Embed Size (px)
Citation preview
PT szimmetrikus kvantumme hanikaiproblémák vizsgálataBS szakdolgozatZsigmond Anna JuliaELTE TTK Fizika BS 3. évfolyam
Témavezet®: dr. Taká s GáborMTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutató soportBudapest,2010
2
KivonatEgy kvantumelmélet energiaszintjeit és id®fejl®dését a Hamilton-operátor határozzameg. A kvantumme hanika szokásos axiómája, hogy a Hamilton-operátor legyenhermitikus, mert ez garantálja a spektrum valósságát és az id®fejl®dés unitaritását.A dolgozatban egy alternatív kvantumme hanikai formalizmust mutatunk be rö-viden, melyben a hermiti itást fel seréljük egy �zikailag értelmezhet®bb feltételre,hogy a Hamilton-operátor legyen invariáns a kombinált tér- és id®tükrözés alatt(legyen PT szimmetrikus).Els®ként a H = p2 − (ix)α Hamilton-operátorral foglalkozunk. Megmutatható akomplex síkba kiterjesztett klasszikus pályák szimmetriája, és a kvantumme hanikaienergiaszintek valósságának kap solata. Ha a Hamilton-operátor PT szimmetriájasértetlen, vagyis a sajátfüggvények is PT szimmetrikusak, akkor a spektrum valós éspozitív. Ennek feltétele, hogy α ≥ 2. Ha α < 2, akkor a kvantumos energiaszinteka fels®bb energiaszintek fel®l komplexszé válnak, és a klasszikus pályák nyíltak ésnem periodikusak. Ez egy spontán szimmetriasértés, hiszen a Hamilton-operátorPT szimmetrikus, de a hozzá tartozó klasszikus pályák illetve sajátfüggvények nem.Az ilyen Hamilton-operátorral létrehozott kvantumelmélet �zikailag értelmezhe-t®, mivel található megfelel® skalárszorzat, melyre a sajátfüggvények ortogonálisak,valamint a norma pozitív és id®ben megmarad. Ehhez a konzisztens valószín¶ségiértelmezéshez be kell vezetni egy új szimmetriaoperátort, mely a sajátfüggvényeknormáját méri.Végül aH = p2−(ix)α−λ(ix)β (α ≥ 2) Hamilton-operátor perturbá iószámításátvizsgáltuk kis λ együttható esetén. Arra a következtetésre jutottuk, hogy a spontánszimmetriasértés, amit β < 2 esetén várnánk, nem perturbatív. Más módszereketkell találnunk a szimmetriasértés vizsgálatára.
TartalomjegyzékBevezetés 21. PT szimmetrikus klasszikus me hanika 41.1. α = 2 esete a klasszikus harmonikus osz illátor . . . . . . . . . . . . . 51.2. α = 3 esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. α = 4 esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Általános eset: α ≥ 2 valós szám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Spontán szimmetriasértés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. α = 1 esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. PT szimmetrikus kvantumme hanika 122.1. Az energia sajátértékek meghatározásának módszerei . . . . . . . . . 132.2. A H = p2 − (ix)α Hamilton-operátor spektruma α függvényében . . . 172.3. Skalárszorzat PT szimmetrikus kvantumelméletben . . . . . . . . . . 183. Összetett poten iál 21Összefoglalás 25Irodalomjegyzék 26Köszönetnyilvánítás 28
1
BevezetésA kvantumelmélet már több mint száz éves és a kísérletekkel egyez® eredményeketad. Egy bevezet® kvantumelmélet el®adásban megtanuljuk, milyen axiómáknak kellteljesülnie egy kvantumelméletre. Ezek egy kivételével mind �zikai követelmények.Az egyetlen kivétel kevésbé �zikai inkább matematikai követelmény, mégpedig arendszer Hamilton-operátorától és a meg�gyelhet® mennyiségekhez rendelt operá-toroktól megköveteljük, hogy hermitikusak legyenek. A hermitikusság elegend®feltétele a spektrum valósságának, de nem szükséges. Az utóbbi néhány évtizedbenegyre több nem-hermitikus Hamilton-operátorról fedezték fel, hogy a spektrumukvalós [1℄, [2℄, [3℄.Ebben a dolgozatban olyan nem-hermitikus Hamilton-operátorokkal foglalko-zunk, melyek a kombinált tér- és id®tükrözésre invariánsak, vagyis PT szimmet-rikusak [4℄. Megmutatható, hogy a PT szimmetrikus Hamilton-operátorok köremagában foglalja a hermitikus Hamilton-operátorokat [5℄. Röviden: minden her-mitikus Hamilton-operátorhoz található egy P operátor, mely kommutál H-val,és a tulajdonságai megfelelnek a paritás operátornak. Ha a Hamilton-operátorH = p2 + V (x) alakú, ahol V (x) valós, vagyis invariáns az id®tükrözésre, akkorH automatikusan PT szimmetrikus. Tehát a PT szimmetria tekinthet® a hermiti- itás egy általánosításának [6℄.A paritás és az id®tükrözés operátorok hatása a koordinátára és az impulzusra:
P : Rex→ −Re x, Imx→ ImxRe p→ −Re p, Re p→ −Re pT : Re x→ Rex, Imx→ −Im xRe p→ −Re p, Im p→ Im p
i→ −i (1)A P és T operátorok négyzete 1, így a kombinált PT operátorra is (PT )2 = 1. Azid®tükrözés operátora nem lineáris, mivel komplex konjugálást tartalmaz, így a T2
operátort antilineárisnak szoktuk nevezni.Mai �zikai kutatásokban sokféle új elméletet vizsgálnak, melyek kidolgozása többproblémát is megoldhat az elméleti �zikában. A PT szimmetrikus kvantumelméletetis vizsgálhatjuk a kvantumtérelméletben. Mint látni fogjuk, a vizsgált PT szim-metrikus elméletek egy részében fellép egy dinamikai eredet¶ spontán szimmetria-sértés, tehát nem kell a Lagrange-függvény szintjén bevezetni egy szimmetriasért®poten iált. Ett®l remélhetjük, hogy a Standard modellben a Higgs szektor néhányelméleti problémáját megoldja, és akár kísérleti jóslatokkal is szolgálhat [7℄. Meg-mutatható, hogy a −gφ4 elmélet aszimptotikusan szabad és spontán szimmetria-sértésre vezet [7℄. Ennek kvantumme hanikai analógját a kés®bbiekben tárgyaljuk,és megmutatjuk, hogy megfelel® határfeltételek esetén a spektrum alulról korlátos,viszont a paritás szimmetria spontán sérül. Vizsgáltak további PT szimmetrikustérelméleteket is, melyek renormálhatók és aszimptotikusan szabadok [8℄, [9℄.Ebben a dolgozatban a következ® alakú Hamilton-operátorral foglalkozunk:H = p2 − (ix)α (2)Ennek a tulajdonságait azért is érdekes vizsgálni, mert a tekinthetünk rá úgy, minta harmonikus osz illátor kiterjesztésére, hiszen α = 2 esetén visszakapjuk a har-monikus osz illátor jól ismert Hamilton-operátorát.Az els® fejezetben a PT szimmetrikus klasszikus me hanika, a másodikban pediga kvantumme hanika néhány eredményét tekintjük át. A harmadik fejezetben pedigazt az esetet vizsgáljuk meg, hogy milyen hatással van, ha hozzáadunk az el®z®hözmég egy PT szimmetrikus poten iált valamilyen kis együtthatóval.
