Newton

Zasady fizyki, przykłady, grawitacja

Przykłady zasad stosowanych w fizyce

• I, II i III zasada dynamiki Newtona• zasady zachowania energii, pędu, momentu pędu• I i II zasada termodynamikizasada zachowania ładunku

I Zasada dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało A nie działa żadna wypadkowa siła, przyspieszenie a tego ciała jest równe zeru.

F F

A v = const. F = 0

a = 0

II Zasada dynamiki Newtona

Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała.

a F

F = ma1N = kg • m/s2

III Zasada dynamiki Newtona

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB , to ciało B działa na ciało A siłą FBA

równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną.

FAB = - FBA

A B

FAB FBA

Zasada zachowania energii

Energia całkowita punktu materialnego, tzn. suma energii kinetycznej, potencjalnej, wewnętrznej i wszystkich innych rodzajów energii, nie zmienia się. Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona. Energia całkowita układu (punktu) odosobnionego jest wielkością stałą.

Jednostka energii, pracy i ciepła: 1J

0 = K + U +Uwew + (zmiana innych form energii)

Zmiana energii potencjalnej

Zmiana energii wewnętrznej

Zmiana energii kinetycznej

Zasada zachowania pędu

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to całkowity wektor pędu tego układu p pozostaje stały.

albo p = const.F = 0 to

Jednostka pędu: kg • m/s

0dtpd

Zasada zachowania momentu pędu

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to całkowity moment pędu układu pozostaje stały.

zewn = dL/dt

Moment sił zewnętrznych

Zmiana momentu pędu

prL

L - moment pędu p jest zdefiniowany następująco:

Jeżeli to wyrażenie zróżniczkujemy względem czasu, otrzymamy

dtpdrp

dtrdpr

dtd

dtLd

zero Moment siły -

Pierwszy składnik równy 0, ponieważ v mv = 0

Jednostka momentu pędu: kg • m2/s

Jeżeli zewn = 0, to dL/dt = 0 i oznacza to, że L jest wektorem stałym.

L = const.Jeżeli układem punktów materialnych jest ciało sztywne, obracające się wokół osi obrotu (np. z), która jest nieruchoma w inercjalnym układzie odniesienia, to możemy napisać, że wektor L

L = I

I - Moment bezwładności

- Prędkość kątowa

I Zasada termodynamikiZmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie ciepła pobranego (lub oddanego) przez układ i pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne (lub przez układ nad otoczeniem).

U = Q + W

U - Zmiana energii wewnętrznej Q – ciepło W - praca

II Zasada termodynamiki

Samorzutne procesy, które zaczynają się jednym stanem równowagi, a kończą innym stanem równowagi, mogą przebiegać tylko w takim kierunku, z którym związany jest wzrost sumy entropii układu i otoczenia.

S > 0

S =Q

TPrzyrost entropii

Q - przyrost ciepła

T - temperatura

Jednostka entropii: J

K

Zasady w fizyce

Przykłady z zakresu zasad zachowania

Przykłady

Przykład 1

Wyznaczyć maksymalną i minimalną prędkość wahadła pokazanego na rysunku. Ruch odbywa się w płaszczyźnie x,y .

h

x

m = 0.001kg h = 0.10 m g = 9.81m/s2

y

Emgymv

EyxUmv

2

2

21

),(21

y = h

y = 0

)(21

)(21

2

2

yhmgmv

hmgmgymv

V = 0

ghv 2

E - energia całkowita, równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, zakładamy, że spełnione jest prawo zachowania energii mechanicznej

skrajne wartości położenia i prędkości

smm

smghv 40.110.081.922 2

JJ

msmkgmghE

32

2

1081.910981.0

10.081.901.0

Odpowiednio energia całkowita (maksymalna kinetyczna i maksymalna potencjalna) wynosi:

Przykład 2Na jaką wysokość liczoną od położenia równowagi wzniesie się wahadło o masie M = 10 kg, gdy utkwi w nim pocisk o masie 0.1 kg, poruszający się z prędkością v = 200 m/s

hM

m

v u

M + m

mMmvu

umMmv

mguh

ghmMumM

2.02

22

2

Prawo zachowania pędu

Prawo zachowania energii

Przykład. 3Pręt o długości l i masie M leży na gładkim stole. Krążek hokejowy poruszający się jak na rysunku zderza się sprężyście z prętem. Jak zachowa się pręt i krążek po zderzeniu? Jaka powinna być masa krążka, aby pozostał w spoczynku po zderzeniu?

