QUESTION 7 QUESTION 103 QUESTION 7 QUESTION 10 QUESTION 8 QUESTION 11 QUESTION 9 QUESTION 12 x 40 ※ の長さは同じ。※ の長さは同じ。x 150 x 4 ANSWER 7 ANSWER 10 ANSWER

3

QUES TION 7 QUES TION 10



x

40°

★ ★

※★の長さは同じ。

※★の長さは同じ。

x150°

★

★

x

３

４

５

x

45°

55°

50°

x

35°

50°

30°

x

45° 40°

30°

4

ANS WER 7 ANS WER 10



三角形は二等辺三角形なので底角である x と●は同じ角度になる。(二等辺三角形の性質 P35参照)よってx ＝(180°－40°)÷２＝70°

三角形は二等辺三角形なので底角である x と●は同じ角度になる三角形の内角と外角の関係から２x＝150°よって, x ＝75°

３つの辺の長さが３2＋４2＝５2となり,三平方の定理を満たしているので(三平方の定理 P35参照)x は直角となる。よって, x ＝90°

●x

40°

★ ★

●

x150°

★

★

x

３

４

５

赤の三角形において,内角と外角の関係から●＝55°＋45°＝100°緑の三角形において,内角と外角関係から●＝50°＋ x ＝100°よって, x＝50°(この形をちょうちょの形という。ちょうちょの角 P35参照)

赤の三角形において,内角と外角の関係から●＝50°＋35°＝85°緑の三角形において,三角形の内角の和は180°よりx ＝180°－●－30°＝180°－85°－30°＝65°

赤の三角形において,内角と外角の関係から●＝45°＋40°＝85°緑の三角形において,内角と外角の関係から●＝30°＋ x ＝85°よって, x＝55°(この形をちょうちょの形という。ちょうちょの角 P35参照)

●

x

45° 40°

30°

50°

35°

x

30°●

●x

45°

55°

50°

5


QUES TION 14 QUES TION17


x

正三角形

正方形

★

★

x

正三角形

正方形

25°★

x

★

x80°

110°115°

x

正方形

x

120°

60°110°

6




四角形の内角の和は360°より(四角形の内角の和 P35参照)x＝360°－115°－110°－80°＝55°

x80°

110°115°

正方形の対角線は内角を２等分するので●の角度はすべて等しい。x ＝●＝90°÷２＝45°

x

●

●

●●●

●● ●

赤の四角形において,内角の和は360°より●＝360°－60°－110°－120°＝70°緑の三角形において,三角形の内角の和は180°よりx ＝180°－●－60°＝180°－70°－60°＝50°

赤の三角形は正三角形より●＝60°▲＝90°－●＝90°－60°＝30°緑の三角形は二等辺三角形より■＝(180°－▲)÷２＝(180°－30°)÷２＝75°x ＝360°－２■－●＝360°－２×75°－60°＝150°

正方形なので●＝90°赤の三角形は正三角形なので▲＝60° 緑の三角形は★の長さが等しく二等辺三角形になるのでx ＝(180°－●－▲)÷２＝(180°－90°－60°)÷２＝15°

赤の三角形は二等辺三角形より,●＝25°緑の三角形において,内角の和は180°よりx ＝180°－25°－25°－90°＝40°

x

120°

60°110°

●

x

■■ ■

■

▲ ▲

●

●

●

★ ★★★

x

▲★

★

25°

●

★x

●★

▲

7�




70°

30°

H

x

Hは垂心

40°

30°

I

x

Iは内心

70°

x

125°

x

95°

x65°

45°x

8




Hは垂心で(垂心 P35参照),図のように線を延ばすと,赤と緑の直角三角形ができる。赤の三角形において,内角の和は180°より●＝180°－70°－90°＝20° 緑の三角形において,内角の和は180°よりx ＝180°－●－30°－90°＝180°－20°－30°－90°＝40°

I は内心で(内心 P35参照),内角の二等分線の交点なので図のように●＝40°,▲＝30°となる。赤の三角形において,内角の和は180°より２x ＋40°＋●＋30°＋▲＝180°よって,x ＝20°