3
1. fejezetPT szimmetrikus klasszikusme hanikaAz H = p2 − (ix)α Hamilton-függvénnyel leírt klasszikus része ske egy komplexpoten iálban mozog, ezért a mozgását a valós tengelyr®l ki kell terjesztenünk akomplex síkra. A része ske klasszikus mozgásegyenlete a kanonikus egyenletekb®lkapható meg.
dx
dt=∂H
∂p= 2p (1.1)
dp
dt= −∂H
∂x= iα(ix)(α−1)Ezen két egyenlet kombiná iójából megkaphatjuk a Newton-törvény komplex verzi-óját.
d2x
dt2= 2iα(ix)α−1 (1.2)Ha ezt egyszer integráljuk, akkor megkapjuk a komplex sebesség kifejezését.
dx
dt= ±
√
E + (ix)α (1.3)Az id®t valós változóként kezeljük, ami parametrizálja az x(t) komplex pályát.Mivel minket a valós energiák érdekelnek a Hamilton-függvény PT invarian iájamiatt, ezért az energiát valósnak feltételezzük. Ezzel a feltételezéssel az x és t át-skálázható úgy, hogy az energiát 1-nek választjuk, ett®l a pályák alakja nem változikmeg. Így a (1.3) egyenlet a következ® módon egyszer¶södik.dx
dt= ±
√
1 + (ix)α (1.4)A pályák, melyek megoldásai a (1.4) egyenletnek egy Riemann-felületen fek-szenek, amelyen a√1 + (ix)α függvény egyérték¶. A vágások egyik része a következ®4
egyenlet megoldásaiból ágazik szét:1 + (ix)α = 0 (1.5)A (1.5) egyenlet gyökei a klasszikus fordulópontjai a mozgásnak. A fordulópontoka komplex egységkörön helyezkednek el. Nem egész α esetén egészen sok is lehetbel®lük [10℄. Ezeket a következ® kifejezés adja meg
x = exp
(
iπ4N − α− 2
2α
) (1.6)ahol N egész szám. A vágások másik része sak akkor van jelen, ha α nem egészszám. Ezt a vágást úgy választjuk meg, hogy expli it legyen a PT szimmetria. APT szimmetria a komplex síkban a (1) alapján bal-jobb szimmetriának felel meg,vagyis a PT szimmetrikus pályák szimmetrikusak az imaginárius tengelyre nézve.Tehát a vágást az imaginárius tengelynek választjuk. A fordulópontok is párokatalkotnak szimmetrikusan az imaginárius tengelyre nézve. Például egy-egy pár azN = 0 és N = 1 illetve az N = −1 és N = 2 értékekhez tartozó pontok.Mivel a (1.4) egyenlet megoldásai igen sokfélék lehetnek, megnézünk néhányspe iális α értékhez tartozó megoldást.1.1. α = 2 esete a klasszikus harmonikus osz illátorA legegyszer¶bb eset a klasszikus harmonikus osz illátor, melynek fordulópontjaix± = ±1. Ha a kezdeti feltételben a koordinátát úgy állítjuk be, hogy a valóstengelyen e két ponton vagy közöttük legyen, akkor mivel az energiát lerögzítettük,a kezdeti sebesség is adott egy el®jel erejéig. Ebben az esetben a mozgás a valóstengelyen a fordulópontok közötti osz illátor mozgás. A H = p2+x2 hermitikus, deígy is kapunk új megoldásokat a komplex kiterjesztéssel, hiszen a kezdeti feltételnekbármely pontot választhatjuk a komplex síkban. Az 1.1. ábrán láthatóak a pályáka komplex síkban.A pályák ellipszisek, melyek fókuszpontjai megegyeznek, mert a pályák nemmetszhetik egymást. Az ellipszisek fókuszpontjai a fordulópontok. A klasszikusosz illátor mozgás a valós tengelyen egy degenerált ellipszis. Az összes pálya peri-ódusideje megegyezik az osz illátor mozgás periódusidejével a Cau hy-tétel miatt,tehát T = 2π.Vegyük észre, hogy az összes elliptikus pálya szimmetrikus az origóra, vagyisinvariáns a P paritás operátorra nézve, szimmetrikus a valós tengelyre, vagyis in-variáns a T id®tükrözés operátorra nézve, és szimmetrikus az imaginárius tengelyre5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.51.1. ábra. Harmonikus osz illátor pályák a komplex síkbanis, vagyis PT invariáns.1.2. α = 3 eseteA Hamilton-operátorH = p2 + ix3Ebben az esetben három fordulópont van. Kett® az alsó félsíkban szimmetrikusanaz imaginárius tengelyre: x− = e−5iπ/6 és x+ = e−iπ/6. Ezek PT tükrözés hatásárafel serél®dnek. A harmadik fordulópont pedig az imaginárius tengelyen helyezkedikel: x0 = i.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 31.2. ábra. Klasszikus pályák α = 3 esetén különböz® kezdeti feltételekkelNéhány lehetséges pályát mutat az 1.2. ábra. Ha az x− vagy x+ fordulópon-tokból indulunk, akkor az α = 2 esethez hasonlóan egy osz illátor pályát kapunk,de ez deformálódva van. Ha a harmadik x0 fordulópontból indulunk, akkor egy azimaginárius tengelyen a végtelenbe kifutó pályát ír le a része ske. Egyéb kezdetifeltételek esetén a pályák zártak és periodikusak, amik körüljárják az alsó két for-dulópontot. A pályák nem metszhetik egymást, tehát ezek az eldeformált változatai6
az α = 2 esetén bemutatott ellipsziseknek.A zárt pályák periódusideje megegyezik a fordulópontokat összeköt® pálya peri-ódusidejével:T = 2
√3πΓ
(
4
3
)
/Γ
(
5
6
)Ezek a periodikus pályák id®tükrözésre nézve szimmetrikusak. Az imagináriustengelyen végigfutó része ske véges id® alatt éri el a végtelent: √πΓ
(
43
)
/Γ(
56
).Ez a pálya nem periodikus, és nem invariáns id®tükrözés alatt.Ahogy a pályák egyre n®nek a kezdeti feltétel miatt, egy határoló szív alakúgörbéhez tartanak, mert nem metszhetik az imaginárius tengelyen futó pályát. Egyehhez hasonló pálya látható az 1.3. ábrán (a tengelyeket a jobb láthatóság érdekébenátskáláztuk). Ennek a határoló görbének analízise részletesebben a [11℄ ikkbentalálható.
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 2501.3. ábra. α = 3 esetén a szív alakú határoló görbe1.3. α = 4 eseteAmikor α = 4, akkor a Hamilton-operátorH = p2 − x4.Ekkor négy fordulópont van, kett®-kett® szimmetrikusan a tengelyekre: x1 = e−3iπ/4,
x2 = e−iπ/4, x3 = eiπ/4, x4 = e3iπ/4. Ebben az esetben két osz illátor pálya van,az egyik az x1 és x2, a másik az x3 és x4 pontokat köti össze. Az zárt pályákperiódusideje:T = 2
√2πΓ
(
5
4
)
/Γ
(
3
4
)Azok a pályák, melyek máshol indulnak a komplex síkban, egymást nem metsz®periodikus pályák az osz illátor pályák körül. A Cau hy-tétel értelmében ezeknek is7
megegyezik a periódusideje az osz illáló pálya periódusidejével. Néhány lehetségespálya látható az 1.4. ábrán.Minden pálya periodikus kivéve azok, amik a valós tengelyen indulnak. Ha akezdeti feltétel a valós tengelyen helyezkedik el, akkor a része ske a valós tengelymentén kifut a végtelenbe, tehát nem periodikus a pálya. Ez azt jelenti, hogya −x4 elméletet a valós tengelyen nem tudjuk kvantálni. A következ® fejezetbenmegmutatjuk, hogy egy komplex kontúron lehet kvantálni az elméletet úgy, hogy aspektruma korlátos és valós.A pályák alakjából az is kit¶nik, hogy bár meg®rzik a −x4 poten iál PT szim-metriáját, de a P paritás szimmetriát sértik.Ebben az esetben is van határoló görbe a végtelenben, amihez a növekv® pályáktartanak. Itt ez a görbe két körvonal, amik az origóban érintik egymást.
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 31.4. ábra. Klasszikus pályák α = 4 esetén különböz® kezdeti feltételekkel1.4. Általános eset: α ≥ 2 valós számÁltalánosan meg�gyelhet®, hogy α ≥ 2 esetén a pályák periodikusak, és szim-metrikusak az imaginárius tengelyre. Periodikus pályák esetén várjuk a kvantáltelmélett®l, hogy diszkrét és valós energia sajátértékekkel rendelkezik.Mint azt már említettük, minden esetben vannak a mozgásnak klasszikus for-dulópontjai, de az egyes fordulópont párok mindig a Riemann-felület más-más leve-lén vannak. A legegyszer¶bb pályák minden esetben azok, amelyek az N=0 és N=1fordulópontot járják körbe, vagyis a harmonikus osz illátor mozgás eldeformáltjai.Ilyen pályák láthatók az 1.5. ábrán.Ezekre a pályákra a periódusid® is egyszer¶ módon számolható. A Cau hy-tétel értelmében elegend® a fordulópontokat összeköt® kontúr mentén kiszámolni aperiódusid®t, az ezt körüljáró pályák periódusideje megegyezik. A periódusid®t akövetkez® integrál adja meg, ahol felhasználtuk az (1.4) egyenletet.8
-0.65
-0.6
-0.55
-0.5
-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
-1 -0.5 0 0.5 11.5. ábra. Klasszikus pályák α = 2.5 esetén különböz® kezdeti feltételekkelT = 2
ˆ x+
x−
dx
p= 2
ˆ x+
x−
dx√
1 + (ix)α(1.7)Itt x± = e−iπ(α±2
2α ) a fordulópontok. A zárt pálya mentén az integrál minden eset-ben összehúzható a fordulópontokhoz húzott sugarakra, mivel a fordulópontokbannin s pólus, sak négyzetgyökös vágás. Az (1.7) integrált ezért úgy alakítjuk át, hogya fordulópontokat és az origót összeköt® egyeneseken paraméterezzük: x = tx+.T = 2(x+ − x−)
ˆ 1
0
dt√1− tα
= 2 cos
(
πα− 2
2α
)ˆ 1
0
dt√1− tα
(1.8)Eddig nem vettük �gyelembe, hogy a periódusid® függ az energiától is. Ezt azenergiától való függést az id® átskálázása alapján kaphatjuk meg. Végeredménybena periódusid® kifejezése az integrál értékének felhasználásával a következ® egyszer¶formulával adható meg.T = 4
√πE−
α−2
2α
Γ(
α+1α
)
Γ(
α+22α
) cos
(
πα− 2
2α
) (1.9)Léteznek bonyolultabb pályák is, amelyek több levelét érintik a Riemann-felü-letnek. Ez akkor történik, ha a pálya metszi a pozitív imaginárius tengelyen lév®vágást, és elhagyja a f® Riemann-levelet. Ha bármelyik pályát levetítjük a komplexsíkra, akkor láthatjuk, hogy szimmetrikusak az imaginárius tengelyre, vagyis PTszimmetrikusak. Ezeknek a több fordulópontot körüljáró pályáknak a Cau hy-tételértelmében a periódusidejük hosszabb. Ilyen bonyolultabb pályákra látható kétpélda az 1.6. ábrán.A klasszikus pályák α ≥ 2 esetén az α illetve a kezdeti feltétel függvényébennagyon gazdag és változatos topológiát mutatnak. A [10℄ ikk részletesebben foglal-kozik azzal, hogy a kezdeti feltételt®l és az α kitev®t®l hogyan függ a pálya alakjailletve periódusa. 9
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4
-3
-2
-1
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 31.6. ábra. Klasszikus pályák α = 2, 5 esetén különböz® kezdeti feltételekkel1.5. Spontán szimmetriasértésHa 1 < α < 2, akkor a klasszikus pályák viselkedése alapvet®en megváltozik. Apályák ebben az esetben nem PT szimmetrikusak, hanem nyíltak és a végtelenbespiráloznak végtelen id® alatt. A PT szimmetria sérülését legegyszer¶bben úgyláthatjuk, hogy a kezdeti koordinátát képzetesnek választjuk, és nézzük a kezdetisebesség értékét rögzített valós energia mellett. Ha α < 2, akkor a kezdeti sebességkomplexszé válik, ami azt jelenti, hogy a pálya az imaginárius tengelyt nem mer®lege-sen metszi. Ilyen szimmetriasért® pályákat láthatunk az 1.7. ábrán.
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
-4000 -2000 0 2000 4000-30
-20
-10
0
10
20
30
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 401.7. ábra. Klasszikus pálya α = 1.8 (bal) és α = 1.9 (jobb) eseténAz α paraméter függvényében α = 2-nél történ® spontán szimmetriasértéstnevezhetjük fázisátalakulásnak, hiszen Hamilton-függvény továbbra is PT szim-metrikus, de a megoldásoknak két különböz® tartománya van. A két tartománytaz α = 2 választja el, alatta a szimmetria sértett fázis, fölötte pedig a sértetlen fázistalálható. 10
1.6. α = 1 eseteÉrdekességképp megmutatjuk, hogyan néznek ki a klasszikus pályák α = 1 ese-tén. Ahogy az az 1.8. ábrán látható a klasszikus pályák PT szimmetrikusak, vagyisszimmetrikusak az imaginárius tengelyre. Ugyanakkor a klasszikus pályák nyíltak,vagyis a megfelel® kvantumme hanikai problémának nem lesznek kötött állapotai,vagyis valós energia sajátértékei. Ehhez hasonlóan α < 1 esetén sin senek zártpályák.