L

v

M

v1

v2

M = 0.5 kg

L = 1 m

v = 10 m/s

Zderzenie sprężyste

0x

W wyniku zderzenia sprężystego krążek przekazuje energię kinetyczną i pęd prętowi. Uderzenie w koniec pręta (punkt różny od środka masy) związane jest również z tym, że moment pędu jest niezerowy. Następuje obrót pręta wokół swojego środka masy. Pręt wykonuje również ruch posuwisty. Krążek po zderzeniu ma prędkość v2, która ma zwrot najczęściej przeciwny do pierwotnego, może też być zgodny, a w szczególnym przypadku krążek może się zatrzymać.

2222

22

222

21

2

1

21

IMvmvmv

IvmLvmL

vMvmvm

Prawo zachowania pędu

Prawo zachowania momentu pęduPrawo zachowania energii

2222

2222

22

12

1

21

IMvmvmv

IvmLvmL

vMvmvm

v - prędkość krążka przed zderzeniem v1 - prędkość krążka po zderzeniu

v2 - prędkość środka masy pręta po zderzeniu I - moment bezwładności pręta - prędkość kątowa pręta po zderzeniu

Ruch krążka i pręta najwygodniej jest opisać w układzie, którego początek pokrywa się ze środkiem masy spoczywającego pręta.

222

222

22

2

IvMmv

ImvLvMmv

stąd

ILmv

2

Moment bezwładności I pręta dla osi jak na rysunku:

2ML121I

L

Mmvv 2

i ostatecznie otrzymujemy wyrażenie:

Dla przypadku zatrzymania się krążka, układ równań sprowadzi się do skalarnej postaci:

Po wstawieniu danych otrzymujemy:

s1120

mkg0.5121

1msm10kg0.5

2

m = 0.038 kg

IMLIMm

2

Przykład. 4Bryłka kitu o masie m posiada prędkość v. Kierunek prędkości jest prostopadły do pręta o tej samej masie i długości L, leżącego na gładkim stole. Kit uderza w koniec pręta i przykleja się do niego. Znaleźć ruch pręta i zmianę energii układu.

L

v

M

vśrm

M = 0.01 kg

L = 0.2 m

v = 10 m/s

Zderzenie plastyczne

0x

M

xśrm

Prawo zachowania pędu

Prawo zachowania momentu pędu

Prawo zachowania energii

ciepluśrm

uśrm

śrm

EIMvMv

IvMxv2MvM

222

2

222

W wyniku zderzenia plastycznego pręt i kit stanowią całość. Następuje ruch obrotowy układu wokół swojego środka masy po zderzeniu oraz ruch posuwisty z prędkością vśrm (prędkość środka masy). Część energii jest tracona na ciepło - Ecipl.

Należy wyznaczyć położenie xśrm i prędkość środka vśrm masy po zderzeniu oraz moment bezwładności Iu całego układu. - prędkość kątowa układu po zderzeniu

4L

2M

M2LM0

xśrm

2vvśrm

222

2 ML245

4LM

4LMML

121Iu

Z definicji współrzędnych środka masy wynika

Z prawa zachowania pędu

Moment bezwładności pręta

Wkład bryłki kitu Z wzoru Steinera

u

uśrm

IMvLIvMx

4

2ML245Iu

Lv

56

Obliczanie prędkości kątowej

Przekształcając poprzednio zapisane prawo zachowania energii otrzymujemy energię traconą na ciepło w wyniku zderzenia plastycznego.

