Contenido Unidad I - Estadstica Descriptiva ............................................................................... 3 1.1 Poblacin y muestra aleatoria ........................................................................... 15 1.2 Obtener datos estadsticos ................................................................................ 15 1.3 Medidas de tendencia central ........................................................................... 17 1.4 Medidas de Dispersin ..................................................................................... 22 1.5 Tablas de distribucin de frecuencia ................................................................ 24 1.6 CalcularCuantiles ........................................................................................... 41 1.7 Grficos ............................................................................................................ 44 1.8 Cajas y alambres ............................................................................................... 45 1.9 Diagrama de Pareto .......................................................................................... 47 Unidad II - Probabilidad .............................................................................................. 49 2.1 Probabilidad de eventos .................................................................................... 49 2.2 Espacio muestral ............................................................................................... 49 2.3 Ocurrencia de eventos ...................................................................................... 51 2.4 Permutaciones y combinaciones ....................................................................... 53 2.5 Diagramas de rbol ........................................................................................... 54 2.6 Axiomas de probabilidad .................................................................................. 58 2.7 Independencia y probabilidad condicional ....................................................... 66 2.8 Teorema de Bayes ............................................................................................ 70 Proyecto .................................................................................................................. 75 Unidad III - Funciones de distribucin de probabilidades ..................................... 78 3.1 Variables aleatorias y su clasificacin .............................................................. 78 3.2 Distribuciones de probabilidad discretas .......................................................... 82 3.3 Distribucin de probabilidad Hipergeomtrica ................................................ 85 3.4 Distribucin de probabilidad Poisson ............................................................... 87 3.5 Distribuciones de probabilidad continuas......................................................... 92 3.6 Distribucin t .................................................................................................... 97 3.7 Distribucin Chi-cuadrada .............................................................................. 100 3.8 Distribucin F ................................................................................................. 103 3.9 Esperanza matemtica. ................................................................................... 104 Unidad IV ..................................................................................................................... 121 4.1 Inferencia estadstica ...................................................................................... 121 4.2 Muestreo estadstico ....................................................................................... 121 4.3 Estimadores .................................................................................................... 124 4.4 Estimacin puntual ......................................................................................... 124 4.5 Estimacin por intervalo ................................................................................. 125 4.6 Errores tipo I y II ............................................................................................ 135 4.7 Contraste de hiptesis unilateral y bilateral .................................................... 135 Unidad V ...................................................................................................................... 142 Regresin y correlacin ........................................................................................ 142 5.1 Control de calidad ........................................................................................... 142 5.2 Diagrama de dispersin .................................................................................. 143 5.3 Regresin lineal simple .................................................................................. 145 5.4 Correlacin ..................................................................................................... 146 5.5 Determinacin y anlisis de los coeficientes de correlacin y de determinacin. .............................................................................................................................. 147 5.6 Distribucin normal bidimensional ................................................................ 148 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlacin. ........... 149 5.8 Errores de medicin. ....................................................................................... 150 Unidad IV ..................................................................................................................... 161 4.1 Inferencia estadstica ...................................................................................... 161 4.2 Muestreo estadstico ....................................................................................... 161 4.3 Estimadores .................................................................................................... 164 4.4 Estimacin puntual ......................................................................................... 164 4.5 Estimacin por intervalo ................................................................................. 165 4.6 Errores tipo I y II ............................................................................................ 175 4.7 Contraste de hiptesis unilateral y bilateral .................................................... 175 Unidad V ...................................................................................................................... 182 Regresin y correlacin ........................................................................................ 182 5.1 Control de calidad ........................................................................................... 182 5.2 Diagrama de dispersin .................................................................................. 183 5.3 Regresin lineal simple .................................................................................. 184 5.4 Correlacin ..................................................................................................... 185 5.5 Determinacin y anlisis de los coeficientes de correlacin y de determinacin. .............................................................................................................................. 186 5.6 Distribucin normal bidimensional ................................................................ 187 5.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlacin. ........... 188 5.8 Errores de medicin. ....................................................................................... 189 Unidad I - Estadstica Descriptiva 1.Consideraciones Generales Laestadsticadescriptivamanejalosdatosobtenidosparasuordenacinypresentacin,y hacerresaltarciertascaractersticasdemaneraqueseanmasobjetivasutiles;porello, investiga los mtodos y procedimientos, y establece reglas para que el manejo de los datos sea eficiente, para que la informacin presentada resulte confiable, exprese en lenguaje sencillo los contenidosparaqueelmayornumerodepersonaslocomprendaypuedanestablecer comparaciones y obtener conclusiones. PoblacinLainvestigacinestadsticaeslaoperacinqueserefierealarecopilacindeinformacin sobre una poblacin o colectivo de individuos u objetos que tienen una caracterstica comn. MuestraSubconjunto propio o parte tomada de una poblacin LaInvestigacinestadsticaeslaoperacinqueserefierealarecopilacindeinformacin sobreunapoblacinocolectivodeindividuos, mediasuobjetosquetienenunacaracterstica comn, e incluye: a)Sealamientodelelementodelapoblacinqueoriginalainformacin(unidadde investigacin),puedeser:unaindustria,unhogar,lapersona,etctera;peroentodo caso la unidad debe ser en su definicin medible y fcilmente identificable. b)Citar: qu se investiga; cmo se debe realizar, cundo se llevara a cabo, y en lugar de la investigacin que es el dnde. c)La recoleccin de la informacin incluye: ordenarla, filtrarla eliminando posibles errores y analizarla, aplicando los mtodos y normas estadsticos. d)La publicacin de la informacin, ya sea para uso propio o ajeno. 2. Presentacin de la Informacin Unavezobtenidalainformacinresultantedeunainvestigacinestadstica,quepuede haberseefectuado,porejemplo,enmedicina,paraestudiarelcomportamientodeenfermos sujetosauntratamientoespecfico;eneducacin,losensayosorientadosaestudiarlos camposdeactitudyaprendizajedealumnossometidosaciertosprocesoseducativos;enla agricultura, dirigidos a medir el efecto de un insecticida bajo ciertas condiciones que varan bajo el control del investigador, etctera. Acontinuacinesnecesarioescogerlaformadeorganizarlaparasuanlisisoparasu publicacin que puede ser en: -Cuadros numricos -Grficos y Pictogramas 3. Cuadros Numricos de Informacin A. Representacin tabular Las lneas horizontales y las columnas verticales deben disponerse de manera que resalten los aspectos que se desean mostrar y las comparaciones que se quieren hacer notar. Incluir: a)Ttulo. Donde se indica el objeto del cuadro. b)Columna principal. Lugar donde se anotan las categoras. c)Encabezado de las columnas, donde se explica el objeto de cada una de ellas. d)Cuerpo. Lugar donde se supone la informacin. e)Notasdepie.Ahseaclaranalgunasoperacionesyseindicalafuentedela informacin. ProblemaEl contador de una compaa industrial informa que durante el mes de marzo pasado el total de ventasfuede$11745420ylanominadepagodelmespordepartamentofueas:personal administrativo$425760,personaldeventasypromocin$528750ydeproduccin$2765 450. Elabora el cuadro que se seale: a)Porcentaje de cada departamento con relacin al total de la nomina. b)Porcentaje de cada departamento con relacin al total de ventas. Resolucin Nmina de pago por departamento Mes de Marzo Total de ventas en le mes $11 745 420 DepartamentoGastos mes% nmina% ventas Administracin Ventas Produccin 425 760 528 750 2 765 450 11.44 14.21 74.35 3.62 4.50 23.54 Totales$3 719 960100.0031.66 Operaciones que hicimos para llenar el cuadro: Calculamos por interpolacin polar. (Razones y Porciones): Nomina: 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 425 760 : x 425 760 (100) 42 576 000 3 719 960 11.44% 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 528 750 : x 528 750 (100) 51 875 000 3 719 960 15.21% 3 719 960: 100 3 719 960 :: x= x= x= 2 765 450 : x 2 765 450 (100) 276 545 000 3 719 960 74.34% Ventas: 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 425 760 : x 425 760 (100) 42 576 000 11 745 4203.62% 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 528 750 : x 528 750 (100) 51 875 000 11745420 4.50% 11 745 420: 100 3 719 960 :: x= x= x= 2 765 450 : x 2 765 450 (100) 276 545 000 11 745 420 23.54% ProblemaUn representante de la Secretara de Gobernacin ante un sorteo organizado por una casa que vende material deportivo, para entregar tres premios consistentes, cada uno, en un viaje para 2 personas a Rotterdam, Holanda, a la semifinal de la Eurocopa informa: Enalprimeraextraccindeunboletoelpremiofueconelnmerodefolio007950y correspondeaManuelLpezGalicia;enlasegundaextraccinelpremiocorrespondeael nmero de folio 015162 para Mara Roy Martnez; en la tercera extraccin el premio fue para el nmerodefolio008032paraYolandaUribeMay.Elaboraelcuadrocorrespondienteaesta informacin. Cuadro de ganadores promocin Deportes Parti Permiso de Gobernacin con nmeros S 0322 2000 Sorteo realizado el da 20 de junio del 2000 Nmero de extraccinNmero de folioNmero del ganadorPremio 1 2 3 007950 015162 008032 Manuel Lpez Galicia Mara Roy Martnez Yolanda Uribe May Final Eurocopa Final Eurocopa Final Eurocopa B. Cuadros cronolgicos Seusanparaexpresarlasvariacionescronolgicasdepoblacin,produccin,salarios, etctera;elperiodoquesecitaenestoscuadrosdependedeloquesedeseacompraro mostrar. ProblemaElaborauncuadrocronolgicodegananciasdeunafbricadepiezasdemotorenel quinquenio 1994-1998 que exprese: a)Las variaciones de cada ao en tanto por ciento con base (con relacin) al ao anterior b)Del ao 1998 con base (con relacin) al ao 1994. Si las ganancias en miles de pesos fueron de 1994 = 575; 1995 = 644; 1996 = 730.94; 1997 = 672.47 1998 = 749.80. Ganancias de la compaaen miles de pesos durante el quinquenio 1994 - 1998 AoGanancia % variacin Base aoanterior Base ao1994 1994 1995 1996 1997 1998 575 644 730.94 672.47 749.80 12 13.5 -8 11.4930.4 Operaciones Con la interpolacin polar El 112% significa que la ganancia de 1995 fue de 12% ms de la obtenida en 1994 (que es el 100%) Para las dems, razonamos en forma semejante. 575 : 100 574 :: x= x= x= 644 ::x 644 (100) 64 400 512 112% 644 : 100 644 113.4 - 100 :: x= x= x= = 730.94 ::x 730.94 (100) 73 094 644 113.5% 13.5% 730.94 : 100 730.94 92 - 100 :: x= x= x= = 672.47 ::x 672.47 (100) 67 247 730.94 92% -8% 4. Grficos y pictogramasLa forma de presentar esta informacin por medio de ideogrficos depender del nivel cultural del auditorio a que va dirigido, del lugar de exposicin: peridicos, revistas, televisin, escuelas, etctera, que se deben analizar para escoger el mejor diseo; los mtodos ms usuales son:Grficos de lneas, pictogramas o pictogrficos, grficos de barras y grficos circulares. A.Grficos de lneas Seusanpararepresentarlasdistribucionesdefrecuenciasqueestudiaremos posteriormente en apartados en la parte correspondiente; y en series cronolgicas. Los grficos son una representacin estadstica de utilidad para dar a conocer una idea global sobre un programa en que se aplican procedimientos estadsticos, los datos que proporcionan son aproximados y por ello se debe sercuidadoso en su elaboracin. Si en los grficos se dibujan simultneamente varios diagramas, la vista del usuario tiene dificultadparaidentificarlos,aunquestossehayandiferenciadoconcoloresopor diferente tipo de trazado. Adems,lacantidaddeinformacinqueproporcionaungrficonoestancompletay extensa como la de un cuadro que tiene varias columnas que se leen por separado. Al trazarun grfico de lneas (diagramas lineales) se tomarn en consideracin los conceptos siguientes: -La curva debe trazarse mas gruesa que las coordenadas para que resalte. -La unidad de medida que se utilice debe destacarse claramente (no necesariamente de un centmetro). -La longitud se seleccionar de modo que la grfica resulte balanceada. -En notas al pie se citarnconceptos aclaratorios de la curva. -El cero de la escala vertical siempre debe colocarse. -De ser posible se cita la fuente de informacin. -Se localizan por las coordenadas correspondientes los puntos de inters, y se unen por segmentosderectas,formndoseasunapoligonalqueeseldiagramadelaserie cronolgica. -Esnecesariotenercuidadoconlaescaladelosejes,puesesposiblemanejarlosen forma engaosa, como se puede apreciar en el siguiente problema. 672.47 : 100 672.47 111.49 - 100 :: x= x= x= = 749.80 ::x 749.80 (100) 74 980 672.47 111.49% 11.49% 575 : 100 575 130.4 - 100 :: x= x= x= = 749.80 ::x 749.80 (100) 74 980 575 130.4% 30.4% ProblemaUna compaa industrial trata de vender acciones y su departamento de contabilidad presenta dos grficas sobre su produccin en el periodo de 1994 1998. Decide cul de las dos grficas presenta los datos con ms veracidad.

