Cenni di elettrostaticaL' osservazione di fenomeni di natura elettrica risale al settimosecolo a.C, quando si scopri che l'ambra, l'ebanite e altrimateriali, strofinati con un panno di lana, acquistano laproprietà di attirare corpuscoli leggeri, quali granelli di polvere epagliuzze.

W. Gilbert chiamò elettrizzati i materiali che acquistano laproprietà di attirare i corpuscoli leggeri e forza elettrica la forzache si manifestava (dal termine electron che è il nome grecodell' ambra)dell ambra).

Oggi noi attribuiamo queste forze ad interazioni tra caricheelettriche che esistono nei corpi e che passano da un corpo all'altro durante lo strofinio, per cui i corpi elettrizzati si chiamanoanche elettricamente carichianche elettricamente carichi.

Legge di Coulomb

ε0 = 8.85 x 10‐12 C2/(N m2)

Campo elettrico

La presenza della carica Q modifica le proprietà dello spaziocircostante (assumiamo che Q sia fissata in un punto).

Infatti una carica q in un punto a distanza r subisce una forza

In analogia con quanto fatto per il campo gravitazionale,definiamo campo elettrico Edefiniamo campo elettrico E

Non dipende da q.

E si misura in Newton/Coulomb.

Q > 0 Q < 0

Principio di sovrapposizione

Campo uniforme

U i i t di di t ( ) bi fUna carica q in un punto di coordinate (x,y,z) subisce una forza

),,( zyxqEF =

Potenziale elettrostatico

Consideriamo il caso del campo generato da unacarica puntiforme

Se definiamo

Potenziale elettrostatico per il campo elettrico generato dap p guna carica puntiforme.

Lavoro che il campo compie per spostare una carica unitaria

Validità generale

Lavoro che il campo compie per spostare una carica unitariada A a B (si misura in Volt).

Il potenziale è un’energia potenziale per unità di carica.

Corrente elettrica stazionaria

Nel rame vi è un elettrone libero per atomo e quindi il numero di

Negli atomi di un metallo gli elettroni periferici non si legano aisingoli atomi, ma sono liberi di muoversi nel reticolo formatodagli ioni positivi e sono detti elettroni di conduzione.

elettroni di conduzione è di circa 8x1022 elettroni/cm3.

L' ordine di grandezza è lo stesso per tutti i conduttori metallici.

II moto degli elettroni liberi in un conduttore in equilibrioelettrostatico è disordinato. In qualsiasi volume piccolo su scalamacroscopica ma contenente un numero N di elettronimacroscopica ma contenente un numero N di elettroniabbastanza elevato (in un μm3 si hanno circa 1011 elettroni), lavelocità media è nulla:

1N Ni

i 01,1

== ∑=

vv

smmKTv /10/3 5≈=

Non esiste una direzione di moto preferenziale per gli elettroni.

Occasionalmente un elettrone urta uno ione del cristallosubendo una brusca variazione di direzione del moto.

τ tempo mediotrascorso tra unatrascorso tra unacollisione e l’altra.

Quando si applica un campo elettrico E gli elettroni sonosottoposti ad una forza F = ‐e E e modificano il loro motocasuale migrando lentamente in verso opposto al campo conuna velocità di deriva vd (tipicamente dell’ordine di 10‐5 m/s).

Dopo ogni collisione gli elettroni acquistano una direzione dimoto casuale. Per tutto il tempo τ che precede la collisionesuccessiva, la velocità in verso opposto a E cresce in media di a τ

Dalla seconda legge di Newton a = e E/m

meEavdττ ==

Il flusso ordinato di cariche elettriche è detto corrente elettrica.

Una quantità di carica dq transita nel tempo dt attraversoun’area S, ad es. la sezione trasversale di un filo percorso dacorrente. Si definisce intensità di corrente i la carica netta cheattraversa tale superficie nell’unità di tempo:p p

dtdqi =

Convenzione: il verso della corrente è quello in cui si muovono lecariche positive, anche quando nella realtà i portatori di caricasono negativi.g

Si ha I'intensità di corrente di 1A quando, attraverso una datasuperficie, passa una carica di un Coulomb in un secondo.p , p

[ A ]= [C/s]

La carica netta che attraversa la superficie in un certo tempo sit i t d l t l t

Densità di corrente

trova integrando la corrente nel tempo:

∫= dtiq

Una grandezza vettoriale legata alla corrente è la densità dicorrente, ossia la corrente per unità di area, il cui modulo è (Sperpendicolare al filo e velocità dei portatori uniforme su S)

iSij =

La direzione e il verso di j coincidono con quelli del moto dellecariche positive.