Dla danych przykładu

22 0.1Mv42

2Mv5L6vML

245

2Mv

22Mv

2ωI

2MvE

222

2śrm

2u

2

ciepl

J0.1sm10kg0.010.1E 2

22

ciepl

1/5 początkowej energii kinetycznej

Grawitacja

Prawo powszechnego ciążenia, energia, potencjał grawitacyjny,

natężenie pola

Rys historyczny• Mikołaj Kopernik (1475-1543) – układ

heliocentryczny• Tycho de Brahe (1546-1601) – obserwacja

ruchów planet• Johannes Kepler (1571-1630) – znalazł

regularności w ruchu planet – prawa Keplera• Isaac Newton (1642-1727) – prawa dynamiki,

prawo powszechnego ciążenia, wyprowadził prawa Keplera z zasad dynamiki i prawa ciążenia

Prawa Keplera

1. Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje się Słońce.

2. Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w różnych odstępach czasu równe pola.

3. Kwadrat okresu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca

Prawo powszechnego ciążenia Odkryte przez Newtona 1665 r.

Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2, znajdujących się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te dwa punkty i ma wartość:

221

rmmGF

G – uniwersalna stała grawitacji

Stała grawitacji G ma tę samą wartość dla wszystkich punktów materialnych i jest skalarem.Siłę grawitacji możemy zapisać w postaci wektorowej:

12

122

12

2121 r

rrmmGF

m1

m1

m1

m2

m2

m2

r12

r21

F12 F21 F12 = -F21

Stała grawitacyjna G wyznaczana jest doświadczalnie (doświadczenie Cavendisha). Obecnie przyjęta wartość wynosi: G = 6.6720•10-11 N•m2/kg2 ± 0.0006 N•m2/kg2

Metoda pomiaru stałej grawitacji G polega na wykorzystaniu wagi skręceń. Na ramionach wagi umieszcza się dwie jednakowe kulki o masach m. Do jednej z nich zbliża się duża kula o masie M. Przyciąganie się kul powoduje odchylenie ramion wagi o kąt θ, przy którym moment siły sprężystości równoważy moment siły przyciągania. Pomiar kąta θ, przy znajomości mas, odległości kul, ramienia wagi i stałej skręcenia

m

mM

lrmMG 2

θ

Moment sil sprężystości = moment sił grawitacji

𝛕 – stała skręcenia spręż. nicil – ramię wagir – odległość między środkami mas m i M

Znajomość prawa powszechnego ciążenia oraz wartości stałej grawitacji pozwala na wyznaczenie masy Ziemi Mz. Siła przyciągania ciała o masie m umieszczonego na powierzchni Ziemi wynosi:F = gm. Siłę tę porównujemy z siłą grawitacji:

mRz6106

kgGgRM

RmMGmg

zz

z

z

242

2

1097.5

Pole grawitacyjne

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia każda masa umieszczona w pobliżu drugiej masy, jest przez nią przyciągana, znajduje się w polu jej działania. Pole to nazywamy polem grawitacyjnym, którego natężenie γ w dowolnym punkcie definiujemy jako siłę grawitacyjną działającą w tym punkcie na jednostkę masy (stosunek siły do masy).

mF

Grawitacyjna energia potencjalna

• Zmiana ∆U energii potencjalnej układu, w którym działa siła zachowawcza, podczas przejścia układu ze stanu a do b: ∆U = Ub – Ua = -Uab

• Energia potencjalna układu w dowolnym stanie b wynosi: Ub = -Uab+ Ua . Ua jest wartością energii umownie wybranego układu odniesienia.

Siła jest zachowawcza jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru.

Wygodnie jest przyjąć Ua = 0. Odpowiada to sytuacji, kiedy oddziaływania grawitacyjne maleją do zera, dla dużych odległości. Przyjmujemy energię potencjalną w nieskończoności równą zeru.

