Upload
vothuan
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Przekształcenie Fouriera obrazów
FFT
2006 © P. Strumiłło, M. Strzelecki
2
( ) ( )∫∞
∞−
+= ωω ωdeFtf
tj
transformata Fouriera
Przekształcenie Fouriera
Fourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji
(sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką
reprezentację sygnału można uzyskać z odpowiednio
ważonej sumy funkcji harmonicznych o różnych
częstotliwościach
Joseph Fourier(1768-1830)
( ) ( )∫∞
∞−
−= dtetfFtjωω
odwrotna
prosta
3
Przekształcenie Fouriera - przykład
czas częstotliwość
( ) ( ) ( ) ( )( )000
2
1ωωδωωδωω ω ++−== ∫
+∞
∞−
−dtetcosX
tj
1/2
0ω
0ω−
t
0
2
ω
π=T
ω
X(ω)
4
Przekształcenie Fouriera - przykład
( )
>
<=
Tt,
Tt,tf
0
1
T
( ) 2
02
2T
jT
tje
Tsin
AdteAF
ωω ω
ωω
−−
== ∫
- 2π/T 2π/T
FT
A
AT
t
|F(ω)|=?
ω
5
Przekształcenie Fouriera - przykład
( ) ( ) ( )∑∑+∞
∞−
+∞
∞−
−↔−= 0ωωδωδδ kkTtt sT
ωt
-2T 0 2TT-T
1
-4π/T 0 4π/T2π/ T-2π/ T
2π/T
x(t) x(ω)FT
Ts
πω
2=
Szereg impulsów Diraca
6
Transformacja Fouriera obrazów
obraz monochromatyczny widmo Fouriera obrazu
7
W jakim celu stosuje się transformacje obrazów?
1. Uzyskanie bardziej zwartego (oszczędnego) sposobu
kodowania obrazów (ich kompresji,
np. standard kompresji obrazów JPEG)
2. Uwidocznienie cech obrazu niezauważalnych w dziedzinie
przestrzennej, np. zakłóceń okresowych
3. Projektowanie filtrów obrazów w dziedzinie częstotliwości
oraz realizacja szybkich metod filtracji obrazów
8
Transformacja Fouriera obrazu
1. Detekcja cech obrazu w dziedzinie widma, np.
zakłóceń okresowych
9
Transformacja Fouriera obrazu
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
++
∞
∞−
∞
∞−
+−
=
=
dudvev,uFy,xf
dxdyey,xfv,uF
)vyux(j
)vyux(j
π
π
2
2
odwrotna
prosta
10
Widmo amplitudowe i fazowe transformaty obrazu
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( )[ ]v,uFRe
v,uFImarctanv,uFarg
v,uFImv,uFRe|v,uF|
e|v,uF|v,uFv,uFargj
=
+=
= −
22
11
Dyskretna transformacja Fouriera obrazu
( ) ( )
( ) ( )
110
1
110
1
1
0
1
0
2
21
0
1
0
−=
=
−=
=
∑∑
∑∑
−
=
−
=
++
+−−
=
−
=
N,...,,y,xdla
ev,uFN
y,xf
N,...,,v,udla
ey,xfN
v,uF
N
u
N
v
N/)vyux(j
N/)vyux(jN
x
N
y
π
π
Liczba działań, np. dla
obrazu 512x512?
12
Przykład obliczeniowy dla funkcji jenowymiarowej
( ) ]4431[=xf
( ) ( )∑=−
=
−=31
0
21 N
x
N/uxjexf
NuF
π
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )j............................................................................F
............................................................................F
j............................................................................F
ffffexfN
FN
x
N/xj
+−==
−==
+−==
=+++=
=+++== ∑=−
=
−
34
13
24
12
34
11
344314
1
32104
110
31
0
02π
θθθsincos je
j +=
1350 100 150 200 250
50
100
150
200
250
10
20
30
40
50
60
Przykład widmaamplitudowego obrazu
MIT
14
FFT FFT
Przykłady widm obrazów
15
Detekcja zakłóceń harmonicznych
MIT
64 okresy sinusoidy64 okresy sinusoidy 256256
128128
6464
256 punktów256 punktów
6464
16
Widmo fazowe obrazu
MIT
( )[ ]v,uFarg
( )v,uF ( ){ }v,uF1−ℑ
17
f(x,y)
(64x64)
|F(u,v)|
log(1+|F(u,v)|)
18
Podstawowe własnościprzekształcenia Fouriera
Rozłączność transformacji dwuwymiarowej:
f(x,y)
(0,0) (N-1)
(N-1)
F(x,v)
(0,0) (N-1)
(N-1)
F(u,v)
(0,0) (N-1)
(N-1)
tr. wierszy tr. kolumn
Dwuwymiarową transformację Fouriera można wyznaczyć
obliczając transformacje jednowymiarowe, tj. przez wykonanie
transformacji wierszy a następnie kolumn obrazu.
