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MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS VVII IDENTIFICACIÓN DEL CURSO

Ubicación HCA HTI Total de horas Valor en créditos

6° semestre 4 1 5 5

Tipo de curso Obligatorio

Asignaturas paralelas

Inglés IV Filosofía Metodología de la investigación Optativa IV Optativa V Optativa VI Actividades culturales y deportivas Servicio social universitario

Etapa de formación Bloque de formación

Propedéutica Matemáticas

Elaboración Fecha de elaboración:

Everardo Viera Maldonado Pedro Ramón Gómez López Raúl González Bernal Luis Alberto Cruz Márquez

Mayo de 2010

Fecha de reestructuración:

Mayo de 2013

DESCRIPCIÓN GENERAL

En el programa de Matemáticas VI se inicia el estudio del cálculo integral, el cual requiere del manejo de los conocimientos, habilidades y aptitudes de: aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica y cálculo diferencial; que contribuyen en el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes, y la utilización de software educativo como Geogebra, Mathgv oGraph; promoviendo el logro de las competencias disciplinares a través de la resolución de problemas matemáticos y favoreciendo a la vez el fortalecimiento de las competencias genéricas, que le permiten aportar puntos de vista distintos o proponer formas alternas para solucionar los problemas de la vida cotidiana y aprende a aprender a lo largo de la vida. La asignatura de CÁLCULO INTEGRAL le permite al estudiante contar con una cultura matemática sólida, mediante la cual puede analizar cualitativa y cuantitativamente los diferentes fenómenos que se le presenten en su entorno cotidiano y profesional, por ejemplo: determinar el punto de equilibrio del costo de un artículo y el flujo de inversión neta de una empresa; aplicar las leyes de crecimiento poblacional en la biología; determinar

variables cinemáticas, dinámicas y eléctricas en física. Además, proporciona herramientas para el desarrollo individual y social del individuo. En el Cálculo Integral la aplicación de los teoremas esenciales propicia en el alumnado una evolución en sus capacidades de abstracción y razonamiento que con lleva a una madurez matemática, misma que le será de utilidad en sus estudios superiores. En la presente asignatura se abordan las siguientes tres unidades de competencia:

I. Analiza el error obtenido al determinar la precisión en la medición de una magnitud y cómo afecta la confiabilidad de ésta, en situaciones de su contexto; mediante la aplicación de la diferencial.

II. Calcula integrales indefinidas, usando alguna de las técnicas de integración y áreas mediante la suma de Riemann, en disciplinas que tengan relación con su entorno.

III. Resuelve problemas de área bajo la gráfica de una función, áreas entre dos gráficas y sólidos de revolución; en el ámbito de las ciencias naturales y sociales, aplicando el Teorema Fundamental del cálculo a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida.

COMPETENCIAS A LAS QUE CONTRIBUYE LA ASIGNATURA

Unidad Unidad de competencia a desarrollar

Competencia genérica y atributos Competencias disciplinares básicas

Requerimientos de información

1

Analiza el error obtenido al determinar la precisión en la medición de una magnitud y cómo afecta la confiabilidad de ésta en situaciones de su contexto; mediante la aplicación de la diferencial.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso

Operaciones básicas del álgebra, graficación de funciones, manejo de funciones trascendentes y reglas de derivación.

curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

2

Calcula integrales indefinidas, usando alguna de las técnicas de integración y áreas mediante la suma de Riemann, en disciplinas que tengan relación con su entorno.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida

Graficación de funciones, áreas de rectángulos, adición de fracciones algebraicas, identidades trigonométricas y fórmulas de integración inmediata.

partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

3

Resuelve e interpreta problemas de área bajo la gráfica de una función, áreas entre dos gráficas y sólidos de revolución; en el ámbito de las ciencias naturales y sociales, aplicando el teorema fundamental del cálculo a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Graficación, fórmulas de integración inmediata y técnicas de integración.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Resuelve problemas relacionados con el cálculo integral de áreas y volúmenes aplicables en diferentes contextos, mediante el uso de reglas, métodos de integración y tecnologías de la información.