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -5 0 5 101.8. ábra. Klasszikus pályák α = 1 esetén
11
2. fejezetPT szimmetrikus kvantumme hanikaA Hamilton-operátor tulajdonságai fontosak egy új kvantumelmélet vizsgálatakor,mivel a Hamilton-operátor határozza meg az energiaszinteket, a hullámfüggvény ésaz operátorok id®fejl®dését illetve magában foglalja a rendszer szimmetriáit.Az energiaszintek meghatározásához az id®független S hrödinger-egyenletet, mintenergia sajátérték-egyenletet kell megoldanunk:
Hψ = Eψ (2.1)A (2.1) egyenlet általában egy di�eren iálegyenlet, amit a megfelel® peremfelté-telekkel kell megoldani. A peremfeltételek meghatározása nem feltétlen egyszer¶feladat, ha �zikailag értelmes elméletet szeretnénk kapni. Erre található egy példaa következ® fejezetben.A PT szimmetrikus Hamilton-operátor esetén H kommutál a PT operátorral.A PT operátor antilineáris, ezért nem minden esetben igaz, hogy a H sajátállapotaisajátállapotai a PT -nek is. Ett®l függetlenül, ha a ψ hullámfüggvény sajátállapotaa H és a PT operátornak is, akkor az energia sajátértékek biztosan valósak. Tegyükfel, hogy ψ sajátfüggvénye a PT operátornak λ sajátértékkel:PT ψ = λψ (2.2)Hattassuk a PT operátort még egyszer az (2.2) egyenletre, és vegyük �gyelembe,hogy (PT )2 = 1:
ψ = (PT )λ(PT )2ψ (2.3)Mivel a T operátor antilineáris (1), a következ®re jutunk:ψ = λ∗λψ = |λ|2ψ (2.4)12
Tehát |λ|2 = 1, vagyis a PT operátor sajátértéke egy fázis:λ = eiϕ (2.5)Ezután hattassuk a PT operátort a (2.1) egyenletre, és megint vegyük �gyelembe,hogy (PT )2 = 1:
(PT )Hψ = (PT )E(PT )2ψ (2.6)Ha kihasználjuk a (2.2) sajátérték egyenletet és, hogy PT kommutál H-val, akövetkez® egyenletre jutunk:Hλψ = PT EPT λψ (2.7)Végül megint felhasználva T antilinearitását azt kapjuk, hogy
Eλψ = E∗λψ (2.8)Vagyis, mivel λ nem nulla, arra jutunk, hogy E valós, tehát E = E∗.Tehát ha a PT sajátállapotai H-nak is sajátállapotai, akkor a PT szimmetriasértetlen, és az energia sajátértékek valósak. Ez azt jelenti, hogy a spektrum kom-plex voltából következik a PT szimmetria spontán sérülése. Ez hasonlít arra, hogyklasszikus esetben a zárt periodikus pályák PT szimmetrikusak. A következ® fe-jezetekben pedig megmutatjuk, hogy α = 2-nél kvantumos esetben is bekövetkezikegy fázisátalakulás.2.1. Az energia sajátértékek meghatározásának mód-szereiAz energiaspektrumra a WKB-módszer [12℄ nagyon jó analitikus közelítést ad,ha α ≥ 2. A hatásintegrál kvantálási feltétele vezet® rendben a következ®:(
n+1
2
)
π =
ˆ x+
x−
dx√
E + (ix)α (2.9)Az újdonság az, hogy az integrált a komplex síkban kell elvégezni. Az x± fordulópon-tok az E + (ix)α = 0 egyenlet gyökei:x− = E
1
α eiπ 3α−2
2α , x+ = E1
α e−iπ α−2
2α (2.10)13
Ha α = 2, akkor az integrál a valós tengelyen van. A fordulópontok a valós tengelyr®la komplex sík alsó felébe fordulnak, ahogy α n®, tehát ekkor az integrálási útvonalfolytonos. Ha α < 2, akkor a végpontok a fels® félsíkban vannak, és az integrálásigörbe metszi a vágást az imaginárius tengelyen, tehát az integrálási útvonal nemfolytonos, vagyis a WKB-módszer nem használható α < 2 esetén.Az integrálási görbét az x− pontból az origóba, az origóból az x+ pontba futó sza-kaszokból rakjuk össze. Ezt �gyelembe véve és az integrálási görbét átparaméterezvea (2.9) egyenletb®l a következ® egyenletre jutunk:(
n+1
2
)
π = 2 sin(π
α
)
E2+α
2α
ˆ 1
0
ds√1 + sα (2.11)Innen az integrál elvégzésével az energiaszintek kifejezhet®k minden α ≥ 2-re:
En =
[
(n+ 12)√πΓ
(
3α+22α
)
sin(
πα
)
Γ(
α+1α
)
]2α
α+2 (2.12)Ezeket az energiaszinteket láthatjuk fekete vonallal jelölve a 2.2. ábrán.Az energiaszintek numerikus meghatározásának több lehet®sége is van. Mindenesetben az id®független S hrödinger-egyenletet kell megoldanunk:−ψ”(x)− (ix)αψ(x) = Eψ(x) (2.13)Adott energia esetén a (2.13) di�eren iálegyenletet Numerov vagy Runge-Kuttamódszerrel oldhatjuk meg. A Numerov módszer [13℄ el®nye, hogy ötödrend¶ mód-szer és nagyon gyors. Probléma akkor lép fel, amikor α ≥ 4, mert ekkor már nemlehet a di�eren iálegyenletet a valós tengelyen integrálni [14℄. Ekkor használhatjuk anegyedrend¶ Runge-Kutta módszert [15℄, és az integrálást a komplex síkban végez-zük.A peremfeltételeket általában úgy határozzuk meg, hogy ψ(x) → 0, ha |x| →
∞ a valós tengelyen. Ez a feltétel kielégít®, ha 1 < α < 4, de tetsz®leges valósα-ra a problémát el kell folytatnunk a komplex síkra. Az integrálási kontúrt avalós tengely helyett egy komplex síkban futó kontúrra seréljük, amely menténa di�eren iálegyenlet fennáll, és kirójuk a peremfeltételeket ennek a kontúrnak avégpontjain.Azok a tartományok a vágott komplex síkban, melyekben ψ(x) elt¶nik, ahogy|x| → ∞, azok szektorok (2.1. ábra), melyeket a di�eren iálegyenlet Stokes vonalaihatárolnak [12℄. A szektorok közepeit, amelyek mentén a ψ(x) a leggyorsabban t¶nikel, anti-Stokes vonalaknak nevezzük. 14
Re(x)
Im(x)
2.1. ábra. Szektorok a komplex síkban α = 4.2 esetén, amelyek tartalmazzák adi�eren iálegyenlet integrálási kontúrjátTetsz®leges α esetén az anti-Stokes vonalak a bal és jobb félsíkban a következ®szögeknél találhatók:ΘL = −π +
α− 2
α+ 2
π
2és ΘR = −α − 2
α + 2
π
2(2.14)A szektorok nyílásszöge ∆ = 2π/(α + 2). A (2.13) di�eren iálegyenletet bármilyengörbén integrálhatjuk a komplex síkban, ha az a végtelent a szektorok belsejébenközelíti meg. A szektorok 1 < α < 4 esetén tartalmazzák a valós tengelyt. A