19
Rozłączność dwuwymiarowegoprzekształcenia Fouriera
( )
∑
∑ ∑
−
=
−
−−
=
−
=
−
=
=
1
0
/2
/21
0
1
0
/2
,1
),(
),(1
),(
N
x
Nuxj
NvyjN
x
N
y
Nuxj
evxFN
vuF
eyxfeN
vuF
π
ππ
F(x,v)
NvyuxjN
x
N
y
eyxfN
vuF/)(2
1
0
1
0
),(1
),(+−
−
=
−
=∑ ∑= π
20
FT
Obrazy
Widma
amplitudowe
Przykład
21
FT
Obrazy
Widma
amplitudowe
( ) ( ) ( )
+−⇔−−
N
vyuxjexpv,uFyy,xxf 00
00
2π
Przesunięcie w dziedzinie przestrzennej
22
Transformata iloczynu i splotu
ℑℑℑℑ{f(x,y) g(x,y)} = F(u,v) ∗ G(u,v)
ℑℑℑℑ{f(x,y) ∗ g(x,y)} = F(u,v) G(u,v)
Druga własność jest szczególnie przydatna w
filtracji obrazów, jest ona również wykorzystywana
w projektowaniu filtrów obrazu w dziedzinie widma.
23
α2
1
f(α)
α1
1/2
g(α)
-1 α
1/2
g(-α)
x
3
1/2
f(x)*g(x)
0
Splot funkcji ciągłych
- przykład
α2
1/2
f(α)g(x-α)
x
1
α2
1/2
f(α)g(x-α)
x
1
α
1/2
g(x-α)
x-1
( ) ( ) ααα dxgfxgxf −=∗ ∫∞
∞−
)()(
24
Splot dwuwymiarowych funkcji dyskretnych
f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie N
należy wydłużyć okres f(i,j) oraz g(i,j) do wartościM=2N-1 w następujący sposób:
−≤≤
−≤≤=
−≤≤
−≤≤=
10
10
10
10
Mj,iN
Nj,i)j,i(g)j,i(g
Mj,iN
Nj,i)j,i(f)j,i(f ee
∑∑−
=
−
=
−−=∗1
0
1
0
M
m
ee
M
n
ee )nj,mi(g)n,m(f)j,i(g)j,i(f
25
Korelacja funkcji ciągłych- przykład
α1
1/2
g(α)
α
1/2
f(α)g(x+α)
|x|
x1.5
1/2
f(x)◦g(x)
-1.5
α1
1/2
g(x+α)
|x|
α2
1/2
f(α)g(x+α)
( ) ( ) ααα dxgfxgxf += ∫∞
∞−
)()( o
α2
1
f(α)
2
|x|
26
Korelacja dwuwymiarowych funkcji dyskretnych
f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie N
(dokonuje się tu analogicznego wydłużenia okresujak dla operacji splotu)
∑∑−
=
−
=
++=1
0
1
0
M
m
ee
M
n
ee )nj,mi(g)n,m(f)j,i(g)j,i(f o
27
Okresowość transformaty oraz symetria widma amplitudowego
F(u,v) =F(u+N,v) =F(u,v+N)=F(u+N,v+N)
Jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą, to zachodzi:
oraz dla widma amplitudowego:
Dla transformaty F(u,v) o wymiarze NxN są prawdziwe tożsamości:
( ) ( )v,uFv,uF −−= ∗
( ) ( )v,uFv,uF −−=
28
f(x,y) f(x,y)
f(x,y)f(x,y)f(x,y)
f(x,y)
f(x,y) f(x,y) f(x,y)
Przyjmuje się, że
obraz jest funkcją
okresową o
okresie (N, N)
Okresowość transformaty Fouriera
29
Przesunięcie dziedzinie widma
( ) ( ) ( )00
002vv,uuF
N
yvxujexpy,xf −−⇔
+π
Własność ta jest nazywana również własnością
(lub twierdzeniem) o modulacji.
