RR22

Belirleme KatsayısıBelirleme Katsayısı

RR22

Regresyon denklemi ile belirlenen bağımlı Regresyon denklemi ile belirlenen bağımlı değişkenliğin toplam değişkenliğe oranı: değişkenliğin toplam değişkenliğe oranı: RR22 = = ___SS______SS___

RSS + SSRSS + SS SS: Regresyonun Kareleri Toplamı SS: Regresyonun Kareleri Toplamı

RSS: Kalanların Kareleri toplamı (RSS: Kalanların Kareleri toplamı (RSSRSS))

2

1

2

1

)ˆ(

)ˆ(

i

n

i

n

i

yyRSS

yySS

y değerlerinin ortalaması

Gözlemlenen y değeri

Hesaplanan y değeri

RR22

RR22 = 1 uydurulan eğri örneklemdeki tüm = 1 uydurulan eğri örneklemdeki tüm bağımlı değişken değerlerindeki bağımlı değişken değerlerindeki farklılaşmayı açıklayabiliyor.farklılaşmayı açıklayabiliyor.

RR22 = 0 Regresyon denklemi verideki = 0 Regresyon denklemi verideki değişkenliği hiçbir şekilde açıklamıyor. değişkenliği hiçbir şekilde açıklamıyor.

RR22 Uyarılar Uyarılar

Yüksek RYüksek R22 değerleri geçerli bir ilişki değerleri geçerli bir ilişki olduğunu göstermez. Ülkedeki olduğunu göstermez. Ülkedeki gazete fiyatlarıyla, hacca giden insan gazete fiyatlarıyla, hacca giden insan sayısı arasında yüksek Rsayısı arasında yüksek R22’li bir ilişki ’li bir ilişki bulunabilir ancak bu hacca gidenlerin bulunabilir ancak bu hacca gidenlerin gazete fiyatlarındaki değişimden gazete fiyatlarındaki değişimden dolayı olduğunu söyleyemeyiz. Bu dolayı olduğunu söyleyemeyiz. Bu durumda Rdurumda R22’nin hiçbir belirleyici ’nin hiçbir belirleyici gücünden söz edemeyiz. gücünden söz edemeyiz.

R2 değerleri aşağıdaki 4 veri seti için de aynıdır. R2 değerleri aşağıdaki 4 veri seti için de aynıdır. Her zaman için veriyi çizin. Her zaman için veriyi çizin.

y = 0.15x + 0.08R2 = 0.80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15

x

y

y = 0.10x + 0.37R2 = 0.80

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 5 10 15

x

y

y = 0.22x - 0.17R2 = 0.80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 5 10 15

xy

y = 0.08x + 0.42R2 = 0.80

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15

x

yRR22 = = ___SS______SS___ RSS + SSRSS + SS

RR22 Değeri Anlamlı mı? Değeri Anlamlı mı?

Örneklem Örneklem Büyüklüğü nBüyüklüğü n

%10%10 %5%5 %1%1

33 0.97560.9756 0.99380.9938 0.9980.998

44 0.8100.810 0.9030.903 0.9800.980

55 0.650.65 0.770.77 0.920.92

2525 0.110.11 0.160.16 0.260.26

100100 0.030.03 0.040.04 0.070.07

Doğrusal y = ax + b modelleri için geçerlidir.

İstatistiksel Anlamlılık Seviyesi

Anlamlı bir RAnlamlı bir R22 modelin kullanışlı, modelin kullanışlı, yararlı olduğu anlamına gelmez.yararlı olduğu anlamına gelmez.

İki nicelik arasındaki gayet önemsiz gerçek İki nicelik arasındaki gayet önemsiz gerçek bir ilişki yeterince yüksek sayıda gözlem bir ilişki yeterince yüksek sayıda gözlem yapıldığı takdirde istatistiksel olarak anlamlı yapıldığı takdirde istatistiksel olarak anlamlı hale gelebilir. Diğer taraftan az sayıdaki veri hale gelebilir. Diğer taraftan az sayıdaki veri yüzünden güçlü bir ilişki istatistiksel olarak yüzünden güçlü bir ilişki istatistiksel olarak anlamlı olmayabilir. anlamlı olmayabilir.

