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Introduccion Proyecciones metrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas
Proyecciones ortogonales (metricas) enespacios de funciones continuas
Rafa Espınola
Universidad de Sevilla
III Encuentro de Analisis FuncionalMiraflores de la Sierra, Madrid
Junio 21-23, 2007
Introduccion Proyecciones metrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas
1 Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal ofMathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000.(E., W. A. Kirk, G. Lopez)
2 On selections of the metric projetion and best proximity pairsin hyperconvex spaces, Annales Universitatis MariaeCurie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)
3 Nonexpansive selection of metric projection in spaces ofcontinuous functions, Journal of Approximation Theory, 137,187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. Lopez)
Introduccion Proyecciones metrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas
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1 IntroduccionLa proyeccion ortogonal y sus propiedadesExtensiones de la nocion de proyeccion ortogonalRelacion entre las proyecciones de norma 1 y la proyeccionmetrica
2 Proyecciones metrica no expansivasProyecciones metrica no expansivas. Espacios de Hilbert.Retractos proximinales no expansivos en espacioshiperconvexos
3 Retractos proximinales en espacios de funciones continuasPlanteamiento del problemaSubespacios que admiten proyecciones ortogonalesSubconjuntos que admiten proyecciones ortogonalesSubconjuntos de `n
∞ que admiten proyecciones ortogonales
4 Cuestiones abiertas
Introduccion Proyecciones metrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas
Definicion (Proyeccion ortogonal/Proyeccion metrica)
Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerradoy no vacıo de H. Se llama proyeccion ortogonal de H en M a laaplicacion PM : H → M definida como
PM(x) = {z ∈ M : ‖x − z‖ = inf{‖x − y‖ : y ∈ M}.
Propiedades
Algunas propiedades de la proyeccion ortogonal son:
Si M es un subespacio de H, entonces PM es lineal.
En el caso anterior, PM tiene norma 1. Es decir, es noexpansiva en el sentido de que
‖PMx − PMy‖ ≤ ‖x − y‖.
Por definicion, PM coincide con la proyeccion metrica.
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Definicion (Proyeccion ortogonal/Proyeccion metrica)
Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerradoy no vacıo de H. Se llama proyeccion ortogonal de H en M a laaplicacion PM : H → M definida como
PM(x) = {z ∈ M : ‖x − z‖ = inf{‖x − y‖ : y ∈ M}.
Propiedades
Algunas propiedades de la proyeccion ortogonal son:
Si M es un subespacio de H, entonces PM es lineal.
En el caso anterior, PM tiene norma 1. Es decir, es noexpansiva en el sentido de que
‖PMx − PMy‖ ≤ ‖x − y‖.
Por definicion, PM coincide con la proyeccion metrica.
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Extensiones de la nocion de proyeccion ortogonal
Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tressiguientes:
Nocion 1
Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma1.
Nocion 2
Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones nonecesariamente lineales pero que sean no expansivas.
Nocion 3
Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirlacomo proyeccion metrica.
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Extensiones de la nocion de proyeccion ortogonal
Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tressiguientes:
Nocion 1
Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma1.
Nocion 2
Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones nonecesariamente lineales pero que sean no expansivas.
Nocion 3
Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirlacomo proyeccion metrica.
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Extensiones de la nocion de proyeccion ortogonal
Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tressiguientes:
Nocion 1
Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma1.
Nocion 2
Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones nonecesariamente lineales pero que sean no expansivas.
Nocion 3
Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirlacomo proyeccion metrica.
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Muchas propiedades se conservan
Proposicion
Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X .Entonces, si T : M → Z es una aplicacion lineal y acotada, existetildeT : X → Z extension de T y tal que ‖T‖ = ‖T‖.
Prueba
Basta definir T = T ◦ P, donde P es la proyeccion de norma 1 deX sobre M.
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Muchas propiedades se conservan
Proposicion
Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X .Entonces, si T : M → Z es una aplicacion lineal y acotada, existetildeT : X → Z extension de T y tal que ‖T‖ = ‖T‖.
