DOCENTE :

Jaime Elmo, Martell Cusquipoma

CURSO:

Matemática I

TEMA:

Derivadas

FACULTAD:

Negocios

INTEGRANTES:

Cóndor Soberon, Mariela Huahuasonco Salcedo, Karen Huamán Vásquez , Rene Llaxza Marín, Katya. Leyva Flores, Lesly Iparraguirre Palomino, Karen

INDICE

INTRODUCCION.............................................................................................................1

INCREMENTOS Y TASAS.............................................................................................1

DEFINICIÓN....................................................................................................................1

EJEMPLO 1.................................................................................................................1

TASAS............................................................................................................................2

EJEMPLO 1.................................................................................................................2

LÍMITES...........................................................................................................................2

EJERCICIO 1:.............................................................................................................2

TEOREMA 1................................................................................................................2

TEOREMA 2.............................................................................................................2

TEOREMA 3.............................................................................................................2

ANÁLISIS MARGINAL:..................................................................................................2

EJERCICIOS RESUELTOS............................................................................................2

ANALISIS DEL CASO....................................................................................................2

PROBLEMAS PROPUESTOS........................................................................................2

CONCLUSIONES:...........................................................................................................2

BIBLIOGRAFIA...............................................................................................................2

INTRODUCCION Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su

misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón

de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad

económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable

dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda

cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero

con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello

se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

INCREMENTOS Y TASASEl cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando

ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.

Los siguientes ejemplos ilustran tales situaciones.

1. El cambio en el costo total de operación de una planta que resultan de cada unidad

adicional producida.

2. El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un incremento de una

unidad (por ejemplo, $1) en el precio.

3. El cambio en el producto nacional bruto de un país con cada año que pasa.

DEFINICIÓN Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, el cambio

en el valor de x, que es x2 - xl, se denomina el incremento de x y se denota por Δx.

Usamos la letra griega Δ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier

variable.

Δ x denota el cambio de la variable x

Δ p indica el cambio de la variable p

Δ q denota el cambio de la variable q

Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida para todo valor de x

entre x1 y x2. Cuando x = x1, y tiene el valor y1 f(x1). De manera similar, cuando x = x2,

y tiene el valor y2 = f(x2). Así, el incremento de y es

Δy = y2 - y1

=f(x2) - f(x1)

EJEMPLO 1 El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por

litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de venta q (en

litros por día) está dado por

q = 500(150 p)

Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el

precio de 120¢ a 130¢ por litro.

Solución Aquí, p es la variable independiente y q la función de p. El primer valor de p

es p1 = 120 y el segundo valor es p2 = 130. El incremento de p es

Δp = p2 - p1 = 130 - 120 = 10

Los valores correspondientes de q son los siguientes:

q1 = 500(150 - p1) = 500(150 - 120) = 15,000

q2 = 500(150 - p2) = 500(150 - 130) = 10,000

En consecuencia, el incremento de q está dado por

Δq = q2 - q1 = 10,000 - 15,000 = - 5000

El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo significa

que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por día si el

precio se incrementa de 120 a 130 centavos.

Sea P el punto (x1, y1) y Q el punto (x2, y2), ambos situados en la gráfica de la función y

= f(x). (Véase la figura 1). Entonces, el incremento Δx es igual a la distancia horizontal

de P a Q, mientras que Δy es igual a la distancia vertical de P a Q.

En otras palabras, Δx es el recorrido y Δy es la elevación de P a Q.

En el caso ilustrado en la parte a) de la figura 1, tanto Δx como Δy son positivos. Es

posible que Δx, Δy o ambos sean negativos y aún Δy puede ser cero. Un ejemplo

típico de un caso en que Δx >0 y Δy <0 se ilustra en la parte b) de la figura 1.

