Racioc Nio l Gico Quantitativo

5/21/2018 Racioc Nio l Gico Quantitativo

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RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVO

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Na seqncia, um quadro que resume osquatro mtodos, e quando se deve lanar mo deum ou de outro, em cada caso. Vejamos:(TABELA 01)

Deve ser usadoquando...

No deve serusado quando...

1Mtodo

Utilizao dosDiagramas(circunferncias)

O argumentoapresentar aspalavrastodo, nenhum, oualgum

O argumento noapresentar taispalavras.

2Mtodo

Construo dasTabelas-Verdade

Em qualquer caso,maspreferencialmentequando oargumento tiver nomximo duas

O argumentoapresentar trsou maisproposiessimples.

3Mtodo

Considerandoas premissas

erdadeiras etestando aconcluso

erdadeira

O 1 Mtodo nopuder serempregado, ehouver umapremissa...

...que seja umaproposiosimples; ou

... que esteja naforma de umaco n ju no (e).

Nenhumapremissa for umaproposiosimples ou umaconjuno.

4Mtodo

Verificar aexistncia deconclusoalsa e

premissaserdadeiras

O 1 Mtodo nopuder ser

empregado, e aconcluso...

...tiver a forma deuma proposiosimples; ou

... estiver a formade uma dis ju no(ou); ou

...estiver na formade umacondic ional(se...ento...)

A concluso nofor umaproposiosimples, nemuma disjuno,nem umacondicional.

Vejamos o exemplo seguinte:

Exemplo: Diga se o argumento abaixo

vlido ou invlido: (p q) r

~r

~p ~q

Sol.: Esse mesmo exerccio foi resolvido naaula passada. L, utilizamos o 2 mtodo (tabelas-verdade) para resolv-lo, pois estvamosinteressados em ensinar como se fazia a tabela-verdade para uma sentena formada por trs

premissas (p, q e r).

Todavia, vamos seguir um roteiro baseadono quadro acima, para chegarmos ao melhorcaminho de resoluo. Poderemos usar as seguintesperguntas:

1 Pergunta) O argumento apresenta aspalavras todo, algum ou nenhum?

A resposta no! Logo, descartamos o 1mtodo e passamos pergunta seguinte.

2 Pergunta) O argumento contm nomximo duas proposies simples?

A resposta tambm no! Temos atrs proposies simples! Portanto, descartamostambm o 2 mtodo. Adiante.

3 Pergunta) H alguma daspremissas que seja uma proposio simples ouuma

conjuno?

A resposta sim! A segunda proposio (~r). Podemos optar ento pelo 3 mtodo? Sim,perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiantecom uma prxima pergunta, teramos:

4 Pergunta)A concluso tem a forma deumaproposio simples ou de uma disjuno

ou de uma condicional?

A resposta tambm sim! Nossa concluso uma disjuno! Ou seja, caso queiramos,poderemos utilizar, opcionalmente, o 4 mtodo!

Vamos seguir os dois caminhos:resolveremos a questo pelo 3 e pelo 4 mtodos.Obviamente que, na prova, ningum vai fazer isso!Basta resolver uma vez! Adiante:

Resoluo pelo 3 Mtodo)

Considerando as premissas verdadeiras etestando a concluso verdadeira. Teremos:

2 Premissa) ~r verdade. Logo: r falsa!

1 Premissa) (pq)r verdade.Sabendo que r falsa, conclumos que (pq) temque ser tambm falsa. E quando uma conjuno (e) falsa? Quando as duas partes so falsas. Logo: p falsa e q falsa.


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Em suma, obtivemos que: p, q e r sotodos falsos!

Agora vamos testar a concluso, a qualter que ser verdadeira, com base nos valoreslgicos obtidos acima. Teremos:

~p ~q = V ou V = V

S precisaremos nos lembrar de que oteste, aqui no 3 mtodo, funciona assim: se aconcluso for tambm verdadeira, ento oargumento vlido!

Concluso: o argumento vlido!

Resoluo pelo 4 Mtodo)

Considerando a concluso falsa epremissas verdadeiras. Teremos:

Concluso) ~p v ~q falso. Logo: p verdadeiro e q verdadeiro!

Agora, passamos a testar as premissas,que so consideradas verdadeiras! Teremos:

1 Premissa) (pq)r verdade.Sabendo que p e q so verdadeiros, ento aprimeira parte da condicional acima tambm verdadeira. Da, resta que a segunda parte nopode ser falsa. Logo: r verdadeiro.

2 Premissa) Sabendo que r verdadeiro, teremos que ~r falso! Opa! Apremissa deveria ser verdadeira, e no foi!

Neste caso, precisaramos nos lembrar deque o teste, aqui no 4 mtodo, diferente doteste do 3: no havendo a existnciasimultnea da concluso falsa e premissasverdadeiras, teremos que o argumento vlido!

Concluso: o argumento vlido!

Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois,que os distintos mtodos, se aplicados da formacorreta, no podem ter resultados diferentes. Naaula passada, resolvemos esse mesmo exerccio

usando o 2 mtodo, e a concluso foi a mesma:argumento vlido!

(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a

seguir:

Item 1. A seguinte argumentao invlida.

Premissa 1: Todo funcionrio que sabelidar com oramento conhece contabilidade.

Premissa 2: Joo funcionrio e noconhece contabilidade.

Concluso: Joo no sabe lidar comoramento.

Sol.: Claramente vemos que possvel

usarmos o 1 mtodo. Teremos:

Conhece contabilidade

Sabe lidar com oramentoJOO

A concluso nos diz que Joo no sabe lidar

com oramento, logo, o argumento vlido! Como a

questo afirma que a argumentao invlida,

teremos que o item ERRADO!

Item 2.A seguinte argumentao vlida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga osimpostos devidos.

Premissa 2: Carlos paga os impostosdevidos.

Concluso: Carlos uma pessoa honesta.

Paga imposto

CARLOS

honesto

CARLOS

Carlos no necessariamente uma pessoahonesta! Vejam que ele pode estar simplesmentedentro do crculo maior (azul) e sem tocar o menor(vermelho)!

Da, o argumento invlido! Como a questodiz que vlido, o item est ERRADO!

(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.

Item 3.A argumentao

Se lgica fcil, ento Scrates foimico de circo.

Lgica no fcil. Scrates no foi mico de circo.

vlida e tem a forma


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P Q

P

QSol.: A forma simblica est correta.

Isso facilmente constatado. O que temos que

analisar sobre a validade do argumento.Qual o melhor mtodo a ser utilizado?

Vamos ao roteiro aprendido acima!

1 Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo,

algum ou nenhum?

Resposta: No! Descartamos o 1 mtodo!

2 Pergunta) O argumento contm no mximo duas

proposies simples?

Resposta: Sim! Se quisermos, podemos usar o 2

mtodo, facilmente!

3 Pergunta) H alguma das premissas que seja

uma pr op os io sim ple s ou uma

con juno?

Resposta: Sim! A segunda premissa uma

proposio simples! Se quisermos,

poderemos usar o 3 mtodo!

4 Pergunta) A concluso tem a forma de uma

pr op os io sim pl es ou de uma

d is ju no ou de uma condic ional?

Resposta: Sim, tambm!

A concluso uma proposio simples.

Opcionalmente, poderemos igualmente usar

o 4 mtodo!

So trs alternativas: poderemos concluiracerca da validade do argumento, por meio do 2ou do 3 ou do 4 mtodo! Como soapenas duas proposies simples, optaremospelo 2 mtodo, e construiremos a tabela-

verdade! Teremos:Da tabela-verdade acima nos interessaro

somente as duas ltimas linhas! Por que isso?Porque so as duas nicas em que as premissastm, simultaneamente, valor lgico verdade! Da,para que o argumento fosse vlido, seria precisoque a concluso (ltima coluna) fosse tambmverdade nas duas linhas! Como isso no ocorre(vide terceira linha!), diremos que o argumento invlido!

O item est, portanto, ERRADO!

(Agente da PolciaFederal/2004/CESPE)

Uma noo bsica da lgica a de queum argumento composto de um conjunto de

sentenas denominadas premissas e de umasentena denominada concluso. Um argumento vlido se a concluso necessariamente verdadeirasempre que as premissas forem verdadeiras. Combase nessas informaes, julgue os itens que seseguem.

Item 4. Toda premissa de um argumentovlido verdadeira.

Sol.: A bem da verdade, para responder aeste item (e aos prximos), podemos at deixar delado as palavras do enunciado. J sabemos o que um argumento vlido!

J do nosso conhecimento que a anliseda validade do argumento se prende forma, eno ao contedo das premissas (ou da concluso!).Logo, mesmo uma premissa sendo absurda em seucontedo, ou seja, mesmo sendo falsa, pode

perfeitamente gerar um argumento vlido.

O item 4 est, portanto, ERRADO!

Item 5. Se a concluso falsa, o argumentono vlido.

Sol.: Mesmo raciocnio do item anterior. Oque se leva em conta na verificao da validade doargumento se a construo perfeita em suaforma. A concluso pode ter contedo falso, e issono necessariamente redundar em um argumento

invlido!O item 5 est ERRADO!

Item 6. Se a concluso verdadeira, oargumento vlido.

Sol.: No necessariamente! A idia amesma dos dois itens anteriores.

O item 6 est ERRADO!

Item 7. vlido o seguinte argumento: todocachorro verde, e tudo que verde vegetal, logotodo cachorro vegetal.

VEGETAL

VERDE


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CACHORRO

Os diagramas acima no deixamqualquer dvida: a concluso resultado

necessrio das premissas! Ou seja, o argumento vlido.

O item 7 est, pois, CORRETO!

Questo 8: (TRT-9 Regio/2004/FCC)Observe a construo de um argumento:

Premissas: Todos os cachorros tm asas.

Todos os animais de asas so aquticos.

Existem gatos que so cachorros.

Concluso: Existem gatos que soaquticos.

Sobre o argumento A, as premissas P e a

concluso C, correto dizer que: (A) A no

vlido, P falso e C verdadeiro.

(B) A no vlido, P e C so falsos. (C) A

vlido, P e C so falsos.

(D) A vlido, P ou C so verdadeiros.

(E) A vlido se P verdadeiro e C falso.

Sol.: Para dizer se a concluso (C)ou se as premissas (P) so verdadeiras oufalsas, observaremos o que h em seu contedo.

Ora, sabemos que cachorros no tmasas; que gatos no so cachorros; e queno existem gatos aquticos! Portanto, so falsastanto as premissas quanto a concluso!

H duas opes de resposta que nosdizem isso: as letras B e C.

O que vai definir a resposta da questo

a anlise da validade do argumento! Faamos

tal anlise com uso do 1 mtodo (diagramas).

Teremos:

AQUTICOS

TEM ASAS

CACHORROS

GATOS

Mais uma vez o desenho inequvoco:necessariamente a concluso do argumento serverdadeira, uma vez consideradas verdadeiras aspremissas! Ou seja, o argumento vlido!

Isso somente ratifica o que dissemos naanlise dos itens anteriores: mesmo sendo absurdosos contedos das premissas e da concluso, aconstruo perfeita em sua forma, o que nos levaa um argumento vlido!

A resposta da questo a LETRA C.

Questo 9: (SERPRO-2001/ESAF)

Considere o seguinte argumento: Se

Soninha sorri, Slvia miss simpatia. Ora,Soninha no sorri. Logo, Slvia no misssimpatia.Este no um argumento logicamentevlido, uma vez que:

a) a concluso no decorrncia necessria

das premissas. b) a segunda premissa no

decorrncia lgica da primeira.

c) a primeira premissa pode ser falsa,embora a segunda possa ser verdadeira.

d) a segunda premissa pode ser falsa,

embora a primeira possa ser verdadeira. e) oargumento s vlido se Soninha na realidade no

sorri.

Sol.: Trata-se de uma questo meramenteconceitual, e de resoluo, portanto, imediata.

Se o enunciado est afirmando que umargumento qualquer invlido, isso significa, to-somente, que a concluso no decorrncianecessria (obrigatria) das premissas!

o que diz a opo A Resposta!

Classifique, quanto validade, os seguintesargumentos:

10. P Q

P

Q

Sol.: Mesmo argumento j foi analisado noitem 03 supra! Como o argumento traz apenasduas proposies simples (p e q), usamos o 2mtodo, da construo da tabela-verdade.


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11. P Q

Q R_ P R

Sol.: Temos trs proposies simples

neste argumento, de sorte que no muitoconveniente usarmos o 2 mtodo. Vamosescolher entre o 3 e o 4.

Faamos as duas ltimas perguntas doroteiro. Teremos:

3 Pergunta) H alguma das premissas que seja uma

pr op os io sim ple s ou uma

con juno?

Resposta: No! Descartemos, pois, o 3 mtodo!

4 Pergunta) A concluso tem a forma de uma

pr op os io sim pl es ou de uma

d is ju no ou de uma condic ional?

Resposta: Sim! A concluso uma condicional.

Adotaremos, pois, o 4 mtodo!

4 Mtodo)

Considerando a concluso falsa epremissas verdadeiras. Teremos:

Concluso) P v R falso. Logo: P

falso e R falso! Agora, passamos a testar aspremissas. Teremos:

1 Premissa) P v Q verdade.Sabendo que P falso, teremos que Q terque ser

verdadeiro!

2 Premissa) Q v R verdade.

Os valores lgicos obtidos anteriormenteforam: Q V e R F. Substituindo estes valoreslgicos nesta premissa (Q v R), teremos comoresultado um valor verdadeiro. O que concorda

com a considerao feita inicialmente de que apremissa era verdadeira.

Lembramos que, no 4 mtodo, quandose confirma a situao premissas verdadeirase

co nc lu so fals a, constataremos que oargumento invlido!

12. P Q R Q

R

P

Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4mtodo. Teremos:

Concluso) ~P falso. Logo: P verdadeiro!

Considerando as premissas verdadeiras etestando-as, teremos:

1 Premissa) PQ verdade. Sabendoque P verdadeiro, teremos que Q ter que sertambm verdadeiro!

2 Premissa) R~Q verdade. Sabendoque Q verdadeiro ento ~Q falso. Da, sendo~Q falso, teremos que R ter que ser tambm falso.

3 Premissa) Sabendo (da 2 premissa)que R falso, constatamos que a 3 premissa falsa! Ou seja, se a concluso falsa, e1 e 2 premissa so verdadeiras, ento estapremissa no pode ser verdadeira!

Ora, falhou a situao premissasverdadeiras e concluso falsa! Da, oargumento vlido!

13. Se x=1 e y=z, ento y>2

Y = 2

y z

Sol.: Aplicando o 3 mtodo, iremosconsiderar as premissas verdadeiras e testar aconcluso. Teremos:

2 Premissa: y=2 verdadeira!

1 Premissa: Ora, se verdadeiro que

y=2, ento a segunda parte da 1 premissa (y>2) alsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeiraparte desta condicional dever ser tambm falsa. Ouseja, falso que x=1 e y=z. Da, teremos que: x1OU yz.

Este ou da anlise acima denota que no uma concluso necessria que yz. Pode ser, ouno! Da, diremos que o argumento invlido!


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Desde suas origens na Grcia Antiga,especialmente de Aristteles (384-322 a.C.) emdiante, a lgica tornou-se um dos campos maisfrteis do pensamento humano, particularmenteda filosofia. Em sua longa histria e nas mltiplasmodalidades em que se desenvolveu, sempre foibem claro seu objetivo: fornecer subsdios para aproduo de um bom raciocnio.

Por raciocnio, entende-se tanto umaatividade mental quanto o produto dessaatividade. Esse, por sua vez, pode ser analisadosob muitos ngulos: o psiclogo poder estudar o

papel das emoes sobre um determinadoraciocnio; o socilogo considerar as influnciasdo meio; o criminlogo levar em conta ascircunstncias que o favoreceram na prtica deum ato criminoso etc. Apesar de todas estaspossibilidades, o raciocnio estudado de modomuito especial no mbito da lgica. Para ela,pouco importam os contextos psicolgico,econmico, poltico, religioso, ideolgico, jurdicoou de qualquer outra esfera que constituam oambiente do raciocnio.

Ao lgico, no interessa se o raciocnio

teve esta ou aquela motivao, se respeita ou noa moral social, se teve influncias das emoesou no, se est de acordo com uma doutrinareligiosa ou no, se foi produzido por uma pessoaembriagada ou sbria. Ele considera a sua forma.Ao considerar a forma, ele investiga a coernciado raciocnio, as relaes entre as premissas e aconcluso, em suma, sua obedincia a algumasregras apropriadas ao modo como foi formuladoetc.

Apenas a ttulo de ilustrao, seguem-sealgumas definies e outras referncias lgica:

A arte que dirige o prprio ato da razo,ou seja, nos permite chegar com ordem,facilmente e sem erro, ao prprio ato da razo oraciocnio (Jacques Maritain).

A lgica o estudo dos mtodos eprincpios usados para distinguir o raciocniocorreto do incorreto

(Irving Copi).

A lgica investiga o pensamento nocomo ele , mas como deve ser (Edmundo D.Nascimento).

A princpio, a lgica no temcompromissos. No entanto, sua histria

demonstra o poder que a mesma possui quando bemdominada e dirigida a um propsito determinado,como o fizeram os sofistas, a escolstica, opensamento cientfico ocidental e, maisrecentemente, a informtica (Bastos; Keller).

1.1. Lgica formal e Lgica material

Desde Aristteles, seu primeiro grandeorganizador, os estudos da lgica orientaram-se emduas direes principais: a da lgica formal, tambmchamada de lgica menor e a da lgica material,tambm conhecida como lgica maior.

A lgica formal preocupa-se com a correoformal do pensamento. Para esse campo de estudosda lgica, o contedo ou a matria do raciocnio temuma importncia relativa. A preocupao sempre

ser com a sua forma. A forma respeitada quandose preenchem as exigncias de coerncia interna,mesmo que as concluses possam ser absurdas doponto de vista material (contedo). Nem sempre umraciocnio formalmente correto corresponde quiloque chamamos de realidade dos fatos. No entanto, oerro no est no seu aspecto formal e, sim, na suamatria. Por exemplo, partindo das premissas que

(1) todos os brasileiros so europeus

e que

(2) Pedro brasileiro,

formalmente, chegar-se- concluso lgicaque

(3) Pedro europeu.

Materialmente, este um raciocnio falsoporque a experincia nos diz que a premissa falsa.No entanto, formalmente, um raciocnio vlido,porque a concluso adequada s premissas. nesse sentido que se costuma dizer que ocomputador falho, j que, na maioria dos casos,

processa formalmente informaes nele previamenteinseridas, mas no tem a capacidade de verificar ovalor emprico de tais informaes.

J, a lgica material preocupa-se com aaplicao das operaes do pensamento realidade,de acordo com a natureza ou matria do objeto emquesto. Nesse caso, interessa que o raciocnio nos seja formalmente correto, mas que tambmrespeite a matria, ou seja, que o seu contedocorresponda natureza do objeto a que se refere.Neste caso, trata-se da correspondncia entrepensamento e realidade.

Assim sendo, do ponto de vista lgico,costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdadeformal e a verdade material. A verdade formal dizrespeito, somente e to-somente, forma do


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discurso; j a verdade material tem a ver com aforma do discurso e as suas relaes com amatria ou o contedo do prprio discurso. Sehouver coerncia, no primeiro caso, e coerncia ecorrespondncia, no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lgica investiga asregras adequadas produo de um raciocniovlido, por meio do qual visa-se consecuo daverdade, seja ela formal ou material.Relacionando a lgica com a prtica, pode-sedizer que importante que se obtenha nosomente uma verdade formal, mas, tambm, umaverdade que corresponda experincia. Que seja,portanto, materialmente vlida. A conexo entreos princpios formais da lgica e o contedo deseus raciocnios pode ser denominada de lgicainformal. Trata-se de uma lgica aplicada aoplano existencial, vida quotidiana.

