3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok,bekapcsolási jelenségek

(még nagyon Béta-verzió)

Zoli

2009. október 28.

1

Tartalomjegyzék1. Frekvenciafüggo elemek, kondenzátorok és tekercsek: 4

1.1. Kondenzátorok: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Tekercsek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Nem ideális eszközök: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Négypólusok: 62.1. Négypólusok általában: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Soros kapcsolások: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Soros RC feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Soros RC áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Soros RL áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Párhuzamos kapcsolások: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Párhuzamos RC feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3. Párhuzamos RC áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

A jegyzetrol:

Jelen jegyzet a harmadik konzultációm anyagát tartalmazza, egyelore sajnos még kissé hiányos, de ami ki van dol-gozva, az korrektül végig van számolva.A jegyzet tartalmaz olyan levezetéseket, amelyek ismerete nem szükséges a ZH-khoz. Az órákon és ZH-konáltalában csak speciális esetekkel foglalkozunk és a megoldások ismerete boven elég. A levezetések konkrétandifferenciálegyenlet-megoldások. A differenciálegyenletek megoldásának készsége nélkülözhetetlen az egyetemen,ezért gondoltam nem árt, ha a jegyzetem ezeket alapból tartalmazza, lehetoleg korrekt végigszámításokkal.A második félévben lévo Differenciálegyenletek (vagy hasonló) címu tárgy kapcsán elo szoktak fordulniRC, illetveRL áramkörök muködésének leírása differenciálegyenletek segítségével, ebben sokat segíthet ez a jegyzet.

A jegyzet szabadon hozzáférheto a honlapomon, saját felelosségre letöltheto és használható, az egyetlenkérésem, hogy senki ne terjessze! Továbbá, hogy tanárok nem tudhatnak róla!

A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna, akkor kérem jelezze azt e-mailben!

Késobbi verziók várható módosításai, bovitései: a kondenzátorok feszültséggel való töltése külön fejezetbe kerül,továbbá bovül majd periodikus jelek vizsgálatával, állandósult jelalak kiszámításával és egyenáramú leválasztással.Továbbá várható függelékek: határozott integrálok számítása és differenciálegyenletek megoldása (persze szorít-kozva a jelen esetben szükséges esetekre).

3

1. Frekvenciafüggo elemek, kondenzátorok és tekercsek:

1.1. Kondenzátorok:A kondenzátor egy töltéstárolásra alkalmas eszköz. Fo jellemzo paramétere a kapacitás, mely definíció szerint aztmondja meg, hogy egy kondenzátor hány Coulomb töltést tud tárolni 1 Volt feszültség mellett:

C =Q

U[C] = F F : Farad

Egy kondenzátor általános felépítése: van két vezeto réteg (ezeket fegyverzeteknek nevezzük), melyeket valamilyenszigetelo választ el (vákuum, levego, vagy valamilyen dielektrikum). A kapacitás pontos értéke az adott geometriaielrendezéstol függ, így általánosan csupán annyi mondható, hogy a fegyverzetek felületével egyenes, távolságukkalfordítottan arányos a kapacitás1.

Például síkkondenzátor esetén:

Csik =Q

U=A · ε · EE · d

= εA

d

Ahol A a síkkondenzátor egyik fegyverzetének felülete, d a fegyverzetek távolsága, ε pedig a két fegyverzet köztianyag dielektromos állandója.

Most vizsgáljuk olyan tekintetben a kondenzátort, hogy mi történik, ha valamilyen áramot kapcsolunk rá. Ekkor azáramgenerátor által kiadott töltések mind a kondenzátor fegyverzetein halmozódnak fel. Hogyan is kell ezt precízenmegfogalmazni? A kondenzátor összegyüjti az idoben érkezo töltéseket, vagyis nem csinál mást, mint az áramotido szerint integrálja:

Q(t) =∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0 (1)

Ahol Q0 a kondenzátoron a t = 0 idopillanatban lévo töltés (egy konstans paraméter). A kapacitás definíciójaalapján ebbol megkapható a kondenzátor idofüggo feszültsége:

U(t) =Q(t)C

=1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0

C=

1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ + U0 (2)

Ahogy fent is jelölve van, a kezdeti Q0 töltés egy Q0C = U0 kezdeti feszültséget okoz a kondenzátorban.

