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PSI-MP-Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Cours A1 – Rappels Systèmes Asservis

APCB 1/19 A1_RAPPELS_SYST_ASSERVIS 19p.DOC

Rappels sur les systèmes asservis

Compétences attendues : Au terme de ce cours et des TD qui l’accompagnent, vous devez être capable de :

Définir un système du premier ou du second ordre par sa fonction de transfert

Construire les réponses indicielles de ces systèmes, en marquant avec soin les éléments caractéristiques (constantes de temps, comportement à l’origine, temps de réponse)

Identifier, à partir du comportement d’un système en chaîne directe ou boucle fermée, défini par une réponse indicielle ou harmonique, un modèle du premier ou du second ordre.

Table des matières : I. Fonction de transfert d’un système asservi

1. Système non-bouclé a. Définition b. Performances des systèmes non bouclés

2. Systèmes bouclés ou asservis a. Définition b. Structure classique c. Performances des systèmes asservis d. Types de systèmes asservis

3. Fonction de transfert a. Structure générale b. Schéma bloc général d’un système bouclé perturbé c. FTBF et FTBO d. Ecart

II. Etude des systèmes fondamentaux 1. Etude du système du premier ordre

a. Equation différentielle et fonction de transfert b. Réponse impulsionnelle c. Réponse indicielle d. Analyse harmonique

2. Système du second ordre a. Equation différentielle et fonction de transfert b. Réponse impulsionnelle c. Réponse indicielle d. Analyse harmonique

3. Identification du comportement d’un système

III. Rappels sur la transformée de Laplace 1. Définitions

a. Fonction causale b. Transformée de Laplace c. Conditions de Heaviside

2. Propriétés de la transformée de Laplace a. Existence et unicité b. Linéarité

0,6

K0,9

τ 3

logω

20log2

m a x 0 1 2ω = ω − m

22 0 l o g ( )

2 1 −K

m m

DD

t t

f(t) →L F(p) = 0

( )pte f t dt∞ −∫



c. Dérivation et intégration d. Théorèmes de la valeur initiale et finale e. Théorème du retard

3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles

Théorème du retard

[ ] [ ]( ) ( )pL f t e L f tττ −− =

I. Fonction de transfert d’un système asservi

1. Système non-bouclé

a. Définition

Un système non bouclé est un système qui ne contrôle pas la manière dont la consigne a été exécutée. L’entrée du système est donc confondue avec la commande de ce système. Cette entrée est donc indépendante de la valeur de la sortie, l’utilisateur n’a aucun moyen de contrôle de la sortie.

b. Performances des systèmes non bouclés

Les performances des systèmes non-bouclés sont limitées :

Si la valeur visée est dépassée, le système ne peut pas corriger l’erreur ; Si une perturbation extérieure modifie la valeur de la grandeur de sortie, le

système ne peut pas se recaler ; La dynamique n’est pas maîtrisée.

Les systèmes non-bouclés sont par contre simples à commander et moins onéreux que les systèmes bouclés. Contrairement à ces derniers, ils ne sont jamais instables (voir la stabilité dans le prochain cours).

2. Systèmes bouclés ou asservis

a. Définition

Un système asservi est un système bouclé dans lequel la grandeur de retour est comparée à la grandeur d’entrée par élaboration d’un signal, appelé écart.

Un système asservi peut être défini en trois points :

• C’est un système à retour : L’évolution de la grandeur de sortie est surveillée au moyen d’un capteur qui la transforme en une grandeur image appelée retour. Cette grandeur image doit être de la même nature et à la même échelle que la grandeur d’entrée. La précision de la sortie dépend essentiellement de la précision du capteur.

t

f(t) f(t-τ)

τ



• C’est un système générateur d’écart : La grandeur de retour, image de la sortie, est comparée à la grandeur d’entrée par élaboration de la différence ou écart. Le but de l’asservissement est d’annuler constamment cet écart de telle sorte que la sortie suive l’entrée. La sortie est alors asservie à l’entrée. • C’est un système amplificateur : L’écart est une grandeur d’autant plus faible que la sortie est proche de l’entrée et devient alors insuffisant pour maintenir un signal de commande en sortie. L’écart est donc, dans la plupart des cas, amplifié.

b. Structure classique

La structure d’un système asservi peut alors être représentée grâce à un SCHEMA BLOC , dont voici l’expression générale :

La réunion fonctionnelle du comparateur et du correcteur constitue la partie commande

du système. Le comparateur compare le signal de sortie du capteur à la consigne et élabore alors

l’écart. Le correcteur est l’organe « intelligent » qui, à partir de l’écart, élabore un signal de commande en entrée du processus.