1.2. Raciocnio e Argumentao

Trs so as principais operaes dointelecto humano: a simples apreenso, os juzose o raciocnio.

A simples apreenso consiste nacaptao direta (atravs dos sentidos, da intuioracional, da imaginao etc) de uma realidadesobre a qual forma-se uma idia ou conceito (p.ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc)

que, por sua vez, recebe uma denominao (aspalavras ou termos, p. ex.: mesa, trs earcanjo).

O juzo ato pelo qual os conceitos ouidias so ligadas ou separadas dando origem emisso de um julgamento (falso ou verdadeiro)sobre a realidade, mediante proposies orais ouescritas. Por exemplo: H trs arcanjos sobre amesa da sala

O raciocnio, por fim, consiste no arranjointelectual dos juzos ou proposies, ordenando

adequadamente os contedos da conscincia. Noraciocnio, parte-se de premissas para se chegara concluses que devem ser adequadas.Procedendo dessa forma, adquirem-seconhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que j se conhece. Para tanto, a cada passo, preciso preencher os requisitos da coerncia edo rigor. Por exemplo: Se os trs arcanjos estosobre a mesa da sala, no esto sobre a mesa davaranda

Quando os raciocnios so organizadoscom tcnica e arte e expostos de forma tal a

convencer a platia, o leitor ou qualquerinterlocutor tem-se a argumentao. Assim, aatividade argumentativa envolve o interesse dapersuaso. Argumentar o ncleo principal daretrica, considerada a arte de convencermediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoaspensam aquilo que querem, de acordo com ascircunstncias da vida e as decises pessoais(subjetividade), um argumento conseguir atingirmais facilmente a meta da persuaso caso as idiaspropostas se assentem em boas razes, capazes demexer com as convices daquele a quem se tentaconvencer. Muitas vezes, julga-se que esto sendousadas como bom argumento opinies que, naverdade, no passam de preconceitos pessoais, demodismos, de egosmo ou de outras formas dedesconhecimento. Mesmo assim, a habilidade noargumentar, associada desateno ou ignornciade quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr apersuaso.

Pode-se, ento, falar de dois tipos deargumentao: boa ou m, consistente/slida ouinconsistente/frgil, lgica ou ilgica, coerente ouincoerente, vlida ou no-vlida, fraca ou forte etc.De qualquer modo, argumentar no implica,necessariamente, manter-se num plano distante daexistncia humana, desprezando sentimentos emotivaes pessoais. Pode-se argumentar bem sem,necessariamente, descartar as emoes, como nocaso de convencer o aluno a se esforar nos estudosdiante da perspectiva de frias mais tranqilas.Enfim, argumentar corretamente (sem armar ciladaspara o interlocutor) apresentar boas razes para odebate, sustentar adequadamente um dilogo,promovendo a dinamizao do pensamento. Tudo

isso pressupe um clima democrtico.1.3. Inferncia Lgica

Cabe lgica a tarefa de indicar os caminhospara um raciocnio vlido, visando verdade.Contudo, s faz sentido falar de verdade ou falsidadequando entram em jogo asseres nas quais sedeclara algo, emitindo-se um juzo de realidade.Existem, ento, dois tipos de frases: as assertivas eas no assertivas, que tambm podem ser chamadasde proposies ou juzos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, comonos exemplos: a raiz quadrada de 9 3 ou o solbrilha noite. J, nas frases no assertivas, noentram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso,elas no tm valor de verdade. o caso dasinterrogaes ou das frases que expressam estados

emocionais difusos, valores vivenciadossubjetivamente ou ordens. A frase toque a bola, porexemplo, no falsa nem verdadeira, por no setratar de uma assero (juzo).

As frases declaratrias ou assertivas podem

ser combinadas de modo a levarem a conclusesconseqentes, constituindo raciocnios vlidos. Veja-se o exemplo:

(1) No h crime sem uma lei que o defina;


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(2) no h uma lei que defina matar ETscomo crime; (3) logo, no crime matar ETs.

Ao serem ligadas estas assertivas, namente do interlocutor, vo sendo criadas ascondies lgicas adequadas concluso doraciocnio. Esse processo, que muitas vezespermite que a concluso seja antecipada semque ainda sejam emitidas todas as proposies doraciocnio, chama- se inferncia. O ponto departida de um raciocnio (as premissas) deve levara concluses bvias.

1.4. Termo e Conceito

Para que a validade de um raciocnio sejapreservada, fundamental que se respeite umaexigncia bsica: as palavras empregadas na sua

construo no podem sofrer modificaes designificado. Observe-se o exemplo:

Os jaguares so quadrpedes; Meu carro um Jaguar

logo, meu carro um quadrpede.

O termo jaguar sofreu uma alterao designificado ao longo do raciocnio, por isso, notem validade.

Quando pensamos e comunicamos os

nossos pensamentos aos outros, empregamospalavras tais como animal, lei, mulher rica,crime, cadeira, furto etc. Do ponto de vista dalgica, tais palavras so classificadas comotermos, que so palavras acompanhadas deconceitos. Assim sendo, o termo o signolingstico, falado ou escrito, referido a umconceito, que o ato mental correspondente aosigno.

Desse modo, quando se emprega, porexemplo, o termo mulher rica, tende-se a pensarno conjunto das mulheres s quais se aplica esse

conceito, procurando apreender uma notacaracterstica comum a todos os elementos doconjunto, de acordo com a intencionalidadepresente no ato mental. Como resultado, aexpresso mulher rica pode ser tratada comodois termos: pode ser uma pessoa do sexofeminino cujos bens materiais ou financeiros estoacima da mdia ou aquela cuja trajetriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude,afetividade e equilbrio.

Para que no se obstrua a coerncia doraciocnio, preciso que fique bem claro, em

funo do contexto ou de uma manifestao dequem emite o juzo, o significado dos termosempregados no discurso.

1.5. Princpios lgicos

Existem alguns princpios tidos como conditiosine qua non para que a coerncia do raciocnio, emabsoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos comoprincpios que se referem tanto realidade dascoisas (plano ontolgico), quanto ao pensamento(plano lgico), ou seja, se as coisas em geral devemrespeitar tais princpios, assim tambm opensamento deve respeit-los. So eles:

a) Princpio da identidade, pelo qual sedelimita a realidade de um ser. Trata-se deconceituar logicamente qual a identidade de algo aque se est fazendo referncia. Uma vez conceituadauma certa coisa, seu conceito deve manter-se aolongo do raciocnio. Por exemplo, se estou falando deum homem chamado Pedro, no posso estar mereferindo a Antnio.

b) Princpio da no-contradio. Se algo aquilo que , no pode ser outra coisa, sob o mesmoaspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se obrasileiro Joo est doente agora, no est so,ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se,embora, enquanto Joo, ele seja brasileiro, doenteou so;

c) Princpio da excluso do terceiro termo.Entre o falso e o verdadeiro no h meio termo, ou falso ou verdadeiro. Ou est chovendo ou no est,no possvel um terceiro termo: est meiochovendo ou coisa parecida.

A lgica clssica e a lgica matemticaaceitam os trs princpios como suas pedrasangulares, no entanto, mais recentemente,Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveramsistemas lgicos sem o princpio do terceiro excludo,admitindo valor lgico no somente ao falso e aoverdadeiro, como tambm ao indeterminado.

2. Argumentao e Tipos de Raciocnio

Conforme vimos, a argumentao o modocomo exposto um raciocnio, na tentativa de

convencer algum de alguma coisa. Quemargumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversostipos de raciocnio. s vezes, so empregadosraciocnios aceitveis do ponto de vista lgico, j, emoutras ocasies, pode-se apelar para raciocniosfracos ou invlidos sob o mesmo ponto de vista. bastante comum que raciocnios desse tipo sejamusados para convencer e logrem o efeitodesejado, explorando a incapacidade momentneaou persistente de quem est sendo persuadido deavaliar o valor lgico do raciocnio empregado naargumentao.

Um bom raciocnio, capaz de resistir acrticas, precisa ser dotado de duas caractersticasfundamentais: ter premissas aceitveis e serdesenvolvido conforme as normas apropriadas.


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Dos raciocnios mais empregados naargumentao, merecem ser citados aanalogia, a induo e a deduo. Dos trs, oprimeiro o menos preciso, ainda que um meiobastante poderoso de convencimento, sendobastante usado pela filosofia, pelo senso comume, particularmente, nos discursos jurdico ereligioso; o segundo amplamente empregadopela cincia e, tambm, pelo senso comum e, porfim, a deduo tida por alguns como o nicoraciocnio autenticamente lgico, por isso, overdadeiro objeto da lgica formal.

A maior ou menor valorizao de um oude outro tipo de raciocnio depender do objeto aque se aplica, do modo como desenvolvido ou,ainda, da perspectiva adotada na abordagem danatureza e do alcance do conhecimento.

s vezes, um determinado tipo deraciocnio no adequadamente empregado.Vejam-se os seguintes exemplos: o mdicoalemo Ludwig Bchner (1824-1899)apresentou como argumento contra a existnciada alma o fato de esta nunca ter sido encontradanas diversas dissecaes do corpo humano; oastronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmouque Deus no existe pois esteve l em cima eno o encontrou. Nesses exemplos fica bem claroque o raciocnio indutivo, baseado na observaoemprica, no o mais adequado para os objetos

em questo, j que a alma e Deus so de ordemmetafsica, no fsica.

2.1. Raciocnio analgico

Se raciocinar passar do desconhecidoao conhecido, partir do que se sabe em direoquilo que no se sabe, a analogia (an =segundo, de acordo + lgon = razo) um doscaminhos mais comuns para que isso acontea.No raciocnio analgico, compara-se uma situaoj conhecida com uma situao desconhecida ouparcialmente conhecida, aplicando a elas as

informaes previamente obtidas quando davivncia direta ou indireta da situao-referncia.