En algunas de las aplicaciones que abordaremos más adelante, nos convendrá pensar

el incremento Δx como muy pequeño (esto es, sólo desearemos considerar pequeños

cambios en la variable independiente). Se sobreentiende, por antonomasia, que Δx

significa un cambio pequeño de x más bien que sólo un incremento. Sin embargo, en

esta sección no se pondrá alguna restricción en el tamaño de los incrementos

considerados; pueden ser pequeños o relativamente grandes.

Resolviendo la ecuación Δx = x2 - x1 para x2, tenemos x2 = x1 + Δx. Usando este valor

de x2 en la definición de Δy, obtenemos

Δy = f(x1 + Δx) - f(x1)

Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, suprimimos el subíndice y escribimos.

En forma alternativa, dado que f(x) = y, podemos escribir.

TASAS

La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x + Ax se define por la razón Ay/ Ax. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es.

Observación. Es necesario que el intervalo completo de x a x + Ax pertenezca al dominio de f.

Gráficamente, si P es el punto (x, f(x)) y Q es el punto (x + Ax, f(x + Ax)) sobre la gráfica de y = f(x), entonces Ay = f(x + Ax) — f(x) es la elevación y Ax es el recorrido de P a Q. Por la definición de pendiente, podemos decir que Ay/ Ax es la pendiente del segmento rectilíneo PQ. Así que la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la secante PQ que une los puntos P y Q sobre la gráfica de y = f(x). (Véase la figura 3). Estos puntos corresponden a los valores x y x + Ax de la variable independiente.

Ay = f(x + Ax) — f(x)

y + Ay = f(x + Ax)

EJEMPLO 1 (Costo, ingresos y utilidades) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20,000 + 40x dólares y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado

por R(x) = 100x — 0.01x2. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solución

El primer valor de x es 3100 y x + Ax = 3200:

AC = C(x + Ax) — C(x)

= C (3200) — C (3100)

= [20,000 + 40(3200)] — [20,000 + 40(3100)]

= 148,000 — 144,000 = 4000

AR = R(x + Ax) — R(x)

= R (3200) — R (3100)

= [100(3200) — 0.01 (3200)2] — [100(3100) — 0.01 (3 100)2]

= 217,600 — 213,900 = 3700

De modo que los costos se incrementan en $4000 con el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3700.

A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300. Podemos advertir esto con más detalle si consideramos que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizante es

P(x) = R(x) — C(x)

= 100x — 0.01x2 — (20,000 + 40x)

= 60x — 0.01x2 — 20,000

En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a 3200 es

AP = P(3200) — P(3100)

= [60(3200) — 0.01(3200)2 — 20,000] — [60(3100) — 0.01(3100)2 — 20,000]

= 69,600 — 69,900 = —300

Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es

En donde Ax = 3200 — 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción.

LÍMITES Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos, escribimos.

En nuestro ejemplo anterior, f(x) = 2x + 3, c = 1 y L = 5. Podemos hacer que el valor de la función 2x + 3 esté tan cercano a 5 como se desee eligiendo x lo suficientemente cercano a 1.

En este ejemplo, el valor límite de la función f(x) = 2x + 3 cuando x 1 puede obtenerse con sólo sustituir x = 1 en la fórmula 2x + 3 que define la función. La pregunta que surge es si los límites siempre pueden encontrarse sustituyendo el valor de x en la expresión dada. La respuesta a esta pregunta es: algunas veces, pe- ro no siempre. El análisis de la velocidad instantánea de la página 450 ya ilustró este punto. En términos de límites, la velocidad instantánea se definió como.

Y si tratamos de sustituir de forma directa At = 0, obtenemos 0/0.El ejemplo 1 presenta otro caso en que la sustitución directa no funciona.

EJERCICIO 1:

Si f(x) = (x2 — 9)/ (x — 3), evalúe lím f(x)x3

Solución

Si sustituimos x = 3 en f(x), obtenemos 00

, y concluimos que f(x) no

está definida en x = 3. Sin embargo, lím f(x) existe, dado que podemos escribir.