L’afficheur est l’organe qui rend comparable la consigne à l’image de la sortie. Ce convertisseur permet donc de transformer la consigne pour qu’elle soit comparable à l’image de la sortie donnée par le capteur.

Le processus se décompose en plusieurs éléments : Préactionneur, Actionneur et éventuellement effecteur (et transmetteurs).

On distingue dans ce système fermé ou asservi, deux chaînes : Une chaîne d’action ou chaîne directe :

Commande ou consigne

CORRECTEUR PROCESSUS

CAPTEUR

AFFICHEUR

Perturbations éventuelles

+ -

CORRECTEUR PROCESSUS + -

0



Une chaîne de retour

c. Performances des systèmes asservis

Les avantages de ces systèmes sont : Une meilleure adéquation de la sortie, par rapport à la commande ou à la consigne L’influence des perturbations est réduite Par contre, leur coût est assez élevé et l’asservissement peut rendre le système instable. Pour qualifier les performances des systèmes asservis, nous utiliserons trois critères

fondamentaux qui sont : La Stabilité La Rapidité La Précision

d. Types de systèmes asservis

Une REGULATION est un système asservi destiné à maintenir une grandeur constante (régulation en température d’une enceinte, régulation en vitesse d’un moteur)

Un ASSERVISSEMENT ou Système SUIVEUR, est un système asservi destiné à

faire suivre une certaine loi temporelle à une grandeur.

3. Fonction de transfert

a. Structure générale

Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients constants de la forme suivante :

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( ).. ( ) .. ( )

n m

n m

d s t ds t d e t de ta a a s t b b b e t

dt dt dt dt+ + + = + + + .

L’ordre du système est alors donné par max( , )m n . Les systèmes physiques vérifient toujours n m≥ .

En se plaçant dans les conditions de Heaviside, toutes les conditions initiales sont nulles et on peut alors appliquer la transformation de Laplace à l’équation précédente :

1 0 1 0( ) .. ( ) ( ) ( ) .. ( ) ( )n mn ma p S p a pS p a S p b p E p b pE p b E p+ + + = + + +

On appelle alors fonction de transfert, la fraction rationnelle suivante :

0 1

0 1

...( )( )

( ) ...

mm

nn

b b p b pS pH p

E p a a p a p

+ + += =+ + +

Ainsi, la représentation du système dans le domaine de Laplace est la suivante : Et nous avons donc S(p)=H(p)E(p)

CAPTEUR

e(t) s(t) système

E(p) S(p) H(p)



Les fonctions de transfert peuvent être mises sous une autre forme, appelée forme

canonique c’est à dire : (1 ... )( ) ( )

( )( ) (1 ... ) ( )

mm

nn

K b pS p KN pH p

E p p a p p D pα α+ += = =+ +

.

α est appelé classe du système α + n est l’ordre du système

Lorsque 0α = , K est le gain du système, appelé gain statique. Les racines du numérateur N(p) sont appelées les zéros de la fonction de transfert. Les racines du dénominateur D(p) sont appelées les pôles de la fonction de transfert. Exemple : Un moteur à courant continu est régi par les équations suivantes :

Equations Electriques ( )

( ) ( ) ( )di t

u t Ri t L e tdt

= + +

( ) ( )ee t K t= ω

Equations Mécaniques (si les frottements sont négligeables et les raideurs des pièces infinies)

( )m tC K i t=

( )m

d tC J

dt

ω=

Fonction de transfert si utilisé en vitesse( ) ( ) ( )p H p U pΩ = On a, en supprimant i(t) dans les équations précédentes :