Normalmente, aquilo que familiar usado como ponto de apoio na formao doconhecimento, por isso, a analogia um dosmeios mais comuns de inferncia. Se, por umlado, fonte de conhecimentos do dia-a-dia, poroutro, tambm tem servido de inspirao paramuitos gnios das cincias e das artes, como noscasos de Arquimedes na banheira (lei doempuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei dopndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da

gravitao universal). No entanto, tambm umaforma de raciocnio em que se cometem muitoserros. Tal acontece porque difcil estabelecer-lheregras rgidas. A distncia entre a genialidade e afalha grosseira muito pequena. No caso dosraciocnios analgicos, no se trata propriamente

de consider-los vlidos ou no-vlidos, mas deverificar se so fracos ou fortes. Segundo Copi, delessomente se exige que tenham alguma probabilidade(Introduo lgica, p. 314).

A fora de uma analogia depende,basicamente, de trs aspectos:

a) os elementos comparados devem serverdadeiros e importantes;

b) o nmero de elementos semelhantes entreuma situao e outra deve ser significativo;

c) no devem existir divergncias marcantesna comparao.

No raciocnio analgico, comparam-se duassituaes, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as concluses adequadas. Na ilustrao, tal comoa carroa, o carro a motor um meio de transporteque necessita de um condutor. Este, tanto num casoquanto no outro, precisa ser dotado de bom senso ede boa tcnica para desempenhar adequadamenteseu papel.

Aplicao das regras acima a exemplos:a) Os elementos comparados devem ser

verdadeiros e relevantes, no imaginrios ouinsignificantes.tc

"a) Os elementos comparados devem serverdadeiros e relevantes, no imaginrios ou

insignificantes."Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom

gosto ao comprar suas roupas, logo, ter bom gostoao comprar as roupas de sua filha.

Analogia fraca - Joo usa terno, sapato decromo e perfume francs e um bom advogado;Antnio usa terno, sapato de cromo e perfumefrancs; logo, deve ser um bom advogado.

b) O nmero de aspectos semelhantes entreuma situao e outra deve ser significativo.tc "b) O

nmero de aspectos semelhantes entre uma

situao e outra deve ser significativo."Analogia forte - A Terra um planeta com

atmosfera, com clima ameno e tem gua; em Marte,tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno egua; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra,em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4horas por noite e foi um gnio inventor; eu dormireidurante 3 1/2 horas por noite e, por isso, tambmserei um gnio inventor.

c) No devem existir divergncias marcantes

na comparao.tc "c) No devem existir divergnciasmarcantes na comparao.."

Analogia forte - A pescaria em rios no proveitosa por ocasio de tormentas e tempestades;

a pescaria marinha no est tendo sucesso


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porque troveja muito.

Analogia fraca - Os operrios suos querecebem o salrio mnimo vivem bem; a maioriados operrios brasileiros, tal como os operriossuos, tambm recebe um salrio mnimo; logo, amaioria dos operrios brasileiros tambm vivebem, como os suos.

Pode-se notar que, no caso da analogia,no basta considerar a forma de raciocnio, muito importante que se avalie o seu contedo.Por isso, esse tipo de raciocnio no admitidopela lgica formal. Se as premissas foremverdadeiras, a concluso no o sernecessariamente, mas possivelmente, isto casocumpram-se as exigncias acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir umaestrutura geral do raciocnio analgico, noexistem regras claras e precisas que, uma vez

observadas, levariam a uma conclusonecessariamente vlida.

O esquema bsico do raciocnio analgico:

A N, L, Y, X;

B, tal como A, N, L, Y, X; A , tambm,Z

logo, B, tal como A, tambm Z.

Se, do ponto de vista da lgica formal, oraciocnio analgico precrio, ele muitoimportante na formulao de hipteses cientficas

e de teses jurdicas ou filosficas. Contudo, ashipteses cientficas oriundas de um raciocnioanalgico necessitam de uma avaliao posterior,mediante procedimentos indutivos ou dedutivos.

Observe-se o seguinte exemplo: JohnHolland, fsico e professor de cincia dacomputao da Universidade de Michigan, lanoua hiptese (1995) de se verificar, no campo dacomputao, uma situao semelhante queocorre no da gentica. Assim como na naturezaespcies diferentes podem ser cruzadas paraobter o chamado melhoramento gentico - umindivduo mais adaptado ao ambiente

-, na informtica, tambm o cruzamento

de programas pode contribuir para montar umprograma mais adequado para resolver umdeterminado problema. Se quisermos obter umarosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzarduas espcies: uma com forte perfume e outraque seja bela diz Holland. Para resolver umproblema, fazemos o mesmo. Pegamos umprograma que d conta de uma parte do problemae cruzamos com outro programa que solucioneoutra parte. Entre as vrias solues possveis,selecionam-se aquelas que parecem maisadequadas. Esse processo se repete por vriasgeraes - sempre selecionando o melhorprograma - at obter o descendente que mais seadapta questo. , portanto, semelhante ao

processo de seleo natural, em que ssobrevivem os mais aptos. (Entrevista ao JB,19/10/95, 1 cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara anecessidade da averiguao indutiva das

concluses extradas desse tipo de raciocnio para,s depois, serem confirmadas ou no.

2.2. Raciocnio Indutivo - do particular aogeral

Ainda que alguns autores considerem aanalogia como uma variao do raciocnio indutivo,esse ltimo tem uma base mais ampla desustentao. A induo consiste em partir de umasrie de casos particulares e chegar a uma conclusode cunho geral. Nele, est pressuposta apossibilidade da coleta de dados ou da observaode muitos fatos e, na maioria dos casos, tambm daverificao experimental. Como dificilmente soinvestigados todos os casos possveis, acaba-seaplicando o princpio das probabilidades.

Assim sendo, as verdades do raciocnioindutivo dependem das probabilidades sugeridaspelo nmero de casos observados e pelas evidnciasfornecidas por estes. A enumerao de casos deve

ser realizada com rigor e a conexo entre estes deveser feita com critrios rigorosos para que sejamindicadores da validade das generalizaes contidasnas concluses.

O esquema principal do raciocnio indutivo o seguinte:

B A e X;C A e tambm X; D A e tambm X; E

A e tambm X;logo, todos os A so XNo raciocnio indutivo, da observao de

muitos casos particulares, chega-se a uma conclusode cunho geral.

Aplicando o modelo:

A jararaca uma cobra e no voa;A caninana uma cobra e tambm no voa;

A urutu uma cobra e tambm no voa;A cascavel uma cobra e tambm no voa;logo, as cobras no voam.Contudo,Ao sair de casa, Joo viu um gato preto e,

logo a seguir, caiu e quebrou o brao. Maria viu omesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada.Antonio tambm viu o mesmo gato e, ao sair doestacionamento, bateu com o carro. Logo, ver umgato preto traz azar.

Os exemplos acima sugerem, sob o ponto devista do valor lgico, dois tipos de induo: a induofraca e a induo forte. forte quando no h boasprobabilidades de que um caso particular discorde dageneralizao obtida das premissas: a conclusonenhuma cobra voa tem grande probalidade de servlida. J, no caso do gato preto, no parece haversustentabilidade da concluso, por se tratar de meracoincidncia, tratando-se de uma induo fraca. Almdisso, h casos em que uma simples anlise daspremissas suficiente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das concluses quepretendem ser aplicadas ao comportamento datotalidade dos membros de um grupo ou de uma

classe tendo como modelo o comportamento dealguns de seus componentes:

1. Adriana mulher e dirige mal; Ana Maria mulher e dirige mal; Mnica mulher e dirige mal;Carla mulher e dirige mal;


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logo, todas as mulheres dirigem mal.

2. Antnio Carlos poltico e corrupto;Fernando poltico e corrupto;

Paulo poltico e corrupto; Estevo poltico e corrupto;

logo, todos os polticos so corruptos.

A avaliao da suficincia ou no doselementos no tarefa simples, havendo muitosexemplos na histria do conhecimento indicadoresdos riscos das concluses por induo. Basta queum caso contrarie os exemplos at ento colhidospara que caia por terra uma verdade por elasustentada. Um exemplo famoso o da cor doscisnes. Antes da descoberta da Austrlia, ondeforam encontrados cisnes pretos, acreditava-seque todos os cisnes fossem brancos porque todos

os at ento observados eram brancos. Ao servisto o primeiro cisne preto, uma certeza desculos caiu por terra.

2.2.1. Procedimentos indutivosApesar das muitas crticas de que

passvel o raciocnio indutivo, este um dosrecursos mais empregados pelas cincias paratirar as suas concluses. H dois procedimentosprincipais de desenvolvimento e aplicao dessetipo de raciocnio: o da induo por enumeraoincompleta suficiente e o da induo porenumerao completa.

a. Induo por enumerao incompletasuficiente

Nesse procedimento, os elementosenumerados so tidos como suficientes paraserem tiradas determinadas concluses. o casodo exemplo das cobras, no qual, apesar de nopoderem ser conferidos todos os elementos(cobras) em particular, os que foram enumeradosso representativos do todo e suficientes para ageneralizao (todas as cobras...)

b. Induo por enumerao completa

Costuma-se tambm classificar comoindutivo o raciocnio baseado na enumeraocompleta.

Ainda que alguns a classifiquem comotautologia, ela ocorre quando:

b.a. todos os casos so verificados econtabilizados;

b.b. todas as partes de um conjunto soenumeradas.

Exemplos correspondentes s duasformas de induo por enumerao completa:

b.a. todas as ocorrncias de dengueforam investigadas e em cada uma delas foiconstatada uma caracterstica prpria desse

estado de morbidez: fortes dores de cabea;obteve-se, por conseguinte, a concluso segurade que a dor de cabea um dos sintomas dadengue.

b.b. contam-se ou conferem-se todos as

peas do jogo de xadrez: ao final da contagem,constata-se que so 32 peas.

Nesses raciocnios, tem-se uma conclusosegura, podendo-se classific-los como formas de

induo forte, mesmo que se revelem poucocriativos em termos de pesquisa cientfica.

