PROSTIRANJE SLUČAJNIH

GREŠAKA U POLIGONSKOM

VLAKU

Teorija grešaka geodetskih merenja

(Račun izravnanja 1)

Prof. dr Branko Božić, dipl.geod.inž.

Odsek za geodeziju i geoinformatiku

18.12.2017.

• UVOD

• OCENA GREŠAKA KOORDINATNIH

RAZLIKA

• OCENA GREŠAKA DIREKCIONIH UGLOVA

STRANA

• ANALIZA GREŠKE ZATVARANJA

POLIGONA

• ANALIZA GREŠKE ZATVARANJA

UMETNUTOG VLAKA

SADRŽAJ

1. UVOD

Specifikacijama projekta definišu se različiti nivoi tačnosti

Prisustvo grubih grešaka u merenjima nije prihvatljivo

Kako znamo da li merenja sadrže grube greške?

U poligonskom vlaku merenja su međusobno nezavisna –

merenja dužina nezavisna su od merenja uglova

Koordinatne razlike zavise od merenja dužina i uglova

Pri oceni grešaka koordinatnih razlika koristi se specijalni zakon

prostiranja grešaka (merenja su međusobno nezavisna)

Pri oceni grešaka funkcija u kojima se koriste sračunate

vrednosti koordinatih razlika (greške zatvaranja poligona i sl.)

mora se uzeti u obzir korelacija i primenjuje se opšti zakon

prostiranja grešaka merenja

2. OCENA GREŠAKA KOORDINATNIH

RAZLIKA

Koordinatne razlike (x,z ili x, y ) u poligonskom vlaku računaju se kao:

sin

cos

dy

dx

(1)

Parcijalni izvodi koordinatnih razlika po promenljivim x, y (koordinatnim razlikama) glase:

cossin

sincos

dy

d

y

dx

d

x

Kovarijaciona matrica ocena koordinatnih razlika jedne poligonske strane glasi:

(2)

2

yyx

yx

2

x

2

2

d

yx yxd

y

d

x

0

0

y

d

y

x

d

x

K

,

,

,

PRIMER 1: Dužina poligonske strane iznosi 500.87 m sa sd = 5 cm, a direkcioni

ugao strane 30o1030 sa s= 9. Sračunati vrednost koordinatnih razlika i oceniti

njihova standardna odstupanja.

(3)

y

x

3.OCENA GREŠKE DIREKCIONOG UGLA

STRANE

Izrazi (1) sadrže direkcione uglove strana. Do njih se dolazi na osnovu merenja

prelomnih i veznih uglova

Neka su mereni unutrašnji uglovi u zatvorenom poligonu u pravcu kretanja

kazaljke na satu i neka se direkcioni uglovi računaju na osnovu izraza oblika:

n

n

1n

1n

n 180

Primenom specijalnog zakona prostiranja grešaka, standardno odstupanje

direkcionog ugla poligonske strane računa se kao:

22

nn

1n1n

n

Vezni ugao

Direkcioni ugao prethodne strane

(4)

(5)

Varijansa merenja veznog ugla

Varijansa direkcionog ugla prethodne strane

4. ANALIZA GREŠKE ZATVARANJA

POLIGONA

Geometrijski uslovi poligona:

0y

0x

1802ni

)( Zbir unutrašnjih uglova u zatvorenom poligonu

Zbir koordinatnih razlika po x

Zbir koordinatnih razlika po y

Odstupanja u odnosu na definisane uslove nazivamo – nezatvaranjem

U odnosu na sračunatu vrednost nezatvaranja, statističkom analizom utvrđuje se

njena značajnost

Značajno nezatvaranje ukazuje na prisustvo grubih grešaka, opažanja se

moraju proveriti, po potrebi odbaciti i ponoviti

PRIMER 2: Sračunati uglovnu i linearnu grešku zatvaranja poligona. Podaci

su dati u tabeli 1 (uglovi mereni 4 puta).Odrediti očekivane vrednosti

grešaka zatvaranja sa 95% nivoom poverenja i odgovoriti na pitanje – dali

postoji sumnja da su u merenjima sadržane grube greške?