Prueba
Basta definir T = T ◦ P, donde P es la proyeccion de norma 1 deX sobre M.
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Sobre subespacios 1-complementados
La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, porsupuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados delos espacios normados.
Caracterizar exactamente que subespacios de un espacio normadodado son 1-complementados y que tipo de propiedades sonheredadas por esta condicion.
Aunque se han hecho inmensos avances en esta teorıa, son muchaslas preguntas que aun no se han podido resolver. Por ejemplo, solose conoce una caracterizacion completa de tales subespacios paralos espacios Lp.
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Sobre subespacios 1-complementados
La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, porsupuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados delos espacios normados.
Caracterizar exactamente que subespacios de un espacio normadodado son 1-complementados y que tipo de propiedades sonheredadas por esta condicion.
Aunque se han hecho inmensos avances en esta teorıa, son muchaslas preguntas que aun no se han podido resolver. Por ejemplo, solose conoce una caracterizacion completa de tales subespacios paralos espacios Lp.
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Sobre subespacios 1-complementados
La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, porsupuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados delos espacios normados.
Caracterizar exactamente que subespacios de un espacio normadodado son 1-complementados y que tipo de propiedades sonheredadas por esta condicion.
Aunque se han hecho inmensos avances en esta teorıa, son muchaslas preguntas que aun no se han podido resolver. Por ejemplo, solose conoce una caracterizacion completa de tales subespacios paralos espacios Lp.
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Proyeccion metrica
Tambien conocida como best approximation operator, nearestpoint map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection,projection of minimal distance.
Definicion
Sea M un espacio metrico y A ⊂ M, se llama proyeccion metricade M sobre A a la aplicacion dada por:
PM(x) = {y ∈ A : d(x , y) = inf{d(x , z) : z ∈ A}}.
Propiedades
Solo esta bien definida si PM(x) 6= ∅ para todo x ∈ M. Eneste caso se dice que A es proximinal.
En general, es una aplicacion multivaluada.
En general, es una aplicacion no lineal.
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Proyeccion metrica
Tambien conocida como best approximation operator, nearestpoint map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection,projection of minimal distance.
Definicion
Sea M un espacio metrico y A ⊂ M, se llama proyeccion metricade M sobre A a la aplicacion dada por:
PM(x) = {y ∈ A : d(x , y) = inf{d(x , z) : z ∈ A}}.
Propiedades
Solo esta bien definida si PM(x) 6= ∅ para todo x ∈ M. Eneste caso se dice que A es proximinal.
En general, es una aplicacion multivaluada.
En general, es una aplicacion no lineal.
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Proyecciones de norma 1 y la proyeccion metrica
Proposicion
Sea X un espacio normado y sea P una proyeccion lineal definidaen X . Se cumple que ‖P‖ = 1 si, y solo si, I − P es una seleccionde la de la proyeccion metrica sobre KerP.
Prueba
Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP
‖x − (I − P)x‖ = ‖Px‖ = ‖P(x − y)‖ ≤ ‖x − y‖.
Por tanto, I − P es una seleccion lineal de la proyeccion metricasobre KerP.Si I − P es una seleccion de la proyeccion metrica sobre KerP,entonces para cada x ∈ X se tiene
‖Px‖ = ‖x − (I − P)x‖ ≤ ‖x − 0‖ = ‖x‖.
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Proyecciones de norma 1 y la proyeccion metrica
Proposicion
Sea X un espacio normado y sea P una proyeccion lineal definidaen X . Se cumple que ‖P‖ = 1 si, y solo si, I − P es una seleccionde la de la proyeccion metrica sobre KerP.
Prueba
Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP
‖x − (I − P)x‖ = ‖Px‖ = ‖P(x − y)‖ ≤ ‖x − y‖.