A

B

Wyznaczamy pracę W∞r siły grawitacji w trakcie przenoszenia masy m z nieskończoności do odległości r od środka Ziemi o masie M oraz energię potencjalną U(r).

r

F

m

0

Znak minus siły oznacza siłę przyciągającą – siłę, która ciągnie masę m w kierunku Ziemi. Znak energii potencjalnej wynika ze znaku siły grawitacyjnej.

rGMm

rGMm

drr

GMmrdrFWrU

r

rr

r

2

Energia potencjalna układu ciałJeżeli formujemy układ ciał, na przykład układ

trzech mas m1, m2, m3, pokazanych na rysunku, to energia potencjalna równa jest pracy , która musi być wykonana przez czynnik zewnętrzny podczas tego formowania.

m1

m2m3

r13

r12

r23

m2m3

r13

r12

m1

Początkowo masy znajdują się w nieskończonej odległości od siebie

Praca potrzebna na utworzenie układu:

1. Przenosimy z nieskończoności m2 do m1 na odległość r12 – praca -G m1 m2/r12

2. Przenosimy z nieskończoności m3 do m1 na odległość r13 – praca -G m1 m3/r13

3. Uwzględniamy pracę przeciwko grawitacyjnemu oddziaływaniu między m2 a m3 – praca -G m2 m3/r23

• Całkowita praca będzie sumą prac z punktów 1-3

Otrzymana suma prac będzie energią potencjalną i jednocześnie energią wiązania tego układu równą:

23

32

13

31

12

21

rmGm

rmGm

rmGmU

Aby układ rozdzieli na trzy odległe masy należy dostarczyć energię:

23

32

13

31

12

21

rmGm

rmGm

rmGm

Energia ciała w polu siły centralnej

Siła centralna to taka siła, której wektor jest zawsze skierowany do lub od pewnego ustalonego punktu, zwanego centrum siły. Siłą centralną jest siła grawitacji i coulombowska.

Przyjmijmy, że ciało o masie M w inercjalnym układzie odniesienia znajduje się w spoczynku, a masa m krąży wokół masy M po orbicie kołowej o promieniu r (szczególny przypadek elipsy). Prędkość liniowa masy m wynosi v, kątowa ω.

r

GMmrU

Grawitacyjna energia potencjalna układu wynosi:

Energia kinetyczna będzie równa:

222 rm21mv

21K

W ruchu po okręgu słuszny jest związek (równość sił grawitacji i dośrodkowej):

rv

22

22

rmr

GMm

rmr

GMm

Związek wykorzystujemy przy obliczaniu całkowitej energii układu E.

rGMm

rGMm

rGMm

21KUE

2

rGMm

21K

Związek siły grawitacji z siłą dośrodkową

Potencjał grawitacyjny

Potencjał grawitacyjny V jest wielkością skalarną definiowaną jako stosunek energii potencjalnej U, jaką posiada ciało o masie m umieszczone w danym punkcie pola grawitacyjnego, do wartości tej masy.

Potencjał grawitacyjny jest skalarem.

mUV

Potencjał grawitacyjny V w polu siły centralnej wynosi:

rGMV

gdzie r jest odległością od środka masy M, która jest źródłem pola grawitacyjnego.Potencjał pola wytworzonego przez kilka mas jest sumą potencjałów wytworzonych przez wszystkie masy.

nVVVVV ......321

PRZYKŁAD: Pierścienie SaturnaPierścienie Saturna pierścienie zbudowane z cząstek lodu i skał, krążących wokół Saturna. W zależności od gęstości materiału, tworzą one pojedyncze wąskie pasma lub wstęgi. Chociaż średnica pierścieni Saturna wynosi ponad 250 000 km, mają one zaledwie 30 km grubości. Ze względu na grawitacyjne oddziaływanie księżyców orbitujących pośród pierścieni nie są one idealnie płaskie. . Co 14-15 lat pierścienie Saturna ustawiają się pod takim kątem, że przestają być widoczne z Ziemi.