2

2

2

2

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 1( ) ( )

t

et t

t e t e e

J d ti t

K dt

J d t J d tu t R L K t

K dt K dt

RJ d t LJ d tt u t

K K dt K K dt K

ω=

ω ω= + + ω

ω ωω + + =

22

20 0

1( )

( )2( ) 1 1

e

t e t e

Kp KH p

RJ LJ m pU p p p pK K K K

Ω= = =+ + + +

ω ω

système d’ordre 2, de classe 0, de gain K

U(p) ( )pΩH(p)

M

i(t)

u(t)

J

( )tω

R

L

e(t)



Si on utilise le moteur en position : système d’ordre 3, de classe 1 et de gain ∞ .

2

20 0

( )( )

2( )(1 )

p KH p

m pU pp p

θ= =+ +

ω ω

b. Schéma bloc général d’un système bouclé perturbé

Afin de dégager des notions générales, nous devons ici prendre en compte les perturbations. Par exemple, pour un moteur à courant continu, l’application du PFD (moment dynamique), peut faire apparaître un couple résistant, noté CR.

( )

m R

d tC C J

dt

ω− =

Le schéma bloc, sans bouclage, du moteur électrique s’écrit alors : On remarquera que ce schéma bloc comporte une boucle interne, qui ne correspond en

aucun cas à un asservissement, que ce soit en vitesse ou en position. Il est possible maintenant d’ajouter à ce schéma un asservissement en vitesse, par exemple. Le schéma bloc prend alors l’allure suivante :

Le dispositif peut alors être explicité clairement par le schéma bloc bien connu :

Perturbation

Mesure

ε(t) -

+ +

Capteur

Entrée ou consigne Système Sortie

-

Préactionneur Correcteur Actionneur

Chaîne directe

Chaîne de retour

A l’avenir, nous allons modéliser ces systèmes asservis de la manière suivante

U(p) ( )pθH(p)

+ -

U(p) 1

R Lp+

eK

I(p) tK

Cm(p) +

-

CR(p)

1

Jp

( )pΩ

+ -

U(p) 1

R Lp+

eK

I(p) tK

Cm(p) +

-

CR(p)

1

Jp

( )pΩ +

-

Capteur

Correcteur consΩ ( )pε



Les fonctions de transfert s’écriront : ( )

( ) , (0) 1, (0) 1( )i

ii i i

i

N pH p N D

p D pα= = =

c. FTBF et FTBO

La Fonction de Transfert en Boucle Fermée du système précédent s’écrit par le principe de superposition :

Contribution de l’entrée E(p)

1 2 1 21

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

K K H p H p G pS p E p

K K H p H p G p=

+

Contribution de la perturbation P(p)

2 22

1 2 1 2

( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

K H pS p P p

K K H p H p G p=

+

Sortie S(p)

1 1 2 2 2 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

K H p K H p G p K H pS p S p S p E p P p

K K H p H p G p K K H p H p G p= + = +

+ +

La fonction de Transfert (FTBF) en l’absence de perturbation est alors :

1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

1 ( ) ( ) ( )

K H p K H p G pFTBF p

K K H p H p G p=

+

La fonction de transfert en boucle ouverte, notée FTBO(p) correspond au schéma bloc suivant :

Elle vaut donc :

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )FTBO p K K H p H p G p=

Remarques :

+ -

1 1( )K H p2 2( )K H p+

+

( )G p

E(p)

S(p)

+ -

1 1( )K H p2 2( )K H p+

+

( )G p

E(p) S(p)

P(p)

( )pε( )G p



On remarque que lorsque le système est à retour unitaire (G(p)=1), on a ( )

( )1 ( )

FTBO pFTBF p

FTBO p=

+.

Dans le cas contraire, il y a toujours un afficheur en amont du correcteur afin de rendre la consigne et la grandeur de retour comparable. Dans ce cas, la fonction de transfert de cet afficheur est G(p), comme sur le schéma et on retrouve :

( )( )

1 ( )

FTBO pFTBF p

FTBO p=

+

d. Ecart

Par le principe de superposition, nous obtenons aussi :

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

G p K H pG pp E p P p

K K H p H p G p K K H p H p G pε = −

+ +

Un bon système suiveur doit minimiser la contribution de la commande, tandis qu’un

système régulateur doit minimiser la contribution de la perturbation .