La corrente che scorre attraverso una generica superficie,suddivisa in elementi di area individuati da dS (ortogonalisuddivisa in elementi di area individuati da dS (ortogonaliall’elemento di area e con verso concorde a j), si determinaintegrando j su tutta la superficie:

∫=i dSj∫ ⋅=S

i dSj

Densità di corrente

Se ho n elettroni per unità di volume, percorrono un tratto L neltempo t = L/vd. Attraverso A nel tempo t transitano tutti glielettroni contenuti nel volume AL.

La carica netta che attraversa la superficie in un tempo t è quindi

neALq −=

dd

enALenAL

Atq v

v/j ===

denvj −= Ha lo stesso verso di E

Per la conservazione della carica elettrica, in condizionistazionarie l'intensità di corrente è la stessa attraverso ogni

Se il conduttore è a sezione variabile la densità di corrente, equindi la velocità di deriva sono maggiori dove la sezione èminore

sezione del conduttore.

minore.

Legge dei nodi (1° legge di Kirchhoff)

0=∑i

ii

In condizioni stazionarie la somma algebrica delle correntiuscenti da un nodo è nulla (per convenzione si prendono comepositive le correnti uscenti).

La densità di corrente che consegue a questo moto ordinato è

τ 12ne

Legge di Ohm

EEEvjρ

στ 1===−=

mneen d

σ è la conduttività elettrica e ρ è la resistività. Questa relazionericavata per un metallo ha validità più generalericavata per un metallo ha validità più generale.

Legge di Ohm della conduzione elettrica (forma locale): ilrapporto tra la densità di corrente j e il campo elettrico applicatoE è dato da una grandezza caratteristica del conduttoreg(indipendente da E).Consideriamo un conduttore metallico cilindrico di lunghezza h esezione S.Ai capi del conduttore è applicata una d.d.p. ΔV = VA ‐ VB

S

Nel conduttore è quindi presente un campo elettrico E ed unacorrente elettrica di densità

Ejρ1

=

ESjSiρ

==

B

S

EhVVVB

ABA =⋅=−=Δ ∫ dsE

Quindi

iShV ρ

=Δ

Chiamando resistenza del conduttore in esame la grandezza

)(][][ OhmVhR =Ω=ρ )(][][

ASOtteniamo la legge di Ohm per i conduttori metallici (forma integrale)

RiV =Δ RiVΔ

Pertanto in regime stazionario il rapporto tra la d.d.p. applicataai capi di un conduttore metallico e I' intensità di corrente che I'attraversa è pari a una grandezza detta resistenza delattraversa è pari a una grandezza, detta resistenza delconduttore, che dipende solamente dalla natura del conduttore(resistività ρ) e dalle sue dimensioni.

La resistività nella maggior parte dei conduttori metallici puri èuna funzione crescente della temperatura. In un intervallolimitato (qualche decina di gradi) intorno alla temperatura di

)1(0 TΔ+= αρρ

limitato (qualche decina di gradi) intorno alla temperatura diambiente la relazione è praticamente lineare.

)(0ρρ

Effetto Joule

Consideriamo una carica dq che si muova attraversando unadifferenza di potenziale ΔV = VA‐VB Il campo elettrico compie il

Pertanto la potenza elettrica spesa è

idtVdqVdL Δ=Δ=

differenza di potenziale ΔV VA VB. Il campo elettrico compie illavoro

Pertanto la potenza elettrica spesa è

iVdtdLP Δ==

Se vale la legge di Ohm si haSe vale la legge di Ohm, si ha

RVRiiVP

22 Δ==Δ=

II passaggio di corrente attraverso un conduttore metallico perun tempo t comporta dunque il lavoro

∫= dtRiL 2∫Questo lavoro è necessario per vincere la resistenza opposta dalreticolo cristallino al moto ordinato degli elettroni (urti).Da un punto di vista termodinamico, esso viene assorbito dalconduttore la cui energia interna aumentaconduttore la cui energia interna aumenta.

L'effetto di riscaldamento di un conduttore percorso da correntesi chiama effetto Joule.

Resistori in serie e in paralleloConduttori ohmici caratterizzati da un determinato valore dellaresistenza (alla temperatura ambiente) sono elementi moltoresistenza (alla temperatura ambiente) sono elementi moltousati nei circuiti elettrici. Essi vengono chiamati resistori.

Più resistori possono essere collegati tra loro, tipicamente da fili o piattine metallici, la cui resistenza è trascurabile.p

Resistori in serieDue resistori sono collegati in serie quando hanno un estremo in

l h li è l A li d lcomune e la corrente che li attraversa è la stessa. Applicando lalegge di Ohm

iRVViRVV

CB

BA

2

1

=−=−

iRVV CB 2

( )21 iRiRRVV eqCA =+=−

21 RRReq +=

Resistori in parallelo

Due resistori si dicono in parallelo quando sono collegati tra loroDue resistori si dicono in parallelo quando sono collegati tra loroin entrambi gli estremi e quindi la d.d.p. ai loro capi è la stessa.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ=

Δ+

Δ=+=

212121

11RR

VRV

RViii

111+=

21 RRReq

+=

Il reciproco della resistenza equivalente è uguale alla somma deireciproci delle singole resistenzereciproci delle singole resistenze.Req risulta dunque minore di ciascuna delle Ri.