Pierścienie Saturna

PRZYKŁAD: Powłoka kulista

Siła działająca między powłoką kulistą a punktową masą m

Znaleźć siłę działającą między powłoką kulistą o promieniu r, gęstości ρ i masie M a masą punktową m, znajdującą się w odległości r od środka powłoki, w przypadku, gdy: a) R > r, b) R < r, grubość powłoki wynosi t.

θr

rdθ

Rrsinθ

a

Pα

αt

O

R = OP

F1

F2

A

B

a) R > r

F1y

F2y

F2x

F1x

Wyobrażamy sobie, że powłokę podzieliliśmy na elementy paskowe o szerokości rdθ i długości 2πrsinθ i grubości t. Objętość paska dV:

dsinrt2dV 2Masa dM będzie równa:

drtdVdM sin2 2Wypadkowa dF sił F1 i F2 działających na element paska o masie m ma kierunek poziomy i wynosi:

cosadrt2cos

adMmGdF 2

22

sin

Między zmiennymi a, θ, α zachodzi związek:

arcosRcos

Z twierdzenia cosinusów wynika następny związek:

2RarRr

rRcosrRa

222

222

cos

2

stąd

Otrzymany wynik różniczkujemy:

darRadsin

drRsinada

22

Podstawiając ostatni, otrzymany wzór do poprzednio otrzymanych związków dostajemy wyrażenie na siłę, jaką kołowy pasek dS działa na punkt o masie m:

da1arR

RrmtGdF

2

22

2

zmienne a i θ, r i R - stałe

Musimy teraz uwzględnić siłę działającą między masą m a każdym paskiem o szerokości ds, a następnie wykonać sumowanie tych sił (całkowanie), otrzymując siłę wypadkową. Zmienna a przyjmuje wartości os R - r do R + r.Ponieważ

4rdaarRrR

rR

12

22 Więc dla siły wypadkowej otrzymamy:

22

24RGMm

RmtrGdFF

rR

rR

Gdzie M = (4πr2ρt) jest całkowitą masą powłoki.Pełna kula może być rozpatrywana jako układ wielu współśrodkowych powłok.

Rozważmy przypadek, kiedy punkt materialny o masie m znajduję się wewnątrz powłoki. Poszukujemy siły, jaką powłoka sferyczna działa na punkt materialny. Poprzednio otrzymane związki między zmiennymi a, θ, α są słuszne. Natomiast zmienna a przyjmuje teraz wartości od r-R do r+R. Dla takiego przypadku

0daarRrR

rR

12

22

θr

rdθ

R

a

Pt

O

R = OPPA = PB = a

A

B

b) r > R

rsinθ

a

Siły F1 i F2 działają pod kątem α i ich składowe poziome się znoszą. Wartości pionowych sił sumujemy i otrzymujemy:

0dFFrR

Rr

Siła wewnątrz powłoki wynosi zero.

F1

F2

Siła F i natężenie pola γ wewnątrz powłoki wynoszą zero.

Na zewnątrz powłoki siła F i natężenie pola γ zależą od odległości od środka powłoki.

2RGMmF 2R

GM

Pełna kula może być rozpatrywana tak, jakby była złożona z dużej ilości współśrodkowych powłok. Jest to słuszne dla takiej kuli, której każda powłoka ma jednakową gęstość.

Ziemia, Księżyc czy Słońce, rozważane jako takie kule, jeśli chodzi o działanie grawitacyjne na ciała znajdujące się na zewnątrz, mogą być uważane za punkty materialne.

Teoria Newtona opisuje poprawnie ruchy większości planet. Obserwacje wykazały jednak, że ruch każdej planety jest złożeniem dwu ruchów: krążenia po elipsie i powolnego obrotu orbity eliptycznej wokół Słońca. W rezultacie tory planet są rozetami eliptycznymi.Newtonowska teoria grawitacji nie pozwala ocenić wpływu grawitacji na ruch światła.

W dwudziestym wieku powstała teoria grawitacji Einsteina, korzystająca z pojęcia czasoprzestrzeni.