Es la ms veraz Lasdosgrficaspresentanhechosreales,perosecrearonenlosdiagramasdosimgenes diferentes para un mismo suceso estadstico alterando los valores del eje vertical y la unidad de la medida en la horizontal. ProblemaConsulta de un peridico de circulacin nacional y observa el ndice UV del da que t decidas. El ndice UV se refiere al dao que los rayos ultravioleta pueden hacer a un humano. CuandoelndiceUVestporencimade9,losrayosUV-Bsonextremadamentefuertesyla pielsufrirquemadurasenmenosde15minutos.Losperiodosdequemaduradelapielpor exposicin al Sol estn calculados con base en una piel clara no bronceada; el lapso de tiempo sera un poco ms prolongado para aquellos con la piel ms oscura. TiempoExposicin al SolCalificacin mas de 9 min De 7 9 De 4 7 De 0 4 menos de 15 min 20 min 20 min ms de una hora Extremo 50 Alto Moderado Bajo ProblemaSecitaacontinuacinunagrficaquesealalatendenciaalcistadelastasasdeinters internacionales. Qu concluyes? Ah permanecer, excepto que en fecha prxima sea necesario encarecer el dinero para bajar el consumo, y as evitar presiones inflacionarias. B.Pictogramas Unpictogramaeslarepresentacindedatosestadsticosconsmbolosqueporsuforma sugierenlanaturalezadeldato,seutilizaparaexpresarcomparacionesqueatraiganla atencin general, cualquiera que sea el nivel cultural del lector, su representacin no sirve para anlisis estadsticos y nicamente permite obtener conclusiones vlidas muy generales. Alhacerlarepresentacinconunpictogramasedebeutilizarfigurasdelmismotamao,las aproximacionessehacenconfraccindelafigura,mitadyhastacuartos,ylacantidadque representa cada figura se indica con claridad en el encabezado. ProblemaConmotivodelrecienteCensoNacionaldePoblacinlainformacinoficialpreliminardel INEGI, seala: habitamos la republica Mexicana una poblacin de 97.4 millones de habitantes deloscuales47.4millonessonhombresy50millonessonmujeres;detodosstos,24.64 millonesespoblacinrural,72.76millonesurbanaydentrodelaurbanael17.79millones corresponde a la zona urbana del Valle de Mxico. Agregaquelatasadecrecimientoanualfue:enlosaos19801990el2.4%;enel quinquenio19901995el2.1%yde19952000disminuya1.6%;porlatasade crecimiento ocupamos el sexto lugar en el mundo. Que en el ao de 1980 ramos 88.8 millones, en 1990 subimos a 81.2 y en 2000 alcanzamos la de 97.4, ocupando as el onceavo lugar en el mundo. Elcrecimientoabsolutoporestadosesenmillonesdehabitantes:EstadodeMxico3.27; Jalisco 1.02; Puebla 0.94; Baja California 0.83; Nuevo Len 0.73; los otros con 9.31. Los ms poblados en millones de habitantes son: Estado de Mxico con 13.08; Distrito Federal 8.59; Veracruz 6.90; Jalisco 6.32 y Puebla con 5.07. Representa grficamente esta informacin. a)Poblacin en la republica Mexicana: 97.4 millones de habitantes b)Distribuido as: Aument la poblacin de 1990 al 2000, en: 1980 1990 2000 ramos66.8 81.3 97.4 Del aumento de 97.4 81.3 = 16.1 se repartieron as: Estado de Mxico Jalisco Puebla Baja California Nuevo Len Otros Estados 3.27 1.02 0.94 0.83 0.73 9.31 Estados ms poblados (millones de habitantes) Estado de Mxico Distrito Federal Veracruz Jalisco Puebla 13.08 8.59 6.90 6.32 5.07 Crecimiento: Disminuy 1980 1990 2.4% 1990 1995 2.1% 1995 2000 1.6% 5. Grficos de barras Losgrficosdebarrasproporcionanmsinformacinypermitenunaapreciacinestadstica mejorquelospictogramasconsusfigurasmsllamativas.Seutilizanparadatosnominales, variablescardinalesyvariablesordinales,Parasuelaboracinsetomarencuentalo siguiente: Enelgrficoseevitarquelasbarrasresultenmuyanchasoexcesivamentealtas;sedejar unespacioentrelasbarrasquenoseainferioralamitaddelanchodeellas;sielgrfico incluye muchas barras, es mejor sustituirlo con un diagrama lineal Problema Una fuente de trabajo y entrada de divisas extranjeras al pas, es la venta de la bebida tequila enlosmercadosdeJapn,Alemania,EstadosUnidosyotros.Lademandaaumentayla materiaprimadelagave,escaseacadavezms,porellolosindustrialesdelramohan decidido plantar los prximos 6 aos 263 millones de hijuelos de agave para evitar la escasez. As en el presente ao y el prximo de 35 mil en cada uno; en el 2002, 37 mil y en cada uno de los restantes 39 mil. Expresa esta solucin con un grfico de barras. Podemos Concluir: Con base en los nacimientos entre 1980 1990 de 2.4%, en la actualidad la demanda de estos jvenes es alta en las escuelas de enseanza media superior y superior; en cambio, por los nacidos entre 1995 2000, apenas grupos de 20 a 25 alumnos. Estas barras tambin se pueden disponer en forma horizontal. Problema Elsiguientegrficodebarrasexpresalasventasenlastiendasdeautoservicioy departamentalesenelmesdediciembrede1990ylosdeeneroaabrildel2000,inclusive. Qu se puede concluir? Cuandoelconsumoaumentaylaspersonasempezamosagastarencosasinnecesarias, superfluas y no ahorramos, las autoridades econmicas, a fin de evitar presiones inflacionarias, reducen el circulante con un corto. Conclusin: Hay mucho dinero circulante que no corresponde a nuestra capacidad de produccin 6. Grficos circulares Seusan para presentaciones grficas de distribuciones porcentuales,y si se quiereutilizarlas en secuencias cronolgicas es necesario dibujar crculos iguales, uno por cada ao, sealando en cada uno la correspondiente distribucin porcentual. El crculo de 360tiene un rea de 100%; un sector representa un tanto por ciento equivalente a la razn entre el ngulo que forman los radios que limitan el sector y los 360que son el total de grados de la circunferencia; en la forma siguiente: Problema El gas natural es uno de los principales insumos para la generacin de electricidad a travs de las termoelctricas; de uso en la industria y en los hogares como combustible. La Secretara de Energa en el ao de 1999 fue de 35 675.1 megawatts, generados as: Termoelctrica Hidroelctrica Carboelctrica Nucleoelctrica Geotermoelctricay eoleoelctrica 21 351.1, el 59.8% 9662.8,el 27.1% 2600, el 7.3% 1309, el 3.7% 752.1, el 2.1% Deesasfuentes,laCarboelctricaresultacontaminanteporelusodelcarbncomo combustible. Representar sta informacin en un grfico circular. La industria elctrica demanda mucho gas natural. Amayorindustrializacin,queasseesperaconlosnuevostratadoseconmicos,mayor nmerodeempleos,mayordemandadeenergaelctricayencarecimientodelgasnatural, industrial y domstico. Procuraqueentucasa,deserposible,seinstaleunaparatoquecaptelaenergasolar;en pases como Japn, Israel yEstados Unidos lo usan con xito y disponen de pocos meses en que hay Sol; hay estados como el de Morelos, Zacatecas y otros muchos en los que el 90% de das en el ao son con Sol 1.1 Poblacin y muestra aleatoria Poblacin Poblacin;lainvestigacinestadsticaeslaoperacinqueserefierealarecopilacinde informacinsobreunapoblacinocolectivodeindividuosuobjetosquetienenuna caracterstica comn. Muestra aleatoria Esunamuestrasacadadeunapoblacindeunidades,demaneraquetodoelementodela poblacintengalamismaprobabilidaddeseleccinyquelasunidadesdiferentesse seleccionen independientemente. 1.2 Obtener datos estadsticos Datos; sealamientos del elemento de la poblacin que origina la informacin, puede ser: una industria,hogar,unapersona,etc.peroentodocaso,launidaddebeserensudefinicin medible y fcilmente identificable. Organizacin de datos Cualitativos:Sisusvalores(modalidades)nosepuedenasociarnaturalmenteaunnmero (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos). Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguneo, Religin, Nacionalidad, Fumar (S/No) Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejora a un tratamiento, Grado de satisfaccin, Intensidad del dolor Arrojan respuesta categrica.Miden cualidades Cuantitativos: Si sus valores son numricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos) Discretas: Si toma valores enteros Nmero de hijos, Nmero de cigarrillos, Nmero de cumpleaos Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presin intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad Producen respuestas numricas.Miden cantidades Tipos de datos cuantitativos Discretos:Si el nmero de posibles valores que puede tomar es contable (nmero naturales).Generalmente resultan de un proceso de conteoContinuos:Si sus posibles valores estn en el continuo (nmeros reales).Generalmente resultan de un proceso de medicinManejo de los datos a)Citarquseinvestiga,comosedeberealizar,cuandosellevaraacaboyellugardela investigacin que es el donde. b)Larecoleccindelainformacinincluye,ordenarla,eliminarposibleserroresyanalizarla, aplicando los mtodos y normas estadsticas. c)La publicacin de la informacin ya sea para uso propio o ajeno. Presentacin de la informacin. Unavezobtenidalainformacinresultantedeunainvestigacinestadstica,quepuede haberseefectuado,porejemplo,enmedicina,paraestudiarelcomportamientodeenfermos, sujetosauntratamientoespecfico:Seescogelaformadeorganizarlaparasuanlisiso publicacin puede ser en: -Histogramas -Ojivas -Polgonos de frecuencias -Pictogramas -Grficas de barras o circulares 1.3 Medidas de tendencia central En los captulos anteriores, nos referimos a la clasificacin, ordenacin y presentacin de datos estadsticos,limitandoelanlisisdelainformacinalainterpretacinporcentualdelas distribuciones de frecuencia. El anlisis estadstico propiamente dicho, parte de la bsqueda de parmetros sobre los cuales pueda recaer la representacin de toda la informacin. Las medidas de tendencia central, llamadas as porque tienden a localizarse en el centro de la informacin,sondegranimportanciaenelmanejodelastcnicasestadsticas,sinembargo, suinterpretacinnodebehacerseaisladamentedelasmedidasdedispersin,yaquela representatividad de ellas est asociada con el grado de concentracin de la informacin. Las principales medidas de tendencia central son: -Media aritmtica. -Mediana -Moda. MediaAritmtica Cotidianaeinconscientementeestamosutilizandolamediaaritmtica.Cuandoporejemplo, decimosqueundeterminadofumadorconsumeunacajetilladecigarrillosdiaria,no aseguramosquediariamentedebaconsumirexactamentelos20cigarrillosquecontieneun paquete sino que es el resultado de la observacin, es decir, dicho sujeto puede consumir 18, un da; 19 otro; 20, 21, 22; pero segn nuestro criterio, el nmero de unidades estar alrededor de 20. Matemticamente,lamediaopromedio(tambinllamadamediaaritmtica)formalizael concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable segn la cantidad de valores obtenidos.Se expresa