La eliminación del factor x — 3 es válida siempre que x/3, y, por supuesto, no es válida si x = 3. Es fácil advertir que cuando x tiende a 3, la función x + 3 está ca- da vez más cerca del valor 6. (Fácilmente se puede convencer de esto calculando algunos valores como en las tablas 2 y 3). En consecuencia.

lím f(x) = lím (x + 3) = 3 + 3 = 6x3 x3

Al evaluar lím f(x), es legítimo dividir numerador y denominador entre un factor común x — c, como lo hicimos en el ejemplo 1, a pesar de que cuando x = c, estos factores son cero. Esto se debe a que el límite involucra el comportamiento de f(x) cerca de x = c, pero no se refiere al valor de f en x = c. Mientras x ⁄ c, los factores del tipo x — c pueden cancelarse. De hecho, el ejemplo 1 ilustró un caso en el cual f(x) no estaba definida en x = c y aún lím f(x) existió. Estudiemos la idea del límite desde el punto de vista de la gráfica de la función considerada. En primer término volvamos a nuestro ejemplo inicial en que f(x) = 2x + 3. La gráfica de esta función es una línea recta con pendiente 2 y ordenada al origen 3. Cuando x = 1, y = 5.

Considere cualquier sucesión de puntos P1, P2, P3,…, sobre la gráfica

(figura 4) tales que las coordenadas x de los puntos se acercan a 1. Es claro que los puntos mismos deben estar cerca del punto (1, 5) de la gráfica, y sus coordenadas y se aproximan al valor límite 5. Esto corresponde a nuestra proposición anterior de que lím (2x + 3) = 5.

El ejemplo f(x) = (x2 — 9)/ (x — 3) es un poco diferente. Vimos antes que si x ⁄ 3, podemos escribir f(x) = x + 3. De modo que esta función también tiene una línea recta como gráfica, con pendiente 1 y ordenada al origen 3. Sin embargo, f(x) no está definida en x = 3, por lo que el punto (3, 6) no pertenece a la gráfica. Este hecho se indica en la figura 5 usando un pequeño círculo en este punto sobre la línea recta. Otra vez, si consideramos una sucesión de puntos P1, P2, P3,..., sobre la gráfica con coordenadas x aproximándose a 3,

entonces los puntos mismos deben acercarse al punto (3, 6), a pesar de que este punto no pertenece a la gráfica. Así, a pesar de que f (3) no existe, el límite de f(x) cuando x 3 existe y es igual a 6.

En el primero de estos dos ejemplos, tenemos una función f(x) = 2x + 3 para la cual el límite cuando x 1 existe y es igual al valor de la función en x =

1. En el segundo ejemplo, tenemos una función f(x) = (x2 — 9)/ (x — 3) tal que el límite cuando x 3 existe, pero este límite no es igual a f (3) (de hecho, f (3) no existe en este caso). La primera función se dice que es continua en x = 1; la segunda función es discontinua en x = 3. Informalmente, una función es continua en x = c si su gráfica pasa a través del valor de x sin un salto o ruptura. Por ejemplo, la gráfica de la figura 5 no pasa por el valor de x = 3 sin una ruptura porque el punto (3, 6) no forma parte de la gráfica. Más formalmente, tenemos la siguiente definición:

Una función f(x) es continua en x = c si tanto f(c) como limX−3

f ( X ) existen y

son iguales.

El cálculo de los valores límites de funciones en casos más complicados descansa en varios teoremas que se refieren a límites. Establecemos ahora estos teoremas e ilustraremos su aplicación con varios ejemplos, pero no daremos demostraciones de ellos.

TEOREMA 1. Si m, b y c son tres constantes cualesquiera, entonces,

Observemos que la función y = mx + b tiene como gráfica una línea recta con pendiente m y ordenada al origen b. Cuando x = c, y siempre está definida y y = mc + b. Cuando x tiende a c, el punto (x, y) sobre la gráfica de esta función se acerca cada vez más al punto (c, mc + b). Esto es, el valor de y está cada vez más cerca de mc + b, como se estableció en el teorema.