Por tanto, I − P es una seleccion lineal de la proyeccion metricasobre KerP.Si I − P es una seleccion de la proyeccion metrica sobre KerP,entonces para cada x ∈ X se tiene
‖Px‖ = ‖x − (I − P)x‖ ≤ ‖x − 0‖ = ‖x‖.
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Proyecciones de norma 1 y la proyeccion metrica
Proposicion
Sea X un espacio normado y sea P una proyeccion lineal definidaen X . Se cumple que ‖P‖ = 1 si, y solo si, I − P es una seleccionde la de la proyeccion metrica sobre KerP.
Prueba
Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP
‖x − (I − P)x‖ = ‖Px‖ = ‖P(x − y)‖ ≤ ‖x − y‖.
Por tanto, I − P es una seleccion lineal de la proyeccion metricasobre KerP.Si I − P es una seleccion de la proyeccion metrica sobre KerP,entonces para cada x ∈ X se tiene
‖Px‖ = ‖x − (I − P)x‖ ≤ ‖x − 0‖ = ‖x‖.
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Proyecciones metrica no expansivas
¿Que pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores?
Definicion
Sea M un espacio metrico y A ⊆ M no vacıo. Una proyeccionP : M → A se dira proximinal no expansiva (u ortogonal en sentidoampliado) si
P(x) ∈ PM(x) para todo x ∈ M.
P es no expansiva.
A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o,sencillamente, RPN.
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Proyecciones metrica no expansivas
¿Que pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores?
Definicion
Sea M un espacio metrico y A ⊆ M no vacıo. Una proyeccionP : M → A se dira proximinal no expansiva (u ortogonal en sentidoampliado) si
P(x) ∈ PM(x) para todo x ∈ M.
P es no expansiva.
A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o,sencillamente, RPN.
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¿Donde podemos encontrar los retractos proximinales noexpansivos?
De un modo muy natural aparecen en los siguientes espacios:
En los espacios de Hilbert hay muchos: la proyeccionortogonal sobre conjuntos convexos y cerrados es proximinal yno expansiva.
En los espacios de curvatura acotada CAT(0) tambien haymuchos: Estos espacios son el equivalente metrico a espaciosde Hilbert por el gran numero de propiedades que comparten,en particular, el hecho de que la proyeccion metrica sobresubconjuntos “convexos” y cerrados es univaluada y noexpansiva.
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¿Donde mas?
En espacios de funcione continuas tambien hay retractosproximinales no expansivos:
Proposicion
Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C ([0, 1]), entonces B esun retracto proximinal no expansivo de C ([0, 1]).
Prueba
Dada f ∈ C ([0, 1]) sea
(Rf )(x) =
1, f (x) > 1f (x), |f (x)| ≤ 1−1, f (x) < −1.
La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea interseccionde bolas cerradas.
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¿Donde mas?
En espacios de funcione continuas tambien hay retractosproximinales no expansivos:
Proposicion
Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C ([0, 1]), entonces B esun retracto proximinal no expansivo de C ([0, 1]).
Prueba
Dada f ∈ C ([0, 1]) sea
(Rf )(x) =
1, f (x) > 1f (x), |f (x)| ≤ 1−1, f (x) < −1.
La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea interseccionde bolas cerradas.
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¿Donde mas?
En los espacios metricos hiperconvexos (tambien llamadosP1-espacios o espacios inyectivos.)
Definicion
Un espacio metrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆ Xexiste una proyeccion no expansiva de X en M, es decir, si soninyectivos.
Ejemplo: espacio L∞ y algunos espacios de funciones continuas,las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles,R-trees y algun que otro mas.
Definicion
Un subconjunto A de un espacio metrico M se dice admisible si esinterseccion de bolas cerradas.
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¿Donde mas?
En los espacios metricos hiperconvexos (tambien llamadosP1-espacios o espacios inyectivos.)
Definicion
Un espacio metrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆ Xexiste una proyeccion no expansiva de X en M, es decir, si soninyectivos.