De mi van abban az esetben, ha nem áramot, hanem feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra? Ebben az esetben azáram idofüggése a kérdéses, így az ide vonatkozó összefüggést a (2) egyenlet ido szerinti deriválásával kaphatjukmeg:

U(t) =1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0

C

/d

dt(3)

dU(t)dt

=1CI(t) +

d

dt

Q0

C︸ ︷︷ ︸=0

/·C (4)

I(t) = C · dU(t)dt

(5)

Összefoglalva a számunkra szükséges összefüggések:

U(t) =1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0

CI(t) = C · dU(t)

dt(6)

1A pontos számításokhoz a Gauss-törvényt kell alkalmazni (ez egyben az I. Maxwell egyenlet):∮

A~E(~r)d~f = Q

ε0. Továbbá a potenciált is

az U =∫~E(~r)dr integrállal kell kiszámítani.

4

Eredo kapacitás: ugyan úgy, ahogy az ellenállásokat, a kondenzátorokat is lehet sorosan, illetve párhuzamosankapcsolni és ezeknek is van egy eredo kapacitása.

Soros kapcsolás esetén:Ce = C1 × C2 × . . .× Cn (7)

Szemléletesen úgy is lehet tekinteni, mintha az egymás utáni kondenzátorok fegyverzetei közti szigetelorétegekvastagságai összeadódnának (no a d, csökken a kapacitás).

Párhuzamos kapcsolás esetén:

Ce =n∑

k=1

Ck (8)

Szemléletesen: mintha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok felületei összeadódnának.

1.2. Tekercsek:Egy tekercs jellemzo paramétere az induktivitás. Hasonlóan, mint a kondenzátor esetében, itt is a konkrét ge-ometriától függ, hogy ez a paraméter mekkora. Általánosan annyi mondható, hogy minél nagyobb az n menetszám(változatlan N tekercshosszúság mellett), és nagyobb a felület, annál nagyobb az induktivitás.

Egy egyszeru henger alakú tekercs esetében:

L =µ ·N2 ·A

l[L] = H H : Henry

Ahol A a henger alapjának felülete, l a tekercs hossza, N a menetszáma, µ a tekercs belsejét kitölto anyag perme-abilitása.

Ha valamilyen áramot kapcsolunk a tekercsre, akkor az indukciós törvény alapján:

U(t) = L · dI(t)dt

(9)

Ebbol integrálással kapható meg az az eset, amikor a feszültség adott, és az áram ismeretlen:

U(t) = L · dI(t)dt

/∫ t

t0

dt (10)∫ t

t0

U(t′)dt′ + L · I0 = L · I(t) /: L (11)

I(t) =1L·∫ t

t0

U(t′)dt′ + I0 (12)

Ahol I0 egy integrációs konstans, jelentése: a t = 0 idopillanatban a folyó áram2. A számunkra lényeges két foösszefüggés tehát:

U(t) = L · dI(t)dt

I(t) =1L·∫ t

t0

U(t′)dt′ + I0 (13)

Eredo induktivitás: a rizsa hasonló, mint a kondiknál.

Soros kapcsolás esetén:

Le =n∑

k=1

Lk (14)

Párhuzamos kapcsolás esetén:Le = L1 × L2 × . . .× Ln (15)

2Ez a jelentés rögtön meg is kapható, ha az I(t) = 1L·∫ t

t0U(t′)dt′ + I0 egyenletbe behelyettesítjük a t0 = t = 0 kezdeti paramétereket,

ekkor az integrál értéke 0, és marad az, hogy I(t = 0) = I0.

5

1.3. Nem ideális eszközök:Természetesen (ahogy forrásoknál és muszereknél is megbeszéltük már), ideális tekercsek és kondenzátorok sin-csenek. Sot, ami azt illeti, sok esetben messze nem tekinthetoek az egyes eszközök pusztán tekercsnek, vagykondenzátornak (vagy akár ellenállásnak).

Tekercs esetében: ha nagy induktivitású tekercset akarunk készíteni, akkor minél nagyobb menetszámot kell fel-tekercselnünk minél kisebb helyre. Ez így hosszú és vékony vezetékkel érheto el, ami egyértelmuen nagy ellenállástjelent. Emellett az egymás mellett lévo huzalok kondenzátornak is felfoghatóak, így részben ellenállások, és kon-denzátorok is. De azt hozzá kell tenni, hogy az idealizált esettol való eltérések nem mindíg mutatkoznak meglátványosan.