O raciocnio indutivo nem sempre apareceestruturado nos moldes acima citados. s vezes,percebe-se o seu uso pela maneira como o contedo(a matria) fica exposta ou ordenada. Observem- seos exemplos:

- No parece haver grandes esperanas emse erradicar a corrupo do cenrio poltico brasileiro.Depois da srie de protestos realizados pelapopulao, depois das provas apresentadas nasCPIs, depois do vexame sofrido por alguns polticosdenunciados pela imprensa, depois do escrniopopular em festividades como o carnaval e depoisde tanta insistncia de muitos sobre necessidadede moralizar o nosso pas, a corrupo parece

recrudescer, apresenta novos tentculos, se disfarade modos sempre novos, encontrando-se maneirasinusitadas de ludibriar a nao.

- Sentia-me totalmente tranqilo quanto aomeu amigo, pois, at ento, os seus atos sempreforam pautados pelo respeito s leis e dignidade deseus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam asua culpa, eu continuava seguro de sua inocncia.

Tanto no primeiro quanto no segundoexemplos est sendo empregando o mtodo indutivoporque o argumento principal est sustentado pelaobservao de muitos casos ou fatos particularesque, por sua vez, fundamentam a concluso. No

primeiro caso, a constatao de que diversastentativas de erradicar a corrupo mostraram-seinfrutferas conduzem concluso da impossibilidadede sua superao, enquanto que, no segundoexemplo, da observao do comportamento do amigoinfere-se sua inocncia.

Analogia, induo e probabilidadeNos raciocnios analgico e indutivo, apesar

de boas chances do contrrio, h sempre apossibilidade do erro. Isso ocorre porque se estlidando com probabilidades e estas no sosinnimas de certezas.

H trs tipos principais de probabilidades: amatemtica, a moral e a natural.

a) A probabilidade matemtica aquela naqual, partindo-se dos casos numerados, possvelcalcular, sob forma de frao, a possibilidade de algoocorrer na frao, o denominador representa oscasos possveis e o numerador o nmero de casosfavorveis. Por exemplo, no caso de um sorteiousando uma moeda, a probabilidade de dar cara de50% e a de dar coroa tambm de 50%.

b) A probabilidade moral a relativa a fatoshumanos destitudos de carter matemtico. o casoda possibilidade de um comportamento criminoso ou

virtuoso, de uma reao alegre ou triste etc.Exemplos: considerando seu comportamentopregresso, provvel que Pedro no tenha cometidoo crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice deMaria, provvel que ela o receba bem, mas...


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c) A probabilidade natural a relativa afenmenos naturais dos quais nem todas aspossibilidades so conhecidas. A previsometeorolgica um exemplo particular deprobalidade natural. A teoria do caos assenta-sena tese da imprevisibilidade relativa e dadescrio apenas parcial de alguns eventosnaturais.

Por lidarem com probabilidades, ainduo e a analogia so passveis de conclusesinexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativocuidado com as suas concluses. Elas expressammuito bem a necessidade humana de explicar eprever os acontecimentos e as coisas, contudo,tambm revelam as limitaes humanas no quediz respeito construo do conhecimento.

2.3. Raciocnio dedutivo - do geral aoparticular

O raciocnio dedutivo, conforme aconvico de muitos estudiosos da lgica, aquele no qual so superadas as deficincias daanalogia e da induo.

No raciocnio dedutivo, inversamente aoindutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular.As inferncias ocorrem a partir do progressivoavano de uma premissa de cunho geral, para sechegar a uma concluso to ou menos ampla quea premissa. O silogismo o melhor exemplodesse tipo de raciocnio:

Premissa maior: Todos os homens so

mamferos. universalPremissa menor: Pedro homem.

Concluso: Logo, Pedro mamfero.

Particular

No raciocnio dedutivo, de uma premissade cunho geral podem-se tirar concluses decunho particular.

Aristteles refere-se deduo como ainferncia na qual, colocadas certas coisas, outradiferente se lhe segue necessariamente, somente

pelo fato de terem sido postas. Uma vez postoque todos os homens so mamferos e que Pedro homem, h de se inferir, necessariamente, quePedro um mamfero. De certo modo, aconcluso j est presente nas premissas, bastaobservar algumas regras e inferir a concluso.

2.3.1. Construo do Silogismo

A estrutura bsica do silogismo (sn/com+ lgos/razo) consiste na determinao de umapremissa maior (ponto de partida), de umapremissa menor (termo mdio) e de umaconcluso, inferida a partir da premissa menor.

Em outras palavras, o silogismo sai de umapremissa maior, progride atravs da premissamenor e infere, necessariamente, uma conclusoadequada.

Eis um exemplo de silogismo:

Todos os atos que ferem a lei so punveis Premissa Maior A concusso um ato quefere a lei Premissa Menor Logo, a concusso punvel Concluso

O silogismo estrutura-se por premissas. Nombito da lgica, as premissas so chamadas deproposies que, por sua vez, so a expresso oralou grfica de frases assertivas ou juzos. O termo uma palavra ou um conjunto de palavras que exprimeum conceito. Os termos de um silogismo sonecessariamente trs: maior, mdio e menor. Otermo maior aquele cuja extenso maior(normalmente, o predicado da concluso); o termomdio o que serve de intermedirio ou de conexoentre os outros dois termos (no figura na concluso)e o termo menor o de menor extenso(normalmente, o sujeito da concluso). No exemploacima, punvel o termo maior, ato que fere a lei otermo mdio e concusso o menor.

2.3.1.1. As Regras do Silogismo

Oito so as regras que fazem do silogismoum raciocnio perfeitamente lgico. As quatroprimeiras dizem respeito s relaes entre os termose as demais dizem respeito s relaes entre aspremissas. So elas:

2.3.1.1.1. Regras dos Termos

1) Qualquer silogismo possui somente trstermos: maior, mdio e menor. Exemplo de

formulao correta:Termo Maior: Todos os gatos so mamferos.

Termo Mdio: Mimi um gato. Termo Menor:Mimi um mamfero. Exemplo de formulaoincorreta:

Termo Maior: Toda gata(1) quadrpede.

Termo Mdio: Maria uma gata(2).

Termo Menor: Maria quadrpede.

O termo gata tem dois significados,

portanto, h quatro termos ao invs de trs.

2) Os termos da concluso nunca podem sermais extensos que os termos das premissas.

Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todas as onas so ferozes.

Termo Mdio: Nikita uma ona.Termo Menor: Nikita feroz. Exemplo de

formulao incorreta:Termo Maior: Antnio e Jos so poetas.

Termo Mdio: Antnio e Jos so surfistas. TermoMenor: Todos os surfistas so poetas.

Antonio e Jos um termo menos extenso

que todos os surfistas.

3) O predicao do termo mdio no podeentrar na concluso.

Exemplo de formulao correta:


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Termo Maior: Todos os homens podeminfringir a lei.

Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro pode infringir a lei.

Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Todos os homens podem

infringir a lei.Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro ou homem (?) ou

pode infringir a lei.A ocorrncia do termo mdio homem na

concluso inoportuna.

4) O termo mdio deve ser tomado aomenos uma vez em sua extenso universal.

Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todos os homens so

dotados de habilidades.Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro dotado de

habilidades. Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Alguns homens so sbios.Termo Mdio: Ora os ignorantes so homensTermo Menor: Logo, os ignorantes so sbios

O predicado homens do termo mdiono universal, mas particular.

2.3.1.1.2. Regras das Premissas5) De duas premissas negativas, nada se

conclui.Exemplo de formulao incorreta:

Premissa Maior: Nenhum gato mamferoPremissa Menor: Lulu no um gato. Concluso:(?).

6) De duas premissas afirmativas, no setira uma concluso negativa.

Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: Todos os bens morais

devem ser desejados. Premissa Menor: Ajudar aoprximo um bem moral. Concluso: Ajudar aoprximo no (?) deve ser desejado.

7) A concluso segue sempre a premissamais fraca. A premissa mais fraca sempre a decarter negativo.

Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: As aves so animais que

voam. Premissa Menor: Alguns animais no soaves. Concluso: Alguns animais no voam.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: As aves so animais que

voam.

Premissa Menor: Alguns animais no soaves.

Concluso: Alguns animais voam.

8) De duas premissas particulares nadase conclui.

Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: Mimi um gato. Premissa Menor:

Um gato foi covarde. Concluso: (?)

Proposies Simples ou atmicas

So aquelas que apresentam apenas umaidia. Essas proposies so representadas pelasletras minsculas a, b, c, d , exemplo:

a- Fbio foi ao zoologico

b- Anderson pegou o nibus

c- O carro quebrou

d- A novela acabou

Proposies Compostas ou Moleculares

So aquelas que apresentam mais de umaproposio e esto conectadas atravs de conectivoslgicos. So representadas pelas letras maisculas.Sua notao da seguinte forma: Q(p,r).

P: O nmero 24 divisvel por 3 e 12 o dobro de 24.

Q: A raiz quadrada de 16 4 e 24 mltiplo de 3.

R(s, t): O nmero 7 mpar e onmero 17 primo.

Conectivos lgicos

(~) = Negao(Falso)

(.) = Conjuno(e)

(+) = Disjuno(ou)

() = Condicional (se)

() = Bicondicional (seno)

As proposies pode assumir apenas umacondio, Verdadeiro (V ou 1) ou Falso (F ou 0),exemplos:

a: O aucar doce e serve paraadoar o macarro

b: A lua brilha para iluminar a noite

Notaes lgicas

V(a)=0 ou F(a)=1

V(b)=1 ou F(b)=0


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Proposio uma sentenadeclarativa que admite ser classificada com valorlgico ou verdadeiro (veracidade) ou falso(falsidade), no podendo ser ambos ao mesmotempo e no admitindo uma terceira possibilidade.Sentenas interrogativas, manifestaes desentimento/sensao e sentenas imperativas noadmitem esta classificao em verdadeiro/falso.