EJERCICIO 2

a. Tomando m = 2, b = 3 y c = 1, obtenemos el resultado.lím (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5x1

Que ya dimos antes.

b. Ahora con m = 1, b = 3 y c = 3, tenemos que

lím (x + 3) = 3 + 3 = 6 x3

Reproduciendo otra vez un resultado ya obtenido.

lím (mx + b) = mc + b

TEOREMA 2

EJERCICIO 3.

TEOREMA 3.

ANÁLISIS MARGINAL:La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía en la construcción de lo que denominamos tasas marginales. En este campo, la palabra ‘’marginal’’ se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa de cambio. Se dará una selección de ejemplos.

Suponga que el fabricante de cierto articulo descubre que a fin de producir x de estos artículos a la semana, el costo total en dólares está dado por C=200+0.03x2. Por ejemplo si se producen 100 artículos a la semana, el costo está dado por C=200+0.03 (100)2=500. El costo promedio por articulo al producir 100 artículos es 500/100=5

Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a 100+Δx unidades por semana, en donde Δx representa el incremento en la producción semanal

El costo es:

C+ΔC=200+0,03(100+Δx)2

=200+0,03(10000+200Δx+ Δx2)

=500+6 Δx+0,03 Δx2

Por consiguiente, el costo extra determinado por la producción de los artículos adicionales es

ΔC=(C + ΔC)- Δx

ΔC =500+6 Δx+0,03 Δx2-500

ΔC =Δx+0,03 Δx2

En consecuencia, el costo promedio por artículo de las unidades extra es

ΔC / Δx= 6+0,03 Δx

El costo marginal se define como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así se puede pensar que el costo marginal es como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.

Costo marg inal= limΔx→0

ΔCΔx

= limΔx →0

C (C+Δx )−C ( x )Δx

Costo marg inal=dCdx

EJERCICIOS RESUELTOS

1. F(x) = (5x2 – 3) . (x2 + x + 4)

F’ (x) = 10x (x2 + x + 4) + (5x2 – 3) (2x + 1)

20x3 + 15x2 + 34x – 3

2. F(x) = 2x2 + x3 – x2 + 4

F’ (x) = 8x2 + 3x2 – 2x

3. F(x) =5

x5 = 5x-5

F’ (x) = -25x-6 = 25x6

4. F(x) = √ x2−2 x+3

F’ (x) = 2 x−2

2√x2−2 x+3= x−1

√ x2−2 x+3

5. F(x) = 4√ x5−x3−2

F’ (x) = 5 x4−3 x2

4 4√¿¿¿

6. F(x) =e3−x2

F’(x) = −2 x . e3−x2

7. F(x) = e2 x

x2

F’(x) =2. e2 x . x2−e2 x .2 xx4 = 2 x . e2 x(x−1)

x4

2. e2 x (x−1)x3

ANALISIS DEL CASO

Propagación de una epidemia

Nuestro trabajo está basado en el tema de derivadas. Estudiaremos un modelo

matemático, donde se aproxime a la realidad, trabajaremos un caso que

trataba con el número de infectados por cierta enfermedad, se tenía el modelo.

Así, por ejemplo, se han estudiado diferentes funciones que “gobiernan” el

movimiento de proyectiles, el crecimiento de una deuda, la ganancia por el

alquiler de viviendas, etc.

Como un ejemplo, una aplicación del cálculo la observamos en el problema al

que se enfrenta la doctora Socorro cuando una epidemia se propaga en una

población y, gracias a estudios anteriores en otras poblaciones similares, sabe

que el número de infectados, I, después de t semanas, está dado por la

fórmula:

La gráfica de esta función de la semana 1 a la 50 se muestra a continuación:

I(t) =10,000 – 4500(t−1/2+1), para t ≥ 1

La gráfica de la función muestra que el número de individuos al inicio crece

rápido; sin embargo, alrededor de la semana 8 o 10, aunque sigue creciendo,

el crecimiento empieza a ser más lento. Ahora bien, con base en el modelo que

se propone para este fenómeno, la doctora Socorro tendría respuesta a

preguntas de su interés, como las siguientes:

a) ¿Cuántos casos se tienen en la semana 1?

b) ¿Cuál es el aumento de casos de la semana 4 a la semana 6?

c) En promedio, ¿qué tan rápido se propaga la enfermedad de las semanas 1 a

2?

d) ¿Qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 9?

e) ¿Qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 50?

