2017-06-06

1

Człowiek- najlepsza inwestycja

Projekt współfinansowany przez Unię Europejskąw ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Estymacja opó źnienia

Wykład XV

2017-06-06

2

Estymacja czasu opó źnienia

wybrane zastosowania

- wykrywanie zjawisk okresowych

- estymacja np. rytmu serca płodu na podstawie sygnałów doppl erowskichw kardiotokografii

- synchronizacja u średniania – wykrywanie pó źnych potencjałów serca

- detekcja zespołów QRS na potrzeby estymacji zmienno ści rytmu serca HR

- odró żnianie sygnałów powstaj ących w wyniku ruchów pseudooddechowychi czkawki płodu

- tworzenie kolorowej mapy pr ędkości w ultrasonografii

- estymacja przemieszcze ń np. w elastografii

Metody estymacji czasu opó źnienia

funkcja/ współczynnik autokorelacji/korelacji wzajemnej (poło żenie maksimum)

suma ró żnic bezwzgl ędnych SAD

(poło żenie minimum)

suma kwadratów ró żnic bezwzgl ędnych SSAD

(poło żenie minimum)

wykorzystanie przekształcenia Hilberta

2017-06-06

3

Metody estymacji czasu opó źnienia

Funkcja/ współczynnik autokorelacji/korelacji

wzajemnej (poło żenie maksimum)

Sygnał ergodyczny x(t)

i jego opó źniona i przeskalowana wersja (a<1): y(t)=ax(t- τ0)

Funkcja korelacji wzajemnej dla sygnałów x(t) i y(t)

R E x t y t E x t ax t aE x t x t aRxy xx( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )τ τ τ τ τ τ τ τ= + = + − = + − = −0 0 0

Funkcja R xy(τ) więc funkcj ą autokorelacji sygnału x(t), przesuni ętą o τ0 ipomno żoną przez współczynnik a. Warto ść maksymalna tej funkcji le ży dla τ=τ0.Znalezienie maksimum R xy pozwala wyznaczy ć opó źnienie sygnałów x(t) i y(t),czyli x(t) oraz ax(t- τ0).

Współczynnik korelacji wzajemnej procesów x i y ma posta ć:

y

x

yx

xyxy a

C

σσ

σστ

τρ ==)(

)( 00 xx s=σ

Funkcja i współczynnik korelacji

2017-06-06

4

1)(

)( 00 ==

yx

xyxy

C

σστ

τρ

x(t)

y(t)=ax(t- τ0), a=1

Rxy

Rxx

200 400 600 800 1000 1200-1

0

1signal

-500 0 500-0.05

0

0.05

autokorelacja sygnalu

0 200 400 600 800 1000 1200-1

0

1replika

0 200 400 600 800 1000-0.02

0

0.02funkcja korelacji wzajemnej

0 200 400 600 800 1000-1

0

1wspólczynnik korelacji wzajemnej

Funkcja i współczynnik korelacji

Współczynnik autokorelacji/korelacji wzajemnej

ρ ττ τ

xy

Tx y

T

xx yy

xy

x y

Tx t m y t m dt

C C

C

s s( )

lim [ ( ) ][ ( ) ]

( ) ( )

( )=

− + −=

→ ∞ ∫1

0 00

ρ ττ

τxx

Tx x

T

xx xx

xx

x

Tx t m x t m dt

C C

C

s( )

lim [ ( ) ][ ( ) ]

( ) ( )

( )=

− + −=

→ ∞ ∫1

0 00

Zaleta współczynnika korelacji – jego warto ść jest ilo ściow ą miarąpodobie ństwa sygnałów!!!! Warto ść równa 1 lub bliska oznacza, że dladanego opó źnienia sygnały s ą identyczne lub bardzo sobie bliskie.

y

x

yx

xyxy a

C

σσ

σστ

τρ ==)(

)( 00

2017-06-06

5

0 200 400 600 800 1000-1

-0.5

0

0.5

1

-500 0 500

-1

-0.5

0

0.5

1

sygnał 1 x 1(t) = ‘gausspack’

sygnał 2 x 2(t) = x1(t+τ0)

współczynnik autokorelacji x 1(t)

Współczynnik korelacji

współczynnik korelacji wzajemnej x2(t) i x 1(t)

1)(

)(2

00 ===

xx

x

xx

xxxx

C

σσσ

σσττρ

1)(

)(1

2

00

1

1

21

21

21

21

21====

xx

x

xx

xx

xx

xxxx

C

σσ

σ

σσσ

σστ

τρ

sygnał 1 x 1(t)=‘gausspack’

sygnał 2 x 2(t) = x1(t+τ0)/5

Współczynnik korelacji

współczynnik korelacji wzajemnej x 2(t) i x 1(t)

1)(

)(1

2

00

1

1

21

21

21

21

21====

xx

x

xx

xx

xx

xxxx

C

σσ

σ

σσσ

σστ

τρ

0 200 400 600 800 1000-1

-0.5

0

0.5

1

-500 0 500

-1

-0.5

0

0.5

1

2017-06-06

6

Funkcja korelacji w obecno ści szumu

sygnał: x(t)

jego opó źniona wersja, przeskalowana, z dodatkiem nieskorelowaneg o szumu n(t):

y(t)=ax(t- τ0)+n(t)

Funkcja korelacji wzajemnej dla sygnałów x(t) i y(t)

(sygnały ergodyczne, pojedyncze realizacje)

R E x t y t E x t ax t n t

E x t ax t E x t n t E x t ax t aR

xy

xx

( ) [ ( ) ( )] [ ( ){ ( ) ( )}]

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )

τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ

= + = + − + + =

= + − + + = + − = −

0

0 0 0

Poniewa ż szum i sygnał x(t) s ą nieskorelowane, warto ść oczekiwana iloczynu x(t)n(t) (korelacja wzajemna) jest równa zeru!

sygnały ergodyczne x(t) oraz y(t)=ax(t- τ0)+n(t)

Funkcja korelacji wzajemnej sygnałów x(t) i y(t):

Funkcja ta jest funkcj ą autokorelacji sygnału (procesu) x(t), przesuni ętąo τ0 i pomno żoną przez współczynnik skaluj ący a. Warto ść maksymalnatej funkcji le ży dla τ=τ0. Znalezienie maksimum R xy pozwala wyznaczy ćopó źnienie (przesuni ęcie czasowe) sygnałów x(t) i y(t), czyli okre śłićpoło żenie ax(t- τ0) – a to jest wła śnie postawione zadanie.

)()( 0τττ −= xxxy aRR

Funkcja korelacji w obecno ści szumu

2017-06-06

7

Metody estymacji czasu opó źnienia

suma ró żnic bezwzgl ędnych SAD

(poło żenie minimum)

suma kwadratów ró żnic bezwzgl ędnych SSAD

(poło żenie minimum)

∫−

+−=T

T

xx dttxtxSAD |)()(|)( 2121ττ

∫−

+−=T

T

xx dttxtxSSAD 221 |)()(|)(

21ττ

W odró żnieniu od funkcji czy te ż współczynnika korelacji poszukujemytakiego opó źnienia, które minimalizuje warto ść kryterium (SAD lub SSAD).

SAD i SSAD

2017-06-06

8

Metody estymacji czasu opó źnienia

interpolacja kryterium

(dotyczy funkcji i współczynnika korelacji oraz metod SAD i SSAD)

W pomiarach cz ęstotliwo ść próbkowania spełnia wymagania kryteriumNyquista, ale relacja fs/f wynosi kilka, np. 4 lub 5. Oznacza to, że estymacjaopó źnienia – znalezienie maksimum f.korelacji - mo że być obarczona bł ędem- opó źnienie mi ędzy sygnałami nie musi by ć wielokrotno ścią okresupróbkowania.

630 635 640 645 650 655

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Sygnał Przebieg funkcji korelacji (niebieski) i wynik estymacji – łamana (czerwony) –problem z lokalizacj ą maksimum.

Interpolacja kryterium

2017-06-06

9

Estymacja czasu opó źnienia

sygnały analityczne i przekształcenie Hilberta

funkcji autokorelacji

Transformacja Hilberta i funkcja autokorelacji

Zbudujmy sygnał analityczny (np. para kwadraturowych sygn ałówdopplerowskich, sygnały ech ultrad źwiękowych w pa śmie podstawowym)

)}]()()}{()([{)]()([)(^^

* τττ +++−=+= txjtxtxjtxEtztzEtRzz

)()()(^

txjtxtz +=

Jego opó źniona wersja ma posta ć:

)()()(^

τττ +++=+ txjtxtz

Funkcja korelacji (autokorelacji Rzz) tych sygnałów:

2017-06-06

10

Transformacja Hilberta i funkcja autokorelacji

)(2)(2)()()()(

)]()([)]()([)]()([)]()([

)]()}([{)]()([)]()([)]()([

)}]()()}{()([{)]()([)(

^^^

^^^^

^^^^

^^*

^^ ττττττ

ττττ

ττττ

τττ

xxxxxx

xxxxxx

zz

RjRRRjRjR

txtxEtxtxjEtxtxjEtxtxE

txjtxjEtxjtxEtxtxjEtxtxE

txjtxtxjtxEtztzEtR

+=+++=

=+++++−+=

=+−++++−+=

=+++−=+=

Funkcja autokorelacji sygnału analitycznego:

)()( ^^ tRtRxx

xx =)()()}({)( ^^

^

tRtRtRHtRxxxx

xxxx −===

)]()([2)(^

ττ xxxxzz RjRtR +=

Faza funkcji autokorelacji sygnału analitycznego R zz przechodzi przez zero dlaopó źnienia odpowiadaj ącego maximum R xx – funkcji autokorelacji sygnałurzeczywistego, poniewa ż Rxx jest funkcj ą parzyst ą, a R^ xx - funkcj ą nieparzyst ą.

20 40 60 80 100 120 140 160 180

-1

-0 .5

0

0 .5

1

Fragment wyniku analizy korelacyjnej obwiedni sygnału dop plerowskiegoaktywno ści ruchowej. Linia ci ągła - współczynnik (funkcja) korelacji, liniaprzerywana – transformata Hilberta współczynnika (funkcj i) autokorelacji.Przebieg piłokształtny - faza transformaty Hilberta współ czynnika (funkcji)autokorelacji (albo funkcji korelacji sygnału analityczn ego).

Uwaga – warto ści przebiegów s ą znane/okre ślone dla warto ści opó źnieniabędących krotno ścią okresu próbkowania!

Transformacja Hilberta

Zastosowanie do estymacji czasu opó źnienia

2017-06-06

11

Uwaga - przebieg ACC jest okre ślony dlacałkowitych warto ści opó źnienia!

Powi ększony fragment poprzedniego rysunku –część urojona i faza transformaty Hilbertawspółczynnika korelacji przechodz ą przez zerodla warto ści odcietej nie b ędącej liczbacałkowit ą. Oznacza to mo żliwo śćdokładniejszego wyznaczenia opó źnienia ni ż wprzypadku wykorzystania maksimumwspółczynnika autokorelacji. 57.4 57.6 57.8 58

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Transformacja Hilberta

Zastosowanie do estymacji czasu opó źnienia

Transformacja Hilberta

Zastosowanie do estymacjiczasu opó źnienia

Sygnały próbkowane 3.3x/okres,przesuni ęcie równe 0.2 odst ępumiędzy próbkami

2017-06-06

12

Transformacja Hilberta

Zastosowanie do estymacjiczasu opó źnienia

Sygnały próbkowane 3.3x/okres,przesuni ęcie równe 0.2 odst ępumiędzy próbkami

Re CCC – czerwony

Im CCC – czarny

Moduł CCC - niebieski

Transformacja Hilberta

Zastosowanie do estymacjiczasu opó źnienia

Sygnały próbkowane 3.3x/okres,przesuni ęcie równe 0.2 odst ępumiędzy próbkami

2017-06-06

13

1D

2 D

Estymacja opó źnienia 1D i 2D

Estymacja rytmu serca płodu

2017-06-06

14

175.8 175.9 176 176.1 176.2 176.3 176.4 176.5 176.6

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

[s]

175 175.5 176 176.5 177 177.5 178 178.5 179 179.5 180

50

100

150

200

250

300

350

[s]

[Hz]

Kierunkowe sygnały dopplerowskieaktywno ści ruchowej płodu SDARP -2 cykle serca.

Spektrogram sygnału analitycznegoSDARP ok. 10 cykli.

Estymacja rytmu serca płodu

175 176 177 178 179 180

500

1000

1500

2000

[s]

Estymacja rytmu serca płodu

Obwiednia analitycznego sygnału SDARP- ok. 10 cykli.

Mapa autokorelacji obwiedni analitycznejsygnału kierunkowego. Cz ęstotliwo śćpróbkowania 400Hz, mapa odpowiadaokoło 20 minutowemu odcinkowi sygnału.Widoczne kolejne ci ągi maksimówodległe od siebie o około 200 próbek,czyli około 0.5s.

2017-06-06

15

Wyznaczanie obwiedni sygnału analitycznego

Filtracja dolnoprzepustowa obwiedni sygnału analitycznego

PROJEKT PSB

•Paweł Mularczyk

•Jan Kohutnicki

•Błażej Kowalski

Mapy i przebiegi współczynnika autokorelacji

Częstotliwo ść próbkowania 400Hz. Maksymalnawarto ść współczynnika autokorelacji wynosi 1.Widoczne kolejne ci ągi maksimów odległe odsiebie o około 200 próbek, czyli około 0.5s -rytm pracy serca ok. 120/min.

2017-06-06

16

Przebieg FHR

Przebieg FHR wyznaczony został na podstawie zbioru maksimów współczynnika autokorelacji zaznaczonego elips ą.

FHR=60/TD [1/min]

Detekcja ruchów pseudooddechowych płodu

2017-06-06

17

Detekcja ruchów pseudooddechowych

SDARP - ruchy pseudoodechowe SDARP - czkawka płodu

82.4 82.6 82.8 83 83.2 83.4 83.6 83.8 84-1000

-500

0

500

1000

sygnaly kierunkowe

[s]136 136.5 137 137.5 138 138.5 139 139.5

-2

-1

0

1

2

x 104

[s]

sygnaly kierunkowe

Istotna ró żnica we wzajemnym poło żeniu sygnałów pochodz ących odprzeciwnych kierunków ruchu - opó źnienie mo że posłu żyć jako jedno zkryteriów rozró żniania sygnałów pseudooddechowych i pochodz ącychoid czkawki płodu.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

t [s]

A [

]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

t [s]

A [

]

(a)Obwiednia analitycznego sygnałukierunkowego 2

Obwiednia analitycznego sygnałukierunkowego 1

2017-06-06

18

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

l a g [s]

AC

C

(a)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

l a g [s]

AC

C

(b)

Funkcja korelacji wzajemnej obwiednianalitycznych sygnałów kierunkowychpowodowanych przez ruchy wprzeciwnych kierunkach - ruchypseudoodechowe opó źnienie jest wprzybli żeniu równe połowie cyklupseudooddechowego - mi ędzy 0.5 sek a1 sek.

Funkcja korelacji wzajemnej obwiednianalitycznych sygnałów kierunkowychpowodowanych przez ruchy wprzeciwnych kierunkach - czkawkaopó źnienie jest rz ędu 0.1-0.2 sek

Detekcja ruchów pseudooddechowych

Estymacja HRV

2017-06-06

19

Sygnał ECG, fs=1000Hz

projekt PSB: Tomasz Fronczyk,Marcin Potocki, Rafał Pyzel

Estymacja HRV

Sygnał ECG

przed filtracj ą

po filtracji dolnoprzepustowej

Estymacja HRV

2017-06-06

20

Estymacja HRV

Problem - nale ży wyznaczy ć kolejne odcinki R-R

Poło żenie pojedy ńczych punktów sygnału jest źle okre ślone (bł ędywynikaj ące z obecno ści szumów itp); nale ży znaleźć poło żenia kolejnychzespołów QRS, które traktujemy jako poło żenia załamków R (odst ęp QRS –QRS jest to żsamy z odst ępem R-R).

Metody detekcji/lokalizacji zespołów QRS:

- progowanie sygnału, podwójne progowanie sygnału, a naliza pochodnych

- wykorzystanie funkcji korelacji/współczynnika korelac ji

- inne (np. suma ró żnic bezwzgl ędnych)

Estymacja HRV

Problem - nale ży wyznaczy ć kolejne odcinki R-R

Metody detekcji/lokalizacji zespołów QRS:

- progowanie sygnału, podwójne progowanie sygnału, a naliza pochodnych

- wykorzystanie funkcji korelacji/współczynnika korelac ji

- inne (np. suma ró żnic bezwzgl ędnych)

Metody z pierwszej i ostatniej grupy s ą metodami archaicznymi, ichwykorzystanie wynikało z prostoty i niskiej zło żoności obliczeniowej.

Najkorzystniejsze wyniki w sensie bł ędów estymacji opó źnienia zapewniawykorzystanie funckji korelacji, a jeszcze korzystniejsz e jest zastosowaniewspółczynnika korelacji – daje ilo ściow ą informacj ę o podobie ństwie sygnałów.

2017-06-06

21

Estymacja HRV

Przesuwaj ąc wzorzec wzdłu ż sygnałuwyznaczamy korelacj ę wzajemn ą(współczynnik korelacji) wzorca i całegosygnału ECG.

Korelujemy sygnał z wzorcem, którym mo że być wybrana ewolucja sygnałuEKG (bądź jej fragment np. P-QRS-T lub QRS) b ądź uśredniona ewolucja EKG.

Przesuwaj ąc wzorzec wzdłu ż sygnału wyznaczamy współczynnikkorelacji wzorca i całego sygnału ECG.

R.Piórek Środowisko programowe do analizy widmowej zmienno ści rytmuserca (praca dyplomowa in ż., 2014).