DESGLOSE DE UNIDADES

Unidad de competencia a desarrollar Requerimientos de información Duración en horas

1. Analiza el error obtenido al determinar la precisión en la medición de una magnitud y cómo afecta la confiabilidad de ésta en situaciones de su contexto; mediante la aplicación de la diferencial.

Operaciones básicas del álgebra, graficación de funciones, manejo de funciones trascendentes y reglas de derivación.

20 hrs.

Recursos didácticos sugeridos

Material para redactar,Material impreso, libros para consulta, calculadora, computadora, software para graficar y proyector.

Dominios de la unidad de competencia

Conocimientos Habilidades Actitudes y valores

Describe el concepto de la diferencial de una función. - Identifica las reglas de diferenciación. - Define la diferencial como aproximación del

incremento de la variable independiente.

Identifica la integral indefinida. - Describe las antiderivadas. - Conoce la constante de integración y su

interpretación geométrica.

Reconoce las reglas para la integración inmediata de diferenciales algebraicas, exponenciales y trigonométricas.

Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial.

Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones.

Aplica a través de una función, el concepto de integral indefinida y demuestra la importancia de la constante de integración y su significado geométrico.

Resuelve problemas que involucren la obtención de la primitiva de una función y la interpreta en situaciones reales de su entorno.

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimación de Errores.

Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el cálculo de integrales indefinidas.

Aplica las reglas de integración inmediata de diferenciales algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Resuelve problemas de administración y economía: costo total, ingreso total y utilidad total.

Proceso de evaluación

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Momento de evaluación

Tipos de evaluación

Instrumento de evaluación a utilizar

Dia

gn

óst

ica

Form

ativ

a

Su

mat

iva

Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación

Mapa conceptual: concepto de diferencial

X X X X X Lista de Cotejo

Conjunto de ejercicios: aproximaciones de la derivada

X X X X Lista de Cotejo

Problemas resueltos: funciones primitivas

X X X X Lista de Cotejo

Problemas resueltos: constante de integración.

X X X X Escala estimativa

Conjunto de ejercicios: reglas de integración inmediata.

X X X X Lista de cotejo

Unidad de competencia a desarrollar Requerimientos de información Duración en horas

2. Calcula integrales indefinidas, usando alguna de las técnicas de integración y áreas mediante la suma de Riemann, en disciplinas que tengan relación con su entorno.

Graficación de funciones, áreas de rectángulos, adición de fracciones algebraicas, identidades trigonométricas y fórmulas de integración inmediata.

35 hrs

Recursos didácticos sugeridos

Material para redactar, Material impreso, libros para consulta, calculadora, computadora, software para graficar y proyector.

Dominios de la unidad de competencia

Conocimientos Habilidades Actitudes y valores

Reconoce la integral definida. - Identifica el área limitada por la gráfica de

una función continua y = f(x) en el intervalo [a, b].

- Describe la integral definida mediante sumatorias de Riemann.

Reconoce algunas técnicas de integración. - Sustitución trigonométrica. - Integración por partes - Fracciones parciales.

Construye simbólicamente la definición de área limitada por la gráfica de una función continua y = f(x) en un intervalo [a, b] y f (x) 0.

Explica el concepto de integral definida considerando las propiedades de las sumatorias de Riemann.

Calcula áreas bajo la función, mediante las sumas de Riemann en la resolución de problemas en su entorno teórico.

Aplica la técnica de integración por sustitución trigonométrica, en funciones que

contienen expresiones de la forma √

, a - b , b - a 2222

Utiliza la técnica de integración por partes, al resolver diferentes casos. Modela la solución de problemas que requieren de la técnica de integración de fracciones parciales.