−x4 poten iál esetén a Stokes-vonalak a valós tengelyen fekszenek, tehát ha a valóstengelyt®l elmozdítjuk a kvantálási kontúrt, akkor kapunk korlátos valós spektrumot.Ahogy α n® 2-t®l a szektorok lefelé fordulnak az imaginárius tengely negatívoldala felé, és egyre sz¶külnek. α → ∞ esetén a kontúr az imaginárius tengelynegatív oldalán fut fel és le, vagyis nem értelmezhet® a sajátérték probléma. Eztláthatjuk is a 2.2. ábrán, hogy α → ∞mellett a sajátértékek is a végtelenbe divergál-nak. Ha α sökken 2-t®l, akkor a szektorok felfelé forognak a valós tengelyt®l, ésszélesednek. α = 1 esetén a két oldali szektor összeér az imaginárius tengely pozitívfelén, így a kontúr kitolható végtelenbe, tehát ebben az esetben sem értelmezhet® asajátérték probléma. Ennek megfelel®en az alapállapoti energia divergál, ha α→ 1+(2.2. ábra).Ha adott energián meg tudjuk oldani a di�eren iálegyenletet, akkor már sakmeg kell keresni a megfelel® energiát, ahol a megoldás teljesíti a peremfeltételeket.Ezt a �shooting method� nev¶ eljárással tehetjük meg [15℄, melynek alapja, hogyadott energiánál megoldjuk a di�eren iálegyenletet a negatív oldalról és a pozitívoldalról is. A kezdeti feltételeket úgy választjuk, hogy ψ0 = 0 és ψ′
0 = h, ahol15
h a lépésköz, így a peremfeltételeket teljesíti a megoldás. Ezután a megoldásokataz origóban összeillesztjük, hogy a megoldás függvényre igaz legyen a következ®folytonossági feltétel:ψ′
L(0)
ψL(0)=ψ′
R(0)
ψR(0)(2.15)Tehát a megfelel® energia sajátértéket egyszer¶en a (2.15) kifejezés két oldalánakkülönbségének zérushely keresésével találhatjuk meg. Ezzel a módszerrel számoltenergia sajátértékeket láthatjuk a 2.2. ábrán piros pontokkal.
0
5
10
15
20
25
30
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
PSfragrepla ementsE
α
egzaktWKB
2.2. ábra. A H = p2−(ix)α Hamilton-operátor energiaszintjei WKB illetve shootingmódszerrel. Az α = 2 felel meg a harmonikus osz illátor energiaszintjeinek.Az energiaszintek meghatározásának el®z®ekben tárgyalt módszerét ellen®riz-hetjük ett®l független mátrixokat használó módszerekkel. A legegyszer¶bb, ha ko-ordináta reprezentá ióban felírjuk a Hamilton-operátor mátrixát, és megoldjuk asajátérték problémáját. Mivel sak véges méret¶ mátrixokkal tudunk számolni,ezért jól kell megválasztani a doboz méretét, amibe a véges mátrix esetén a része skebe van zárva. Ezt egyszer¶en úgy választjuk meg, ahogyan a di�eren iálegyenletekmegoldásánál sem konkrétan a végtelenb®l indítjuk a megoldást, hanem valami végesaz origótól távolinak tekinthet® helyr®l.Egy másikfajta mátrixos felírása a Hamilton-operátornak a harmonikus osz illá-tor bázis. A bázisfüggvények e−x2/2Hn(x)π−1/4/
√2nn! alakúak, aholHn(x) az n-edikHermite-polinom. Ebben a bázisban a Hamilton-operátor mátrixa a következ® alakú16
Mmn = −ˆ
∞
−∞
dx1√
π2m+nm!n!e−x2/2Hm(x)i
m+n· (2.16)· cos
(π
2(α + 2−m− n)
)
|x|αe−x2/2Hn(x)Ezekkel a módszerekkel is megkaptuk a valós sajátértékeket. A mátrixos mód-szerek hátránya viszont, hogy sak 1 < α < 4 esetén használhatóak, és a méretüknövelésével sak lassan konvergálnak a sajátértékek az egzakt energiaszinthez.2.2. A H = p2 − (ix)α Hamilton-operátor spektrumaα függvényébenEbben a részben elemezzük 2.2. ábrát. α függvényében négy tartományt külön-böztethetünk meg. Minden esetben összefüggés látszik a klasszikus pályák zártságaés a spektrum valóssága között.
α ≥ 2 esetén a teljes spektrum diszkrét és valós, vagyis végtelen számú valóssajátérték van. A klasszikus pályák PT szimmetrikusak és zártak, ezért az ener-giaszintek szemiklasszikus közelítése jó eredményt ad. Ahogy α n®, az energiaszintekis n®nek, és α→ ∞ esetén divergálnak.1 < α < 2 a legérdekesebb tartomány, aminek két része van. Ebben a tartomány-ban az energiaszintek egy véges számú része valós, a többi része komplex. Ahogyaz α paraméter kett®t®l sökken az energiaszintek felülr®l párosával komplex kon-jugált párokban hagyják el a valós tengelyt. Körülbelül α < 1, 42 esetén már sakaz alapállapoti energia valós. Az alapállapoti energia divergál, ha α → 1+. A szemi-klasszikus közelítés általában a magasabb energiaszintek esetén használható jól, demivel itt a magasabb energiaszintekt®l kezdenek komplexszé válni a sajátértékek, aszemiklasszikus közelítés nem használható. A klasszikus pályák nyíltak és nem PTszimmetrikusak.α < 1 esetén a sajátérték probléma nem értelmezhet®. A klasszikus pályáknyíltak, tehát nem kvantálható a rendszer. Nin senek valós energiaszintek.Ahogy a klasszikus pályáknál bevezettük, α = 2-nél egyfajta fázisátmenet követ-kezik be, vagyis az α paraméter függvényében megkülönböztethetünk egy sértetlen
PT szimmetriájú és egy spontán szimmetriasértett fázist.17
2.3. Skalárszorzat PT szimmetrikus kvantumelmé-letbenA felfedezés, hogy egy nem-hermitikus Hamilton-operátornak a sajátértékei va-lósak és pozitívak, felveti a kérdést, hogy egy ilyen H = p2 − (ix)α alakú nem-hermitikus Hamilton-operátor �zikai rendszert ír-e le, vagy sak egy matematikaiérdekesség. Egy �zikailag értelmezhet® kvantumme hanikai rendszernél az állapot-vektorok Hilbert-teret alkotnak, amely Hilbert-térben létezik pozitív de�nit ska-lárszorzat. Ezenkívül az id®fejl®désnek unitérnek kell lenni, hogy a norma id®benállandó legyen.Tehát de�niálni kell a skalárszorzatot ehhez a nem-hermitikus Hamilton-operá-torhoz. Egy ésszer¶ választása a skalárszorzatnak a következ®képp néz ki [16℄.(f, g) =
ˆ
[PT f(x)]g(x)dx =
ˆ
f ∗(−x)g(x)dx (2.17)Itt láthatjuk, hogy a PT operátor hatása az állapotvektorra tükrözést és komplexkonjugálást jelent. Az integrálási útvonalat a 2.1 részben leírt módon kell megválasz-tani. Ennek a skalárszorzat választásnak az el®nye, hogy a vele de�niált PT norma(f, f) id®ben megmarad. Erre a skalárszorzatra nézve a H sajátfüggvényei ψn és ψmortogonálisak, ha n 6= m. Azonban, amikor n = m azt látjuk, hogy a sajátfüggvé-nyek PT normája nem pozitív de�nit.
