" u donjem desnom uglu, uz držanje tipke miša povlačimo je naniže (ćelije E5:E23). Proračunska tablica Excel će se potruditi da namizračuna sve ostale vrijednosti koje odgovaraju količnicima originalnih vrijednosti i odgovarajućih centriranih pokretnih sredina. Kompletni rezultati dati su na slici 13.

12

Slika 13. Na kraju je potrebno izračunati aritmetičke sredine iz svih tipičnih zimskih, proljećnih, ljetnih i jesenskih indeksa pa je zato naše podatke potrebno filtrirati. Usrednjavanjem, iz naših filtriranih podataka, posredstvom funkcije AVERAGE eliminišemo slučajnu komponentu I, tako da dobijamo četiri indeksa koji ukazuju na tipične sezonske indekse.

13

Aritmetičku sredinu sezonskih jesenjih indeksa možemo izračunati kao na slici 14.

Slika 14. Analogno, aritmetičke sredine zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa iznose:

Suma aritmetičkih sredina jesenjih, zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa je: 400,9248369 pa je zato potrebno izvršiti dodatnu korekciju za iznos 400/400,9248369=0,99769324Tako dobijamo tipične indekse:

1.

Prosječan indeks je 100. Indeks za ljeto nam ukazuje da je prodaja proizvoda 14,14%kvartala. Indeks za jesen nam ukazuje da je prodaja proizvoda 51,9 % iznad prodaje prosječnog kvartala.

Indeks za zimu nam ukazuje da je prodaja proizvoda 23,51 % ispod prodaje prosječnog kvartala. Indeks za proljeće nam ukazuje da je prodaja proizvoda 42,53% ispod prodaje prosječnog kvartala.

iznad prodaje prosječnog

14

Aritmetičke sredine sezonskih jesenjih, zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa možemo izračunati i posredstvom sintaksi prikazanim na slikama 15, 16 i 17.

Slika 15.

15

Slika 16.

Slika 17.