PYETJE PRAKTIKEPËRTESTIN EKSTERNklasa9-gercec.weebly.com/uploads/4/4/2/9/44294675/... · [iv] Teorema e Talesit për segmentet proporcionale. @**D 1. Nëse AC ¨¨ me BD, dhe OA

BUJAR MAMUDI

LËNDA : MATEMATIKËKLASA : VIII

TEMA : I - NGJASHMËRIA

PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN

[i] Raporti ndërmjet dy segmenteve.

@ * D 1. Kush është antari i parë për raportin e dhënë16

2= 8 ?

Zgjidhje : 16

@ * D 2. Kush është antari i dytë për raportin e dhënë 16 : 2 = 8 ?

Zgjidhje : 2

@ * D 3. Kush është vlera e raportit16

2= 8 ?

Zgjidhje : 8

@ * D 4. Cakto antarin e panjohur te raporti x : 7 nëse vlerën e ka 3?

Zgjidhje : x : 7 = 3

x = 3 * 7

x = 21 Hkujdes rendinL@ * D 5. Cakto antarin e panjohur te raporti 18 : y nëse vlerën e ka 3?

Zgjidhje : 18 : y = 3

18

y=

3

1

3 * y = 18 * 1

y = 18 : 3

y = 6 Hkujdes rendinL

@ * D 6. Cakto raportin e segmenteve AB : CD nëse AB = 6 cm dhe CD = 2 cm?

Zgjidhje : AB : CD = 6 : 2 raporti ka vlerë 3

@ * D 7. Cakto raportin e segmenteveCD

ABnëse AB = 6 dhe CD = 2 cm?

Zgjidhje :CD

AB=

2

6raporti ka vlerë

2

6ose

1

3Hthjeshtim me 2L

@ ** D 8. Çka ndodh me raportin e segmenteve a : b ku a =

18 cm dhe b = 6 cm nëse të dy antarët shumëzohen me numrin e njëjtë 5?

Zgjidhje : a : b = 18 : 6

a

b=

18

6® ka vlerë 3

a * 5

b * 5=

18 * 5

6 * 5=

90

30® ka përsëri vlerë 3

@ ** D 9. Çka ndodh me raportin e segmenteve a : b ku a =

18 cm dhe b = 6 cm nëse të dy antarët pjestohen me numrin e njëjtë 3?

Zgjidhje : a : b = 18 : 6

a

b=

18

6® ka vlerë 3

a : 3

b : 3=

18 : 3

6 : 3=

6

2® ka përsëri vlerë 3

@ * D 10. Cili është raporti i anasjelltë i raportit të dhënë 4 : 5 ?

Zgjidhje : 5 : 4

@ ** D 11. Nëse a = 4, b = 5, c = 7, shkruaj raportin e vazhduar a : b : c .

Zgjidhje : a : b : c = 4 : 5 : 7

@ ** D 12. Nga raporti i vazhduar x : y : z = 2 : 3 : 5 shkruaj raportet individuale.

Zgjidhje : x : y : z = 2 : 3 : 5 ®x

2=

y

3=

z

5

@ ** D 13. Shprehe raportin a ndaj b në formë më të thjeshtë nëse a = 7 cm dhe b = 35 cm .

Zgjidhje :a

b=

7

35=

1

5H ka thjeshtim me 7L

@ ** D 14. Cilat nga raportet e dhëna janë të barabarta?6

8, 150 : 200,

80

60, 0.18 : 0.24

Zgjidhje :6

8=

3

4,

150

200=

15

20=

3

4,

80

60=

8

6=

4

3,

0.18

0.24=

18

24=

3

4

Htë barabarta janë raporti i parë, i dytë dhe i katërtL@ ** *D 15. Raportet e dhëna shkruaji me antarë numra të plotë. 0.35 : 0.7,

2

5:

4

3, 2

3

5: 5.2

Zgjidhje :0.35

0.7=

3.5

7=

35

70,

2

5:

4

3=

2

5*

3

4=

6

20=

3

10,

23

5: 5.2 =

13

5:

5.2

1=

13

5:

52

10=

13

5*

10

52=

1

1*

2

4=

1

2

@ ** *D 16. Është dhënë segmenti AB = 24 cm,

dhe në të është zgjedhur pika C ashtu që AC = 18 cm. Cakto raportin AC : CB?

Zgjidhje : AB = 24, AC = 18 atëherë CB = 6.

AC : CB = 18 : 6 ® raporti ka vlerë 3

@ ** *D 17. Cakto raportin e brinjës dhe perimetrit te trekëndëshi barabrinjës,

peskëndëshi i rregullt, gjashtëkëndëshi brinjëshëm?

Zgjidhje :

Hshumëkëndëshi i rregullt ose brinjënjëshëm � barabrinjës i ka të gjitha brinjët e njëjta aL

P = 3 * a P = 5 * a P = 6 * a

brinja

perimetri=

a

3 * a=

1

3

brinja

perimetri=

a

5 * a=

1

5

brinja

perimetri=

a

6 * a=

1

6

2 VIII TEMA 1.nb

[ii] Segmentet proporcionale.

@ * D 1. Për përpjestimin e dhënë a : b = c : d cilët janë antarë të brendshëm?

Zgjidhje : b dhe c

@ * D 2. Për përpjestimin e dhënë a : b = c : d cilët janë antarë të jashtëm?

Zgjidhje : a dhe d

@ ** D 3. Për përpjestimin 12 : 8 =

6 : 4 si është prodhimi i antarëve të jashtëm dhe prodhimi i antarëve të brendshëm?

Zgjidhje : prodhimi i antarëve të jashtëm ® 12 * 4 = 48

prodhimi i antarëve të brendshëm ® 8 * 6 = 48 Hdmth janë të barabartëL@ ** D 4. A mund të formohet përpjestim për katër segmente a = 40 cm,

b = 7 cm, c = 35 cm, d = 8 cm.

Zgjidhje : 40 : 8 = 5; 35 : 7 = 5 atëherë 40 : 8 = 35 : 7 dmtha

d=

c

b

@ ** D 5. Cakto proporcionalen e katërt gjeometrike nëse dihet se a : b = c : x dhe a = 6,

b = 8, c = 12.

Zgjidhje : a : b = c : x

6 : 8 = 12 : x

6 * x = 12 * 8

6 * x = 96

x =96

6= 16

@ ** D 6. Cakto proporcionalen e katërt gjeometrike nëse dihet se a : x = b : c dhe a = 6,

b = 8, c = 12.

Zgjidhje : a : x = b : c

6 : x = 8 : 12

6 * 12 = x * 8

72 = x * 8

72

8= x

9 = x

@ ** D 7. Cakto mesin gjeometrik për numrat 4 dhe 9.

Zgjidhje :4

x=

x

9x * x = 4 * 9

x2= 36

x = 36

x = 6

@ * D 8. Cakto antarin e panjohur te përpjestimi 10 : a = 15 : 6.

Zgjidhje : 10 : a = 15 : 6

10 * 6 = a * 15

60 = a * 15

60

15= a

4 = a

@ ** D 9. Cakto mesin gjeometrik të segmenteve a = 2 cm dhe b = 8 cm.

VIII TEMA 1.nb 3

Zgjidhje :2

x=

x

8x * x = 2 * 8

x2= 16

x = 16

x = 4

@ * D 10. Cili numër duhet të qëndrojë në vend të shkronjës a?5

2=

a

8

Zgjidhje :5

2=

a

82 * a = 5 * 8

2 * a = 40

a =40

2a = 20

@ ** D 11. Cakto x dhe y .x

4=

y

5=

3

2

Zgjidhje :x

4=

y

5=

3

2x

4=

3

2

y

5=

3

22 * x = 3 * 4 2 * y = 5 * 3

2 * x = 12 2 * y = 15

x =12

2y =

15

2x = 6 y = 7.5

[iii] Ndarja e segmenteve në pjesë të barabarta.

@ * D 1. Në sa pjesë është ndarë segmenti AB dhe si janë këto pjesë njëra me tjetrën?

Zgjidhje : në 5 pjesë të barabarta

@ ** D 2. Në çfarë raporti pika M e ndan segmentin AB?

Zgjidhje : AM = 3, MB = 2 atëherëAM

MB=

3

2

@ ** D 3. Në çfarë raporti pika M e ndan segmentin AB?

4 VIII TEMA 1.nb

Zgjidhje : AM = 3, MB = 4 atëherëAM

MB=

3

4

@ ** D 4. Formo proporcion me pjesët e ndara të segmenteve të dhëna.

Zgjidhje : PH = 2, HQ = 6, RK = 3, KS = 1,

6 : 2 = 3, 3 : 1 = 3 dmth6

2=

3

1®

HQ

PH=

RK

KS

@ ** *D 5. Pika M e ndan segmentin AB në raport AM : MB =

2 : 3. Cakto vlerën e raportit AM : AB dhe AB : MB.

Zgjidhje :

AM : AB = 2 : H2 + 3L AB : MB = H2 + 3L : 3

AM : AB = 2 : 5 AB : MB = 5 : 3

[iv] Teorema e Talesit për segmentet proporcionale.

@ ** D 1. Nëse AC ÈÈ me BD, dhe OA = 4 cm, AB = 5 cm, OC = 8 cm, cakto gjatësinë e CD.

Zgjidhje :

Hmaja � kulmi është pika O, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtëLOA

AB=

OC

CD4

5=

8

CD4 * CD = 5 * 8

4 * CD = 40

CD =40

4CD = 10

@ ** *D 2. Për cilët prej këtyre gjatësive sipas vizatimit do të jetë MN ÈÈ PQ?

VIII TEMA 1.nb 5

aL RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;

bL RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

cL RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

Zgjidhje :

Hmaja � kulmi është pika R, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtëLaL RM

RP=

RN

RQ

10

12=

15

1810 * 18 = 12 * 15

180 = 180 ® atëherë MN ÈÈ PQ

bL RP

MP=

RQ

NQ

14

4=

21

614 * 6 = 21 * 4

84 = 84 ® atëherë MN ÈÈ PQ

cL RM

RP=

RN

RQ

6

8=

9

1414 * 6 = 9 * 8

84 ¹ 72 ® atëherë MN nuk është paralel me PQ

@ ** D 3. Nëse dihet se PQ ÈÈ BC, për vizatimin e dhënë plotëso :

aL AP : AB = __ : __ ; cL __ : __ = AQ : QC;

bL AP : PB = __ : __ ; dL AC : AQ = __ : __ .

Zgjidhje :

Hmaja � kulmi është pika A, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtëLaL AP : AB = AQ : AC

bL AP : PB = AQ : QC

cL AP : PB = AQ : QC

cL AC : AQ = AB : AP

@ ** D 4. Për segmentet e shënuara a do të jetë BC ÈÈ DE?

6 VIII TEMA 1.nb

Zgjidhje :

Hmaja � kulmi është pika A, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtëLAB

BD=

AC

CE20

16=

35

2820 * 28 = 16 * 35

560 = 560 ® atëherë BC ÈÈ DE

[v] Detyra me zbatimin e teoremës së Talesit.

@ ** D 1. Për vizatimin e dhënë nëse MN ÈÈ BC, AM = 12, AB = 18. Cakto raportin BC : MN.

Zgjidhje : Hmaja � kulmi është pika A,

çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël AMN duhet të jetë enjëjtë për trekëndëshin e madh ABCLAM

AB=

AN

AC=

MN

BC12

18= =

MN

BCatëherë BC : MN = 18 : 12

@ ** *D 2. Për vizatimin e dhënë nëse MN ÈÈ BC,

AB = 15, BC = 10. Cakto MN nëse M është mesi i AB.

Zgjidhje : Hmaja � kulmi është pika A,

çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël AMN duhet të jetë enjëjtë për trekëndëshin e madh ABCLAM

AB=

AN

AC=

MN

BCM është mesi i AB,

atëherë AM = 7.5 dhe MB = 7.5

7.5

15= =

MN

1015 * MN = 7.5 * 10

15 * MN = 75

MN = 75 : 15

MN = 5

@ ** *D 3. Për vizatimin e dhënë nëse drejtëzat që presin drejtëzën p dhe q janë paralele dhe a =

3, b = 5, x = 9 dhe b' = 7. Cakto gjatësinë e segmentit a' dhe y.

Zgjidhje : Hçdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtëL

VIII TEMA 1.nb 7

a

b=

x

y=

a'

b'

3

5=

9

y=

a'

7

3

5=

9

y

3

5=

a'

7

3 * y = 5 * 9 5 * a' = 3 * 7

3 * y = 45 5 * a' = 21

y =45

3a' =

21

5y = 15 a' = 4.2

@ ** D 4. Për vizatimin e dhënë nëse MN ÈÈ AB,

dhe AD = 18 cm , BC = 24 cm, DM = 3 cm. Cakto BN dhe NC.

Zgjidhje : Hçdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtëLDM

DA=

CN

CB3

18=

x

2418 * x = 3 * 24

18 * x = 72

x = 72 : 18

x = 4 nëse CN = 4 cm atëherë BN = 20 cm

@ ** D 5. Për vizatimin e dhënë nëse MN ÈÈ AB. Cakto NB dhe AB.

Zgjidhje : Hmaja � kulmi është pika C,

çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël CMN duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CABLCM

MA=

CN

NB®

2

6=

3

NB® 2 * NB = 3 * 6 ® NB =

18

2® NB = 9.

CM

CA=

MN

AB®

2

2 + 6=

4

AB®

2

8=

4

AB® 2 * AB = 4 * 8 ® AB =

32

2® AB = 16

@ ** *D 6. Për trapezin ABCD cakto SD.

Zgjidhje : Hmaja � kulmi është pika S,

çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël SDC duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh SABL

8 VIII TEMA 1.nb

SD

SA=

DC

ABx

x + 7=

5

1212 * x = 5 * Hx + 7L12 * x = 5 * x + 35

12 * x - 5 * x = 35

7 * x = 35

x = 35 : 7

x = 5

@ ** D 7. Cakto lartësinë e drurit nëse hija e tijë BC = 20 metra,

kurse hija e shkopit CQ = 1 metër dhe shkopi është i gjatë PQ = 1.4 metra.


çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël CQP duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CBALCQ

CB=

PQ

BA1

20=

1.4

AB1 * AB = 20 * 1.4

AB = 28 metra

@ ** D 8. Per trapezin e dhene cakto AD dhe BC.

Zgjidhje : Hçdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtëLDP

PM=

CQ

QN®

6

PM=

8

6® 8 * PM = 6 * 6 ® PM =

36

8® PM = 4.5

PM

MA=

QN

NB®

4.5

3=

6

NB® 4.5 * NB = 6 * 3 ® NB = 18 : 4.5 ® NB = 4

@ ** *D 9. Cakto x dhe y nga vizatimi i dhënë.


çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CABLCD

CB=

FD

AB®

k

k + k + k=

x

15®

k

3 k=

x

15®

1

3=

x

15® 3 * x = 1 * 15 ® x =

15

3® x = 5

VIII TEMA 1.nb 9

CE

CB=

GE

AB®

k + k

k + k + k=

y

15®

2 k

3 k=

y

15®

2

3=

y

15® 3 * y = 2 * 15 ® y =

30

3® y = 10

[vi] Figurat e ngjajshme. Trekëndëshat e ngjajshëm.

@ * D 1. Çka kanë të njëjtë dhe çka kanë të ndryshme dy figura të ngjajshme?

Zgjidhje : formë të njëjtë, kurse madhësinë mund ta kenë të njëjtë ose të ndryshme.

@ * D 2. A janë përherë të ngjajshëm dy katrorë?

Zgjidhje : Po! Sepse këndet i kanë nga 90o, kurse brinjët janë proporcionale.

@ * D 3. A janë përherë të ngjajshëm dy drejtkëndësha?

Zgjidhje : Jo! Edhe pse këndet i kanë nga 90o, brinjët nuk janë përherë proporcionale.

@ * D 4. A janë përherë të ngjajshëm dy trekëndësha barabrinjës?

Zgjidhje : Po! Sepse këndet i kanë nga 60o, kurse brinjët janë proporcionale.

@ * D 5. A janë përherë të ngjajshëm dy vija rrethore?

Zgjidhje : Po! Sepse kanë formën e njëjtë, rrezet janë proporcionale.

@ * D 6. A janë përherë të ngjajshëm dy shumëkëndësha të rregullt të llojit të njëjtë?

Zgjidhje : Po! Sepse këndet e brendshme i kanë të njëjta HputhitshmeL,

brinjët janë proporcionale.

@ ** D 7. Nëse distanca prej Kumanove deri në Shkup në hartën me përpjestim 1 :

1 000 000 është 4 cm, sa do të jetë distanca në hartë tjetër me përpjestim 1 : 500 000?

Zgjidhje : Harta e parë është zvogëluar 1 miljon here,

kurse harta e dytë vetëm pesqind mijë.

Objektet � Distanca në hartën e parë

është 2 herë më e vogël se objektet � distanca në hartën e dytë.

Atëherë distanca në hartën e dytë është 8 cm.

@ * D 8. Kur janë dy trekëndësha të ngjajshëm? Sa kushte mjafton të plotësohen?

Zgjidhje : Një nga këto dy kushte duhet të plotësohen

aL këndet të jenë të puthitshme Htë njëjtaLbL brinjët të jenë proporcionale

@ ** D 9. Çfar tregon koeficienti i njajshmërisë? Kur është më i madh se 1,

më i vogël se 1, dhe saktësisht 1?

Zgjidhje : k =AB

A1 B1

=BC

B1 C1

=AC

A1 C1

, k tregon shkallën e ngjajshmërisë

nëse k > 1,

trekëndëshi i parë ABC është më i madhë se i dyti A1 B1 C1 ® P HABCL > P HA1 B1 C1 Lnëse k = 1,

të dy trekëndëshat kanë madhësi të njëjtë Hjanë të puthitshëmL ®

ABC @ A1 B1 C1

nëse k < 1,

trekëndëshi i parë ABC është më i vogël se i dyti A1 B1 C1 ® P HABCL < P HA1 B1 C1 L

@ ** D 10. Nëse e dinë se DABC ~ DMNP . Shkruaji brinjët përgjegjëse. Shkruaj këndet përgjegjëse.

10 VIII TEMA 1.nb

Zgjidhje :

Hgjithmonë duke rrespektuar rendin, dy të parët, dy të fundit, i pari dhe i funditLk =

AB

MN=

BC

NP=

AC

MP

ABC @ MNP , BCA @ NPM , dhe CAB @ PMN

@ ** *D 11. Nëse e dinë se DABC ~ DMNP. Cakto x dhe y.

Zgjidhje : Nga fjalia e parë DABC ~ DMNP mund ti shkruajmë brinjët përgjegjëse

k =AB

MN=

BC

NP=

AC

MP

k =4

y=

3

x=

2

6® k =

2

6=

1

3dmth trekëndëshi i dytë është 3 herë më i madh se i pari

k =4

yk =

3

x

1

3=

4

y

1

3=

3

x

1 * y = 3 * 4 1 * x = 3 * 3

y = 12 x = 9

@ ** *D 12. Nëse e dinë se DABC ~ DPQR. Cakto x dhe y.

Zgjidhje : Nga fjalia e parë DABC ~ DPQR mund ti shkruajmë brinjët përgjegjëse

k =AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR

k =6

y=

x

10=

12

15® k =

12

15=

4

5dmth trekëndëshi i dytë është 1.25 herë më i madh se i pari

k =6

yk =

x

10

4

5=

6

y

4

5=

x

10

4 * y = 5 * 6 5 * x = 4 * 10

y =30

4x =

40

5y = 7.5 x = 8

VIII TEMA 1.nb 11

@ ** D 13. Prej DABC @ DA1 B1 C1, a vijon se DABC ~ DA1 B1 C1 ?

Zgjidhje :

Po! Sepse dy trekëndësha të puthitshëm kanë edhe këndet edhe brinjët e puthitshme.

@ ** D 14. Prej DABC ~ DA1 B1 C1, a vijon se DABC @ DA1 B1 C1 ?

Zgjidhje : Jo përherë! Tek trekëndëshat e

ngjajshëm edhe pse këndet janë të puthitshme, brinjët nuk janë.

Vetëm atëherë kur k = 1, sepse në këtë rast edhe brinjët janë të puthitshëm.

[vii] Kriteri i parë për trekëndëshat e ngjajshëm.

@ * D 1. Çka thotë kriteri i parë K - K për ngjajshmërinë e trekëndëshave?

Zgjidhje : Për dy trekëndësha nëse dy palë këndesh janë të puthitshme atëherë ato dy

trekëndësha janë të ngjajshëm Hpa pasur nevojë të kontrollojmë çiftin e tretë të këndeveL.

@ ** D 2. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë?

Zgjidhje : Figura quhet flutur me krahë jo paralel sepse AB dhe DE nuk janë paralele

1. BAC @ EDC Iështë e dhënë 30oM2. BCA @ ECD Hsepse janë kënde vertikalL

- ® Atëherë sipas kriterit Kënd - Kënd HK - KL D ACB ~ D DCE Hkujdes rendi është i rëndësishëmL

@ ** D 3. Nëse MN ÈÈAB. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë?

Zgjidhje : Figura quhet trekëndësh i prerë me dy drejtëza paralele

1. CAB @ CMN Hsepse janë kënde përgjegjëseL2. CBA @ CNM Hsepse janë kënde përgjegjëseL

- ® Atëherë sipas kriterit Kënd - Kënd HK - KL D ABC ~ D MNC Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** D 4. Nëse MN ÈÈ AB dhe PN ÈÈ AC. Cakto cilët trekëndësha janë të ngjajshëm.

12 VIII TEMA 1.nb

Zgjidhje : Kemi dy llojë trekëndësha të

ngjajshëm të llojit "trekëndësh i prerë me dy drejtëza paralele"

1. D CAB ~ D CMN

2. D BCA ~ D BNP

@ ** D 5. Vërteto se këto trekëndësha kënddrejt janë të ngjajshëm.

Zgjidhje : 1. CBA @ RQP I e dhënë kënd i drejtë 90oM2. BAC @ QPR H e dhënëL

- ® Atëherë sipas kriterit Kënd - Kënd HK - KL D BAC ~ D QPR Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** D 6. Dy trekëndëshat e dhënë janë barakrahës me baza AB dhe PQ,

këndet tek maja janë të njëjtë Α = 80o.Vërteto se janë të ngjajshëm.

Zgjidhje : Këndet sipër bazës te trekëndëshi barakrahës janë të barabartë.

1. CAB @ RPQ I50o, kënde sipër bazë të trekëndëshit barakrahësM2. CBA @

RQP I50o, kënde sipër bazë të trekëndëshit barakrahësM prova 80o+ 50o

+ 50o= 180o

- ® Atëherë sipas kriterit Kënd -

Kënd HK - KL D ABC ~ D PQR Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** D 7. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë?

VIII TEMA 1.nb 13

Zgjidhje : Figura quhet flutur me krahë paralel sepse AC ÈÈ DB

1. MAC @ MBD Iështë e dhënë, kënd i drejtë 90oM2. AMC @ BMD Hsepse janë kënde vertikalL

- ® Atëherë sipas kriterit Kënd - Kënd HK - KL D AMC ~ D BMD Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** *D 8. Është dhënë DABC me brinjë AB = 20, BC = 12 dhe CA = 16.

Nëpër pikën M që shtrihet në brinjën BC është

tërhequr drejtëza paralele me AB dhe e prenë AC në pikën N.

Cakto MN, në qoftë se CM = 3.

Zgjidhje : Mundohu të vizatosh figurën

CM

CB=

NM

AB®

3

12=

NM

20® 12 * NM = 3 * 20 ® NM =

60

12® NM = 5

@ ** *D 9. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD diagonalet AC dhe BD priten në pikën S.

Cakto CD, në qoftë se AB = 12, AS = 6 dhe SC = 3.

Zgjidhje : Mundohu të vizatosh figurën

AB ÈÈ DC, atëherë është dhënë flutura me krahë paralele

- ® D ABS ~ D CDS Hrendi është i rëndësishëmLk =

AB

CD=

BS

DS=

AS

CS

k =12

x= =

6

3® atëherë k =

6

3= 2 dmth trekëndëshi ABS është tre herë më i madhë se trekëndëshi CSD

k =12

x®

2

1=

12

x® 2 * x = 1 * 12 ® x =

12

2® x = 6

[viii] Kriteri i dytë dhe i tretë për trekëndëshat e ngjajshëm.

@ * D 1. Çka thotë kriteri i dytë Brinjë - Kënd -

Brinjë HB - K - BL për ngjajshmërinë e trekëndëshave?

Zgjidhje : Nëse te dy trekëndësha dy palë brinjësh janë proporcionale dhe

këndet midis tyre janë të puthitshme atëherë ato dy trekëndësha janë të ngjajshëm.

14 VIII TEMA 1.nb

@ ** D 2. Provo a janë të ngjajshëm trekëndëshat ABC dhe A1 B1 C1 nëse :

aL BC = 20, AC = 22, C = 50o; B1 C1 = 30, A1 C1 = 33, C1 = 50o.

bM BC = 25, AC = 70, C = 70o; B1 C1 = 50, A1 C1 = 139, C1 = 70o.

Zgjidhje : kontrollo nëse brinjët janë proporcionale dhe këndet janë të puthitshme

aL 1.BC

B1 C1

=AC

A1 C1

20

30=

22

33® 20 * 33 = 30 * 22 ® 660 = 660 Po janë proporcionale

2. C = C1

- ® sipas kriterit Brinjë - Kënd - Brinjë HB - K - BL DABC ~ D A1 B1 C1

aL 1.BC

B1 C1

=AC

A1 C1

25

70=

50

139® 25 * 139 = 50 * 70 ® 3475 ¹ 3500 Jo nuk janë proporcionale

2. C = C1

- ® atëherë DABC nuk është i ngjajshëm me D A1 B1 C1

@ * D 3. Çka thotë kriteri i tretë Brinjë - Brinjë -

Brinjë HB - B - BL për ngjajshmërinë e trekëndëshave?

Zgjidhje : Nëse te dy trekëndësha tre palë brinjësh

janë proporcionale atëherë ato dy trekëndësha janë të ngjajshëm.

@ ** D 4. A janë të ngjajshëm trekëndëshat me brinjë :

aL 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10;

bL 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5;

cL 2, 2, 3 dhe 6, 6, 8;

dL 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4.5

Zgjidhje : Rradhiti brinjët prej te më i vogli tek më i madhi dhe formo raport

aL 3

6=

4

8=

5

10= k prej ku rrjedh se k =

1

2dmth PO janë të ngjajshëm

3

6=

4

8® 3 * 8 = 6 * 4 ® 24 = 34

4

8=

5

10® 4 * 10 = 8 * 5 ® 40 = 40

b9

3=

12

4=

15

5= k prej ku rrjedh se k = 3 dmth PO janë të ngjajshëm

9

3=

12

4® 9 * 4 = 3 * 12 ® 36 = 36

12

4=

15

5® 12 * 5 = 4 * 15 ® 60 = 60

c2

6=

2

6=

3

8= k Nuk janë të ngjajshëm sepse nuk janë proporcional

2

6=

2

62

6=

3

8® 2 * 8 = 6 * 3 ® 16 ¹ 18

d2

3=

3

4.5=

4

6= k prej ku rrjedh se k =

2

3dmth PO janë të ngjajshëm.

VIII TEMA 1.nb 15

2

3=

3

4.5® 2 * 4.5 = 3 * 3 ® 9 = 9

3

4.5=

4

6® 4 * 4.5 = 3 * 6 ® 18 = 18

@ ** D 5. Vërteto se trekëndëshat e dhënë janë të ngjajshëm.

Zgjidhje : figura e dhënë është flutur, mirpo nuk e dim a është me krah paralel apo jo

mirpo e dimë se

1. BCA @ ECD Hsepse janë kënde vertikalLmundohemi të formojmë proporcion me brinjët tjera

2.4

6=

6

9® 4 * 9 = 6 * 6 ® 36 = 36 PO! brinjët janë proporcionale

BC

DC=

AC

EC= k ku k =

2

3dmth trekëndëshi i dytë DCE është 1.5 herë me i madhë se i pari BCA

- ® Atëherë sipas kriterit Brinjë -

Kënd - Brinjë HB - K - BL D BCA ~ D DCE Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** D 6. Brinjët e një trekëndëshi janë 6, 5 dhe 4. Brinja më e madhe e trekëndëshit tjetër,

i ngjashëm me trekëndëshin e dhënë është 9. Cakto perimetrin e trekëndëshit tjetër.

Zgjidhje : përdorim indicin e tretë B - B - B,

krijojmë raport të brinjëve sipas madhësisë prej te më i vogli deri tek më i madhi

k =4

x=

5

y=

6

9atëherë k =

6

9=

2

3dmth trekëndëshi i dytë është 1.5 herë me i madh se i pari

k =4

xk =

5

y

2

3=

4

x

2

3=

5

y

2 * x = 3 * 4 2 * y = 3 * 5

x =12

2y =

15

2x = 6 y = 7.5

caktojmë perimetrin e trekëndëshit të dytë

P = 6 + 7.5 + 9

P = 22.5

@ * D 7. A janë të ngjashëm dy trekëndësha,

në qoftë se dy kënde të njërit trekëndësh janë nga 60o dhe 70o,

kurse dy kënde të trekëndëshit tjetër janë nga 50o dhe 60o.

Zgjidhje : Shohim trekëndëshin e parë : 60o+ 70o

= 130o

këndi i tretë është 180o- 130o

= 50o

trekëndëshi i dytë : 50o+ 60o

= 110o,

këndi i tretë është 180o- 110o

= 70o

Si përfundim këto dy trekëndësha i kanë

këndet e puthitshme I50o, 60o, 70oM dhe janë të ngjajshëm.

16 VIII TEMA 1.nb

@ ** D 8. A është DABC ~ DMNR nëse :

BAC = 50o, AB = 4 cm, AC = 6 cm;

NMR = 50o, MN = 30 cm, MR = 45 cm.

Zgjidhje : 1. BAC = NMR H e dhënëL2.

4

30=

6

45® 4 * 45 = 6 * 30 ® 180 = 180 PO! Janë proporcionale.

AB

MN=

AC

MR= k ku k =

2

15dmth trekëndëshi i dytë NMR është 7.5 herë me i madh se i pari

- ® Atëherë sipas kriterit Brinjë - Kënd -

Brinjë HB - K - BL D BAC ~ D NMR Hkujdes rendi është i rëndësishëmL@ ** D 9. Provo nëse ABC ~ A1 B1 C1 nëse :

aL 15, 17, 24 dhe 4.5; 5.1; 7.2;

bL 22; 8.2; 20 dhe 55; 20.5; 50.

Zgjidhje : përdorim indicin e tretë Brinjë -

Brinjë - Brinjë HB - B - BL dhe formojmë raporte sipas madhësisë

aL 15

4.5=

17

5.1=

24

7.215

4.5=

17

5.1

17

5.1=

24

7.215 * 5.1 = 4.5 * 17 17 * 7.2 = 5.1 * 24

76.5 = 76.5 122.4 = 122.4

PO! Janë të ngjajshëm.

bL 8.2

20.5=

20

50=

22

558.2

20.5=

20

50

20

50=

22

558.2 * 50 = 20 * 20.5 20 * 55 = 22 * 50

410 = 410 1100 = 1100

PO! Janë të ngjajshëm.

@ ** D 10. Brinjët e DABC janë : a = 6 cm,

b = 4 cm dhe c = 3 cm. Cakto perimetrin e DA1 B1 C1 që është i ngjashëm me DABC,

kurse brinja e tij më e vogël është 6 cm.

Zgjidhje : përdorim indicin e tretë B - B - B,

krijojmë raport të brinjëve sipas madhësisë prej te më i vogli deri tek më i madhi

k =

3

6=

4

x=

6

yatëherë k =

3

6=

1

2dmth trekëndëshi i dytë është 2 herë me i madh se i pari

k =4

xk =

6

y

1

2=

4

x

1

2=

6

y

1 * x = 2 * 4 1 * y = 2 * 6

x = 8 y = 12

caktojmë perimetrin e trekëndëshit të dytë

P = 6 + 8 + 12

P = 26

VIII TEMA 1.nb 17

[ix] Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjajshëm.

@ * D 1. Njehëso perimetrin e trekëndëshit me brinjë a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm.

Zgjidhje : P = 15 + 9 + 8

P = 32

@ * D 2. Njehëso syprinën e trekëndëshit me brinjë a = 10 cm dhe lartësi përkatëse ha = 6 cm.

Zgjidhje : S =a * ha

2

S =10 * 6

2

S =60

2

S = 30 cm2

@ * D 3. Si është lidhja midis perimetrave të dy

trekëndëshave të ngjajshëm me koeficientin e ngjajshmërisë?

Zgjidhje : k =PDABC

PDA1 B1 C1

osea

a1

=b

b1

=c

c1

= k =PDABC

PDA1 B1 C1

@ ** D 4. Brinjët e trekëndëshit DABC janë a = 6 cm,

b = 8 cm dhe c = 12 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit DA1 B1 C1

që është i ngjajshëm me të parin dhe tek i cili brinja më e vogël është a1 = 3 cm.

Zgjidhje : caktojmë perimetrin e trekëndëshit të parë

PDABC = 6 + 8 + 12 = 26 cm

caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k

k =a

a1

=b

b1

=c

c1

k =6

3=

8

b1

=12

c1

dmth k =6

3=

2

1

zbatojmë lidhjen midis perimetrit dhe k

k =PDABC

PDA1 B1 C1

2

1=

26

PDA1 B1 C1

2 * PDA1 B1 C1 = 1 * 26

PDA1 B1 C1 =26

2PDA1 B1 C1 = 13 cm

@ * D 5. Brinjët e trekëndëshit DABC janë a = 6 cm, b =

15 cm dhe c = 18 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit DA1 B1 C1 të ngjajshëm me të parin nëse k =1

3


PDABC = 6 + 15 + 18 = 39 cm

zbatojmë lidhjen midis perimetrit dhe k

k =PDABC

PDA1 B1 C1

1

3=

39

PDA1 B1 C1

1 * PDA1 B1 C1 = 3 * 39

PDA1 B1 C1 = 117 cm

18 VIII TEMA 1.nb

@ * D 6. Si është lidhja midi lartësive, përgjysmoreve të këndit,

dhe medianave te dy trekëndëshave të ngjajshëm.

Zgjidhje : k =h

h1

=V

V1

=m

m1

ku h - lartësia,

V - përgjysmore e këndit, m - mediana

ose k =a

a1

=b

b1

=c

c1

=a + b + c

a1 + b1 + c1

=PDABC

PDA1 B1 C1

=h

h1

=V

V1

=m

m1

@ ** D 7. Perimetrat e dy trekëndëshave të ngjajshëm janë 16 cm dhe 24 cm,

kurse njëra lartësi e trekëndëshit të parë është 9 cm.

Cakto lartësinë përgjegjëse të trekëndëshit të dytë.

Zgjidhje : Nga perimetrat caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k

k =PDABC

PDA1 B1 C1

k =16

24=

2

3zbatojmë lidhjen midis k dhe lartësive

k =h

h1

2

3=

9

h1

2 * h1 = 3 * 9

h1 =27

2h1 = 13.5 cm

@ * D 8. Si është lidhja midis syprinave të dy

trekëndëshave të ngjajshëm me koeficientin e ngjajshmërisë?

Zgjidhje : k2=

SDABC

SDA1 B1 C1

osea2

a21

=b2

b21

=c2

c21

= k2=

SDABC

SDA1 B1 C1

@ ** *D 9. Syprinat e dy trekëndëshave të ngjajshëm ABC dhe A1 B1 C1 janë 49 cm2 dhe 36 cm2,

kurse një brinjë e trekëndëshit të parë është a = 7 cm.

Cakto brinjën përgjegjëse të

trekëndëshit tjetër. Cakto lartësitë përgjegjëse h dhe h1.

VIII TEMA 1.nb 19

Zgjidhje : cakto lartësinë h për trekëndëshin e parë

S =a * h

2

49 =7 * h

27 * h = 2 * 49

h =98

7h = 14

cakto koeficientin e ngjajshmërisë k nga lidhja e syprinave

k2=

SDABC

SDA1 B1 C1

k2=

49

36

k =49

36

k =7

6përdore koeficientin e ngjajshmërisë k të caktosh brinjën përgjegjëse

k =a

a1

7

6=

7

a1

® a1 = 6

përdore koeficientin e ngjajshmërisë k të caktosh lartësinë përgjegjëse

k =h

h1

7

6=

14

h1

7 * h1 = 6 * 14

h1 =84

7h1 = 12 cm

@ ** D 10. Brinjët e trekëndëshit ABC janë a = 8, b = 6 dhe c = 4.

Perimetri i trekëndëshit tjetër 1

B1 C1 i cili është i ngjajshëm me të parin është 45 cm.

Cakto brinjët e trekëndëshit të parë.

20 VIII TEMA 1.nb


PDABC = 8 + 6 + 4

PDABC = 18 cm

caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k nga lidhja e perimetrave

k =PDABC

PDA1 B1 C1

k =18

45=

2

5caktojmë brinjët tjera nga lidhja e k me brinjët

k =a

a1

=b

b1

=c

c1

2

5=

8

a1

=6

b1

=4

c1

2

5=

8

a1

2

5=

6

b1

2

5=

4

c1

2 * a1 = 5 * 8 2 * b1 = 5 * 6 2 * c1 = 4 * 5

a1 =40

2b1 =

30

2c1 =

20

2a1 = 20 cm b1 = 15 cm c1 = 10 cm

@ * D 11. Ara në formë të trekëndëshit është vizatuar në raport 1 : 200. Cili është

raporti ndërmjet syprinës së trekëndëshit nga vizatimi dhe syprinës së arës.

Zgjidhje : e dimë se k =1

200zbatojmë lidhjen midis koeficientit të ngjajshmërisë k dhe syprinave

k2=

SDABC

SDA1 B1 C1

1

200

2

=SDABC

SDA1 B1 C1

1

40 000=

SDABC

SDA1 B1 C1

@ ** D 12. Syprinat e dy trekëndëshave të ngjashëm janë në raport 9 :

25. Cakto koeficientin e ngjashmërisë të atyre trekëndshave.

Zgjidhje : e dimë seSDABC

SDA1 B1 C1

=9

25

zbatojmë lidhjen mdis koeficientit të ngjajshmërisë k dhe syprinave

k2=

SDABC

SDA1 B1 C1

k2=

9

25

k =9

25

k =3

5

VIII TEMA 1.nb 21

[x] Ngjajshmëria te trekëndëshi kënddrejt.

@ * D 1. Për trekëndëshin kënddrejt të dhënë me lartësi të lëshuar nga këndi i drejtë

trego kush është projeksioni i katetit x, kush është projeksioni i katetit y.

Zgjidhje : projeksion i katetit x është n

projeksion i katetit y është m

@ * D 2. Për trekëndëshin kënddrejt të dhënë me lartësi të lëshuar nga këndi i drejtë

trego kush është projeksioni i katetit a, kush është projeksioni i katetit b.

Zgjidhje : projeksion i katetit a është p

projeksion i katetit b është q

@ * D 3. Çka thonë teoremat e Euklidit për trekëndëshin këndrejtë

tek i cili janë dhënë projeksionet e kateteve p dhe q në hipotenuzë?

Zgjidhje : Lartësia është mesi gjeometrik i projeksioneve të kateteve p dhe

h = p * q oseh

p=

q

h

Kateti është mesi gjeometrik i projeksionit të tijë me hipotenuzën.

a = p * c osea

p=

c

a

b = q * c oseb

q=

c

b

@ ** D 4. Te DABC kënddrejt me katete a = 12 dhe b = 5 dhe hipotenuzë c = 13,

cakto proeksionet e kateteve a dhe b mbi hipotenuzë c.

Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit

a = p * c b = q * c

12 = p * 13 5 = q * 13

122= p * 13 52

= q * 13

144 = p * 13 25 = q * 13

144

13= p

25

13= q

@ ** D 5. Cakto projeksionin p, në qoftë se projeksioni q = 4 dhe hipotenuza është h = 6.


h = p * q

6 = p * 4

62= p * 4

36 = p * 4

36

4= p

9 = p

22 VIII TEMA 1.nb

@ ** D 6. Në qoftë se hipotenuza c = 12 dhe projeksioni p = 3, sa është kateti a?


a = p * c

a = 3 * 12

a = 36

a = 6

@ ** D 7. Në qoftë se kateti b = 13, sa është prodhimi i hipotenuzës c me katetin q?


b = q * c

13 = q * c

132= q * c

169 = q * c

@ ** D 8. Në qoftë se projeksioni q = 2 dhe projeksioni p = 8, sa është lartësia h?


h = p * q

h = 8 * 2

h = 16

h = 4

@ ** *D 9. Në bazë të vizatimit plotëso antarët që mungojnë :

aL m

�

=�

n

bL �

x=

x

m + n

cL x * y = Hm + nL * �

dL m + n

y=

y

�

Zgjidhje : m është projeksion i katetit y

n është projeksion i katetit x

m + n është hipotenuza

z është lartësia

zbatojmë teoremat e Euklidit

aL m

�

=�

nnga shumëzimi i kryqëzuar,

mesi gjeometrik i projeksioneve m dhe n është lartësia z

m

z=

z

n® z = m * n

bL �

x=

x

m + nnga shumëzimi i kryqëzuar,

mesi gjeometrik i katetit x është prodhimi i hipotenuzës m + n dhe projeksionit n

VIII TEMA 1.nb 23

n

x=

x

m + n® x = n * Hm + nL

dL m + n

y=

y

�

nga shumëzimi i kryqëzuar,

mesi gjeometrik i katetit y është prodhimi i hipotenuzës m + n dhe projeksionit m

m + n

y=

y

m® y = m * Hm + nL

** * cL x * y = Hm + nL * � shumëzojmë formulat për x dhe y nga detyrat bL dhe dLx * y = n * Hm + nL * m * Hm + nLx * y = n * m * Hm + nL2

x * y = Hm + nL * n * m nga detyra aN e dimë se z = m * n atëherë

x * y = Hm + nL * z

@ ** *D 10. Nëse këndi AMB është i drejtë

njehëso syprinën e pjesës së hijëzuar nëse CM = 9 cm dhe DM = 16

Zgjidhje : tërheqim lartësinë e trekëndëshit ABM deri tek pika H

AH = DM = 16

BH = CM = 16

zbatojmë teoremat e Euklidit të gjejmë lartësinë MH

AH është projeksion i katetit AM

BH është projeksion i katetit BM

h = 16 * 9

h = 4 * 3

h = 12

caktojmë syprinën e trekëndëshit ABM

SD ABM =AB * h

2

SD ABM =25 * 12

2

SD ABM =300

2

SD ABM = 150 cm2

caktojmë katetitin BM me teoremën e Euklidit

BM = 9 * H9 + 16LBM = 9 * 25

BM = 3 * 5

BM = 15

24 VIII TEMA 1.nb

zbatojmë teoremën e Pitagorës te trekëndëshiBMC të gjejmë katetin BC

BM2= CM2

+ BC2

152= 92

+ BC2

225 = 81 + BC2

225 - 81 = BC2

144 = BC

12 = BC

caktojmë syprinën e drejtëkëndëshit ABCD

SABCD = AB * BC

SABCD = 25 * 12

SABCD = 300 cm2

syprina e pjesës së hijëzuar është

dallimi midis syprinës së drejtëkëndëshit ABCD dhe trekëndëshit ABM

SABCD - SD ABM = 300 - 150 = 150 cm2

[xi] Teorema e Pitagorës.

@ * D 1. Si thotë teorema e Pitagorës?

Zgjidhje : Syprina e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzën e trekëndëshit

kënddrejtë është e barabartë me shumën e syprinave të katrorëve të ndërtuara mbi katete.

Sc = Sa + Sb ose c2= a2

+ b2

@ * D 2. Cakto hipotenuzën c të trekëndëshit kënddrejt me katete a = 15 dhe b = 20.

Zgjidhje : zbato teoremën e Pitagorës

c2= a2

+ b2

c2= 152

+ 202

c2= 225 + 400

c = 625

c = 25

@ * D 3. Për trekëndëshin kënddrejt nëse hipotenuza është c =

29 dhe njëri katet është a = 20 cm. Cakto katetin tjetër.


c2= a2

+ b2

292= 202

+ b2

841 = 400 + b2

841 - 400 = b2

441 = b

21 = b

@ * D 4. Provo nëse trekëndëshi i dhënë është i drejtë :

aL a = 7, b = 24, c = 25;

bL a = 8, b = 10, c = 15.


aL c2= a2

+ b2

252= 72

+ 242

625 = 49 + 576

625 = 625 PO! është kënddrejt!

VIII TEMA 1.nb 25

bL c2= a2

+ b2

152= 82

+ 102

225 = 64 + 100

225 ¹ 164 JO! Nuk është kënddrejt!

@ ** D 5. Cakto diagonalen e drejtëkëndëshit me brinjë a = 6 dm dhe b = 11 cm.

Zgjidhje : diagonalja drejtëkëndëshin e ndan në dy trekëndësha kënddrejt

zbatojmë teoremën e pitagorës

d2= a2

+ b2

d2= 602

+ 112

d2= 3600 + 121

d = 3721

d = 61 cm

@ ** *D 6. Njehëso lartësinë e trekëndëshit barakrahës me bazë a = 18 cm, dhe krah b = 41 cm.

Zgjidhje : lartësia bazën a e ndan në dy pjesë të barabarta nga 9 cm,

lartësia trekëndëshin ABC e ndan në dy trekëndësha kënddrejt me hipotenuzë krahun b

zbatojmë teoremën e Pitagorës

b2= h2

+ K a

2O2

412= h2

+18

2

2

1681 = h2+ 92

1681 - 81 = h2

1600 = h

40 = h

[xii] Detyra me zbatimin e teoremës së Pitagorës.

@ ** D 1. Njehëso lartësinë e trapezit barakrahës me baza a = 16 cm,

b = 30 cm, dhe me krah c = 25 cm.

26 VIII TEMA 1.nb

Zgjidhje :

lartësitë e trapezit formojnë dy trekëndësha kënddrejt të puthitshëm me hipotenuzë krahun c

kateti i këtyre trekëndëshave

këndrejt është gjysma e ndryshimit të bazave a dhe b


c2= h2

+a - b

2

2

252= h2

+30 - 16

2

2

625 = h2+

14

2

2

625 - 49 = h

576 = h

24 = h

@ ** D 2. Cakto perimetrin e rombit me diagonale AC = 70 dhe BD = 24.

Zgjidhje : diagonalet në pikëprerjen e tyre formojnë kënd të drejtë,

dmth katër trekëndësha kënddrejt të puthitshëm me hipotenuzë brinjën a të rombit

diagonalet gjithashtu përgjysmohet në pikëprerjen e tyre


a2=

d1

2

2

+d2

2

2

a2=

70

2

2

+24

2

2

a2= 352

+ 122

a = 1225 + 144

a = 1369

a = 37

caktojmë perimetrin e rombit

P = 4 * a

P = 4 * 37

P = 148 cm

@ ** D 3. Shkalla me gjatësi 7.4 metra është mbështetur në murë ashtu që skaji i

poshtëm i shkallës është larguar prej muri 2.4 metra. Cakto gjatësinë e shkallës.

Zgjidhje :

shkalla me murin formon trekëndësh kënddrejt me hipotenuzë gjatësinë e shkallës

7.42= x2

+ 2.42

54.76 = x2+ 5.76

54.76 - 5.76 = x

49 = x

7 = x

VIII TEMA 1.nb 27

[xiii] Popullimi. Mostra

@ * D 1. Në një fabrikë çokollatash ka të punësuar një degustator. Detyra

e tij është ti provon çokollatat dhe ta vlerëson kualitetin e tyre.

Çka është popullimi? Çka është mostra?

Zgjidhje : popullimi në këtë rast janë krejtë çokollatat e fabrikës

mostra është pjesa e zgjedhur e çokollatave

@ * D 2. Pse është më mirë të merret mostër e jo krejt popullimi në hulumtimet e dhëna :

aL kualiteti i lëngjeve në ndonjë ndërrmarje

bL numri mesatar i librave të lexuara nga çdo banor i republikës së Maqedonise

cL emisioni më i shikuar në qytetin e Strugës

Zgjidhje : në të tre rastet nëse si popullat merren

krejt elementet Hkrejt lëngjet, banorët e R.M, banorët e StrugësLdo të kushtojë shumë koh, mjete finansiare,

dhe resurse njerzore për kryerjen e hulumtimit.

@ * D 3. Si duhet të zgjidhet mostra për një hulumtim.

Zgjidhje : në mënyrë të rastësishme,

ashtu që çdo element i popullimit të ketë shansa të njëjta për të qënë pjesë e mostrës.

28 VIII TEMA 1.nb

BUJAR MAMUDI

LËNDA : MATEMATIKËKLASA : VIIITEMA : II - BARAZIMI, JOBARAZIMI, FUNKSIONI


[i] Barazia, barazimi, identiteti.

@ * D 1. Çka është dallimi midis barazisë dhe barazimit?

Përgjigje : Barazi fitohet kur shprehje numerike lidhuren me shenjën "=".

shprehja 1 = shprehja 2

2 + 5 * 3 = -4 * 6 + 7

Barazim është thjesht barazi me ndryshore.

2 + x = 4 * 3 - 2

@ * D 2. Shkruaj barazi me shprehjen 4 x2-

4 x në anën e majtë dhe shprehjen x - 6 në anën e djathtë.

Përgjigje : 4 x2- 4 x = x - 6

@ ** D 3. Shkruaj saktësishtë barazi ku ana e majtë është shprehja 3 + 2 * 7.

Përgjigje : 3 + 2 * 7 = ___

3 + 2 * 7 = 3 + 14

3 + 2 * 7 = 17

@ * D 4. Çka quhet identitet?

Përgjigje : Barazimi që është i saktë për çdo vlerë të bashkësisë së përkufizimit D.

@ ** D 5. Provo a është identitet barazimi i dhënë 3 Hx + 2L = 3 x + 6

Përgjigje : krejmë shumëzimin tek ana e majtë Hvetinë distributiveL3 Hx + 2L = 3 x + 6

3 * x + 3 * 2 = 3 x + 6

3 x + 6 = 3 x + 6

0 = 0

ana e majtë dhe e djathtë është shprehja e njëjtë,

për çdo vlerë që merr ndryshorja x,

përher vlera e shprehjeve tek të dy anët do të jetë e njëjtë

dmth ky barazim është identitet

@ ** D 6. Cakto nëse barazimi i dhënë është identitet : aL x + 5 = 5 + x bL Hx - 1L Hx + 1L =

x2- 1 cM 2 x - 3 = x - 1

Përgjigje : aL x + 5 = 5 + x PO! ana e majtë është e njëjtë me anën e djathtë

0 = 0

bL Hx - 1L Hx + 1L = x2- 1 kryejmë shumëzimin tek ana e majtë

x * x - 1 * x + 1 * x - 1 * 1 = x2- 1

x2- x + x - 1 = x2

- 1

x2- 1 = x2

- 1 PO! ana e majtë është e njëjtë me anën e djathtë

0 = 0

cL 2 x - 3 = x - 1 JO! ana e majtë ndryshon nga ana e djathtë

2 x - x = -1 + 3

x = 2

@ * D 7. Çka quhet barazim kundërthënës ose i pamundshëm?

Përgjigje :

Barazimi që nuk kalon në barazi të sakt për asnjë vlerë të bashkësisë të përkufizimit D.

@ ** D 8. Cakto cili prej këtyre barazimeve është kundërthënës : aL 2 x - 1 = x + 2 bL 3 - x =

5 - x cL x +1

2= x -

1

2

Përgjigje : aL 2 x - 1 = x + 2

2 x - x = 2 + 1

x = 3 JO!

bL 3 - x = 5 - x

-x + x = 5 - 3

0 ¹ 2 PO! sepse nuk është e saktë

cL x +1

2= x -

1

2

x - x = -1

2-

1

2

0 = -2

20 ¹ -1 PO! sepse nuk është e saktë

@ * D 9. Shprehe vetinë komutative e shumës si barazim.

Përgjigje : nëse antarëve ua ndrrojmë vendet, rezultati nuk ndryshon

x + 5 = 5 + x

@ * D 10. Shprehe vetinë asociative të shumës si barazim.

Përgjigje : nëse antarët i grupojmë, rezultati nuk ndryshon

Hx + 5L + 2 = x + H5 + 2L@ * D 11. Shprehe vetinë distributive si barazim.

Përgjigje : shumëzuesin përpara kllapave mund ta shpërndajmë brenda kllapave

2 * Hx + 5L = 2 * x + 2 * 5

[ii] Llojet e barazimeve.

@ * D 1. Si dallohen barazimet sipas llojit të panjohurave?

Përgjigje : Barazime me një HllojëL të panjohur P.SH. 2 x + 3 = 5 + x

Barazime me dy HllojëL të panjohura P.SH. 2 x + 3 y = 5 y + x

Barazime me tre HllojëL të panjohura P.SH. 2 x + 3 y = 5 z + x

@ * D 2. Si dallohen barazimet sipas shkallës të panjohurës?

Përgjigje : Barazime të shkallës së parë HlinearL P.SH. 2 + 4 x = 8

Barazime të shkallës së dytë HkatrorL P.SH. 2 + 4 x2= 8 ose 2 + xy = 8

Barazime të shkallës së tretë HkubikL P.SH. 2 + 4 x3= 8 ose 2 + x2 z = 8 ose 2 + xyz = 8

@ ** D 3. I cilit llojë është barazimi 5 x - xy = 2 x - 3

Përgjigje : është barazim me dy ndryshore i shkallës së dytë HkatrorL@ ** D 4. I cilit llojë është barazimi 3 x - 2 = 5 + x

Përgjigje : është barazim me një ndryshore i shkallës së parë HlinearL

[iii] Zgjidhja e barazimit. Barazimet ekuivalente.

@ * D 1. Cakto të gjitha zgjidhjet e barazimit 12 - 2 x = x - 3 nëse x Î 83, 5, 7<

2 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : provojmë secilën nga vlerat e x

x = 3

12 - 2 x = x - 3

12 - 2 * 3 = 3 - 3

12 - 6 = 0

6 ¹ 0 JO!

x = 5

12 - 2 x = x - 3

12 - 2 * 5 = 5 - 3

12 - 10 = 2

2 = 2 PO!

x = 7

12 - 2 x = x - 3

12 - 2 * 7 = 7 - 3

12 - 14 = 4

-2 = 4 JO!

@ ** D 2. Cakto të gjitha zgjidhjet e barazimit x2+ 6 = 5 x nëse x Î 80, 1, 2, 3<

Përgjigje : provojmë secilën nga vlerat e x

x = 0

x2+ 6 = 5 x

02+ 6 = 5 * 0

6 ¹ 0 JO!

x = 1

x2+ 6 = 5 x

12+ 6 = 5 * 1

1 + 6 = 5

7 ¹ 5 JO!

x = 2

x2+ 6 = 5 x

22+ 6 = 5 * 2

4 + 6 = 10

10 = 10 PO!

x = 3

x2+ 6 = 5 x

32+ 6 = 5 * 3

9 + 6 = 15

15 = 15 PO!

@ * D 3. Çka quhen barazime ekuivalente?

Përgjigje :

Dy ose më shumë barazime që kanë bashkësinë e zgjedhjeve të njëjtë quhen ekuivalente.

@ ** D 4. Cilët prej këtyre barazimeve : aL 2 x + 1 = 3 x - 1 bL x + 5 =

3 x + 1 me barazimin 3 x + 2 = 4 x.

Përgjigje : Caktojmë bashkësinë e zgjedhjeve për barazimin 3 x + 2 = 4 x

3 x + 2 = 4 x

2 = 4 x - 3 x

2 = x

Caktojmë bashkësinë e zgjidhjeve për barazimet tjera

VIII TEMA 2.nb 3

aL 2 x + 1 = 3 x - 1

1 + 1 = 3 x - 2 x

2 = x PO! është ekuivalent se kanë Hbashkësinë eL zgjidhjen e njëjtë

bL x + 5 = 3 x + 1

5 - 1 = 3 x - x

4 = 2 x

4

2= x

2 = x PO! është ekuivalent se kanë Hbashkësinë eL zgjidhjen e njëjtë

@ ** D 5. Për cilën vlerë të parametrit a, numri 3 është zgjidhje e barazimit 2 x - 1 = a

Përgjigje : E dimë se zgjidhja është 3 dmth x = 3

2 x - 1 = a

2 * 3 - 1 = a

6 - 1 = a

5 = a

[iv] Teoremat për barazimet ekuivalente. - 1

@ * D 1. Çka thotë Teorema 1 për barazimet ekuivalente?

Përgjigje : Nëse tek dy anët a barazimit shtojmë numrin � shprehjen e njëjtë,

vlera e barazimit nuk ndryshon.

@ * D 2. Çka thotë Rrejdhimi 1 nga Teorema 1 për barazimet ekuivalente?

Përgjigje : Nëse një antar kalon tek ana tjetër e barazimit, ndryshon shenjë.


Përgjigje : Nëse tek dy anët a barazimit ka antarë të njëjtë, ato mund ti thjeshtojmë.

@ ** D 4. Zgjidhe barazimin 7 x - 3 + 5 x =

5 + 2 x - 3 duke zbatuar teoremën 1 dhe rrejdhimet e saja

Përgjigje : 7 x - 3 + 5 x = 5 + 2 x - 3 �� Rr2 tek dy anët ka - 3 ato i thjeshtojmë

7 x + 5 x = 5 + 2 x �� Rr1 ndryshoren 2 x e hedhim tek ana e majtë

7 x + 5 x - 2 x = 5

10 x = 5 �� pjestojmë të dy anët me 10

x =5

10=

1

2

@ ** D 5. Zgjidhe barazimin 3 x - 2 + x = 4 + x - 2 duke zbatuar teoremën 1 dhe rrejdhimet e saja

Përgjigje : 3 x - 2 + x = 4 + x - 2 �� Rr2 tek dy anët ka - 2 ato i thjeshtojmë

3 x + x = 4 + x �� Rr2 tek dy anët ka ndryshore x ato i thjeshtojmë


x =4

3

@ * D 6. Zgjidhe barazimin 3 - 7 x = 2 - 8 x

Përgjigje : 3 - 7 x = 2 - 8 x �� Rr1 ndryshoret - 8 x i hedhim tek ana e majtë

3 - 7 x + 8 x = 2 �� Rr1 numrin 3 e hedhim tek ana e djathtë

-7 x + 8 x = 2 - 3

x = -1

4 VIII TEMA 2.nb

[v] Teoremat për barazimet ekuivalente. - 2

@ * D 1. Çka thotë Teorema 2 për barazimet ekuivalente?

Përgjigje : Nëse barazimi nga të dy anët shumëzohet

ose pjestohet me numër � shprehje të njëjtë, vlera nuk i ndryshon.


Përgjigje : Nëse barazimi shumëzohet me numrin - 1,

fitohet barazimi i kundërt Hshenja të kundërtaL, vlera nuk i ndryshon.


Përgjigje : Nëse barazimi ka thyesa,

atëherë lirohemi prej tyre duke shumëzuar me SH.V.P. e emëruesave.

@ * D 4. Zgjidhe barazimin 5 x - 3 = 3 x - 1

Përgjigje : 5 x - 3 = 3 x - 1 �� hedhim numrin - 3 tek ana e djathtë

5 x = 3 x - 1 + 3 �� hedhim ndrshoren 3 x tek ana e majtë

5 x - 3 x = -1 + 3

2 x = 2 �� T2 pjestojmë të dy anët me 2

x =2

2x = 1

@ ** D 5. Zgjidhe barazimin3 x - 1

4-

x + 2

3=

x + 2

6

Përgjigje :3 x - 1

4-

x + 2

3=

x + 2

6�� Rr 2 shumëzojmë të dy anët me SHVP H4, 3, 6L = 12

12 *3 x - 1

4- 12 *

x + 2

3= 12 *

x + 2

6�� kryejmë thjeshtimet

3 * H3 x - 1L - 4 * Hx + 2L = 2 * Hx + 2L �� zbatojmë vetitë distributive

9 x - 3 - 4 x - 8 = 2 x + 4

5 x - 11 = 2 x + 4 �� hedhim numrin - 11 tek ana e djathtë

5 x = 2 x + 4 + 11 �� hedhim ndryshoren 2 x tek ana e majtë

5 x - 2 x = 4 + 11


x =15

3x = 5

@ ** D 6. Zgjidhe baraziminx + 1

2+

x + 2

5=

x + 3

10

VIII TEMA 2.nb 5

Përgjigje :x + 1

2+

x + 2

5=

x + 3

10�� Rr 2 shumëzojmë të dy anët me SHVP H2, 5, 10L = 10

10 *x + 1

2+ 10 *

x + 2

5= 10 *

x + 3


5 * Hx + 1L + 2 * Hx + 2L = 1 * Hx + 3L �� zbatojmë vetitë distributive

5 x + 5 + 2 x + 4 = x + 3

7 x + 9 = x + 3 �� hedhim numrin 9 tek ana e djathtë

7 x = x + 3 - 9 �� hedhim ndryshoren x tek ana e majtë

7 x - x = 3 - 9

6 x = -6 �� pjestojmë të dy anët me 6

x =-6

6x = -1

[vi] Forma e përgjithshme e barazimit linear me një të panjohur.

@ * D 1. Si është forma e përgjithshme e barazimit linear me një të panjohur?

Përgjigje : ax + b = 0

@ * D 2. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi ax + b = 0?

Përgjigje : koeficient është a, antari i lirë është b

@ * D 3. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi 5 x + 7 = 0?

Përgjigje : koeficient është 5, antari i lirë është 7

@ ** D 4. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi 4 x - 5 = 2 x - 1?

Përgjigje : barazimin duhet ta shëndrrojmë në formë të përgjitshme

4 x - 5 = 2 x - 1 �� i hedhim antarët 2 x dhe - 1 tek ana e majtë

4 x - 5 - 2 x + 1 = 0

2 x - 4 = 0

koeficient është 2, antari i lirë është - 4

@ ** D 5. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi 2 x - 3 = x - 1?

Përgjigje : barazimin duhet ta shëndrrojmë në formë të përgjitshme

2 x - 3 = x - 1 �� i hedhim antarët x dhe - 1 tek ana e majtë

2 x - 3 - x + 1 = 0

x - 2 = 0

koeficient është 1, antari i lirë është - 2

@ ** *D 6. Si nvaret zgjidhja e barazimit linear ax + b = 0 me koeficientin dhe antarin e lirë?

Përgjigje : aL nëse a ¹ 0 , atëherë barazimi ka 1 zgjidhje dhe ajo është x =-b

a

2 x + 4 = 0 ® x =-b

a=

-4

2= -2

bL nëse a = 0 dhe b ¹ 0, atëhere barazimi nuk ka zgjidhje

cL nëse a = 0 dhe b = 0 , atëherë barazimi ka pafund zgjedhje

@ ** D 7. Zgjidhe barazimin 5 x - 1 - x = x + 4 - 2 x

6 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : 5 x - 1 - x = x + 4 - 2 x

4 x - 1 = 4 - x �� hedhim antarët 4 dhe - x tek ana e majtë

4 x - 1 - 4 + x = 0

5 x - 5 = 0 �� a ¹ 0, atëhere ka një zgjidhje x =-b

a

x =-H-5L

5

x =+5

5x = 1

@ ** D 8. Cili prej këtyre barazimeve është i pamundshëm : aL 3 x = 0 bL 5 x = -1 cL 0 * x = 4?

Përgjigje : barazimi i pamundshëm nuk ka zgjidhje, atëherë kur a = 0 dhe b ¹ 0

aL 3 x = 0 �� a = 3 b = 0 ka vetëm një zgjidhje x =-b

a

x =-0

3= 0

bL 5 x = -1 �� hedhim antarin - 1 në anën e majtë

5 x + 1 = 0 �� a = 5 b = 1 ka vetëm një zgjidhje x =-b

a

x =-1

5

cL 0 * x = 4 �� hedhim numrin 4 tek ana e majtë

0 * x - 4 = 0 �� a = 0 b = -4 ska zgjidhje

[vii] Zbatimi i barazimit linear me një të panjohur.

@ ** *D 1. Nëna dhe djali së bashku kanë 32 vjet.Nëna është

për 20 vjet më e vjetër se djali. Sa vjet ka nëna, dhe sa djali?

Përgjigje : Vitet e nënës le të shprehen me x, vitet e djalit le të shprehen me y

x + y = 32 �� vitet e nënës + vitet e djalit = 32

x = 20 + y �� nëna = 20 + vitet e djalit

H20 + yL + y = 32 �� zëvëndësojmë x tek rreshti i parë

20 + 2 y = 32 �� hedhim 20 tek ana e djathtë

2 y = 32 - 20

2 y = 12 �� pjestojmë dy anët me 2

y =12

2= 6

dmth djali ka 6 vjetë atëhere x = 20 + y x = 20 + 6 x = 26 nëna ka 26 vjetë

@ ** *D 2. Nëna tani ka 36 vjet,

kurse vajza e saj 10 vjet.Pas sa vjet nëna do të jetë tre herë më e vjetër se vajza?

VIII TEMA 2.nb 7

Përgjigje : koha e njëjtë kalon edhe për nënën edhe për vajzën dmth

36 + x 10 + x ��vitet e nënës + koha që kalon vitet e vajzës + koha që kalon

36 + x = 3 * H10 + xL �� nëna = 3 * sa vitet e vajzës

36 + x = 30 + 3 x �� hedhim 3 x tek ana e majtë

36 + x - 3 x = 30 �� hedhim 36 tek ana e djathtë

x - 3 x = 30 - 36

-2 x = -6 �� pjestojmë të dy anët me - 2

x =-6

-2= 3

Prova : 36 + 3 = 3 * H10 + 3L39 = 3 * 13

39 = 39

@ ** *D 3. Në provimin kontrollues me shkrim arsimtari u ka dhënë

nxënësve 15 detyra. Për çdo detyrë të zgjidhur saktë nxënësi ka fituar 5 pikë,

kurse për detyrën e zgjidhur gabimisht ka humbur 2 pikë. Sa

detyra ka zgjidhur nxënësi i cili në fund ka fituar 54 pikë?

Përgjigje : Gjithësej 15 detyra 54 pikë

Detyra të zgjedhura sakt : x

Detyra të zgjedhura gabim : 15 - x ��gjitë detyrat - detyrat e zgjedhura sakt = detyrat gabim

5 * x - 2 H15 - xL = 54 �� detyrat e sakta vlersohen + 5 pikë,

detyrat gabim ndëshkohen - 2 pikë

5 x - 30 + 2 x = 54

7 x - 30 = 54

7 x = 54 + 30

7 x = 84

x =84

7

x = 12 dmth 12 detyra janë sakt atëherë 15 - 12 = 3 detyra gabim

Prova : 5 * 12 - 2 * 3 = 54

60 - 6 = 54

54 = 54

@ ** *D 4. Në një shitore ka 22 automobila dhe motoçikleta. Ato

gjithsej kanë 74 rrota. Sa automjete janë automobila, kurse sa motoçikleta?

8 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : Gjithësej 22 automjete 74 rrota

Automobila : x

Motoçikleta : 22 - x

4 * x + 2 * H22 - xL = 74 �� automobili ka 4 rrota, motoçikleta ka 2 rrota

4 x + 44 - 2 x = 74

2 x + 44 = 74

2 x = 74 - 44

2 x = 30

x =30

2x = 15 dmth 15 automobila dhe 22 - 15 = 7 motoçikleta

Prova 4 * 15 + 2 * 7 = 74

60 + 14 = 74

74 = 74

@ ** *D 5. Shuma e dy numrave është 180. Numri i

parë është për 36 më i vogël se i dyti. Cilët janë ato numra?

Përgjigje : x + y = 180 �� numri i parë x, numri i dytë y

x + 36 = y �� numri i dytë y = 36 + x

x + Hx + 36L = 180 �� zëvëndësojmë y tek rreshti i parë

2 x + 36 = 180

2 x = 180 - 36

2 x = 144

x =144

2x = 72 atëherë y = 72 + 36 = 108

@ ** *D 6. Mentori ka 25 monedha prej 2 dhe 5 denarë ose

gjithsej 80 denarë.Sa monedha janë prej 2 denarë dhe sa prej 5 denarë?

Përgjigje : Gjithsej 25 monedha 80 denar

Monedha 2 denarë : x

Monedha 5 denarë : 25 - x

2 * x + 5 * H25 - xL = 80

2 x + 125 - 5 x = 80

-3 x + 125 = 80

-3 x = 80 - 125

-3 x = -45

x =-45

-3= 15 dmth 15 monedha nga 2 denarë dhe 25 - 15 = 10 monedha nga 5 denarë

Prova : 2 * 15 + 5 * 10 = 80

30 + 50 = 80

80 = 80

@ ** *D 7. Në një kafaz ka lepuj dhe fazanë. Ato së bashku

kanë 35 koka dhe 94 këmbë. Sa janë gjithsej lepuj dhe fazanë?

VIII TEMA 2.nb 9

Përgjigje : Gjithsej 35 koka 94 këmbë

Lepuj : x

Fazan : 35 - x

4 * x + 2 * H35 - xL = 94

4 x + 70 - 2 x = 94

2 x + 70 = 94

2 x = 94 - 70

2 x = 24

x = 12 dmth 12 lepuj dhe 35 - 12 = 23 fazanë

Prova : 4 * 12 + 2 * 23 = 94

48 + 46 = 94

94 = 94

@ ** *D 8. Një pishinë mbushet prej dy gypave. Nga gypi i parë pishina mbushet për 4 orë,

kurse nga i dyti për 6 orë. Për sa orë do të mbushet pishina e zbrazët,

në qoftë se në të njëkohësisht hapen të dy gypat?

Përgjigje :1

4x +

1

6x = 1

12 *1

4x + 12 *

1

6x = 12 * 1

3 x + 2 x = 12

5 x = 12

x =12

5= 2

2

5= 2 orë

2

5* 60 minuta = 2 orë 24 minuta

[viii] Koncepti për jobarazi. Jobarazim.

@ * D 1. Çka është dallimi midis jobarazisë dhe jobarazimit?

Përgjigje : Jobarazi formohet kur dy shprehje lidhen me shenjat "<",

">", "< ", ose ">" P.SH

5 + 2 * 4 > -3 * 2 + 7

Jobarazim është thjesht jobarazi me ndryshore

5 + 2 x < 3 x + 7

@ * D 2. Si dallohen jobarazimet?

Përgjigje : sipas shkallës dhe numrit të ndryshoreve

@ ** D 3. I cilit llojë është jobarazimi 5 x - 2 < x + 4

Përgjigje : jobarazim linear Hshkalla parëL me një ndryshore

@ ** D 4. I cilit llojë është jobarazimi x2 y - 5 > 2 x

Përgjigje : jobarazim kubik Hshkalla 3L me dy lloje të ndryshoreve

@ ** D 5. I cilit llojë është jobarazimi x2- 2 x < 6

Përgjigje : jobarazim katror Hshkalla 2L me një ndryshore

@ ** D 6. Për cilën vlerë të x Î 8-2, 0, 2< është e saktë jobarazimi x2- 2 x < x + 5

Përgjigje : Provojmë secilat nga vlerat e x

x = -2

x2- 2 x < x + 5

H-2L2- 2 * H-2L < -2 + 5

+4 + 4 < 3

+8 < 3 �� JO!

10 VIII TEMA 2.nb

x = 0

x2- 2 x < x + 5

H0L2- 2 * H0L < 0 + 5

0 - 0 < 5

0 < 5 �� PO!

x = 2

x2- 2 x < x + 5

H2L2- 2 * H2L < 2 + 5

+4 - 4 < 7

0 < 7 �� PO!

[ix] Zgjidhja e jobarazimit. Intervalet.

@ ** D 1. Për cilën vlerë të x Î 8-2, -1, 0, 1, 2< është e saktë jobarazimi 3 x + 1 > x - 1

Përgjigje : Provojmë secilat nga vlerat e x

x = -2

3 x + 1 > x - 1

3 * H-2L + 1 > -2 - 1

-6 + 1 > -3

-5 > -3 JO!

x = -1

3 x + 1 > x - 1

3 * H-1L + 1 > -1 - 1

-3 + 1 > -2

-2 > -2 JO!

x = 0

3 x + 1 > x - 1

3 * H0L + 1 > 0 - 1

0 + 1 > -1

1 > -1 PO!

x = 1

3 x + 1 > x - 1

3 * H1L + 1 > 1 - 1

3 + 1 > 0

4 > 0 PO!

x = 2

3 x + 1 > x - 1

3 * H2L + 1 > 2 - 1

6 + 1 > 1

7 > 1 PO!

@ * D 2. Si shënohet intervali i hapur për zgjidhjen e jobarazimit?

Përgjigje : Ha, bL H2, 11L = 82.000 ... 001, 3, 4, 5, ..., 8, 9, 10, 10.9999 ..<

@ * D 3. Si shënohet intervali i mbyllur për zgjidhjen e jobarazimit?

Përgjigje : @a, bD @2, 11D = 82, 3, 4 ... 10, 11<

VIII TEMA 2.nb 11

@ ** D 4. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit x < -3

Përgjigje : Intervali H-¥, -3L

@ ** D 5. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit x < -3

Përgjigje : Intervali H-¥, -3D

@ ** D 6. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit x > -1

Përgjigje : Intervali H-1, +¥L

@ ** D 7. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit x > -1

Përgjigje : Intervali @-1, +¥L

@ ** D 8. Cili prej këtyre jobarazimeve nuk ka zgjidhje : aL x > 0 bL 0 * x > -2 cL 0 * x <

-1 dL x < -5

Përgjigje : aL x > 0 ka zgjidhje, ato janë krejt numrat pozitiv racional Q+

bL 0 * x > -2

0 > -2 PO! Zgjidhje janë krejt numrat real R

cL 0 * x < -1

0 < -1 JO! Ska zgjidhje

dL x < -5 ka zgjidhje, krejt numrat negativ racional më të vegjël se - 5

[x] Teoremat për jobarazimet ekuivalente.

@ * D 1. Çka thotë Teorema 3 për jobarazimet ekuivalente?

Përgjigje : Nëse të dy anët e jobarazimit pjestohen me numër negativ,

atëherë ndryshohet shenja e krahasimit. P.SH.

-2 x < 8 �� pjestojmë të dy anët me numrin negativ - 2

x >8

-2�� ndërrojmë shenjën e krahasimit

x > -4

@ ** D 2. Zgjidhe jobarazimin 3 x - 1 < 2 x + 1

12 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : 3 x - 1 < 2 x + 1 �� hedhim numrin - 1 tek ana e djathtë

3 x < 2 x + 1 + 1 �� hedhim ndryshoren 2 x tek ana e majtë

3 x - 2 x < 1 + 1

x < 2 Zgjidhja është intervali H-¥, 2L

@ ** D 3. Zgjidhe jobarazimin 3 x - 5 < 4 x - 3

Përgjigje : 3 x - 5 < 4 x - 3 �� hedhim - 5 tek ana e djathtë

3 x < 4 x - 3 + 5 �� hedhim 4 x tek ana e majtë

3 x - 4 x < -3 + 5

-1 x < 2 �� pjestojmë të dy anët me numër negativ - 1

x >2

-1

x > -2 Zgjidhja është intervali @-2, +¥

@ ** *D 4. Zgjidhe jobarazimin3 x + 2

6<

x - 1

3- 1

Përgjigje :3 x + 2

6<

x - 1

3- 1 �� shumëzojmë me SHVP H6, 3L = 6

6 *3 x + 2

6< 6 *

x - 1

3- 6 * 1

1 * H3 x + 2L < 2 * Hx - 1L - 6

3 x + 2 < 2 x - 2 - 6

3 x + 2 < 2 x - 8

3 x < 2 x - 8 - 2

3 x - 2 x < -8 - 2

x < -10 Zgjidhje është intervali H-¥, -10L

@ ** *D 5. Zgjidhe jobaraziminx

2- 1 <

x

3+ 1

Përgjigje :x

2- 1 <

x

3+ 1 �� shumëzojmë me SHVP H2, 3L = 6

6 *x

2- 6 * 1 < 6 *

x

3+ 6 * 1

3 x - 6 < 2 x + 6

3 x < 2 x + 6 + 6

3 x - 2 x < 6 + 6

x < 12 Zgjidhje është intervali H-¥, -12L

VIII TEMA 2.nb 13

[xi] Zgjidhja e jobarazimeve lineare me një të panjohur.

@ ** D 1. Zgjidhe jobarazimin 4 x - 3 > 2 x + 1

Përgjigje : 4 x - 3 > 2 x + 1 �� hedhim - 3 tek ana e djathtë

4 x > 2 x + 1 + 3 �� hedhim 2 x tek ana e majtë

4 x - 2 x > 1 + 3

2 x > 4 �� pjestojmë dy anët me numër 2

x >4

2x > 2 Zgjidhje është intervali H2, +¥L

@ ** D 2. Zgjidhe jobarazimin 3 H2 x - 1L £ -H9 - 8 xLPërgjigje : 3 H2 x - 1L £ -H9 - 8 xL �� lirohemi prej kllapave

6 x - 3 < -9 + 8 x �� hedhim 8 x tek ana e majtë

6 x - 3 - 8 x < -9 �� hedhim - 3 tek ana e djathë

6 x - 8 x < -9 + 3

-2 x < -6 �� pjestojm me numër negativ - 2, ndrrohet shenja e krahasimit

x >-6

-2

x > 3 Zgjidhje është intervali @3, +¥

@ ** *D 3. Zgjidhe jobarazimin2 x - 1

3-

1

2<

x + 1

6

Përgjigje :2 x - 1

3-

1

2<

x + 1

6��

shumëzojmë të dy anët me SHVP H3, 2, 6L = 6

6 *2 x - 1

3- 6 *

1

2< 6 *

x + 1


2 * H2 x - 1L - 3 * H1L < 1 * Hx + 1L4 x - 2 - 3 < x + 1

4 x - 5 < x + 1 �� hedhim - 5 tek ana e djathtë

4 x < x + 1 + 5 �� hedhim x tek ana e majtë

4 x - x < 1 + 5

3 x < 6 �� pjestojmë të dy anët me 3

x <6

3x < 2 Zgjidhje është intervali H-¥, 2L

@ ** D 4. Për cila vlera të x shprehja 2 x - 4 është pozitive?

14 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : Të jetë pozitive do të thotë të jet më e madhë se zero > 0

shprehja > 0

2 x - 4 > 0

2 x > 4

x >4

2x > 2 Zgjidhje është intervali H2, +¥ L

@ ** *D 5. Për cila vlera të x shprehja9 - x

2-

x + 3

4është negative?

Përgjigje : Të jetë negative do të thotë të jet më e vogël se zero < 0

shprehja < 0

9 - x

2-

x + 3

4< 0 �� shumëzojmë të dy anët me SHVP H2, 4L = 4

4 *9 - x

2- 4 *

x + 3

4< 4 * 0 �� krejmë thjeshtimet

2 * H9 - xL - 1 * Hx + 3L < 0

18 - 2 x - 1 x - 3 < 0

15 - 3 x < 0 �� hedhim 15 tek ana e djathtë

-3 x < -15 �� pjestojmë të dy anët me numër negativ - 3,

ndrrohet ana e shenjës të krahasimit

x >-15

-3x > +5 Zgjidhje është intervali H5, +¥ L

[xii] Zgjidhja e sistemit të jobarazimeve lineare me një të panjohur.

@ * D 1. Formo sistem me jobarazimin 3 x + 1 > 2 x - 1 dhe 4 x - 1 < 3 x + 2.

Përgjigje : : 3 x + 1 > 2 x - 14 x - 1 < 3 x + 2

@ ** D 2. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve nga detyra 1

Përgjigje : : 3 x + 1 > 2 x - 14 x - 1 < 3 x + 2

® : 3 x - 2 x > -1 - 14 x - 3 x < 2 + 1

® : x > -2x < 3

Zgjidhje është intervali H-2, +3 L

VIII TEMA 2.nb 15

@ ** * D 3. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve :2 x+1

3- 1 >

x-16

3 x-14

+ 1 <x2

Përgjigje : :2 x+1

3- 1 >

x-16

3 x-14

+ 1 <x2

�� shumëzojmë të dy anët me SHVP H3, 6L = 6�� shumëzojmë të dy anët me SHVP H4, 2L = 4

® : 6 *2 x+1

3- 6 * 1 > 6 *

x-16

4 *3 x-1

4+ 4 * 1 < 4 *

x2

® : 2 * H2 x + 1L - 6 > 1 * Hx - 1L1 * H3 x - 1L + 4 < 2 * HxL

® : 4 x + 2 - 6 > x - 13 x - 1 + 4 < 2 x

® : 4 x - 4 > x - 13 x + 3 < 2 x

® : 4 x - x > -1 + 43 x - 2 x < -3

® : 3 x > 3x < -3

® : x > 1x < -3

Sistemi nuk ka zgjidhje

@ ** * D 4. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve :x+2

3- 1 < 0

x2

+x+1

4> 1

16 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : :x+2

3- 1 < 0

x2

+x+1

4> 1

® : 3 *x+2

3- 3 * 1 < 3 * 0

4 *x2

+ 4 *x+1

4> 4 * 1

® : 1 * Hx + 2L - 3 < 02 * HxL + 1 * Hx + 1L > 4

® : x + 2 - 3 < 02 x + x + 1 > 4

® : x - 1 < 03 x + 1 > 4

® : x < 13 x > 4 - 1

® : x < 13 x > 3

® : x < 1x > 1

Sistemi nuk ka zgjidhje

@ ** D 5. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve : 3 x - 2 < 2 x - 52 + x > 2 x + 3

Përgjigje : : 3 x - 2 < 2 x - 52 + x > 2 x + 3

® : 3 x - 2 x < -5 + 2x - 2 x > 3 - 2

® : x < -3-1 x > 1

® : x < -3x < -1

Zgjidhje është intervali H-¥, -3 L

[xiii] Funksioni linear.

@ * D 1. Cili përpjestim është dhënë me formulën y = 2 x

VIII TEMA 2.nb 17

Përgjigje : y = 2 x nëse x = 1 y = 2 * 1 = 2

nëse x = 2 y = 2 * 2 = 4

dmth nëse rritet x Hprej 1 në 2L rritet edhe y Hprej 2 në 4Latëherë ky është përpjestim � proporcion i drejtë

@ * D 2. Cili përpjestim është dhënë me formulën y =1

x

Përgjigje : y = 2 x nëse x = 1 y =1

1= 1

nëse x = 2 y =1

2= 0.5

dmth nëse rritet x Hprej 1 në 2L atëherë y zvogëlohet Hprej 1 në 0.5Latëherë ky është përpjestim � proporcion i zhdrejtë H jo i drejtëL

@ * D 3. Shkuraj formën e përgjithshme të

funksionit linear. Si quhen antarët e funksionit linear

Përgjigje : f HxL = kx + n ose f HxL = ax + b

x quhet argument

antari përpara argumentit Hk ose aL quhet koeficient

antari i lirë ësht n ose b

@ ** D 4. Shkruaj funksion për të cilin koeficienti është 7 kurse antari i lirë është - 3

Përgjigje : f HxL = kx + n

f HxL = 7 x - 3

@ ** D 5. Për funksionin f HxL = x - 2 cakto : aL f H-2L bL f H0L cL f H2LPërgjigje : aL f HxL = x - 2

f H-2L �� gjithandej ku ka x shkruajmë - 2

f H-2L = H-2L - 2

f H-2L = -4

bL f HxL = x - 2

f H0L �� gjithandej ku ka x shkruajmë 0

f H0L = 0 - 2

f H0L = -2

cL f HxL = x - 2

f H2L �� gjithandej ku ka x shkruajmë 2

f H2L = 2 - 2

f H2L = 0

@ ** D 6. Cakto zeron e funksionit y = -3 x + 6

Përgjigje : zero e funksionit do të thotë funksioni = 0

y = 0

y = -3 x + 6

0 = -3 x + 6

3 x = 6

x = 2 dmth kur x = 2 funksioni ka vlerë zero

@ ** D 7. Cakto zeron e funksionit f HxL = 5 x - 3

18 VIII TEMA 2.nb


f HxL = 0

f HxL = 5 x - 3

0 = 5 x - 3

3 = 5 x

3

5= x dmth kur x =

3

5funksioni ka vlerë zero

@ ** *D 8. Zero e funksionit y = kx + n është x = 2,

kurse n = -3. Cakto koeficientin përpara argumentit.


y = 0, x = 2, n = -3

y = kx + n

0 = k * 2 - 3

3 = 2 k

3

2= k

1.5 = k

[xiv] Paraqitja grafike e funksionit linear.

@ * D 1. Si quhet boshti Ox për sistemin kënddrejt kordinativ?

Përgjigje : Abshisa

@ * D 2. Si quhet boshti Oy për sistemin kënddrejt kordinativ?

Përgjigje : Ordinata

@ ** D 3. Paraqiti në sistem kënddrejt koordinativ pikat A H2, 3L ,

B H-2, 3L, C H-2, -1L, D H2, -3L dhe trego në cilin kuadrant gjenden.

Përgjigje :

@ ** D 4. Paraqite grafikisht funksionin y = 2 x

Përgjigje : zgjedhim disa numra për x

x = 0 x = 1

y = 2 x y = 2 x

y = 2 * 0 y = 2 * 1

y = 0 y = 2

pika A H0, 0L pika B H1, 2L

VIII TEMA 2.nb 19

@ ** D 5. A shtrihet pika A H1, -3L në grafin e funksionit f HxL = -3 x

Përgjigje : kordinatat e pikës A H1, -3L janë x = 1, y = -3

i provojmë kta numra tek funksioni

f HxL = -3 x

y = -3 x

-3 = -3 * 1

-3 = -3 PO!

@ ** D 6. A shtrihet pika B H2, 6L në grafin e funksionit f HxL = -3 x

Përgjigje : kordinatat e pikës B H2, 6L janë x = 2, y = 6


f HxL = -3 x

y = -3 x

6 = -3 * 2

6 ¹ -6 JO!

@ ** D 7. Si janë funksionet e grafeve y = 2 x + 5 dhe y = 2 x - 2

Përgjigje : kta dy funksione e kanë koeficientin e njëjtë k = 2, atëherë janë paralele

@ * D 8. Si janë funksionet e grafeve y = x + 5 dhe y = x


@ * D 9. Si janë funksionet e grafeve y = 3 x + 1 dhe y = 3 x


@ ** D 10. Ku e pret boshtin Oy HordinatënL funksioni y = 4 x + 5

Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë 5 dmth pika H0, 5L

20 VIII TEMA 2.nb

@ * D 11. Ku e pret boshtin Oy HordinatënL funksioni y = 7 x + 1

Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë 1 dmth pika H0, 1L@ ** D 12. Ku e pret boshtin Oy HordinatënL funksioni y = 5 x

Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë,

tek ky funksion antari i lirë është n = 0 , dmth pika H0, 0L@ ** D 13. Për cilën vlerë të x pika A Hx, 2L i takon grafikut të funksionit y = 3 x - 1

Përgjigje : kordinatat e pikës A Hx, 2L janë x = x, y = 2


y = 3 x - 1

2 = 3 x - 1

2 + 1 = 3 x

3 = 3 x

3

3= x

1 = x

@ ** D 14. Paraqite grafikisht funksionin y = 3 x - 2


x = 0 x = 1

y = 3 x - 2 y = 3 x - 2

y = 3 * 0 - 2 y = 3 * 1 - 2

y = 0 - 2 y = 3 - 2

y = -2 y = 1

pika A H0, -2L pika B H1, 1L

VIII TEMA 2.nb 21

@ ** D 15. Te funksioni y = kx - 2 cakto k ashtu që pika A H1, 0L ti takon grafikut të tijë.

Përgjigje : kordinatat e pikës A H1, 0L janë x = 1, y = 0


y = kx - 2

0 = k * 1 - 2

2 = k

[xv] Pozita reciproke e grafikëve të disa funksioneve linear.

@ * D 1. Si janë grafet e tre funksioneve : y = 2 x, y = 2 x + 3, y = 2 x - 1

Përgjigje : kta tre funksione kanë koeficientin e njëjtë k =

2 dmth grafet e tyre janë paralele

@ * D 2. Si janë grafet e tre funksioneve : y = -2 x + 3, y = x + 3, y = -x + 3

Përgjigje : kta tre funksione kanë antarin e lirë të njëjtë n = 3,

dmth të gjithë kta grafe e presin ordinatën tek pika H0, 3L

22 VIII TEMA 2.nb

@ * D 3. Paraqiti grafikisht funksionet y = 3, y = -2 dhe y = 1

Përgjigje : kto tre funksione kanë vetëm antarë të lirë

grafet e këtyre funksioneve janë paralele me boshtin Ox abshisën

[xvi] Vijimi i funksionit linear.

@ ** D 1. Paraqite me tabelë funksionin y = 4 x - 1 për x Î 80, 1, 2, 3<Përgjigje : Krijojmë tabelë me dy rreshta, i pari për vlerat e x, i dyti për vlerat e y

x 0 1 2 3

y = 4 x - 1 � � � �

zëvëndësojmë vlerat e x tek funksioni

x = 0 x = 1 x = 2 x = 3

y = 4 x - 1 y = 4 x - 1 y = 4 x - 1 y = 4 x - 1

y = 4 * 0 - 1 y = 4 * 1 - 1 y = 4 * 2 - 1 y = 4 * 3 - 1

y = 0 - 1 y = 4 - 1 y = 8 - 1 y = 12 - 1

y = -1 y = 3 y = 7 y = 11

x 0 1 2 3

y = 4 x - 1 -1 3 7 11

@ ** D 2. Tek detyra 1 a është funksioni y = 4 x - 1 rritës apo zvogëlues?

Përgjigje : Rritës sepse koeficienti k = 4 është numër pozitiv

VIII TEMA 2.nb 23

@ ** D 3. Paraqite me tabelë funksionin y = -2 x + 1 për x Î 8-1, 0, 1, 2<Përgjigje : Krijojmë tabelë me dy rreshta, i pari për vlerat e x, i dyti për vlerat e y

x -1 0 1 2

y = -2 x + 1 � � � �

zëvëndësojmë vlerat e x tek funksioni

x = -1 x = 0 x = 1 x = 2

y = -2 x + 1 y = -2 x + 1 y = -2 x + 1 y = -2 x + 1

y = -2 * H-1L + 1 y = -2 * 0 + 1 y = -2 * 1 + 1 y = -2 * 2 + 1

y = 2 + 1 y = 0 + 1 y = -2 + 1 y = -4 + 1

y = 3 y = 1 y = -1 y = -3

x -1 0 1 2

y = -2 x + 1 3 1 -1 -3

@ ** D 4. Tek detyra 3 a është funksioni y = -2 x + 1 rritës apo zvogëlues?

Përgjigje : Zvogëlues sepse koeficienti k = -2 është numër negativ

24 VIII TEMA 2.nb

[xvii] Zgjedhja grafike e barazimeve lineare me një të panjohur.

@ ** D 1. Paraqite grafikisht funksionin y = 3 x - 6


x = 0 x = 1

y = 3 x - 6 y = 3 x - 6

y = 3 * 0 - 6 y = 3 * 1 - 6

y = 0 - 6 y = 3 - 6

y = -6 y = -3

pika A H0, -6L pika B H1, -3L

@ ** *D 2. Zgjidhe grafikisht barazimin x + 2 = 0

VIII TEMA 2.nb 25

Përgjigje : barazimin e shkuajmë si funksion f HxL = x + 2

funksionin e fituar e paraqesim grafikisht

x = 0 x = 1

y = x + 2 y = x + 2

y = 0 + 2 y = 1 + 2

y = 2 y = 3

pika A H0, 2L pika B H1, 3L

zgjidhja është pikprerja e grafit me abshisën, dmth pika M H-2, 0L ku x = -2 dhe y = 0

Prova : x + 2 = 0

-2 + 2 = 0

0 = 0

@ ** *D 3. Zgjidhe grafikisht barazimin 2 x - 3 = -x + 3

Përgjigje : Prej barazimit shkruajmë dy funksione,

i pari për anën e majtë y = 2 x - 3 , i dyti për anën e djathtë y = -x + 3

i paraqesim grafikisht të dy funksionet

x = 0 x = 1 x = 0 x = 1

y = 2 x - 3 y = 2 x - 3 y = -x + 3 y = -x + 3

y = 2 * 0 - 3 y = 2 * 1 - 3 y = -0 + 3 y = -1 + 3

y = -3 y = 2 - 3 y = 3 y = 2

pika A H0, -3L y = -1 pika C H0, 3L pika D H1, 2Lpika B H1, -1L

26 VIII TEMA 2.nb

Zgjidhje është pikprerja e grafeve të dy funksioneve, dmth pika M H2, 1L ku x = 2 dhe y = 1

Prova : 2 x - 3 = -x + 3

2 * 2 - 3 = -2 + 3

4 - 3 = 1

1 = 1

@ ** D 4. Zgjidhe grafikisht barazimin 2 x - 1 = 2 x + 3


i pari për anën e majtë y = 2 x - 1 , i dyti për anën e djathtë y = 2 x + 3

kto dy funksione e kanë koeficientin e njëktë k = 2,

dmth grafet e tyre janë paralele Hnuk priten asnjëherëL si rezultat barazimi nuk ka zgjedhje

@ ** D 5. Zgjidhe grafikisht barazimin 2 x + 1 = 2 x + 1


i pari për anën e majtë y = 2 x + 1 , i dyti për anën e djathtë y = 2 x + 1

kto dy funksione janë të njëjta,

dmth grafet e tyre do të jenë drejtëza të puthitshme, si rezultat ky barazim ka pafund zgjidhje

VIII TEMA 2.nb 27

[xviii] Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes.

@ * D 1. Një ekip futbolli luan ndeshje. Cilët janë rezultatet e mundshme në fund të lojës?

Përgjigje : fitore, barazi, ose humbje

@ * D 2. Një qese përmban karamele me ngjyrë kë kuqe, të kaltër,

dhe kafe. Nëse zgjedhim një prej tyre çfarë ngyre mund të jetë?

Përgjigje : ngjyrë kuqe, kaltër ose kafe?

@ * D 3. Nëse hedhim një zar në formë të kubit me anë të numëruara,

çfar mund të jetë faqja e sipërme?

Përgjigje : 1, 2, 3, 4, 5 ose 6.

@ * D 4. Nëse hedhim një monedhë me dy anë Hnumër, fytyrëL, çfarë mund të jetë faqja e sipërme?

Përgjigje : numër ose fytrë

@ ** D 5. Nëse një monedhë fer hidhet në ajr,

sa është probabiliteti i ngjarjes A "rezultati të jetë faqja me numër".

Përgjigje : monedha është fer atëherë secila anë ka 50 % - 50 % shans dmth

probabiliteti i ngjarjes A është 0.5

p HAL = 0.5

@ ** D 6. Sa është probabiliteti i ngjarjes B

"më datë 29.3.2013 njeriu do të ecë në yllin tonë Diellin"

Përgjigje : kjo ngjarje nuk ka shansë të ndodhë dmth 0 %

probabiliteti i ngjarjes B është 0

p HBL = 0

@ ** D 7. Sa është probabiliteti i ngjarjes C "muaji janar ka 31 ditë"

Përgjigje : kjo ngjarje është e vërtet për çdo vit dmth 100 %

probabiliteti i ngjarjes C është 1

p HCL = 1

@ ** D 8. Për lojën e dhënë sa është probabiliteti A "shigjeta të bie në ngjyrën e kuqe"

28 VIII TEMA 2.nb

Përgjigje : Ngjyra e kuqe është gjysma e rrethit,

dmth shansa që të bie në ngjyrën e kuqe është 50 %

p HAL = 0.5

Ngjyra e verdh dhe e kaltërt janë1

4e rrethit,

dmth shansa që të bie në këto ngjyra është 25 %

p HBL = 0.25 dhe p HCL = 0.25

@ ** D 9. Nëse hedhim zar në formë të kubit,

sa është shansa për rastin A "rezultati të jetë numri 4"

Përgjigje : zari në form kubi ka 6 faqe, numri 4 është vetëm njëri prej tyre

dmth shansa që të bie ai numër është1

6ose 16, 67 %

p HAL = 0.1667

@ ** D 10. Nëse hedhim zar në formë të kubit,

sa është shansa për rastin A "rezultati të jetë numri çift"

Përgjigje : zari në form kubi ka 6 faqe, numra çift janë tre prej tyre 2, 4, dhe 6

dmth shansa që të bie numër çift janë3

6ose 50 %

p HAL = 0.5

@ * D 11. Shprehe tabelën për sa e mundëshme

është të ndodh një rast për probabilitetin e saj të dhënë :

Përgjigje :

VIII TEMA 2.nb 29

BUJAR MAMUDI

LËNDA : MATEMATIKËKLASA : VIIITEMA : III - SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE


[i] Barazimi linear me dy të panjohura.

@ ** D 1. Provo se çifti i rënditur Hx, yL = H4, -6L është zgjidhje e barazimit 2 x -1

3y = 10

Zgjidhje : Tek çifit i rradhitur duket qartë se x = 4 dhe y = -6, zëvëndësojmë këto numra

2 x -1

3y = 10

2 * 4 -1

3H-6L = 10

8 +6

3= 10

8 + 2 = 10

10 = 10 PO!

@ ** D 2. Çifit i rradhitur H1, 6L a është zgjidhje e barazimit 3 x - y = -3

Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur H1, 6L antari i parë x = 1,

antari i dytë y = 6, zëvëndësojmë këto numra

3 x - y = -3

3 * 1 - 6 = -3

3 - 6 = -3

-3 = -3 PO!

@ ** D 3. Cakto komponentën e panjohur te çifti

i rradhitur H � , -2L që të jetë zgjidhje e barazimit y = 2 x

Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur,

antari i parë x = ? , antari i dytë y=-2, zëvëndësojmë këto numra

y = 2 x

-2 = 2 x �� pjestojmë të dy anët me 2

-2

2= x

-1 = x

@ ** D 4. Cakto komponentën e panjohur te çifti

i rradhitur H-6, �L që të jetë zgjidhje e barazimit1

2x + 2 y = 7

Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur, antari i parë x = -6,

antari i dytë y = ? , zëvëndësojmë këto numra

1

2x + 2 y = 7

1

2* H-6L + 2 y = 7

-6

2+ 2 y = 7

-3 + 2 y = 7 �� hedhim - 3 tek ana e djathtë

2 y = 7 + 3

2 y = 10 �� pjestojmë të dy anët me 2

y =10

2y = 5

[ii] Barazimet lineare ekuivalente me dy të panjohura.

@ ** D 1. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit y = 3 x - 5

Zgjidhje : Le të themi se x = k, ku kΕ R

y = 3 x - 5

y = 3 k - 5 Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur Hx, y L = Hk, 3 k - 5L@ ** D 2. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit x - 1 = 3 x - y


x - 1 = 3 x - y

k - 1 = 3 k - y �� hedhim 3 k tek ana e majtë

k - 1 - 3 k = -y

-1 - 2 k = -y �� shkruajmë barazimin e kundërt Hshenja të kundërtaL1 + 2 k = y Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur Hx, y L = Hk, 1 + 2 kL

@ ** D 3. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit - 2 x + y = 1


-2 x + y = 1

-2 k + y = 1 �� hedhim - 2 k tek ana e djathtë

y = 1 + 2 k Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur Hx, y L = Hk, 1 + 2 kL

@ ** D 4. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit 3 x - y = 1


3 x - y = 1

3 k - y = 1 �� hedhim 3 k tek ana e djathtë

-y = 1 - 3 k �� shkruajmë barazimin e kundërt Hshenja të kundërtaLy = -1 + 3 k Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur Hx, y L = Hk, -1 + 3 kL

@ ** *D 5. Provo se barazimi x + 2 y = 6 është ekuivalent me barazimin y = 3 -x

2

2 VIII TEMA 3.nb

Zgjidhje : Fillojmë me barazimin e parë

x + 2 y = 6 �� hedhim x tek ana e djathtë

2 y = 6 - x �� pjestojmë të dy anët me 2

y =6 - x

2

y =6

2-x

2

y = 3 -x

2�� barazimi i fituar është ekuivalent me barazimin e dytë

@ ** D 6. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit 3 x + 2 y = x - 4 y + 1


3 x + 2 y = x - 4 y + 1

3 k + 2 y = k - 4 y + 1 �� grumbullojmë ndryshoret y tek ana e majtë

3 k + 2 y + 4 y = k + 1 �� hedhim 3 k tek ana e djathtë

2 y + 4 y = k + 1 - 3 k

6 y = 1 - 2 k �� pjestojmë të dy anët me 6

y =1 - 2 k

6Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur Hx, y L = k,

1 - 2 k

6

@ ** D 7. Barazimin e dhënë sille në formë ax + by =

c duke shfrytëzuar teoremat dhe rrjedhimet :x + 3 y

4-x + y

3= 2 + x

Zgjidhje :x + 3 y

4-x + y

3= 2 + x �� shumëzojmë të dy anët me SHVP H4, 3L = 12

12 *x + 3 y

4- 12 *

x + y

3= 12 * 2 + 12 * x �� kryejmë thjeshtimet

3 * Hx + 3 yL - 4 * Hx + yL = 24 + 12 x

3 x + 9 y - 4 x - 4 y = 24 + 12 x

-1 x + 5 y = 24 + 12 x �� hedhim 12 x tek ana e majtë

-1 x + 5 y - 12 x = 24

-13 x + 5 y = 24

[iii] Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura.

@ ** D 1. Edona dhe Mentori kanë nga një akuarium me peshq.

Shuma e numrit të peshqëve në dy akuariumet është 10.

Ndryshimi i numrit të peshqëve në dy

akuariumet është 4. Sa peshq ka pasur secili prej tyre?

VIII TEMA 3.nb 3

Zgjidhje : Formojmë sistem me dy ekuacione HbarazimeL,x = peshqit e Edonës, y = peshqit e Mentorit

: x + y = 10x - y = 4

shuma e numrit të peshqëve është 10ndryshimi i numrit të peshqëve është 4

HE zgjedhim sistemin me metodën e zëvëndësimitL

® : x + y = 10x = 4 + y

�� barazimi i dytë, hedhim - y tek ana e djathtë

® : H4 + yL + y = 10x = 4 + y

�� zëvëndësojmë x tek barazimi i parë, gjejmë y

® : 4 + 2 y = 10x = 4 + y

® : 2 y = 10 - 4x = 4 + y

® : 2 y = 6x = 4 + y

® : y = 3x = 4 + y

�� gjetëm y = 3, e zëvëndësojmë tek rreshti i dytë

® : y = 3x = 4 + 3

® : y = 3x = 7

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H3, 7L@ ** D 2. Provo nëse çifti i rradhitur Hx, yL =

H2, -1L është zgjidhje e sistemit : 3 x + 2 y = 4x - y = 3

Zgjidhje : Nga çifit i rradhitur e dimë se antari i parë x = 2,

antari i dytë y = -1, zëvëndësojmë këto numra tek sistemi

: 3 x + 2 y = 4x - y = 3

® : 3 * 2 + 2 * H-1L = 42 - H-1L = 3

® : 6 - 2 = 42 + 1 = 3

® : 4 = 43 = 3

PO!

@ ** D 3. Provo nëse çifti i rradhitur Hx, yL =

H-2, 3L është zgjidhje e sistemit : 2 x - 3 y = 3x + 5 y = 1

Zgjidhje : Nga çifit i rradhitur e dimë se antari i parë x = -2,

antari i dytë y = 3, zëvëndësojmë këto numra tek sistemi

4 VIII TEMA 3.nb

: 2 x - 3 y = 3x + 5 y = 1

® : 2 * H-2L - 3 * 3 = 3H-2L + 5 * 3 = 1

® : -4 - 9 = 3-2 + 15 = 1

® : -13 ¹ 313 ¹ 1

JO!

@ ** D 4. Zgjidhe sistemin : : 2 * Hx + yL = 6 + 2 yy = 5

Zgjidhje : nga rreshti i dytë e dimë se y = 5, zëvëndësojmë tek rreshti i parë

: 2 * Hx + yL = 6 + 2 yy = 5

® : 2 * Hx + 5L = 6 + 2 * 5y = 5

® : 2 x + 10 = 6 + 10y = 5

® : 2 x + 10 = 16y = 5

® : 2 x = 16 - 10y = 5

® : 2 x = 6y = 5

® : x = 3y = 5

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H3, 5L@ ** D 5. Zgjidhe sistemin : : x = -7

2 * Hy - 1L + 3 x = 3 * Hx + 2LZgjidhje : nga rreshti i parë e dimë se x = -7, zëvëndësojmë tek rreshti i dytë

VIII TEMA 3.nb 5

: x = -72 * Hy - 1L + 3 x = 3 * Hx + 2L

® : x = -72 * Hy - 1L + 3 * H-7L = 3 * H-7 + 2L

® : x = -72 y - 2 - 21 = 3 * H-5L

® : x = -72 y - 23 = -15

® : x = -72 y = -15 + 23

® : x = -72 y = 8

® : x = -7y = 4

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H-7, 4L

[iv] Zgjedhja grafike e sistemit të barazimeve me dy të panjohura.

@ ** *D 1. Zgjidhe grafikisht sistemin : : x + y = 53 x - y = 3

Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë x + y = 5, zgjedhim dy numra për x

x = 0 x = 1

x + y = 5 x + y = 5

0 + y = 5 1 + y = 5

y = 5 y = 5 - 1

pika A H0, 5L y = 4

pika B H1, 4Lvazhdojmë me barazimin e dytë 3 x - y = 3, zgjedhum dy numra për x

x = 0 x = 1

3 x - y = 3 3 x - y = 3

3 * 0 - y = 3 3 * 1 - y = 3

0 - y = 3 3 - y = 3

-y = 3 - y = 3 - 3

y = -3 y = 0

pika C H0, -3L pika D H1, 0Lparaqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ

6 VIII TEMA 3.nb

Zgjidhja e sistemit është pikprerja e grafeve M H2, 3L dmth x = 2 dhe y = 3

@ ** *D 2. Zgjidhe grafikisht sistemin : : x + 2 y = 5x - y = -1

Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë x + 2 y = 5, zgjedhim dy numra për x

x = 0 x = 1

x + 2 y = 5 x + 2 y = 5

0 + 2 y = 5 1 + 2 y = 5

2 y = 5 2 y = 5 - 1

y =5

22 y = 4

y = 2.5 y =4

2pika A H0, 2.5L y = 2

pika B H1, 2L

vazhdojmë me barazimin e dytë x - y = -1, zgjedhum dy numra për x

x = 0 x = 1

x - y = -1 x - y = -1

0 - y = -1 1 - y = -1

-y = -1 - y = -1 - 1

y = 1 - y = -2

pika C H0, 1L y = 2

pika D H1, 2L

paraqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ

VIII TEMA 3.nb 7


@ ** D 3. Zgjidhe grafikisht sistemin : : y = x

x = 2

Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë y = x, zgjedhim dy numra për x

x = 0 x = 1

y = x y = x

y = 0 y = 1

pika A H0, 0L pika C H1, 1L

barazimi i dytë x = 2, është drejtëz paralele me ordinatën që kalon tek pika 2

paraqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ


@ ** D 4. Në cilin rast zgjidhja grafike e sistemit

të barazimeve lineare me dy të panjohura nuk ka zgjidhje?

Zgjidhje : kur grafet e dy barazimeve nuk priten, dmth janë paralele, P.SH.

8 VIII TEMA 3.nb

@ ** D 5. Në cilin rast zgjidhja grafike e sistemit

të barazimeve lineare me dy të panjohura ka pafund zgjidhje?

Zgjidhje : kur grafet e dy barazimeve puthiten

[v] Metoda e zëvëndësimit.

@ ** D 1. Zgjidhe sistemin : : 3 x + 2 y = 13y = 5

Zgjidhje : nga rreshti i dytë e dimë se y = 5, zëvëndësojmë tek rreshti i parë

: 3 x + 2 y = 13y = 5

® : 3 x + 2 * 5 = 13y = 5

® : 3 x + 10 = 13y = 5

® : 3 x = 13 - 10y = 5

® : 3 x = 3y = 5

® : x =3

3

y = 5

® : x = 1y = 5

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H1, 5L@ ** D 2. Zgjidhe sistemin : : y = x - 5

5 x + 2 y = 4

VIII TEMA 3.nb 9

Zgjidhje : nga rreshti i parë e dimë se y = x - 5, zëvëndësojmë tek rreshti i dytë

: y = x - 55 x + 2 y = 4

® : y = x - 55 x + 2 * Hx - 5L = 4

® : y = x - 55 x + 2 x - 10 = 4

® : y = x - 55 x + 2 x = 4 + 10

® : y = x - 57 x = 14

® : y = x - 5

x =147

® : y = x - 5x = 2

�� nga rreshti i dytë e dimë se x = 2,

zëvëndësojmë tek rreshti i parë

® : y = 2 - 5x = 2

® : y = -3x = 2

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H2, -3L

@ ** *D 3. Zgjidhe sistemin : : x - y = 23 x - 2 y = 9

10 VIII TEMA 3.nb

Zgjidhje : nga rreshti i parë zgjedhim ndryshoren x,

ndryshoren y e hedhim tek ana e djathtë, pastaj zëvëndësojmë tek rreshti i dytë

: x - y = 23 x - 2 y = 9

® : x = 2 + y3 x - 2 y = 9

® : x = 2 + y3 * H2 + yL - 2 y = 9

® : x = 2 + y6 + 3 y - 2 y = 9

® : x = 2 + y3 y - 2 y = 9 - 6

® : x = 2 + yy = 3

® : x = 2 + 3y = 3

® : x = 5y = 3

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H5, 3L

@ ** *D 4. Zgjidhe sistemin : :x2

+y

3= 6

x2

-y

4= -1

VIII TEMA 3.nb 11

Zgjidhje : Lirohemi prej thyesave duke shumëzuar me SHVP e emëruesave

:x2

+y

3= 6

x2

-y

4= -1

® :6*

x2

+ 6*y

3= 6*6

4*x2

- 4*y

4= 4* H-1L

® : 3 x + 2 y = 362 x - y = -4

��tek rreshti i dytë - y hedhim tek ana e djathë, kurse - 4 tek ana e majtë

® : 3 x + 2 y = 362 x = -4 + y

®

: 3 x + 2 y = 362 x + 4 = y

�� zëvëndësojmë y = 2 x + 4 tek rreshti i parë

® : 3 x + 2 * H2 x + 4L = 362 x + 4 = y

® : 3 x + 4 x + 8 = 362 x + 4 = y

® : 3 x + 4 x = 36 - 82 x + 4 = y

® : 7 x = 282 x + 4 = y

® : x =287

2 x + 4 = y

® : x = 42 x + 4 = y

�� zëvëndësojmë x = 4 tek rreshti i dytë

® : x = 42 * 4 + 4 = y

® : x = 48 + 4 = y

® : x = 412 = y


[vi] Metoda e koeficientëve të kundërt.

@ ** D 1. Zgjidhe sistemin : : 5 x - 2 y = 57 x + 2 y = 31

12 VIII TEMA 3.nb

Zgjidhje : Tek dy barazimet koeficientët përpara y janë të kundërt,

caktojmë shumën e dy barazimeve

: 5 x - 2 y = 57 x + 2 y = 31

® : 5 x + 7 x - 2 y + 2 y = 5 + 315 x - 2 y = 5

® : 12 x = 365 x - 2 y = 5

® : x =36

12

5 x - 2 y = 5

® : x = 35 x - 2 y = 5

�� zëvëndësojmë x = 3 në barazimin e dytë

® : x = 35 * 3 - 2 y = 5

® : x = 315 - 2 y = 5

® : x = 3-2 y = 5 - 15

® : x = 3-2 y = -10

® : x = 3

y =-10

-2

® : x = 3y = 5

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H3, 5L@ ** *D 2. Zgjidhe sistemin : : 5 x + 2 y = 3

x + y = 3

Zgjidhje :

barazimin e dytë e shumëzojmë me - 2 ashtu që koeficientët përpara y të jenë të kundërt

: 5 x + 2 y = 3x + y = 3

® : 5 x + 2 y = 3-2 * x - 2 * y = -2 * 3

® : 5 x + 2 y = 3-2 x - 2 y = -6

�� caktojmë shumën e dy barazimeve

®

: 5 x - 2 y + 2 y - 2 y = 3 - 6x + y = 3

�� për barazim të dytë e zgjedh x + y = 3 pasi që është më i lehti

® : 3 x = -3x + y = 3

® : x =-3

3

x + y = 3

® : x = -1x + y = 3

�� zëvëndësojmë x = -1 tek rreshti i dytë

VIII TEMA 3.nb 13

® : x = -1-1 + y = 3

® : x = -1y = 3 + 1

® : x = -1y = 4

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H-1, 4L@ ** *D 3. Zgjidhe sistemin : : 7 x - 2 y = 3

3 x + 8 y = -43

Zgjidhje : SHVP H7, 3L = 21,

SHVP H2, 8L = 8 dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores y,

barazimin e parë e shumëzojmë me 4

: 7 x - 2 y = 33 x + 8 y = -43

® : 4 * 7 x - 4 * 2 y = 4 * 33 x + 8 y = -43

® : 28 x - 8 y = 123 x + 8 y = -43

�� caktojmë shumën e dy rreshtave

® : 28 x + 3 x - 8 y + 8 x = 12 - 437 x - 2 y = 3

��për barazim të dytë e zgjedh 7 x - 2 y = 3 sepse është më i lehti

® : 31 x = -317 x - 2 y = 3

® : x =-31

31

7 x - 2 y = 3

® : x = -17 x - 2 y = 3

�� zëvëndësojmë x = -1 në barazimin e dytë

® : x = -17 * H-1L - 2 y = 3

® : x = -1-7 - 2 y = 3

® : x = -1-2 y = 3 + 7

® : x = -1-2 y = 10

® : x = -1

y =10

-2

® : x = -1y = -5

Zgjidhje e sistemit është Hx, yL = H-1, -5L@ ** *D 4. Zgjidhe sistemin : : 2 m + 7 n = 9

3 m + 2 n = 5

Zgjidhje : SHVP H2, 3L = 6,

SHVP H7, 2L = 14 dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores m

barazimin e parë e shumëzojmë me 3 barazimin e dytë e shumëzojmë me - 2

: 2 m + 7 n = 93 m + 2 n = 5

® : 3 * 2 m + 3 * 7 n = 3 * 9-2 * 3 m - 2 * 2 n = -2 * 5

® : 6 m + 21 n = 27-6 m - 4 n = -10


® : 6 m - 6 m + 21 n - 4 n = 27 - 10m + 2 n = 5

��për barazim të dytë zgjedhim 3 m + 2 n = 5 sepse është më i lehti

14 VIII TEMA 3.nb

® : 17 n = 17m + 2 n = 5

® : n =17

17

m + 2 n = 5

® : n = 1m + 2 n = 5

�� zëvëndësojmë n = 1 në barazimin e dytë

® : n = 1m + 2 * 1 = 5

® : n = 1m + 2 = 5

® : n = 1m = 5 - 2

® : n = 1m = 3

Zgjidhje e sistemit është Hm, nL = H3, 1L

@ ** *D 5. Zgjidhe sistemin : :x2

+y

3= 7

2 x3

-y

4= 1

Zgjidhje : Lirohemi prej thyesave duke shumëzuar me SHVP e emëruesave

:x2

+y

3= 7

2 x3

-y

4= 1

® : 6 *x2

+ 6 *y

3= 6 * 7

12 *2 x3

- 12 *y

4= 12 * 1

® : 3 x + 2 y = 424 * 2 x - 3 y = 12

® : 3 x + 2 y = 428 x - 3 y = 12

�� SHVP H3, 8L = 24,

SHVP H2, 3L = 6, dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores y

®

: 3 * 3 x + 3 * 2 y = 3 * 422 * 8 x - 2 * 3 y = 2 * 12

�� barazimin e parë e shumëzojmë me 3, barazimin e dytë me 2

® : 9 x + 6 y = 12616 x - 6 y = 24


®

: 9 x + 16 x + 6 y - 6 y = 126 + 243 x + 2 y = 42

�� për rresht të dytë zgjedhim barazimin 3 x + 2 y =

42 sepse është më i lehti

® : 25 x = 1503 x + 2 y = 42

® : x =150

25

3 x + 2 y = 42

® : x = 63 x + 2 y = 42

�� zëvëndësojmë x = 6 tek barazimi i dytë

® : x = 63 * 6 + 2 y = 42

® : x = 618 + 2 y = 42

® : x = 62 y = 42 - 18

® : x = 62 y = 24

VIII TEMA 3.nb 15

® : x = 6

y =24

2

® : x = 6y = 12


[vii] Zbatimi i sistemit të barazimeve lineare me dy të panjohura .

@ ** *D 1. Jetoni ka 17 monedha me vlerë të përgjithshme 67 denarë. Monedhat janë 2 denarshe,

dhe 5 denarshe. Sa monedha 2 denarshe dhe sa monedha 5 denarshe ka Jetoni?

Zgjidhje : E panjohur është numri i monedhave 2 denarëshe HxL,numri i monedhave 5 denarëshe HyL

gjithsej janë 17 monedha dmth x + y = 17

gjithësej monedhat kanë vlerë 67 denarë dmth 2 x + 5 y =

67 formojmë sistem me këto dy barazime

®

: x + y = 172 x + 5 y = 67

�� e zgjedhim me metodën e zëvëndësimit, hedhim y tek ana e djathtë

® : x = 17 - y2 x + 5 y = 67

® : x = 17 - y2 * H17 - yL + 5 y = 67

® : x = 17 - y34 - 2 y + 5 y = 67

® : x = 17 - y-2 y + 5 y = 67 - 34

® : x = 17 - y3 y = 33

® : x = 17 - y

y =33

3

® : x = 17 - yy = 11

® : x = 17 - 11y = 11

® : x = 6y = 11

dmth 6 monedha 2 denarëshe dhe 11 monedha 5 denarëshe

Prova : 6 * 2 + 5 * 11 = 12 + 55 = 67 denarë

@ ** *D 2. Në dy rafte ka 124 libra.Në raftin e parë ka pasur 3

herë më shumë libra se sa në të dytin. Nga sa libra ka pasur në çdo raft?

Zgjidhje : E panjohur numri i librave në raftin e I HxL,numri i librave në raftin e II HyL

në dy rafte ka 124 libra, dmth x + y = 124

rafti i parë ka 3 herë më shumë libra se i dyti dmth x =

3 * y formojmë sistem me këto dy barazime

® : x + y = 124x = 3 y

�� e zgjedhim me metodën e zëvëndësimit

® : 3 y + y = 124x = 3 y

® : 4 y = 124x = 3 y

® : y =124

4

x = 3 y

16 VIII TEMA 3.nb

® : y = 31x = 3 y

® : y = 31x = 3 * 31

® : y = 31x = 93

dmth 93 libra ka rafti i parë, kurse 31 libra ka rafti i dytë

Prova : 93 + 31 = 124 dhe 93 = 3 * 31

@ ** *D 3. Sa litra ujë dhe sa litra shpirto prej 90

% duhet të përzihen që të fitohen 60 litra prej 75 % shpirto?

Zgjidhje : E panjohur litra ujë HxL, litra shpirto HyLuji i pastër nuk përmban shpirto HalkoholL dmth ka 0 % atëherë x * 0 % + y * 90 % =

Hx + yL * 75 %

mirpo e dimë se gjithsej do të keim 60 litra të përzierjes atëherë x +

y = 60 formojmë sistem me këto dy barazime

®

: x + y = 60x * 0 % + y * 90 % = Hx + yL * 75 %

�� zëvëndësomë x + y = 60 tek barazimi i i dytë

® : x + y = 60

x *0

100+ y *

90

100= H60L *

75

100

�� thjeshtojmë numrat 100 në të dy anët

® : x + y = 60x * 0 + y * 90 = H60L * 75

® : x + y = 6090 y = 4500

® : x + y = 60

y =4500

90

® : x + y = 60y = 50

�� zëvëndësojmë y = 50 në barazimin e parë

® : x + 50 = 60y = 50

® : x = 60 - 50y = 50

® : x = 10y = 50

dmth 10 litra ujë + 50 litra shpirto HalkoholLProva : 10 * 0 % + 50 * 90 % = 60 * 75 %

0 + 45 = 45

45 = 45

@ ** *D 4. Janë dhënë dy tretje të thartirave K1 dhe K2. Tretësi K1 është 36 %,

kurse tretësi K2 është 96 %. Nga sa litra duhet të meren prej çdo tretësi,

që të fitohen 120 litra tretje prej 80 %?

Zgjidhje : E panjohur litra të acidit K1 HxL, litra të acidit K2 HyLacidi K1 ka përqëndrim 36 %,

acidi K2 ka përqëndrim 96 %, kurse tretësira duhet të ket përqëndrim 80 %

dmth x * 36 % + y * 96 % = Hx + yL * 80 %

gjthashtu e dimë se gjithej trësira do të ketë 120 litra,

dmth x + y = 120 formojmë sistem me këto dy barazime

®

: x + y = 120x * 36 % + y * 96 % = Hx + yL * 80 %

�� zëvëndësojmë x + y = 120 në barazimin e dytë

VIII TEMA 3.nb 17

®

: x + y = 120

x *36

100+ y *

96

100= Hx + yL *

80

100

�� thjeshtojmë numrat 100 në të dy anët

® : x + y = 120x * 36 + y * 96 = H120L * 80

®

: x + y = 12036 x + 96 y = 9600

�� e zgjedhim me metodën e koeficientëve të kundrët,

shumëzojmë barazimin e parë me - 36

® : -36 * x - 36 * y = -36 * 12036 x + 96 y = 9600

® : -36 x - 36 y = -432036 x + 96 y = 9600


®

: -36 x + 36 x - 36 y + 96 y = -4320 + 9600x + y = 120

�� si barazim të dytë zgjedhim x + y =

120 sepse është më i lehti

® : 60 y = 5280x + y = 120

® : y =5280

60

x + y = 120

® : y = 88x + y = 120

�� zëvëndësojmë y = 88 tek barazimi i dytë

® : y = 88x + 88 = 120

® : y = 88x = 120 - 88

® : y = 88x = 32

dmth 32 litra prej acidit K1 dhe 88 litra prej acidit K2

Prova : 32 * 36 % + 88 * 96 % = 120 * 80 %

11.52 + 84.48 = 96

96 = 96

@ ** *D 5. Cakto dy numra shuma e të cilëve është 100, kurse raporti i tyre është 4

Zgjidhje : E panjohur numri I HxL, numri II HyLshuma e numrave është 100, dmth x + y = 100

raporti i numrave është 4,

dmthx

y= 4 formojmë sistem me këto dy barazime

® : x + y = 100xy

= 4 �� shumëzojmë barazimin e dytë me y

® : x + y = 100

y *xy

= y * 4

® : x + y = 100x = 4 y

�� zëvëndësojmë x = 4 y në rreshtin e parë

® : 4 y + y = 100x = 4 y

® : 5 y = 100x = 4 y

® : y =100

5

x = 4 y

18 VIII TEMA 3.nb

® : y = 20x = 4 y

�� zëvëndësojmë y = 20 tek barazimi i dytë

® : y = 20x = 4 * 20

® : y = 20x = 80

dmth numri i parë është 80, numri i dytë është 20

Prova : 80 + 20 = 100 dhe80

20= 4

@ ** *D 6. Shuma e dy numrave është 72, kurse ndryshimi i tyre është 2. Cilët janë ato numra?

Zgjidhje : E panjohur numri I HxL, numri II HyLshuma e numrave është 72 dmth x + y = 72

ndryshimi i numrave është 2 dmth x - y = 2 formojmë sistem me këto dy barazime

® : x + y = 72x - y = 2

�� zgjedhim me metodën e koeficientëve të kundërt

® : x + x + y - y = 72 + 2x - y = 2

® : 2 x = 74x - y = 2

® : x =74

2

x - y = 2

® : x = 37x - y = 2

® : x = 3737 - y = 2

�� zëvëndësojmë x = 37 në barazimin e dytë

® : x = 37-y = 2 - 37

® : x = 37-y = -35

® : x = 37-y = -35

® : x = 37y = 35

dmth numri i parë është 37 kurse numri i dytë është 35

Prova : 37 + 35 = 72 dhe 37 - 35 = 2

@ ** *D 7. Në një paralele gjithsej ka 28 nxënës. Numri i djemve është për 4

më i madh se numri i vajzave. Sa nxënës në paralele kanë qenë djem dhe sa vajza?

Zgjidhje : E panjohur numri i djemve HxL, numri i vajzave HyLparalelja gjithsej ka 28 nxënës dmth x + y = 28

numri i djemve është për 4 më i madh se numri i vajzave dmth x =

4 + y formojmë sistem me këto dy barazime

® : x + y = 28x = 4 + y

�� zëvëndësojmë x = 4 + y në barazimin e parë

® : H4 + yL + y = 28x = 4 + y

® : 4 + y + y = 28x = 4 + y

® : y + y = 28 - 4x = 4 + y

® : 2 y = 24x = 4 + y

® : y =24

2

x = 4 + y

VIII TEMA 3.nb 19

® : y = 12x = 4 + y

�� zëvëndësojmë y = 12 në barazimin e dytë

® : y = 12x = 4 + 12

® : y = 12x = 16

dmth paralelja paska 16 djem dhe 12 vajza

Prova : 16 + 12 = 28 dhe 16 = 4 + 12

[viii] Zgjedhja e problemeve me parimin e Dirihles

@ * D 1. Si thotë principi i Johan Dirihles?

Zgjidhje : Nëse në n kuti Hpsh 5 kutiL duhet të rradhiten më shumë se n sende Hpsh 6 sendeL,atëherë gjithmon do të egzistojë një kuti e cila do të ketë më shumë se një send.

@ * D 2. Si njihet ndryshe principi i Johan Dirihles?

Zgjidhje : Njihet me emrin "principi i vrimave të pëllumbave". Principi thotë,

nëse kemi n vrima H9 vrimaL dhe m pëllumba H10 pëllumbaL, ku m > n,

atëherë patjetër në njërën nga kto vrima do të ketë më tepër se një pëllumb.

@ * D 3. Për se përdoret principi i Johan Dirihles?

Zgjidhje : Principi i Johan Dirihles është

shum i thjeshtë për tu zbatuar në probleme nga jeta e përditshme,

përdoret për nxjerrjen e konkluzioneve � përfundimeve të sigurta në detyra me numërim,ose për demonstrimin e disa rezultateve të çuditshme � të papritura.@ ** D 4. Nëse një paralele ka 40 nxënës, a mund të përfundojmë se tek

kjo paralele ka me siguri 2 nxënës që kanë emër me shkronjë të parë të njëjtë.

Zgjidhje : Alfabeti i gjuhës tonë ka 36 shkronja,

mendojmë se çdo njëra prej këtyra shkronjave është një vrimë.

Atëhere i kemi 36 vrima dhe 40 nxënës Hpëllumba :L L,prej principit të Dirihles mund të përfundojmë se

patjetër në njërën nga këto shkronja do të

ketë më tepër se një nxënës që i fillon emri me shkronjën e njëjtë.

@ ** D 5. Nëse një paralele ka 30 nxënës, a mund të përfundojmë se tek

kjo paralele ka me siguri 2 nxënës që kanë emër me shkronjë të parë të njëjtë.

Zgjidhje : Kemi 36 shkronja HvrimaL dhe 30 nxënës HpëllumbaL, nuk mund të dalim

në përfundim se me siguri do të ketë dy nxënës me emër me shkronjë të parë të njëjtë.

@ ** *D 6. Në shkollën tonë ka gjithsej 350 nxënës, a mund të përfundojmë me

siguri se te shkolla jonë ka së paku dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë.

Zgjidhje : Viti i ka 365 ditë, mendojmë për çdo ditë të vitit si një vrimë

Atëherë i kemi 365 ditë HvrimaL dhe 350 nxënës HpëllumbaL,nuk mund të dalim në përfundim se me siguri do të ketë dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë.

@ ** *D 7. Sa nxënës më së paku duhet të ketë shkolla jonë që të

përfundojmë me siguri që ka më së paku dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë.

20 VIII TEMA 3.nb

Zgjidhje : Viti i ka 365 ditë, dmth kemi 365 vrima,

që të zbatojmë principin e Johan Dirihles na duhen më së paku 365 + 1 nxënës, dmth 366 nxënës

@ ** *D 8. Në një paralele ka 37 nxënës. Vërteto se ka një muaj

në vit në të cilin janë lindur më së paku se 4 nxënës nga paralelja.

Zgjidhje : Viti ka 12 muaj, dmth kemi gjithsej 12 vrima.

Nëse i shpërndajmë 37 nxënës HpëllumbaL në 12 muaj HvrimaL37 % 12 = 3

mund të kemi më së paku 3 nxënës në 11 muaj,

37 - H3 * 12L = 37 - 36 = 1

kurse në njërin nga muajt mund të kemi 3 + 1 = 4 nxënës

atëherë sipas principit të Drihles mund të përfundojmë me siguri se patjetër do

të ketë në një muaj në vit në të cilin janë lindur më së paku se 4 nxënës nga paralelja.

@ ** *D 9. Në një shkollë ka 1200 nxënës. Vërteto se më së

paku 4 nxënës nga ajo shkollë festojnë ditëlindjen në të njejtën ditë.

Zgjidhje : Viti ka 365 ditë, dmth 365 vrima.

Nëse i shpërndajmë 1200 nxënës HpëllumbaL në 365 ditë HvrimaL1200 % 365 = 3

mund të kemi më së paku 3 nxënës në 260 ditë,

1200 - H3 * 365L = 1200 - 1095 = 105

kurse në njërën nga këto H105L ditë do të ketë 3 +

1 nxënës me ditlindje në atë ditë të njëjtë

atëherë mund të përfundojmë me siguri se për këto 1200 nxënës do të

ketë më së paku 4 nxënës nga kjo shkollë që festojnë ditlindjen në ditën e njëjtë.

@ ** *D 10. Nëse qyteti i Londrës ka mbi 1000000 banorë,

dhe nëse një njeri i zakonshëm rritur ka 150000 fije flokë. Vërteto se

në këtë qytet ka më së paku 2 njerëz me numër të njëjtë të fijeve të flokëve.

Zgjidhje : Njeriu i zakonshëm ka 150000 fije flokë HvrimaL,DHE asnjë njeri Hme problemeL nuk ka më tepër se 1000000 fije flokë,

atëherë banorët e Londrës janë mbi 1000000 HpëllumbaL,sipas principit të Johan Dirihles mund të përfundojmë se do të

ketë patjetër më së paku 2 njerëz që kanë numër të njëjtë fije flokësh.

VIII TEMA 3.nb 21

BUJAR MAMUDI

LËNDA : MATEMATIKËKLASA : VIIITEMA : IV - TRUPAT GJEOMETRIK


[i] Pika, drejtëza dhe rrafshi.

@ * D 1. Çka quhet Planimetri?

Përgjigje : Planimetri është pjesë e gjeometrisë që studjon figurat 2 D në rrafsh.

@ * D 2. Çka quhet Stereometri?

Përgjigje : Stereometri është pjesë e gjeometrisë që studjon figurat 3 D në hapësirë.

@ * D 3. Çka quhet Aksiom? Si njihet ndryshe?

Përgjigje :

Aksioma janë pohime themelore që ska nevojë të vërtetohen. Ndryshe njihen me emrin Lemma.

P.SH. Në një pikë kalojnë pafund drejtëza.

@ * D 4. Çka është dallimi midis Aksiomës dhe Teoremës?

Përgjigje : Aksioma nuk ka nevojë të vërtetohet,

kurse teorema duhet patjetër të vërtetohet Hme ndihmën e aksiomaveL.@ * D 5. Cilët janë figurat themelore gjeometrike?

Përgjigje : Pika, Drejtëza dhe Rrafshi

@ ** D 6. Si thotë Aksioma e parë për pikën dhe rrafshin?

Përgjigje : Në rrafsh mund të shtrihen shumë pika, por ka edhe pika që nuk shtrihen në rrafsh.

@ ** D 7. Çka është dhënë në figurën e mëposhtme?

Përgjigje : Është e dhënë një rrafsh me emrin S, dhe 5 pika ku

pika M nuk shtrihet në rrafsh dmth M Ï S

dhe pikat A, B, C, D shtrihen në atë rrafsh dmth A, B, C, D Î S

@ ** D 8. Si thotë Aksioma e dytë për pikën dhe rrafshin?

Përgjigje : Tre pika jokolineare përcaktojnë saktësishtë një rrafsh.

@ ** D 9. Si thotë Aksioma e tretë për pikën dhe rrafshin?

Përgjigje : Nëse dy pika shtrihen në një rrafsh,

atëherë këto dy pika përcaktojnë saktësisht një drejtëz,

edhe kjo drejtëz do të shtrihet në atë rrafsh.

@ ** D 10. Sa pozita reciproke mund të ketë drejtëza a dhe rrafshi S ?

Përgjigje : Tre pozita reciproke :

aL drejtëza a paralel me rrafshin S ose a Ý S = Æ

bL drejtëza a e pret rrafshin S saktësisht në një pikë P ose a Ý S = 8P<

cL drejtëza a shtrihet në rrafshin S ose a Ý S = a

@ ** D 11. Cilët drejtëza janë koplanare?

Përgjigje : Dy ose më shumë drejtëza që shtrihen në rrafshin e njëjtë quhen koplanare.

@ ** D 12. Për kuboidin e mëposhtëm rrafshi S përcaktohet me pikat A, B, dhe C.

aL cilët tehe janë paralele me rrafshin S

bL cilët tehe e depërtojnë rrafshin S

cL cilët tehe shtrihen në rrafshin S

Përgjigje : Rrafshi S që përcaktohet me pikat A, B, dhe C është hijëzuar me ngjyrë të kuqe.

aL paralel me rrafshin S janë tehet KL, LM, MN, dhe NK

bL rrafshin sigma e depërtojnë HpresinL tehet KA Hnë pikëne AL,LB Hnë pikën BL, MC Hnë pikën CL, dhe ND Hnë pikën DL

cL Në rrafshin S shtrihen tehet AB, BC, CD dhe DA

@ ** D 13. Diagonalja AC e bazës së kubit të mëposhtëm nuk ka

pika të përbashkëta vetëm me një faqe të kubit. Cila është ajo faqe?

2 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Diagonalja AC është paraqitur me ngjyrë të kuqe tek vizatimi i dytë,

AC shtrihet në rrafshin ABCD,

kjo diagonale nuk ka të përbashkët me rrafshin A1 B1 C1 D1 sepse ky rrafsh është paralel me të parin.

[ii] Dy drejtëza.

@ ** D 1. Sa pozita reciproke mund të kenë dy drejtëza?

Përgjigje : Katër pozita reciproke :

aL drejtëza a paralele me drejtëzën b ose a Ý b = Æ

bL drejtëza a pritet me drejtëzën b saktësishtë në një pikë P ose a Ý b = 8P<

cL drejtëza a puthitet me drejtëzën b a =� b

dL drejtëza a është e shmangëshme me drejtëzën c,

pasi që nuk shtrihen në rrafsh të njëjtë dhe nuk priten.

@ * D 2. Sa rrafshe përcaktojnë tehet anësore të një kuboidi?

Përgjigje : 2 rrafshe për baza + 4 rrafshe anësore = 6 rrafshe HfaqeL@ ** D 3. Cilët pohime janë të sakta për figurën e mëposhtëme?

Përgjigje :

aL drejtëzat b dhe m janë paralele ® JO

bL drejtëza p dhe d janë shmangëse ® PO

cL drejtëza a dhe d priten ® PO

dL drejtëza b dhe p janë shmangëse ® JO

@ ** D 4. Tre drejtëza paralele a shtrihen gjithmonë në rrafshin e njëjtë?

VIII TEMA 4.nb 3

Përgjigje : JO! Sepse për shembull drejtëza AA1, BB1,

CC1 janë paralele mirpo nuk shtrihen në rrafshin e njëjtë

@ ** D 5. Tre drejtë za të ndryshme në hapësirë kalojnë

nëpër të njëjtën pikë. Sa rrafshe mund të përcaktojnë këto drejtëza?

Përgjigje :

Nëse tre drejtëzat janë koplanare,

atëherë përcaktojnë vetëm një rrafsh : tre drejtëza me ngjyrë të kuqe priten në pikën A.

Nëse tre drejtëzat nuk janë koplanare,

atëherë përcaktojnë tre rrafsh : tre drejtëza me ngjyrë të kuqe priten në pikën A.

@ ** D 6. Sa rrafshe përcaktojnë katër pika jo koplanare?

Përgjigje : Tre pika jokolineare përcaktojnë saktësishtë një rrafsh,

atëherë nëse kemi 4 pika jo koplanare A, B, C dhe D

nga këto katër pika formojmë kombinime duke përdorur 3 prej tyre

ABC, ABD, BCD, dhe ACD dmth 4 rrafshe

@ ** D 7. Sa rrafshe mund të kalojnë nëpër dy drejtëza në hapësirë?

Përgjigje : Nëse janë paralele një rrafsh,

nëse priten një rrafsh, nëse shmangen asnjë rrafsh.

4 VIII TEMA 4.nb

[iii] Dy rrafshe.

@ ** D 1. Sa pozita reciproke mund të kenë dy rrafshe?

Përgjigje : Tre pozita reciproke :

aL rrafshi S paralele me rrafshin W ose S Ý W = Æ

bL rrafshi S pritet me rrafshin W saktësishtë në një drejtëz AB ose S Ý W = drejtëza AB

cL rrafshi S puthitet rrafshin W S =�

W

@ * D 2. Si thotë aksioma e katërt për dy rrafshe?

Përgjigje : Nëse dy rrafshe kanë një pikë të përbashkët,

atëherë ato dy rrafshe kanë një drejtëz zë përbashkët që kalon nëpër atë pikë.

@ * D 3. Çfarë këndi formon dyshemeja dhe njëri nga faqet e murit të klasës?

Përgjigje : Nëse muri është i drejtë atëherë ato formojnë kënd të drejtë

VIII TEMA 4.nb 5

@ * D 4. Çfarë këndi formojnë dy faqe fqinjë të mureve të klasës?

Përgjigje : Nëse muri është i drejtë atëherë ato formojnë kënd të drejtë

@ * D 5. Çfarë këndi formojnë tavani dhe dyshemeja e klasës?

Përgjigje : Tavani dhe dyshemeja janë paralele dmth nuk priten, nuk formojnë kënd.

@ ** D 6. Për dy rrafshe paralele S 1 ÈÈ S 2, nëse një drejtëz a e pret rrafshin S1,

çka mund të themi për drejtëzën a dhe rrafshin S 2?

Përgjigje : Drejtëta a do ta presë edhe rrafshin e dytë S 2

@ ** D 7. Për dy rrafshe paralele S 1 ÈÈ S 2, nëse një drejtëz a është paralel me rrafshin S1,

çka mund të themi për drejtëzën a dhe rrafshin S 2?

6 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Drejtëta a do të jetë paralel edhe me rrafshin e dytë S 2

@ ** D 8. Për dy rrafshe paralele S 1 ÈÈ S 2, nëse një rrafsh tjetër S3 e pret rrafshin S1,

çka mund të themi për rrafshin S3 dhe rrafshin S 2?

Përgjigje : Rrafshi S3 do ta presë edhe rrafshin e dytë S 2

@ ** D 9. Çfarë këndi formojnë baza e kubit dhe një faqe anësore e sajë?

Përgjigje : Kënd të drejtë 90o

@ ** D 10. Për cilat dy rrafshe thuhet se janë të drejtë, pingul, ortogonal?

Përgjigje : Për ato rrafshe që formojnë kënd të drejtë 90o

@ ** D 11. Sa drejtëza pingule mund të tërhiqen prej pikës së dhëne A dhe një rrafshi S?

Përgjigje : Vetëm një, dhe kjo drejtëz formon largesën e pikës A deri tek rrafshi S

@ ** D 12. Çfarë pozite reciproke mund të kenë dy rrafshe S1 i përcaktuar me pikat A,

B, D, dhe rrafshi S2 i përcaktuar me pikat A, B, C?

Përgjigje : kto dy rrafshe kanë drejtëzën AB të përbashkët,

vetëm pika D dhe C ndryshojnë, atëherë

VIII TEMA 4.nb 7

nëse pikat D dhe C janë koplanare, këto dy rrafshe puthiten

nëse pikat D dhe C nuk janë koplanare, këto dy rrafshe priten në drejtëzën AB

[iv] Projektimi paralel dhe ortogonal.

@ * D 1. Çka quhet projektim paralel?

Përgjigje : Pasqyrimi i një pike hapsinore A në një pikë A' që shtrihet

rrafshin e dhënë S për drejtimin e dhënë projektues s quhet projetim paralel.

@ ** D 2. Cakto projektimin paralel për pikat e dhëna A, B,

C nëse pika A Î S, kurse drejtëta BC ÈÈ me drejtëzën projektuese s

Përgjigje :

Pasi që pika A shtrihet në rrafshin S edhe pasqyra e saj A' do të shtrihet në pikën e njëjtë A

Pikat B dhe C do të pasqyrohen në pikën e njëjtë C' në

rrafshin S pasi që drejtëza BC është paralel me drejtëzën projektuese s.

@ ** D 3. Çka është pasqyra e një segmenti AB nëse është paralel me drejtëzën projektuese s?

Përgjigje : Pasqyra e segmentit AB do të jetë vetëm një pikë.

@ ** D 4. Çka është pasqyra e një segmenti AB nëse nuk është paralel me drejtëzën projektuese s?

8 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Pasqyra e segmentit AB do të jetë një

segment tjetër A' B' me gjatësi të barabartë ose më të vogël se originali.

@ * D 5. Çka quhet projektim ortogonal?

Përgjigje : Projektimi paralel tek i cili drejtëza projektuese

është pingule Hformon kënd të drejtëL me rrafshin S quhet projektim ortogonal.

@ ** D 6. Tek vizatimi i mëposhtëm kush është projeksioni ortogonal i drejtëzës a?

Përgjigje :

Pika P shtrihet në rrafshin S atëherë pasqyra P' do të shtrihet në pikën e njëjtë P.

Është e dhënë se projeksioni i pikës A është pika A'

atëherë projekstioni i drejtëzës a është ajo

drejtëz që shtrihet në rrafshin S dhe kalon nëpër dy pikat A' dhe P

@ ** D 7. Si mund të jetë pasqyra e trekëndëshit ABC gjatë projeksionit ortogonal?

Përgjigje : në përgjithësi, pasqyra e trekëndëshit ABC është trekëndësh A' B' C'

Mirpo nëse faqja e trekëndëshit është pingule me rrafshin

projektues S atëherë pasqyra e trekëndëshit ABC do të jetë një segment AB

@ ** D 8. Pika M nuk shtrihet në drejtëzën a. A mundet projeksioni M' të shtrihet në drejtëzën a'?

Përgjigje : Vetëm nëse pika M dhe drejtëza a janë paralele me drejtëzën projektuese s.

@ ** D 9. Nëse pikat ', B' dhe C' janë kolineare,

a do të thotë kjo që edhe pikat origjinale A, B, dhe C duhet patjetër të jenë kolineare?

VIII TEMA 4.nb 9

Përgjigje : JO! Prej tek detyra 7 vizatimi 2, duket qart që pikat ',

B' dhe C' janë kolineare, mirpo origjinalët A, B, dhe C janë kulmet e një trekëndëshi

dmth nuk janë kolineare.

@ ** D 10. Drejtëzat a dhe b priten. Si mund të jenë projeksionet e tyre?

Përgjigje : Mund të jenë përsëri dy drejtëza

a' dhe b' që priten në një pikë OSE mund të jenë vetëm një drejtëz c'

[v] Paraqitja e trupave gjeometrik me vizatim.

@ * D 1. Vizato : aL kub, bL kuboid cL cilindërt dL kon eL top

Përgjigje :

@ * D 2. Prej çfarë prespektive e shohim kuboidin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej lartë nga e djathta

@ * D 3. Prej çfarë kënd - vështrimi e shohim kuboidin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej lartë nga e majta

@ * D 4. Prej çfarë prespektive e shohim kubin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej lartë nga e djathta

@ * D 5. Prej çfarë kënd - vështrimi e shohim kubin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej lartë nga e majta

10 VIII TEMA 4.nb

@ * D 6. Prej çfarë prespektive e shohim kubin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej poshtë nga e djathta

@ * D 7. Prej çfarë kënd - vështrimi e shohim kubin e mëposhtëm?

Përgjigje : Prej poshtë nga e majta

[vi] Prizmi, llojet e prizmave, prerjet diagonale.

@ * D 1. Çka quhet prizëm?

Përgjigje :

Figura gjeometrike që ka për baza dy shumëkëndësha të puthitshëm që janë paralele,

dhe për sipërfaqe anësore ka paralelogram quhet prizëm

@ * D 2. Cilët janë elementet themlore të prizmit?

Përgjigje : Kulmet, tehet Htehet e bazës dhe anësoreL, faqet H dy baza dhe faqe anësoreL.@ ** D 3. Vizato një prizëm trekëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban.

Përgjigje : 6 kulme, H6 tehe të dy bazave + 3 tehe anësoreL 9 tehe,

H2 baza + 3 faqe anësoreL 5 faqe

@ ** D 4. Vizato një prizëm katërkëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban.



@ ** D 5. Vizato një prizëm peskëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban.

VIII TEMA 4.nb 11



@ ** D 6. Vizato një prizëm gjashtëkëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban.



@ ** *D 7. Sa kulme, tehe dhe baza përmban prizmi njëzetë e dy këndor?

Përgjigje : 2 * 22 = 44 kulme

3 * 22 = 66 tehe

2 baza + 22 tehe anësore = 24 faqe

@ ** *D 8. Sa kulme, tehe dhe baza përmban prizmi tridhjetë e katër këndorë?

Përgjigje : 2 * 34 = 68 kulme

3 * 34 = 102 tehe

2 baza + 34 tehe anësore = 36 faqe

@ * D 9. Çka është dallimi midis prizmit të drejtë dhe të pjerrët?

Përgjigje : Tek prizmi i drejtë tehu anësor dhe baza formojnë kënd të drejtë,

kurse tek prizmi i pjerrët nuk formojnë kënd të drejtë.

@ * D 10. Çka është prizëm i rregullt?

Përgjigje : Prizmi i drejtë i cili për bazë ka shumëkëndësh

të rregullt Hbrinjë dhe kënde të barabartaL quhet prizëm i rregullt.

@ * D 11. Çka quhet paralelopiped?

Përgjigje : Prizmi katërkëndor quhet paralelopiped.

@ ** D 12. Çka fitohet nëse prej një kulmi të

prizmit katërkëndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale?

12 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqet vetëm një prerje diagonale,

si rezultat fitohen dy prizma trekëndorë.


prizmit peskëndërë tërhiqen të gjitha prerjet diagonale?

Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqen dy prerje diagonale,

si rezultat fitohen tre prizma trekëndorë.


prizmit gjashtëkëndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale?

Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqen tre prerje diagonale,

si rezultat fitohen katër prizma trekëndorë.

@ ** *D 15. Çka fitohet nëse prej një kulmi të prizmit

njëzet e dy këndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale?

Përgjigje : 22 - 3 = 19 prej një kulmi mund të tërhiqen 19 prerje diagonale

19 + 1 = 20 do të fitohen 20 prizma trekëndorë

@ ** D 16. A ekziston prizëm me : aL 4 faqe bL 8 faqe cL 13 faqe

Përgjigje : aL 4 faqe JO! sepse prizmi më i thjeshtë trekëndorë ka 5 faqe

bL 8 faqe =

2 baza + 6 faqe anësore dmth ky prizëm është gjashtëkëndor PO!

cL 13 faqe = 2 baza + 11 faqe anësore

dmth ky prizëm është njëmbëdhjetëkëndor PO!

[vii] Paralelopipedi. Rrjeti dhe syprina e prizmit.

@ * D 1. Si është lidhja midis faqeve të përballta të paralelopipedit?

Përgjigje :

Paralelopipedi ka tre palë të faqeve të përballta që janë paralele dhe të puthitshme.

VIII TEMA 4.nb 13

@ ** D 2. Si është lidhja midis diagonaleve hapsinore të kuboidit dhe kubit?

Përgjigje : Diagonalet hapsinore të kubit dhe kuboidit përgjysmohen në pikprerjen e tyre.

@ ** D 3. Cakto diagonalen hapsinore të kuboidit me përmasa 3 m, 4 m dhe 12 m.

Përgjigje : Diagonalja hapsinore është hipotenuza e

trekëndëshit këndrejtë me katete lartësinë c dhe diagonalen e bazës ABCD

Zbatojmë teoremën e Pitagorës 2 herë :

d = a2 + b2 + c2

d = 32 + 42 + 122

d = 9 + 16 + 144

d = 169

d = 13

@ ** D 4. Vizato rrjetën e kuboidit me përmasa 5 cm, 2 cm dhe 3 cm.

Përgjigje :

@ ** D 5. Vizato rrjetën e prizmit të rregullt trekëndorë me lartësi 6 cm dhe teh të bazës 3 cm

Përgjigje :

14 VIII TEMA 4.nb

@ ** D 6. Cila nga figurat e mëposhtme nuk mund të jetë rrejta e kubit?

Përgjigje : Nën b sepse të dy bazat janë tek ana e djathtë

@ * D 7. Si thotë formula e përgjithshme për syprinën e prizmit

Përgjigje : Prizmi ka dy baza dhe mbështjellës anësorë atëherë

S = 2 * SB + SM ku SB është syprina e bazës,

kurse SM është syprina e mbështjellësit.

@ ** D 8. Njehëso syprinën e prizmit të rregullt trekëndorë me lartësi 6 cm dhe teh të bazës 3 cm

Përgjigje : Ky prizëm ka dy trekëndësha barabrinjës për baza me teh 3 cm

dhe 3 drejtkëndësha anësorë me përmasa 3 cm dhe 6 cm

S = 2 * SB + SM

Syprina e trekëndëshit barabrinjës

SB =a2 3

4SM = 3 * a * H

SB =32 3

4SM = 3 * 3 * 6

SB =9 * 1.732

4SM = 54 cm2

SB = 3.897 cm2

S = 2 * SB + SMS = 2 * 3.897 + 54

S = 61.794 cm2

@ ** *D 9. Njehëso syprinën e prizmit të drejtë trekëndorë me tehe të bazës a = 6 cm,

b = 25 cm, c = 29 cm dhe lartësi H = 35 cm.

Përgjigje : S = 2 * SB + SM

VIII TEMA 4.nb 15

Syprina e trekëndëshit brinjëndryshëm Syprina e tre drejtëkëndëshave me lartësi të njëjtë

Formula e Heronit : por me baza të ndryshme

s =a + b + c

2SM = a * H + b * H + c * H

s =6 + 25 + 29

2SM = Ha + b + cL * H

s =60

2SM = H6 + 25 + 29L * 35

s = 30 SM = 60 * 35

SB = s * Hs - aL * Hs - bL * Hs - cL SM = 2100 cm2

SB = 30 * H30 - 6L * H30 - 25L * H30 - 29LSB = 30 * 24 * 5 * 1

SB = 3600

SB = 60 cm2

S = 2 * SB + SMS = 2 * 60 + 2100

S = 120 + 2100

S = 2220 cm2

@ ** *D 10. Njehëso syprinën e prizmit të

rregullt gjashtëkëndor me lartësi 7 cm dhe teh të bazës 5 cm


Syprina e gjashtëkëndëshit të rregullt Syprina e gjashtë drejtkëndëshave të puthitshëm

SB = 6 *a2 3

4SM = 6 * a * H

SB = 3 *52 3

2SM = 6 * 5 * 7

SB = 1.5 * 25 * 1.732 SM = 210 cm2

SB = 64.95 cm2

S = 2 * SB + SMS = 2 * 64.95 + 210

S = 339.9 cm2

@ ** *D 11. Njehëso tehun e kubit me syprinë S = 61.44 cm2

Përgjigje : Kubi ka 6 faqe të puthitshme secila me sipërfaqe a2

S = 6 * a2

61.44 = 6 * a2

61.44

6= a2

10.24 = a2

10.24 = a

3.2 = a

@ ** D 12. Njehëso syprinën e kubit me teh 5 cm.

16 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Kubi ka 6 faqe të puthitshme secila me sipërfaqe a2

S = 6 * a2

S = 6 * 52

S = 6 * 25

S = 150 cm2

@ ** D 13. Njehëso syprinën e kuboidit me përmasa 5 cm, 2 cm, dhe 3 cm.

Përgjigje : Kuboidi ka tre palë të faqeve të puthitshme të gjitha drejtëkëndësha

S = 2 * a * b + 2 * b * c + 2 * a * c

S = 2 * Ha * b + b * c + a * cLS = 2 * H5 * 2 + 2 * 3 + 5 * 3LS = 2 * H10 + 6 + 15LS = 2 * 31

S = 62 cm2

@ ** D 14. Njehëso diagonalen hapsionre të kubit me teh 5 cm.

Përgjigje : d = a2 + b2 + c2 në kët rast kubi i ka të gjitha tehet e barabarta

d = a2 + a2 + a2

d = 3 * a2 nxjerrim a përpara rrënjës katrore

d = a 3

d = 5 * 3

d = 5 * 1.732

d = 8.66 cm

@ ** D 15. Njehso syprinën e prizmit të rregullt katërkëndor me tehun e bazës 5 cm dhe lartësi 10 cm.


Syprina e katërkëndëshit të rregullt

HkatroritL Syprina e katër drejtkëndëshave të puthitshëm

SB = a2 SM = 4 * a * H

SB = 52 SM = 4 * 5 * 10

SB = 25 SM = 200

S = 2 * SB + SMS = 2 * 25 + 200

S = 250 cm2

@ ** *D 16. Njehso lartësinë e prizmit të rregullt katërkëndor në qoftë se syprina

e sipërfaqes anësore është M = 160 cm2 kurse syprina e prizmit është S = 210 cm2.

Përgjigje : S = 2 * SB + SM210 = 2 * SB + 160

210 - 160 = 2 * SB50 = 2 * SB50

2= SB

25 = SBPrizmi i rregullt katërkëndor e ka bazën katror dmth

VIII TEMA 4.nb 17

SB = a2

25 = a2

25 = a

5 = a

Mbështjellës të këtij prizmi janë 4 drejtkëndësha të puthitshëm

SM = 4 * a * H

160 = 4 * 5 * H

160 = 20 * H

160

20= H

8 cm = H

@ ** *D 17. Sa herë do të zmadhohet syprina e një kubi, në qoftë se tehu i tij zmadhohet tre herë?

Përgjigje : Syprina e kubit njehësohet

S = 6 * a2

nëse tehu zmadhohet 3 herë

S = 6 * H3 aL2

S = 6 * 9 * a2

S = 54 * a2

Caktojmë raportin

54 * a2

6 * a2= 6 dmth syprina zmadhohet 9 herë

[viii] Vëllimi i poliedrit. Vëllimi i kubit dhe kuboidit.

@ * D 1. Çka quhet poliedër?

Përgjigje : Trupi gjeometrik tehor H që përbëhet prej shumëkëndëshaveLquhet poliedër. P.SH. Kubi, Kuboidi, Prizmi, Piramida etj.

@ * D 2. Çka është dallimi midis trupit tehor dhe të lakuar?

Përgjigje : Nga vetë emri,

trupi i lakuar përmban sipërfaqe rrethore Hkoni, clindri, piramidaL,kurse trupi tehor përbëhet vetëm prej shumëkëndëshave.

@ * D 3. Çka mund të themi për dy trupa të puthitshëm?

Përgjigje : Kanë formë dhe përmasa të njëjta, si rezultat kanë syprinë dhe vëllim të njëjtë.

@ * D 4. Cila është njësia themelore për vëllimin? A mund vëllimi të jetë zero ose numër negativ?

Përgjigje : Njësia themelore për vëllimin është m3, vëllimi është përher numër pozitiv!

@ ** D 5. Caktë vëllimin e kubit me teh 4 cm.

Përgjigje : V = a3

V = 43

V = 64 cm3

@ ** D 6. Caktë vëllimin e kuboidit me përmasa 5 cm, 2 cm, dhe 3 cm.

Përgjigje : V = a * b * c

V = 5 * 2 * 3

V = 30 cm3

18 VIII TEMA 4.nb

@ ** D 7. Njehëso vëllimin e kubit me syprinë 54 cm2

Përgjigje : Caktojmë brinjën e kubit

S = 6 * a2

54 = 6 * a2

54

6= a2

9 = a2

9 = a

3 = a

Caktojmë vëllimin

V = a3

V = 33

V = 27 cm3

@ ** *D 8. Përmasat e një kuboidi janë 16 cm, 4 dm,

1 m. Cakto tehun e kubit që ka vëllim të njëjtë me kuboidin.

Përgjigje : Shëndrrojmë njësitë në m

16 cm = 0.16 m

4 dm = 0.4 m

Caktojmë vëllimin e kuboidit

V = a * b * c

V = 0.16 * 0.4 * 1

V = 0.064 m3

Caktojmë tehun e kubit

V = a3

0.064 = a3

H0.064L 1

3 = a

0.4 m = a

@ ** *D 9. Një kuboid e ka bazën katror me brinjë 4 cm,

dhe syprinë anësore M = 112 cm2. Njehëso vëllimin e këtij kuboidi.

Përgjigje : Sipërfaqja anësore është 4 drejtkëndësha të puthitshëm

SM = 4 * a * H

122 = 4 * 4 * H

112

16= H

7 = H


V = a * a * H

V = 4 * 4 * 7

V = 112 cm3

@ ** *D 10. Baza e një kuboidi ka përmasa 6 cm dhe 8 cm,

kurse diagonalja hapsinore e kuboidit është 26 cm. Cakto vëllimin e kubit

Përgjigje : a = 6 cm, b = 8 cm, c = ? d = 26cm

VIII TEMA 4.nb 19

Caktojmë brinjën c

d = a2 + b2 + c2

d2 = a2 + b2 + c2

262 = 62 + 82 + c2

676 = 36 + 64 + c2

676 = 100 + c2

676 - 100 = c2

576 = c2

576 = c

24 = c


V = a * b * c

V = 6 * 8 * 24

V = 1152 cm3

@ ** *D 11. Vëllimi i një kubi është i barabartë me vëllimin e kuboidit me përmasa 8 cm,

4 cm, 2 cm. Cakto syprinën e kubit.

Përgjigje : Caktojmë vëllimin e kuboidit

V = a * b * c

V = 8 * 4 * 2

V = 64 cm3

Caktojmë brinjën e kubit

V = a3

64 = a3

H64L 1

3 = a

4 = a

Caktojmë syprinën e kubit

S = 6 * a2

S = 6 * 42

S = 6 * 16

S = 96 cm2

@ ** *D 12. Sa litra ujë nxen një kubë me teh 25 cm.

Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm, 25 cm = 2.5 dm

Caktojmë vëllimin e kubit

V = a3

V = H2.5L3

V = 15.625 dm3

Nga lënda e fizikës e dimë se 1 dm3 = 1 l

dmth ky kub nxen 15.625 litra.

@ ** *D 13. Sa litra ujë nxen një kuboid me përmasa 2 m, 3 m, dhe 5 m.

20 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : 2 m = 20 dm, 3 m = 30 dm, 5 m = 50 dm


V = a * b * c

V = 20 * 30 * 50

V = 30000 dm3


dmth ky kuboid nxen 30000 litra.

@ ** *D 14. Sa litra ujë nxen një kuboid me përmasa a = b = 30 cm dhe lartësi H = 40 cm.

Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : a = b = 30 cm = 3 dm dhe H = 40 cm = 4 dm


V = a * b * c

V = 3 * 3 * 4

V = 36 dm3


dmth ky kuboid nxen 36 litra.

[ix] Vëllimi i prizmit të rregullt.

@ * D 1. Si është formula e përgjitshme për njehësimin e vëllimit të prizmit të drejtë?

Përgjigje : V = SB * H ku SB është syprina e bazës dhe H është lartësia

@ ** D 2. Cakto vëllimin e prizmit trekëndor me bazë trekëndësh kënddrejt me tehe 6 cm,

8 cm, 10 cm dhe lartësi H = 15 cm.

Përgjigje :

Prizmi i dhënë është trekëndor me bazë trekëndësh kënddrejt ku brinja më e gjatë hipotenuza c =

10 cm, kurse dy katetet tjera janë a = 6 cm dhe b = 8 cm.

Caktojmë syprinën e bazës Htrekëndëshit kënddrejtLSB =

a * h

2

SB =a * b

2

SB =6 * 8

2

SB = 24 cm2

Caktojmë vëllimin e prizmit

V = SB * H

V = 24 * 15

V = 360 cm3

@ ** D 3. Cakto vëllimin e prizmit trekëndor me tehe të bazës a = 13 cm,

b = 14 cm, c = 15 cm, dhe lartësi H = 20 cm.

VIII TEMA 4.nb 21

Përgjigje : Prizmi i dhënë trekëndor ka për bazë trekëndësh brinjëndryshëm,

përdorim formulën e Heronit

s =a + b + c

2

s =13 + 14 + 15

2

s =42

2s = 21

SB = s * Hs - aL * Hs - bL * Hs - cLSB = 21 * H21 - 13L * H21 - 14L * H21 - 15LSB = 21 * 8 * 7 * 6

SB = 7056

SB = 84 cm2


V = SB * H

V = 84 * 20

V = 1680 cm3

@ ** D 4. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt trekëndor me teh 6 cm dhe lartësi H = 8 cm.

Përgjigje : Prizmi i rregullt trekëndor ka bazë trekëndësht barabrinjës,

caktojmë syprinën e këtij

SB =a2 3

4

SB =62 3

4

SB =36 3

4

SB = 9 3 cm2


V = SB * H

V = 9 3 * 8

V = 72 3 cm3 ose

V = 72 * 1.732

V = 124.704 cm3

@ ** D 5. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt gjashtëkëndor me teh të bazës 10 cm dhe lartësi H =

60 cm. Sa litra ujë nxen ky prizëm.

22 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Shëndrrojmë njësitë në dm : a = 10 cm = 1 dm, H = 60 cm = 6 cm

Prizmi i rregullt gjashtëkëndor ka bazë gjashtkëndësh,

caktojmë syprinën e bazës

SB = 6 *a2 3

4

SB = 3 *a2 3

2

SB = 3 *12 3

2

SB = 3 *1 * 3

2

SB = 1.5 3 dm2


V = SB * H

V = 1.5 3 * 6

V = 9 3 dm3 ose

V = 15.588 dm3 dmth ky prizëm nxen V = 15.588 litra ujë

@ ** D 6. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt katërkëndor me teh të bazës 5 cm dhe lartësi H =

9 cm. Sa litra ujë nxen ky prizëm.

Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : a = 5 cm = 0.5 dm H = 9 cm = 0.9 dm

Prizmi i rregullt katërkëndor bazën e ka katror, caktojmë syprinën

SB = a2

SB = H0.5L2

SB = 0.25 dm2


V = SB * H

V = 0.25 * 0.9

V = 0.225 dm3 dmth ky prizëm nxën V = 0.225 litra = 225 mililitra

@ ** D 7. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt

gjashtëkëndor me perimetrin e bazës 24 cm dhe lartësi 10 cm.

VIII TEMA 4.nb 23

Përgjigje : Caktojmë brinjën e bazës nga perimetri

P = 6 * a

24 = 6 * a

24

6= a

4 = a

Caktojmë syprinën e bazës Hgjashtëkëndëshi i rregulltLSB = 6 *

a2 3

4

SB = 3 *a2 3

2

SB = 3 *42 3

2

SB = 3 *16 3

2

SB = 3 * 8 3

SB = 24 3 cm2


V = SB * H

V = 24 3 * 10

V = 240 3 cm3 ose

V = 415.692 cm3

@ ** D 8. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm është baza e një

prizmi të drejtë me lartësi 20 cm.Njehso vëllimin dhe syprinën e prizmit.

Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës HrombitLSB =

d1 * d2

2

SB =24 * 10

2

SB = 120 cm2

Caktojmë vëllimin

V = SB * H

V = 120 * 20

V = 2400 cm3

@ ** *D 9. Prizmi i rregullt katërkëndor e ka syprinën S =

448 dm2 dhe sipërfaqen e syprinën anësore M = 320 dm2. Njehso vëllimin e prizmit.

24 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës

S = SB + SM448 = SB + 320

448 - 320 = SB128 = SBPrizmi i rregullt katërkëndor bazën e ka katror, caktojmë tehun e batës

SB = a2

128 = a2

128 = a

11.3137 = a

Sipërfaqja anësore e këtij prizmi janë 4 drejtkëndësha të puthitshëm,

caktojmë lartësinë

SM = 4 * a * H

320 = 4 * 11.3137 * H

320 = 45.2548 * H

320

45.2548= H

7.071 = H


V = SB * H

V = 128 * 7.071

V = 905.088 cm3

@ ** *D 10. Sa është i lartë prizmi i rregullt gjashtëkëndor me tehun e bazës a =

6 cm dhe vëllim V = 1260 cm3?

Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës Hgjashtëkëndësh i rregulltLSB = 6 *

a2 3

4

SB = 3 *a2 3

2

SB = 3 *62 3

2

SB = 3 *36 3

2

SB = 3 * 18 3

SB = 54 3 cm2


V = SB * H

1260 = 54 3 * H

1260

54 3= H

1260

93.5307= H

13.47 = H

VIII TEMA 4.nb 25

[x] Piramida, syprina e piramidës.

@ * D 1. Çka quhet piramidë?

Përgjigje : Piramida është trup gjeometrik tehorë që

për bazë ka një shumëkëndësh kurse për sipërfaqe anësore ka trekëndësha.

@ * D 2. Cilët janë elementet themelore të piramidës?

Përgjigje : Kulmet, Tehet, Faqet

@ ** D 3. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida trekëndore?

Përgjigje : 4 kulme, 6 tehe, 4 faqe

@ ** D 4. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida katërkëndore?


@ ** D 5. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida gjashtëkëndore?


@ ** D 6. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida njëzet e tre këndore?

Përgjigje : 23 + 1 = 24 kulme dhe faqe

2 * 23 = 46 tehe

@ ** D 7. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida tridhjetë e gjashtë këndore?

Përgjigje : 36 + 1 = 37 kulme dhe faqe

2 * 36 = 72 tehe

@ ** D 8. I cilit lloj është piramida që ka 6 kulme?

Përgjigje : Piramida peskëndore 5 + 1 = 6

@ ** D 9. I cilit lloj është piramida që ka 10 tehe?

Përgjigje : Piramida peskëndore 5 * 2 = 10 tehe

@ ** *D 10. Njehëso apotemën e piramidës të rregullt me teh të bazës a = 14 cm dhe teh anësor s = 25 cm

Përgjigje : Apotema dhe tehu i bazës formojnë kënd të drejtë, zbatojmë teoremën e Pitagorës

s2 = h2 + Ka2

O2

252 = h2 +14

2

2

625 = h2 + 72

625 = h2 + 49

625 - 49 = h2

576 = h2

576 = h

24 = h

26 VIII TEMA 4.nb

@ ** D 11. Vizato rrjetën e piramidës së rregullt trekëndore, katërkëndore,

peskëndore dhe gjashtkëndore me teh të bazës 5 cm dhe teh s = 10 cm

Përgjigje :

@ ** *D 12. Njehso syprinën e piramidës së rregullt

katërkëndore me tehun e bazës 14 cm dhe tehun anësor s = 25 cm.

Përgjigje : S = SB + SM ku SB është syprina e bazës, dhe SM është syprina e mbështjellësit

Caktojmë syprinën e bazës HkatrorLSB = a2

SB = 142

SB = 196 cm2

Caktojmë apotemën nga baza dhe tehu anësor me teoremën e pitagorës

s2 =

h2 + Ka2

O2

® 252 = h2 +14

2

2

® 625 = h2 + 49 ® h = 625 - 49 ® h = 576 ® h = 24

Caktojmë syprinën e mbështjellësit H4 trekëndësha me baz a dhe apotem hLSM = 4 *

a * h

2SM = 2 * 14 * 24

SM = 672 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SMS = 196 + 672

S = 868 cm2

@ ** *D 13. Njehso syprinën e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a =

10 cm dhe lartësi H = 12 cm.

VIII TEMA 4.nb 27

Përgjigje : S = SB + SM ku SB është syprina e bazës, dhe SM është syprina e mbështjellësit


SB = 102

SB = 100 cm2

Caktojmë apotemën duke zbatuar teoremën e pitagorës

h2 = H2 + Ka2

O2

® h2 = 122 +10

2

2

® h2 = 144 + 25 ® h = 169 ® h = 13

Caktojmë syprinën e mbështjellësit Hkatër trekëndëshaLSM = 4 *

a * h

2SM = 2 * 10 * 13

SM = 260 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SMS = 100 + 260

S = 360 cm2

@ ** *D 14. Njehso syprinën e tetraedrit të rregullt me teha a = 12 cm

Përgjigje : Tetraedri i rregullt ka katër faqe të puthitshme

S = 4 * SBBaza e tetraedrit të rregullt është trekëndësh barabrinjës

SB =a2 3

4Zëvëndësojmë

S = 4 * SB

S = 4 *a2 3

4

S = a2 3

S = 122 3

S = 144 3 cm2

@ ** D 15. Njehso syprinën e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a =

17 cm dhe apotemën h = 15 cm.

28 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : S = SB + SMCaktojmë syprinën e bazës HkatrorLSB = a2

SB = 172

SB = 289 cm2

Caktojmë syprinën e mbështjellësit Hkatër trekëndëshaLSM = 4 *

a * h

2SM = 2 * 17 * 15

SM = 510 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SMS = 289 + 510

S = 799 cm2

@ ** D 16. Njehso syprinën e bazës së piramidës së rregullt katërkëndore me lartësi H =

6 dm dhe apotemën h = 6.5 dm.

Përgjigje : Caktojmë tehun e bazës së piramidës duke zbatuar teoremën e Pitagorës

h2 = H2 + Ka2

O2

® 6.52 = 62 + Ka2

O2

® 42.25 =

36 + Ka2

O2

® Ka2

O2

= 42.25 - 36 ®a

2= 6.25 ®

a

2= 2.5 ® a = 2 * 2.5 ® a = 5 dm


SB = 52

SB = 25 dm2

@ ** *D 17. Njehso syprinën e piramidës së rregullt

trekëndore me tehun e bazës 6 cm dhe tehun anësor 10 cm.

VIII TEMA 4.nb 29

Përgjigje : S = SB + SMCaktojmë syprinën e bazës Htrekëndësh barabrinjësLSB =

a2 3

4

SB =62 3

4

SB =36 3

4

SB = 9 3 cm2

Caktojmë apotemën nga baza dhe tehu anësore me teoremën e Pitagorës

s2 =

h2 + Ka2

O2

® 102 = h2 +6

2

2

® 100 = h2 + 9 ® h = 100 - 9 ® h = 91 ® h = 9.54

Caktojmë syprinën e mbështjellësit Htre trekëndëshaLSM = 3 *

a * h

2

SM = 3 *6 * 9.54

2

SM = 85.86 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SM

S = 9 3 + 85.86

S = 101.448 cm2

@ ** D 18. Njehso syprinën e piramidës së rregullt

gjashtëkëndore me tehun e bazës 10 cm dhe apotema 13 cm.

30 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : S = SB + SMCaktojmë syprinën e bazës Hgjashtëkëndësh i rregulltLSB = 6 *

a2 3

4

SB = 3 *102 3

2

SB = 1.5 * 100 3

SB = 150 3 cm2

Caktojmë syprinën e mbështjellësit Hgjashtë trekëndëshaLSM = 6 *

a * h

2SM = 3 * 10 * 13

SM = 390 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SM

S = 150 3 + 390

S = 649.808 cm2

@ ** *D 19. Piramida e rregullt katërkëndore me tehun e bazës a =

8 cm e ka syprinën 144 cm2.Njehso lartësinë H të piramidës.

VIII TEMA 4.nb 31

Përgjigje : S = SB + SMCaktojmë syprinën e bazës HkatrorLSB = a2

SB = 82

SB = 64 cm2

Zëvëndësojmë

S = SB + SM144 = 64 + SMSM = 144 - 64

SM = 80 cm2

Caktojmë apotemën nga syprina e mbështjellësit Hkatër trekëndëshaLSM = 4 *

a * h

280 = 2 * 8 * h

h =80

16h = 5 cm

Caktojmë lartësinë H me teoremën e Pitagorës

h2 =

H2 + Ka2

O2

® 52 = H2 +8

2

2

® 25 = H2 + 16 ® H = 25 - 16 ® H = 9 ® H = 3 cm

[xi] Vëllimi i piramidës.

@ ** D 1. Njehso vëllimin e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a =

12 cm dhe lartësi H = 20 cm.

Përgjigje : V =1

3* SB * H


SB = 122

SB = 144 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 144 * 20

V = 960 cm3

32 VIII TEMA 4.nb

@ ** D 2. Piramida e Keopsit në Egjypt e ka lartësinë

149 m dhe bazën katror me brinjë 232 m.Njehso vëllimin e tijë.

Përgjigje : V =1

3* SB * H


SB = 2322

SB = 53824 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 53824 * 149

V = 2673258.66 m3

@ ** D 3. Njehso vëllimin e piramidës me lartësi H =

12 cm dhe bazë drejtkëndësh me përmasa a = 32 cm dhe b = 10 cm.

Përgjigje : V =1

3* SB * H

Caktojmë syprinën e bazës HdrejtkëndëshLSB = a * b

SB = 32 * 10

SB = 320 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 320 * 12

V = 1280 cm3

@ ** D 4. Njehso vëllimin e piramidës së rregullt trekëndore me tehun e bazës 5 cm dhe lartësi 9 cm.

Përgjigje : V =1

3* SB * H

Caktojmë syprinën e bazës Htrekëndësh barabrinjësLSB =

a2 3

4

SB =52 3

4

SB =25 3

4

SB = 10.825 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 10.825 * 9

V = 32.475 cm3

VIII TEMA 4.nb 33

@ ** *D 5. Piramida e rregullt katërkëndore e ka lartësinë

12 cm dhe diagonalen e bazës 8 cm.Sa është vëllimi i piramidës?

Përgjigje : V =1

3* SB * H

Caktojmë syprinën e bazës HkatrorL

d2 = a2 + a2

d2 = 2 * a2

82 = 2 * a2

64 = 2 * a2

a2 =64

2

a2 = 36

SB = a2

SB = 36 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 36 * 12

V = 144 cm3

@ ** D 6. Një piramidë e rregullt katërkëndore e ka tehun e bazës a =

8 cm dhe vëllimin V = 576 cm3. Njehso lartësin e piramidës.

Përgjigje : V =1

3* SB * H


SB = 82

SB = 64 cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

576 =1

3* 64 * H

576 * 3 = 64 * H

576 * 3

64= H

27 = H

@ ** D 7. Piramida e rregullt katërkëndore e ka bazën B =

144 cm2 dhe lartësi H = 40 cm.Njehso vëllimin e piramidës.

34 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : V =1

3* SB * H

Zëvëndësojmë

V =1

3* SB * H

V =1

3* 144 * 40

V = 1920 cm3

[xii] Cilindri, syprina dhe vëllimi.

@ ** D 1. Çka është prerja boshtore e cilindrit?

Përgjigje : Prerja e cilindrit me një rrafsh i cili kalon nëpër boshtin e

cilindrit OO1 gjatë së cilës fitohet drejtkëndësh quhet prerje boshtore e cilindrit.

@ ** D 2. Çka është dallimi midis cilindrit të rëndomtë dhe atijë barabrinjës.

Përgjigje : Tek cilindri i rëndomtë prerja boshtore është drejtkëndësh,

kurse tek cilindri barabrinjës prerja boshtore është katror.

@ ** D 3. Cakto syprinën e prerjes boshtore të cilindrit të rëndomtë me R = 5 cm dhe lartësi H = 7 cm

Përgjigje : Gjërësia është 2 R dmth 2 * 5 = 10 cm

Lartësia është H dmth 7 cm

S = gjërësi * lartësi

S = 2 R * H

S = 2 * 5 * 7

S = 70 cm2

@ ** D 4. Cakto syprinën e prerjes boshtore të cilindrit barabrinjës me rreze 3 cm.

Përgjigje : Prerja boshtore është katror

Gjërësia është 2 R dmth 2 * 3 = 6 cm

S = H2 RL2

S = H2 * 3L2

S = 62

S = 36 cm2

@ ** D 5. Prerja boshtore e një cilindri barabrinjës

e ka syprinën 100 cm2.Njehso rrezen dhe lartësinë e cilindrit.

VIII TEMA 4.nb 35

Përgjigje : Prerja boshtore është katror

Gjërësia është 2 R

S = H2 RL2

100 = H2 RL2

100 = 2 R

10 = 2 R

10

2= R

5 = R H = 2 R = 10 cm

@ ** D 6. Vizato rrjën e cilindrit të rëndomtë me rreze R = 3 cm dhe lartësi H = 7 cm,

dhe cilindër barabrinjës me rreze R = 3 cm.

Përgjigje :

@ * D 7. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinëne cilindrit.

Përgjigje : Cilindri ka dy baza dhe një mbështjellës

S = 2 * SB + SMBaza është rreth me rreze R

SB = Π * R2

Mbështjellësi është drejtkëndësh me gjërësi 2 ΠR dhe lartësi H

SM = 2 * Π * R * H

Zëvëndësojmë

S = 2 * SB + SMS = 2 * Π * R2 + 2 * Π * R * H

S = 2 * Π * R * HR + HL

@ ** D 8. Njehso syprinën e cilindrit me rreze R = 8 cm dhe lartësi H = 2.5 dm.

Përgjigje : Shëndrrojmë lartësinë në centimetra H = 2.5 dm = 25 cm

Zëvëndësojmë

S = 2 * Π * R * HR + HLS = 2 * Π * 8 * H8 + 25LS = Π * 16 * 33

S = 528 Π cm2

@ ** *D 9. Njehso syprinën e cilindrit barabrinjës me rreze R = 3 cm.

36 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H = 2 R = 2 * 3 = 6 cm

Zëvëndësojmë

S = 2 * Π * R * HR + HLS = 2 * Π * 3 * H3 + 6LS = Π * 6 * 9

S = 54 Π cm2

@ * D 10. Shkruaj formulën e përgjithshme për vëllimin e cilindrit.

Përgjigje : Njëlloj si tek prizmi

V = SB * H

në rastin tonë baza është rreth

SB = ΠR2

Zëvëndësojmë

V = Π * R2 * H

@ ** D 11. Njehso vëllimin e cilindrit me rreze R = 10 cm dhe lartësi H = 15 cm.

Përgjigje : Zëvëndësojmë

V = Π * R2 * H

V = Π * 102 * 15

V = Π * 100 * 15

V = 1500 * Π cm3

@ ** *D 12. Njehso vëllimin e cilindrit barabrinjës me rreze R = 3 cm.

Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H = 2 R = 2 * 3 = 6 cm

Zëvëndësojmë

V = Π * 32 * 6

V = Π * 9 * 6

V = 54 Π cm3

@ ** *D 13. Njehso S dhe V të cilindrit me lartësi H = 15 cm dhe rreze R = 1.2 dm

Përgjigje : Shëndrrojmë në centimetra R = 1.2 dm = 12 cm

Zëvëndësojmë

S = 2 * Π * R * HR + HLS = 2 * Π * 12 * H12 + 15LS = Π * 24 * 27

S = 648 Π cm2

Zëvëndësojmë

V = Π * R2 * H

V = Π * 122 * 15

V = Π * 144 * 15

V = 2160 Π cm3

@ ** *D 14. Cilindri barabrinjës e ka syprinën 1350 Π cm2. Cakto vëllimin e tij.

VIII TEMA 4.nb 37

Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H = 2 R

Zëvëndësojmë

S = 2 * Π * R * HR + HLS = 2 * Π * R * HR + 2 RLS = 2 * Π * R * H3 RLS = 2 * Π * 3 * R2

S = 6 * Π * R2

1350 Π = 6 * Π * R2 �� thjeshtojmë Π nga të dy anët

1350 = 6 * R2

1350

6= R2

225 = R2

225 = R

15 = R H = 2 R = 2 * 15 = 30

Zëvëndësojmë

V = Π * R2 * H

V = Π * 302 * 15

V = Π * 900 * 15

V = 13500 Π cm3

@ ** *D 15. Diagonalet e prerjes boshtore të një cilindri,

që është i lartë 8 cm, është i barabartë me 10 cm.Njehso S dhe V të cilindrit.

38 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Prerja boshtore është drejtkëndësh me diagonale d = 10 cm dhe lartësi H = 8 cm.

Zbatojmë teoremën e pitagorës

d2 = H2 RL2+ H2

102 = H2 RL2+ 82

100 = H2 RL2+ 64

100 - 64 = H2 RL2

36 = H2 RL2

36 = 2 R

6 = 2 R

6

2= R

3 = R

Zëvëndësojmë

S = 2 * Π * R * HR + HLS = 2 * Π * 3 * H3 + 8LS = Π * 6 * 11

S = 66 Π cm2

Zëvëndësojmë

V = Π * R2 * H

V = Π * 32 * 8

V = Π * 9 * 8

V = 72 Π cm3

@ ** *D 16. Cakto lartësinë e cilindrit,

rrezja e të cilit është 5 cm, kurse vëllimi është V = 1570 cm2


V = Π * R2 * H

1570 = 3.14 * 52 * H

1570 = 3.14 * 25 * H

1570 = 78.5 * H

1570

78.5= H

20 = H

[xiii] Koni, syprina dhe vëllimi.

@ * D 1. Çka është koni?

VIII TEMA 4.nb 39

Përgjigje : Koni është trup gjeometrik rrotullues që fitohet nga një vijë e drejtë që kalon

tek çdo pikë e vijës rrethore HbazësL dhe që kalon nëpër një pikë tjetër hapsinore S.

@ * D 2. Cilët janë elementet e konit?

Përgjigje : Vija rrethore është baza, kurse sipërfaqja konike është mbështjellësi

segmenti SO është boshti i konit HlartësiaLsegmenti ST = s është teh anësor i mbështjellësit HgjeneratrisL

@ * D 3. Tek koni i drejtë, si është lidhja midis boshtit H, rrezes R dhe tehut të mbështjellësit s?

Përgjigje : boshti dhe rrezja formojnë kënd të drejtë, përdorim teoremën e Pitagorës

s2 = H2 + R2

@ ** D 4. Njehëso lartësinë H të konit me teh anësorë s = 25 cm dhe rreze të bazës R = 7 cm


s2 = H2 + R2

252 = H2 + 72

625 = H2 + 49

H2 = 625 - 49

H = 576

H = 24 cm

@ * D 5. Çka është prerja boshtore e konit?

40 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Prerja e konit me rrafsh i cili kalon nëpër boshtin e

konit SO quhet prerje boshtore. Si rezultat fitohet trekëndësh barakrahës.

@ ** D 6. Çka është dallimi midis konit të rëndomtë dhe atijë barabrinjës?

Përgjigje : Tek koni barabrinjës prerja boshtore

është trekëndësh barabrinjës H tehu anësorë është sa diametri i rrethiLs = 2 * R

@ ** D 7. Njehëso syprinën e prerjes boshtore të konit barabrinjës me rreze R = 10 cm.

Përgjigje : Prerja boshtore e konit barabrinjës është trekëndësh barabrinjës,

s = 2 * R

s = 2 * 10

s = 20 cm

Caktojmë syprinën

S =a2 3

4

S =202 3

4

S =400 3

4

S = 100 3 cm2

@ ** D 8. Vizato rrjetën e konit të rëndomtë m rreze R = 3 cm dhe teh anësor s = 5 cm,

dhe rrjetën e konit barabrinjës me rreze R = 3 cm.

Përgjigje :

VIII TEMA 4.nb 41

@ ** D 9. Vizato rrjetën e konit të rëndomtë m rreze R = 5 cm dhe lartësi H = 12 cm.

Përgjigje : Caktojmë gjatësinë e tehut anësorë s

s2 = H2 + R2

s2 = 52 + 122

s = 25 + 144

s = 169

s = 13 cm

@ * D 10. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinën e konit.

Përgjigje : S = SB + SMS = Π * R2 + Π * R * s

S = Π * R * HR + sL@ ** D 11. Cakto syprinën e konit me rreze 5 cm dhe lartësi 1.5 dm.

42 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : caktojmë gjatësinë e tehut anësor

s2 = H2 + R2

s2 = 52 + 152

s = 25 + 225

s = 250

s = 25 * 10

s = 5 10 cm ose

s = 15.8114 cm

caktojmë syprinën

S = Π * R * HR + sLS = 3.14 * 5 * H5 + 15.8114LS = 326.73898 cm2

@ ** *D 12. Cakto syprinën e konit barabrinjës me rreze 6 cm.

Përgjigje : s = 2 * R = 2 * 6 = 12 cm

Zëvëndësojmë

S = Π * R * HR + sLS = Π * 6 * H6 + 12LS = Π * 6 * 18

S = 108 Π cm2

Përgjigje : V =1

3* SB * H

V =1

3* Π * R2 * H

@ ** D 14. Cakto vëllimin e konit me rreze 10 cm dhe lartësi 3 dm.


V =1

3* Π * R2 * H

V =1

3* Π * 102 * 30

V = 10 * Π * 100

V = 1000 Π cm3

@ ** *D 15. Cakto vëllimin e konit barabrinjës me rreze 6 cm.

VIII TEMA 4.nb 43

Përgjigje : s = 2 * R = 2 * 6 = 12 cm

caktojmë lartësinë

s2 = H2 + R2

122 = H2 + 62

H2 = 144 - 36

H = 108

H = 36 * 3

H = 6 3

Zëvëndësojmë

V =1

3* Π * R2 * H

V =1

3* Π * 62 * 6 3

V = 2 * Π * 36 * 3

V = 72 3 * Π cm3 ose

V = 391.781 cm3

@ ** *D 16. Njehëso diametrin e bazës të konit të mëposhtëm.

Përgjigje : Α =360o * R

s

120o =360o * R

15120o = 24o * R

120o

24o= R

5 = R

d = 2 * R = 2 * 5 = 10

@ ** *D 17. Vëllimi i konit me lartësi H = 20 cm, është 1500 Π cm3. Njehso syprinën e konit.

44 VIII TEMA 4.nb


V =1

3* Π * R2 * H

1500 Π =1

3* Π * R2 * 20 �� thjeshtojmë Π

1500 =1

3* R2 * 20

1500 * 3 = R2 * 20

4500 = R2 * 20

4500

20= R2

225 = R

15 = R

Caktojmë gjatësinë e tehut të mbështjellësit

s2 = H2 + R2

s2 = 152 + 202

s2 = 225 + 400

s = 625

s = 25

Caktojmë syprinën

S = Π * R * HR + sLS = Π * 20 * H20 + 25LS = 900 Π cm2

[xiv] Topi, syprina dhe vëllimi.

@ * D 1. Çka është sferë? Çka është top?

Përgjigje : Bashkësia e të gjitha pikave në hapësirë që janë njëllojë

të larguara prej një pike të dhënë O formon një sipërfaqe që quhet sferë.

Sfera dhe zona e brendshme e sajë formojnë

trup gjoemetrik rrotullues që quhet top.

Topi fitohet me rrotullimin e një qarku reth diametrit të tijë.

@ * D 2. Cilët janë elementet e topit?

Përgjigje : Qëndra është pika O, dhe rreze është çdo segment që

fillon tek qëndra O dhe mbaron tek ndonjë pikë e sferës Hp.sh. OA, OB, OCL@ * D 3. Çka fitohet nëse topin e presim me rrafsh?

VIII TEMA 4.nb 45

Përgjigje : Prerja e topit me rrafsh i është rreth,

mirpo nëse rrafshi kalon në qëndrën O fitohet rrethi i madh.

@ * D 4. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinën e topit.

Përgjigje : S = 4 * Π * R2

@ * D 5. Shkruaj formulën e përgjithshme për vëllimin e topit.

Përgjigje : V =1

3* Π * R3

@ ** D 6. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit me rreze 5 cm.


S = 4 * Π * R2

S = 4 * Π * 52

S = 4 * Π * 25

S = 100 Π cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* Π * R3

V =1

3* Π * 53

V =1

3* Π * 125

V = 41.667 Π cm3

@ ** *D 7. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit

nëse dihet se qarku i tijë më i madhë ka syprinë S = 2826 cm2.

46 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Caktojmë rrezen

S = Π * R2

2826 = 3.14 * R2

2826

3.14= R2

900 = R2

900 = R

30 = R

Zëvëndësojmë

S = 4 * Π * R2

S = 4 * Π * 302

S = 4 * Π * 900

S = 3600 Π cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* Π * R3

V =1

3* Π * 303

V =1

3* Π * 27000

V = 9000 Π cm3

@ ** D 8. Njehso syprinën S dhe vëllimin V e topit, në qoftë se diametri i tij është 12 cm

Përgjigje : d = 2 R

12 = 2 R

R = 12 : 2

R = 6 cm

Zëvëndësojmë

S = 4 * Π * R2

S = 4 * Π * 62

S = 4 * Π * 36

S = 144 Π cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* Π * R3

V =1

3* Π * 63

V =1

3* Π * 216

V = 72 Π cm3

@ ** *D 9. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit

nëse dihet se rrethi i tijë më i madhë ka syprinë S = 314 cm2.

VIII TEMA 4.nb 47

Përgjigje : Caktojmë rrezen

S = Π * R2

314 = 3.14 * R2

314

3.14= R2

100 = R2

100 = R

10 = R

Zëvëndësojmë

S = 4 * Π * R2

S = 4 * Π * 102

S = 4 * Π * 100

S = 400 Π cm2

Zëvëndësojmë

V =1

3* Π * R3

V =1

3* Π * 103

V =1

3* Π * 1000

V = 333.33 Π cm3

[xv] Gjasa(Probabiliteti).

@ * D 1. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 4 për lojën e mëposhtme?

Përgjigje : Rrotulla ka gjitshej 6 fusha, numri 4 është vetëm njëra prej tyre

p HAL =1

6= 0.1667 = 16.67 %

@ * D 2. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 2 ose 3 për lojën tek detyra 1?

Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, 2 ose 3 janë dy fusha

p HAL =2

6= 0.3333 = 33.33 %

@ * D 3. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 1, 2 ose 5 për lojën tek detyra 1?

Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, 1, 2 ose 5 janë tre fusha

p HAL =3

6= 0.5 = 50 %

@ * D 4. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 7 për lojën tek detyra 1?

48 VIII TEMA 4.nb

Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, mirpo asnjë fushë nuk është me numër 7

p HAL =0

6= 0 dmth kjo ngjarje është e pamundhsme

@ ** D 5. Janë dhën 10 letra me shkronjat e mëposhtme :

Nëse Liridoni tërhqe njërën prej tyre pa shikuar,

sa është gjasa që letra të jetë : a shkronja M, b shkronja A, c shkronja T ose K

Përgjigje : aL gjithsej 10 letra, kurse vetëm 2 prej tyre janë M

p HAL =2

10= 0.2 = 20 %

bL gjithsej 10 letra, kurse vetëm 3 prej tyre janë A

p HAL =3

10= 0.3 = 30 %

cL gjithsej 10 letra, kurse T ose K janë 3 prej tyre

p HAL =3

10= 0.3 = 30 %

@ ** D 6. Për lojën e dhënë sa është gjasa që shigjeta të bie në : aL 5 ose 6 , bL numër çift, cLnumër tek , dL numër më të madh se 7

Përgjigje : aL loja ka 10 fusha, 5 ose 6 janë vetëm 2 prej tyre

p HAL =2

10= 0.2 = 20 %

bL loja ka 10 fusha, çift janë 5 prej tyre H2, 4, 6, 8, 10Lp HAL =

5

10= 0.5 = 50 %

cL loja ka 10 fusha, tek janë 5 prej tyre H1, 3, 5, 7, 9Lp HAL =

5

10= 0.5 = 50 %

dL loja ka 10 fusha, më të mëdha se 7 janë 3 prej tyre H8, 9, 10Lp HAL =

3

10= 0.3 = 30 %

@ ** D 7. Nëse hidhet zar me numra prej 1 deri 6, sa është gjasa për rastin : aL numër prej 1 deri 6,

bL numri 7, cL numër tek dL numri 3 ose 4, eL numri 3 dhe 4,

Përgjigje : aL zari gjithsej ka 6 faqe, 1 deri 6 janë 6 prej tyre

p HAL =6

6= 1 = 100 % kjo ngjarje ndodh përher

VIII TEMA 4.nb 49

bL zari ka gjithsej 6 faqe, 7 është asnjëra prej tyre

p HAL =0

6= 0 = 0 % kjo ngjarje nuk ndodh asnjëherë

cL zari ka 6 faqe, tek janë 3 prej tyre H1, 3, 5Lp HAL =

3

6= 0.5 = 50 %

dL zari ka 6 faqe, numri 3 ose 4 janë 2 prej tyre

p HAL =2

6= 0.3333 = 33.33 %

eL zari ka 6 faqe, 3 dhe 4 janë asnjëra prej tyre

p HAL =0

6= 0 = 0 %

50 VIII TEMA 4.nb

Documents

PYETJE PRAKTIKEPËRTESTIN EKSTERNklasa9-gercec.weebly.com/uploads/4/4/2/9/44294675/... · [iv] Teorema e Talesit për segmentet proporcionale. @**D 1. Nëse AC ¨¨ me BD, dhe OA