Rachunek wariacyjny w fizyce

Dlaczego światło porusza się po krzywych, dla których czas przejścia jest

najkrótszy?

Jaki kształt musi mieć krzywa, aby punkt materialny zsuwał się po niej w jak

najkrótszym czasie?

Jak znaleźć ruch skomplikowanego układu?

Na te i inne pytanie można odpowiedzieć używając rachunku wariacyjnego.

Historia

W 1696 roku Jakub Bernoulli zapytał jaki kształt ma krzywa, po której zsuwająca

się masa, pod wpływem grawitacji, zsunie się najszybciej. Obecnie zagadnienie to

nazywa się problemem znalezienia brachistochrony.

Krzywą tą niezależnie znaleźli Isaac Newton, Gottfried Liebniz, Jan Bernoulli oraz

de l'Hospital.

Wariacja

W rachunku wariacyjnym bada się funkcjonały . Są to pewne

uogólnienia funkcji, które jako argument mają zwykłe funkcje. Cała

zabawa polega na znalezieniu takich funkcji, dla których funkcjonał jest

ekstremalny, tzn. jest minimalny bądź maksymalny. Np. chcemy na

powierzchni kuli znaleźć najkrótszą drogę łączącą dwa punkty. Nie jest to

linia „prosta” przecinająca południki pod stałym kątem tylko wygięta w

kierunku bliższego z biegunów.

Do znalezienia ekstremali używa się równań Eulera:

Brachistochrona I

Poszukujemy krzywej, po której punkt materialny najszybciej się zsunie. Na

krzywej tej punkt musi jak najszybciej osiągać dużą prędkość i krzywa ta musi być

dostatecznie krótka.

Brachistochrona II

Cykloida

Krzywa łańcuchowa

Kształt jaki przyjmie ciężki,

nierozciągliwy łańcuch o długości L

zawieszony w jednorodnym polu

grawitacyjnym. Łańcuch ten powinien

mieć jak najmniejszą energię potencjalną.

Lagrangian I

Rozpatrzmy prosty przykład: oscylator harmoniczny.

Równania Newtona:

Formalizm Lagrangeowski:

Rozwiązaniem jest:

ZBĘDNE UTRUDNIENIE?

LagrangianII

Podwójne wahadło:

Nie podejmuję się prób zapisu dynamiki za

pomocą równań Newtona.

Natomiast Lagrangian:

Jak wygląda ruch z punktu widzenia cząstki. Według Newtona cząstka „wie” tylko

skąd przybyła, gdzie jest i w którą stronę ma iść. Natomiast w opisie

Lagranżowskim cząstka z góry zna całą swoją drogę. Zatem łamie zasadę

przyczynowości.

Wyobraźmy sobie łódkę dryfującą po jeziorze. W danym punkcie jeziora

działają na nią wiatr i prądy wodne przesuwając ją w następne miejsce, czyli ruch

łódki jest zdeterminowany przez miejsce, z którego startuje (Newton). Natomiast

wg zasad wariacyjnych łódka w każdym momencie czasu wie dokąd dotrze – w

sposób nadprzyrodzony zna prędkości wiatru w wody.

Optyka I

Światło porusza się po liniach prostych

Dlaczego?

Najkrótsza, a co za tym idzie najszybszą drogą łącząca dwa punkty jest linią prostą.

Czy wynika to z zasad wariacyjnych?

Tak. Ta zasada wariacyjna nosi nazwę zasady Fermata: Światło porusza się po

krzywych, na których najszybciej pokona drogę z punktu startu do punktu

docelowego.

Rozwiązując równanie Eulera dla najszybszej drogi (stała prędkość) otrzymujemy

.

Optyka II

Ale nie zawsze!

FatamorganaPrędkość światła zależy od temperatury powietrza, przez które przechodzi. Zatem

rozwiązaniem równania Eulera nie są już linie proste.

Optyka III

Bardzo często krzywa, dla której funkcjonał osiąga ekstremum nie jest krzywą

różniczkowalną, czyli ma ostrza, załamania. Takie krzywe występują też w optyce.

Odbicie światła i załamanie. To, że kąt padania jest równy kątowi odbicia jest

konsekwencją faktu, że światło porusza się po liniach najkrótszego czasu.

Optyka IV

Zasada załamania światła

Światło padając na granicę dwóch ośrodków załamuje się zgodnie z prawem Snella:

Gdyby załamanie nastąpiło pod innymi kątami to światło potrzebowało by więcej czasu na dotarcie do punktu docelowego.