dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103

METODY NUMERYCZNE

Gliwice 2010

wykład

konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30

www.kwmimkm.polsl.pl

Program przedmiotu

wykład: 15 godzin w semestrze

laboratorium: 30 godzin w semestrze

Warunki zaliczenia

zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (L)

zaliczenie na ocenę pozytywną kolokwium z wykładu (W)

Ocena końcowa

O=0.5 W+0.5 L

Gliwice 2010

Literatura podstawowa

Majchrzak E., Mochnacki B.:

Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy,

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, wyd. IV, Gliwice 2004.

Gliwice 2010

Gliwice 2010

Układy równań liniowych

Gliwice 2010

Układy równań liniowych

Algorytmy obliczeniowe

Metody dokładne

Metoda Cramera

Metoda Thomasa

Metoda eliminacji Gaussa

Metody iteracyjne

Metoda iteracji prostej

Metoda Gaussa-Seidla

Metoda nadrelaksacji

Gliwice 2010

Metody dokładne rozwiązywania układów równań

Gliwice 2010

Rozpatruje się układ n - równań liniowych

zawierających n - niewiadomych

Układy równań liniowych

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

który można zapisać w postaci macierzowej

A X B

Gliwice 2010

Układy równań liniowych

gdzie:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...................

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

A

1

2

n

x

x

x

X

1

2

n

b

b

b

B

macierz głównaukładu

wektorniewiadomych

wektor wyrazówwolnych

Gliwice 2010

Układy równań liniowych

Układ równań posiada jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy

jest oznaczony

UWAGA:

macierz główna układu równań A nie jest osobliwa(wyznacznik z tej macierzy jest różny od zera)

Gliwice 2010

Zastosowanie macierzy odwrotnej

Gliwice 2010

Przedstawiony powyżej układ równań liniowych zapisanyw postaci macierzowej

Zastosowanie macierzy odwrotnej

A X B

można rozwiązać obliczając macierz odwrotną domacierzy głównej układu.

1 X A B

Jeżeli macierz główna układu równań nie jest osobliwato wektor niewiadomych oblicza się z zależności:

Gliwice 2010

Trójkątne układy równań liniowych

Gliwice 2010

Trójkątny układ równań

Jeżeli układ równań ma następującą postać

11 1 1 2 2 1 1

22 2 2 2

...

...

..........................

n n

n n

nn n n

a x a x a x b

a x a x b

a x b

trójkątny układ równań

Gliwice 2010

ALGORYTM ROZWIĄZANIA:

Trójkątny układ równań

nn

nn

bx

a

1

, 1 , 2, ... , 1

n

i i s s

s i

i

i i

b a x

x i n na

Zakładamy, że 0 , 1, 2, ... ,i ia i n

Gliwice 2010

Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych

Gliwice 2010

Metoda Thomasa

Algorytm Thomasa bywa nazywany w literaturzemetodą progonki (przeganiania).

Rozpatrujemy liniowy, trójprzekątniowy układ równań

1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

. . . . .

n n n n n

n n n n

b c x d

a b c x d

a b c x d

a b c x d

a b x d

Gliwice 2010

Metoda Thomasa

który można zapisać również w następujący sposób

1

1

1 , 1, 2,

0

... ,

, ,0n

i i i i i i ia x b x c x d i n

a c

Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci

1β γi i i ix x

(1)

(2)

lub inaczej zapisując

1 1 1β γi i i ix x

gdzie i są nieznanymi współczynnikami.βiγi

Gliwice 2010

Metoda Thomasa

Po podstawieniu (2) do (1) i uporządkowaniu otrzymujemy:

1

ββ

ii

i i i

c

a b

1

1

γγ

β

i i i

i

i i i

d a

a b

Gliwice 2010

Metoda Thomasa

Z danych przedstawionych w równaniu (1) można wyznaczyć

wartości początkowe (dla i = 1)

11

1

β ,c

b 1

1

1

γd

b

oraz wartość ostatniej niewiadomej (dla i = n)

1

1

γγ

β

n n n

n n

n n n

d ax

a b

Po wyznaczeniu wartości kolejne niewiadome obliczamyz równania

nx

1β γi i i ix x dla i = n1, n2, ... , 1

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Układ równań liniowych

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...................