Asume una actitud constructiva y congruente en el uso de las TIC´s como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la función.

Reconoce la importancia del manejo de técnicas de integración.

Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales.

Proceso de evaluación

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE Momento de

evaluación Tipos de evaluación

Instrumento de evaluación a utilizar

Dia

gn

óst

ica

Form

ativ

a

Su

mat

iva

Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación

Problemas de aplicación: área bajo una curva.

X X X X X Escala Estimativa

Conjunto de ejercicios: técnicas de integración.

X X X X Lista de Cotejo

Banco de integrales de Funciones Trigonométricas: integrales indefinidas en funciones que contienen expresiones

como:√ ,

a - b , b - a 2222 (

X X X X Escala Estimativa

Conjunto de ejercicios: método de integración por partes.

X X X Lista de Cotejo

Conjunto de ejercicios: integración por descomposición en fracciones parciales.

X X X X Lista de Cotejo

Unidad de competencia a desarrollar Requerimientos de información Duración en horas

3. Resuelve e interpreta problemas de área bajo la gráfica de una función, áreas entre dos gráficas y sólidos de revolución; en el ámbito de las ciencias naturales y sociales, aplicando el teorema fundamental del cálculo a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida.

Graficación, fórmulas de integración inmediata y técnicas de integración.

25 hrs

Recursos didácticos sugeridos

Material para redactar, Material impreso, libros para consulta, calculadora, computadora, software para graficar y proyector.

Dominios de la unidad de competencia

Conocimientos Habilidades Actitudes y valores

Describe el teorema fundamental del cálculo, a partir de la integración aproximada de: - Regla del trapecio y regla de Simpson. - Área bajo una gráfica. - Área entre dos gráficas.

Identifica los sólidos de revolución.

Explica las reglas de integración aproximada (trapecio y de Simpson); mediante su análisis gráfico.

Modela la resolución de problemas de área bajo la gráfica de una función, o entre dos de ellas; aplicando el teorema fundamental del cálculo.

Resuelve problemas de áreas mediante la integral definida en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

Utiliza los métodos de discos y arandelas al calcular el volumen de un sólido de revolución. Aplica las integrales definidas en la solución de problemas de sólido de revolución.

Valora el uso de las TIC´s comoherramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva.

Muestra disposición a utilizar los recursos disponibles para la resolución de problemas matemáticos.

Participa activamente en la realización de ejercicios, como en la resolución de problemas.

Propone maneras creativas de solucionar problemas matemáticos.

Proceso de evaluación

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Momento de evaluación

Tipos de evaluación

Instrumento de evaluación a

utilizar

Dia

gn

óst

ica

Form

ativ

a

Su

mat

iva

Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación

Mapa Conceptual: teorema fundamental del cálculo

X X X X Lista de Cotejo

Problemas resueltos: Teorema fundamental del cálculo, al resolver problemas que impliquen el área bajo la grafica de una o dos funciones

X X

X X Escala Estimativa

Reporte de trabajo colaborativo: propiedades de la integral definida

X X X X Rúbrica

en la solución de problemas

Ejercicios resueltos: integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes

X X X X Lista de Cotejo

Problemas resueltos:cálculo de áreas, y volúmenes

X X X X X Lista de Cotejo

ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

Estrategias de enseñanza-aprendizaje

Profesor Entre compañeros Autodirigidas

Se conduce como guía y facilitador ante el grupo para el desarrollo de trabajo individual o en equipos para el análisis y solución de los problemas del comportamiento de la derivada en una función.

Promueve la investigación de problemas de aplicación de aproximación y estimación de errores en prácticas cotidianas.

Proporciona ejemplos y ejercicios para la aplicación de las diferenciales en aproximaciones y estimaciones de errores de los ámbitos social, natural y administrativo situados en su comunidad, localidad y región.

Interviene y comunica sus observaciones a los estudiantes de manera positiva y constructiva.