II. Etude des systèmes fondamentaux

1. Etude du système du premier ordre

a. Equation différentielle et fonction de transfert

L’équation différentielle vérifiée par un tel système est du type : ( )

( ) ( )ds t

s t Ke tdt

τ + = .

La transformée de Laplace donne : ( ) ( ) ( )pS p S p KE pτ + = . La fonction de transfert s’écrit donc :

( )1

KH p

p=

+ τ

K est le gain statique et τ la constante de temps.

b. Réponse impulsionnelle

On obtient alors : 1

( )11

K KS p

p p= =

+ τ τ +τ

. Par lecture de la table, nous obtenons donc :

( )tK

s t e−

τ=τ

. On en déduit les propriétés principales : (0)K

s =τ

, '2

(0)K

s = −τ

. L’allure de cette réponse

impulsionnelle est la suivante :

Contribution de la commande Contribution de la perturbation

K

τ

τ

s(t)

t



c. Réponse indicielle

L’entrée est donc la fonction échelon unité. On a alors 1

( )E pp

= . La sortie est donc

dans ce cas ( )(1 )

KS p

p p=

+ τ. Il faut décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples :

1 1

( ) ( )1(1 ) 1

K K KS p K

p p p p p p

τ= = − = −+ τ + τ +

τ

Par lecture de la table, la sortie est donnée par :

s(t) = K.E0.(1 - τt

e ) (échelon unité E0 = 1)

Pente à l’origineOn calcul s’(t). On a alors ' ( )tK

s t e−

τ=τ

. Le coefficient directeur de la tangente à

l’origine vaut donc K

τ, il est donc NON NUL . Cette tangente coupe l’asymptote pour t = τ .

Erreur statique Il faut pour cela calculer la valeur finale : 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )t p p

s t pS p H p K→∞ → →

= = =

L’erreur statique se définie par 0

lim ( ) ( ) lim ( ( ) ( )) 1St p

e t s t p E p S p K→∞ →

ε = − = − = −

Cette erreur n’est donc nulle que si K=1. On lui préférera le terme d’écart statique puisque la sortie et l’entrée ne sont pas nécessairement comparables.

Temps de réponse à 5% Il faut pour cela résoudre : 0,95 K =K.(1 - τrt

e ) tr = - ln(0,05).τ ≈ 3.τ

d. Analyse harmonique

Reprenons ( )1

KH p

p=

+ τ. Nous avons alors

0

( )1 1

K KH j

j jω = = ω+ τ ω +

ω

.

Nous pouvons alors effectuer une analyse harmonique en comportement asymptotique :



Si 0ω < ω

Alors ( )H j Kω ≈ et donc 20log ( ) 20logdBG H j K= ω = et arg( ( )) 0H jϕ = ω =

Si 0ω = ω

Alors 0( )1

KH j

jω =

+et donc 20 log 20log 20log 2

2dB

KG K= = − et donc

20 log (0) 20log 2 20log (0) 3dBG H H dB= − = − . On a alors 0( ) 12 70%(0) 2

KH j

H K

ω = = ≈

On définit la bande passante à –3 dB comme la plage de fréquence pour lesquelles l’amplitude de ( )H jω ne se trouve pas diminuée de plus de 30% de H(0).

Si 0ω > ω

Alors

0

( )K

H jj

ω ≈ ωω

et donc 020log ( ) 20log 20logdBG H j K= ω = ω − ωet

arg( ( ))2

H jπϕ = ω = −

2. Système du second ordre

a. Equation différentielle et fonction de transfert

L’équation différentielle vérifiée par un tel système est du type : 2

2 200

1 ( ) 2 ( )( ) ( )

d s t m ds ts t Ke t

dt dt+ + =

ωω.