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

A

1

2

n

b

b

b

B

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych:

zapisujemy w postaci macierzy C, w której macierz główną Auzupełnia się dodatkową kolumną zawierającą wektor wyrazów

wolnych B.

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

11 12 1 1, 1

21 22 2 2, 1

1 2 , 1

n n

n n

n n nn n n

c c c c

c c c c

c c c c

C

i jaib

i ja

ib

n - pierwszych kolumn stanowią elementy

n + 1 - kolumnę stanowią elementy

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Podstawowy wariant metody eliminacji Gaussa:

Pierwszy etap

Przekształcenie macierzy C w taki sposób,

aby n pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną

Drugi etap

Rozwiązanie trójkątnego układu równań

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Jeżeli 11 0c

Pierwsze równanie mnożymy przez:1

11

ic

c

Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego

równania (i = 2, 3, …, n)

Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.

Pierwszy etap

Krok 1

Gliwice 2010

Otrzymujemy następujący układ równań

Metoda eliminacji Gaussa

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(1) (1) (1) (1)

32 2 33 3 3 3, 1

(1) (1) (1)

2 2 3 3 ,

...

...

...

...................................................

...

n n n

n n n

n n n

n n nn n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c x c

(1)

1

Gliwice 2010

Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C1

Metoda eliminacji Gaussa

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(1) (1) (1) (1)

32 33 3 3, 11

(1) (1) (1) (1)

2 3 , 1

0

0

0

n n

n n

n n

n n nn n n

c c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

C

za pomocą wzorów określających nowe współczynniki

1(1)

1

11

i

i j i j j

cc c c

c

2, 3, ... ,i n

2, 3, ... , 1j n dla

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Jeżeli(1)

22 0c

Drugie równanie mnożymy przez:

(1)

2

(1)

22

ic

c

Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego

równania (i = 3, 4, …, n)

Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.

Krok 2

Gliwice 2010

Otrzymujemy następujący układ równań

Metoda eliminacji Gaussa

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3 3, 1

(2) (2) (2)

3 3 , 1

...

...

...

........................................

...

n n n

n n n

n n n

n nn n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c

c x c x c

Gliwice 2010

Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C1 do C2

Metoda eliminacji Gaussa

za pomocą wzorów określających nowe współczynniki

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3, 12

(2) (2) (2)

3 , 1

0

0 0

0 0

n n

n n

n n

n nn n n

c c c c c

c c c c

c c c

c c c

C

3, 4, ... ,i n

3, 4, ... , 1j n dla

(1)

2(2) (1) (1)

2(1)

22

i

i j i j j

cc c c

c

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Kontynuując takie postępowanie, po wykonaniu n kroków

dochodzimy do trójkątnego układu równań

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3 3, 1

( 1) ( 1)

, 1

...

...

...

.......................................

n n n

n n n

n n n

n n

n n n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c

c x c

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

któremu odpowiada przekształcona macierz Cn1

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3, 11

( 1) ( 1)

, 1

0

0 0

0 0 0

n n

n n

n nn

n n

nn n n

c c c c c

c c c c

c c c

c c

C

Gliwice 2010

Metoda eliminacji Gaussa

Przejście od układu równań liniowych do układu trójkątnegorealizowane jest za pomocą następującego ciągu wzorów

( 1)

( ) ( 1) ( 1)

( 1)

1 , 2 , ... , 1

1 , 2 , ... ,

, 1, 2, ... , 1

s

i ss s s

i j i j s js

s s

s n

i s s n

cc c c j s s n

c

Gliwice 2010