Kapacitások esetében: kapacitásoknál a lényeg a minél nagyobb felölet, és minél közelebbi vezeto rétegek. Ah-hoz, hogy ezek használhatóak legyenek, minél vékonyabb anyagokat kell minél kisebb helyre összepréselni. Avékony vezetorétegek ellenállása szintén lehet nagy (bár messze nem olyan nagy, mint a hosszú vékony vezetékeké),továbbá a feltekert vezetorétegek valamelyest tekercsként is felfoghatóak, így a kapacitás mellett is jelen lehet mindaz ohm-os ellenállás, mind az induktivitás.

Általában nagyon nehéz jó tekercseket készíteni, kondenzátorokból jobbak vannak, ezért ha egy áramkör meg-valósítható tekercses kapcsolások helyett kondenzátorokkal is, akkor inkább a kondenzátorosat választják.

2. Négypólusok:

2.1. Négypólusok általában:Általában négypólusnak nevezünk egy olyan "dobozt", aminek van két bemenetipontja, és két kimeneti pontja.Elofordulhat, hogy egy négypólus belso felépítése ismeretlen. Ekkor, ha meg szeret-nénk tudni, hogy mit is rejt a doboz, akkor valahogy meg kell vizsgálnunk (lehetolegnem kalapáccsal ;) ). A vizsgálatnak többféle módja is lehet. Az egyik mód, hogykülönbözo idofüggésu feszültség és áramjeleket adunk be az egyik oldalon, és meg-nézzük, hogy miként alakul a "túlvég".

Ennek egy speciális esete, ha különbözo frekvenciájú szinuszos jeleket adunk be az egyik oldalon, majd meg-figyeljük, hogy a kimenet amplitúdója és fázisa hogyan viszonyul a bemenethez képest. Ez utóbbi vizsgálatrakésobb térünk vissza. A következokben megnézzük, hogy különbözo idofüggo jelekre hogyan reagálnak a soros éspárhuzamos RC és RL kapcsolások.Most eloször megnézzük, hogy az egyes kapcsolások hogyan reagálnak tetszoleges idofüggésu áramokra és feszült-ségekre. Ezek egy részét "Bekapcsolási jelenségeknek3" is szokás nevezni.Külön kell választanunk az RL és RC kapcsolásokat soros-párhuzamos esetekre, valamint ezeken belül is mégáramgenerátor és feszültséggenerátor esetére is.

2.2. Soros kapcsolások:2.2.1. Soros RC feszültséggenerátorral:

Általánosan:

Ekkor az idofüggo feszülség tekintheto "adottnak", és ennek megfeleloen alakul majd az áram.Továbbá a huroktörvény itt is teljesül: egy adott pillanatban a kondenzátoron és az ellenáson esofeszültségek összege megegyezik a generátor feszültségéve. Induljunk ki ebbol:

Ug(t) = UR(t) + UC(t) (16)

Ug(t) = R · I(t) +1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0

C(17)

3A bekapcsolási jelenségek konkrétan azt takarják, hogy ha rákapcsolunk egy feszültséget, vagy áramot egy kapcsolásra, akkor abbankülönbözo jelalakok fordulnak elo. Például ha felkattintunk egy kapcsolót, akkor durva közelítéssel az történik, hogy t = 0 ido alatt 0V -rólegy bizonyos feszültségre ugrik fel a potenciál, ekkor nem árt, ha tudjuk, hogy mi törtnik bekapcsoláskor az áramkörben. De ugyanakkor az iselofordulhat, hogy mondjuk lineárisan növeljük az áramot, és így állítjuk be a kívánt értéket (lehet, hogy pont bizonyos bekapcsolási jelenségekkivédése érdekében).

6

Ez így egy integrálegyenlet I(t)-re. Az integrálegyenleteket "nem szeretjük", a differenciálegyenleteket sokkalinkább, ezért inkább deriváljuk le az integrálegyenletet, és oldjuk meg a kapott differenciálegyenletet!