La media aritmtica se define como la suma de los valores observados dividida entre el nmero de observaciones. Porlo que sevio la mayor densidadde frecuencia est enla parte centraldelas grficas, de ah el nombre de medidas de tendencia central que se da a la media aritmtica, la mediana y a la moda. Las medidasdeposicin son aquellosvalores numricos que nospermiten o bien daralguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. La media Donde n: es el nmero de observaciones x: el valor de cada observacin x : es la media aritmtica, media o x barra La media es la nica de las medidas de tendencia central que puede intervenir en operaciones algebraicas. Ese valor tiene varias propiedades importantes: 1)Sixesunadelasvariables,sudesviacinrespectoax esladiferenciax x .La suma de estas diferencias es cero.( )== niix x10Entodadistribucin,lasumadelasdesviacionesdecadaunodelosvaloresdela variable respecto a la media es cero. 2)Sisetomanunacantidadcualquieradeconjuntosdevalores,cadaunoconsu respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las medias de los diferentes conjuntos. 3)Es posible hallar la media de un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4)Siaunconjuntodeobservacionesdeunavariableselerealizaunaoperacin matemtica usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores asobtenidosesigualalaaplicacindelamismaoperacinmatemticausandoese valor constante sobre la media original. Media para datos sin agrupar Dadounconjuntodeobservaciones nx x x ,...., ,2 1lamediaserepresentamediantex yse obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el nmero de ellos, es decir:

Problema Hallar la media aritmtica de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

Problema Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana. Lunes: 18 Martes: 21 Mircoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sbado: 19Domingo: 19 Entonces la media aritmtica es.nxnx x xxniin==+ + +=1 2 120719 19 20 21 22 21 1871=+ + + + + +== iixEl fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios. Ejercicios 1.Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluacin fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluacin. 2.La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. Mediana y Moda La mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus propiedades destacan los valores individuales de un colectivo. A.Mediana Lamedianasedefinecomoelvalorquedivideunconjuntodedatospreviamente ordenados de menos a mayor y es el punto intermedio entre ellos dos. Si el nmero N de datos es impar, entonces hay un nmero intermedio; por ejemplo, si se tienen los datos 3, 5, 7, 9, 11 el nmero 7 es el nmero intermedio.Si el nmero N de datos es par, entonces hay dos datos intermedios; por ejemplo, la media delosvalores8,10,16,19,23,25,haydosvalorescentralesqueson16y19,elvalor equidistante entre ellos es la mediana: 5 . 17235219 16= =+ es la mediana B.Moda En un conjunto de datos de una distribucin de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia; por ejemplo, en los valores 1, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, la moda es 6. Media Ponderada Por lo general, en Estadstica, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribucin defrecuenciasquehacequenotodosloselementosdelaserietenganelmismopeso especfico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada. Sedefinecomolasumadelosproductosdecadaelementodelaserieporsufrecuencia respectiva, dividida por el nmero de elementos de la serie. Si nx x x ,...., ,2 1sonlascantidades nc c c ,...., ,2 1lasrespectivasponderaciones,entoncesla media ponderadaxes: ===+ + ++ + +=niininn ncx cc c cx c x c x cx111 12 12 2 1 1 donde ic es la frecuencia o nmero de veces que se repite un valor. Tambin ic puede serla ponderacin de cada valor xi. Paracalcularlamediaaritmticadeunadistribucindefrecuenciasagrupadasconsideramos que a todos los valores que hay dentro de un intervalo de clase se les considera de un mismo valorigualaldelamarcadeclaseylasfrecuenciassonlasponderadasdelosvaloresen correspondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es el total de veces que se tiene registro.

Problema Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron: Salarioen pesos Frecuenciaen das 200.0005 220.00015 300.0004 Hallar el salario medio durante ese mes. ( ) ( ) ()244 000 . 300 15 000 . 220 5 000 . 200 + += xProblema El nmero de das necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales caractersticas han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 das. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviacin tpica. La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el nmero total de datos de los que se dispone:

La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia: 15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80. Como quiera que en este ejemplo el nmero de observaciones sea par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60y60.Si realizamos el clculodela media de estos dos valores nos dar a su vez 60, que es el valor de la mediana. La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60 1.4 Medidas de Dispersin Lamediaaritmtica,medianaylamodadescribenelcomportamientodelosdatosenuna distribucin de frecuencias. Estasmedidasnoproporcionaninformacinsobrelaformaenqueestndistribuidoso dispersoslosvaloresconrelacinalatendenciacentral,ypocoinformansobreundato especfico con relacin a los otros en la distribucin de frecuencias. Estudiaremosladesviacinmedia,lavarianzayladesviacinestndar,quemidenla dispersin. Rango Entodadistribucinhayvaloresextremos,unomenoryotromayor,ladiferenciaentreestos valoressellamarangoyenelestndistribuidostodoslosdemsvalores.Esunamedidade dispersin y es la ms fcil de obtener. Desviacin media La desviacin media y la varianza son medidas de dispersin que tienen relacin con la media aritmtica,yaquelastrestienenpropiedadesalgebraicasquelespermitensuusoen relacionesmatemticasquesonlabaseestructuraldelosanlisisestadsticos;porsus propiedadesalgebraicossonlasmedidasdedispersindemsfrecuenteaplicacinyde mayor importancia.La media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmtica, es la desviacin media. Para datos no agrupados, se tiene |

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Y para datos agrupados

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Probl emaCalcular la desviacin media de la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

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Varianza La varianza (

) es la media aritmtica de los cuadrados de desviaciones respecto a la media aritmtica. La varianza (

) para datos no agrupados se obtiene con:

(

)

Para datos agrupados

(

)

Problema Calcula la desviacin media DM y la varianza de la serie de nmeros9,10,2,7,12,6,5,8,12,10

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)

()

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Desviacin estndar o tpica La desviacin estndar o desviacin tpica, es la raz cuadrada de la varianza. Desviacin estndar