La fonction de transfert s’écrit donc :

2

20 0

( )2

1

KH p

m pp

=+ +

ω ω

K est le gain statique,

0ω la pulsation propre

m le facteur d’amortissement

ϕ

dBG

logω

logω

0ω

20logK-20 dB / décade

2

π−

-3 dB

BP à -3 dB



b. Réponse impulsionnelle

Si 1m≥ , le système est dit amorti : Les pôles de la fonctions de transfert sont tous réels. En effet, on notera que le

discriminant de cette équation vaut 22

0

4( 1)m∆ = −

ω. Notons p1 et p2 les deux pôles et

1 21 2

1 1,

p pτ = − τ = − , nous avons 2 2

1 0 2 0( 1), ( 1)p m m p m m= −ω + − = −ω − −

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

( ) ( )(1 )(1 ) 1 1(1 )(1 )

K K KS p

p p p p p pp p

τ τ= = = −+ τ + τ τ − τ + τ + τ− −

,

par lecture de la table, il vient donc : 1 2

1 2

( ) ( )t t

Ks t e e

− −τ τ= −

τ − τ

Remarque : cas particulier m=1. Dans ce cas, on a une racine double, et la réponse est

conforme à la précédente avec ( )tK

s t te−

τ=τ

. Ce cas n’existe pas physiquement car on ne peut réaliser

parfaitement m=1.

Si m<1, le système est sous amorti Les deux pôles sont complexes. Par lecture directe de la table, il vient :

0 2002

( ) sin( 1 )1

m tKs t e m t

m

− ωω= ω −−

c. Réponse indicielle

L’entrée est donc la fonction échelon unité.

On a alors 1

( )E pp

= . La sortie est donc dans ce cas : 2

20 0

( )2

(1 )

KS p

m pp p

=+ +

ω ω

Le régime est sous amorti ou périodique. La

pseudo période vaut 2

0

2

1T

m

π=ω −

. Lorsque

m=0, on a un régime parfaitement sinusoïdal

de période 0

2T

π=ω

, de pulsation 0ω d’où le

nom de pulsation propre.

s(t)

t

T

enveloppe

s(t)

t



m>1 On décompose la fraction rationnelle en éléments simples. Nous obtenons alors :

2 22 1

1 2 2 1

1 1( ) ( )

1 1S p K

p p p

τ τ= + − τ − τ + τ + τ

Par lecture de la table il vient alors pour la réponse

1 21 2

1 2

1( ) 1 ( )

t t

s t K e e− −

τ τ

= − τ − τ τ − τ

avec

)1mm.(

12

0

1 −−−−−−−−ωωωω====ττττ

et

)1mm.(

12

0

2 −−−−++++ωωωω====ττττ

temporelle :

Pente à l’origine : elle est NULLE car s’(0)=0. C’est la différence fondamentale pour reconnaître, à partir de la réponse indicielle, la différence entre un premier ordre et un second ordre.

Erreur statique : Il faut pour cela calculer la valeur finale :

0 0lim ( ) lim ( ) lim ( )t p p

s t pS p H p K→∞ → →

= = =

L’erreur statique se définie par 0

lim ( ) ( ) lim ( ( ) ( )) 1St p

e t s t p E p S p K→∞ →

ε = − = − = −

Cette erreur n’est donc nulle que si K=1.

m<1 Par lecture de la table, nous obtenons alors :

0 202

2

1( ) 1 sin( 1 )

1

avec sin 1 et cos

m ts t K e m tm

m m

− ω = − ω − + ϕ

−

ϕ = − ϕ =

L’allure de la réponse temporelle est alors la suivante :

T

D1

K D2

t1 t2

K

s(t)

t



Les dépassements Di ont lieu aux instants où la dérivée de s(t) s’annule. Ainsi, nous

avons 2

0 1k

kt

m

π=ω −

. Le niveau du premier dépassement se définit en pourcentage par

2Max

1m1

m.exp

SSS

D−−−−

ππππ−−−−====−−−−====∞∞∞∞

∞∞∞∞ , qui ne dépend pas de 0ω .

Temps de réponse à 5% réduit : On définit le temps de réponse réduit comme l’instant à partir duquel la sortie reste dans

la plage [ ]0,95 ;1,05K K . L’abaque ci contre définit alors ce temps de réponse, en fonction de 0ω et de m.

d. Analyse harmonique

Reprenons 2

20 0

( )2

1

KH p

m pp

=+ +

ω ω

. Nous avons alors 2

20 0

( )2

1

KH j

mj

ω =ω+ ω −

ω ω

.