Ug(t) = R · I(t) +1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ +Q0

C

/d

dt(18)

dUg(t)dt

= R · dI(t)dt

+1C· I(t) /: R (19)

dI(t)dt

+1RC· I(t) =

1R· dUg(t)

dt(20)

Ez így egy inhomogén differenciálegyenlet az I(t) áramra. Az ilyen differenciálegyenletek általános megoldásaúgy kapható meg, ha összeadjuk a homogén eset általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy partikulárismegoldását:

I(t) = Ih(t) + Ip(t) (21)

A homogén eset az (20) egyenlet esetéban az, amikor a differenciálegyenlet jobb oldala 0. A homogén egyenletbolkapott megoldás alapján írjuk fel eloször a partikuláris megoldást. Tehát vizsgáljuk eloször a homogén esetet:

dIh(t)dt

+1RC· Ih(t) = 0 (22)

dIh(t)dt

= − 1RC· Ih(t) (23)∫

1Ih(t)

dIh(t) + ln1A

= − 1RC

∫dt (24)

ln Ih(t) + ln1A

= − t

RC(25)

lnIh(t)A

= − t

RC(26)

Ih(t)A

= e−tRC (27)

Ih(t) = A · e− tRC (28)

Szokásos jelölés az RC = τ , ahol τ egy ido dimenziójú mennyiség, karakterisztikus idonek, vagy idoállandónak isszokás nevezni, egy adott RC kapcsolásra jellemzo érték. A homogén egyenlet megoldása így:

Ih(t) = A · e− tτ (29)

Az egyenletekben A egy integrációs konstans, melynek jelentését akkor kapjuk meg, ha a megoldást illesztjükt = 0-ban a kezdeti feltételekhez. Vagyis:

Ih(t = 0) = A · e− 0τ︸︷︷︸

=1

= A := I0 (30)

Vagyis A az az áram, amely az áramkörben t = 0 idopillanatban folyik. Ezt a megoldást késobb még részletezzüka lépcsofüggvényes speciális esetnél.

Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását hasonló alakúnak feltételezzük, mint a (29) homogén megoldást. Akülönbség az, hogy ebben az esetben az A integrációs konstansnál feltételezzük, hogy van valamilyen idofüggése.Tehát a partikuláris megoldás alakja:

Ip(t) = A(t) · e− tτ (31)

Ekkor persze A(t) egy ismeretlen függvény. Ahhoz, hogy megkapjuk az A(t) függvényt, és ezáltal a teljes par-tikuláris megoldást, a partikuláris megoldás feltételezett (31) alakját be kell helyettesítenünk az (20) inhomogéndifferenciálegyenletbe:

dIp(t)dt

+1τ· Ip(t) =

1R· dUg(t)

dt(32)

d

dt

(A(t) · e− t

τ

)+

1τ·A(t) · e− t

τ =1R· dUg(t)

dt(33)

dA(t)dt· e− t

τ +A(t) ·(−1τ

)· e− t

τ +1τ·A(t) · e− t

τ =1R· dUg(t)

dt(34)

7

dA(t)dt· e− t

τ =1R· dUg(t)

dt

/·e tτ (35)

dA(t)dt

=1R· dUg(t)

dtetτ (36)

A(t) =1R

∫dUg(t)dt

etτ dt (37)

Így a partikuláris megoldás:

Ip(t) =1R

(∫dUg(t)dt

etτ dt)· e− t

τ (38)

És az inhomogán egyenlet általános megoldása:

I(t) = I0 · e−tτ +

1R

(∫dUg(t)dt

etτ dt)· e− t

τ (39)

Az integrál természetesen nem számítható ki a konkrét feszültségfüggvény ismrete nélkül.

Egy speciális megoldás: lépcsofüggvény esetében

Vegyük azt az esetet, amikor t = 0-ban rákapcsolunk egy konstans feszültséget a kapcsolásra. Ekkor Ug(t)-tlépcsofüggvénynek is szokás nevezni, matematikai megfogalmazásban4:

Ug(t) ={

0 ha t < 0sU ha t ≥ 0s

1. ábra. U(t) lépcsofüggvény

Továbbá a kondenzátoron kezdetben ne legyen semennyi töltés (Q0 = 0). Számunkra csupán a t = 0 utániidoszak érdekes. Ebben a tartományban a feszültésg idoben állandó, vagyis deriváltja zérus. Ez nem más, mint adifferenciálegyenletünk homogén esete:

dI(t)dt

+1RC· I(t) =

1R· dUg(t)

dt=

1R· dUdt︸︷︷︸=0

(40)

dI(t)dt

+1RC· I(t) = 0 (41)

Ennek megoldását ismerjük:I(t) = A · e− t

τ (42)

4A lépcsofüggvényt szokás Heavyside-függvénynek is nevezni, különbözo függvények és függvénysorozatok limeseként is szokás felírni,most mi egy egyszerubb megfogalmazásnál maradunk.