REŠENJE:

Provera uglovnog nezatvaranja. Standardno odstupanje zbira uglova u poligonu pri verovatnoći od

68.7% iznosi:

22

2

2

1 ... n

S obzirom da su uglovi mereni 4 puta (dva girusa), to znači da je broj stepeni slobode jednak 3, a

odgovarajuća kritična vrednost t iz tabele t - rasporeda iznosi t0.025,3 =3.183.

Dozvoljeno uglovno nezatvaranje pri nivou poverenja od 95% iznosi:

Na osnovu podataka iz tabele 1, greška zatvaranja poligona iznosi 5400019 – (5-2) x 180 = 19,

Kako je 19 24.6 pri verovatnoći od 95% ne može se tvrditi da merenja sadrže grube greške.

Računanje direkcionih uglova: S obzirom da nije dat početni azimut usvajamo 00000 uz

pretpostavku da je vrednost oslobođenja prisustva slučajnih grešaka. Ista bi pretpostavka važila i da je

početni azimut sračunat, jer se proverava geometrijsko zatvaranje, a ne i orijentacija poligona. Rezultati

računanja direkcionih uglova dati su u tabeli 2.

Računanje linearnog nezatvaranja poligona: Prilikom računanja linearnog nezatvaranja mora se uzeti

u obzir korelacija između koordinatnih razlika x i y. Nalaženjem parcijalnih izvoda (2), Jakobijan

matrica A datog poligona izgleda (Tabela 3). Kako su uglovi i dužine mereni nezavisno, to između njih

nema korelacije, a odgovarajuća kovarijaciona matrica merenja glasi (Kl, tabela 4)

"6.249.31.36.31.35.3183.3s22222

f

Stanica vizura Dužina s(m) Zadnja

vizurastanica Prednja

vizura

ugao s()

A B 430.70 0.02 E A B 110-24-40 3.5

B C 257.08 0.02 A B C 87-36-14 3.1

C D 337.70 0.02 B C D 125-47-27 3.6

D E 316.36 0.02 C D E 99-57-02 3.1

E A 226.90 0.02 D E A 116-14-56 3.9

540-00-19

A

E

D

C

B

Od Do Dir.ugao Ocena greške ()

A B 0-00-00 0

B C 267-36-14 3.1

C D 213-23-41 (3.12+3.62) = 4.8

D E 133-20-43 (4.82+3.12) = 5.7

E A 69-35-39 (5.72+3.92) = 6.9

cos AB - dAB sin A

B 0 0 .. 0 0

sin AB dAB cos A

B 0 0 . 0 0

0 0 cos BC - dBC sin B

C . 0 0

0 0 sin BC dBC cos B

C . 0 0

... ... ... ... . ... ...

0 0 . cos EA - dEA sin A

B

0 0 sin EA dEA cos E

A

Tabela 2: Ocene grešaka sračunatih direkcionih uglova strana

Tabela 1: Rezultati merenja i njihovi standardi

Tabela 3: Matrica izvoda koordinatnih razlika po argumentu dužine i direkcionog ugla - A =

dAB2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 (AB/)2 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 dBC2 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 (BC/)2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 dCD2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 (CD/)2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 dDE2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 (DE/)2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 dEA2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 (EA/)2

Tabela 4: Kovarijaciona matrica opažanja – Kl =

Zamenom datih rezultata merenja u A i Kl dobija se kovarijaciona matrica Kx,y = A Kl At, a kvadratni koren zbira

dijagonalnih elemenata matrice Kx,y daće ocenu greške po x i y svake strane. Linearno nezatvaranje poligona f računa

se kao:

Da bi ocenili grešku linearnog nezatvaranja poligona polazi se od (6). Izvodi funkcije f po koordinatnim razlikama x i y strane

AB, dobija se

(6)

f/ xAB= x/f i f/ yAB= y/f (7)