Promueve el autoanálisis.

Promueve el uso de las tecnologías de la información como estrategias para el

Realizar una investigación en equipos de trabajo sobre los conceptos de Antiderivada y Función Primitiva y realizar un mapa conceptual.

Elaborar de manera creativa, un formulario completo de integrales en parejas.

Resolver problemas de integrales algebraicas y trascendentes por equipo de trabajo.

Realizar una investigación acerca de la integral definida y el “Teorema Fundamental del Cálculo”, analizando en equipos un video extraído de Internet.

Resolver en parejas una serie de ejercicios propuestos, sobre la integral definida de funciones algebraicas.

Resolver en equipo problemas sobre integrales definidas de funciones trascendentes.

Obtener en forma individual o por

Explicar en forma oral el concepto de Antiderivada y Función Primitiva, así como describir con sus propias palabras cada una de las fórmulas de integración.

Resolver correctamente el problemario propuesto por el maestro, sobre integrales algebraicas y trascendentes, con limpieza, orden y puntualidad.

Describir en forma verbal o por escrito, el concepto de Integral Definida y el “Teorema Funda-mental del Cálculo”.

Resolver un problemario que contenga ejercicios referentes a integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes, con limpieza, orden y puntualidad.

Identificar de un conjunto de funciones, cuáles deben agruparse por algún método de integración y cuáles se integran directamente.

Calcular integrales de funciones propuestas por el profesor, que requieran el método de sustitución por cambio de variable.

desempeño de los estudiantes.

Propicia un ambiente de respeto y colaboración entre el alumnado.

Promueve el respeto a la diversidad de opinión entre los estudiantes, así como el respeto y tolerancia para llevar a cabo las actividades de auto-evaluación y co-evaluación.

equipos, integrales donde se aplique el método de sustitución por cambio de variable, por ejemplo:

dxxx )2(32

2

xdx5cos

dxxxx 10252 2 Obtener en forma individual o por

equipos, integrales donde aplique el método de integración por partes, por ejemplo:

xcoxdx

dxxx 3

xdxsen2

dxxe x

2

Calcular áreas de polígonos regulares, y el área aproximada de polígonos irregulares o regiones bajo una curva irregular, dividiéndolos en polígonos regulares, utilizando figuras de papel organizados en equipos de trabajo.

Resolver ejercicios donde calcule el área bajo una curva o entre dos curvas, en equipo o de manera individual.

Resolver frente a pizarrón o en equipo, un ejercicio donde calcule él área bajo una curva o entre dos curvas.

Calcular integrales de funciones propuestas por el profesor, que requieran aplicar el método de integración por partes

Obtener frente al grupo, apoyados con el uso de Geogebra el área bajo la curva de una función (o entre dos curvas), dada por el profesor.

Resolver un conjunto de problemas en los que calcule el área bajo una curva, entre dos curvas y el volumen de un sólido generado al girar una curva.

Describir en su libreta el planteamiento, desarrollo y solución de un problema asociado con Física, Economía o Biología, en el que se aplique la integral.

Resolver un conjunto de problemas de áreas tales como: Física, Economía y Biología, propuestos por el profesor, con limpieza, orden y puntualidad.

En equipos de trabajo investigar el concepto de solido de revolución, y tomar una fotografía dentro del plantel que relacione el concepto con su entorno.

Resolver en equipo o de forma individual, problemas donde calcule el volumen de un sólido de revolución.

Realizar una investigación sobre las aplicaciones del cálculo integral en diversos campos del conocimiento y elaborar un mapa conceptual en parejas de todo lo obtenido.

FUENTES DE INFORMACIÓN Bibliografía básica:

Ayres, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. Jiménez, R. (2011). Matemáticas VI Cálculo Integral: Enfoque por competencias. México: Pearson. Bibliografía complementaria:

Leithold, L., (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. Larson, R., &Hostetler, R. (2005). Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill Interamericana.