30
Przesuniecie w dziedzinie widma
N/2
N/2 N0
0N
jeden okres widmaMatlab: fftshift
|F(u)|
fftshift(|F(u)|)
31
Przesunięcie w dziedzinie widma
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )( ) yxy,xfyxjexpy,xf
N
yvxujexpy,xf
Nv,
NuF
Nvudla
vv,uuFN
yvxujexpy,xf
+−=+=
=
+
−−⇔==
−−⇔
+
1
2
222
2
00
00
00
00
π
π
π
32
Przesunięcie w dziedzinie widma
|F(u,v)|
fftshift(|F(u,v)|)N
(0,N-1)(0,0)
(N-1, N-1)(N-1,0)
(0,0)
33
θθθθ0 = 45°
θθθθ0 = 0°
Własność obrotu transformaty dwuwymiarowej
f(r, θ + θ0) ⇔ F(ω, φ + θ0)
34
Liniowość transformacji
ℑ{a f(x,y) + b g(x,y)} = a F(u,v) + b G(u,v)
f(x,y)
g(x,y)
FT
g(x,y) FT
f(x,y) FT
35
Twierdzenie o zmianie skali
ℑ{f(ax,by)} = |ab|-1 F(u/a, v/b) Rb,a ∈
36
Wartość średnia obrazu
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )001
100
1
1
0
1
0
1
0
1
02
,FN
y,xf
y,xfN
,F
y,xfN
y,xf
N
x
N
y
N
x
N
y
=
=
=
∑∑
∑∑−
=
−
=
−
=
−
=
F(0,0)F(0,0)
37
Rozdzielczość transformacji Fouriera
f=zeros(30,30);
f(5:24,13:17)=1;
imshow(f,'notruesize')
F=fft2(f); %oblicz transformatę Fouriera
F1=log(abs(F)+1); %wyznacz widmo amplitudowe
imshow(F1,[0 5],'notruesize');
f |F1|
38
DyskretnaTransformacjaFouriera
1 30
1
15
Funkcje bazowe
30-punktowej
transformacji
Fouriera
(składowa
sinusoidalna)
39
Rozdzielczość transformacji Fouriera
%zwiększenie rozdzielczości
f=zeros(30,30);
f(5:24,13:17)=1;
F=fft2(f,256,256);
F2=log(abs(F)+1);
imshow(fftshift(F2),[0 5],'notruesize');
f
|F2|
40
Szybka transformacja Fouriera(ang. Fast Fourier Transform, FFT)
Jeżeli N=2n to N jest liczbą parzystą daną w postaci N=2*M. Można dla takich N wykazać, że:
MjM
uMenieparzystparzyste
uMenieparzystparzyste
M
x
uxMenieparzyst
M
x
uxMparzyste
eW
MuWuFuFMuF
MuWuFuFuF
WxfM
uFWxfM
uF
/2
2
2
1
0
1
0
1,...,0 ],)()([2
1)(
1,...,0 ],)()([2
1)(
)12(1
)( ,)2(1
)(
π−
−
=
−
=
=
−=−=+
−=+=
+== ∑∑
41
Nakład obliczeń transformaty Fouriera
N N2 (FT) NlogN(FFT)
ZyskN/logN
16 256 64 4
256 65535 2048 32
512 262144 4608 64
2048 ~4e6 22528 186
42
Transformacja Fouriera obrazów
Redukcja zakłóceń obrazu przeprowadzonaw dziedzinie częstotliwości
FFT
IFFT
43
( ) ( ) ( ) ( )
+
+= ∑∑
−
=
−
= N
yvcos
N
xucosy,xf
Nv,uF
N
i
N
k 2
12
2
122 1
0
1
0
ππ
Transformacja kosinusowa
121 −= N,,,v,u Kdla:
-N-N N-1
N-1
oryginałWidmo Fouriera funkcji
rzeczywistej i symetrycznej
posiada rzeczywiste
współczynniki, tj. tylko
współczynniki związane z
kosinusowymi wyrazami
szeregu Fouriera.
44
Transformacja kosinusowa
Funkcje bazowe
przekształcenia
kosinusowego
o wymiarze 8x8
45
obraz ‘autumn’ transformata kosinusowa
(0,0)
szybkie zanikanie
współczynników
Standard kompresji obrazów JPEG
wykorzystuje transformację kosinusową
Transformacja kosinusowa
46
Inne transformacje obrazów
� transformacja Karhunena-Loevego, zwana też transformacją PCA (ang. PrincipalComponent Analysis)
� transformacja falkowaobrazu, wykorzystywanaw nowym standardzie
kompresji JPEG-2000eigenfaces ©AT&T Labs
47
Inne transformacje obrazów
JPEG 0.1 JPEG 0.1 bppbpp8 8 bppbpp
Playboy Magazine
WaveletWavelet 0.1 0.1 bppbpp
JPEG-2000