La desviacin estndar es la ms importante de todas las medidas de dispersin ya que incluye ms o menos el 68% de los trminos de una distribucin normal; adems, por sus propiedades algebraicas se utiliza con facilidad en el anlisis estadstico. 1.5 Tablas de distribucin de frecuencia Elaborar Tabla de distribucin de frecuencias Unavezreunidoslosdatosdeuncolectivoparaobtenerapartirdeellosconclusiones,es necesario organizarlos en una tabla de distribuciones de frecuencia. Lacualnosrepresentaunafuncin,seclasificanentrestipos,segnelnmerode observaciones y al nmero de valores distintos que toma la variable. Distribucin de tipo uno. Son aquellas que constan de un reducido nmero de observaciones y en consecuencia de un reducido nmero de valores distintos que toma la variable. Distribuciones de tipo dos. Sonlasqueelnmerodeobservacionesesgrande,peroelnmerodevaloresdistintosque toma la variable son pequeo; en este tipo, se distribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una para los valores distintos que toma la variable y otra para la frecuencia de cada uno de ellos. Problema. Para determinar el grado de nutricin de 20 alumnos de secundaria se toma la altura en cm de cada uno de ellos y son: 128146136136152 140124134142138 136120130136132 136134142132144 Para facilitar su interpretacin se ordenan de forma ascendente o descendente, a este proceso se le llama orden de rango. 120132136142 124134136142 128134136144 130136138146 132136140152 Paraprocederaorganizarlosdatosseusalatabladefrecuenciaqueexpresaelnmerode casos de cada categora. Distribucin de tipo tres Si el nmero de observaciones y el nmero de valores que toma la variable son grandes para sumanejoseagrupanlasobservacionesenintervalos i iL L 1,eligiendoentreellosuna amplitudfijaovariable,mismosqueseanotarnenunaprimeracolumna;enlasegunda,se tabularn os valores para facilitar su conteo; y en la tercera, se pondr el nmero de frecuencia f correspondiente a cada intervalo. Losgruposocategorasqueincluye i iL L 1sellamanintervalosdeclase;losvalores 1 iLson los lmites inferiores y iLlos lmites superiores de estos intervalos. Clases i iL L 1 TabulacionesFrecuencias (f) if1 0L L 2 1L L k kL L 1 kfff21 La frecuencia absoluta o simplemente frecuencia, es el nmero de veces que se repite la variable ix ; as 1f , es el nmero de veces que se repite la observacin 1x , 2fel nmero de veces que se repite la observacin 2x , etc. Problema Enunexamendepartamentaldefsicaseexaminaron50alumnosconlossiguientes resultados; 8766736848 3776857465 9377668368 4957386978 8996789774 7668637081 6483676190 7788747580 7173615772 8077858089 Expresamos la tabla de frecuencia, con los datos en forma ascendente. 3765727785 3866737785 4866737887 4967747888 5768748089 5768748089 6168758090 6169768193 6370768396 6471778397 Tabla de frecuencias Clases i iL L 1 TabulacionesFrecuencias (f) if35-39II2 40-440 45-49II2 50-540 55-59II2 60-64IIII4 65-69IIIII II8 70-74IIIII III8 75-79IIIII III8 80-84IIIII I6 85-89IIIII II6 90-94II2 95-100II2 Marca de clase. Una vez hecho todo lo anterior y antes de aplicar a la informacin los mtodos estadsticos, es necesario sustituir cada intervalo porunnmero, a este nmero se lellama marca de clasey eselvalorcentraldecadaintervalo,esdecirlamediaaritmticadeloslmitesinferiory superior, se obtiene as: Marca de clase =21 i iiL Lx+= Tabla de frecuencias Clases i iL L 1 TabulacionesMarca de claseMc ixFrecuencias (f) if1 0L L 2 1L L k kL L 1 kxxx21 kfff21 Los datos obtenidos los anotamos en la tabla de frecuencias Clases i iL L 1 TabulacionesMarca de clase mc ixFrecuencias (f) if35-39II372 40-440420 45-49II472 50-540520 55-59II572 60-64IIII624 65-69IIIII II677 70-74IIIII III728 75-79IIIII III778 80-84IIIII I826 85-89IIIII II877 90-94II922 95-99II972 Diagrama de frecuencia de puntos El diagrama de frecuencia de puntos es una informacin grfica de cmo estn distribuidos los datos sobre el rango (contradominio en el clculo). Diagrama de barrasEl diagrama de barras es la representacin grfica que se usa cuando se dispone de muchas observaciones pero pocos valores de la variable (distribucin de tipo dos). Seelaborasealandoenelejedelasx(abscisas)deunsistemadeejescoordenados,los valoresdelavariable,poniendosobreellasunascolumnasaescaladelasalturasigualala frecuencia de cada uno de los valores, medidos en el sentido del eje de las y (ordenadas). Problema Ungrupode15alumnospresentaexamenextraordinariodequmica;unfuncionariodela escuela necesita saber cuntos alumnos obtuvieron calificacin inferior a 6 y cuntos entre 6 y 8. Para resolver este tipo de problemas, ordenamos las calificaciones en una tabla de frecuencias y contestamos preguntas como inferior o igual que y superior a. As: xy 0 puntos0 1 puntos2 2 puntos1 3 puntos3 4 puntos0 5 puntos2 6 puntos3 7 puntos1 8 puntos2 9 puntos1 10 puntos0 De donde 8 alumnos obtuvieron una calificacin menor a 6, y 6 su calificacin est entre 6 y 8. Histograma. Datos agrupadosElhistogramaeslagrficamsusualyseutilizacuandoelnmerodeobservacionesyel nmero de valores que toma la variable son grandes (distribuciones de tipo tres).Loshistogramassonunaformaderepresentacindelafrecuenciasdeclasepormediode reasrectangulares(barras),perosondiferentesalosdiagramasdebarrascuyasalturas miden el tamao dela variabley generalmente se dibujan separadas, dejandoespacios entre ellas; en cambio, en los histogramas las frecuencias quedan representadas porelreade los rectngulos, no por sus alturas, y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacios entre ellas. Histograma Concepto de densidad La densidad fsica es un concepto relativo que relaciona el volumen de un cuerpo con su masa. Enestadstica,porladensidaddefrecuencia,seobtienelafrecuenciaabsolutaonmerode casos que hay dentro del intervalo de clase En los histogramas, el eje vertical mide la densidad de frecuencias y el eje horizontal mide los intervalos de clase. As: Longitud de los ejes para expresar un histograma Elejeverticaldebesertrescuartosdelalongituddelejehorizontal,elcualseescogede acuerdo con la necesidad del problema. Problema Traza el histograma de la distribucin de frecuencia agrupadas siguientes: 051015202530Series1 Clases i iL L 1 TabulacionesFrecuencias (f) if35-39II2 40-440 45-49II2 50-540 55-59II2 60-64IIII4 65-69IIIII II7 70-74IIIII III8 75-79IIIII III8 80-84IIIII I6 85-89IIIII II7 90-94II2 95-100II2 Para trazar el histograma procedemos as: Sobre el eje de las abscisas ponemos a escala los valores de la variablex (los puntajes), por intervalos. Se trazan perpendiculares sobre el eje horizontal de la longitud que sea necesaria C1Frequency100 90 80 70 60 50 401086420Mean 73.46StDev 13.31N 50Histogram of C1Normal Polgonos de frecuencia El polgono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de los intervalos de clase del histograma Frecuencia acumulada: Ojivas Elcuadrosiguienteexpresaladistribucindefrecuenciasagrupadasnoacumulativasquese elaboro ClaseFrecuencias 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 163.5-168.5 4 4 8 21 6 25 21 10 1 Total100 La frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta. Problema Conbaseenelcuadroanteriordedistribucindefrecuenciasagrupadas,obtenerdos cuadros; el de frecuencias acumuladas hacia abajo y otro de frecuencias acumuladas hacia arriba, y trazar las ojivas correspondientes. Cuadro A Frecuencia acumulada de estaturas que expresa el nmero de alumnos que miden menos de la estatura indicada. EstaturaNm. De alumnos 123.5 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 0 4 8 16 37 43 68 89 99 100 Cuadro B Frecuencia acumulada deestaturas que expresa elnmero de alumnos que midenms de la estatura indicada. EstaturaNm. De alumnos 123.5 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 100 96 92 84 63 57 32 11 1 0 Distribucin de frecuencias relativas Poder organizar la informacin en una tabla de frecuencias, presentarla en cuadros, marcar los intervalosdeclaseyhacerlasgrficasdefrecuenciasabsolutas,permitenrelacionary comprender los valores de un mismo colectivo. Frecuencia relativa; es el resultado de dividir c/u de las frecuencias absolutas por el tamao de la muestra. Lafrecuenciarelativadeunaclaseseobtieneentantoporciento,queeslanuevabase,si dividimoslafrecuenciadelaclaseentreelnmerototaldefrecuenciasyelresultadolo multiplicamos por 100. 100NLrelativa Frecuencia =Parafacilitarelclculodelasfrecuenciasrelativasdecadaclase,seusaunfactorde correccin que resulta de dividir 100 por el nmero total de frecuencias. NFactor100=Problema Las autoridades de la secretaria de educacin pblica deciden que en otra escuela tambin se tomen las estaturas en cm. De todos los alumnos, pero ahora, de los menores de 17 aos, para fines nutricionales. Elaborauncuadrodefrecuenciasagrupadasqueincluyalasfrecuenciasabsolutasylas relativas, estas ltimas en tanto por ciento. ClaseFrecuenciasRelativas en % 123.5-128.5 128.5-133.5 133.5-138.5 138.5-143.5 143.5-148.5 148.5-153.5 153.5-158.5 158.5-163.5 163.5-168.5 168.5-173.5 2 3 8 20 9 8 30 23 15 4 1.638 2.457 6.552 16.380 7.371 6.552 24.570 18.837 12.285 3.276 Total122100.00 Factor de correccin( ) ( ) 457 . 2 819 . 0 3 638 . 1 819 . 0 2 819 . 0122100= = = = factor Distribuciones porcentuales acumuladas Loscuadrosdefrecuenciaacumuladaporcentualesseobtienenconvirtiendolasfrecuencias acumuladas en frecuencias relativas o proporcionales de base 100. Frecuencia relativa acumulada; se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada entre el tamao de la muestra. Problema Enelcuadrosiguienteladistribucinacumulativadeestaturasdeungrupodealumnos,que expresaelnmerodeellosquemidieron,menosdelaestaturaindicada,agregalacolumna correspondiente a las frecuencias relativas y traza la ojiva porcentual. EstaturaFrecuencia acumulada Nm. De AlumnosRelativas en % 128.5 133.5 138.5 143.5 148.5 153.5 158.5 163.5 168.5 173.5 0 2 5 14 38 45 65 89 103 106 0.000 1.886 4.715 13.202 35.834 42.435 61.295 83.927 97.129 100.000 Factor de conversin943 . 0106100= = f actorSe obtienen las frecuencias relativas: ( ) ( ) ( ) 715 . 4 943 . 0 5 886 . 1 943 . 0 2 00 . 0 943 . 0 0 = = = Media para datos agrupados Problema Calcularlamediaaritmticadeladistribucindefrecuenciasagrupadasdelatablade frecuencias. Clases i iL L 1 TabulacionesMarca de clase mcixFrecuencias (f) if35-39II372 40-440420 45-49II472 50-540520 55-59II572 60-64IIII624 65-69IIIII II677 70-74IIIII III728 75-79IIIII III778 80-84IIIII I826 85-89IIIII II877 90-94II922 95-100II97.52 Se procede de la siguiente manera IntervalosMarca x Frecuencias (if ) i ix f35-3937274 40-444200 45-4947294 50-545200 55-59572114 60-64624248 65-69677469 70-74728576 75-79778616 80-84826492 85-89877609 90-94922184 95-10097.52194 50 2 2 7 6 8 8 7 4 2 0 2 0 21= + + + + + + + + + + + + ==niif3670 194 184 609 492 616 576 469 248 114 0 94 0 741= + + + + + + + + + + + + ==nii ix f 4 . 7350367011= = ===niinii ifx fx ..\..\..\..\semestre enero 2012\1 media.xlsx ..\..\..\..\semestre enero 2012\2 desviacin media.xlsx 1.6 CalcularCuantiles Los cuantiles son medidas de posicin que se determinan mediante unmtodo que determina la ubicacin de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Loscuantilessonlosvaloresdeladistribucinqueladividenenpartesiguales,esdecir,en intervalosquecomprendenelmismonmerodevalores.Cuandoladistribucincontieneun nmero alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribucin en cuatro, en diez o en cien partes. Los ms usados son los cuartiles, cuando dividen ladistribucin en cuatro partes; los deciles, cuandodividenladistribucinendiezpartesyloscentilesopercentiles,cuandodividenla distribucin en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensin de la mediana. Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u): uQ(u) 0.5Mediana 0.25,0,75Cuartiles 0.1,,0.99Deciles 0.01,,0.99Centiles CUARTILES Afindeconocerlosintervalosdentrodeloscualesquedanrepresentadosproporcionalmente lostrminosdeunadistribucin,sedivideladistribucindefrecuenciaen4partesiguales, cada una contiene igual nmero de observaciones (el 25% del total). Los puntos de separacin de los valores de X se llaman cuartiles. El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con

. El segundo cuartil es

que representa el valor de 50% y coincide con la mediana. El tercer cuartil es

representa el 75% de las observaciones que estn por debajo de l. Clculo de cuartiles 1.Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante laexpr esi n

ProblemaDada la siguiente distribucin en el nmero de hijos (Xi) de cien familias, calcular sus cuartiles.xi

01414 11024 21539 32665 42085 515100 Primer cuartil

Primera

Segundo cuartil

Primera

Tercer cuartil

Primera

Clculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, enl at abl ade l asf r ecuenci asacumul adas.

El lmite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil, es

. La suma de las frecuencias absolutas, es N. La frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil, es

La amplitud de la clase, es

. Problema Calcularloscuartilesenelcuadrodefrecuenciasagrupadas,endondesehanregistradolas alturas de un grupo de alumnos. Clase

50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 8 10 16 14 10 5 2 8 18 34 48 58 63 65 65 Clculo del primer cuartil ()

()

Clculo del segundo cuartil ()

()

Clculo del tercer cuartil ()

()

ClaseFrecuencias 121.5-126.5 126.5-131.5 131.5-136.5 136.5-141.5 141.5-146.5 146.5-151.5 151.5-156.5 156.5-161.5 161.5-166.5 2 3 8 23 27 20 16 3 2 Total DividimoseltotalNdelasfrecuenciasacumuladasentre4yobtenemoselnmerode observaciones que hay en el primer cuartil.

Elprimercuartil cae en laclase, las tresprimeras clases contienen 13 alumnos (sumamos 2+3+8=13) para las 13 que faltan los calculamos por interpolacin lineal, as; 1.7 Grficos 1.8 Cajas y alambres Diagramas de cajaLosdiagramasdeCaja-Bigotessonunapresentacinvisualquedescribevarias caractersticas importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersin y simetra. Parasurealizacinserepresentanlostrescuartilesylosvaloresmnimoymximodelos datos, sobre un rectngulo, alineado horizontal o verticalmente. Es un grfico que suministra informacin sobre los valores mnimo y mximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atpicos y la simetra de la distribucin. Una grfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados ms largos muestran elrecorridointercuartlico.Esterectnguloestdivididoporunsegmentoverticalqueindica dondeseposicionalamedianayporlotantosurelacinconloscuartilesprimeroytercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana).

Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mnimo y mximo de la variable. Laslneas que sobresalen de la caja se llamanbigotes. Estos bigotes tienenunlmitedeprolongacin,demodoquecualquierdatoocasoquenoseencuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente. Problema Distribucin de edades Utilizamos la ya usada distribucin de frecuencias (en tallos y hojas), que representan la edad de un colectivo de 20 personas.36253724392036453131 39242923414033243440 Ordenar los datos Para calcular los parmetros estadstico, lo primero es ordenar la distribucin 2023242424252931313334363637393940404145 Calculo de Cuartiles Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribucin. Como N = 20 resulta que

; el primer cuartil es la media aritmtica de dicho valor y el siguiente:

Q2,elSegundoCuartiles,evidentemente,lamedianadeladistribucin,eselvalordela variablequeocupaellugarcentralenunconjuntodedatosordenados.Como

;la mediana es la media aritmtica de dicho valor y el siguiente:

Q3,elTercerCuartil,eselvalorquesobrepasaal75%delosvaloresdeladistribucin.En nuestro caso, como

, resulta

Dibujar la Caja y los Bigotes El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades (

) La primera parte de la caja a (Q1, Q2),

La segunda parte de la caja a (Q2, Q3) El bigote de la derecha viene dado por (

)Informacin del diagrama Podemosobtenerabundanteinformacindeunadistribucinapartirdeestas representaciones. Veamos alguna:-La parteizquierda de la caja es mayorque la de la derecha; elloquiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la poblacin est ms dispersa que entre el 50% y el 75%. -Elbigotedelaizquierda(

)esmscortoqueeldeladerecha;porelloel 25% de los ms jvenes estn ms concentrados que el 25% de los mayores. -Elrango

;esdecir,el50%delapoblacinest comprendido en 14,5 aos. 1.9 Diagrama de Pareto ElnombredeParetofuedadoporelDr.JosephJuranenhonor del economista italiano Wilfredo Pareto. WilfredoPareto(Paris1848Turn1923)economistaitaliano, realiz un estudio sobre la riqueza yla pobreza. Descubri que el 20%delaspersonascontrolabael80%delariquezaenItalia. Paretoobservmuchasotrasdistribucionessimilaresensu estudio. Aprincipiosdelosaos50,elDr.JosephJurandescubrila evidenciaparalareglade"80-20"enunagranvariedadde situaciones.Enparticular,elfenmenoparecaexistirsin excepcinenproblemasrelacionadosconlacalidad.Unaexpresincomndelaregla80/20 es que "el 80% de nuestro negocio proviene del 20% de nuestros clientes." Por lo tanto, el Anlisis de Pareto es una tcnica que separa los "pocos vitales" de los "muchos triviales". Una Grfica Pareto es utilizada para separar grficamente los aspectos significativos de un problema desde los triviales de manera que un equipo sepa dnde dirigir sus esfuerzos para mejorar. Definicin El Diagrama de Pareto consiste en un grfico de barras similar al histograma que se conjuga conunaojivaocurvadetipocrecienteyquerepresentaenformadecrecienteelgradode importanciaopesoquetienenlosdiferentesfactoresqueafectanaunproceso,operacino resultado. ..\..\..\..\semestre enero 2012\diagrama de pareto.xlsx Al identificar y analizar un producto o servicio para mejorar la calidad. Cuandoexistelanecesidaddellamarlaatencinalosproblemasocausasdeunaforma sistemtica. Alanalizarlasdiferentesagrupacionesdedatos(ejemplo:porproducto,porsegmentodel mercado, rea geogrfica, etc.) Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones Al evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y despus). Cuando los datos puedan agruparse en categoras. Encasostpicos,lospocosvitales(pasos,servicios,tems,problemas,causas)son responsables por la mayor parte en el impacto negativo sobre la calidad. Un equipo puede utilizar la Grficade Pareto para varios propsitos durante unproyecto para lograr mejoras. -Para identificar oportunidades para mejorar-Para identificar un producto o servicio para el anlisis de mejora de la calidad-Cuandoexistelanecesidaddellamarlaatencinalosproblemasocausasdeunaforma sistemtica-Para analizar las diferentes agrupaciones de datos-Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones-Para evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso comparando sucesivos diagramas obtenidos en momentos diferentes, (antes y despus)-Cuando los datos puedan clasificarse en categoras-Cuando el rango de cada categora es importanteLos propsitos generales del diagrama de Pareto -Analizar las causas-Estudiar los resultados-Planear una mejora continua -Como fotos de "antes y despus" para demostrar que progreso se ha logrado Unidad II - Probabilidad2.4 Permutaciones y combinaciones 2.5 Diagramas de rbol 2.6 Axiomas de probabilidad 2.7 Independencia y probabilidad condicional 2.8 Teorema de Bayes. 2.1 Probabilidad de eventos Experimento Aleatorio DefinicinUn experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera 2.2 Espacio muestral Definicin Elconjuntodetodoslosposiblesresultadosdeunexperimentoaleatoriorecibeelnombrede espacio muestral del experimento. El espacio muestral se denomina con la letra S. Espacio Muestral discreto Definicin Unespaciomuestralesdiscretosiestformadoporunconjuntofinito(oinfinitocontable)de resultados. Suceso Definicin Un suceso es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. () Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un nmero primo A = {2, 3, 5} 2. Obtener un nmero primo y par B = {2} 3. Obtener un nmero mayor o igual a 5 C = {5, 6} Problema Describa el espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde. El espacio muestral que proporciona la mayor informacin consiste en los 36 puntos dados por, *( ) + Donde xrepresenta el nmero en que cay el dado rojo yrepresenta el nmero en que cay el dado verde Problema Con respecto al ejercicio anteriordescriba el suceso A en que el nmero de puntos obtenidos sea divisible entre 3. Entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, slo 3 y 6 son divisibles entre 3 *+ Problema Describa un suceso B en que el nmero de puntos obtenidos con el par de dados sea 7. Entre los posibles resultados, slo () () () () () () dan un total de 7. Por lo que el conjunto solucin es *() () () () () () + 2.3 Ocurrencia de eventos En funcin de la relacin de probabilidad que se pueda establecer entrelos sucesos, estos se clasifican en: Mutuamente excluyentes o disjuntos. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio no es posible que ocurran simultneamente.Lainterseccindelosconjuntosquelosrepresentaneselconjuntovaco. | = B ANo excluyentes entre s. Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio, en los que la posibilidad dequeocurraunodeellosnoimportaqueelotrosucesoocurra;esdecirpuedenocurrir conjuntamente.Lainterseccindelosconjuntosquelosrepresentan,eselconjuntodiferente del vaco.| = B AProblemaAl lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes. Problema Experimento aleatorio: se analiza en un momento dado el estado de salud de los habitantes de una comunidad. Consideremos los sucesos siguientes: A: La persona es diabtica B: La persona est sana C: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crnica D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa Diga que sucede para los sucesos anteriores si se pide; B A