Ejemplo: espacio L∞ y algunos espacios de funciones continuas,las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles,R-trees y algun que otro mas.
Definicion
Un subconjunto A de un espacio metrico M se dice admisible si esinterseccion de bolas cerradas.
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Teorema (R. Sine’89)
Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexoentonces es un retracto proximinal no expansivo.
Ejemplo
El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinalno expansivo en `2
∞ pero no es admisible.
¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geometrica losretractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexosy de los espacios de funciones continuas?
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Teorema (R. Sine’89)
Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexoentonces es un retracto proximinal no expansivo.
Ejemplo
El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinalno expansivo en `2
∞ pero no es admisible.
¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geometrica losretractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexosy de los espacios de funciones continuas?
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Retractos proximinales no expansivos en espacioshiperconvexos
(Un subconjunto de un espacio metrico se dice debilmenteexternamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad deinterseccion de bolas.)
Teorema (E., Kirk, Lopez’00)
Dado A un subconjunto no vacıo de un espacio hiperconvexo M setiene que A es debilmente externamente hiperconvexo si, y solo si,es un “casi” retracto proximinal no expansivo.
Teorema (E’05)
El “casi” del teorema anterior se puede quitar.
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Retractos proximinales no expansivos en espacioshiperconvexos
(Un subconjunto de un espacio metrico se dice debilmenteexternamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad deinterseccion de bolas.)
Teorema (E., Kirk, Lopez’00)
Dado A un subconjunto no vacıo de un espacio hiperconvexo M setiene que A es debilmente externamente hiperconvexo si, y solo si,es un “casi” retracto proximinal no expansivo.
Teorema (E’05)
El “casi” del teorema anterior se puede quitar.
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NPR en espacios de funciones continuas
Problema 1
¿Cuales son los subespacios de los espacios de funciones continuasque admiten una proyeccion ortogonal (metrica)?, ¿es posiblecaracterizarlos?
Problema 2
¿Cuales son los subconjuntos de los espacios de funcionescontinuas que admiten una proyeccion ortogonal (metrica)?, ¿esposible caracterizarlos?
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NPR en espacios de funciones continuas
Problema 1
¿Cuales son los subespacios de los espacios de funciones continuasque admiten una proyeccion ortogonal (metrica)?, ¿es posiblecaracterizarlos?
Problema 2
¿Cuales son los subconjuntos de los espacios de funcionescontinuas que admiten una proyeccion ortogonal (metrica)?, ¿esposible caracterizarlos?
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Subespacios canonicos
Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientessubespacios de C (K ) que llamaremos canonicos y que sı sonretractos proximinales no expansivos.
Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen,
E 0Z = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.
Tipo II: Dado S ⊆ K clopen,
ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}.
Tipo III: Dados S1,S2 ⊆ dos clopen disjuntos,
ES1,S2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS1 = −fS2}.
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Subespacios canonicos
Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientessubespacios de C (K ) que llamaremos canonicos y que sı sonretractos proximinales no expansivos.
Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen,
E 0Z = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.
Tipo II: Dado S ⊆ K clopen,
ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}.
Tipo III: Dados S1,S2 ⊆ dos clopen disjuntos,
ES1,S2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS1 = −fS2}.
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Subespacios canonicos
Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientessubespacios de C (K ) que llamaremos canonicos y que sı sonretractos proximinales no expansivos.
Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen,
E 0Z = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.
Tipo II: Dado S ⊆ K clopen,
ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}.
Tipo III: Dados S1,S2 ⊆ dos clopen disjuntos,
ES1,S2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS1 = −fS2}.
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Subespacios canonicos
Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientessubespacios de C (K ) que llamaremos canonicos y que sı sonretractos proximinales no expansivos.
Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen,
E 0Z = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.
Tipo II: Dado S ⊆ K clopen,
ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}.
Tipo III: Dados S1,S2 ⊆ dos clopen disjuntos,
ES1,S2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS1 = −fS2}.