Outro tipo de sentena que no admite estaclassificao so os paradoxos, que sosentenas que levam a uma contradio lgica,no se permitindo afirmar qual valor lgico asentena deve assumir. Outra figura existente nalgica a da falcia, que consiste em umraciocnio errado, mas que aparenta serverdadeiro. As falcias cometidasinvoluntariamente so chamadas deparalogismos, enquanto que as intencionais soconhecidas como sofismas.

As proposies podem ser simples (idiasnicas) ou compostas (mais de uma idia). Asproposies compostas so formadas a partir deproposies simples unidas por conectivos. Hdiversos conectivos que podem ser utilizados parase formar proposies compostas, mas iremosinicialmente descrever o conectivo ee o conectivoou.

O e tambm conhecido como conjuno e

representado pelo smbolo . O conectivo e(.a. e.b.) resulta no valor lgico verdadeiro somentequando ambas as proposies forem verdadeiras.Nos demais casos, resulta em falso.

O ou tambm conhecido como disjuno erepresentado pelo smbolo quando do tipoinclusivo e pelo smbolo quando do tipoexclusivo. O conectivo ou inclusivo (.a. ou .b.)resulta no valor lgico verdadeiro falso apenas nocaso de ambas as proposies serem falsas. J oouexclusivo(ou.a. ou.b.) resulta no valor lgicoverdadeiro quando uma e apenas uma das

proposies forem verdadeiras Negao na lgica tem a funo

de trocar o valor lgico de uma proposio e simbolizada por ~. A negao da negaorestaura o valor original da sentena. Nas frasesalgumas palavras indicam a existncia de umanegao, entre elas: no, nunca, nem, jamais,sequer, nada, deixar, impedir, obstruir etc. Anegao de proposies compostas realizadanegando cada uma das proposiesindividualmente e trocando o conectivo epelo ou,e vice versa (Teorema de De Morgan).

A "Tabela Verdade" permite descrever os valoreslgicos das proposies, facilitando o clculo dasproposies mais complexas. Ela formada porum cabealho (contendo as proposies simples a

serem utilizadas nas subproposies com o fim decompor a proposio completa, as subproposies ea proposio completa) e linhas (contendo todas ascombinaes dos valores lgicos das proposiessimples utilizadas).

Como cada proposio simples pode ter dois valoreslgicos possveis (verdadeiro ou falso), a tabelaprecisar de 2^n linhas, onde n o nmero deproposies simples (para uma proposio, 2 linhas;para duas proposies, 4 linhas; para 4 proposies,16 linhas), para listar todos as possveiscombinaes de valores lgicos possveis para as nproposies.

Atravs da tabela podemos facilmente identificarduas, ou mais, proposies que so equivalentesentre si. Duas proposies so equivalentes quandopara cada uma das possveis combinaes devalores lgicos das proposies iniciais, ambas asfrmulas possuem um mesmo valor lgicocorrespondente.

Tabela Verdade da Negao e dupla Negao

p ~p ~(~p)

V F V

F V F

Tabela Verdade da Conjuno (e)

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabela Verdade da Disjuno Inclusiva (ou inclusivo)

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F


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Tabela Verdade da Disjuno Exclusiva (ouexclusivo)

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Tabela Verdade da Negao de ProposioComposta (De Morgan)

p q ~p ~q p ^ q ~(p ^ q)~p ~q

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

Um tipo de problema clssico em lgica o de Verdades e Mentiras, onde necessrioanalisar logicamente frases que podem ser

verdadeiras ou falsas ditas por pessoas quepodem ser verazes (que dizem a verdade) ou sermentirosas. Geralmente esses problemaspermitem uma ou mais perguntas a um ou maisdesses indivduos, dos quais no temos certezase dizem ou no a verdade. A soluo dessesproblemas passa pela pergunta que,independentemente a quem feita, fornecesempre o mesmo tipo de resposta ou leva aoconflito entre dois desses indivduos. Deve-seconcluir, a partir da resposta obtida, qual oprocedimento ou caminho a seguir.

Equivalncia lgica

Nalgica,as asserespe qso ditaslogicamente equivalentesou simplesmente

equivalentes, se e . Emtermos intuitivos, duas sentenas sologicamente equivalentesse possuem o mesmo"contedo lgico".

Do ponto de vista da teoria dademonstrao,pe qso equivalentes se cadauma delas pode serderivada a partir da outra.Semanticamente,pe qso equivalentes se elastm os mesmosvalores para qualquerinterpretao.

Anotao normalmente usada pararepresentar a equivalncia lgica entrepe qp q,pqoup q.

Propriedades

(Reflexividade)

Se ento

(Simetria)

Se e ento(Transitividade)

Essas trs propriedades mostram que aequivalncia lgica umarelao de equivalncia.

Exemplo

As seguintes sentenas so logicamenteequivalentes:

1. Se hoje sbado, ento hoje fim de semana.

2. Se hoje no fim desemana, ento hoje no sbado.

Em smbolos:

d: "Hoje sbado"

f: "Hoje fim de semana"

1.

2.

Sintaticamente, (1) e (2) so equivalentespelaLei da Contraposio.Semnticamente, (1) e (2)tm os mesmos valores nas mesmas interpretaes.

Teorema da Substitutividade

Seja uma frmula contendo umasubfrmula , e seja o resultado de substituir em

uma ou mais ocorrncias da subfrmula pela

frmula . Se for logicamente equivalente aento logicamente equivalentea '.

Exemplo

Seja e

. Como equivalente a

, ento

equivalente a
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Validadehttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Modelo_(l%C3%B3gica)&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Lei_da_Contraposi%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_l%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Subf%C3%B3rmula&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Subf%C3%B3rmula&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_l%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Lei_da_Contraposi%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Modelo_(l%C3%B3gica)&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/Validadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica


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1.1 regras de equivalnc ia lgic a

H equivalncia entre as proposies Pe

Qsomente quando a bicondicional P Qfor uma

tautologia ou quando Pe Qtiverem a mesma

tabela-verdade.P Q(P equivalente a Q) o

smbolo que representa a equivalncia lgica.

Diferenciao dos smbolos e

O smbolo representa uma operao

entre as proposiesPe Q, que tem comoresultado uma nova proposio P Qcom valor

lgico V ou F.

O smbolo representa a no ocorrncia

deVFe deFVna tabela-verdade P Q, ou ainda

que o valor lgico deP Q sempre V, ou ento

P Q uma tautologia.

Exemplo

A tabela da bicondicional (p q) (~q

~p) ser:

Portanto, pq equivalente a ~q~p,pois estas proposies possuem a mesma tabela-

verdade ou a bicondicional (p q) (~q ~p)

uma tautologia.

Veja a representao:

(pq) (~q~p)

leis de MorganDa autoria do ilustre matemtico ingls

Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separ-las em Primeiras Leis de Morgane Segundas Leis deMorgan.

As primeiras podem ser indicadas de vriasformas, dependendo do contexto a estudar.

Podemos utiliz-las em operaes lgicassobre proposies ou em operaes sobre conjuntos.

Primeiras Leis de Morgan:

Sendo p e q duas proposies e ~, e ,respetivamente, os smbolos das operaes lgicasnegao, conjunoe disjuno, as Primeiras Leis deMorgan podem ser apresentadas simbolicamentepor:

1. ~(pq) = ~p~qcujo significado :

"negar a simultaneidade de p e q afirmarpelo menos nopou no q".

2. ~(pq) = ~p~qcujo significado :

"negar a ocorrncia de pelo menos pou qafirmar nempnem q".

Mas, se considerarmos Ae Bdois conjuntos

e , , , respetivamente, os smbolos dainterseo, reunio, complementar de A ecomplementar de B, as Primeiras Leis de Morganpodem ser apresentadas simbolicamente por:

cujo significado :

"o complementar da interseo de doisconjuntos igual reunio dos complementares dosconjuntos iniciais"

cujo significado :

"o complementar da reunio de doisconjuntos igual interseo dos complementaresdos conjuntos iniciais".

Segundas Leis de Morgan:


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As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negao de proposies comquantificadores (universais e existenciais).

Dada a expresso proposicional (oucondio) p(x), em que x A, conjunto denmeros reais, a expresso xA: p (x) l-se:"para todo o elemento de A, verifica-se p", ouseja, qualquer que seja o valor de A pelo qualsubstitumos x, p(x) transforma-se numaproposio verdadeira.

Por outro lado, a expresso xA: p(x)l-se: "existe pelo menos um elemento de A queverifica p", ou seja, significa que existe pelomenos um valor da varivel x, para a qual a p(x)se transforma numa proposio verdadeira.

Neguemos ambas:

As negaes destas duas proposiesconstituem ento as Segundas Leis de Morgan.

A lgica de primeira ordem (LPO),conhecida tambm como clculo de predicadosde primeira ordem(CPPO), um sistema lgicoque estende a lgica proposicional (lgicasentencial) e que estendida pela lgica desegunda ordem.

As sentenas atmicas da lgica deprimeira ordem tm o formato P (t1,, tn) (umpredicado com um ou mais "argumentos") aoinvs de serem smbolos sentenciais sem

estruturas.

O ingrediente novo da lgica de primeiraordem no encontrado na lgica proposicional aquantificao:dada uma sentena qualquer, as

novas construes e -- leia "para todox, " e "para algum x, ", respectivamenteso

introduzidas. significa que verdadeiro

para todo valor de xe significa que h pelomenos um x tal que verdadeiro. Os valoresdas variveis so tirados de um universo dediscurso pr-determinado. Um refinamento da

lgica de primeira ordem permite variveis dediferentes tipos, para tratar de diferentes classesde objetos.

A lgica de primeira ordem tem poderexpressivo suficiente para formalizar praticamente

toda a matemtica. Uma teoria de primeira ordemconsiste em um conjunto de axiomas (geralmentefinito ourecursivamente enumervel)e de sentenasdedutveis a partir deles. A teoria dos conjuntos deZermelo-Fraenkel um exemplo de uma teoria deprimeira ordem, e aceita-se geralmente que toda amatemtica clssica possa ser formalizada nela. Houtras teorias que so normalmente formalizadas nalgica de primeira ordem de maneiraindependente(embora elas admitam a implementaona teoria dos conjuntos) tais como a aritmtica dePeano.