D B C B D A Problema Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 aos de edad de una comunidad. Consideremos los siguientes sucesos. A.Una persona tiene menos de 40 aos B.La persona es ingeniero C.La persona es analfabeta D.La persona tiene 40 aos o ms Que sucede con los sucesos si se pide; D A C B D B B A 2.4 Permutaciones y combinaciones ( )( )( ) ()()

Permutacin y combinacinQu diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Miensaladadefrutasesunacombinacindemanzanas,uvasybananas":no importaenquordenpusimoslasfrutas,podraser"bananas,uvasymanzanas"o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "Lacombinacindelacerraduraes472":ahorasimportaelorden."724"no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso: -Si el orden no importa, es una combinacin -Si el orden s importa es una permutacin Permutaciones Unarreglodecosasenunordendado;constituyeunapermutacin.Enuna permutacin el orden es importante. Problema

Se tienen 6 mquinas de escribir y 6 personas para operar las mquinas, de cuntas maneras se pueden asignar las personas a las mquinas? 6 P6 = 6 ! = 6 5 4 3 2 1 = 720 Problema

DecuntasmanerassepuedenordenarlasletrasA,B,Ctomndolastodasala vez? Solucin: 3 P3 = 3 2 1 = 6 [ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB] Problema Cinco ciudades se comunican entre s, segn el diagrama De cuntas formas es posible: a)Viajar desde A hasta E b)Hacer el viaje redondo desde A hasta E 2.5 Diagramas de rbol Undiagramaderbolesunaherramientaqueseutilizaparadeterminartodoslos posiblesresultadosdeunexperimentoaleatorio.Enelclculodelaprobabilidadse requiereconocerelnmerodeelementosqueformanpartedelespaciomuestral, estos se pueden determinar con la construccin del diagrama de rbol. Eldiagramaderbolesunarepresentacingrficadelosposiblesresultadosdel experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada unadelasposibilidades,acompaadadesuprobabilidad.Cadaunadeestasramas se conoce como rama de primera generacin. Enelfinaldecadaramadeprimerageneracinseconstituyeasuvez,unnudodel cualpartennuevasramasconocidascomo ramasdesegunda generacin,segnlas posibilidadesdelsiguientepaso,salvosielnudorepresentaunposiblefinaldel experimento (nudo final). Hayquetenerencuentaquelaconstruccindeunrbolnodependedetenerel mismo nmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generacin y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que hace que stos sean mucho ms tiles para los clculos rpidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto. A continuacin ejemplificaremos cada uno de estos conceptos. Experimento aleatorio Lanzar dos monedas al aire. Para conocer el dominio utiliza un diagrama de rbol.

Entonces el dominio es: {(AA), (AS), (SA), (SS)}. EsteconjuntosellamaespaciomuestralysedesignaconS,quees,adems,el dominio de la funcin aleatoria; a cada uno de sus resultados se les llama eventos. Ahoradeterminaremoselespaciomuestraldecadaunodelossiguientes experimentos aleatorios: 1. Lanzar tres monedas al aire. 2. Lanzar un dado y dos monedas. 3. Las respuestas de un examen, si las preguntas son las siguientes: ( ) Descubrimiento de Amrica. 1. 1810 ( ) Conquista de Mxico. 2. 1492 ( ) Declaracin de Independencia.3. 1521 4. Los hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos. 5. Los lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. Ayudados por un diagrama de rbol, los resultados de las preguntas anteriores seran: 1.Lanzar tres monedas al aire son: 2.Dos monedas y un dado con seis nmeros 3.Resultados de un examen. 4.Hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos: varones H, mujeres M. 5.Lugares queocupan trespersonasenuna filadesupermercado.Llamaremos P1 = primera persona, P2 = segunda persona y P3 = tercera persona. 2.6 Axiomas de probabilidad Probabilidades: Definiciones y Conceptos LasProbabilidadespertenecenalaramadelamatemticaqueestudiaciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultadodelexperimento.Porejemplo,experimentosaleatorioscotidianossonel lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extraccin de una carta de un mazo de naipes. Ms adelante se ver que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidadesmatemticasoclsicasdelasprobabilidadesexperimentaleso estadsticas. Postulado 1Laprobabilidaddeunsucesoesunnmerorealnonegativo;estoes()para cualquier subconjunto A de S. -Lasprobabilidadessonlosvaloresdeunafuncindeconjunto,tambin conocida como medida de probabilidad, esta funcin asigna nmeros reales a los diferentes subconjuntos de un espacio muestral S Postulado 2 () Postulado 3 Si

es una secuencia finita o infinita de sucesos mutuamente excluyentes de S, entonces( ) ( ) ( ) ( ) ... ...3 2 1 3 2 1+ + + =A P A P A P A A A P-LospostuladosdeprobabilidadseaplicanslocuandoelespaciomuestralS es discreto Problema Un experimento tiene cuatro resultados posibles A, B, C, D que son ME. Explique por qu las siguientes asignaciones de probabilidad no estn permitidas. () () () ( )() () () ( )1204612027120451209)20 . 0 45 . 0 63 . 0 12 . 0 )= = = = = = = =D P C P B P A P bD P C P B P A P a Teorema Si A es un suceso en un espacio muestral discreto S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados posibles que abarcan A. Problema Si lanzamos dos veces una moneda balanceada, Cul es la probabilidad de sacar al menos una cara? C- Cara H-Cruz El espacio muestral es { } HH HC CH CC S , , , =Comolamonedaestabalanceada,estosresultadossonigualmenteposiblesy asignamosacadamuestralaprobabilidadde 41.DenotemosconAaleventoque sacamos al menos una cara, obtenemos{ } HC CH CC S , , =() ( ) ( ) ( )43414141=+ + =+ + = HC P CH P CC P A P Problema Undadoestarregladodemaneraquecadanmeroimpartieneeldoblede probabilidad de ocurrir que un nmero par. Encuentre P (G), donde G es el suceso que un nmero mayor que 3 ocurra en un slo tiro del dado. Espacio muestral { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = SSi asignamos la probabilidad W a cada nmero par y la probabilidad 2W a cada impar, se tiene 94) (919291) (911 9 1 2 2 2= + + == = = + + + + +G P G P yW W W W W W W W Teorema Si un experimento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualmente probablesysindeestosresultadosjuntosconstituyeeleventoA,entoncesla probabilidad del evento A es()NnA P = . Problema Culeslaprobabilidaddequeunapersonade25aosdeedadllegueasobrevivir hastaquetenga40aos,sideacuerdoaunatablademortalidaddecada93745 persona de 25 aos de edad, 87 426 llegan a los 40 aos. ()% 25 . 939325 . 093745874262540) (745 93 426 87=== === =aos de personas de totalaos los a lleguen que PersonasA PNnA PN n Problema En una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos. Cul es la probabilidad de sacar de la caja al azar un tornillo en buen estado? ()% 80 . 232380 . 01052580 2525) (105 25 80 25===+= === + = =caja la en tornillos de totalestado buen en tornillos de NumA PNnA PN n Algunas reglas de probabilidad. Teorema Si cA y A son eventos complementarios en un espacio muestral S, entonces ( ) () A P A Pc =1

Teorema ( ) 0 = | PPara cualquier espacio muestral S. Teorema Si A y B son eventos en un espacio muestral S y( ) ( ) B P A P entonces B A s c ,Teorema ( ) 1 0 s s A PPara cualquier evento A. Ley aditiva de la probabilidad Teorema Si A y B son dos eventos en el espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes. ( ) () ()( ) () () ( ) B A P B P A P B A PB P A P B A P + = + = a)CuandodossucesossonME,setieneque| = B A seutilizalaprimera relacin b)Cuando dos sucesos no son ME,se tiene que| = B Ase utiliza la segunda relacin c)( ) B A P Se resta para rectificar el doble conteo Demostracin.Siasignamoslasprobabilidadesa,b,caloseventosME ( ) ( ) ( ) B A y B A B Ac c , de acuerdo al diagrama de Venn. ( )( )( )( ) ( )() ) ( ) (0B A P B P A Pa a c b aa a c b ac b ac b a B A P + + = + + + = + + + =+ + + =+ + = Probl ema En una zona de la ciudad, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia tengaaparatodetelevisinacolor,unaparatodetelevisinenblancoynegro,o ambasclasesdeaparatosrespectivamente.Culeslaprobabilidaddequeuna familia posea cualquiera de las dos o ambas clases de aparatos? A.Familia con televisin a color B.Familia con televisin blanco y negro () () ( )( ) () ( ) ( )( )( ) 92 . 029 . 0 35 . 0 86 . 029 . 0 35 . 0 86 . 0= + = + = = = =B A PB A PB A P B P A P B A PB A P B P A P Probl ema Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer ao compraron 18 boletos; los de segundo grado 12 boletos. Si son 50 boletos en total, Cul es la probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa? A.Gana un alumno de primer grado B.Gana un alumno de segundo grado ElsucesoquenosinteresaesB A E= ,lossucesosAYBsonME,esdecir ( ) | = B A( )( ) % 606 . 053503050125018) ( ) (= = = = + = + = B A PB P A P B A P Ley multiplicativa de la probabilidad La probabilidad de que ocurran simultneamente dos sucesos A y B, se obtiene con el producto de sus probabilidades. ( ) ) ( ) ( B P A P B A P = Paraaplicarlaleymultiplicativaesnecesariorevisarsilossucesosinvolucradosson independientes o dependientes. a)Sucesos independientes Son aquellos en los que la ocurrencia de uno, no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. b)Sucesos dependientes Sonaquellosenlosquelaocurrenciadeunoafectalaprobabilidaddeque ocurra el otro. Probl ema Experimentoaleatorio:selanzaundadoysesacaunacanicadeunabolsa;enla bolsa hay tres canicas, una roja, una azul y una verde. Cul es la probabilidad de que salga un nmero primo y una canica azul? Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica, ni viceversa, se dice que los sucesos son independientes. A:{ } 5 , 3 , 2 , 1B: Sale canica azul ( )( ) % 2222 . 0921843164) ( ) (= = = =|.|

\||.|

\|= = B A PB P A P B A P Probl ema Deungrupoescolarsevanaelegirporsorteoa3alumnosquesehagancargode unaceremoniaescolar:enelgrupohay24hombresy12mujeres,Culesla probabilidaddequeelgrupoderepresentantesestconformadodelasmaneras siguientes? A.Sean tres hombres B.Sean dos hombres y una mujer C.Sean dos mujeres y un hombre D.Sean tres mujeres a)Sean tres hombres ( ) A PSe tienen que dar los siguientes sucesos 1A : El primer alumno seleccionado sea hombre ( )36241 = A P2A : El segundo alumno seleccionado sea hombre ( )35232 = A PLos sucesos 2 1A y Ason dependientes 3A : El tercer alumno seleccionado sea hombre ( )34223 = A P( ) ( ) ( ) ( ) ( )% 34 . 28 ) (2834 . 04284012144342235233624) (3 2 1 3 2 1== =|.|

\||.|

\||.|

\|= = =A PA PA P A P A P A A A P A P b)Sean dos hombres y una mujer 1B : Sale el primer hombre 3624) (1 = B P2B : Sale el segundo hombre3523) (2 = B P3B : Sale la mujer 3412) (3 = B P% 46 . 15 ) (1546 . 0428406624341235253624) ( ) ( ) ( ) (3 2 1== =|.|

\||.|

\||.|

\|= =B PB P B P B P B P Probl ema Cerca de cierta salida de una carretera, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un caminparadoenunretntendrfrenosdefectuososoneumticosmuygastados. Tambin,laprobabilidades0.38dequeuncaminparadoenelretntendr frenos defectuosos y/o neumticos muy gastados. Cul es la probabilidad de que un camin paradoenesteretntendrlosfrenosdefectuososascomolosneumticosmuy gastados? B: Suceso que un camin parado tendr frenos defectuosos T: Suceso que tendr neumticos muy gastados 38 . 0 ) ( 24 . 0 ) ( 23 . 0 ) ( == = T B P T P B P% 909 0 38 . 0 24 . 0 23 0) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (= = + = + = + =+ + = T B P T P B P T B PT P B P T B P T B PT B P T P B P T B P Probl ema Unaorganizacindelosconsumidoreshaestudiadolosservicioscongaranta proporcionados por las 50 agencias de automviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. Buen servicio de garantaMal servicio de garanta En operacin por 10 aos o ms 16 4 20 En operacin Menos de 10 aos 10 20 30 Total262450 a)Siunapersonaseleccionaaleatoriamenteunadeestasagenciasde automvilesnuevos,Culeslaprobabilidaddequeseleccioneunaque proporciona buen servicio de garanta?b)Siunapersonaseleccionaunadelasagenciasquehanoperado10aoso ms, Cul es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garanta?G: Denota la seleccin de la agencia que proporciona buen servicio de garanta. S: Denota el nmero de elementos en el espacio muestral completo. a) % 52 ) (52 . 050265010 16) (== =+= =G PNnG P b)Para la segunda pregunta, buscamos el espacio muestral reducido que consta delaprimeralneadelatabla,estoes,16+4=20agencias.Deestas,16 proporcionan buen servicio de garanta y se tiene % 52 ) (80 . 02016) / (== =G PT G P 2.7 Independencia y probabilidad condicional Probabilidad condicional La probabilidad condicional se aplica en el clculo de un evento cuando se sabe que ha ocurrido otro con el cual se relacionan; es decir, los sucesos son dependientes. Sean A y B dos sucesos dependientes tales que () Para expresar la probabilidad de B dado que A ha ocurrido, se expresa () De la misma manera si () Para sealar la probabilidad de A dado que B ha ocurrido, se expresa () Vamos a considerar () Laprobabilidadde()serealizaenunmismoespaciomuestral,queesun subconjunto del espacio muestral original S. Es decir, el espacio muestral original S se ve modificado por que ya ocurri el suceso A. Definicin SiAyBsondossucesoscualquieraenunespaciomuestralSy0 ) ( = A P ,la probabilidad condicional de B dado A es ) () () / (A PB A PA B P= Problema Comounejemploadicional,supngase queelespaciomuestralesla poblacinde adultos en un pequeo pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben clasificar de acuerdo con su sexo y si trabajan o no actualmente. EmpleadodesempleadoTotal Hombre Mujer 460 140 40 260 500 400 total600300900 Se selecciona al azar a uno de estos individuos para que realice un viaje a travs de todoelpas,conlaintencindepromocionarlasventajasquesederivandel establecimientodelasnuevasindustriasenlospequeospoblados.Elintersse muestra en los siguientes eventos:M: se escoge a un hombre. E: el elegido tiene un empleo. Al utilizar el espacio muestral reducido E, se encuentra que ()

Sea () el nmero de elementos de cualquier conjunto A. Utilizando esta notacin se puede escribir S () ()()

()()()()

()() Donde () Y () se obtiene del espacio muestra original S. para verificar este resultado, ntese que. ()

()

En consecuencia ()

Igual que antes. ProblemaLaprobabilidaddequeunvuelodeprogramacinregulardespegueatiempoes () La que llegue a tiempo es () encuentre la probabilidad de que un avin en el cual se:a) llegue a tiempo dado que despego a tiempo,b) despegue a tiempo dado que llego a tiempo. Solucin: a)Laprobabilidaddequeelavinlleguealahoraprevistadadoquepartia tiempo es: () ()()

b)La probabilidad de que salga a la hora prevista dado que llego a tiempo es: () ()()

En el experimento de lanzar un dado se observa que ()

()Estoes().Ahoraconsidreseotroenelcualse sacandoscartasensucesin,conremplazo,deunpaquetenormal,loseventosse definen como: A: la primera carta es un as, B: la segunda carta es de espadas. Puestoqueseremplazalaprimeracarta,elespaciomuestralparaambascartas consisten de 52, en el que hay 4 ases y 13 espadas. Por lo tanto ()

Y ()

Estoes,()()cuandoestoescierto,sedicequeloseventosAyBson independientes. Lanocindeprobabilidadcondicionalpermiterevaluarlaideadeprobabilidaddeun evento de mayor informacin; es decir cuando se sabe que otro evento ha ocurrido. La probabilidad () es una actualizacin de la ()con la base en lacerteza de que sehapresentadoeleventoB.enelproblemadelavinfueimportanteconocerla probabilidad de que el vuelo llegara a tiempo. Supngase que sabe que se vuelono partiatiempo,conestosdatosadicionales,lomspertinenteescalcular() estoes,laprobabilidaddequellegueatiempo,dadoquenollegoatiempo.En munchassituacioneslasconclusionesquesesacandelasobservacionesdela probabilidadcondicionalmsimportantescambiantotalmentelasituacin.Eneste ejemplo, el clculo de P()lo da P() ()()

Eventos independientes CuandoAyBsondoseventosconprobabilidadespositivas,hemosvistoqueen generallaprobabilidadcondicionaldeleventoBdadoeleventoAesdiferentedela probabilidaddeleventoB.Sinembargo,cuandosetienelaigualdad:()() es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurri o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B. Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. A y B son independientes si y slo si ()()() Si A y B son cualesquier eventos en el espacio muestral S, tales que()() decimos que A es independiente de B si y solo si()() e implica que ()() Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B. A y B son independientes si y slo si ()()() Problema Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado delprimereventonoafectasobrelasprobabilidadesefectivasdequeocurracarao sello, en el segundo lanzamiento. Problema A=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crdito de un banco B=evento que un estudiante tenga una tarjeta de crdito para viajes ()()() Son los eventos A y B independientes? ()()()() Si, son independientes 2.8 Teorema de Bayes Proyecto 1.Cuntaspalabrasconcdigode3letrassepuedenformarusandolas8 primeras letras del alfabeto. a)Si ninguna letra puede repetirse b)Si se pueden repetir las letras 2.Las5finalistasdelconcursoSeoritaUniversosonlosrepresentantesde Argentina,Blgica,EstadosUnidos,JapnyNoruega.Decuantasmaneras pueden elegir los jueces; a)La ganadora y la primera suplente b)La ganadora, la primera y la segunda suplente? 3.Cuntas permutaciones diferentes hay de la palabrastatistics?, Cuntas de ellas comienzan y terminan con la letra s? 4.La seorita Jones tiene cuatro faldas, siete blusas y tres suteres. En cuntas formaspuedeescogerdosdelasfaldas,tresdelasblusasyunodelos suteres para llevar en un viaje? 5.Cuntos grupos de 5 o ms personas pueden formarse con 10 personas? 6.Una placa consiste en dos letras seguidas por cuatro dgitos, cuntas placas pueden elaborar s; a)Se pueden repetir las letras y los dgitos b)Si no se pueden repetir? Calculalapermutacinocombinacincorrespondienteacadaunadelas situaciones que se dan a continuacin. 7.Se elige un comit de 5 personas en el que debe haber 2 arquitectos de 7 que hayenlacompaay3ingenierosdelos10quetrabajanah.Decuntas formas diferentes han de escoger el comit? 8.De cuantas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios? 9.Experimentoaleatorio:seobservalaescolaridaddelaspersonasde20a60 aos de edad de una comunidad. Consideremos los siguientes sucesos. E.Una persona tiene menos de 40 aos F.La persona es ingeniero G.La persona es analfabeta H.La persona tiene 40 aos o ms Que sucede con los sucesos si se pide; D A C B D B B A 10. Enungrupode200estudiantes(80 mujeresy60hombres),140en totalson alumnos de tiempo completo y otro de 60, (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial. Experimento: un estudiante es seleccionado al azar, paraesto se definen tres sucesos. A.Estudiante seleccionado de tiempo completo B.Estudiante seleccionado de tiempo parcial C.Estudiante seleccionado sea hombre a)Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no. b)Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no. 11. Seanalizaenunmomentodedoelestadodesaluddeloshabitantesdela ciudad. Consideremos los casos siguientes:A: La persona es diabtica B: La persona est sana C:Lapersonatieneunproblemadesaludpermanente,tieneuna enfermedad crnica. D: La persona tiene gripa E: La persona es hipertensa a)Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no? b)Si| = E Cson mutuamente excluyentes o no? c)Qu sucede con los sucesos B y C? d)Cmo son los sucesos C y D? 12. Una organizacin de los consumidores ha estudiado los servicios con garanta proporcionadosporlas50agenciasdeautomvilesnuevosenunacierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos. Buen servicio de garanta Malserviciode garanta Enoperacin por 10aoso ms 16 4 20 En operacin Menosde10 10 20 30 aos Total262450 c)Siunapersonaseleccionaaleatoriamenteunadeestasagenciasde automvilesnuevos,Culeslaprobabilidaddequeseleccioneunaque proporciona buen servicio de garanta?d)Siunapersonaseleccionaunadelasagenciasquehanoperado10aoso ms, Cul es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garanta?G:Denotalaseleccindelaagenciaqueproporcionabuenserviciode garanta. S: Denota el nmero de elementos en el espacio muestral completo. 13. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas, 25 bolas sin marcar, 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar. a)Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca. b)Seextraeunabolayestmarcada.Calcularlaprobabilidadquesea blanca. 14. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 estn inscritos en un curso deIngls115enunodemecnicay91enambos,Cuntosdeestos estudiantes no estn inscritos en uno u otro curso? -Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los nmeros asociados con las diversas regiones. 15. Un taller sabe que por trmino medio acuden, por la maana 3 automviles con problemaselctricos,8conproblemasmecnicosy3conproblemasde chapas y por la tarde 2 con problemas elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa. ElctricosMecnicosChapaTotal Maana38314 Tarde2316 Total511420 Calcular,P(A),P(B),P(C),ascomolaprobabilidaddequeacudaporla maana dado que tiene problemas elctricos Aplique el concepto de probabilidad para resolver el siguiente problema.