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Algunos hechos faciles de probar:
Todos los subespacios canonicos y sus trasladados sonretractos proximinales no expansivos.
Si un subespacios de codimension 1 es RPN, tambien lo sonlos semiespacios que determina.
Si Z , {Si}ni=1 y {S1
j ,S2j }n
j=1 son clopen y disjuntos, entoncesel subespacio
E = E 0Z ∩ (∩ESi
) ∩ (∩ES1j ,S2
j) (1)
es un RPN.
Definicion
Un subespacio E de C (K ) se dira estandar si es de la forma (1), esdecir, si es interseccion de hiperplanos canonicos.
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Algunos hechos faciles de probar:
Todos los subespacios canonicos y sus trasladados sonretractos proximinales no expansivos.
Si un subespacios de codimension 1 es RPN, tambien lo sonlos semiespacios que determina.
Si Z , {Si}ni=1 y {S1
j ,S2j }n
j=1 son clopen y disjuntos, entoncesel subespacio
E = E 0Z ∩ (∩ESi
) ∩ (∩ES1j ,S2
j) (1)
es un RPN.
Definicion
Un subespacio E de C (K ) se dira estandar si es de la forma (1), esdecir, si es interseccion de hiperplanos canonicos.
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Teorema (Benyamini, E., Lopez’05)
Si E es un subespacio RPN de codimension finita de C (K ),entonces estandar.Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estandar.
Conjetura
Todo subespacio RPN de C (K ) es estandar.
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Teorema (Benyamini, E., Lopez’05)
Si E es un subespacio RPN de codimension finita de C (K ),entonces estandar.Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estandar.
Conjetura
Todo subespacio RPN de C (K ) es estandar.
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Teorema (Benyamini, E., Lopez’05)
Si E es un subespacio RPN de codimension finita de C (K ),entonces estandar.Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estandar.
Conjetura
Todo subespacio RPN de C (K ) es estandar.
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Otros hechos:
Una interseccion infinita de hiperplanos RPN no tiene por queser RPN.
Si K es conexo, entonces C (K ) no admite ningun subespacioRPN de codimension finita ni de dimension finita, excepto losde dimension 1 de tipo II.
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Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales
Algunos ejemplos faciles de obtener:
Semiespacios definidos por hiperplanos RPN.
Intersecciones finitas de semiespacios definidos porhiperplanos RPN.
Sin embargo,
No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar comointerseccion de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Porejemplo, la bola unidad de C ([0, 1]).
No toda interseccion de semiespacios RPN define un conjuntoRPN.
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Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales
Algunos ejemplos faciles de obtener:
Semiespacios definidos por hiperplanos RPN.
Intersecciones finitas de semiespacios definidos porhiperplanos RPN.
Sin embargo,
No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar comointerseccion de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Porejemplo, la bola unidad de C ([0, 1]).
No toda interseccion de semiespacios RPN define un conjuntoRPN.
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RPN y convexidad
¿Se puede garantizar, al menos, que los subconjuntos RPN de unespacio de funciones continuas debe ser convexo?
En general, no lo sabemos.
En particular, sı para los espacios `n∞.
El plano dotado con bolas hexagonales regulares admite RPNque no son convexos.
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Lema
Si A ⊆ `n∞ es un RPN de `n
∞, entonces A es convexo.
Prueba (Detalles de la prueba)
1 Se observa que si v = (v1, · · · , vn)`n∞ alcanza su norma en
todas sus coordenadas, entonces existe un unico segmentometrico uniendo v y −v que coincide con el segmento lineal.
2 Si el conjunto de puntos y de A tales que y ∈ A y −y ∈ A esno vacıo, entonces existe x en A con la misma propiedad y talque alcanza su norma en todas sus coordenadas.
3 Dados x , y ∈ A, por traslacion, se puede forzar a que sean dela forma v y −v. Utilizando lo anterior, 0 (punto medio entrev y −v) esta en el trasladado de A y, por tanto, el puntomedio de x e y esta en A.