RR22’nin yüksek ve istatistiksel olarak anlamlı ’nin yüksek ve istatistiksel olarak anlamlı olması istenilen bir şeydir ancak bu durumda olması istenilen bir şeydir ancak bu durumda bile tahmin edilen değerlerin belirsizliği gene bile tahmin edilen değerlerin belirsizliği gene de yüksek olabilir. Rde yüksek olabilir. R22’nin büyüklüğü tahmin ’nin büyüklüğü tahmin edilen niceliklerin ne kadar doğru olduğu edilen niceliklerin ne kadar doğru olduğu hakkında bir bilgi vermez. hakkında bir bilgi vermez.

R2 nin büyüklüğü x değişkeninin R2 nin büyüklüğü x değişkeninin aralığına bağlıdır.aralığına bağlıdır.

Bağımsız değişkenin değişim aralığı Bağımsız değişkenin değişim aralığı azaldıkça Razaldıkça R22’nin değeri de azalır. ’nin değeri de azalır. (Diğer herşey eşit alınıp gerçek (Diğer herşey eşit alınıp gerçek modelin veriye uydmodelin veriye uyduurulduğunu rulduğunu varsayarak) varsayarak)

Yüksek RYüksek R22 verinin gerçekçi olmayan verinin gerçekçi olmayan geniş bir x aralığında toplandığına geniş bir x aralığında toplandığına işaret edebilir. işaret edebilir.

Modelle Veri Uyumunu İncelemenin Modelle Veri Uyumunu İncelemenin Diğer YollarıDiğer Yolları

Her zaman için veriyHer zaman için veriyii ve uyd ve uydururulan ulan modeli grafiksel olarak kontrol etmekmodeli grafiksel olarak kontrol etmek

Tahmin edilen değerin standarTahmin edilen değerin standardd hatasını veya güvenilirlik aralığını hatasını veya güvenilirlik aralığını hesaplamakhesaplamak

Excel’de RegresyonExcel’de Regresyon

Araçlar/Veri Çözümleme/RegresyonAraçlar/Veri Çözümleme/RegresyonÖZET ÇIKIŞI

Regresyon İstatistikleriÇoklu R 0.933707R Kare 0.871809Ayarlı R Kare0.866235Standart Hata10.97557Gözlem 25

ANOVAdf SS MS F Anlamlılık F

Regresyon 1 18842.79 18842.79 156.4197 9.64E-12Fark 23 2770.65 120.4631Toplam 24 21613.44

KatsayılarStandart Hata t Stat P-değeri Düşük %95Yüksek %95Düşük 95.0%Yüksek 95.0%Kesişim 15.27663 10.70525 1.427022 0.167009 -6.868872 37.42214 -6.868872 37.42214X Değişkeni 10.87549 0.070001 12.50678 9.64E-12 0.730682 1.020299 0.730682 1.020299

Otokorelasyonun Regresyona EtkisiOtokorelasyonun Regresyona Etkisi Vaka: Şüpheli bir laboratuar deneyi:Vaka: Şüpheli bir laboratuar deneyi:

– Öğrencilere x faktöründe 1 birim artışın y Öğrencilere x faktöründe 1 birim artışın y faktörünün 0.5 birim arttığını göstermek faktörünün 0.5 birim arttığını göstermek için yapılıyor (Model: y=a+0.5x). Aşağıda için yapılıyor (Model: y=a+0.5x). Aşağıda verilen x değerlerine karşılık öğrenciler y verilen x değerlerine karşılık öğrenciler y değerlerini ölçüyorlar. değerlerini ölçüyorlar.

– Regresyon sonuçları y = 21.04 +0.12x ve Regresyon sonuçları y = 21.04 +0.12x ve RR22 = 0.12 = 0.12

– Eğimin güvenilirlik aralığı -0.12-0.31 elde Eğimin güvenilirlik aralığı -0.12-0.31 elde edilmesi beklenen 0.5’i içermiyor. Ayrıca edilmesi beklenen 0.5’i içermiyor. Ayrıca bu aralık 0’ı da kapsadığından x ve y’nin bu aralık 0’ı da kapsadığından x ve y’nin ilgili olduğundan emin bile değiliz.ilgili olduğundan emin bile değiliz.