(ψn, ψm) = (−1)m δnm (2.18)Ezt az eredményt numerikusan is ellen®rizhetjük, és α ≥ 2 esetén α mindenértékére igaznak bizonyul. Mivel a sajátfüggvények normájának el®jele váltakozik,ezért a PT skalárszorzathoz tartozó metrika inde�nit. Ez az el®jel váltakozás egyáltalános tulajdonsága a PT skalárszorzatnak.A nem-pozitív skalárszorzat ellenére is el lehet kezdeni a hagyományos Hψn =
Enψn S hrödinger-egyenlet vizsgálatát. A sajátfüggvények teljes rendszert alkotnak∞∑
n=0
(−1)n ψn(x)ψn(y) = δ(x− y). (2.19)Megmutatható, hogy a (2.19) formula az egységoperátor reprezentá iója. A tel-jességet felhasználhatjuk a P operátor megkonstruálására, mivel sértetlen PT szim-metria esetén a H sajátfüggvényei PT -nek is sajátfüggvényei. A paritás operátora18
koordináta reprezentá ióban a következ®P(x, y) =
∞∑
n=0
(−1)nψn(x)ψn(−y) = δ(x+ y). (2.20)Az el®z®ek felhasználásával megkapható, hogy a paritás operátor négyzete tényleg azegységoperátor P2 = 1. A H operátort is kifejezhetjük koordináta reprezentá ióbanH(x, y) =
∞∑
n=0
(−1)nEnψn(x)ψn(y). (2.21)Az el®z® formulák alapján belátható, hogy a Hamilton-operátor kielégíti az id®füg-getlen S hrödinger-egyenletet: Hψn = Enψn.Most feltehetjük a kérdést, hogy a PT szimmetrikus Hamilton-operátor �zikailagértelmezhet® kvantumme hanikát ír-e le. A probléma a váltakozó el®jel¶ normávalvan a norma valószín¶ségi interpretá iója miatt. Tehát az inde�nit metrika nemelfogadható.A probléma megoldása, hogy bevezetünk egy új C szimmetria operátort, amiazzal a szimmetriával hozható összefüggésbe, hogy a sajátállapotok felének normája-1 és a másik felének +1. Minden sértetlen PT szimmetriájú Hamilton-operátoresetén bevezethet® ez a C lineáris operátor, ami kommutál H-val és PT -vel is. Ezzela skalárszorzat kifejezését módosíthatjuk〈ϕ|χ〉 =
ˆ
dxCPT ϕ(x)χ(x). (2.22)Koordináta reprezentá ióban a C operátor egyszer¶en a sajátállapotok összegéb®lállítható el®C(x, y) =
∞∑
n=0
ψn(x)ψn(y). (2.23)Innen belátható, hogy a C2 = 1 és a C sajátértékei ±1. Mivel C kommutál aH-val, azenergia sajátállapotokra mindig határozott értéke van a C operátornak. Spe iálisan,ha a sajátállapotokra igaz (2.18), akkor a C operátor a PT norma el®jelével vanszoros összefüggésben:Cψn(x) =
ˆ
dyC(x, y)ψn(y) =
∞∑
m=0
ψm(x)
ˆ
dyψm(y)ψn(y) = (−1)nψn(x) (2.24)A (2.22)-ben de�niált új skalárszorzathoz pozitív de�nit norma tartozik, amiid®ben megmarad, hiszen az id®fejleszt® operátor e−iHt, mint a szokásos kvantum-me hanikában. A teljesség kifejezése a CPT skalárszorzattal a következ®képp néz19
ki∞∑
n=0
[CPT ψn(x)]ψn(y) = δ(x− y). (2.25)Egy fontos különbség a szokásos kvantumme hanikához képest, hogy egy PTszimmetrikus Hamilton-operátorral de�niált kvantumelméletben a skalárszorzat függa Hamilton-operátortól magától, így dinamikusan van meghatározva. Ez azt jelenti,hogy el®ször meg kell határoznunk a sajátállapotokat, és sak ezután tudjuk a hoz-zájuk tartozó Hilbert-teret és skalárszorzatot megtalálni. Ennek megtalálása, vagyisa C operátor megalkotása minden elmélet esetén külön feladat [17℄.A C operátort nem kell bevezetni a szokásos hermitikus kvantumme hanikában.Ha a vizsgált rendszerünknél α paraméterrel tartunk 2-höz (harmonikus osz illátor),akkor a C operátor a paritás operátorral válik egyenl®vé, vagyis a CPT hatása át-megy a T hatásába, ami egyszer¶en komplex konjugálás. Tehát a CPT skalárszorzata megszokott skalárszorzatba megy át hermitikus Hamilton-operátorok esetén.A teljességhez hozzátartozik, hogy a meg�gyelhet® mennyiségek operátorainakhermiti itását milyen feltételre seréljük a PT szimmetrikus kvantumme hanikában.A skalárszorzatnál a komplex konjugálást a CPT operátorra seréltük, ennek meg-felel®en a meg�gyelhet® mennyiségekre a következ® feltételt rójuk ki:AT = CPT A CPT (2.26)amir®l megmutatható, hogy az id®fejl®dés alatt invariáns [7℄. A koordináta és azimpulzus általában nem meg�gyelhet® mennyiség; például a H = p2 + ix3 rendszer-ben a koordináta esetén ez abból is látható, hogy a várható értéke imaginárius (1.2.ábra). Ezért ezeket a rendszereket általában nem lehet értelmezni valamilyen térbenlokalizált pontszer¶ része ske leírásaként.Felmerül a kérdés, hogy ha találtunk megfelel® pozitív de�nit skalárszorzatot,akkor nem található-e egy hermitikus Hamilton-operátor, mely ekvivalens a PTszimmetrikus Hamilton-operátorunkkal. A válasz, hogy bizonyos esetekben találhatóekvivalens Hamilton-operátor [18℄, de a kett® közötti transzformá ió nem lokális [7℄,tehát a PT szimmetrikus kvantumelmélettel kiterjesztettük a szokásos hermitikuskvantumelméletet. Találtak olyan PT szimmetrikus Hamilton-operátort is, aminekegyáltalán nem létezik hermitikus párja [19℄.