16. Enunacajahay100canicasazulesy300rojas.Culeslaprobabilidadde sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento. 17. Enlaoficinadelsubdirectordelaescuelahay12calculadoras,algunasson manuales (M), otras elctricas (E); adems algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U), como se expresaen el cuadro siguiente: ME N235 U257 4812 a)Unapersonaentraalaoficinayescogealeatoriamenteunacalculadoray observa que es manual. Cul es la probabilidad de que sea nueva? b)Si la persona escoge una al azar una elctrica, Cul es la probabilidad de que sea usada? 18. EmpleandodiagramasdeVennyconladefinicindeconjuntosencontrarel conjunto solucin para cada uno de los casos que se dan a continuacin. { } { } { } { } 7 , 6 , 5 , 2 , 7 , 5 , 3 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = = c B A U . A C d B C c B C b A B a ) ) ) )

19. Unaorquestade30msicosdecidenformardosgruposmusicales,unode clsica y otro de msica de saln, el primero con 12 personas y el segundo con 16; si tres de los msicos pertenecen a los dos grupos Cuntos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningn grupo? 20. Deunlotede15camisas,4sondefectuosas,sisetomanalazar3artculos del lote, uno tras otro; calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado. 21. Enunaescueladeenseanzamediasuperior,el20%delosalumnos reprobaronmatemticas,el25%fsicayel5%ambasmaterias.Sise selecciona un alumno al azar: a)Sireprobfsica.Culeslaprobabilidadquehayareprobado matemticas? b)Sireprobmatemticas.Culeslaprobabilidaddequehayareprobado fsica? c)Cul es la probabilidad de que haya reprobado fsica o matemticas? 22. Enunaescueladeenseanzamediasuperiordelapoblacindealumnosel 40% mide ms de 1.50 m, el 25% pesa ms de 52 kilos y el 15% mide ms de 1.50 m y ms de 52 kilos. Si se escoge al azar un alumno: a)Si mide ms de 1.50 m, calcular la probabilidad de que tambin pese ms de 52 kg. Proyecto 1.De cuntas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios? 2.Cinco ciudades se comunican entre s, segn el diagrama De cuntas formas es posible: c)Viajar desde A hasta E d)Hacer el viaje redondo desde A hasta E 3.Use el principio multiplicativo para solucionar el problema siguiente. DeunaciudadAhastaBhay4caminos;asuvez,laciudadBalaChay6 caminos, si todos los caminos son diferentes, de cuantas formas es posible: De cuntas formas es posible: e)Viajar de A hasta C pasando por B f)Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B g)HacerelviajeredondodesdeAhastaCpasandoporBperosiutilizarel mismo camino ms de una vez 4.Cuntos nmeros de 3 dgitos se pueden formar con 1, 2, 3 ,4,5 si; a)No se permiten repeticionesb)Se permiten repeticiones 5.Con los dgitos del 0 al 9 se quieren formar nmeros de cuatro cifras, sin repetir cifras en ninguno de los nmeros formados. a)Cuntos se pueden formar? b)Cuntos nmeros son impares? c)Cuntos nmeros son divisibles entre 2? d)Cuntos nmeros son mayores o iguales que 3000? 6.Calcularcuntosnmerosenterosdetrescifrassepuedenobtenerconlos dgitos 2, 3, 5, 7 en los casos siguientes. a)No se permite la repeticin de las cifras en ninguno de los nmeros b)Se permite la repeticin de las cifras en los nmeros 7.Cuntasdiferentesquintasdebaloncestopuedenformarsecon7jugadores disponibles para jugar cualquier posicin? 8.Un alumno de preparatoria tiene 7 libros de fsica y 5 de matemticas. Calcular decuantasmanerasposiblessepuedenordenar3librosdefsicay2de matemticas en un librero. 9.De cuntas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 20 socios? 10. Cuntasrepresentacionesdiferentessernposiblesformar,sisedeseaque constendePresidente, Secretario, Tesorero,PrimerVocalySegundoVocal?, sestarepresentacinpuedeser formadadeentre25 miembrosdelsindicato de una pequea empresa. 11. Obtengatodaslassealesposiblesquesepuedendisearconseis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

12. Decuntasmanerasesposibleplantarenunalneadivisoriadeunterreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 13. Si un equipo de ftbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, cuntasmanerashaydequeentreesosdocejuegosenqueparticipa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

14. Sisecuentacon14alumnosquedeseancolaborarenunacampaapro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de; a)5 alumnos cada uno de ellos b)Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuntos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?c)Cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? 15. Enunaescueladeenseanzamediasuperiorlosalumnosdematemticas presentanunexamenqueincluye16problemaspararesolver8deellos. Cuntosexmenesdiferentesde8problemassepuedenescogerdeesos 16? 16.Uninspectordecontroldecalidaddeseaseleccionarunaparteparala inspeccin de cada una de cuatro recipientes diferentes que contienen 4, 3, 5 y 4 partes, respectivamente. De cuntas maneras diferentes se pueden escoger las cuatro partes? 17. Decuntasmanerasdiferentessepuedencontestartodaslaspreguntasde una prueba de falso o verdadero que consta de 20 preguntas? 18. Decuntasmanerasdiferentessepuedenpresentaralpblicoloscinco jugadores titulares de un equipo de baloncesto? 19. El nmero de permutaciones de las cuatro letras a, b, c y d es 24, pero cul eselnmerodepermutacionessislotomamosdosdelascuatroletraso, como usualmente se expresa, si tomamos las cuatro letras dos a la vez? 20. DecuntasmaneraspuedeunaseccinlocaldelasociedadAmericanade Qumicaprogramaratresoradoresparatresreunionesdiferentes,sitodos ellos estn disponibles en cualquiera de cinco fechas posibles? 21. De cuntas maneras se pueden colgar, una junto a las otras, dos pinturas de Monet,trespinturasdeRenoirydospinturasdeDegasenlapareddeun museo sin hacer distincin entre las pinturas de los mismos artistas? 22. Decuntasmanerasdiferentespuedeunapersona,querenedatospara una organizacin de investigacin de mercados, seleccionar tres de 20 familias que viven en un complejo departamental dado? 23. Encuntasformasdiferentespuedenseislanzamientosdeunamoneda, producir dos caras y cuatro cruces? 24. Cuntoscomitsdiferentes,dedosqumicosyunfsico,sepuedenformar conloscuatroqumicosylostresfsicosdelprofesoradodeunapequea universidad? Unidad III - Funciones de distribucin de probabilidades 3.1 Variables aleatorias y su clasificacin Introduccin Poblacin, elementos y caracteres. PoblacinEs obvio que todo estudio estadstico ha de estar referido a un conjunto o coleccin de personas o cosas.Elementos Las personas o cosas que forman parte de la poblacin se denominan elementos. En sentido estadstico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automvil ounacasa,oalgomsabstractocomolatemperatura,unvoto,ounintervalode tiempo. Poblacin finita: cuando el nmero de elementos que la forman es finito, por ejemplo el nmero de alumnos de un centro de enseanza, o grupo clase. Poblacin infinita: cuando el nmero de elementos que la forman es infinito, otangrandequepudiesenconsiderarseinfinitos.Comoporejemplosise realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta poblacin podra considerarse infinita. Ahora bien, normalmente en un estudio estadstico, no se puede trabajar con todos los elementos de la poblacin sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjuntopuedeserunamuestra,cuandosetomanundeterminadonmerode elementosdelapoblacin,sinqueenprincipiotengannadaencomn;ouna subpoblacin, que es el subconjunto de la poblacin formado por los elementos de la poblacin que comparten una determinada caracterstica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblacin formada por los alumnos de 3 ESO, o la subpoblacin de los varones.Experimento Es cualquier proceso de observacin o medicin Espacio muestral Eselconjuntodetodoslosresultadosdeunexperimento,yselerepresentaconla letra S. Ejemplo Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {6} Ejemplo En el lanzamiento de dos monedas tenemos S = {HH, HT, TH, TT}S = {4} Ejemplo Describa un espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde. El espacio muestral que proporciona la mayor informacin consiste en los 36 puntos dados por*( )| + Dondexrepresentaelnmeroenquecayeldadorojoyyrepresentaelnmerodeldado verde Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Concepto de variable aleatoria discreta. Sea E el espacio muestral de una experiencia, una variable aleatoria x, es una aplicacin que a cada elemento de E (suceso elemental) le hace corresponder un nmero real. El recorrido de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. Recorrido *

+Se dice que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito. Ejemplo: Losvaloresenterosquesatisfacenestadesigualdaddondexeslavariable,son que son los valores particulares que puede tomar la x. Variables Aleatorias E x R Definicin Esaquellaqueasumediferentesvaloresaconsecuenciadelosresultadosdeun experimento aleatorio. SiSesunespaciomuestralconunamedidadeprobabilidadyXesunafuncinde valor real definida sobre los elementos de S, entonces X se llama variable aleatoria. Variable aleatoria discreta Unavariablealeatoriadiscretaslopuedeasumirciertonmerodevalores especficos.Sihay100empleadosenunaempresa,lacantidaddelosausentesel lunes, slo puede ser 0, 1, 2, 3,, 100. En general, una variable aleatoria discreta x es el resultado de contar algo. As por definicin: Definicin Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un nmero finito de ellos. Ejemplo El nmero de hijos de una familia puede ser 0, 1, 2, 3, pero no 2.5 o 3.48 por lo que es una variable aleatoria discreta. xVariablequenosdefineelnmerodeburbujasporenvasedevidrioqueson generadas en un proceso dado. x0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., etc. burbujas por envase xVariablequenosdefineelnmerodeproductosdefectuososenunlotede25 productos. x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote xVariablequenosdefineelnmerodealumnosaprobadosenlamateriade probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

Definicin; Variable aleatoria continua Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores,aleatoria,porquelosvaloresquetomasontotalmentealazarycontinua porque puede tomar t