Oto Korelasyonun EtkisiOto Korelasyonun Etkisi

x y0 211 21.82 21.33 22.14 22.55 20.66 19.67 20.98 21.79 22.8

10 23.6

y = 0.1173x + 21.041R2 = 0.1212

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

23

23.5

24

0 2 4 6 8 10 12

x

y

y = ax + b

a = 0.12 [-0.12,0.31] 0.5 olması gereken bu değer hem 0.5’e uzak hem de aralık 0’ı kapsıyor.

Deneyler rastgele sırayla yapılması gerekirken sırayla, önce x=0, sonra x=1 şeklinde yapılmış.

Vaka İncelemeVaka İnceleme

Otokorelasyonun Regresyona EtkisiOtokorelasyonun Regresyona Etkisi yy = b = b00 + b + b11xx yyii = = + e + eii = b = b00 + b + b11xxii + e + eii

eeii, kalanlar, kalanlar bağımsız mı? bağımsız mı? EğerEğer e eii’’nin değeri enin değeri ei-1i-1 e ei-2i-2 ile ilgili deği ile ilgili değilse lse

bağımsızdırbağımsızdır. . Eğer ilgiliyse bunu aşağıdaki Eğer ilgiliyse bunu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:şekilde ifade edebiliriz:

eeii== pe pei-1i-1 +a +aii

aaii : bağımsız ve normal dağılım gös : bağımsız ve normal dağılım göstteren hataeren hatapp: otokorelasyon katsayısı: otokorelasyon katsayısı

Eğer p = 0 ise eEğer p = 0 ise eii bağımsız bağımsızEğer 0Eğer 0<<pp≤≤1 ise otokorelasyo1 ise otokorelasyon var. An var. Arrddarda arda gelen egelen eii değerleri değerlerininnin birbirine benz birbirine benzediğine ediğine işaret.işaret.

Otokorelasyonun Regresyona EtkisiOtokorelasyonun Regresyona Etkisi

121 iii apeeiii apee 1 232 iii apee

Ardarda yerine koyarak:

iiii

iiiii

iiiiiii

apaapep

apaapepe

apaapaapepe

122

33

1232

122

12

...

)(

)(

...44

33

22

1 iiiiii apapappaae

Terimlerin derecelerini sıralayarak yazarsak:

...)var()var()var()var( 24

122 iiiei apapae

2)var( aa a’nın varyansı:

)...1( 64222 ppppae

2

22

1 pa

e

0<p<1 için, p kuvvet serisi 1/(1-p2) ‘ye eşittir.

e’nin varyansı:

2

22

1 pa

e

Bu eşitliğe göre eğer pozitif oto korelasyon varsa ve farkına varılıp düzeltilmezse, hesaplanan varyans gerçek varyansın 1/ (1-p2) katı olacaktır.

Otokorelasyon Testi-Otokorelasyon Testi-Durbin ve Watson testi

n

ii

n

iii

e

eeD

1

2

2

21)(

Durbin ve Watson D istatistiği için en üst (dU)ve en alt sınır (dL) değerlerini belirlediler.

Eğer dL < D < dU ise , test sonuçsuz

D> dU ise p = 0 (otokorelasyon yok)

D< DL ise p>0 (otokorelasyon mevcut)

Eğer korelasyon negatifse, bu durumda D yerine 4-D değeri hesaplanır ve karşılaştırılır.

ei = yi - ˆyi yi: Ölçülen (gözlemlenen) değerˆyi:Hesaplanan y değerleri

Kalanlar içinde bir otokorelasyon olup olmadığını nasıl söyleriz?

11 0.93 1.32

Durbin ve Watson İstatistiğinin Kritik Değer Tablosu

Durbin ve Watson İstatistiğinin Kritik Değer Tablosu: http://www.stanford.edu/~clint/bench/dwcrit.htm

ÖrnekÖrnek

Yandaki veriye lineer regresyon uygulanmıştır ve kalanlar ve kalanların kareleri toplamı tabloda verilmiştir. Regresyonun olası bir otokorelasyondan etkilendiği söylenebilir mi?

n = 20

ÖrnekÖrnek

08.19154.7587

2065.8195

)(

1

2

2

21

D

e

eeD n

ii

n

iii

ÖrnekÖrnek D = 1.08D = 1.08 ddUU =1.41 =1.41

ddLL = 1.20 1.08 < 1.20 = 1.20 1.08 < 1.20 Kalanlar pozitif korelasyon gösteriyorlar. Kalanlar pozitif korelasyon gösteriyorlar.