20
3. fejezetÖsszetett poten iálAz el®z® két fejezetben áttekintettük mindazt, amire a következ® alakú Hamilton-operátor perturbatív vizsgálatához szükséges.H = p2 − (ix)α − λ(ix)β (3.1)Minden esetben feltesszük, hogy α ≥ 2 tehát, ha sak a poten iál els® tagja lennejelen, akkor a PT szimmetria sértetlen maradna. Így λ = 0 esetén a H sajátértékeités sajátfüggvényeit ismertnek tekintjük. Ha λ 6= 0, akkor vizsgálhatjuk klasszikusanés kvantumosan is azt a két esetet, amikor a β kitev®s tag miatt sérül illetve nemsérül a PT szimmetria.A klasszikus pályák esetén a szimmetriasértés vizsgálatához elegend® a kezdetifeltételek egyenletét vizsgálni, mivel sak valós energiákat tekintünkp20 − (ix0)
α − λ(ix0)β = E. (3.2)Ha a kezdeti koordinátát az imaginárius tengelyen választjuk, akkor a PT szimmet-ria miatt a kezdeti sebességnek (impulzusnak) valósnak kell lenni. Tehát azt kellmegvizsgálnunk, mikor válik komplexszé a kezdeti sebesség λ és β függvényében.Vizsgáljuk perturbatíve a (3.2) egyenletet, vagyis keressük a kezdeti koordinátát
x0 = x1+λx2, a kezdeti impulzust p0 = p1+λp2 alakban, és fejtsünk sorba λ szerint.[
p21 − (ix1)α]
+[
2p1p2 − (ix1)β − iα(ix1)
−1+αx2]
λ+O(λ2) = E (3.3)Használjuk ki, hogy x1 és p1 a perturbálatlan egyenletet elégítik ki, vagyis p21 −(ix1)
α = E. Ekkor a λ együtthatójaként szerepl® kifejezés egyenl® nullával, amitmegoldunk p2-re.p2 =
(ix1)β + α(ix1)
−1+αx22p1
(3.4)21
Arra jutunk, hogy a kezdeti sebesség mindig valós, ha a kezdeti hely tisztán képzetes.Ez alapján úgy t¶nik, hogy a PT szimmetria sérülése nem lép fel, ha perturbatívevizsgáljuk a problémát.A kvantumme hanikai vizsgálat során a (3.1)-ben szerepl® H-t két részre bont-juk. Az egyik tag az ismert H0 = p2 − (ix)α (α ≥ 2) operátor, melynek sajátértékproblémáját az el®z®ekben már megoldottuk: H0ψn = Enψn, ahol a ψn sajátfügg-vényekre is igaz a PT szimmetria, vagyis ψn(x) = PT ψn(x) = ψ∗
n(−x). A másik taga V = −(ix)β (1 < β < 2) poten iál, mely ugyan sak PT szimmetrikus, de a veleszámolt energia sajátértékek nem valósak. A kvantumme hanikai id®független per-turbá iószámításhoz a V poten iál mátrixelemeit kell kiszámolni a ψn sajátállapotokközött, ha a λ együttható ki si.Vnm = 〈ψn|V ψm〉 =
ˆ
dx [PT ψn(x)] [V (x)ψm(x)] (3.5)Belátható, hogy a V mátrix hermitikus Vnm = V ∗
mn, tehát minden sajátértékevalós. Ez abból következik, hogy poten iál PT szimmetrikus:V ∗
mn =
[ˆ
dxψ∗
m(−x)V (x)ψn(x)
]∗
=
ˆ
dxψm(−x)V ∗(x)ψ∗
n(x) (3.6)Ha x helyére −x-et helyettesítünk, és fel seréljük az integrálási határokat, akkorkihasználva, hogy V PT szimmetrikus, belátható a hermitikusság:V ∗
mn =
ˆ
dxψm(x)V∗(−x)ψ∗
n(−x) =ˆ
dxψ∗
n(−x)V (x)ψm(x) = Vnm (3.7)Abból, hogy a V mátrix hermitikus következik, hogy a perturbá iószámítás min-den rendjében valós energiakorrek iókat kapunk a H0 valós energiaszintjeihez. Ezalapján azt mondhatjuk, hogy a PT szimmetria sérülése nem lép fel perturbatíve.A klasszikus és a kvantumos perturbá iószámítás során is arra jutottunk, hogya PT szimmetria nem sérül β < 2 esetén, ahogy azt várnánk. Tehát két tagból állóPT szimmetrikus poten iál esetén nem perturbatív módszert kell kidolgoznunk aspontán szimmetriasértés vizsgálatára.Numerikus számításokkal megmutatható, hogy adott α, β, λ esetén a kvantum-me hanikai energiaszintek komplexszé válnak egy kritikus energia fölött, illetve aklasszikus pályák PT szimmetriája sérül bizonyos esetekben. A következ®kben aztpróbáljuk bemutatni, hogy a klasszikus pályák analízisével, hogyan lehetne a spontánszimmetriasértést vizsgálni, vagyis hogy hol válnak komplexszé az energiaszintek.A kvantumme hanikai energiaszintek változását a hozzáadott poten iál hatásáraa 3.1. táblázatban szemléltetjük adott α = 3 és λ = 0.1 esetén néhány β < 2 érték22
mellett.n λ = 0 λ = 0.1
β = 1.2 β = 1.4 β = 1.6 β = 1.80 1.156 1.110 1.122 1.134 1.1461 4.109 4.023 4.040 4.060 4.0852 7.562 7.452 7.469 7.493 7.5263 11.31 11.19 11.20 11.23 11.274 15.29 15.15 15.16 15.19 15.235 19.45 19.29 19.31 19.34 19.396 23.77 23.59 23.61 23.64 23.697 28.22 28.03 28.04 28.08 28.138 32.79 32.59 32.60 32.64 32.709 37.47 37.32 37.31 37.34 37.4010 43.25 42.922± 0.295i 42.916± 0.001i 42.857± 0.094i 42.708± 0.701i3.1. táblázat. Az energiaszintek α = 3 esetén eredetileg és hozzáadott β kitev®j¶, λegyütthatójú poten iállalA táblázat alapján azt mondhatjuk, hogy a kis kitev®vel hozzáadott poten iálhatása az ala sonyabb energiaszintekre ki si. Ett®l függetlenül egy bizonyos szintfölött komplexszé válnak az energiaszintek, vagyis a sajátállapotai nem PT szim-metrikusak. Ezt a szimmetriasértést nem lehet perturbatív módszerekkel megmu-tatni, mert a (3.7) formulánál megmutattuk, hogy a perturbá iószámítás mindenrendjében valósak az energiakorrek iók. Az energiaszintek komplexszé válásánakmeghatározásánál a numerikus stabilitás sajnos nem egyértelm¶, úgyhogy a pontosnumerikus számítások elvégzése még további feladat.Az egy tagból álló poten iál esetén a klasszikus pályák vizsgálatánál az ener-giafüggést kitranszformáltuk. Hasonlóan a kéttagú poten iál skálafüggését is meglehet vizsgálni. Bevezetjük a következ® skálázásokat:x→ ax, t→ bt, λ→ cλ és E → dE (3.8)Ha kirójuk, hogy a (3.1) Hamilton-operátor minden tagjának ugyanúgy kell skáláz-nia, az a, b, c, d skálafaktorok között összefüggések írhatók fel:
b = a2−α
2 , c = aα−β, d = aα (3.9)Ez alapján látható, hogy egy ismeretlen marad, tehát átskálázható a koordinátaa-val, és (3.9)-nek megfelel®en átskálázva a tagokat a Hamilton-operátor, és így aklasszikus pályák alakja nem változik. Tehát a klasszikus pályák adott α és β ese-tén a három (x0, λ, E) paraméter helyett sak kett®t®l függenek. Teljes analízis23
elvégzéséhez ennek a két paraméternek a terében kell a klasszikus pályák tulajdon-ságait feltérképezni, de ezek már egy tagú poten iál esetén is érzékenyen függtek akezdeti feltétel megválasztásától.Mivel a szimmetriasértés a magasabb kvantumme hanikai energiaszinteknél követ-kezik be, azt várjuk, hogy szemiklasszikus analízissel meg lehet mutatni. Tehát aklasszikus pályák szimmetriájának vizsgálata fontos feladat, de ez sem feltétlenülegyszer¶, mivel a szimmetriasértés ki si, és nem minden esetben tudjuk megkülön-böztetni a numerikus hibáktól.Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a jöv® feladata a szimmetriasértés vizs-gálatára egy stabil nem perturbatív módszer kidolgozása, amire valószín¶leg a szemi-klasszikus analízis lehet egy jó megoldás.