8

Ahhoz, hogy megkapjuk az A paraméter értékét (azt már tudjuk, hogy kezdeti áram lesz, de hogy mégis mikhatározzák meg, azt még csak sejthetjük), vissza kell helyettesítenünk az EREDETI egyenletbe, NEM A DIFFER-ENCIÁLEGYENLETBE!!!5 Azt kell csinálni, hogy az eredeti integrálegyenletbe (17) kell visszaírni a megoldást,mégpedig úgy, hogy az integrál t0 = 0-tól t-ig tart:

U = R · I(t) +1C

∫ t

t0

I(t′)dt′ (46)

U = R ·A · e− tτ +

1C

∫ t

t0

A · e− t′τ dt′ (47)

U = R ·A · e− tτ +

A

C

[−τ · e− t

′τ

]t′=t

t′=t0=0(48)

U = R ·A · e− tτ +

A

C

[(− τ · e− t

τ

)−(− τ · e− 0

τ︸︷︷︸=1

)](49)

U = R ·A · e− tτ +

A

C

[(− τ · e− t

τ

)+ τ]

(50)

U = R ·A · e− tτ +

A

C· τ(

1− e− tτ

)(51)

U = R ·A · e− tτ +

A

C·RC

(1− e− t

τ

)(52)

U = R ·A · e− tτ +R ·A

(1− e− t

τ

)(53)

U = R ·A · e− tτ +R ·A−R ·A · e− t

τ (54)U = R ·A (55)

A =U

R:= I (56)

Ha belegondolunk, akkor ez egy tökéletesen ésszeru megoldás, ugyanis abban a pillanatban, mikor bekapcsoljuka feszültséget, a kondenzátor még semmilyen ellenállást nem tanusít. Egyedül az Ohm-os ellenállás korlátozza azelektronok áramlását, vagyis az Ohm-törvénynek megfelelo áram folyik, ami megegyezik a mostani I-vel. Tehát azáram:

I(t) =U

R· e− t

τ = I · e− tτ (57)

2. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram, fépcsos generátorfeszültség esetén

5Ha nem az eredeti egyenletbe helyettesítünk vissza, akkor nem kapjuk meg az A paraméter értékét:

dI(t)

dt+

1

RC· I(t) = 0 (43)

A ·(−

1

τ

)· e−

tτ +

1

τA · e−

tτ = 0 (44)

0 = 0 (45)

9

Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:

UR(t) = R · I(t) = R · UR· e− t

τ = U · e− tτ (58)

3. ábra. Az ellenálláson eso UR(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén

És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége:

UC(t) = Ug(t)− UR(t) = U − U · e− tτ = U ·

(1− e− t

τ

)(59)

4. ábra. Az kondenzátoron eso UC(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén (kondenzátor töltodése)

Az eredmények összefoglalva:

I(t) =U

R· e− t

τ UR(t) = U · e− tτ UC(t) = U ·

(1− e− t

τ

)(60)

Megjegyzés: jogosan merülhet fel az a kérdés, hogy miért van az, hogy a homogén megoldást az integrálegyenletbehelyettesítettük vissza, hogy megkapjuk az A paramétert, míg a partikuláris megoldás esetében az inhomogén dif-ferenciálegyenletbe. Azért az integrálegyenletbe helyettesítettünk vissza a homogén esetben, mert a deriválássalelveszítjük a konstanst, amibol az A paramétert megkapjhatjuk. Nem veszítünk el akkor semmit, ha a partikulárismegoldást nem oda írjuk vissza? Nem! Mivel csak olyan információt veszítünk el a deriválással, ami a homogénesethez tartozik, vagyis a partikuláris megoldásnak nem része, mivel az csak olyan megoldásokat tartalmaz, melyekesetében a jobb oldal nem nulla, vagyis konstanstól különbözik.

10

A kondenzátorok töltodése:

Most kicsit részletezzük a kondenzátorok töltodését, valamint megbeszéljük a hasonló jellegu görbék pár jellemvo-nását.

A korábbi képletek alapján kiszámítható, hogy tetszoleges ido elteltével mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége(és mivel az ellenálláson lévo feszültség U − UC(t), ez is hasonlóan egyszeruséggel számítható).

Elofotdul, hogy nem az ido adott, hanem azt kell meghatározni, hogy mennyi ido alatt töltodik fel egy kondenzátorvalamekkora feszültségre. Ekkor (117) alapján:

UC(t) = U ·(

1− e− tτ

)(61)

UC(t)U

= 1− e− tτ (62)

e−tτ = 1− UC(t)

U(63)

− tτ

= ln(

1− UC(t)U

)(64)

t = −τ · ln(

1− UC(t)U

)(65)

A kondenzátor töltodési idejének azt az idot nevezzük, amennyi ido alatt a kondenzátor 0.1 · U -ról 0.9 · U -igfeltöltodik, mint ahogy a 5. ábrán is látható. Legyen t1 az az idotartam, ameddig a kondenzátor 0.1 ·U -ig feltölt, t2pedig az az ido, amíg 0.9 · U -ra feltolt, ekkor ttolt = t2 − t1. Ez az elozo összefüggés alapján:

ttolt = t2 − t1 = −τ · ln(

1− UC(t2)U

)+ τ · ln

(1− UC(t1)

U

)=

= −τ ln(

1− 0.9 · UU

)+ τ ln

(1− 0.1 · U

U

)= −τ · ln(1− 0.9) + τ · ln(1− 0.1) =

= −τ · ln(0.1) + τ · ln(0.9) = τ · (ln(0.9)− ln(0.1)) = τ · ln(

0.90.1

)=

= τ · ln(9) = 2.19722 · τ ' 2.2 · τ

5. ábra. A kondenzátor töltési ideje

Tehát a töltodési ido:ttolt ' 2.2 · τ (66)

A töltodési ido egy eléggé önkényes definíció, semmi komoly fizikai alapja nincs. Az 5. ábrán egyértelmuen látható,hogy messze sem mondható, hogy ennyi ido alatt feltölt a kondenzátor. Talán a legtöbben azt mondanánk, hogyúgy kb. 5− 6 τ ido az, amíg 0-ról közel a maximumig tölt. De ez épp ugyan olyan onkényes definíció volna, minta 2.2 · τ -s definíció. . .

11

2.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral:

Általánosan:

Most is abból indulunk ki, hogy a feszültségek összeadódnak:

Ug(t) = UR(t) + UL(t) (67)

Ug(t) = R · I(t) + L · dI(t)dt

(68)

Szuper! Ugyanis rögtön egy differenciálegyenlet adódott. Ráadásul hasonló alakú, mint az imént.Az egyetlen dolgunk, hogy leosszunk az induktivitással, és máris beazonosíthatjuk a megoldásokat.

dI(t)dt

+R

LI(t) =

Ug(t)L

(69)

Tehát ismét inhomogén a differenciálegyenletünk, a megoldás hasonló képen keresendo, mint az elobb:

I(t) = Ih(t) + Ip(t) (70)

A homogén esetet vizsgálva:dIh(t)dt

+R

LIh(t) = 0 (71)

Ez ugyan az a differenciálegyenlet, mint az RC esetében, az egyetlen különbség, hogy most τ = LR . Tehát a

homogén eset általános megoldása (29)-hez hasonlóan:

Ih(t) = A · e− tτ (72)

Ez alapján az inhomogén eset partikuláris megoldásának feltételezett alakja:

Ip(t) = A(t) · e− tτ (73)

Visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe:

dIp(t)dt

+1τIp(t) =

Ug(t)L

(74)

dA(t)dt· e− t

τ +A(t) ·(−1τ

)· e− t

τ +1τ·A(t) · e− t

τ =Ug(t)L

(75)

dA(t)dt· e− t

τ =Ug(t)L

(76)

dA(t)dt

=Ug(t)L· e tτ (77)

A(t) =1L

∫Ug(t′) · e t

′τ dt′ (78)

Tehát az általános megoldás:

I(t) = A · e− tτ +

(1L

∫Ug(t′) · e t

′τ dt′

)· e− t

τ (79)

Egy speciális megoldás: lépcsofüggvény esete

Most is vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor ugrásfüggvény érkezik a kapcsolásra.

Ug(t) ={

0 ha t < 0sU ha t ≥ 0s

Tehát t = 0 után Ug(t) = U . Ekkor a differenciálegyenlet:

dI(t)dt

+R

LI(t) =

U

L(80)

12

6. ábra. Az U(t) lépcsos generátorfeszültség

Nézzük meg az inhomogén esetet:

A(t) =1L

∫ t

0

Ug(t′) · e t′τ dt′ =

1L

∫ t

0

U · e t′τ dt′ =

U

L

∫ t

0

et′τ dt′ =

U

L

[τ · e t

′τ

]t′=t

t′=0= (81)

= τU

L

[etτ − e

0τ︸︷︷︸

=1

]=L

R· UL

(etτ − 1

)=U

R

(etτ − 1

)(82)

Így a partikuláris megoldás:

Ip(t) = A(t) · e− tτ =

U

R

(etτ − 1

)· e− t

τ =U

R

(1− e− t

τ

)(83)

Ekkor az inhomogén egyenlet általános megoldása:

I(t) = Ih(t) + Ip(t) = A · e− tτ +

U

R

(1− e− t

τ

)(84)

Az A paraméter jelentsének megértéséhez helyettesítsük be a t = 0 idopontot

I(t = 0) = A · e− 0τ︸︷︷︸

=1

+U

R

(1− e− 0

τ︸︷︷︸=1

)= A+

U

R(1− 1)︸ ︷︷ ︸

=0

= A (85)

Tehát A nem más most sem, mint egy I kezdeti áram az áramkörben6. Jelen esetben nincs ilyen, de ha volna, akkoraz exponenciálisan lecsengene, elhalna. Így a mostani áram:

I(t) =U

R

(1− e− t

τ

)(86)

7. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram lépcsos generátorfeszültség esetén

Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:

UR(t) = R · I(t) = R · UR

(1− e− t

τ

)= U ·

(1− e− t

τ

)(87)

13

8. ábra. Az ellenálláson eso UR(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén

És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a tekercs feszültsége:

UL(t) = Ug(t)− UR(t) = U − U(

1− e− tτ

)= U · e− t

τ (88)

9. ábra. Az induktivitáson eso UL(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén

Az eredmények összefoglalva:

I(t) =U

R·(

1− e− tτ

)UR(t) = U ·

(1− e− t

τ

)UL(t) = U · e− t

τ (89)

2.2.3. Soros RC áramgenerátorral:

Ez egy nagyon jó kis eset, mert ekkor nincs sok számolni valónk.

Soros kapcsolás lévén az összes elemen folyó áram ugyan az kell legyen, és most pont a generátormondja meg, hogy mi legyen ez az áram:

Ig(t) = IR(t) = IC(t) (90)

Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát:

UR(t) = R · Ig(t) (91)

A kondenzátor meg a korábban megbeszélteknek megfeleloen integrál:

UC(t) =1C

∫ t

t0

Ig(t′)dt′ + U0 (92)

6Ezt úgy kéne elképzelni, hogy kezdtben direkt folyatunk egy áramot (már jó sok ideje), mondjuk áramgenerátorral tápláljuk, majd t = 0idopillanatban rövidre zárjuk az áramgenerátor helyét. Ekkor az indukció miatt a tekercs még egy ideig folyatja az áramot, de az Ohm-osellenállás okozta veszteségek miatt leáll az áramlás.

14

2.2.4. Soros RL áramgenerátorral:

Ez is egy kedvelt eset hasonló okokból. Az áramok:

Ig(t) = IR(t) = IL(t) (93)

Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát:

UR(t) = R · Ig(t) (94)

A tekercs pedig "derivál":

UL(t) = L · dIg(t)dt

(95)

2.3. Párhuzamos kapcsolások:2.3.1. Párhuzamos RC feszültséggenerátorral:

Párhuzamos kapcsolás esetén a feszültségek megegyeznek. Mivel pont feszültséggenerá-tor van az áramkörre kapcsolva, ezért a generátor mondja meg azt. Így ismét egy egyszeruesettel állunk szemben:

Ug(t) = UR(t) = UC(t) (96)

Az ellenálláson folyó áram "leköveti" a feszültséggenerátor jelét:

IR(t) =Ug(t)R

(97)

A kondenzátor pedig "derivál":

IC(t) = C · dUg(t)dt

(98)

2.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral:

Ez a másik könnyu eset párhuzamos kapcsolás esetén. A feszültségek itt is megegyeznek,tehát:

Ug(t) = UR(t) = UL(t) (99)

Az ellenállás hasonló, mint az elobb:

IR(t) =Ug(t)R

(100)

A tekercs viszont integrál:

IL(t) =1L

∫ t

t0

Ug(t′)dt′ + I0 (101)

2.3.3. Párhuzamos RC áramgenerátorral:

Általánosan:Na ez már nem olyan egyszeru, mint az elozo pár eset. Induljunk ki abból, hogy áramgen-erátor által leadott áram megoszlik a két alkatrész között, vagyis:

Ig(t) = IR(t) + IC(t) (102)

Írjuk be az egyes értékek számítási módjait:

Ig(t) =U(t)R

+ C · dU(t)dt

(103)

Ezen egyenletekben az U(t) nem más, mint a két elemen ugyan abban a pillanatban eso feszültség. Erre a feszültsé-gre kaptunk tehát egy differenciálegyenletet, ami pont olyan, mint a soros kapcsolás esetében azRL kapcsolásé volt,

15

a különbség az, hogy itt L helyett C van, R helyett 1R , valamint az áramok és feszültségek szerepe felcserélodött.

Írjuk fel a differenciálegyenletet hasonló alakban, mint a korábbi esetnél:

dU(t)dt

+1RC· U(t) =

1C· Ig(t) (104)

A megoldás számításának módja ugyan az, mint korábban. Az általános megoldás:

U(t) = U0 · e−tτ +

(1C

∫Ig(t′) · e t

′τ dt′

)· e− t

τ (105)

Természetesen most τ = LR . U0 jelentése: ha kezdetben van valamekkora töltés a kondenzátoron, akkor ez egy

bizonyos potenciálkülönbséget okoz. Ekkor elindul egy áram az ellenálláson keresztül a kondenzátor másik fe-gyverzete felé, a töltéskiegyenlítodés érdekében. Ha nem lenne ellenállás, akkor 0 ido alatt végbemenne a kiegyen-lítodés, de mivel van, így csupán exponenciálisan csökken.

Speciális eset: ugrásfüggvény

Ig(t) ={

0 ha t < 0sI ha t ≥ 0s

Ebben az esetben a feszültség:

U(t) = I ·R(

1− e− tτ

)(106)

Ennek alapján az ellenálláson folyó áram:

IR(t) =U(t)R

=1R· I ·R

(1− e− t

τ

)= I

(1− e− t

τ

)(107)

A kondenzátor árama pedig:

IC(t) = Ig(t)− IR(t) = I − I(

1− e− tτ

)= I · e− t

τ (108)

Összefoglalva:

U(t) = I ·R(

1− e− tτ

)IR(t) = I

(1− e− t

τ

)IC(t) = I · e− t

τ (109)

Gondoljunk bele, hogy mit is jelentenek az eredmények: kezdetben a kondenzátor nem jelent semekkora ellenállást,ezért nagy áram folyik. Ahogy kezd feltöltodni, a potenciálkülönbség egyre nagyobb lesz, és elkezdi akadályozniaz áramlást. A töltodésbol származó potenciál jelenik meg az ellenálláson, és az ennek megfelelo áram folyik azon.A kondenzátor akkora feszültségre tölt fel, mint ami akkor esne a kapcsoláson, ha az ellenálláson folyna az összesgenerátoráram.

2.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral:

Általánosan:Ez az eset a feszültséggenerátoros soros RC esethez lesz hasonló. Persze hasonlóan azelobbi esethez, itt is felcserélodik L és C szerepe, valamint a feszültség és áram is. Deazért írjuk fel rendesen az áramkört jellemzo egyenleteket. Induljunk ki hasonlóan, mintaz elozo esetben:

Ig(t) = IR(t) + IL(t) (110)

Ig(t) =U(t)R

+1L·∫ t

t0

U(t′)dt′ + I0 (111)

Ez ugye egy integrálegyenlet, amit nem szeretünk, ezért lederiváljuk:

dIg(t)dt

=1R

dU(t)dt

+1L· U(t) +

dI0dt︸︷︷︸=0

(112)

dU(t)dt

+R

L· U(t) = R · dIg(t)

dt(113)

16

A megoldás:

U(t) = U0 · e−tτ +R

(∫dIg(t)dt

etτ dt)· e− t

τ (114)

Speciális eset: ugrásfüggvény

Ig(t) ={

0 ha t < 0sI ha t ≥ 0s

A speciális megoldás is hasonló alakú lesz, mint a soros RC feszültséggenerátor esetében:

U(t) = U · e− tτ = I ·R · e− t

τ (115)

Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:

IR(t) = I · e− tτ (116)

És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége:

IC(t) = I ·(

1− e− tτ

)(117)

Az eredmények összefoglalva:

U(t) = I ·R · e− tτ IR(t) = I · e− t

τ IC(t) = I ·(

1− e− tτ

)(118)

17