Upload
lecturer
View
52
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA IIIDr. Parulian Silalahi,
M.Pd
POLITEKNIKMANUFAKTUR NEGERIBANGKA BELITUNG
METODA VARIASI PARAMETER
Jika u1 (x) dan U2 (x) adalah penyelesaian bebas terhadap persamaan homogen, maka dapat diperlihatkan bahwa terdapat penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk
Yp = V1 (x) U1 (x) + V2 (x) U2 (x)
Dengan syarat
V1’ U1 + V2’ U2 = 0V1’ U1’ + V2’ U2’ = k(x)
Contoh:Selesaikanlah PDL di bawah ini dengan menggunakan metoda variasi parameter
1.Y”+ Y = cosec x2.Y” – 9 y = e2x
Jawab:1. Y”+ Y = cosec x PDL Homogen Y” + Y = 0Persamaan bantu : r2 + 1 = 0
r1,2 = ± iPenyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin x
Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen Yp = V1 (x) cos x + V2 (x) sin x
Syarat : V1’ cos x + V2’ sin x = 0 - V1 sin x + V2’ cos x = cosec x
1sincos
sin.0
cossin
sincos
coscos
sin0
'22
sin1
1
xx
x
xx
xx
xecx
x
V x
ctgxxx
xx
xx
xx
ecxx
x
V
222 sincossin
cos
cossin
sincos
cossin
0cos
'
Penyelesaian umumY = Yh + YpY= C1 cos x + C2 sin x- x.cosx + ln |sin x|.sin x
xxxxYp
xdxctgxV
xdxV
sin.sinlncos.
sinln
1
2
1
Y” – 9Y = e2x
PDL Homogen : Y” – 9 Y = 0Persamaan bantu : r2 – 9 = 0
r1,2 = ± 3Penyelesaian umum homogenYh = C1 e3x + C2 e-3x
Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen:
Yp = V1(x) e3x + V2 (x) e-3x
Syarat:
V1’ e3x + V2’ e-3x = 03V1’e3x - 3V2’e-3x = e2x
xxxx
xx
xx
xx
x
xxxx
xx
xx
xx
x
edxeVee
ee
ee
ee
e
V
edxeVee
ee
ee
ee
e
V
552
55
33
33
23
3
2
1
33
33
32
3
1
30
1
6
1
6
1
33
33
3
0
'
6
1
6
1
6
1
33
33
3
0
'
Yp = V1 (x). U1 (x) + V2 (x) .U2 (x) = -1/6 e-x. e3x + (-1/30 e5x). e-3x
= - 1/5 e2x
Jadi penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 e3x + C2 e-3x – 1/5 e2x
TERIMA KASIH
Selamat Belajar