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Abstracto— Los métodos utilizados en este proyecto son sólo
2. Él método de Simpson atribuido al físico matemático Thomas
Simpson utilizando en vez de trapecios el usó de parábolas para
reducir el margen de error y el método de trapecio se utilizan
trapecios para dividir un área.
Índice de términos—Área, Cálculo, Métodos numéricos,
Trapecio, Simpson,
I. INTRODUCCIÓN
N este trabajo, parte de la asignatura de cálculo
integral,
Se requiere estimar el área de la universidad de
Montemorelos usando métodos de integración numérica
usando la regla del trapecio y la regla de Simpson.
II. MARCO TEÓRICO
Los métodos que se utilizaron para calcular el aérea
son en particular 2 métodos de integración numérica, la
integración numérica son métodos para calcular
aproximadamente el valor de una integral definida.
Una integral definida se interpreta como el aérea bajo
la curva de una función f(x) entre los límites [a, b]. Por
ende una de las aplicaciones de los métodos numéricos
es la de estimar valores aproximados de aéreas.
Una de los métodos que se utilizo fue el de la “Regla de
Trapecio”, en el que se dividió en N sub áreas el área
total de la universidad para calcular su valor asumiendo
cada sub área como un pequeño trapecio.
Formula: (1)
𝐼 =𝑏 − 𝑎
2𝑛[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1)] + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1)
+ 𝑓(𝑥𝑛)
𝐼 =𝑏−𝑎
2𝑛[𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)𝑛−1
𝑖=1 ] (2)
Donde n es el numero de particiones, a y b son los
limites.
Como la regla del trapecio son estimaciones o
aproximaciones al valor real, se puede conseguir que el
resultado sea más exacto con mayor número de
particiones pero aun así tendremos un error, el error para
la regla de trapecio está dado por la siguiente fórmula:
|𝐸𝑇| ≤(𝑏−𝑎)3
12𝑛12 ∗ 𝑀 (3)
La otra manera con la que calcularemos es con la regla
de Simpson,
(4)
𝐼 =𝑏−𝑎
3𝑛[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1)] + 2𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) +
2𝑓(𝑥4) + … + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)
|𝐸𝑠| ≤(𝑏−𝑎)5
180𝑛4 ∗ 𝑀 (5)
Integración Numérica: Cálculo de áreas. Francisco Corella, Alejandro Gracida, Guillermo J. Gracida, Joel A. Espinosa, Rubén A. López
E
2
III. METODOLOGÍA
Se utilizó el software Google Earth 7.0.3 para tomar las
medidas de la universidad incluyendo la finca y el área
que corresponde a la iglesia y el conservatorio de
música, para la primera parte se decidió hacer 30
particiones, el espacio entre particiones fue de 30
metros, la medición de la iglesia y del conservatorio de
música fueron calculadas en otra área, donde se
decidieron hacer 7 particiones y el espacio entre cada
una d ellas fue de 27.5 metros. Posteriormente las 2
aéreas fueron sumadas.
Figura 1. Área de la Universidad y finca
El área de la universidad se dividió en 30 particiones
cada partición tiene un ancho de 30 metros, se vaciaron
los datos en Microsoft Excel del largo de cada partición
en la tabla, y posteriormente se calculó el área con el
método del trapecio y el método de Simpson
descontando el área del Instituto Soledad Acevedo De
los Reyes (ISAR).
Figura 2. Datos del Campus Excel
Igualmente se hizo para calcular el área de la Finca de la
universidad, se hicieron 30 particiones de 30 metros
cada partición se hicieron las tablas y cálculos
correspondientes.
Figura 3. Datos de Finca vaciado en Excel
Para el cálculo del área de la iglesia, el estacionamiento
y el conservatorio de música se decidieron hacer 8
particiones, cada partición tiene un grosor de 24.0625
para un total de 192.5 metros, cada f(xi) fue vaciaron los
datos en un tabla de Excel y se calcularon las áreas por
el método de Simpson y del trapecio.
Fig. 4. Área de iglesia, conservatorio y estacionamiento
Fig. 5. Datos de iglesia vaciados en Excel
3
Los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes:
Fig. 6. Resultados finales
IV. CONCLUSIÓN
Por medio de estos métodos numéricos (Simpson y
trapecio) es posible calcular aproximadamente áreas
irregulares de manera que para mayor exactitud
aproximada se utilizan las fórmulas de error (3) y (5).
Los resultados mostrados en la fig. 6. Es una
aproximación usado vistas satelitales y escalas para
poder aproximar las áreas mediante estos métodos. Si se
requiere ser muy preciso se tendría que medir con
materiales diseñados para hacer mediciones como el
hectómetro o metro.
Bibliografías
[1] http://fjarabo.webs.ull.es/VirtualDoc/Curso%202010-2011/Ingenier%C3%ADa%20Qu%C3%ADmica/2_Teoria/Tema_6_Ing
enieria_de_la_Reaccion_Quimica/A60/603_Integracion_grafica_por_Trapecios.pdf
[2] http://www.unalmed.edu.co/~metnum/integracion.pdf [3] http://www.eui.upm.es/~gmazario/AMGrados/Curso2011-
12/Trabajo2_IntegNum.pdf
Biografía
Thomas Simpson (20 de
agosto de 1710, Market
Bosworth, Leicestershire, Inglaterra,
Reino Unido - 14 de mayo de 1761)
fue un inventor y matemático inglés.
La regla de Simpson lleva su nombre
en su honor.
Thomas Simpson nació en una familia
de situación económica modesta. Su
padre era un tejedor, de modo que él
también trabajó inicialmente en este
oficio. Las matemáticas las aprendió estudiando por su cuenta,
de manera autodidacta. Alrededor de 1725 se mudó
a Nuneaton, Warwickshire, para trabajar allí como matemático
hasta 1733, lugar en el que contrajo matrimonio con su esposa
en 1730. En el año 1733 tuvo que huir hacia Derby. Entre
1733 y 1736 volvió a mudarse, esta vez hacia Londres, donde
nacieron sus hijos, Elizabeth en 1736 y luego Thomas en
1738.
A partir de 1743 impartió clases de matemáticas en la Royal
Military Academy en Londres.