Le module de cette fonction de transfert vaut :

2 2 2 2 42 2

2 2 2 40 0 0 0

( )4

(1 ) 1 (4 2)

ω = =ω ω ω ω− + + − +ω ω ω ω

K KH j

mm

Ce module présente un extremum si '( ) 0ω =f avec 2 4

22 4

0 0

( ) 1 (4 2)ω ωω = + − +ω ω

f m



On a alors : 3 2

2 22 4 2 2

0 0 0 0

'( ) 2(4 2) 4 (8 4 4 )ω ω ω ωω = − + = − +

ω ω ω ωf m m qui s’annule en

dehors de 0ω = que si 28 4 0− ≤m soit 2

2≤m .

Ainsi, lorsqu’il y a un extremum, il s’agit d’un maximum en 2

max 0 1 2ω = ω − m et le

maximum vaut max 2( )

2 1ω =

−K

H jm m

Cas où 2

2>m

Nous pouvons alors effectuer une analyse harmonique en comportement asymptotique :

Si 0ω < ω

Alors ( )H j Kω ≈ et donc 20log ( ) 20logdBG H j K= ω = et arg( ( )) 0H jϕ = ω =

Si 0ω = ω

Alors ( )2

KH j

jmω ≈ et donc 20 log

2dB

KG

m= et

2

πϕ = −

Si 0ω > ω

Alors 2

20

( )K

H jω ≈ −ωω

et donc 2 220 020log 20log 20log 40logdBG K K= ω − ω = ω − ω et ϕ = −π

ϕ

dBG

logω

logω

0ω


2

π−

−π



Cas où 2

2≤m

L’analyse asymptotique est identique mais la courbe de gain possède un maximum en

2max 0 1 2ω = ω − m qui vaut max 2

( )2 1

ω =−

KH j

m m. Ce phénomène s’appelle le

phénomène de résonance, qui n’a rien à voir avec une réponse oscillante ou non ( 1 ou m<1≥m ). On

définit le facteur de surtension Q par 2

11

2 1= ≥

−Q

m m. La courbe de gain a alors l’allure suivante :

3. Identification du comportement d’un système

La modélisation du système sous forme d’équations du premier ou du second ordre n’est pas toujours possible, notamment lorsque le système est complexe ou mal connu. Une autre approche, expérimentale, consiste à soumettre le système à des entrées connues et à rechercher une fonction de transfert qui approche au mieux la relation observée entre l’entrée et la sortie. Cette démarche s’appelle l’IDENTIFICATION . Vous pouvez être amenés à identifier un système du premier ou du second ordre à partir de l’étude de la réponse temporelle ou de la réponse harmonique fournie du comportement d’un système.

Pour cela, il suffit de bien connaître les caractéristiques fondamentales précédemment exposées des systèmes du premier et du second ordre pour pouvoir :

Retrouver ces caractéristiques sur les réponses fournies A partir de ces caractéristiques, retrouver les coefficients de la fonction

de transfert du système

dBG

logω

0ω


2max 0 1 2ω = ω − m

220log( )

2 1−K

m m



III. Rappels sur la transformée de Laplace

1. Définitions

a. Fonction causale

On dit qu’une fonction du temps f(t) est causale si elle vérifie : f(t)=0 pour 0t ≤ . La fonction existence (ou fonction échelon unité), est la fonction u(t) telle que :

( ) 0 si 0

( ) 1 si 0

u t t

u t t

= ≤ = >

¨

Ainsi, quelle que soit la fonction f(t), on a f(t)u(t) qui est causale.

b. Transformée de Laplace

On appelle transformée de Laplace d’une fonction CAUSALE f(t), la fonction, si elle existe, définie par : où la variable p est une variable complexe.