In un conduttore gli elettroni si muovono con una velocità vd dai

Forza elettromotrice

punti con potenziale minore ai punti con potenziale maggioresotto l’effetto del campo elettrico presente nel conduttore.

Il lavoro effettuato dal campo elettrico viene assorbito dagli ionid l d tt l i i i t t ( ff tt J l )del conduttore la cui energia interna aumenta (effetto Joule).

Analogo gravitazionale in cui il lavoro compiuto dalla personaproduce un flusso stazionario di bocce che cadono in un mezzoviscoso

Una sorgente esterna di energia è generalmente necessaria perspostare le cariche nei circuiti elettrici. Un dispositivo che

diff di i l d i è d

viscoso.

mantenga una differenza di potenziale tra due punti è dettogeneratore di forza elettromotrice.

Forza elettromotrice

E i i il li di d tt ll t i li AEsaminiamo il caso semplice di un conduttore collegato ai poli A e B di un generatore sui cui poli sono accumulate le cariche +q e ‐q .

Il campo elettrostatico Eel prodotto da tali cariche è semprediretto da A verso B, sia nel conduttore che all' interno delgeneratore. Quindi all’interno del generatore Eel si oppone almoto delle cariche.

0=⋅∫ dsEel

Per ottenere nel circuito una corrente i è necessaria la presenzanel generatore di un campo E* (campo elettromotore) chemuove le cariche contro Eel e mantiene la differenza dipotenziale tra A e B.

La sorgente di f.e.m. deve quindi avere al suo interno forze dinatura non elettrostatica, non conservative, che possonodeterminare il moto continuo delle cariche.

oreelettromotcampo*E

generatorenel

conduttorinei

el

el*EEE

EE

+=

=

II dispositivo che genera il campo elettromotore, e quindi laf.e.m., può sfruttare ad es. reazioni chimiche (pile eaccumulatori) o il fenomeno dell'induzione elettromagnetica.

Pertanto la f.e.m. f è il lavoro per unità di carica effettuato dalcampo elettromotore

∫∫ ⋅=⋅= dsEdsE **A

f ∫∫B

In un generatore ideale coincide con la d.d.p. calcolata lungouna linea interna al generatore.Si misura in Volt e non è una forza.

Un generatore non ideale è caratterizzato anche da unresistenza interna r. Quindi f è la d.d.p. misurata ai capi delgeneratore a circuito aperto.

Legge di Ohm generalizzata e 2a legge di Kirchhoff

Gli elementi geometrici distintivi di un circuito sono i nodi e irami. Un nodo è un punto nel quale convergono almeno treconduttori.I nodi sono collegati da rami, in cui possono esserci componentiattivi (generatori) e componenti passivi (resistori).

All'interno di una rete è possibile individuate determinaticammini chiusi, detti maglie, costituiti da più rami; un dato ramopuò pertanto appartenere a più magliepuò pertanto appartenere a più maglie.

Una conseguenza è

Carica di un condensatore attraverso un resistore

f

Al tempo t=0 viene chiuso I'interruttore e il generatore inizia aprelevare cariche positive dai conduttori connessi al polonegativo e a portarle al polo positivo. Quindi sulle armaturedel condensatore compaiono le cariche +q e ‐q. Il processocontinua fino a quando la carica del condensatore raggiunge ill i Cf i i d l d d lvalore massimo qm = Cf , cui corrisponde la d.d.p. tra le

armature VA ‐ VB = f .

tq )(

dqti

CtqtRif

=

+=

)(

)()(

dtti )(

Cqf

dtdqR −=

Cdt

RCdt

Cfqdq

−=− ∫∫

′−=

−′′ tq

RCtd

Cfqqd

00 fq 00

RCt

CfCfq

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −lnRCCf ⎟

⎠⎜⎝ −

( )RCteCftq /1)( −−= ( )

RCtefdqti

eCftq

/)(

1)(

−== eRdt

ti )(

Quando si carica un condensatore connettendolo ad ungeneratore la d d p finale ai capi del condensatore e uguale allageneratore, la d.d.p. finale ai capi del condensatore e uguale allaf.e.m. f del generatore e la carica finale è qm = Cf .

Questi valori sono raggiunti asintoticamente. La corrente nelcircuito e massima nell’istante t=0 e decresce esponenzialmentepnel tempo , con costante di tempo τ = RC .