Kao što se može videti, parcijalni izvodi ne zavise od direkcionih uglova strana, tako da su za svaku stranu izvodi isti,

tj. Jakobijan matrica za ceo poligon glasi:

A2= x/f y/f x/f y/f x/f y/f... x/f y/f

pa se shodno zakonu prostiranja grešaka, dobija f2 = A2 Kx,y A2

t. Za 95% nivo poverenja, =0.05, broj stepeni slobode 3 ,

kritična vrednost iznosi t0.025,3 =3.183, pa je dozvoljena vrednost linearnog nezatvaranja jednaka f = 3.183 f

Zatvoreni poligon ima

2(n-1) nepoznatu

koordinatu sa 2n+1

merenjem gde je n broj

strana. Broj stepeni

slobode uvek iznosi

2n+1-2(n-1)=3. Za n=4,

imamo 5 uglova i 5

dužina +direkcioni ugao.

Kako 4 stanice sadrže

po dve nepoznate

koordinate to je 11-8=3

stepeni slobode.

f =(xAB+xBC+...+ xEA)2 + (yAB+yBC+...+ yEA)2

0.00040 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0.00017 0.00002 0 0 0 0 0 0

0 0 0.00002 0.00040 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.00049 0.00050 0 0 0 0

0 0 0 0 0.00050 0.00060 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.00064 -0.00062 0 0

0 0 0 0 0 0 -0.00062 0.00061 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.00061 0.00032

0 0 0 0 0 0 0 0 0.00032 0.00043

Kx,y= AtKlA=

Strana X Y

AB 1435.67 0

BC -35.827 -856.191

CD -939.811 -619.567

DE -723.829 766.894

EA 263.715 708.886

X=-0.082 Y= 0.022

A2= -0.9647 0.2588 -0.9647 0.2588 … -0.9647 0.2588

f2 = A2 Kxy A2

t= 0.00229 m2

f = t0.025,3 x f = 0.15 m

f = (-0.082)2 + (0.022)2 = 0.085 m

0.085 < 0.15 sa p=95% može se

tvrditi da u merenjima nema grbih grešaka

5. ANALIZA GREŠKE ZATVARANJA

UMETNUTOG VLAKA

B

2

1

D

A

C

Od do d s

1 A 1069.16 0.021

A B 933.26 0.020

B C 819.98 0.020

C D 1223.33 0.021

D 2 1273.22 0.021

Stanica X Y

1 1248.00 3979.00

2 4873.00 3677.00

zadnja stanica prednja Ugao s()

1 A B 66-16-35 4.9

A B C 205-16-46 5.5

B C D 123-40-19 5.1

C D 2 212-00-55 4.6

Od do Direkcioni ugao s ()

1 A 197- 04-47 4.3

2 D 264-19-13 4.1

ZADATAK: Na slici je dat umetnuti poligonski vlak. Sračunati

grešku zatvaranja vlaka i očekivanu vrednost nezatvaranja pri

95% intervalu poverenja. Na osnovu sračunatih vrednosti izvesti

zaključak o prisustvu grubih grešaka u rezultatima merenja.

REŠENJE:

Uglovno nezatvaranje: f = 9. Ocena srednje greške razlike

datog i sračunatog azimuta iznosi 11.02+4.12=11.7, tako da se

može zaključiti da uglovi ne sadrže grube greške.

Linearno nezatvaranje:x=-302.128 m i y=3624.968 m

dok vrednost iz razlika datih koordinata iznosi:

x=x2 – x1= - 302.00 m, y=y2 – y1= 3625.00 m, pa je

fy =y - y = - 0.032 m, a fx = x - x = - 0.128 m

f = 0.132 m.

Dozvoljeno odstupanje linearnog nezatvaranja:

f2 =0.01 m2

95% =f = 3.183 0.01 = ±0.32 m

S obzirom da je f f , sa verovatnoćom od 95% može se

pretpostaviti da merenja u poligonu ne sadrže grube greške.