Definindo a lgica de primeira ordem

Um clculo de predicados consiste em:

regras de formao (definiesrecursivas para dar origem afrmulas bem-formadas

ouFBFs).

regras de transformao (regras deinferncia para derivar teoremas).

axiomas.

Os axiomas considerados aqui so osaxiomas lgicos que fazem parte do clculo depredicados. Alm disso, os axiomas no-lgicossoadicionados em teorias de primeira ordemespecficas: estes no so considerados comoverdades da lgica, mas como verdades da teoria

particular sob considerao.

Quando o conjunto dos axiomas infinito,requer-se que haja um algoritmo que possa decidirpara uma frmula bem-formada dada, se ela umaxioma ou no. Deve tambm haver um algoritmoque possa decidir se uma aplicao dada de umaregra de inferncia est correta ou no.

importante notar que o clculo depredicados pode ser formalizado de muitas maneirasequivalentes; no h nada cannico sobre osaxiomas e as regras de inferncia propostos aqui,

mas toda a formalizao dar origem aos mesmosteoremas da lgica (e deduzir os mesmos teoremasa partir de um conjunto qualquer de axiomas no-lgicos).

Alfabeto

O alfabeto de prmeira ordem, , tem aseguinte constituio:

,onde

1. um conjunto enumervel de variveis;

2. um conjunto de smbolos chamados de constantes;
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_segunda_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_segunda_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_at%C3%B4micahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universo_de_discursohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universo_de_discursohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_primeira_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Recursivamente_enumer%C3%A1vel&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkelhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bem_formadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/FBFhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/FBFhttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bem_formadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkelhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntoshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Recursivamente_enumer%C3%A1vel&action=edit&redlink=1http://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_primeira_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universo_de_discursohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universo_de_discursohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_at%C3%B4micahttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_segunda_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_segunda_ordemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicional


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3. um conjunto desmbolos ditos sinais funcionais;

4. um conjunto desmbolos ditos sinais relacionais ou predicativos;

5. oconjunto de smbolos ditos sinais lgicos;

6. o conjunto desmbolos de pontuao.

As constantes, sinais funcionais e sinaispredicativos constituem a coleo de sinais ditossmbolos no lgicos.

H diversas variaes menores listadas

abaixo:

O conjunto de smbolos primitivos(operadores e quantificadores) variafrequentemente. Alguns smbolos primitivospodem ser omitidos, substituindo-os comabreviaturas adequadas; por exemplo (P Q) uma abreviatura para (P Q) (Q P). Nosentido contrrio, possvel incluir outrosoperadores como smbolos primitivos, como asconstantes de verdade para "verdadeiro" e o para "falso" (estes so operadores doaridade 0).O nmero mnimo dos smbolos primitivos

necessrios um, mas se ns nos restringirmosaos operadores listados acima, seria necessriotrs; por exemplo, o , o , e o bastariam.

Alguns livros mais velhos usam anotao para , ~ para , & para , e uma variedadede notaes para osquantificadores; por exemplo, x pode serescrito como (x).

A igualdade s vezesconsiderada como parte da lgica de primeiraordem; Neste caso, o smbolo da igualdade ser

includo no alfabeto, e comportar-se-sintaticamente como um predicado binrio. Assima LPO ser chamada de lgica de primeiraordem com igualdade.

As constantes so na verdadefunes de aridade 0, assim seria possvel econveniente omitir constantes e usar as funesque tenham qualquer aridade. Mas comum usaro termo "funo" somente para funes dearidade 1.

Na definio acima, as relaes

devem ter pelo menos aridade 1. possvelpermitir relaes de aridade 0; estas seriamconsideradas variveis proposicionais.

H muitas convenes diferentessobre onde pr parnteses; por exemplo, se pode

escrever x ou (x). s vezes se usa dois pontos ouponto final ao invs dos parnteses para criarfrmulas no ambguas. Uma convenointeressante, mas incomum, a "notao polonesa",onde se omite todos os parnteses, e escreve-se o ,, e assim por diante na frente de seus argumentos.A notao polonesa compacta e elegante, mas rarae de leitura complexa.

Uma observao tcnica que sehouver um smbolo de funo de aridade 2 querepresenta um par ordenado (ou smbolos depredicados de aridade 2 que representam asrelaes de projeo de um par ordenado) ento sepode dispensar inteiramente as funes oupredicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou asprojees necessitam satisfazer aos axiomasnaturais.

Os conjuntos das constantes, das funes, edas relaes compem a assinatura e sogeralmente considerados para dar forma a umalinguagem, enquanto as variveis, os operadoreslgicos, e os quantificadores so geralmenteconsiderados para pertencer lgica. Uma estruturad o significado semntico de cada smbolo daassinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dosgrupos consiste de uma constante (elemento daidentidade), de uma funo de aridade 1 (inverso), deuma funo de aridade 2 (produto), e de uma relaode aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelosautores que incluem a igualdade na lgicasubjacente.

Regras de formao

As regras de formao definem os termos,frmulas, e as variveis livres como segue. Oconjunto dos termos definido recursivamente pelasseguintes regras:

1. Qualquer constante um termo (semvariveis livres).

2. Qualquer varivel um termo (cuja

nicavarivel livre ela mesma).

3. Toda expresso f (t1,, tn) de n 1argumentos (onde cada argumento ti um termo e fum smbolo de funo de aridade n) um termo.Suas variveis livres so as variveis livres de cadaum dos termos ti.

4. Clusula de fechamento: Nadamais um termo.

O conjunto das frmulas bem-formadas(chamadas geralmente FBFs ou apenas frmulas)

definido recursivamente pelas seguintes regras:1. Predicados simples e complexos:

se Pfor uma relao de aridade n 1 e os aiso ostermos ento P (a1,,an) bem formada. Suasvariveis livres so as variveis livres de quaisquer
http://pt.wikipedia.org/wiki/Aridadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_polonesahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Assinatura_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_livrehttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bem_formadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bem_formadahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_livrehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Assinatura_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_polonesahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aridade


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termos ai. Se a igualdade for considerada parte dalgica, ento (a1 = a2) bem formada. Taisfrmulas so ditas atmicas.

2. Clusula indutiva I: Se for umaFBF, ento uma FBF. Suas variveis livres

so as variveis livres de .

3. Clusula indutiva II: Se e so FBFs, ento ( ), ( ), ( ), ( ) so FBFs. Suas variveis livres so asvariveis livres de e de .

4. Clusula indutiva III: Se foruma FBFexfor um varivel, ento x e x soFBFs, cujas variveis livres so as variveis livresde com exceo de x. Ocorrncias de x soditas ligadas ou mudas (por oposio a livre) emx e x.

5. Clusula de fechamento: Nadamais uma FBF.

Na prtica, se P for uma relao dearidade 2, ns escrevemos frequentemente "a Pb" em vez de "P a b"; por exemplo, nsescrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmentese ffor uma funo de aridade 2, ns escrevemoss vezes "a f b" em vez de "f(a b)"; por exemplo,ns escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). tambm comum omitir alguns parnteses se istono conduzir ambigidade. s vezes til dizer

que "P (x) vale para exatamente um x", o quecostuma ser denotado por !xP(x). Isto tambmpode ser expresso por x(P(x) y(P(y) (x=y))).

Exemplos: A linguagem dos gruposabelianos ordenados tem uma constante 0, umafuno unria , uma funo binria +, e umarelao binria . Assim:

0,x, yso termos atmicos

+ (x, y), + (x, + (y, (z))) so

termos, escritos geralmente como x+ y,x+ (y+(z))

= (+ (x, y), 0), (+ (x, + (y, (z))),+ (x, y)) so frmulas atmicas, escritasgeralmente comox+ y= 0,x+ y- zx+ y,

(xy (+ (x, y), z)) (x= (+ (x,y), 0)) uma frmula, escrita geralmente como(xy(x+ y z)) (x(x+ y= 0)).

[editar]Substituio

Se t um termo e (x) uma frmula quecontm possivelmente x como uma varivel livre,ento (t) se definido como o resultado dasubstituio de todas as instncias livres de xport, desde que nenhuma varivel livre de t setorne ligada neste processo. Se alguma varivel

livre de tse tornar ligada, ento para substituir tporx primeiramente necessrio mudar os nomes dasvariveis ligadas de para algo diferente dasvariveis livres de t. Para ver porque esta condio necessria, considere a frmula (x) dada por yyx("x mximal"). Se t for um termo sem y comovarivel livre, ento (t) diz apenas que t maximal.Entretanto se t y, a frmula (y) yyyque nodiz que y mximal.O problema de que a varivellivre yde t(=y) se transformou em ligada quando nssubstitumos y por x em (x). Assim, para construir(y) ns devemos primeiramente mudar a varivelligada yde para qualquer outra coisa, por exemploa varivel z, de modo que o (y) seja ento zz y.Esquecer desta condio uma causa notria deerros.

Igualdade

H diversas convenes diferentes para seusar a igualdade (ou a identidade) na lgica deprimeira ordem. Esta seo resume as principais.Todas as convenes resultam mais ou menos nomesmo com mais ou menos a mesma quantidade detrabalho, e diferem principalmente na terminologia.

A conveno mais comum para aigualdade incluir o smbolo da igualdade como umsmbolo lgico primitivo, e adicionar os axiomas daigualdade aos axiomas da lgica de primeira ordem.Os axiomas de igualdade so

x=xx = y (,x,) = (,y,) paraqualquer funo

x = y ( (,x,) (,y,)) paraqualquer relao (incluindo a prpria igualdade)

A prxima conveno mais comum incluir o smbolo da igualdade como uma dasrelaes de uma teoria, e adicionar os axiomas daigualdade aos axiomas da teoria. Na prtica isto quase idntico da conveno precedente, excetono exemplo incomum de teorias com nenhuma noode igualdade. Os axiomas so os mesmos, e a nica

diferena se eles sero chamados de axiomaslgicos ou de axiomas de teoria.

Nas teorias sem funes e com umnmero finito de relaes, possvel definir aigualdade em termos de relaes, definindo os doistermos s e t como iguais se qualquer relaocontinuar inalterada ao se substituir s por t emqualquer argumento. Por exemplo, em teoria dosconjuntos com uma relao , ns definiramos s= tcomo uma abreviatura para x(sx tx) x(x s x t). Esta definio de igualdade satisfazautomaticamente os axiomas da igualdade.

Em algumas teorias possvel dardefinies de igualdade ad hoc. Por exemplo, emuma teoria de ordens parciais com uma relao nspoderamos definir s= tcomo uma abreviatura para s tt s.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1veis_livres_e_ligadashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1veis_livres_e_ligadashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aridadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aridadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_de_primeira_ordem&action=edit&section=4http://pt.wikipedia.org/wiki/Ad_hochttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ad_hochttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ad_hochttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_de_primeira_ordem&action=edit&section=4http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Aridadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aridadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1veis_livres_e_ligadashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1veis_livres_e_ligadas


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Regras de inferncia

A regra de inferncia modus ponens anica necessria para a lgica proposicional deacordo com a formalizao proposta aqui. Ela dizque se e so ambos demonstrados,

ento pode-se deduzir . A regra de infernciachamadaGeneralizao Universal caractersticada lgica de primeira ordem:

se , ento

onde se supe que um teorema jdemonstrado da lgica de primeira ordem.Observe que a Generalizao anloga regrada necessitaodalgica modal,que :

se , ento .

Limitaes

Apesar da Lgica de Primeira Ordem sersuficiente para formalizar uma grande parte damatemtica, e tambm ser comumente usada emCincia da Computao e outras reas, ela temas suas limitaes. Suas limitaes incluemlimitaes em sua expressividade e limitaescom relao aos fragmentos das lnguas naturaisque pode descrever.

Expressividade

O teorema de LwenheimSkolem mostra

que se uma teoria de primeira ordem tem ummodelo infinito, ento a teoria tambm temmodelos de todas as cardinalidades infinitas. Emparticular, nenhuma teoria de primeira ordem comum modelo infinito pode ser categrica. Assim,no h uma teoria de primeira ordem cujo nicomodelo tem o conjunto dos nmeros naturaiscomo domnio, ou cujo nico modelo tem oconjunto dos nmeros reais como domnio. Vriasextenses da Lgica de Primeira-Ordem, incluindoa Lgica de Ordem Superior e a Lgica Infinitria,so mais expressivas no sentido de que elasadmitem axiomatizaes categricas dos nmeros

naturais ou reais. Essa expressividade tem umcusto em relao s propriedades meta-lgicas;de acordo com o Teorema de Lindstrm, qualquerlgica que seja mais forte que a lgica de primeiraordem falhar em validar o teorema dacompacidade ou em validar o teorema deLwenheimSkolem.

Formalizando as Lnguas Naturais

A lgica de primeira ordem capaz deformalizar vrios quantificadores na lingua natural,como todas as pessoas que moram em Paris,

moram na Frana. Mas existem vriascaractersticas que no podem ser expressas nalgica de primeira ordem. Qualquer sistemalgico que apropriado para analisar lnguasnaturais, precisa de uma estrutura muito mais rica

que a lgica de primeira ordem" (Gamut 1991, p 75).

Tipo Exemplo Comentrio

Quantificadores

sobre aspropriedades

Se Rafael forsatisfeito consigomesmo, ento ele

tem pelo menosuma coisa emcomum comRoberta

Requer quantificadoressobre os predicados, osquais no podem serimplementados com algica de primeiraordem (unicamenteordenada): ZjX(XjXp)

Quantificadoressobre aspropriedades

Papai Noel temtodos os atributosde um sadista

Requer quantificadoressobre os predicados, osquais no podem serimplementados com algica de primeiraordem (unicamenteordenada): X(x(Sx Xx)Xs)

Predicadoadverbial

Luiz est andandorpido

No pode ser analisadocomo Wj Qj;predicados adverbiais

no so a mesma coisaque predicados desegunda ordem , comocores

Adjetivo RelativoJumbo umelefante pequeno

No podem seranalisados como Sj Ej; predicadosadjetivados no so amesma coisa quepredicados de segundaordem , como cores

Modificador dopredicadoadverbial

Anderson estandando muitorpido

-

Modificador doadjetivo relativo

Roberta extremamentepequena

Uma expresso como

"extremamente" ,quando usado com umadjetivo relativo"pequena", resulta emum novo adjetivorelativo: "extremamentepequena"

PreposiesAlberto estsentado ao ladode Danilo

A preposio "ao ladode" quando aplicada aLuiz, resulta em umpredicado adverbial "aolado de Luiz"

Axiomas e regras

Os cinco axiomas lgicos mais as duasregras de inferncia seguintes caracterizam a lgicade primeira ordem:

Axiomas:

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

, onde no livre em
http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_compacidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_compacidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_compacidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_compacidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens


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(A5) ,onde t livre para x em

Regras de Inferncia:

Modus Ponens:

Generalizao Universal:

Estes axiomas so na realidade esquemas deaxiomas. Cada letra grega pode seruniformemente substituda, em cada um dosaxiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma

expresso do tipo denota o resultadoda substituio de x por t na frmula .

Clculo de predicados

O clculo de predicado uma extenso dalgicaproposicional que define quais sentenas dalgica de primeira ordem so demonstrveis. um sistema formal usado para descrever asteorias matemticas. Se o clculo proposicionalfor definido por um conjunto adequado deaxiomas e a nica regra de inferncia modusponens (isto pode ser feito de muitas maneiras

diferentes, uma delas j ilustrada na seoanterior), ento o clculo de predicados pode serdefinido adicionando-se alguns axiomas e umaregra de inferncia "generalizao universal"(como, por exemplo, na seo anterior). Maisprecisamente, como axiomas para o clculo depredicado, teremos:

Os axiomas circunstanciais doclculo proposicional (A1, A2 e A3 na seoanterior);

Os axiomas dos quantificadores

(A4 e A5);

Os axiomas para a igualdadepropostos em seo anterior, se a igualdade forconsiderada como um conceito lgico.

Uma sentena ser definida comodemonstrvel na lgica de primeira ordem sepuder ser obtida comeando com os axiomas doclculo de predicados e aplicando-serepetidamente as regras de inferncia "modusponens" e "generalizao universal". Se nstivermos uma teoria T(um conjunto de sentenas,

s vezes chamadas axiomas) ento umasentena se define como demonstrvel nateoria T se a b demonstrvel nalgica de primeira ordem (relao deconsequncia formal), para algum conjunto finito

de axiomas a, b, da teoria T. Um problemaaparente com esta definio de "demonstrabilidade" que ela parece um tanto ad hoc: ns tomamos umacoleo aparentemente aleatria de axiomas e deregras de inferncia, e no bvio que notenhamos acidentalmente deixado de fora algumaxioma ou regra fundamental. O teorema dacompletude deGdel nos assegura de que este no realmente um problema: o teorema diz que todasentena verdadeira em todos os modelos demonstrvel na lgica de primeira ordem. Emparticular, toda definio razovel de "demonstrvel"na lgica de primeira ordem deve ser equivalente definio acima (embora seja possvel que oscomprimentos das derivaes difira bastante paradiferentes definies de demonstrabilidade). Hmuitas maneiras diferentes (mas equivalentes) dedefinir provabilidade. A definio acima umexemplo tpico do clculo no estilo de Hilbert, quetem muitos axiomas diferentes, mas poucas regrasde inferncia. As definies de demonstrabilidadepara a lgica de primeira ordem nos estilos deGentzen (deduo natural e clculo de sequentes)so baseadas em poucos ou nenhum axiomas, masmuitas regras de inferncia.

Algumas equivalncias

Algumas regras de inferncia

(se c for uma varivel, ento

no deve ser quantificada em P(x))(x no deve aparecer livre em

P(c))

Metateoremas da lgica de primeira ordem

Alguns metateoremas lgicos importanteslistam-se abaixo:

1. Ao contrrio da lgica proposicional,a lgica de primeira ordem indecidvel,desde que alinguagem contenha ao menos um predicado dearidade ao menos 2, para alm da igualdade. Pode-

se demonstrar que h um procedimento de decisopara determinar se uma frmula arbitrria P vlida(veja problema da parada). (Estes resultados foramdemonstrados, independentemente, por Church eTuring).
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_esquem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_esquem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilberthttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_da_paradahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Alonzo_Churchhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Alan_Turinghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Alan_Turinghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Alonzo_Churchhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_da_paradahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilberthttp://pt.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponenshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicionalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_esquem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_esquem%C3%A1tico


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2. O problema da deciso paravalidade semidecidvel, ou seja, h umamquina de Turing que quando recebe uma frasecomo entrada, parar se e somente se a sentenafor vlida (satisfeita em todos os modelos).

o Como o teorema da completudedeGdel mostra, para toda frmula vlida P, P demonstrvel. Analogamente, assumindo aconsistncia da lgica, toda frmula demonstrvel vlida.

o Para um conjunto finito ou semi-enumervel de axiomas, o conjunto das frmulasdemonstrveis pode ser explicitamenteenumerado por uma mquina de Turing, dondesegue o resultado de semidecidibilidade.

3. A lgica de predicados mondica

(i.e., a lgica de predicados somente compredicados de um argumento) decidvel.

4. A classe de Bernays-Schnfinkeldas frmulas de primeira ordem tambmdecidvel.

Comparao com outras lgicas

A lgica de primeira ordemtipada permite que as variveis e os termostenham vrios tipos (ou sortes). Se houverapenas um nmero finito de tipos o resultado no

ser muito diferente da lgica de primeira

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Racioc Nio l Gico Quantitativo