Estymacja HRV

2017-06-06

22

Estymacja HRVWzorzec zespołu QRS.

Fragment sygnału ECG oraz odpowiadaj ący muprzebieg warto ści współczynnika korelacji z wzorcem.

A.Dyśko Oprogramowanie doanalizy widmowej zmienno ścirytmu serca z wykorzystaniemmodelowania autoregresyjnego(praca dyplomowa in ż., 2015).

Estymacja HRV

Zbiór maksimów funkcji korelacjiwzajemnej (warto ści ulokowane wpunktach odpowiadaj ących poło żeniomkolejnych cykli pracy serca - wzorców/zespołów QRS!!!)

Interesuje nas zbiór odległo ści mi ędzykolejnymi warto ściami maksymalnymiwykresu obok

2017-06-06

23

Estymacja HRV

Zbiór maksimów funkcji korelacji wzajemnej(i ich poło żenia !!!)

Interesuje nas zbiór odległo ści mi ędzykolejnymi maksimami funkcji korelacji.

Sposób powstawania wykresu interwałówRR - poło żenie odci ętej interwału okre ślonejest przez ten interwał.

Ciąg interwałów RR nie jest próbkowanyrównomiernie!!

Estymacja HRV

Ciąg interwałów RR nie jest próbkowanyrównomiernie!!

Ze wzgl ędu na wła ściwo ści metod analizywidmowej (podstawowych) sygnał powinien by ćpróbkowany równomiernie (stała cz ęstotliwo śćpróbkowania. Konieczna jest interpolacja iprzepróbkowanie zbioru interwałów. Nale żydokona ć np. liniowej interpolacji warto ści mi ędzykolejnymi interwałami, a nast ępnie wybra ć warto ścipoło żone w odst ępach 1000 próbek (sygnał EKGpróbkowano z fs=1kHz).

Obok - zbiór interwałów po resamplingu.

2017-06-06

24

Estymacja HRV

Równomiernie próbkowany ci ąg interwałówRR.

Przebieg ten jest próbkowany zczęstotliwo ścia 1kHz, zaś poszukiwaneskładowe zmienne tego przebiegu sytuuj ą sięponi żej 1Hz.

Należy dokona ć decymacji przebiegu.

Obok interwały RR próbkowane zczęstotliwo ścią 2Hz.

Przebieg RR posiada tak że znaczną składow ąstał ą - warto ść średnia interwału wynosiokoło 1s.

Estymacja HRV

Przebieg RR posiada tak że znaczną składow ąstał ą - warto ść średnia interwału wynosiokoło 1s.

Przed dokonaniem analizy widmowej nale żytę składow ą usun ąć, co ułatwi interpretacj ęrezultatu (unikniemy przecieku widmapochodz ącego od bardzo silnej składowejstałej).

Widmo ci ągu interwałów R-R

(po usuni ęciu składowej średniej)

2017-06-06

25

Składowe widma interwałów RR

• 0,02 - 0,05 Hz - pasmo bardzo niskich cz ęstotliwo ści, związane głównie z aktywno ścią sterowania temperatur ą;

• 0,05 - 0,15 Hz - pasmo dolno-cz ęstotliwo ściowe,związane z aktywno ścią systemu współczulnego i przywspółczulnego, w tym ze sterowaniemciśnieniem krwi;

• 0,15 - 0,4 Hz - pasmo wysokocz ęstotliwo ściowe, związane z aktywno ścią układu przywspółczulnego, przede wszystkim z aktywno ścią oddechow ą i maksimum wyst ępuje dla cz ęstotliwo ści oddechowej.

Estymacja czasu opó źnienia – zastosowania

Color Flow Mapping

2017-06-06

26

Kolorowa mapa pr ędko ści krwi - wynik estymacji opó źnienia ech ultrad źwiękowych

∫ +=Ts

s

dttrtrT

R0

2112 )()(1

)( ττ

)()( 21 sttrtr −= )()()(1

)( 11

0

1112 s

Ts

ss

tRdtttrtrT

R −=+−= ∫ τττale więc

Estymacja czasu opó źnienia - zastosowania

Kolorowa mapa pr ędko ści krwi - wynik estymacji opó źnienia ech ultrad źwiękowych

Estymacja czasu opó źnienia - zastosowania

sctv ~

Poło żenia max. R 12 daje nam czas opó źnienia t s sygnału zachodz ącego mi ędzy kolejnymiechami jako skutek przepływu krwi. Czas ten jest liniowo zwi ązany z pr ędkością przepływukrwi v (c – pr ędkość propagacji fali w o środku – tkance):

)()( 1112 stRR −= ττ