En el caso que se planteó, responderemos cada una de las anteriores

preguntas, que trataba con el número de infectados por cierta enfermedad, se

tenía el modelo.

l(t)=10000 -4500 (t -1/2 +1), para t ≥ 1

La primera pregunta, “¿Cuántos casos se tienen en la semana 1?”, se puede

responder ya sea por medio de la gráfica, o bien, con el cálculo de I (1); por lo

que

a) el número de enfermos en la semana 1 es I(1)= 1000.

El aumento de casos de la semana 4 a la semana 6 no es más que ∆(I)= I(6)-

I(4), es decir,

b) el aumento de caso de la semana 4 a la semana 6 es igual a

I(6)-I(4) ≈ 413 casos

Ahora bien, la rapidez de programación promedio de la enfermedad, del tiempo

t al ∆t:

∆ I (t)∆ t

=I (t +∆ t )

∆ t

Así que para responder la tercera pregunta:

c) En promedio ¿qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 1 a la

2?

Se sustituye t= 1, ∆t =1 en la expresión anterior y se obtiene

Rapidez promedio de propagación, ∆ I (t)

∆¿=I (2 )−I (1)

1¿

≈1318 individuos/semana.

La pegunta "¿qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 9?”, es

diferente a la anterior, pues aquí se pide la rapidez instantánea, es decir, se

debe analizar cuando ∆t →0. Por lo que si aplicamos las fórmulas estudiadas a

I (t), se obtiene:

dl (t )dt

= ddt

¿t -1/2 +1) = 4500

2t−3 /2

Por tanto, dl(9)

dt=2250

√ 3−3

Así que, d) y e) En la semana 9 la enfermedad se propaga con una rapidez de

dl(t)dt

=225027

≈ 83.33 individuos/semana

y en la semana 50,

dl(9)

dt=2250

√ 503 ≈ 6.36 individuos/semana

Así, la doctora Socorro recopiló información en la población y en realidad el

número de enfermos, en algunas semanas fue la siguiente

La grafica de los puntos aparece a continuación

Con estos puntos y técnicas estadísticas, que analizará en otros cursos, se

determinó que un modelo más adecuado para el número de enfermos en la

semana t es

E(t) = 6000 √ t50 , para 1 ≤ t ≤ 50

Con base en este modelo, responderemos las mismas preguntas que para el

primer modelo. Por otro lado, analizaremos ambos modelos y diga que sucede

a la larga, es decir, qué sucede cuando t es 100,

1000, 10000, etcétera. La gráfica de ambas funciones se muestra a

continuación. Falta analizar y responder las preguntas para luego comparar

los modelos.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si la ecuación de demanda x+4p = 100 calcule el ingreso marginal además

si la función del costo es c(x) = 100 + 5x calcule la utilidad marginal.

2.

CONCLUSIONES: Realizaremos este caso, con el propósito de saber más sobre el tema de

derivadas

Compartir con nuestros compañeros lo aprendido y aplicarlo en nuestra vida

académica.

Dar a conocer, como se puede aplicar las derivadas y en que nos puede

ayudar.

La importancia de las derivadas en nuestra vida laboral, ya que es muy

utilizado en la economía y administración.

BIBLIOGRAFIA Libro Matemáticas aplicadas a la administración y economía, quinta

edición (Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner y Víctor Hugo Ibarra) Departament of Mathematics, Simon Fraser University-México, 2009.Pag. 441, 494 y 495.