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Subconjuntos de `n∞ que admiten proyecciones ortogonales
Teorema (Benyamini, E., Lopez’05)
Un subconjunto A ⊆ `n∞ es un RPN si, y solo si, es interseccion de
semiespacios RPN.
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Cuestiones abiertas
Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuales sonexactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y suspropiedades. Algunas de las mas destacadas son las siguientes:
1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funcionescontinuas interseccion de subespacios canonicos?
2 ¿Bajo que condiciones se tiene que si A es RPN de B y B loes de C , tambien se tiene que A lo es de B?
3 ¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios defunciones continuas?
4 ¿Cual es la situacion en los espacio L1?
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Cuestiones abiertas
Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuales sonexactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y suspropiedades. Algunas de las mas destacadas son las siguientes:
1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funcionescontinuas interseccion de subespacios canonicos?
2 ¿Bajo que condiciones se tiene que si A es RPN de B y B loes de C , tambien se tiene que A lo es de B?
3 ¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios defunciones continuas?
4 ¿Cual es la situacion en los espacio L1?
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Cuestiones abiertas
Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuales sonexactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y suspropiedades. Algunas de las mas destacadas son las siguientes:
1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funcionescontinuas interseccion de subespacios canonicos?
2 ¿Bajo que condiciones se tiene que si A es RPN de B y B loes de C , tambien se tiene que A lo es de B?
3 ¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios defunciones continuas?
4 ¿Cual es la situacion en los espacio L1?
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Cuestiones abiertas
Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuales sonexactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y suspropiedades. Algunas de las mas destacadas son las siguientes:
1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funcionescontinuas interseccion de subespacios canonicos?
2 ¿Bajo que condiciones se tiene que si A es RPN de B y B loes de C , tambien se tiene que A lo es de B?
3 ¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios defunciones continuas?
4 ¿Cual es la situacion en los espacio L1?
Introduccion Proyecciones metrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas
Cuestiones abiertas
Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuales sonexactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y suspropiedades. Algunas de las mas destacadas son las siguientes:
1 ¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funcionescontinuas interseccion de subespacios canonicos?
2 ¿Bajo que condiciones se tiene que si A es RPN de B y B loes de C , tambien se tiene que A lo es de B?
3 ¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios defunciones continuas?
4 ¿Cual es la situacion en los espacio L1?
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Nuestra mayor frustracion
Otra de las muy buenas propiedades de la proyeccion ortogonal enlos espacios de Hilbert es que es sunny.
Definicion
Sea X un espacio normado y A ⊆ X . Una proyeccion P : X → Ase dice sunny si
P(P(x) + λ(x − P(x))) = P(x)
para todo λ ≥ 0.
Si A es un RPN de `n∞, ¿se puede garantizar que existe una
proyeccion sobre A que sea seleccion no expansiva de la proyeccionmetrica y, ademas, sunny?
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Nuestra mayor frustracion
Otra de las muy buenas propiedades de la proyeccion ortogonal enlos espacios de Hilbert es que es sunny.
Definicion
Sea X un espacio normado y A ⊆ X . Una proyeccion P : X → Ase dice sunny si
P(P(x) + λ(x − P(x))) = P(x)
para todo λ ≥ 0.
Si A es un RPN de `n∞, ¿se puede garantizar que existe una
proyeccion sobre A que sea seleccion no expansiva de la proyeccionmetrica y, ademas, sunny?
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Referencias
1 Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal ofMathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000.(E., W. A. Kirk, G. Lopez)
2 Norm one projections in Banach spaces, Taiwaneese J. Math.5 (2001), pp.35-95 (B. Randrianantoanina)
3 On selections of the metric projetion and best proximity pairsin hyperconvex spaces, Annales Universitatis MariaeCurie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)
4 Nonexpansive selection of metric projection in spaces ofcontinuous functions, Journal of Approximation Theory, 137,187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. Lopez)