平行線の同位角より(平行線の角 P36参照)x ＝70°

平行線の錯角より(平行線の角 P36参照)x ＝125°

70°

x

125°

x

平行線の同側内角の和は180°より(平行線の角 P36参照)x ＝180°－95°＝85°

95°

x

直線の角は180°より●＝180°－65°－45°＝70°対頂角より(対頂角 P35参照)x ＝●＝70°

65°

45°x

▲

40°

30°

I

xx

●

70°

30°

H

x

●

9�




40°

30°

x

130° 100°

x

75°

40°

x

x65°80°

平行四辺形

100°

x

正三角形

120°

65°

20°

x

10




図のように補助線を引くと平行線の錯角より●＝30°,▲＝40°よって,x ＝30°＋40°＝70°

40°

30°

x

▲

●

平行線の同側内角の和は180°より●＝180°－130°＝50°平行線の錯角より▲＝100°よって,x ＝▲－●＝100°－50°＝50°

図のように補助線を引くと平行線の同位角より●＝x ,▲＝75° となる。よって,x ＝180°－40°－▲＝180°－40°－75°＝65°

130° 100°

x▲

●

75°

40°

x

▲

●

図のように補助線を引くと平行四辺形なので(平行四辺形の性質 P36参照)平行線の同位角より●＝65°直線の角度は180°よりx ＝180°－●－80°＝180°－65°－80°＝35°

x65°80°

●

直線の角度は180°より■＝180°－100°＝80°平行線の錯角より ■＝▲＝80°赤の三角形において,●は正三角形より,60°内角と外角の関係よりx ＝▲－●＝80°－60°＝20°

100°

▲

●x

図のように補助線を引くと平行線の錯角より●＝20°また,▲＝65°－20°＝45°平行線の錯角より ▲＝▲同側内角の和は180°より■＝180°－120°＝60°よって,x ＝▲＋■＝45°＋60°＝105°

120°

65°

20°

x

▲

▲

■

■

●

13




x

40°

150°70°

80°

x

正十二角形

正五角形

x

x

正八角形

x

30°

O

x

14




五角形の内角の和は180°×(n－２)より(n角形の内角の和 P36参照)180°×(５－２)＝540°正五角形は５つの内角がすべて等しいのでx ＝540°÷ ５＝108°■別解多角形の外角の和は360°より正五角形の外角はすべて等しいのでx ＝360°÷５＝72°よって,x ＝180°－72°＝108°

八角形の内角の和は180°×(n－２)より180°×(８－２)＝1080°正八角形は５つの内角がすべて等しいので●＝1080°÷８＝135°対称性より,x ＝●÷２＝135°÷２＝67.5°

赤の三角形において三角形の内角と外角の関係より●＝150°－70°＝80°緑の四角形において外角の和は360°より▲＝360°－●－80°－40°＝360°－80°－80°－40°＝160°よって, x ＝180°－▲＝180°－160°＝20°

40°

150°

80°

▲

70°

●x

多角形の外角の和は360°より正十二角形の外角はすべて等しいのでx ＝360°÷12＝30°

x

x

x

●

円周角の定理より(円周角の定理 P36参照),同じ弧に対する円周角は等しいのでx ＝30°

円の中心から接線へ下ろしてできる角は90°となるので(円と接線の角 P36参照)x ＝90°

x

30°

O

x

25




x

30°

75°

15°

x

★

★ ★

x

55°

45°

★

★

★

★

●

◆

下記は方眼紙。x ＝●＋◆を求めよ。

x

正方形

★

★

x

正三角形

★

★

26




●は赤と緑の三角形の外角の和になっているので(ブーメランの角 P35参照)x ＋30°＋15°＝75°よって, x ＝30°

75°

x

30°

15°

●

赤と緑の三角形は二等辺三角形なので●,●の角度はそれぞれ等しい。青の三角形において,内角の和は180°より２●＋２●＝２(●＋●)＝180°⇔●＋●＝90°よって,x ＝●＋●＝90°

x

●

●

●

●

★

★ ★

中点連結定理より(中点連結定理 P36参照)x ＝●となる。よって,赤の三角形において,三角形の内角の和は180°よりx ＝180°－45°－55°＝80°

x

★ ★

● 55°

45°

★ ★

赤の２つの直角三角形は合同なので図のように,★の長さ,●,▲,■の角度は,それぞれ等しい。また,▲＋■＝90°となるので緑の三角形(ABC)は直角二等辺三角形となる。よって,x ＝●＋◆＝45°

赤と緑の三角形は,２辺とその間の角(90°)が等しいので合同となり,●と▲の角度はそれぞれ等しい。また,赤(緑)の三角形において.内角の和は180°より●＋▲＝90°また.青の三角形において.内角の和は180°より■＝180°－(●＋▲)＝180°－90°＝90°対頂角より, x＝■＝90°

赤と緑の三角形は,２辺とその間の角(60°)が等しいので合同となり,●の角度は等しい。また全体の三角形(ABC)は正三角形なので●＋▲＝60°また青の三角形の内角と外角の関係からx ＝●＋▲＝60°

