Upload
bess
View
41
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Krzysztof Suchecki Janusz A. Hołyst. Przejścia fazowe w modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych. Politechnika Warszawska Wydział Fizyki. K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Przejścia fazowe w modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych
Krzysztof Suchecki
Janusz A. Hołyst
Politechnika WarszawskaWydział Fizyki
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
EAB
połączeń międzysieciowych preferencyjnych (i~k
i)
2 sieci Barabasi-Albert, N węzłów, średni stopień <k>
Przybliżenie średniopolowe
jjj
ii sk
Nk
βJk=s tanh
jjiji sJβ=s tanh
i
ii skNk
=S1
Nk
kkJ=J ji
ij
G. Bianconi, “Mean field solution of the Ising model on a Barabasi-Albert network”, Physic Letters A 303, 166-168 (2002)
i
ii SβJkkNk
=S tanh1
Zwykłe równanie samouzgodnione dla modelu Isinga
Średnie połączenie i-j
Samouzgodnione równanie spinu
Spin ważony
Samouzgodnione równanie spinu ważonego
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Wpływ drugiej sieci
Zwykłe oddziaływania w sieci B-A
Połączone sieci - analogicznie
Analityczne rozwiązanie daje dwie temperatury krytyczne: TC-
i TC+
A BZałożenie:
kABi=pAkAAi ; kBAi=pBkBBi
iBBiB
BB
ABA
iBBi
BB
BBBB
iAAiA
AA
BAB
iAAi
AA
AAAA
kpE
βJS+k
E
βJS=S
kpE
βJS+k
E
βJS=S
22
22
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
B
A
B
A
BBAB
BAAA
S
S
S
S
ΛΛ
ΛΛ
Połączone sieci
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
B
A
B
A
BBAB
BAAA
S
S
S
S
ΛΛ
ΛΛ
2
42BAABBBAABBAA
CT
2
42BAABBBAABBAA
CT
cS
1
c
S1
Stabilne stany układu
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
T
Tc+
Stan ferromagnetyczny antyrównoległy
Stan ferromagnetyczny równoległy
Stan paramagnetyczny
Tc- antyrównoległy-równoległy
ferromagnetyk-paramagnetyk
Przejścia fazowe na przykładzie sprzężonych grafów regularnych (<k>=const.)
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Nie sprzężone: Tc0
Ferromagnetyk-Paramagnetyk: Tc+
Antyrównoległy-Równoległy: Tc-
Antyrównoległy-Równoległy, przejście 1 rodzaju: Tc1
Przejście fazowe 1 rodzaju
SA
SA
SB
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
ABiBBBii BB
BiB
BAiAAAii AA
AiA
SkpSkJE
k=S
SkpSkJE
k=S
tanh
tanh
ABBBB
BAAAA
SpSJk=S
SpSJk=S
tanh
tanh
grafy regularne (k=const.)
Przejście fazowe 1 rodzaju
SA
SA
SB
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
tSptSJk=tS
tSptSJk=tS
ABBBB
BAAAA
tanh1
tanh1
Warunek niestabilności:
1tanh
1tanh
=S
SpSJk
=S
SpSJk
A
BAAA
A
BAAA
Jkb
b
bb
bbb
bbbp
1ln
11
11
Daje się wyznaczyć zależność p(T). Można odwrócić zależność graficznie, uzyskując wykres Tc1(p).
Założenie: takie same sieci (kA=kB=k)
Przejście fazowe 1 rodzaju
SA
SA
SB
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
tSptSJk=tS
tSptSJk=tS
ABBBB
BAAAA
tanh1
tanh1
Mapa 2-wymiarowa
Po czasie przyjmujemy, że mapa osiągnęła stabilny punkt stały – rozwiązanie układu równań
Przejście fazowe 1 rodzaju
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Analityka zakładająca przejście 2 rodzaju
Analityka przejścia 1 rodzaju
Iteracje mapy
Pomiar temperatury krytycznej
Symulacje Monte-Carlo, przykład dla sieci B-A (N=2000, <k>=4)
Czas uśredniania =100
warunki początkowe t
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Czas uśredniania
=10-3000
2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)=100
Wybrany czas – powolne zmiany dla wyższych czasówWystarczająco długi aby układ się ztermalizował, zbyt krótki by układ przeskakiwał do stanu równoległego
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Temperatury krytyczne
Czas uśredniania =100
Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)
Tc- - stan początkowy
antyrównoległybadanie <S>
Tc+
- stan początkowy
równoległybadanie podatności
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Temperatury krytyczne
Czas uśredniania =100
Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)
Tc1
- stan początkowy antyrównoległy
badanie <S> i <|S|>
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
TC+
, przejście
fazowe 2 rodzajuOK
TC-
, założenie przejścia
2 rodzaju,ŹLE
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Temperatury krytyczne
dlaczego się zgadza ?
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska
Analityka zakładająca przejście 2 rodzajuIteracje mapy
Temperatury krytyczne
Symulacje Monte-Carlo
przeskalowane Monte-Carlo
numeryczne
eanalityczn
S
SSS
max
max
Dziękuję za uwagę
K.Suchecki, J.A.Hołyst, “Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, Phys. Rev. E 74: 011122 (2006)
K.Suchecki, J.A.Hołyst, “First order phase transition in Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, w przygotowaniu
K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska