Pythagorova věta Mgr. Dalibor Kudela

Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizaceTento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK

1.5. Výuková sada – Matematika, DUM č.02

Historie

Za objevitele tvrzení, které je známo jako Pythagorova věta,

je považován řecký filosof, matematik a astronom Pythagoras ze Samu, který žil v letech 580 – 500 př.n.l.

Ale je velice pravděpodobné, že toto tvrzení znali už ve starověkých civilizacích, například v Číně nebo Egyptě.

Slovní znění Pythagorovy věty

Obsah čtverce sestrojeného nad

přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

c 2 = a2 + b2

c - přepona

a - odvěsna

b - odvěsna

ca

b

90°

Matematický zápis Pythagorovy věty

C A

B

Grafické znázornění

C A

B

2c 2a

2c2a

2b

2b

c

b

a

Řešený příklad

Rozhodněte, zda trojúhelník o stranách 12 cm, 5 cm a 13 cm je pravoúhlý.

Pokud se má jednat o pravoúhlý trojúhelník, musí být nejdelší strana trojúhelníku 13 cm přeponou a zbývající strany 12 cm a 5 cm odvěsnami. Dále musí platit Pythagorova věta.

2 2 2c a b 2 2 213 12 5

169 144 25

169 169 Trojúhelník je pravoúhlýA

B

C

5 cm

12 cm

13 cm

Navrhněte řešení

Příklady k procvičení

1) 16 , 24 , 28cm cm cm

2) 8,1 ; 13,5 ; 10,8cm cm cm

Rozhodněte, zda trojúhelník o daných stranách je pravoúhlý.

3) 3,5 ; 210 ; 28m cm dm

4) 2,8 ; 1054 ; 1,74km m km

Řešení

1) NE

2) ANO

3) ANO

4) NE Dané strany netvoří ani trojúhelník, protože není splněna trojúhelníková nerovnost

Řešený příkladVypočtěte zbývající strany pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li dáno: 1) a = 1,6 dm, b = 14,7 cm 2) c = 18,7 cm , a = 10,9 cm

2 2 21) c a b 2 2 216 14,7c 2 256 2016,09c 2 472,09c

472,09 21,7c cm

2 2 22) c a b 2 2 2b c a 2 2 218,7 10,9b 2 230,88b

230,88 15,2b cm A

B

C

a

b

c

Navrhněte řešení

Příklady k procvičení

1) 14,8 , 24,6a cm b cm

Vypočtěte zbývající strany pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li dáno:

2) 25,7 , 19,8c cm b cm

3) 1,85 ; 162a m b cm

4) 257 , 0,325a mm c m

Výsledky zaokrouhlete na 1 desetinné místo.

Řešení

1) 28,7c cm

2) 16,4a cm

3) 245,9c cm

4) 198,9b mm

Příklady k procvičení – slovní úlohy

1) Pyramida tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu má velikost strany 144 m. Ze středu jedné strany na vrchol je vzdálenost 120 m. Vypočtěte výšku pyramidy.

2) Fotbalové hřiště tvaru obdélníku má rozměry: délku 104 m a šířku 65 m. Vypočtěte vzdálenost ze středu hřiště k rohovému praporku.

3) Dva turisté se vydali z určitého místa dvěma směry. První šel na sever rychlostí 8 km/h, druhý šel na východ rychlostí 6 km/h. Jak daleko od sebe budou oba turisté po 24 minutách?

4) Rozevřené štafle, jejichž spodní konce jsou od sebe vzdálené 2,5 m dosahují do výšky 3 m. O kolik centimetrů se štafle zvýší, jestliže se jejich rozevření zmenší o 58 cm?

Řešení

1) Výška pyramidy je 96 m.

2) Vzdálenost ze středu hřiště k rohovému praporku je 61,3 m.

3) Vzdálenost obou turistů po 24 minutách bude přesně 4 km.

4) Štafle se zvýší o 10,5 cm.

POUŽITÁ LITERATURA

Obrázky:

http://www.google.cz/image/Pythagoras

http://www.zsdobrichovice.cz/programy/matika/image/haper.jpg