On notera la transformée de Laplace de la fonction f(t) : [ ]( ) ( )F p L f t= Le calcul de la

transformée de Laplace se déroule en appliquant : 0 0

( ) lim ( )Tpt pt

Te f t dt e f t dt

∞ − −

→∞=∫ ∫

c. Conditions de Heaviside

On dit qu’une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie :

'

''

(0 ) 0

(0 ) 0

(0 ) 0,....

f

f

f

+

+

+

=

= =

, c’est à dire si les conditions initiales sont nulles.

2. Propriétés de la transformée de Laplace

a. Existence et unicité

La transformée de Laplace existe si f(t) est intégrable. Si elle existe cette transformée est unique, c’est à dire qu’à f(t) correspond F(p) unique et à F(p) correspond f(t) unique.

b. Linéarité

[ ] [ ] [ ]21 2 1 2( , ) , ( ) ( ) ( ) ( )a b L af t bf t aL f t bL f t∀ ∈ + = +¡

c. Dérivation et intégration

Pour cela, intégrons par partie :

[ ]

' ' '

00 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (0 ) ( ) (0 )

pt pt pt

pt

L f t e f t dt e f t e f t dt

p e f t dt f pL f t f

∞ ∞∞− − −

∞ − + +

= = −

= − = −

∫ ∫

∫

Car la fonction f(t) est intégrable.

f(t) →L F(p) = 0

( )pte f t dt∞ −∫



Ainsi, nous avons de même, avec la même démarche :

[ ][ ]

'

'' 2 '

( ) ( ) (0 )

( ) ( ) (0 ) (0 )

L f t pL f t f

L f t p L f t pf f

+

+ +

= −

= − −

Dans les conditions de Heaviside, une dérivation dans le domaine temporel revient à

une multiplication par p dans le domaine symbolique de Laplace. Procédons avec le même démarche. Notons ( )g t , la fonction telle que ' ( ) ( )g t f t= .

Nous avons alors : [ ]

[ ]

'

0 00

0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1( ) (0 ) ( ) (0 )

pt pt pt

pt

L g t e g t dt e g t e g t dtp p

e f t dt g L f t gp p p p

∞∞ ∞− − −

∞ − + +

= = − − −

= + = +

∫ ∫

∫

Dans les conditions de Heaviside, une intégration dans le domaine temporel revient à

une division par p dans le domaine symbolique de Laplace.

d. Théorèmes de la valeur initiale et finale

0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→ →∞

=

0lim ( ) lim ( )t p

f t p F p→∞ →

=

e. Théorème du retard

[ ] [ ]( ) ( )pL f t e L f tττ −− =

t

f(t) f(t-τ)

τ



3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles

f(t)u(t) F(p) f(t)u(t) F(p) K K

p

cos( )tω 2 2

p

p + ω

Kt 2

K

p

( )sh tω 2 2p

ω− ω

ate− 1

p a+

( )ch tω 2 2

p

p − ω

nt 1

!n

n

p + sin( )ate t− ω 2 2( )p a

ω+ + ω

1t

e τ−

− 1

(1 )p p+ τ cos( )ate t− ω

2 2( )

p a

p a

++ + ω

at ne t 1

!

( )n

n

p a +−

( )tδ 1

sin( )tω 2 2p

ω+ ω

f(t)u(t) (m<1) F(p) (m<1)

0 2002

sin( 1 )1

m te m tm

− ωω ω −−

2

20 0

1

21

m pp+ +

ω ω

0 202

2

11 sin( 1 )

1

avec sin 1 et cos

m te m tm

m m

− ω− ω − + ϕ−

ϕ = − ϕ =

2

20 0

1

2(1 )

m pp p+ +

ω ω

Complément au polycopié : « Rappels sur les systèmes asservis » page 14b/18 Système du 2ème ordre : d) Analyse harmonique : p 14/18 il manque le cas où m>1 (Z>1) présenté ci-dessous :



Coef d’amortissement réduit notations : Z ou m ou ξξξξ ou ζζζζ

( Notations du coef d’amortissement réduit : Z ou m ou ξξξξ ou ζζζζ )

Documents

PSI-MP-Sciences Industrielles pour l’Ingénieur …psi.pauleluard.free.fr/IMG/pdf/A1_RAPPELS_SYST_ASSERVIS...PSI-MP-Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Cours A1 – Rappels