●

▲■

◆

▲

★

★

●

■

x

●

■

●

▲

▲

★

★

x

★

★

●●

▲

A

B C

A

B

C

27




x

正五角形

x

30°

正五角形

x ＝６つの●の和を求めよ。

x ＝５つの●の和を求めよ。

x ＝５つの●の和を求めよ。

80°

x

正五角形正三角形

29




x

●●

▲▲

x

●

▲

▲

●

x ＝７つの●の和を求めよ。

x ＝10つの●の和を求めよ。

x ＝７つの●の和を求めよ。

x ＝６つの●の和を求めよ。

30




図のように補助線を引くと赤のちょうちょの形より●＋●＝●＋●よって.x ＝６つの●の角の和は緑の四角形の内角の和と同じになる。よってx ＝６●＝360°

直線は180°より２●＋２▲＝２(●＋▲)＝180°よってx ＝●＋▲＝90°

同側内角の和は180°より２●＋２▲＝180°⇔●＋▲＝90°三角形の内角の和は180°よりx ＝180°－(●＋▲)＝180°－90°＝90°

x

●●

▲▲

x

●

▲

▲

●

x ＝７つの●の角の和は赤の７つの三角形の内角の和－14●となる。また●の角の和は緑の七角形の外角の和の２倍なので14●＝360°×２＝720°よってx ＝７●＝180°×７－720°＝540°

10の●の角の和は赤の５つの三角形の外角の和,つまり.５つの●の和となる。●は緑の五角形の外角の和なのでx ＝10●＝５●＝360°

図のように補助線を引くと三角形が５つできる。よって,x ＝７つの●の角の和は５つの三角形の内角の和と同じになる。よってx ＝７●＝180°×５＝900°

31




60°

■■

●● ▲

▲

x

●

●▲

▲▲

●

●▲

x

平行四辺形

x150°

60°

●●

▲

▲

▲

70°

●

●▲

x

70°

x●

●

▲

▲

長方形。角が線上にくるように折り返してある。

70°

x

35

三角形の内角の和

三角形の内角の和は180°

●＋▲＋■＝180°

●

▲ ■

三角形の内角と外角の関係

●＋▲＝■

●

▲ ■

三角形の１つの外角は,それと隣り合わない２つの内角の和に等しい。

ちょうちょの角

●

▲

■

◆

●＋▲＝■＋◆

対頂角

２つの直線が交わったときにできる向かい合った角を対頂角という。

▲

▲

対頂角は等しい。

● ●

二等辺三角形の性質

▲＝180°－２●

● ●

▲

２つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形という。二等辺三角形の底角は等しい。

★ ★

三平方の定理

直角三角形においてa 2＋b 2＝c 2 が成り立つ。これを三平方の定理という。

a

bc

ブーメランの角四角形の内角の和

四角形の内角の和は360°

●＋▲＋■＋◆＝360°

●

▲

◆

■

●＋▲＋■＝◆

▲

■

●

●＋▲

▲＋■

▲

◆

●

正三角形の性質

● ●

●

３つの辺の長さが等しい三角形を正三角形という。正三角形の３つの角は等しい。

★ ★

★

直線の角度

●

●＝180°

内心

３つの内角の２等分線の交点(I)。

I

■

■

垂心

３つの頂点から対辺に下ろした垂線の交点(H)。

H

36

円の直径の弧に対する円周角は90°

O

円の直径の円周角

円に内接する四角形の角

�向かいあう内角の和は180°。　●＋▲＝180°�四角形の１つの内角は,　向かいあう角の外角に等しい。

　●＝●

●

●▲

円周角の定理

１つの弧に対する

�円周角は等しい。

�円周角は中心角の半分となる。

　▲＝●÷２

●

▲▲

O

中心角

円周角

弧

接弦定理

●

●

接線と弦のなす角は,その弦が作る円周角と等しい。

平行線の角

平行線ならば

�同位角は等しい。●＝●

�錯角は等しい。 ●＝●

�同側内角の和は180°。●＋▲＝180°

●

●

●

▲

錯角

同位角

同側内角

中点連結定理

△ABCの２辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると

MN // BC , MN ＝ BC 21

A

C

M N

B

★

★ ★

★

円と接線の角

円の中心から接線へ下ろして

できる角は90°。

O

平行四辺形の性質

２組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。�２組の対辺はそれぞれ等しい。�２組の対角はそれぞれ等しい。�対角線はそれぞれ中点で交わる。

★

★

★ ★

●

●▲

▲

多角形の外角の和

多角形の外角の和は360°

●

●

●

●

●

ひし形の性質

４つの辺の長さが等しい四角形をひし形という。２本の対角線は,直角に交わる。

★ ★

★ ★

n 角形の内角の和

●

●

●

●

●

●

n 角形の内角の和は 180°×( n－２)

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QUESTION 7 QUESTION 103 QUESTION 7 QUESTION 10 QUESTION 8 QUESTION 11 QUESTION 9 QUESTION 12 x 40 ※ の長さは同じ。※ の長さは同じ。x 150 x 4 ANSWER 7 ANSWER 10 ANSWER