24
ÖsszefoglalásEbben a három rövid fejezetben megmutattuk, hogy a komplex −(ix)α alakú po-ten iálok, milyen érdekes tulajdonságokat mutatnak klasszikus és kvantumme hani-kai szempontból is. A legérdekesebb, hogy az ezzel a poten iállal felírt Hamilton-operátor nem hermitikus, mégis valós és pozitív a spektruma α ≥ 2 esetén. Ezazzal magyarázható, hogy a Hamilton-operátor PT szimmetrikus, vagyis invariánsa kombinált tér- és id®tükrözés hatására, és ez a szimmetria sértetlen, vagyis asajátfüggvényekre is igaz.Megmutattuk a klasszikus és kvantumos vizsgálat során is, hogy α = 2-nél aPT szimmetria spontán sérül. Ezt a szimmetriasértést vizsgáltuk két PT szim-metrikus poten iál összege esetén, és az derült ki, hogy perturbatív vizsgálattal nemmutatható meg a PT szimmetria spontán sérülése. A szimmetriasértés vizsgálatáraa klasszikus pályák részletes vizsgálatát találtuk használhatónak, de ez még továbbifelderítést igényel.Ez a dolgozat sak egy rövid betekintést nyújthat a PT szimmetrikus kvan-tumelmélet tárgykörébe. Megmutattuk, hogy hogyan lehet a �zikai elméleteket akomplex világba kiterjeszteni ezzel az egyszer¶ �zikailag megalapozott feltevéssel,hogy a Hamilton-operátor legyen invariáns a kombinált tér- és id®tükrözésre. Akomplex világ óriási a valóshoz képest, így sok új elmélet érdekes tulajdonságai vár-nak felderítésre. Demonstráltuk, hogy sértetlen PT szimmetria mellett a komplexkiterjesztéssel létrehozott elméletnek is létezik konzisztens valószín¶ségi értelmezése.Így a kvantumelmélet komplex kiterjesztése révén rengeteg új modellt alkothatunk,amelyek megoldhatják a mai elméleti �zika néhány problémáját.
25
Irodalomjegyzék[1℄ T. Hollowood: Solitons in a�ne Toda �eld theories, Nu l. Phys. B 384: 523-540, 1992.[2℄ N. Hatano and D. R. Nelson: Lo alization Transitions in Non-Hermitian Quan-tum Me hani s, Phys. Rev. Lett. 77: 570-573, 1996.[3℄ F. G. S holtz, H. B. Geyer, and F. J. H. Hahne: Quasi-Hermitian operatorsin quantum me hani s and the variational prin iple, Ann. Phys. 213: 74-101,1992.[4℄ C. M. Bender and S. Boett her: Real Spe tra in Non-Hermitian HamiltoniansHaving PT Symmetry, Phys. Rev. Lett. 80: 5243-5246, 1998.[5℄ C. M. Bender, P. N. Meisinger, Q. Wang: All Hermitian Hamiltonians HaveParity, J. Phys. A: Math. Gen. 36: 1029-1030, 2003.[6℄ Q. Wang, S. Chia, J. Zhang: PT Symmetry as a Generalization of Hermiti ity,2010 [arXiv: 1002.2676v1℄[7℄ C. M. Bender: Making sense of non-Hermitian Hamiltonians, Rept. Prog. Phys.70: 947, 2007.[8℄ C. M. Bender, K. A. Milton, V. M. Savage: Solution of S hwinger-Dyson Equa-tions for PT-Symmetri Quantum Field Theory, Phys. Rev. D 62: 85001, 2000.[9℄ C. M. Bender, K. A. Milton: A Nonunitary Version of Massless QuantumEle trodynami s Possessing a Criti al Point, J. Phys. A: Math. Gen. 32: L87-L92, 1999.[10℄ C. M. Bender, J. Chen, D. W. Darg, K. A. Milton: Classi al Traje tories forComplex Hamiltonians, J. Phys. A: Math. Gen. 39: 4219-4238, 2006.[11℄ C. M. Bender, S. Boett her, P. Meisinger: PT-Symmetri Quantum Me hani s,J. Math. Phys. 40: 2201-2229, 1999.26
[12℄ C. M. Bender and S. A. Orszag: Advan ed Mathemati al Methods for S ientistsand Engineers, M Graw-Hill, New York, 1978.[13℄ J. L. M. Quiroz González, D. Thompson: Getting started with Numerov'smethod, Computers in Physi s 11: 514-515, 1997.[14℄ C. M. Bender, A. Turbiner: Analyti ontinuation of eigenvalue problems, Phys.Lett. A 173: 442-446, 1993.[15℄ W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numeri alRe ipes, Third Edition, Cambridge University Press, 2007.[16℄ C. M. Bender: Introdu tion to PT-Symmetri Quantum Theory, Contemp.Phys. 46: 277-292, 2005.[17℄ C. M. Bender, J. Brod, A. Re�g, M. E. Reuter: The C Operator in PT-Symmetri Quantum Theories, J. Phys. A: Math. Gen. 37: 10139-10165, 2004.[18℄ C. M. Bender, D. C. Brody, J. Chen, H. F. Jones, K. A. Milton, M. C. Ogilvie:Equivalen e of a omplex PT-symmetri quarti Hamiltonian and a Hermitianquarti Hamiltonian with an anomaly, Phys. Rev. D 74: 025016, 2006.[19℄ C. M. Bender, P. D. Mannheim: Exa tly solvable PT-symmetri Hamiltonianhaving no Hermitian ounterpart, Physi al Review D 78: 025022, 2008.
27
KöszönetnyilvánításKöszönöm témavezet®mnek Taká s Gábornak az érdekes témafelvetést és a ren-geteg bíztatást és segítséget, amit a dolgozat elkészítése során nyújtott. Valamintszeretném megköszönni Patkós András, Veres Gábor és a Fizika Intézet többi dol-gozójának támogatását.
28
